ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

Presentado a:
JAIDER ENRIQUE BLANCO GAMARRA

Tutor(a): JAIDER ENRIQUE BLANCO GAMARRA

Entregado por:

JEISON FABIAN VARGAS ARIAS

Código: 1057465103
Grupo: 335

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
SEPTIEMBRE/2022
 INTRODUCCIÓN

Este trabajo se realiza bajo la necesidad de obtener un conocimiento claro de las distintos tipos de
ecuaciones diferenciales de primer orden que podemos sustentar, con ello se busca a partir del
desarrollo de varios ejercicios orientados al fortalecimiento y obtención de las técnicas y leyes
de procedimientos que se deben aplicar para la resolución de los tipos de ecuaciones que se verán
en la unidad a trabajar; siendo así con esta actividad logramos adquirir un poco más de destreza
en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden aplicando diferentes métodos de
acuerdo al tipo de ecuación diferencial a evaluar. El interpretar problemas teóricos y prácticos
nos permite poder solucionar diferentes problemáticas que se nos van presentando a lo largo de
nuestra vida diaria
 OBJETIVO GENERAL

El objetivo general de este trabajo es la aplicación de las distintas formas de solución que se nos
presentan en los ejercicios de ecuaciones de primer orden que se observan en la unidad de
estudio, con el desarrollo de ejercicios prácticos y con el fortalecimiento teórico dado por el tutor
podemos encontrar distintas formas de solución a las ecuaciones diferenciales propuestas en la
guía de actividades

OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables
separables, homogéneas, exactas,
 Elaborar un video explicativo de uno de los ejercicios realizados en la tarea buscando el
método mas apropiado para su desarrollo
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios

Nombre del Letra Asignada Ejercicio 6
estudiante ejercicios 1 al 5
Jeison Fabian C 5C
Vargas Arias
 EJERCICIOS PARA DESARROLLAR

EJERCICIO 1. ED VARIABLES SEPARABLES

π π
()
a) ENUNCIADO EJERCICIO: sen ( 2 x ) dx +cos ( 3 y ) dy=0, donde y 2 = 3 .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

sin ( 2 x ) × dx=−cos (3 y ) × dy Hacemos la separación de variables que

sean separables

∫ sin ( 2 x ) × dx=∫−cos ( 3 y ) × dy Aplicamos las integrales en los dos lados

de la igualdad
−cos 2 x −sin 3 y Resolvemos las integrales
= +C
2 3
cos 2 x sin 3 y Simplificamos el negativo de ambos lados
= +C
2 3
cos 2 x Sustituimos la igualdad y despejamos la
sin 3 y +C
2 variable y

−1 cos 2 x aplicamos seno inverso

3 y=sin ( +C)
2

( )
Despejamos la variable y
π
3 =sin−1
cos 2( ) +C
π
2
3 2

( )
Desarrollamos con las instrucciones

π=sin−1
cos 2 ( ) +C
π
2 iniciales
2

π=sin−1 ( −1
2
+C ) simplificamos

−1 Resolvemos la ecuación
sin π= +C
2
 y=
(
sin−1 C 1+
3cos 2 x
2 )+π Obtenemos el resultado

3 3

EJERCICIO 2. ED PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS

ENUNCIADO EJERCICIO:

( x + y sen ( ))
y
x
dx −x sen
y
x ()
dy=0, y ( 1 )=
π
4

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

f ( tx ,ty )=¿ Determinamos si la ED es homogénea , por

ello se verifica que:
t¿
n
f ( tx ,ty )=t f (x ,t )
t¿
Tenemos que es homogénea de grado 1
¿ Despejamos los términos

y=ux → dy=udx + xdu Aplicamos un cambio de variable

( ( )) ( )
ux ux Aplicamos los cambios en la ED
x +ux sin dx=x sin ( udx+ xdu )
x x

( x +ux sin ( u ) ) dx=x sin (u) ( udx + xdu ) Simplificamos x

2
xdx +ux sin (u)dx =ux sin (u)dx + x sin (u)du Realizamos la distribución de términos

2
xdx=x sin(u) du Simplificamos ux sin (u ) dx
 dx Aplicamos variables separables
=sin(u)du
x
dx Aplicamos la integral en ambos lados
∫ x
=∫ sin(u) du

ln ( x )=−cos ¿ Resolvemos las integrales inmediatas

Y −1 −1 Identificamos la igualdad y usamos coseno

=cos ( −ln ( X ) ) +cos ( C )
X a la inversa

Y =x [ cos−1 ( −ln ( X ) ) + K ] Se despeja la variable y, realizamos K=

−1
cos (c ) obtenemos la solución de la ED

π Procedemos a usar las condiciones iniciales

=1 [ cos (−ln ( 1 ) ) + K ]
−1
4
π −1 Resolvemos la ecuación para encontrar el
=cos ( 0 ) + K
4 valor de K
π π
= +K
4 2
−π Obtenemos el resultado del valor de K
K=
4

[
Y = X cos−1 (−ln ( X ) )−
π
4 ] Reemplazamos el valor de K en la solución
de la ED
EJERCICIO 3. ED EXACTAS Y POR FACTOR INTEGRANTE.

a) ENUNCIADO EJERCICIO: 2 x dx + x 2 cot ( y ) dy =0.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

DM DN Primero se debe identificar si la ED es exacta

=0 =2 X cot ( Y )
DY DX
DM DN Tenemos el factor integrante
−
Dy Dx
P ( X )=
N

m ( x ) =e∫
p ( x ) dx

0−2 x cot ( y ) Tomamos con el factor integrante

p ( x )=
x 2 cot ( y )
−2 Simplificamos, como queda en términos de x
p ( x )=
x determinamos que si aplica como factor integrante.

∫ −2
x
dx Calculamos el m(x) factor integrante
m ( x ) =e
 −2 ln x
m ( x ) =e
1
m ( x) = 2
x
2
2 xdx x cot ( y ) dy Multiplicamos en la ED indicada
+ =0
x2 x2
2 dx Simplificamos para verificar si la ED es exacta
+cot ( y ) dy=0
x
DM DN
=0 =0
Dy x
Ahora si es exacta
2 dx Procedemos a calcular f(x,y)
f (x , y )=∫ + g( y )
x

f (x , y )=2 ln ( x ) +g ( y ) Resolvemos la integral

f y =0+ g ´ ( y ) =cot ( y ) Se calcula fy

Ahora g ´ ( y )=cot y

∫ g ´ ( y )=∫ cot ( y ) dy Aplicamos la integral de ambos lados

g ( y )=ln|sin ( y )| Resolvemos la integral

f ( x , y )=2 ln ( x )+ ln |sin ( y )| Procedemos a reemplazar los resultados en f(x,y)

C=ln ( x ) +ln |sin ( y )| Ahora igualamos la ED en una constante C

 EJERCICIO 4. ED LINEALES DE PRIMER ORDEN
dy 8
a) ENUNCIADO EJERCICIO: dx − y=sen(2 x ), donde y (0)= 5 .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

p ( x )=−1 Se calcula p(x)

m ( x ) =e∫ Ahora utilizamos el siguiente factor

p ( x ) dx

inteligente
 m ( x ) =e∫
−1 dx

m ( x ) =e−x

−x dy −x −x Multiplicamos la ED por el factor

e −e y=e sin ( 2 x )
dx inteligente

Se prueba cone− x y Debemos aplicar la regla de la

multiplicación
−x −x dy
e y +e
dx
−x dy −x
Ahora obtenemos e −e y
dx
d −x
Multiplicamos [ e y ]=e−x sin ( 2 x )
dx
d resolvemos
∫ dx [ e−x y ]=∫ e−x sin ( 2 x ) dx
∫ e−x sin ( 2 x ) dx Procedemos a aplicar la integral de los 2
lados, debemos solucionarla de forma
individual, tenemos operaciones
inversas, y la otra se soluciona
integrando por partes

u=sin ( 2 x ) , du=2 cos ( 2 x ) Integramos por partes

−x −x
dv =e , v=−e

∫ e−x sin ( 2 x ) dx=−sin ( 2 x ) e− x −∫ −e−x 2 cos ( 2 x ) dx Ahora por sustitución

∫ e−x sin ( 2 x ) dx=−sin ( 2 x ) e− x +2 ∫−e− x 2 cos ( 2 x ) dx

u cos ( 2 x ) ,du=−2 sin ( 2 x ) Se integra por partes
−x −x
dv =e , v=−e

¿−sin ( 2 x ) e +2 [−cos 2 x−∫ −e −2 sin ( 2 x ) ]

−x −x

∫ e−x sin ( 2 x ) dx
¿−sin ( 2 x ) e −2cos ( 2 x ) e −4 ∫ e sin ( 2 x ) dx
−x −x −x

5∫ e sin ( 2 x ) dx=−sin ( 2 x ) e −2 cos ( 2 x ) e

−x −x −x
Procedemos a realizar suma de
semejantes obteniendo
 −1 −x Procedemos a despejar la integral
∫ e−x sin ( 2 x ) dx= 5
e ( sin ( 2 x ) +2 cos ( 2 x ) +C )
obteniendo:
d
∫ dx [ e−x y ]
d Obtenemos operaciones inversas
∫ dx [ e−x y ]=e−x y
−x −1 −x Procedemos a integrar para igualar
e y= e ( sin (2 x ) 2cos ( 2 x ) ) +C
5

Y =e X ( −15 e −x
( sin ( 2 x ) 2 cos ( 2 x ) ) +C ) Despejamos la variable y

(
8 0 −1 −0
5
=e
5
e ( sin ( 2 ( 0 ) ) 2 cos ( 2 ( 0 ) ) ) +C ) Procedemos a sustituir
condiciones iniciales dadas
con las

8 −1 Procedemos a encontrar el valor de la

= ×1 ( 0+2.1+C )
5 5 constante
8 −2 C
= −
5 5 5
C=−10.1

Y =e X ( −15 e −x
( sin ( 2 x )+ 2cos ( 2 x ) )−10.1 ) Sustituimos C en la solución de la ED
 EJERCICIO 5. APLICACIONES DE LAS ED DE PRIMER ORDEN.
PREGUNTAS ORIENTADORAS RAZÓN O EXPLICACIÓN
1. ¿Cuál es el enunciado del c) Aplicación de modelo de enfriamiento de
problema que me corresponde Newton: En un automóvil que ha estado en movimiento
resolver? se apaga su motor, en ese instante su temperatura es de
98°C y el medio en que se encuentra se conserva a
21°C. Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado
a 88°C, encuentre el instante en el cual la temperatura
del motor es de 35°C.
2. ¿Cuál sería el bosquejo, diagrama t: Tiempo en minutos v i
o gráfica qué explique la situación
T (t )Temperatura en t minutos
problema planteada?
Datos del problema:
Cuando: t = O
T (0 )= 98ºC T ( A )= 21 ºC

Cuando: t = 10
T (10) ) = 88ºC

3. ¿Cuál es la ecuación diferencial Esta dada por la siguiente ecuación diferencial

que modela la situación
problema? dT
=K ( T −T A )
dt

Donde:

T: es la temperatura en el instante t
TA: es la temperatura ambiente
K: es la constante de desintegración
4. ¿Cuál es el método utilizado para Al apagar un motor su temperatura es de 98ºC y el
encontrar la solución general y (t )
medio en que se encuentra se conserva a 21 ºC. Si
de la ecuación diferencial?
( Detalle paso a paso de Este
metodo después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88ºC,
se encuentra:

a) La temperatura del motor como función del

tiempo.
b) El instante en la cual su temperatura es de
35ºC.

Solución
t: Tiempo en minutos
T (t )Temperatura en t minutos

Datos del problema:

Cuando: t = O
T (0 )= 98ºC T ( A )= 21 ºC

Cuando: t = 10
T (10) ) = 88ºC

Por variable separable

dT
=K ( T −21 )
dt

dT
∫ T −21 =∫ Kdt
ln T −21= Kt + A

ln ( T −21 ) Kt A
e =e ×e
ln ( T −21 ) Kt
e =e × P
Kt
T −21=e × P
 Kt
T =e × P+21…Ecuación general

Reemplazamos los datos obtenidos

K (0)
T 0=e × p+21

88-21=77× e K (10)

ln ( 6777 ) ln (e K (10)
)

K=0.013911

T t= Et (0.013911) ×77+21

Ecuación en función de tiempo

Nos piden hallar en tiempo cuando T=35°C

t ( 0.013911 )
35=E × 77+21

T=122.54

5. De acuerdo con la pregunta del Para llegar a una solución particular se debe dar un
problema planteado, ¿cuáles son valor específico para la variable (t) , este valor se
los procedimientos algebraicos sustituye en la solución general de tal manera que nos
necesarios para llegar a la dé un valor para la temperatura en un instante (t)
solución particular y 0 ( t 0 )? determinado

6. ¿Por qué esta solución particular Para cada valor de tiempo habrá un valor temperatura.
encontrada en el anterior ítem es
la solución de este problema?
Una solución particular es cuando se da un determinado
valor de tiempo tratando de hallar un valor de la
temperatura; dicho valor de temperatura es la solución a
cualquier problema planteado dependiendo del valor de
la variable de tiempo.

EJERCICIO 6 . VIDEO DE SUSTENTACIÓN

Nombre Estudiante Ejercicios Link video explicativo

 sustentados

Jeison Fabian Vargas 5C. https://somup.com/c36nI8UPFn

Arias

EVIDENCIAS APORTES AL FORO

 N° PANTALLAZO
EVIDENCI
AS
APORTE 1:

APORT
E 2:
APORTE 3:
 CONCLUSIONES

 Para resolver ecuaciones diferenciales de primer no hay ningún método sistemático; lo

que debemos hacer es clasificarlas y resolverlas según el método existente para cada tipo.

 Se pudo obtener un control y conocimiento claro sobre los diferentes tipos de ecuaciones

diferenciales de primer orden que encontramos en la guía actividades, así mismo se buscó

la solución más razonable al problema de estudio planteado en la guía.

 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Métodos algebraicos para la solución de ecuaciones matemáticas.

 Bahena Román, H. & Bahena Román, H. (2018). Álgebra. Grupo Editorial Patria. (pp. 180-240).
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40186?page=180Funciones
polinomiales y racionales

 Hostetler, R. & Larson, R. (2008). Precálculo. (7a. ed.).. Editorial Reverté. (pp. 150-170).
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46801?page=150

Funciones exponencial y logarítmica

 Hostetler, R. & Larson, R. (2008). Precálculo. (7a. ed.).. Editorial Reverté.. (pp. 240-257).
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46801?page=240

Funciones trigonométricas

 Hostetler, R. & Larson, R. (2008). Precálculo. (7a. ed.).. Editorial Reverté. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46801?page=337

Métodos de derivación.

 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Instituto Politécnico Nacional. (pp. 115-
147). https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/72661

Métodos de integración.

 Rivera Figueroa, A. (2015). Cálculo integral: sucesiones y series de funciones. Grupo Editorial
Patria. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39431?page=88

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

 García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. (pp. 2-10).
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=2

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

 García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria (pp. 32-39).
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=32
Aplicación de las ecuaciones de primer orden

 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Ecoe Ediciones. (pp. 53-
58). https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=5

 En este recurso digital se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la
Unidad 1 - Ecuaciones diferenciales de primer orden, con el objetivo de facilitar el
reconocimiento de los diferentes elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento
de los objetivos cognitivos del curso.

 Moreno, J. (2016). Método factor integrante para la solución de ecuaciones diferenciales.

[video]. Repositorio Institucional UNAD.https://repository.unad.edu.co/handle/10596/8445

 López, H. (2020). Ecuaciones diferenciales homogéneas. [video]. Repositorio Institucional UNAD.

https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33571

 Martínez, D. (2020). Ecuaciones diferenciales variables separables. [video]. Repositorio

Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33662

 Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. [video].

Repositorio Institucional UNAD. http://hdl.handle.net/10596/7384