Física del estado sólido

Si bien este tema no será evaluado y se verá con poca profundidad, es necesario para
comprender el funcionamiento de los dispositivos electrónicos.
La física del estado sólido comienza estudiando la diferencia entre un elemento
aislante, un conductor (metal) y un semiconductor. Sabiendo que la corriente es el
movimiento de los electrones sobre un medio material, tenemos que en un aislante
hay un flujo de electrones escaso debido a que sus electrones están fuertemente
ligados a su núcleo, en cambio el conductor tiene algunos electrones en órbitas más
lejanas. Es decir, al considerar un átomo (con protones y neutrones) de un aislante con
sus electrones, los mismos están fuertemente ligados y al aplicar un campo eléctrico no
se moverán, esto se debe a que es mayor la fuerza coulombiana del núcleo que la que
produce el campo eléctrico. En cambio en un conductor hay electrones ligados al
núcleo pero tambien hay muchos que no tanto entonces ante un campo eléctrico
varios van a poder moverse y generar una corriente. Estos electrones son los únicos
que interesa analizar y se llamarán electrones “libres”.
Una de las formas de analizar esto es con la teoría de bandas, que establece la
capacidad de movimiento del electrón de acuerdo a su energía. Los que poseen una
menor a la energía de valencia (EV) son los ligados inmóviles, y aquellos que posean
una mayor a la energía de conducción (EC) serán electrones libres. La diferencia entre
esos niveles es Egap = EC - EV , y este valor distingue a los materiales con respecto a su
capacidad de conducción.
En un aislante, la energía que hay que entregar para que se vuelva conductor (para que
algunos electrones alcancen la energia de conducción) es como mínimo de 6ev (se
mide en electron-volt, ya que Joule es enorme para medir esta magnitud) donde 1ev
equivale a 1,6 x 10-19 J. En dicho caso, ¿Qué sucede? Lo que ocurre es que dicho salto es
tan grande que al entregar tanta cantidad de energía el material se destruye antes de
convertirse en conductor. En cambio, en un material conductor, si realizo el mismo
esquema de bandas tengo que la energía de valencia es mayor que la energía de
conducción, es decir, que no necesito entregarle energía para que tenga electrones
libres debido a que ya los tiene de por sí el material.
En el medio de estas dos
situaciones, se encuentran los semiconductores, que tienen una estructura de bandas
donde la energía de valencia y la de conducción se encuentran muy próximas,
aproximadamente a 1ev. Debido a esto, aplicando una leve cantidad de energía (como
la temperatura ambiente) ya aparecen electrones libres (pasan de la banda de valencia
a la de conducción).

Conductores
Supongamos que tenemos dos núcleos con una cierta
cantidad de protones y neutrones, y por afuera
electrones como muestra la figura. Como dijimos antes,
algunos electrones van a estar más ligados que otros al
núcleo por su distancia a ellos y por lo tanto los menos
ligados tenderán a moverse debido a un campo
eléctrico como se muestra en la figura. Ahora bien, al
aplicar el campo eléctrico, el electrón que esta en
análisis de masa m se verá acelerado debido a que esta
bajo el efecto de una fuerza F = qE que va hacia la izquierda producto del campo
E[V/m] lo cual, si tengo un conductor infinitamente largo en un campo constante se
acelera hasta que tenga velocidad infinita, lo mismo le pasaría a todos los electrones
que están libres, entonces aplicando un mínimo campo eléctrico a un material
suficientemente largo lograría una corriente infinita (como la misma es la derivada de
la carga respecto del tiempo) ya que la velocidad del electrón tiende a infinito luego la
corriente tiende a infinito y hago un superconductor. Pero hay algo mal en este
razonamiento, como en realidad el electrón no viaja en el vacío sino en un mar de
electrones y nucleos, en toda la red cristalina que va a pasar se va a ir frenando de
modo tal que va a tener una velocidad promedio constante, y dicha velocidad es
proporcional al campo eléctrico.
→ →
𝑣 = μ𝐸 donde μ [m2/sV] es la constante de movilidad con lo cual a mayor intensidad
de campo eléctrico mayor velocidad promedio.
Ahora, suponemos una barra de metal, de área A y
ancho dx y defino la densidad de corriente como
𝐽 = 𝐼⁄𝐴🡪La corriente por unidad de área, esa corriente
es:
𝑄
𝐼= (𝑒 𝑛𝐴 𝑑𝑥) = 𝑒𝑛𝐴𝑣 = 𝑒𝑛𝐴μ𝐸→
𝑡= 𝑡

𝐼 = 𝑒𝑛𝐴μ𝐸
𝐸)
Luego, 𝐽 = (𝑒 𝑛 𝐴 μ 𝐴
→𝐽 = 𝑒 𝑛 μ 𝐸 ,

Donde se le denomina conductividad del material σ[1/Ω𝑚] a

σ = 𝑒 𝑛 μ . Con lo cual, 𝐽 = σ𝐸
El cobre tendrá una conductividad altísima, el hierro bastante menos por la cantidad de
electrones libres por unidad de volumen n que tiene un material o el otro.
Otro enfoque para analizar esto, es mirar los electrones como
poseedores de una determinada energía en función a su distancia al
núcleo, esto es una energía potencial 𝑈 =− 𝑒𝑉
Como la referencia de energía nula es arbitraria, se adopta:
● Si el electrón esta muy alejado del núcleo, tiene energía cero.
● Si el electrón esta muy cerca del núcleo, tiene energía muy
negativa (menos infinito).
Cuanto más alejado está el electrón del núcleo la energía
potencial es cada vez mayor hasta que llega a cero, y cuanto
más cerca está del núcleo es cada vez más negativa hasta
que llega a menos infinito. Si hay muchos núcleos, es decir
tengo una red de núcleos, tendría que superponer los
diagramas y sería:

En el gráfico superior vemos marcados tres puntos distintos de energía. Cuando un

electrón tiene una energía como en 1, está fuertemente ligado a su núcleo y no podrá
desplazarse en la red cristalina. Cuando tiene energía como en 2, si podrá moverse por
la red (o sea al aplicar un campo eléctrico habrá flujo de corriente). Y, ¿Existe un
electrón con energía como en 3? Si, existe y lo que ocurre es que el electrón se va a
desprender del metal formando una nube de electrones que por medio de un campo
eléctrico redireccionamos la nube formando un haz; realizando, por ejemplo, la imagen
de un televisor de tubos cuando dicho haz choca con el fósforo que posee el televisor,
tornandose incandescente (tubo de rayos catódicos).
Como ya analizamos lo que ocurre con la conducción de los metales, ahora vamos a ver
cómo se trata en los cálculos un conjunto de electrones por medio de la estadística, ya
que no se puede estudiar el comportamiento de un electrón en particular. Como lo
realizamos con los gases, cuando se trato el tema, estudiamos el comportamiento de
los mismos por medio de la estadística de Boltzmann. Ahora como quiero estudiar el
comportamiento de un conjunto de electrones (que a diferencia de los gases posee
carga), nosotros ultilizamos la estadística de Fermi-Dirac debido a que consideramos
que el electrón tiene spin. Tambíen existe otra estadística que es de Bose-Einstein que
estudia partículas con carga pero sin spin. Lo que a nosotros nos interesa es calcular
cuántos electrones tienen una determinada energía, o sea a la hora de calcular los
electrones libres tenemos que ver cuántos electrones tienen un determinado nivel de
energía.
𝑑𝑛(𝐸) = ρ𝐸𝑑𝐸

𝐶antidad de electrones entre Función de distribución Diferencial de energía

E y E+dE de energía

La función de distribución de energía es:

ρ𝐸 = 𝑓(𝐸). 𝑁(𝐸)

Función de distribución Función probabilidad Densidad de estados

de energía de Fermi (0-1) posibles
1
Donde: 𝑓(𝐸) = (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑘𝑇
1+𝑒

Analizamos la gráfica de esta función y tenemos:

Independientemente de la temperatura cuando la energía de la particula es igual a la

de Fermi(𝐸 = 𝐸𝑓), la funcion probabilidad es 1/2.
Cuando la temperatura absoluta es T=0°K (gráfica azul) tengo:
Si 𝐸 > 𝐸𝑓🡪𝑓(𝐸)≃0

Si 𝐸 < 𝐸𝑓🡪𝑓(𝐸)≃1

Ahora supongamos que T≃300°K (gráfica roja), lejos del nivel de Fermi la gráfica es
similar, cerca de la enegía Fermi tendrá una forma más curva como se muestra en la
figura.
Por último, considerando T≃2000°K (gráfica verde) la función probabilidad se deforma
más quedando como se muestra en la figura.
Por otro lado, para deducir la función densidad de estados posibles, se requieren de
muchos conceptos fuera del curso, con lo cual, solo vamos a saber que es:

𝑁(𝐸) = σ 𝐸
3/2
4π.(2𝑚𝑒)
Dondeσ = 3 , es una constante.
ℎ

Ahora ya podemos obtener la cantidad de electrones libres, esto es los que tienen una
energía mayor a la de conducción:
∞
1
𝑑𝑛(𝐸) = ρ𝐸𝑑𝐸→ 𝑛(𝐸) = ∫ σ 𝐸 . (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑑𝐸
𝐸𝑐 1+𝑒 𝑘𝑇

Esta es la forma teórica de calcular pero como esta integral es muy difícil de resolver,
vamos a realizar un cálculo más sencillo. Si se
calcula a T=0°K:

𝐸𝑓 𝐸𝑓
2 3/2 2 3/2
𝑛(𝐸) = ∫ σ 𝐸 . 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 = ∫ σ 𝐸 . 1𝑑𝐸 = 3
σ𝐸𝑓 →𝑛 = 3
σ𝐸𝑓
0 0

Esto se debe a que al multiplicar la función probabilidad de Fermi por la de densidad

de estados (que es una constante por la raíz de la energía), y al tomar el caso particular
de cuando T=0°K (osea la función de probabilidad de Fermi es la azul) tenemos que
desde 0 a 𝐸𝑓𝑓(𝐸)tiene un valor de 1; y de 𝐸𝑓 a ∞ vale cero.

Al realizar este cálculo estamos obteniendo la cantidad de electrones total que tienen
alguna energía, entonces de este resultado podríamos obtener el valor de la energía de
Fermi 𝐸𝑓.
 3𝑛 2/3
𝑛=
2
3
3/2
σ𝐸𝑓 → 𝐸𝑓 = ( )
2σ

3
Donde n es la densidad de electrones por 𝑚 y σ es una constante.

Semiconductores
28
En un metal el número de electrones libres por metro cúbico ronda el orden de 10 ,
7
en cambio un aislante ronda 10 (dependiendo el material), con lo cual la diferencia de
20
electrones libres es aproximadamente 10 . No es que el aislante no tenga electrones
libres, sino que a comparación de un metal son muy pocos.
En electrónica vamos a trabajar con los materiales intermedios que son los
semiconductores, los mismos son los de el grupo 4 de la tabla periódica, básicamente
el Germanio Ge y el Silicio Si. Este grupo se caracteriza por tener cuatro protones y
cada uno tiene cuatro electrones como se
muestra en la figura. La particularidad es que los
electrones de los núcleos forman enlaces
covalentes (formando un vínculo fuerte entre
ellos). Teniendo en cuenta esto no debería haber
electrones libres, pero cuando el material se
encuentra a temperatura ambiente
estadísticamente el enlace se rompe quedando un
electrón libre y una carga positiva inmóvil
disponible llamada “hueco”, a este proceso se lo
denomina generación térmica. Así mismo, si se
mantiene T constante, se produce otro fenómeno llamado recombinación que consiste
en que un electrón libre que se traslada por el material encuentra un hueco y forma un
nuevo enlace covalente. Ahora bien, si aumenta la temperatura, se vuelve mas
energético el proceso, en consecuencia se produce más generación (como asi más
recombinación) pero en concreto va a ver mayor cantidad de electrones libres que
antes, volviendo al material más conductor. Al revés de lo que ocurre en un metal ya
que si aumento la temperatura se vuelve más resistivo debido a que aumenta la
colisiones de los electrones y tiene un velocidad promedio menor, en consecuencia se
hace menos conductivo.
El hueco, si bien es la ausencia de un electrón, es conveniente pensarlo como una
partícula, igual a un electrón pero positivo. Veamos:
Cuando se acerca una nube de electrones n, tenemos una alta probabilidad de que
algun electrón ocupe el lugar que dejó el electrón anterior (cuando se rompió el
enlace), luego ese electrón que ocupo el hueco a su vez dejó un hueco en otro lugar, en
concreto si hiciera un balance de lo que ocurrió diría finalmente el hueco se translado
de un lugar a otro.
Para aclarar esto, analicemos lo siguiente:
Supongamos que tenemos una caja con
electrones y un lugar vacío como se
muestra en la figura, al aplicar un campo eléctrico, lo que ocurre es que se van a
transladar todos a la derecha como se muestra. El resultado de esto fue que un eletrón
se movió de la izquierda hacia laderecha.
Ahora, al realizar la misma experiencia
pero esta vez poniendo un hueco en el
lugar vacío, tenemos como resultado que
el electrón fue intercambiado por el hueco con lo cual en el segundo caso tenemos
mayor corriente ya que se movió el electrón y tambien una carga positiva (el hueco
ayuda a la conducción).
Luego, como habíamos visto, al aplicar un campo eléctrico a un conductor la densidad
de corriente de electrones es:
𝐽 = 𝑒𝑛μ𝐸
Donde:
𝑛: Cantidad de electrones por unidad de volumen.
𝑒: Energía de un electrón.
µ𝑛: Movilidad de los electrones.

𝐸:Intensidad del campo eléctrico.

Ahora,teniendo en cuenta estos conceptos, tenemos que en un semiconductor es:
𝐽 = 𝑛 𝑒 µ𝑛 𝐸 + 𝑝 𝑒 µ𝑝 𝐸

Donde:
𝑝: Cantidad de huecos por unidad de volumen.
𝑒: Energía de un electrón.
µ𝑝: Movilidad de los huecos.

𝐸:Intensidad del campo eléctrico.

La constante de movilidad del hueco es levemente menor a la del electrón.
El material, hasta el momento, cumple que
𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 ya que se forman de a pares. Se
denomina material intrínseco, es decir, un
material puro y no es útil para construir
dispositivos electrónicos de semiconductores.
Seguimos trabajando con electrones, osea la
cuenta que vamos a hacer sigue siendo la
misma, pero al representar los gráficos de
energías tengo:
Si bien se pueden usar los dos materiales Ge y Si, tenemos que el Ge es muy sensible a
la temperatura debido a esto casi siempre se trabaja con Si y no con Ge.
 ∞
1
𝑑𝑛(𝐸) = ρ𝐸𝑑𝐸 = 𝑓(𝐸). 𝑁(𝐸) 𝑑𝐸🡪𝑛 = ∫ σ 𝐸 − 𝐸𝑐 . (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑑𝐸
𝐸𝑐 1+𝑒 𝑘𝑇

Ahora, al restrigirse al caso de temperatura ambiente (300°K) el producto

𝑘𝑇≃0, 03 𝑒𝑉
El nivel de enegía de Fermi se ubica aproximadamente en la mitad entre 𝐸𝑐 y 𝐸𝑣, ya que
me tiene que decir que (a temperatura ambiente) en el semiconductor hay algunos
electrones tienen una energía mayor a la de conducción.
Ahora, siendo así, 𝐸 − 𝐸𝑓≥0. 6𝑒𝑉 (en el Si)

Con lo cual como 𝐸 − 𝐸𝑓≫𝑘𝑇

(𝐸−𝐸𝑓)
𝑘𝑇
Tengo que 𝑒 🡪∞
Luego, podemos despreciar el 1 que suma con él en el denominador. Entonces,
∞ −(𝐸−𝐸𝑓) −(𝐸𝑐−𝐸𝑓)
𝑘𝑇 𝑘𝑇
𝑛 = ∫ σ 𝐸 − 𝐸𝑐 . 𝑒 𝑑𝐸🡪𝑛 = 𝑛𝑐 . 𝑒
𝐸𝑐

3/2
Donde, 𝑛𝑐 = 2 ( 2π. 𝑚. 𝑘. 𝑇
ℎ
2 ) es un número que depende de la temperatura.

Ahora, al tratar a los huecos como se lo estudia a los electrones, realizo los mismos
cálculos ya que el hueco se lo toma como que tiene las mismas características que un
electrón con carga positiva. Entonces,

( )
𝐸𝑣 𝐸𝑣
1
𝑝 = ∫ σ 𝐸𝑣 − 𝐸 . (1 − 𝑓(𝐸))𝑑𝐸 = ∫ σ 𝐸𝑣 − 𝐸 . 1 − (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑑𝐸
−∞ −∞ 1+𝑒 𝑘𝑇

( )
𝐸𝑣 (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑘𝑇
1+𝑒 −1
🡪𝑝 = ∫ σ 𝐸𝑣 − 𝐸 . (𝐸−𝐸 )
𝑓
𝑑𝐸
−∞ 1+𝑒 𝑘𝑇

Luego, se desprecia el 1 del denominador y despues de realizar los cálculos obtengo:

−(𝐸𝑣−𝐸𝑓)
𝑘𝑇
𝑝 = 𝑛𝑣 . 𝑒

Donde 𝑛𝑣es la misma constante con excepción de que la masa equivalente del hueco es
un poco distinta de la del electrón.
En resumen, obtuvimos el valor 𝑛 que es la cantidad de electrones libres que
rompieron enlaces covalentes y están disponibles para conducir; y 𝑝 que es la cantidad
de huecos que dejó ese mismo fenómeno. Si el material es intrínseco, estos dos
número toman el mismo valor y de esta forma puedo obtener el nivel de Fermi.
Entonces,
🡪𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖🡪𝐸𝑓 =
𝐸𝑐+𝐸𝑣
2
−
𝑘𝑇
2 ( )
𝑙𝑛
𝑛𝑐
𝑛𝑣

Como se puede decir que 𝑛𝑣 ≃ 𝑛𝑐tengo que el segundo término será cero, con lo cual,
podemos aproximar a la energía de Fermi como la mitad de la suma de la energía de
conducción más la de valencia.
Lo interesantes es que si multiplico estas dos cantidades, veré que no dependen de la
energía de Fermi, es decir:
−𝐸𝐺
𝑘𝑇 2
𝑛 . 𝑝 = 𝑛𝑐 . 𝑛𝑣 . 𝑒 = 𝑛𝑖 (cantidad de electrones intrínseco al cuadrado)

Este producto depende de la temperatura, con lo cual, al aumentar la temperatura

2
aumenta la cantidad 𝑛𝑖 .

Dopaje de semiconductores
Si a la red cristalina de silicio se agregan materiales
del grupo 5 de la tabla periódica (fósforo P,
antimonio Sb ó arsénico As) lo que ocurre es que
al tener 5 protones y 5 electrones el material hace
enlaces covalentes con sólo 4 electrones y por
consiguiente queda un electrón libre (a
temperatura ambiente adquiere una energía
suficiente para llegar a la banda de conducción).
Los procesos de generación de pares
electrón-hueco y recombinación de los mismos continúan, pero ahora hay más
electrones que huecos.
El material que se ve contaminado por átomos de material del grupo 5 se lo
denominan de TIPO N por ser n > p. Este proceso de contaminación se realiza con
silicio puro con un ambiente al vacío y a altas temperatura se le añade fósforo de modo
tal que queda homogéneo y se deja enfriar lentamente (cristalizándose).
Por el contrario, contaminando al Si ó Ge, con
materiales del grupo 3 de la tabla periódica (boro
B, galio Ga ó indio In), el núcleo del átomo del
material agregado tiene 3 electrones a su
alrededor que podrá formar 3 enlaces covalentes,
pero en una zona del átomo (derecha en el
dibujo) falta un electrón para formar el cuarto
enlace con el electrón que le sobra al Si o Ge, esa
falta del electrón sería un hueco, con lo cual un
electrón que estaría circulando podría recombinarse. Ahora p>n y el material se
denomona TIPO P
En concreto, si bien los materiales son eléctricamente neutros (quiere decir que el
hecho de que en un material se le agregaron átomos del grupo 5 y en el otro del 3 no
altera la neutralidad del material), en el caso que se agrega del grupo 3 hay más huecos
que electrones (𝑝 > 𝑛) y en otro caso hay más electrones que huecos (𝑛 > 𝑝) de allí
vienen sus nombres.
El hecho es que las propiedades del material se modifican sustancialmente al agregar
algún contaminante. Para tener una idea, con solo poner un átomo de impureza cada
100 millones de átomos de Si o Ge, la conductividad del material es 12 veces mayor.
Ahora bien, el estudio estadístico va a ser el mismo debido a que seguimos estudiando
electrones y huecos:
−(𝐸𝑐−𝐸𝑓)
𝑘𝑇
𝑛 = 𝑛𝑐 . 𝑒
−(𝐸𝑣−𝐸𝑓)
𝑘𝑇
𝑝 = 𝑛𝑣 . 𝑒

𝐸𝑐+𝐸𝑣
Para el material intrínseco (n=p), 𝐸𝑓 ≃ 2
,y
las áreas sombreadas de la figura son iguales.

Contaminación Donora ND
Si tenemos un material con impurezas del tipo N,
lo que ocurre es que tenemos más electrones
que huecos (𝑛 > 𝑝) al analizarlo con la
estadística de Fermi obtengo que el área superior
tiene que ser mayor que el área inferior (hay mas electrones libres que hayan superado
la banda de conducción que huecos en la banda de valencia), ahora la curva del nivel
de Fermi solamente depende de la temperatura osea que la única justificación es que

el nivel de Fermi estará próximo a la energía de conducción y la curva será la siguiente.

Contaminación Aceptora NA
Si tiene impurezas que son del grupo 3 (tipo P), tendrá más huecos que electrones (
𝑝 > 𝑛) con lo cual, el nivel de Fermi estará próximo a la energía de valencia resultando
que el área superior es más pequeña que el área inferior.

En breve vamos a realizar el desarrollo matemático y efectivamente encontrar el nivel

de Fermi en cada caso.Sin embargo, notamos que se mantienen las mismas fórmulas
para hallar las cantidades n y p pero ahora no son iguales.Lo interesante es que el
producto entre las cantidades n y p se mantiene igual al de un material intrínseco, es
2
decir se conserva. 𝑛 . 𝑝 = 𝑛𝑖

Caso general de contaminación

Suponiendo el caso general que se contamine el material con las dos sustancia de tipo
N y de tipo P (no se suele hacer en la vida real), el material sigue siendo neutro, al
realizar un balances de cargas se encuentran como cargas positvas al protón que sobra
de los enlaces de tipo N (cargas donoras 𝑁𝐷) y los huecos que hay producto de la
generación. Entonces:
𝑄𝑝 = 𝑁𝐷 + 𝑝

Y las cargas negativas son los electrones que sobran de los enlaces de de tipo P (cargas
aceptoras 𝑁𝐴), también estarían los electrones que hay producto de la generación.
Entonces:
𝑄𝑛 = 𝑁𝐴 + 𝑛

Luego, como el material es neutro: 𝑄𝑝 = 𝑄𝑛

Por otro lado, cuando los materiales se contaminan usualmente la totalidad de los
portadores provienen de las impurezas. Por pequeña que sea la contaminación, los
portadores de la misma son elevadamente superiores a los del material por generación
térmica. Entonces en un material de tipo N : (𝑛≃𝑁𝐷). Y si el material es de tipo P, la
cantidad de huecos que hay es básicamente igual a la contaminación aceptora que se
le agregó (𝑝≃𝑁𝐴).

Definiendo:
𝑛𝑛: Electrones en material N.

𝑝𝑛: Huecos en material N.

𝑝𝑝:Huecos en material P.

𝑛𝑝:Electrones en material P.

2
Y como sabemos que aún vale que: 𝑛 . 𝑝 = 𝑛𝑖

Si el material es de tipo N la cantidad de electrones va a ser aproximadamente igual a

la contaminación donora (𝑛𝑛 ≃ 𝑁𝐷)y la cantidad de huecos que va a tener ese material
2
𝑛𝑖
N es: 𝑝𝑛 = 𝑁𝐷
.

Si el material es de tipo P la cantidad de huecos va a ser aproximadamente igual a la

contaminación aceptora (𝑝𝑝 ≃ 𝑁𝐴) y la cantidad de electrones que va a tener ese
2
𝑛𝑖
material P es: 𝑛𝑝 = 𝑁𝐴
.

Ahora si, efectivamente, vamos a evaluar donde está el

nivel de Fermi para cada material, justificando la
suposiciones antes hechas. Entonces:
Si el material es de tipo N
−(𝐸𝑐−𝐸𝑓)

𝑛𝑛 ≃ 𝑁𝐷 = 𝑛𝑐 . 𝑒 𝑘𝑇
( )
🡪𝐸𝑓 = 𝐸𝑐 − 𝑘𝑇𝑙𝑛
𝑛𝑐
𝑁𝐷

Esta ecuación me dice que a mayor contaminación donora, el nivel de Fermi estará más
próximo a la energía de conducción.
Si el material es de tipo P
−(𝐸𝑣−𝐸𝑓)

𝑝𝑝 ≃ 𝑁𝐴 = 𝑛𝑣 . 𝑒 𝑘𝑇
🡪𝐸𝑓 = 𝐸𝑣 + 𝑘𝑇𝑙𝑛 ( )
𝑛𝑣
𝑁𝐴

Esta ecuación me dice a mayor contaminación aceptora, el

nivel de Fermi estará más próximo a la energía de valencia.

Corrientes de difusión
Contaminando a un material se modifican mucho sus propiedades eléctricas ya que se
vuelve más conductor, se apróxima más a un metal, posee más portadores libres ya sea
de un tipo o de otro. Ahora bien, para que halla flujo de corriente (osea que se muevan
esos portadores) la única forma que vimos de hacerlo fue aplicarle un campo eléctrico
externo, pero no es la única manera que se puede producir corriente en un
semiconductor u otro material.

Difusión de huecos
Supongamos que hay un material que tiene una distribución
de huecos como se muestra la figura (o sea que hay más
concentración en una zona que otra) y lo ocurre es que los
huecos van a tender a moverse hasta distribuirse de forma
que quede en equilibrio (distribución pareja), lo mismo que
pasaría con un gas donde pasa de un lugar de mayor a
menor presión, al suceder esto se producirá corriente J que dependerá del gradiente
de la distribución.
→ 𝑑𝑝→
𝐽 =− 𝐷𝑝 . 𝑑𝑥
. 𝑒

2
Donde 𝐷𝑝[𝑚 /𝑠] es una constante, y el signo menos es porque la corriente es positiva
y el gradiente negativo con respecto al eje x.

Difusión de electrones
Para la corriente de difusión de electrones es lo mismo pero
sin el signo negativo
→ 𝑑𝑛→
𝐽 = 𝐷𝑛 . 𝑑𝑥
. 𝑒

2 2
Las constantes de difusión 𝐷𝑛[𝑚 /𝑠] y 𝐷𝑝[𝑚 /𝑠] son
prácticamente iguales.
Ahora bien, en el CASO GENERAL en un semiconductor donde podría haber
concentraciones distintas de huecos o electrones en alguna parte del material vamos a
tener una corriente de difusión que será la suma de las dos, es decir:
→
(
𝐽 = 𝑒. 𝐷𝑛 .
𝑑𝑛→
𝑑𝑥
− 𝐷𝑝 .
𝑑𝑝→
𝑑𝑥 )
Donde 𝐷𝑛 ≃ 𝐷𝑝

Supongamos que tenemos una barra de un material

contaminado tipo N, (más electrones que huecos)
La barra en cuestión está en equilibrio termodinámico
sin ninguna excitación externa como un campo
eléctrico, con lo cual los portadores del material están
estables estadísticamente. En un gráfico de
concentración en función del tiempo, habrá mayor
cantidad de electrones 𝑛𝑛𝑜debido a que es un material
de tipo N, y una menor cantidad de huecos 𝑝𝑛𝑜
(donde el subíndice ‘n’ representa que es un
material de tipo N y el ‘o’ que es un material en
equilibrio). Ahora al excitar el material con luz o
calor, se le suministra energía, por lo que aumentan
las velocidades de generación y recombinación. El
nuevo estado de equilibrio temporal tendrá 𝑛𝑛𝑜
electrones y 𝑝𝑛𝑜 huecos.
Si se analiza la cantidad de huecos (con los electrones sería similar) desde el momento
que se deja de iluminar al material, es intuitivo que se vueve al equilibrio original,
disminuyendo la cantidad de huecos del valor 𝑝𝑛𝑜 a 𝑝𝑛𝑜

La evolución de la curva es una exponencial decreciente como en casi todos los

fenómenos físicos. Luego la ecuación que representa dicho comportamiento es:
−𝑡

𝑝𝑛(𝑡) = 𝑝𝑛𝑜 + 𝑝𝑛𝑜 − 𝑝𝑛𝑜 𝑒 ( ) τ

−𝑡

(
🡪𝑝𝑛(𝑡) − 𝑝𝑛𝑜 = 𝑝𝑛𝑜 − 𝑝𝑛𝑜 𝑒 ) τ

Donde τ[𝑠] es la constante de tiempo.

En general, se puede decir que la ecuación dada nos relacionael exceso de huecos en
cualquier momento con el exceso cuando se deja de aportar energía (el cual decrece
en forma exponencial). Es decir,
−𝑡
τ
∆𝑝𝑛(𝑡) = ∆𝑝𝑛𝑜 . 𝑒

Ahora quiero ver como es la razón de cambio de el exceso de huecos en cada

momento, entonces al derivar esta ecuación respecto al tiempo tengo:
−𝑡 −𝑡
𝑑(𝑝𝑛(𝑡)−𝑝𝑛𝑜) ∆𝑝𝑛(𝑡)
𝑑𝑡
= −
1
τ (𝑝
𝑛𝑜
− 𝑝𝑛𝑜 𝑒 🡪) τ
𝑑𝑡
= −
1
τ
∆𝑝𝑛𝑜 𝑒 τ
=−
1
τ
∆𝑝𝑛(𝑡)

∆𝑝𝑛(𝑡) 1
🡪 𝑑𝑡
=− τ
∆𝑝𝑛(𝑡)

Con lo cual, la constante τ representa (en

promedio) cuanto vive un portador libre
antes de recombinarse ya que cuando se
deja de entregar energía al material hay
muchos portadores libres los cuales
comienzan a recombinarse al ritmo
1
− τ
∆𝑝𝑛(𝑡) hasta llegar al exceso cero, y el
material queda en equilibrio como estaba
antes de entregarle energía.

Ecuación de Continuidad de cargas

Contempla todos los fenómenos que pueden
ocurrir en el material. Supongamos que tenemos
un elemento de ancho dx y área A, y analizamos
que ocurre con sus huecos. Por una cara del cubo
entra una corriente I y por la otra cara paralela sale
una corriente I+dI, también se contempla la
existencia de un campo eléctrico.
El balance de cargas da como resultado:
1)Recombinación: Es un proceso en el cual los huecos se pierden producto de que
recombinan con los electrones que están dentro del material de forma exponencial
como lo estudiamos. Esto significa que la carga positiva disminuye y la misma vale:
𝑝 𝑝 𝑝
𝑄1 = τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = τ𝑝
𝑒 𝑉🡪𝑄1 = τ𝑝
𝑒𝑉 [𝐶/𝑠]

2)Generación: En este proceso los huecos se generan producto de la generación

térmica dentro del material. Esto significa que la carga positiva aumenta y la misma
vale:
𝑄2 = 𝑔 𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑒 𝑉🡪𝑄2 = 𝑔 𝑒𝑉 [𝐶/𝑠]

Donde 𝑔 es la velocidad de generación.

3)Corriente: En este proceso, entra una corriente que entra I y sale otra corriente I+dI,
teniendo en cuenta que vemos a la corriente como un movimiento de cargas positivas
(por estar analizando los huecos) vemos que sale una cantidad mayor de portadores
positivos de lo que entra, con lo cual, la corriente disminuye en un valor dI:
Ahora bien, ya analizamos todo lo que ocurre con la carga, entonces la variación
temporal de la cantidad de carga debido a los huecos presentes en el material es:
𝑑𝑝 𝑝
𝑑𝑡
𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑒 𝐴 𝑑𝑥 − 𝑑𝐼 − τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥

Ahora, la corriente presente tiene dos formas de ser causada, una posibilidad es que
haya sido producto de la presencia de un campo eléctrico y la otra sería debido a una
concentración mayor en una parte del material que otra, proceso que genera una
corriente de difusión. Entonces:
𝑑𝑝
𝐼 =− 𝐴 𝑒 𝐷𝑝 𝑑𝑥
+ 𝐴 𝑒 𝑝 µ𝑝 𝐸

( ) ( )𝑑𝑥
2
𝑑𝐼 𝑑 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑(𝑝𝐸)
𝑑𝐼 = 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
− 𝐴 𝑒 𝐷𝑝 𝑑𝑥
+ 𝐴 𝑒 𝑝 µ𝑝 𝐸 𝑑𝑥 = − 𝐴 𝑒 𝐷𝑝 2 + 𝐴 𝑒 µ𝑝 𝑑𝑥
𝑑𝑥

( )𝑑𝑥
2
𝑑𝑝 𝑑(𝑝𝐸)
🡪𝑑𝐼 = − 𝐴 𝑒 𝐷𝑝 2 + 𝐴 𝑒 µ𝑝 𝑑𝑥
𝑑𝑥

Falta analizar cuánto es la velocidad de generación 𝑔, entonces supongo que en un

momento la barra está en equilibrio (no hay campo eléctrico, no hay corriente, no hay
variaciones espaciales y no hay variaciones temporales) tenemos que:
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 0 , ya que no hay variaciones temporales

𝑑𝐼 = 0 , ya que no hay corriente

𝑝 𝑝
0 = 𝑔 𝑒 𝐴 𝑑𝑥 − τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥🡪𝑔 𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥🡪𝑔 = 𝑝𝑜/τ𝑝

Con lo cual la variación temporal de la cantidad de carga debido a los huecos presentes
en el material es:
𝑑𝑝 𝑝
𝑑𝑡
𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑒 𝐴 𝑑𝑥 − 𝑑𝐼 − τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥

𝑝𝑜
( )𝑑𝑥 −
2
𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑(𝑝𝐸) 𝑝
𝑑𝑡
𝑒 𝐴 𝑑𝑥 = τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥 − − 𝐴 𝑒 𝐷𝑝 2 + 𝐴 𝑒 µ𝑝 𝑑𝑥 τ𝑝
𝑒 𝐴 𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝑝𝑜
( )−
2
𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑(𝑝𝐸) 𝑝
𝑑𝑡
= τ𝑝
− − 𝐷𝑝 2 + µ𝑝 𝑑𝑥 τ𝑝
𝑑𝑥

𝑑𝑝 𝑝𝑜 𝑝 𝑑𝑝
2
𝑑(𝑝𝐸)
𝑑𝑡
= τ𝑝
− τ𝑝
+ 𝐷𝑝 2 − µ𝑝 𝑑𝑥
𝑑𝑥

Finalmente, la ecuación de continuidad de cargas de los huecos es:

𝑑𝑝 (𝑝−𝑝𝑜) ∂𝑝
2
∂(𝑝𝐸)
𝑑𝑡
=− τ𝑝
+ 𝐷𝑝 2 − µ𝑝 ∂𝑥
∂𝑥

Para los electrones es análoga, la única diferencia son las constantes que tendrían un
subindice ‘n’ ya que no son iguales para un electrón que para un hueco.
Estamos en condiciones de analizar con mayor detalle el caso de la
barra iluminada, ya que anteriormente supusimos que la
concentración de huecos iba a caer en forma exponencial hasta la
concentración de equilibrio luego de dejar de iluminarla, y ahora lo
obtenemos analíticamente. Tomamos la barra con una
determinada cantidad de huecos en equilibrio 𝑝𝑜, sin importar que el material sea tipo
N o P, iluminamos, dejamos que llegue a un nuevo equilibrio y luego detenemos la
iluminación. Entonces, la ecuación de continuidad es:
∂(𝑝𝐸)
µ𝑝 ∂𝑥
= 0 , ya que no hay variaciones del campo eléctrico (de hecho no hay campo
eléctrico presente de acuerdo a las condiciones propuestas).
2
∂𝑝
𝐷𝑝 2 = 0 , ya que no hay variaciones espaciales de huecos.
∂𝑥

Con lo cual, la ecuacón de continuidad se reduce a una ecuación diferencial de 1er

orden que es:
𝑑𝑝 (𝑝−𝑝𝑜)
𝑑𝑡
+ τ𝑝
= 0

Donde las condiciones iniciales son:𝑝(0) = 𝑝𝑜 y 𝑝(∞) = 𝑝𝑜. Resolviendo esta ecuación
en forma general tenemos que:
−𝑡

𝑝(𝑡) = 𝑝𝑜 + 𝑝𝑜 − 𝑝𝑜 𝑒 ( ) τ

Otro ejemplo en el cual podemos aplicar la ecuación de continuidad de carga es:

Tenemos una barra (de algún material tipo N o P) como
la que se muestra en la figura y en uno de sus extremos
la iluminamos en forma permanente, suponemos que la
longitud varía como lo indica en la figura y voy a analizar
los huecos o electrones (sería el mismo procedimiento). Los portadores varían
espacialmente y no en el tiempo, ya que al tener concentrada la luz en un extremo
tenemos en esa zona mayor cantidad de huecos que el otro extremo y.se llega a una
distribución estática. Entonces,
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 0 , ya que no hay variaciones temporales.

∂(𝑝𝐸)
µ𝑝 ∂𝑥
= 0 , ya que no hay variaciones del campo eléctrico (de hecho no hay campo
eléctrico presente de acuerdo a las condiciones propuestas).
Luego, la ecuación de continuidad queda:
2
𝑑𝑝 (𝑝−𝑝𝑜)
𝐷𝑝 2 − τ𝑝
=0
𝑑𝑥

La forma mas cómoda de resolver esta ecuación es ver que derivar a “𝑝” en función de
“𝑥”, es lo mismo derivar a “(𝑝 − 𝑝𝑜)” en función de “𝑥”.Entonces,
2
𝑑 (𝑝−𝑝𝑜) (𝑝−𝑝𝑜)
2 = τ𝑝𝐷𝑝
𝑑𝑥

Luego para hallar la solución planteo la característica y tengo:

2 1
𝑟 − τ𝑝𝐷𝑝
= 0

1 1 1 1
𝑟1 = = 𝐿𝑝
𝑟2 =− =− 𝐿𝑝
τ𝑝𝐷𝑝 τ𝑝𝐷𝑝

Por lo tanto, la solución general es:

𝑥 −𝑥

(𝑝 − 𝑝𝑜)(𝑥) = 𝐴𝑒
𝐿𝑝 𝐿𝑝
+ 𝐵𝑒

) (
Donde 𝐿𝑝 tiene unidades de distancia, y como 𝑝 − 𝑝𝑜 (𝑥)→∞ , cuando 𝑥→∞
necesariamente 𝐴 = 0 sino no tendría sentido físico ya que (𝑝 − 𝑝𝑜)(∞) = 𝑝𝑜. La otra
condición de contorno es que (𝑝 − 𝑝𝑜)(0) = 𝑝𝑜 entonces,
−0

(𝑝 − 𝑝𝑜)(0) = 𝐵𝑒
𝐿𝑝
= 𝑝𝑜🡪𝐵 = 𝑝𝑜 − 𝑝𝑜

Finalmente el comportamiento de las cargas sería:

−𝑥

(𝑝 − 𝑝𝑜)(𝑥) = (𝑝𝑜 − 𝑝𝑜)𝑒

𝐿𝑝

Esta ecuación, nos dice que el exceso para 𝑥 = 0

(osea cuando la barra esta iluminada) es (𝑝𝑜 − 𝑝𝑜)
y el mismo va a disminuir de forma exponencial
con una constante de longitud. Si lo queremos ver
en valores absolutos y no en exceso sería:
 −𝑥
𝐿𝑝
(𝑝)(𝑥) = 𝑝𝑜𝑒