Funciones

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias
Sociales I
1º Bachillerato
Capítulo 3: Funciones
LibrosMareaVerde.tk
www.apuntesmareaverde.org.es
Autor: José Gallegos Fernández

Revisor: Javier Rodrigo
Ilustraciones: José Gallegos Fernández
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Funciones
Índice
1. TIPOS DE FUNCIONES
1.1. FUNCIONES EN FORMA DE TABLA, GRÁFICA O EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1.2. FUNCIONES RACIONALES
1.3. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA
1.4. FUNCIÓN RAÍZ
1.5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1.6. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA
2. OPERACIONES CON FUNCIONES

2.1. OPERACIONES BÁSICAS
2.2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
2.3. FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA
3. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

3.1. DOMINIO
3.2. RECORRIDO O IMAGEN
3.3. SIMETRÍAS
3.4. PERIODICIDAD
3.5. PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES
3.6. SIGNO
Resumen
El concepto de función es bastante abstracto, lo que hace complicada su definición y comprensión. Sin
embargo, sus aplicaciones son múltiples y muy útiles, ya que sirven para explicar muchos fenómenos
que ocurren en campos tan diversos como la Física, la Economía, la Sociología…
A pesar de su complejidad a nivel teórico, algunas características que
poseen las funciones se entienden fácilmente cuando se representan
gráficamente, porque resultan entonces muy intuitivas. En este capítulo
vamos a ser capaces de interpretar funciones dadas como gráficas.
En este capítulo vamos a intentar profundizar más en las propiedades y características de las funciones,
así como en sus aplicaciones. También vamos a reconocer algunos tipos de funciones, como las
funciones polinómicas, raíz, logarítmica, exponencial…, analizando sus propiedades.
En particular estudiaremos la interpolación y extrapolación lineal y cuadrática ajustando una recta o
una parábola a una tabla de valores.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 3: Funciones Autor: José Gallegos Fernández
LibrosMareaVerde.tk Revisor: Javier Rodrigo
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Funciones
1. TIPOS DE FUNCIONES
1.1. Funciones en forma de tabla, gráfica o expresión algebraica
Recuerda que:
En tercero y en cuarto de ESO ya estudiaste el concepto y las características de una función. Como es
muy importante, vamos a insistir y a profundizar en ello.
Ya sabes que una función puede venir dada principalmente de tres formas:
Funciones en forma de tabla

Si recogemos los datos de un experimento obtenemos una tabla de valores, como por ejemplo:
Ejemplo:
Soltamos una pelota desde 10 m de altura y medimos el espacio recorrido (en segundos).
Obtenemos entonces la tabla siguiente:
Espacio (m) 0 0’2 0’5 0’8 1 1’2 1’4 1’43
Tiempo (s) 0 0’2 1’13 3’14 4’9 7’06 9’16 10’00
Cuando la función viene dada por una tabla de valores únicamente conocemos algunos valores de x con
sus correspondientes valores de y. Si deseamos estimar el valor de y para algún x que no figure en la
tabla debemos recurrir a interpolaciones y extrapolaciones, que estudiaremos en el apartado 1.3.
Funciones en forma de expresión algebraica

Conoces muchas fórmulas que pueden dar origen a funciones.
Ejemplo:
El volumen de líquido contenido en un cilindro de 3 cm de radio al variar la altura x del líquido.
y = 9x
Funciones en forma de gráfica

A veces la gráfica de una función puede obtenerse directamente del
fenómeno estudiado mediante un aparato.
Ejemplo:
Un electrocardiograma es una
función que indica la variación del
potencial eléctrico del corazón al transcurrir el tiempo.
Un sismograma indica la variación de la velocidad y
aceleración de las ondas producidas por un terremoto.
Otras veces la obtendremos de su expresión analítica o de la función dada como tabla. Pero hay que
advertir que, como en los ejemplos anteriores de electrocardiograma o sismograma, en ocasiones no es
posible conocer la expresión analítica
112
Funciones
Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a un valor cualquiera de una (variable
independiente) le hacemos corresponder, como mucho, un único valor de la otra (variable
dependiente).
Para indicar que la variable (y) depende o es función de otra, (x), se usa la notación y = f(x), que se lee
“y es la imagen de x mediante la función f”.
Una función real de variable real es aquella en la que tanto el dominio como la imagen son
subconjuntos de . Si A y B son subconjuntos de  la función se indica:
f: AB
x  f ( x)
Y también y = f(x), Domf = A.
Esta relación funcional se puede establecer, muchas veces, mediante
una expresión matemática o fórmula, lo que nos permitirá trabajar de
forma cómoda con ella. Otras veces viene dada mediante una tabla
donde aparecen los valores relacionados entre sí. En ocasiones
tenemos la relación en forma de gráfica… ¡Y también existen funciones
que no se pueden escribir mediante una expresión algebraica!
Por tanto, se puede asemejar con una máquina que coge un número y
lo transforma en otro mediante una serie de operaciones que, a veces,
podemos describir mediante una fórmula.
Ejemplos:
Funciones constantes (los números vistos como funciones):
f(x) = k, para todo x  
3
f(x) = 2, para todo x  , así f(2) = 2; f(0) = 2; f( 5 ) = 2; …
Función identidad (transforma cada número en él mismo):

3 3
I(x) = x, para todo x  , así I(2) = 2; I() = ; I( 5 ) = 5;…
 3  (0)2  1  1
 x  0  f ( 0 )   que no existe
 0 0
 3  (1) 2  1
x  1  f (1)  2
 1
3x  1
2
 6 36 108
f (x)    3  ( )2  1 3  1 1
x 6 6 83
 x  f( ) 5  25  25 
 5 5 6 6 6 30
 5 5 5
 3  ( ) 2  1 3  ( 3 '14 ) 2  1 29 '61  1
 x    f ( )     9 '11
  3 '14 3 '14
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Funciones
Tipos de funciones
Existen distintos tipos de funciones según sea la fórmula que las define:
TIPO FÓRMULA
Polinómicas Polinomio
ALGEBRAICAS Racionales Cociente de polinomios
Irracionales Raíz de una racional
Exponenciales Exponencial (variable en el exponente)
TRASCENDENTES Logarítmicas Logaritmo (variable como argumento de un logaritmo)
Trigonométricas Trigonométrica (variable como argumento de una razón trigonométrica)
DEFINIDAS A TROZOS Varias fórmulas dependiendo de los valores de la variable
La gráfica de una función es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, pares ordenados, en los
que el primer valor corresponde a uno cualquiera de la variable independiente y el segundo a su
imagen, es decir, al que se obtiene al transformarlo mediante dicha función:
{(x, y)  x; y = f(x)}
Se representa dibujando todos los puntos anteriores y uniéndolos con una línea, y se hace sobre los ejes
de coordenadas (dos rectas perpendiculares: eje de abscisas para los valores que toma la variable
independiente, eje de ordenadas para los valores que toma la variable dependiente, y origen de
coordenadas, punto de intersección de ambos). Uno de los objetivos importantes de este capítulo y los
siguientes es llegar a representar gráficamente todo tipo de funciones (no excesivamente complejas).
Ejemplos:
TIPO GRÁFICAS
Polinómicas
Racionales
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Funciones
TIPO GRÁFICAS
Irracionales
Exponenciales
Logarítmicas
Definidas a
trozos
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Funciones
1.2. Funciones racionales
Una función monómica es aquella en la que, la fórmula que establece la relación entre la variable
dependiente y la independiente es un monomio, es decir, una expresión algebraica en la que
únicamente aparecen productos en la parte variable.
Ejemplos:
Función identidad: Función polinómica: Volumen esfera respecto al radio:
I(x) = x f(x) = 3x2 4
V (r )  r 3
3
Un caso particular de función monómica es la función potencial, aquella en la que la fórmula que
establece la relación entre las variables es una potencia de exponente natural.
Ejemplos:
Función identidad: Cúbica: Área del cuadrado respecto del lado:
I(x) = x = x1 f(x) = x3 A(l) = l2
Una función polinómica es aquella en la que la fórmula que establece la relación entre la variable
dependiente y la independiente es un polinomio, es decir, una suma de monomios no semejantes.
Ejemplos:
MRUA (Movimiento rectilíneo Área total de un cilindro de altura
Función lineal: uniformemente acelerado): 1 respecto al radio:
p(x) = 2x + 1 3
e t   5 · t  · t 2 A(r) = 2r2 + 2r
2
Actividades resueltas
Mediante la función anterior que relaciona el área de un cuadrado con su lado, calcula el área de un:
Cuadrado de lado 1 cm: A(1) = 12 = 1  A = 1 cm2.
Cuadrado de lado 0’5 m: A(0’5) = 0’52 = 0’25  A = 0’25 m2.
Cuadrado de lado 5 mm: A( 5 ) = ( 5 )2 = 5  A = 5 mm2.
Otras fórmulas de áreas o volúmenes de figuras conoces que son funciones polinómicas:
3· h 3
Área de los triángulos de base 3 cm en función de la altura: A  h    · h (monómica)
2 2
Área de los rectángulos de altura 4 m en función de la base: A  b   b · 4  4b (monómica)
Área de los trapecios de bases 6 y 8 dm en función de la altura: A  h  

 6  8 · h  7 · h
2
Área total del cono de generatriz 5 mm en función del radio: A  r    r 2  5 r (polinómica)
1 7
Volumen de la pirámide cuadrangular de altura 7 m en función del lado: V  l   · l 2 ·7  l 2
3 3
116
Funciones
Actividades propuestas
1. Realiza una tabla de valores y representa la función identidad.
1 3
2. Calcula las imágenes de los números 3; ; 0; 1; 2 ; ; 10 por la función f(x) = x2 + 2x  3.
2 2
Función afín
Recuerda que:
Como casos especiales dentro de las funciones polinómicas, se encuentran las funciones afines y las
cuadráticas que se estudiaron en cursos anteriores:
Una función afín es una función polinómica de grado menor o igual que uno: y = f(x) = mx + n.
Su representación gráfica es una recta, su pendiente es el coeficiente líder (m) e indica la inclinación de
la misma (si es positivo la recta será creciente y si es negativo decreciente) y su ordenada en el origen
(n) es el término independiente, que nos proporciona el punto donde la recta corta al eje de ordenadas.
Ejemplo:
GRÁFICA
f(x) = –2x – 1 (polinomio de primer grado)
x 2 1 1/2 0 1
f(x) 3 1 0 1 3
(2, 3) (1, 1) (1/2, 0) (0, 1) (1, 3)

Pendiente: –2  recta decreciente
Ordenada en el origen: –1  (0, –1) punto de corte
de la recta con el eje de ordenadas
Casos particulares de funciones afines son:
Función constante (recta horizontal): es aquella que siempre
toma el mismo valor para todos los valores de la variable
independiente (la pendiente es nula): f(x) = n.
Ejemplos:
Gráficas de f(x) = 3; f(x) = 1; f(x) = 0; f(x) = 2.
Por tanto, la recta no tiene inclinación, es decir, es paralela
al eje de abscisas.
Observa que
La ecuación del eje de abscisas es y = f(x) = 0.
Función lineal o de proporcionalidad directa: es aquella que
tiene ordenada en el origen igual a 0 (pasa por el origen de
coordenadas), es decir, es monómica de grado 1: f(x) = mx.
Ejemplos:
Gráficas de f(x) = 3x (y es el triple de x); f(x) = 2x (y es el
opuesto del doble de x); I(x) = x (función identidad: y es
igual a x).
117
Funciones
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado: y = f(x) = ax2 + bx + c.
La gráfica de este tipo de funciones se llama parábola.
Si el coeficiente líder o cuadrático es positivo Si el coeficiente líder o cuadrático es negativo (a < 0),
(a > 0), la parábola está abierta hacia el eje Y la parábola está abierta hacia el eje Y negativo
positivo (convexa). (cóncava).
y = 2x2 + x  3 y = 2x2 + 4x
2>0 2 < 0
Los otros coeficientes del polinomio afectan a la posición que ocupa la parábola respecto a los ejes.
En una función cuadrática hay una rama que crece y otra que decrece. El punto donde se produce ese
cambio se llama vértice y es el mayor (máximo) o menor (mínimo) valor que toma la función. Es el
punto más significativo en una parábola y, por eso, es importante saber calcularlo. Para ello, le damos a
b
la variable independiente el valor x  , y lo sustituimos en la función para calcular su imagen. Dicho
2a
valor es fácil de recordar ya que es lo mismo que aparece en la fórmula de las ecuaciones de 2º grado
quitándole la raíz cuadrada.
Ejemplo: GRÁFICA
y  
x 
6 x 5
2
polinomio 2º grado
x 0 1 3 5 6
f(x) 5 0 4 0 5
(0, 5) (1, 0) (3, 4) (5, 0) (6, 5)
Coeficiente líder: 1 > 0  parábola convexa

 b  6
Vértice: x      3  y  4  (3, 4)
 2a ba 1 6 2
Ordenada en el origen: 5  (0, 5) punto de corte con el

eje de ordenadas.
Puntos de intersección con el eje de abscisas: (1, 0) y (5, 0)
6  36  20 6  4 5
0  x2  6 x  5  x  
2 2 1
118
Funciones
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas de grado mayor que dos son más complejas de dibujar, aunque las gráficas
también tienen características llamativas:
Función racional
Una función racional es aquella en la que, la fórmula que establece la relación entre la variable
dependiente y la independiente es una expresión racional o fracción algebraica, es decir, una división
de dos polinomios.
Ejemplos:
1 t1 2 x3
Función de proporcionalidad inversa: f  x   g t   h  x 
x t 1 x2  4
Recuerda que:
Cuando los polinomios que forman la fracción algebraica son, como mucho, de grado 1 (el del
denominador obligatoriamente), la gráfica de la función es una curva llamada hipérbola.
Ejemplo: GRÁFICA
La gráfica de la función de proporcionalidad inversa es:
x 3 2 1 1/2 1/5 1/5 1/2 1 2 3

f(x) 1/3 1/2 1 2 5 5 2 1 1/2 1/3
119
Funciones
1.3. Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática. Ajuste mediante
funciones polinómicas
Interpolar es intercalar entre los extremos.
Una interpolación lineal consiste en ajustar una recta a los datos para obtener un valor intermedio.
Ejemplo:
En el tratamiento de una enfermedad se están probando en un laboratorio distintas dosis de un
medicamento para comprobar sus efectos. Se han obtenido los siguientes datos:
Dosis (mg): x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Curaciones (%): y 32 40 47’1 53’3 58’6 63 66’5 69’1 70’8 71’6
Se puede dibujar gráficamente los datos de esta tabla, y unirlos según diferentes criterios.
Si los unimos mediante segmentos de rectas y queremos estimar el porcentaje de curaciones para una
dosis de 6’4 mg, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (6, 63) y (7, 66’5):
Cálculo de la ecuación de la recta: y = f(x) = mx + n 
f(6) = 63 = m6 + n
f(7) = 66’5 = m7 + n
Restamos: 3’5 = m  n = 63 – m6 = 63  (3’5)6 = 42. Ecuación de la recta: y = 3’5x + 42.
Para una dosis de 6’4 mg tendremos, aproximadamente, y = 3’56’4 + 42 = 64’4.
Aproximadamente tendremos un porcentaje de curaciones del 64’4 %.
Hemos hecho una interpolación lineal.
3. Utiliza la recta anterior para obtener el porcentaje de curaciones esperado para una dosis de 7’3 mg.
Al querer obtener un valor que está fuera del intervalo [6, 7] lo que hacemos ahora es una
extrapolación lineal.
Extrapolar es estimar más allá del intervalo de observación.
Extrapolación lineal es extrapolar utilizando una recta.
Ya sabes, por 2 puntos pasa una única recta, por 3 puntos pasa una única función cuadrática, por 4
puntos pasa una única función polinómica de tercer grado… y por n + 1 puntos pasa una única función
polinómica de grado n.
Interpolación y extrapolación cuadrática

En el ejemplo anterior también podíamos haber unido los puntos de la tabla mediante otro tipo de
curvas. Si los unimos mediante parábolas estaremos haciendo una interpolación (o una extrapolación)
cuadrática. Queremos conocer, como en el caso anterior, el porcentaje de curaciones para una dosis de
de 6’4 mg. Para ello necesitamos 3 puntos: (6, 63), (7, 66’5) y (8, 69’1) y buscamos la parábola que pasa
por esos tres puntos.
120
Funciones
Cálculo de la ecuación de la parábola: y = f(x) = ax2 + bx + c 
f(6) = 63 = a36 + b6 + c
f(7) = 66’5 = a49 + b7 + c
f(8) = 69’1 = a64 + b8 + c
Restamos: 3’5 = 13a + b
2’6 = 15a +b
Y volvemos a restar y obtenemos el coeficiente a: 0’9 = 2a  a = 0’45.
Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores obtenemos el coeficiente b:
b = 3’5  13(0’45) = 9’35
Despejando c de cualquiera de las primeras ecuaciones y sustituyendo a y b:
c = 63 – 36a – 6b = 63 – 36(–0’45) – 6(9’35) = 23’1.
La parábola buscada es: y = f(x) = 0’45x2 + 9’35x + 23’1.
Para conocer el porcentaje de curaciones, por interpolación cuadrática, con una dosis de 6’4 mg,
sustituimos ese valor en la ecuación de la parábola:
y = f(6’4) = 0’45 (6’4)2 + 9’35(6’4) + 23’1 = 64’508.
Ahora prevemos un porcentaje algo mayor de curaciones: 64’508 %.
Una interpolación cuadrática consiste en ajustar una función cuadrática a los datos para obtener un
valor intermedio.
Si utilizamos la parábola para determinar el porcentaje de curaciones para una dosis de fuera del
intervalo (6, 8), como por ejemplo para 5’5 mg, estaremos haciendo una extrapolación cuadrática:
y = f(5’5) = 0’45(5’5)2 + 9’35(5’5) + 23’1 = 60’91 %.
Una extrapolación cuadrática consiste en ajustar una función cuadrática a los datos para obtener un
valor fuera del intervalo de observación.
¿Cómo podemos conocer si nuestros datos se ajustan a una función lineal, a una función cuadrática o a
una función polinómica de grado n?
Si, como en nuestro ejemplo, la variable independiente está en progresión aritmética, calculamos las
diferencias sucesivas, hasta que todas las diferencias sean iguales:
Dosis (mg): x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Curaciones (%): y 32 40 47’1 53’3 58’6 63 66’5 69’1 70’8 71’6
Diferencias primeras 8 7’1 6’2 5’3 4’4 3’5 2’6 1’7 0’8
Diferencias segundas 0’9 0’9 0’9 0’9 0’9 0’9 0’9 0’9
Si las diferencias primeras hubieran sido todas iguales, los datos se ajustarían a una función lineal. Si las
diferencias de orden n son todas iguales, los datos se ajustan a una función polinómica de grado n.
En nuestro ejemplo las diferencias segundas son todas iguales, luego los datos se ajustan a una
parábola, la parábola: y = f(x) = 0’45x2 + 9’35x + 23’1.
121
Funciones
1.4. Función raíz
Una función raíz es aquella en la que la variable dependiente se calcula haciendo una raíz a la variable
independiente.
Ejemplos:
f  x  x g t   3 t h t   4
t j x  5
x
Es importante recordar que la raíz es una operación un tanto especial puesto que no siempre se puede
obtener, por ejemplo cuando el radicando es negativo y el índice par. La función raíz cuadrada tiene un
único resultado real, el que asigna la calculadora (no confundir con las soluciones de una ecuación de
segundo grado, que son dos).
Gráficamente, lo anterior se traduce en:
RAÍCES DE ÍNDICE PAR RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR
f x  x
f x  3
x
f x   3 x
f x   x
4. Copia en tu cuaderno las siguientes gráficas de funciones e indica si el índice es par o impar en las
representaciones de las siguientes funciones raíz:
ÍNDICE ÍNDICE
FUNCIÓN FUNCIÓN
Par Impar Par Impar
122
Funciones
1.5. Funciones exponenciales y logarítmicas
Una función exponencial es aquella en la que la variable dependiente se calcula elevando un número
conocido a la variable independiente.
Si la cantidad de bacterias de una determinada especie se multiplica por 1’4 cada hora, podemos
escribir la siguiente fórmula para calcular el número “y” de bacterias que habrá al cabo de “x”
horas (comenzando por una sola bacteria): y = f(x) = 1’4x.
Número de bacterias en cada hora Gráfica de la función

(Tabla de valores de la función):
Horas Número de
transcurridas (x) bacterias (y)
0 1
1 1’4
2 1’96
3 2’74
4 3’84
5 5’38
6 7’53
... ...
Observa que en este ejemplo no se ha dado a la “x” valores negativos, ya que no tiene sentido un
número de horas negativo. En las funciones exponenciales en general, la variable independiente sí
puede tener valores negativos, pero sus imágenes siempre son positivas.
5. Realiza en tu cuaderno una tabla de valores y la gráfica para un caso similar, suponiendo que el
número de bacterias se duplica cada hora.
6. Vuelve a repetir otra vez el ejercicio anterior suponiendo que el número de bacterias queda dividido
por 2 cada hora.
Observarás que, en el primer caso, los valores de “y” aumentan mucho más deprisa y enseguida se
salen del papel. Mientras que los valores de “x” aumentan de 1 en 1 los valores de y se van
multiplicando por 2. Esto se llama crecimiento exponencial. En el segundo caso, como en lugar de
multiplicar se trata de dividir, tenemos un decrecimiento exponencial.
7. En tu cuaderno, representa conjuntamente las gráficas de y = f(x) = x2. (función potencial) y f(x) = 2x.
(función exponencial), con valores de “x” entre 0 y 5. Observa la diferencia cuantitativa entre el
crecimiento potencial y el crecimiento exponencial.
123
Funciones
Distintas funciones exponenciales:
Las gráficas de las funciones exponenciales f(x) = ax se diferencian según el valor de la base “a”: Son
distintas si 0 < a < 1 o a > 1.
En el caso en el que a = 1 tenemos la función constante y = 1, cuya gráfica es una recta horizontal.
Veamos las gráficas de algunas funciones exponenciales, comparándolas con otras:
x x
1 1
Funciones f  x     y g  x    
x x
Funciones f(x) = 2 y g(x) = 3
2 3
x
1
Observamos que la gráfica de f(x) = a y la de f  x     son simétricas respecto del eje OY.
x
a
El número e. La función exponencial: f(x) = ex
El número e tiene una gran importancia en Matemáticas, comparable incluso al número π, aunque su
comprensión no es tan elemental y tan popular. Ya lo hemos estudiado en capítulos anteriores. Ya
sabes que es un número irracional cuyo valor aproximado es e = 2’71828182846...
Este número aparece en las ecuaciones de crecimiento de poblaciones, desintegración de sustancias
radiactivas, intereses bancarios, etc.
También se puede obtener directamente el valor de e con la calculadora (siempre como aproximación
decimal, puesto que es un número irracional). Normalmente hay una tecla con la etiqueta e pero
puedes usar también la tecla etiquetada ex. Para ello tendrás que calcular el valor de e1.
La gráfica de la función f(x) = ex es similar, y comparte características, a la de las funciones
exponenciales de base mayor que 1 dibujadas anteriormente.
124
Funciones
8. Utilizando la calculadora, haz en tu cuaderno una tabla de valores y representa las funciones f(x) =
ex y g(x) = e-x.
9. Una persona ha ingresado una cantidad de 5.000 euros a interés del 2 % en un banco, de modo que
cada año su capital se multiplica por 1’02.
a. Escribe en tu cuaderno una tabla de valores con el dinero que tendrá esta persona al cabo de 1,
2, 3, 4, 5 y 10 años.
b. Indica la fórmula de la función que expresa el capital en función del número de años.
c. Representa en tu cuaderno gráficamente dicha función. Piensa bien qué unidades deberás
utilizar en los ejes.
10. Un determinado antibiótico hace que la cantidad de ciertas bacterias se
multiplique por 1/3 cada hora. Si la cantidad a las 9 de la mañana es de 10
millones de bacterias:
(a) Haz una tabla calculando el número de bacterias que hay cada hora,
desde las 3 de la mañana a las 12 de mediodía (observa que tienes que Cultivo de la bacteria
calcular también “hacia atrás”). Salmonella
(b) Representa gráficamente estos datos.
Función logaritmo
En el capítulo 1 ya hemos estudiado los logaritmos, pero ahora vamos a estudiar la función logarítmica.
Una función logarítmica es aquella en la que la variable dependiente se calcula haciendo el logaritmo,
en una base conocida, de la variable independiente.
Ejemplos:
Función logaritmo: Función logaritmo neperiano: Función logaritmo de base 1/2 :
f(x) = log(x) g(x) = ln(x) h(t) = log0’5(t)
Hay una función distinta para cada valor de la base a.
La tabla de valores y la gráfica de la función y  log2 x son las siguientes:
x log2 x
0’1 3’3
0’5 1’0
0’7 0’5
1 0’0
2 1’0
3 1’6
4 2’0
5 2’3
... ...
125
Funciones
La tabla de valores y la gráfica de la función y  log1 2 x son las siguientes:
x log 1 2 x
0’1 3’3
0’5 1’0
0’7 0’5
1 0’0
2 1’0
3 1’6
4 2’0
5 2’3
... ...
Observa que:
Las gráficas de f(x) = loga(x) y g(x) = log1/a(x) son
simétricas respecto del eje OX:
Relación entre las funciones exponencial y logarítmica

Según la definición del logaritmo tenemos la siguiente relación: y = loga(x)  x = ay. Por tanto, llevan
intercambiado el lugar de la “x” y la “y”.
En consecuencia, si partimos de un número y le aplicamos la función logarítmica, y luego al resultado le
aplicamos la función exponencial volvemos al número de partida. Lo mismo ocurre si primero aplicamos
la función exponencial y después la logarítmica.
Ejemplo:
Partiendo del número 3, utilizando la calculadora aplicamos una función logarítmica: log53 = 0’6826
(recuerda la fórmula de cambio de base). Si a continuación aplicamos la función exponencial: 50’6826
= 3 y obtenemos el número del principio.
Haciéndolo en sentido inverso, partiendo del número 3 aplicamos primero una función
exponencial: 53 = 125. A continuación aplicamos la función logarítmica: log5125 = 3 y también
hemos obtenido el número del principio.
Gráficamente, la propiedad anterior se traduce en que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz
del primer y tercer cuadrantes.
Esto se debe a que si el punto (a, b) es de la gráfica de una de ellas, el punto (b, a) pertenece a la gráfica
de la otra.
126
Funciones
Ejemplos:
Actividad resuelta
Representa la función f(x) = log2(x) usando una tabla de valores. A continuación, a partir de ella
y sin calcular valores, representa las funciones siguientes: g(x) = 2x, h(x) = log1/2(x) y, utilizando
también g(x) = 2x, representa k(x) = (1/2)x.
Solución:
Por la simetría respecto a la Por la simetría respecto al eje Por la simetría respecto al eje
bisectriz del primer cuadrante: OX: OY:
11. Representa en tu cuaderno, mediante tablas de valores, las gráficas de las siguientes funciones:
a) f ( x )  log 3 x b) f ( x )  log 1 / 3 x c) f ( x)  log1,5 x
Comprueba que en todos los casos pasan por los puntos (1, 0), (a, 1) y (1/a, 1), donde a es la base.
127
Funciones
12. Identifica las fórmulas de las siguientes funciones a partir de sus gráficas, sabiendo que son
funciones logarítmicas:
a) b)
c) d)
1.5. Funciones definidas a trozos. Función valor absoluto. Función parte

entera
Una función definida a trozos es aquella en la que la fórmula que establece la relación entre las dos
variables no es única, sino que dependiendo de los valores que tome la variable independiente, los de
la variable dependiente se calculan en una u otra fórmula.
Piensa en la siguiente situación: Para la tarifa de un teléfono móvil se paga un fijo de 10 € al mes y
con eso son gratis los 500 primeros minutos. A partir de allí, se paga a 5 céntimos por minuto.
Es evidente que es diferente el comportamiento antes de 500 minutos y después. Para valores menores
que 500, el gasto es siempre 10 €; para valores mayores, los minutos que gastamos por encima de 500
son (x  500) y, por tanto, lo que pagamos por esos minutos es 0’05(x  500), pues lo medimos en
euros, más los 10 € que pagamos de fijo.
128
Funciones
Analíticamente: Gráficamente:
10  0 ' 05  x  500  , x  500
f  x  
10, x  500
Otros ejemplos:
 x  3 si x  1 t si t  2
Función valor absoluto: 1
 
 x si x  0 g  x    x 2  1 si  1  x  3 h t    si  2  t  1
f  x  x   2 x  2 si x  3 t
 x si x  0  t 2  2 t  2 si t  1
13. Representa gráficamente la función valor absoluto.
14. Representa las siguientes funciones a trozos. Se indican los puntos que tienes que calcular.
 x 2  1 si x  4
 1 3
a) f(x)    x  2 si  4  x  0 Puntos: 6 ; 4;  ; 0’2; 0; 1; ; 4
 2 2
 5 si 0  x
 1
 si x  3
x
 1 9
b) g(x)   x si  3  x  2 Puntos: 5; 3;  ; 0’2; 0; 2; ; 4
 2 4
 x si 2  x

Funciones parte entera

Se define Parte Entera de x, como el número entero k, menor o igual a x, más próximo.
Parte Entera de x = [x] = máx{k  Z; k  x}.
Actividad resuelta
Representa la gráfica de la función Parte Entera de x.
Vamos a calcular algunos valores:
Parte Entera de 2 = 2. La parte entera de un número entero es dicho
número
Parte Entera de 2’3 = 2. Parte Entera de 0’3 = 0.
Parte Entera de 0’3 = 1.
129
Funciones
Funciones de oferta y demanda
15. Los datos de la tabla indican en la primera fila, los precios, en euros, por saco de naranjas, en la
segunda fila, las cantidades demandadas de naranjas por semanas, y en la tercera fila, las cantidades
ofrecidas:
Precio por saco (euros) 8 6 4 2

Cantidad demandada (miles de sacos por semana) 50 100 200 400
Cantidad ofrecida (miles de sacos por semana) 300 250 200 100
a) Dibuja una gráfica con los datos de esta tabla, representando en el eje vertical los precios, y en
el eje horizontal las cantidades demandadas y ofrecidas. Une con un trazo continuo ambas
curvas.
La curva “cantidad demandada” – “precio” es un ejemplo de función de demanda. Observa que es una
función decreciente, pues al aumentar los precios el consumidor demanda menor cantidad del
producto. Ilustra el comportamiento de los consumidores.
La curva “cantidad ofrecida” – “precio” es un ejemplo de función de oferta. Observa que es una función
creciente, pues al aumentar los precios el vendedor aumenta la producción y ofrece mayor cantidad del
producto. Ilustra el comportamiento de los vendedores.
b) Determina de forma aproximada en la gráfica anterior el punto de intersección de ambas
gráficas.
A ese punto se le denomina punto de equilibrio. La demanda y la oferta determinan el precio y la
cantidad de equilibrio. En ese punto se igualan las cantidades ofrecidas y demandadas.
A un precio mayor la cantidad ofrecida excede la cantidad demandada, y al haber depósitos de
mercancía no vendida la competencia entre vendedores hará que el precio baje hasta el punto de
equilibrio. Hay un excedente.
A un precio menor la cantidad demandada es mayor que la ofrecida, los compradores quieren más
naranjas, y eso eleva el precio hasta el punto de equilibrio. Hay un déficit.
Este problema ilustra unos conceptos que se utilizan en Teoría Económica. Es un modelo ideal que se
explica en un mercado con competencia perfecta, con muchos compradores y muchos vendedores, en
los que la demanda y la oferta determinan el precio.
16. Los datos de la tabla indican en la primera fila, los precios, en euros, del alquiler de un piso de 70 m2,
en la segunda fila, la cantidad de personas que desean alquilar un piso, y en la tercera fila, los pisos
vacíos en una determinada ciudad:
Precio de un piso (euros) 1500 1000 500

Cantidad demandada (personas que desean alquilar) 10 100 500
Cantidad ofrecida (pisos libres) 600 200 50
a) Dibuja una gráfica de las curvas de oferta y demanda.
b) Determina de forma aproximada el punto de equilibrio
130
Funciones
2. OPERACIONES CON FUNCIONES
2.1. Operaciones básicas
La función suma, diferencia, producto o cociente de otras dos es aquella que aplica cada elemento
original en la suma, diferencia, producto o cociente de los elementos imagen por cada una de las
funciones. La expresión algebraica se obtiene sumando, restando, multiplicando o dividiendo
respectivamente las expresiones algebraicas de las funciones originales:
2 3 x
OPERACIÓN EJEMPLO: f  x  ; g  x 
x x1
2 3 x 3 x 2  2 x  2
 f  g  x   f  x   g  x  f  g  x   f  x   g  x   
x x1

x · x  1
2 3 x 3 x2  2 x  2
 f  g  x   f  x   g  x 
2 3x
f  g  x   f  x   g  x      
x x1 x x1 x · x  1
2 3 x 6
 f · g  x   f  x  · g  x   f · g  x   f  x · g  x  
· 
x x1 x1
2 2
Caso particular:  1· f  x   1· f  x   1·  función opuesta de f
(kf)(x) = kf(x) k   x x
Gráficamente, una función y su opuesta son simétricas respecto del eje de abscisas
2
 f  f  x  f  f  x 2x  2
  x  , g  x  0   x   x 
g g  x g g  x  3 x 3 x 2
x1
2.2. Composición de funciones

Existe una operación específica de las funciones que se llama composición y consiste en:
1º Aplicamos una función a un número.
2º Aplicamos otra función al resultado obtenido.
Ejemplo:
2 3 x
f  x  ; g  x 
x x1
 3 x  2x  2
 f  g  x   f  g  x   
donde ponga x en f ,
2
f g
  f   
 x1 ponemos g  x  
3 x
 3 x  3 x
g compuesto con f x1  
(se lee primero la función que actúa
antes, NO de izquierda a derecha)  x1
2 6
3 ·  
 x   x  6
 g  f  x   g  f  x    g 
2 donde ponga x en g ,
g f   
 x ponemos f  x  
2
2 2x x2
f compuesto con g x  1
antes, NO de izquierda a derecha) x x
131
Funciones
Como queda patente en el ejemplo anterior, la composición de funciones NO es conmutativa, aunque sí
es asociativa (sin variar el orden): f  (g  h) = (f  g)  h.
Además, podemos observar que, al hacer cualquier operación con funciones, aparecen expresiones de
los tipos estudiados, aunque más complejas al estar todas “mezcladas”. A partir de ahora, los distintos
tipos de funciones tendrán fórmulas parecidas a las de los siguientes ejercicios:
17. Realiza las operaciones indicadas con las siguientes funciones:
p ( x )  5 x  3 ; q ( x )  2 x 2  x  7 ; r ( x)   x 3  6 ; s( x)  3 x 2  x
2x  4 3 x1  x2
f ( x)  ; g ( x)  ; h( x)  2 ; j ( x)  2
x3 x x x 4
x
2
1 x
x4
k ( x)  e ; l ( x)  2 x
; m( x)    ; n( x)  e x 1
3
 x1  x2  1 
a ( x )  L  x  2  ; b ( x )  log    ; d ( x )  log  x  1 
3
 ; c ( x ) L 
 3   2x  4 
a) ( p  q )( x ) b) ( q  r )( x )
c) (q  r  s)( x) d) ( s  q )( x )
e) ( q  r )( x ) f) ( r  p )( x )
g) ( f  p)( x) h) ( j  f )( x)
i) ( g  k )( x ) j) ( m  a )( x )
k) (b  d )( x ) l) ( r  m )( x )
m) ( p · q )( x ) n) (q · r )( x)
o) ( q · r : s )( x ) p) ( p : q )( x )
q) ( f · p )( x ) r) ( j · f )( x )
s) ( g : k )( x ) t) ( a · b )( x )
u) ( p  q )( x ) v) ( a  b )( x )
w) ( r  s )( x ) x) ( f  p )( x )
y) ( j  f )( x ) z) ( g  k )( x )
132
Funciones
2.3. Función inversa o recíproca
 f  f  I
1
La función inversa (o recíproca) de una función f es otra función, f , tal que:  1 1

.
 f  f  I
Para que la función inversa esté bien definida (sea función) es necesario que en la función de partida,
cada imagen tenga un único original.
Para obtenerla, seguiremos los siguientes pasos:
2x
PASOS EJEMPLO: f(x) =
x 1
2x
1º Llamamos y a f(x) y
x1
y(x – 1) = 2x  yx – y = 2x  yx – 2x = y 
2º Despejamos x en función de y y(x – 2) = y  x  y
y2
x x
3º Cambiamos los papeles de x e y y  f 1  x  
x2 x2
Esto no siempre es posible realizarlo, ya que no siempre se puede despejar la x o el resultado al hacerlo
no es único, en cuyo caso ¿cuál sería la inversa?
Por ejemplo:
 f 1  x    x
???
yx 2
 x y   ó y  x3  3 x 2  1  ???
 f  x   x
1
Si existe, la inversa es única y, gráficamente, una función y su inversa son simétricas respecto a la recta
y = x (bisectriz del 1er y 3er cuadrantes), que es la gráfica de la función identidad.
Ejemplos
2x
f  x 
x1
x
f 1  x   g  x  
x2
Las funciones logaritmo y exponencial (de la misma base) son funciones inversas.
133
Funciones
18. Calcula en tu cuaderno las inversas que existan de las funciones del ejercicio anterior:
p ( x )  5 x  3 ; q ( x )  2 x 2  x  7 ; r ( x)   x 3  6 ; s( x)  3 x 2  x
2x  4 3 x1  x2
f ( x)  ; g ( x)  ; h( x)  2 ; j ( x)  2
x3 x x x 4
x
2
1 x
x4
k ( x)  e ; l ( x)  2 x
; m( x)    ; n( x)  e x 1
3
 x1  x2  1 
a ( x )  L  x  2  ; b ( x )  log    ; d ( x )  log  x  1 
3
 ; c ( x ) L 
 3   2x  4 
FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN INVERSA

a) p(x) b) q(x)
c) r(x) d) s(x)
e) f ( x) f) g(x)
g) h(x) h) j(x)
i) k(x) j) l(x)
k) m(x) l) n(x)
m) a(x) n) b(x)
o) c(x) p) d(x)
19. Calcula la función inversa de:
134
Funciones
3. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
3.1. Dominio
El dominio o campo de existencia de una función, Dom(f), es el conjunto de valores que tienen imagen:
Dom(f) = {x  ; y  , y = f(x)}.
Actividad resuelta
TIPO DOMINIO Ejemplos
Función afín: p( x)  3 I ( x)  x (identidad) ; p( x)  2 x  1  2 x  1

Polinómicas
3 3 3
 Función cuadrática: p( x)  2 x2  3 x ; p( x)  x2  6
Función polinómica general: p ( x )  2 x 4  4 x 3  5 x 2  6 x  3
3 x  1   1 
f ( x)   2 x  1  0  Sol     Dom f    
Racionales
2x  1 2 2
  {polos} g ( x)  2
2
 x  1  0  Sol    Dom g 
2
x 1
 x2  2 x
Polos = ceros del denominador h( x )  2  x 2  x  6  0  Sol  2; 3  Dom g   2; 3
x  x6
f ( x )  3 x  6   3 x  6  0  Sol  , 2   Dom f  , 2 
Índice x1 x1
Irracionales
par
{x  ; radicando  0} g ( x)  4
x2  4

x2  4
 0  Sol   2, 1   2,   Dom g   2, 1   2, 
h( x)  6 x 4  1  x 4  1  0  Sol   Dom h 
x1
Índice   {puntos problemáticos f ( x)  3 2
x 4
 x 2  4  0  x 2  4  0  Sol  2, 2  Dom f   2, 2
impar del radicando} g ( x)  7 x 4  1  Dom g 
f ( x )  e 2 x  3  Dom f 
Exponenciales
  {puntos problemáticos 1

Sol  0   0
x
g ( x)     x0  x0  Dom g 
2
del exponente}
5 x2 2  2 
h( x )  7  5x  2  0  Sol   ,    Dom h   ,  
5  5 
f ( x)  L  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1  0  Sol   1  Dom f   1
Logarítmicas
 x  x
g ( x )  log  2    0  Sol  3,   Dom g  3, 
 x  3x  x2  3 x
{x  ; argumento > 0} h( x)  log 2  5 x   5 x  0  Sol   Dom h 
 x  0  Sol  0 , 
j ( x)  log 0.5  x    Sol  0 ,   Dom j  0 , 
 x  0  Sol  0 , 
x2  x x0 Valores variable 
f ( x)      Dom f 
 Lx x0  Puntos problemáticos  No hay
Definidas a trozos
x  1 x  1 Valores variable    1
 
g ( x)   1  
  {valores que no toma la
1
 x x  1  Puntos problemáticos  0  ya que  ??? y 0   1
 0
variable y puntos problemáticos  Dom g    1 , 0 
de cada fórmula incluidos en su
rango} 1
x x  2
 Valores variable 
h( x)   2 x  1  2  x  1  
  Puntos problemáticos    1, 0 
 x 1 x

 Dom h   ,  1  0 ,  
135
Funciones
Como se puede ver en todos los ejemplos anteriores, la clave para calcular el dominio de una función es
localizar todos aquellos puntos que NO tienen imagen, que son más fáciles de identificar ya que son los
que provocan algún tipo de problema a la hora del cálculo de la imagen, es decir, aparece alguna
operación que no se puede realizar en el conjunto de los números reales. Y las únicas operaciones que
no se pueden hacer en  son:
a) La división por cero.
b) La raíz de índice par y radicando negativo.
c) El logaritmo de un número negativo o de cero.
Por tanto, cuando nos encontremos con alguna de esas operaciones (DIVISIÓN, RAÍZ DE ÍNDICE PAR o
LOGARITMO), tendremos que estudiar detenidamente si hay algún(os) valor(es) que provoquen
problemas, y esto lo podremos hacer, según la situación, resolviendo una ecuación o una inecuación. En
caso contrario, tendremos asegurado que el dominio de la función es todo el conjunto de los números
reales ()
Gráficamente, lo podemos intuir viendo si la recta vertical (paralela al eje de ordenadas OY) que pasa
por un punto del eje OX es tal que:
‐corta a la gráfica: dicho valor de la variable independiente pertenece al dominio porque tiene
imagen (que será el valor de la ordenada que nos proporciona el punto de corte de recta y gráfica)
‐NO corta a la gráfica: dicho valor no estará en el dominio.
Ejemplo
Dom f =   {2}
20. Calcula en tu cuaderno el dominio de las siguientes funciones:
FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO
5 x2  1 x3
a) f ( x)  2 b) j ( x) 
x 3 x3
3x  2 2 x2  1
c) g ( x)  d) k ( x) 
x3 x2  4
x1 x2
e) h( x )  f) l ( x) 
x1 3x
x2  1 x1
g) i( x)  h) m( x )  3
x2  1 x 1
136
Funciones
21. Calcula en tu cuaderno el dominio de cada una de las siguientes funciones:
p( x)  5 x  3 ; q( x)  2 x 2  x  7 ; r ( x)  4  x 3  1 ; s ( x )  3 3 x 2  x
2x  4 3 x1  x2  2 x
f ( x)  ; g ( x)  ; h( x )  2 ; j ( x)  2
x3 x x 1 x 4
x1 x
2
1
x 4
k ( x)  e ; l ( x )  2 ; m( x )    ; n( x )  e x  1
2
x
3
 x2   x2  1 
a( x)  L  x  2  ; b( x)  log   ; c( x)  L   ; d ( x)  log  x  5 
3
 4   2x  4 
FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO
a) p( x) b) q( x)
c) r ( x) d) s( x)
e) f ( x) f) g ( x)
g) h( x) h) j ( x)
i) k ( x) j) l ( x)
k) m( x) l) n( x)
m) a( x) n) b( x)
o) c( x) p) d ( x)
3.2. Recorrido o imagen

El recorrido de una función, Im(f), es el conjunto de valores que son imagen de algún original, es decir,
el conjunto de valores que toma la variable dependiente y = f(x).
En general no resulta fácil calcular la imagen de una función, aunque:
A veces se puede deducir de alguna propiedad de la función:
a. Función afín: f(x) = ax + b  Im(f) = 
b. f(x) = x2  Im(f) = 0+ (al elevar un número al cuadrado siempre sale positivo o 0)
c. Función exponencial: f(x) = ax  Im(f) = +
d. Función logaritmo: f(x) = logax  Im(f) = 
137
Funciones
Si la función tiene inversa, la imagen será el dominio de la inversa:
7x1 7x1 7y1
f ( x)   y  x  3 xy  4 x  7 y  1 
3x  4 3x  4 3y  4
4x  1 4x  1
 3 xy  7 y  4 x  1  y 3x 7   4 x  1  y  f 1  x  
3x 7 3x 7
4  7 
Dom f     e Im  f   Dom f 1   
3 3
Gráficamente, lo podemos intuir trazando rectas horizontales (paralelas al eje de abscisas) y

viendo si cortan a la gráfica de la función. Un punto del eje OY tal que la recta horizontal que
pasa por él no corta a la gráfica, no estará en la imagen:
 Im f = (, 6]  0, +)
3.3. Simetrías
Una función par es aquella en la que se obtiene lo mismo al sustituir un número que su opuesto:
f(x) = f(x) x  Dom f
Esta propiedad se traduce en que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas, es decir, si
doblamos el papel por dicho eje, la gráfica de la función coincide en ambos lados.
Ejemplo
La función cuadrática f(x) = x2 es par:
f(x) = (x)2 = x2 = f(x)
138
Funciones
Comprueba que la función valor absoluto es par.
FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA
f  x  x f  x  x  x  f  x
Una función impar es aquella en la que se obtiene lo opuesto al sustituir un número que su opuesto:
f(x) = f(x) x  Dom f
Esta propiedad se traduce en que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas, es decir, si
trazamos un segmento que parte de cualquier punto de la gráfica y pasa por el origen de coordenadas,
al prolongarlo hacia el otro lado encontraremos otro punto de la gráfica a la misma distancia.
Ejemplo
La función de proporcionalidad inversa

1
f  x   es impar porque:
x
1 1
f x     f  x
x x
Comprueba que las funciones potencia de exponente 3 es una función impar.
FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA
f  x   x3
f x  x 
3
  x3   f  x
En general, cualquier polinomio
con sólo grados impares
139
Funciones
3.4. Periodicidad
Una función periódica es aquella en la que las imágenes de la función se repiten siempre que se le
añade a la variable independiente una cantidad fija, llamada periodo ().
Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente forma:
  ; f(x + ) = f(x) x  Dom f
Gráficamente se busca un trozo del dibujo que, si lo repetimos en ambos sentidos, nos proporcione la
gráfica completa:
Ejemplos:
La gráfica de un electrocardiograma:
Se observa claramente que la gráfica se repite a intervalos iguales, ya que los latidos del corazón son
rítmicos.
¿Qué significaría, en la gráfica anterior, que los intervalos de repetición no fueran iguales?
Si no tenemos un periodo fijo, querría decir que el corazón no está funcionando de forma
rítmica y, por tanto, diríamos que se ha producido una “arritmia”.
¿Cómo influiría en la gráfica anterior el que el periodo sea más o menos grande? ¿Qué
significado tendría?
Si el periodo es más grande, es decir, los intervalos de repetición se encuentran más
distanciados, tendríamos un ritmo de latido más lento (menos pulsaciones por minuto), lo que
se conoce como “bradicardia”.
Si el periodo es menor, pasaría justo todo lo contrario, esto es, el corazón estaría latiendo más
rápido de lo normal (más pulsaciones por minuto) y tendríamos una “taquicardia”.
3.5. Puntos de corte con los ejes

El punto de corte de f con el eje de ordenadas (OY) se obtiene dando a la variable independiente el
valor 0, siempre y cuando dicho valor esté en el dominio: (0, f(0)), si  f(0)   o 0  Dom f . En caso
contrario no habrá. Recordemos que, por la propia definición de función, si existe f(0) es único).
Los CEROS o puntos de corte de f con el eje de abscisas (OX) son los que se obtienen dando a la
variable dependiente el valor 0: {(x, 0); x  Dom f y f(x) = 0}.
140
Funciones
Actividad resuelta
Tipo PUNTOS CORTE EJES Ejemplos
p  x  2x  5 x  p  0   0 
2
 0, 0 
OY (0, f(0)) q  x   3x  1  q  0   1   0, 1
Polinomios
t  x   2 x4  4 x 3  4 x 2  4 x  2  t 0  2   0, 2
 5 5 
p( x)  2 x2  5 x  2 x2  5 x  0  Sol  0,   (0, 0);  , 0 
Soluciones de la  2  2 
OX
ecuación q( x)  x  1  x  1  0  Sol    No hay
2 2
t ( x)  2 x4  4 x3  5 x 2  6 x  3  Sol  1, 1  (1, 0)

1 1
f ( x)   f (0 )   ???  No hay
x 0
3 x 2  27 x
OY (0, f(0)) si 0  Dom f g ( x) 
0
 g (0 )   0  (0 , 0 )
2 x  2 2
4x  5 5 5
Racionales
 5
h( x)  2  h(0 )     0, 
x 6 6 6  6
1
f ( x)   1  0 falsedad  No hay
x
Numerador igual a 3 x 2  27 x
OX g ( x)   3 x 2  27 x  0  Sol  0 , 9  (0 , 0 ); (9, 0 )
cero 2 x  2
4x  5 5  5 
h( x)  2  4 x  5  0  Sol      , 0 
x 6 4  4 
f ( x)  2 x  3  f (0)  3   No hay
OY (0, f(0)) si 0  Dom f x 1
2
1 1  1 
Irracionales
g ( x)  3  g (0)  3    0, 
x2  8 8 2  2 
 3   3 
f ( x)  2 x  3   2 x  3  0  Sol      , 0 
2  2 
OX Radicando igual a cero
x2  1
g ( x)  3  x 2  1  0  Sol  1, 1  (1, 0);(1, 0)
x2  8
2 x1 1
Exponenciales
OY (0, f(0)) si 0  Dom f f ( x)  e 3x

 f (0 )  e 0  ???  No hay
g ( x)  2 2 x1
 g (0 )  2  21
 0 , 2 
2 x1 2 x1
OX NUNCA f ( x)  e 3x
 e 3x
0  Nunca
2 x1 2 x1
g ( x)  2  2 0  Nunca
f (x)  log(3x  2)  f (0)  log(2)  ???  No hay
(0, f(0)) si 0  Dom f
Logarítmicas
OY  2x2  27 
g(x)  log3    g(0)  log3 9  2   0, 2
 3 
f ( x)  log(3 x  2)  3 x  2  1  Sol  1  (1, 0)
OX Argumento igual a 1  2 x2  27  2 x2  27
g ( x)  log 3 
 3 
 
3
 1  Sol  2 3 , 2 3     2 
3, 0 ; 2 3, 0 
(0, f(0)) si 0  Dom f  x2  x x  0
f ( x)    f (0 )  0  (0, 0 )
ln x x0
Definidas a trozos
OY  x  1 x  1
Sustituyendo en la fórmula cuyo  1
g ( x)   1  f (0)   ???  No hay
 x x  1 0
rango contiene al 0.
 x2  x x0  x2  x  0  Sol  0, 1 y 0  0, 1  0  (0, 0)
Cada fórmula igualada a 0 f ( x)    
ln x x0 ln x  0  Sol  1 y 1  0  (1, 0)
OX Sólo valen las soluciones incluidas  x  1 x  1  x  1  0  Sol  1 y  1   1  No hay
 
g ( x)   1  1
en el rango correspondiente  x x  1  0  Sol    No hay
x
141
Funciones
22. Calcula en tu cuaderno los puntos de corte con los ejes de las funciones siguientes:
2x  4
p( x)  5 x  3 ; q( x)  2 x 2  x  7 ; r ( x)  4  x 3  1 ; s( x)  3 3 x 2  x ; f ( x) 
x3
x1
3 x1  x2  2 x 1
2
g ( x)  ; h( x )  2 ; j ( x)  2 ; k ( x)  e x  4 ; l ( x)  2 x
; m( x )   
x x 1 x 4 3
 x2   x2  1 
x
n( x )  e ; a( x)  L  x  2  ; b( x)  log   ; c( x)  L   ; d ( x)  log  x  5 
x2 1 3
 4   2x  4 
PUNTOS CORTE EJES PUNTOS CORTE EJES

FUNCIÓN FUNCIÓN
Ordenadas Abscisas Ordenadas Abscisas
a) p( x) b) q( x)
c) r ( x) d) s( x)
e) f ( x) f) g ( x)
g) h( x) h) j ( x)
i) k ( x) j) l ( x)
k) m( x) l) n( x)
m) a ( x ) n) b( x)
o) c( x) p) d ( x)
23. Estudia las simetrías y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
f ( x )  2 x  24 · 4 3 x  1 · 8  x  1  1 h( x)  x 3  4 x k ( x )  e  2 x  22
1
l ( x) 
g ( x)  7 x 4  x 2  1 j( x)  15 x  3  x  9 1
1
x
3.6. Signo de una función

Los intervalos de signo de una función proporcionan una información muy útil para la representación
gráfica. Para estudiarlos, hay que tener en cuenta:
1º Los puntos que no están en el dominio, ya que no tienen imagen y, por tanto, hay que estudiar
el comportamiento de la función en un entorno de dichos puntos.
2º Los ceros, puesto que cuando la función vale cero puede ser que haya un cambio de signo en
ese punto.
3º En las funciones definidas a trozos, los puntos donde cambia la definición, ya que las fórmulas
son diferentes antes y después de esos puntos, lo que puede provocar un cambio de signo.
142
Funciones
TIPO SIGNO Ejemplos
  Positivo : Nunca
p ( x )  3  No hay ceros  
 Negativo :
‐Ceros  Positivo : Nunca
q( x)  0  Hay infinitos ceros  
‐Recta  Negativo : Nunca
‐Estudio del signo: 1   Positivo :
r ( x)     
Polinomios
No hay ceros
* dar valores 2  Negativo : Nunca
o    Positivo :  , 2 
s ( x)  4 x  8   
* los signos se alternan 2  Negativo : 2 ,  
si hay tantas raíces     Positivo : 0 , 3 2 
como grado y son t ( x)  2 x 2  3 x   
0 32  Negativo :  , 0   3 2 , 
distintas.
   Positivo :   1
f ( x)  x 2  2 x  1   
1  Negativo : Nunca
‐Ceros y polos 3 x     Positivo : , 1 2

Racionales
f ( x)    
‐Recta 2 x2  x 1 2 0  Negativo : 1 2 ,   0
‐Estudio del signo dando   Positivo :
2
valores g ( x)   No hay ceros ni polos   
x 1 2
 Negativo : Nunca
POSITIVO siempre en
Índice x1  Positivo : 2 , 1  2 ,  
todo su dominio menos f ( x)  4  
par x2  4  Negativo : Nunca
en los ceros.
Irracionales
x1      Positivo : 2, 1  2, 

f ( x)  3   
Índice x2  4 2 1 2  Negativo : , 2  1, 2
Signo del radicando
impar   Positivo : Nunca
g ( x)  7  x 4  1   
 Negativo :
 0
2
 1 x Positivo :
Exponenciales
f ( x)     
POSITIVO siempre en 2  Negativo : Nunca
todo su dominio. Positivo :  2 5 , 
g ( x)  7 5 x2  
Negativo : Nunca
0<a<1:  x 1  Sol 0,1 Positivo: 0,1

 
Logarítmicas
argumento<1 → + f (x) log05. x    

argumento>1 → ‐  x 1  Sol 1, Negativo: 1,
x 2x11  Sol ,0 2, Positivo: ,0 2,

a>1: 2
argumento<1 → ‐ g(x)  L x2 2x1   2  

argumento>1 → + x 2x11  Sol 0, 2 Negativo: 0, 2
Lx x2 Nada     Positivo : 1, 2 3, 

‐Ceros, puntos problemáticos y f (x)   2   
x  3 x x  2 Negativo : 0, 1 2, 3
Definidas
puntos donde cambia la 0 1 2 3

a trozos
definición
‐Recta 1
 x  1    Positivo : 1, 
‐Estudio del signo, utilizando la g(x)   x   
fórmula correspondiente. x  1 x  1 1 1 Negativo : , 1
143
Funciones
24. Calcula en tu cuaderno el signo de las siguientes funciones:
p ( x )  5 x  3 ; q ( x )  2 x 2  x  7 ; r ( x)  4  x 3  1 ; s ( x)  3 3 x 2  x
2x  4 3 x1  x2  2 x
f ( x)  ; g ( x)  ; h( x )  2 ; j ( x) 
x3 x x 1 x2  4
x1 x
2
1
k ( x)  e x 4 ; l ( x)  2 x ; m( x )    ; n( x )  e x  1
2
3
 x2   x2  1 
a( x)  L  x  2  ; b( x)  log   ; c( x)  L   ; d ( x)  log  x  5 
3
 4   2x  4 
SIGNO SIGNO
FUNCIÓN FUNCIÓN
POSITIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO
a) p( x) b) q ( x )
c) r ( x ) d) s( x)
e) f ( x) f) g ( x)
g) h ( x ) h) j ( x)
i) k ( x) j) l ( x)
k) m( x) l) n( x)
m) a ( x ) n) b ( x )
o) c ( x ) p) d ( x)
25. Interpreta gráficamente los intervalos de signo del ejercicio anterior, siguiendo el ejemplo:
f  3  
Ceros: 2 x  0  x  0  la gráfica de la
2x  f  1 
f  x  2    x  2    función debe ir por la
x 4 Polos: x  4  0   x  2
2
f  1 
zona no sombreada:
  f
  3 
‐2 ‐1 0 1 2 3
144
Funciones
CURIOSIDADES. REVISTA
El crecimiento exponencial
Existen muchos fenómenos en la naturaleza que siguen un
crecimiento exponencial.
150
En Biología se presenta cuando la tasa de variación de una

población es proporcional a la población en cada instante, esto 130
ocurre cuando no hay factores que limitan el crecimiento como 110
ocurre con ciertas poblaciones de bacterias. 90
70
También aparece en cierto tipo de reacciones químicas cuando la 50
velocidad de descomposición de una sustancia es proporcional a 30
su masa, la más importante de estas reacciones es la

10
desintegración radiactiva que se utiliza para asignar fecha a -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-10
acontecimientos que ocurrieron hace mucho tiempo y ha sido un

instrumento indispensable en Geología y Arqueología.
La catenaria
y
2k
e  e 
1 kx  kx
La curva se denomina
50 catenaria, tiene la forma que toma un hilo
45
40
flexible y homogéneo suspendido entre sus dos
35 extremos y que cuelga por su propio peso.
30
25 La constante k es el cociente entre el peso por
20
15
unidad de longitud y la componente horizontal de
10 la tensión que es constante.
5
0 La forma catenaria minimiza las tensiones, por
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
esa razón, una curva catenaria invertida se usa en
arquitectura, ya que minimiza los esfuerzos de
compresión sobre dicho arco, ha sido utilizada,
sobre todo, por Gaudí.
145
Funciones
Los logaritmos de Neper
Ábaco neperiano
En el Museo Arqueológico de Madrid hay dos
ábacos confeccionados en el siglo XVII siguiendo
las indicaciones del libro de John Napier
“Rabdología” publicado en 1617. Es único en el
mundo. No queda ningún otro ejemplar
completo como éste. Puedes ver un mueble de
madera de palosanto, con incrustaciones de
marfil, con dos puertas, en una aparece el
Ábaco neperiano triángulo de Tartaglia, y en la otra, las tablas de
Puerta con las
las potencias. En él se guardan dos ábacos, el de
los “huesos de Napier” y, en los cajones, el potencias
ábaco promptuario.
John Napier
En tiempo de Maricastaña (bueno, no tanto, en el Renacimiento, en
1550) nació en Escocia, John Napier, hijo de una familia noble, rica y
calvinista. Por eso pudo dedicarse a lo que le gustaba, las Ciencias,
llegando a ser conocido por sus vecinos como “la maravilla de
Merchiston” por sus muchos inventos en diferentes campos: en
cultivos, fertilizantes, armas para combatir a los españoles… (¡Curiosa
paradoja! El único prontuario neperiano que se ha localizado en el
mundo es propiedad de la católica monarquía española a la que Neper
John Napier
quería combatir). Uno de estos inventos fueron los logaritmos. Ya
sabes, los logaritmos neperianos se llaman así en su honor.
Para saber más sobre Napier y los logaritmos visita:

http://cifrasyteclas.com/2013/11/25/yo‐tambien‐vivi‐enganado‐el‐logaritmo‐neperiano‐no‐usaba‐la‐base‐e/
Quizás, luego ya no llames a los logaritmos neperianos así, sino logaritmos naturales.
146
Funciones
Los huesos de Napier

Consta de 60 varillas de marfil con forma
de prisma cuadrangular que llevan
grabadas las tablas de multiplicar del 1 al 9.
Permiten multiplicar números de varias
cifras por un número de una cifra, sin tener
que saberse las tablas de multiplicar. Sólo
hay que saber sumar. Se basa en la forma
de multiplicar introducida por los árabes
del método de la celosía. Ejemplares
parecidos sí se conservan varios pues
debieron ser muy usados. ¿Cómo se usan?
Ábaco promptuario
En los cajones del mueble de la figura arriba a la izquierda
está el segundo ábaco de los que se guardan en el Museo
Arqueológico, que permite multiplicar números de hasta 20
cifras por números de hasta 10 cifras, que pueden incluso
ampliarse. Hay regletas de dos tipos: 100 verticales con
números y similares a los huesos de Napier, con las tablas
de multiplicar escritas por el método de la celosía, y 200
horizontales que constan de un número (multiplicando) y
perforaciones triangulares, que se superponen a las Regletas del ábaco
anteriores. Con sólo sumar los números que permiten ver
promptuario
las tablillas perforadas se pueden multiplicar números
grandes (sin saber la tabla de multiplicar). Este ábaco es
único en el mundo.
Tablas de logaritmos
Utilizando un instrumento similar a este ábaco, Napier con la ayuda de Henry Briggs elaboró la
primera tabla de logaritmos, poderosa herramienta de cálculo durante siglos.
Para saber más visita:

http://matemirada.wordpress.com/miscelanea‐matematica/
147
Funciones
RESUMEN
TIPOS DE FUNCIONES FÓRMULA
Polinómicas Polinomio
ALGEBRAICAS Racionales Cociente de polinomios
Irracionales Raíz de una racional
Exponenciales Exponencial (variable en el exponente)
TRASCENDENTES Logarítmicas Logaritmo (variable como argumento de un logaritmo)
Trigonométricas Trigonométrica (variable como argumento de una razón trigonométrica)
DEFINIDAS A TROZOS Varias fórmulas dependiendo de los valores de la variable
2 3 x
OPERACIÓN EJEMPLO: f  x   ; g  x 
x x1
Función suma f  g Función resta f  g Función producto f · g : Función cociente f g :
f x
 f  g  x   f  x   g  x  f  g  x   f  x   g  x   f · g  x  f  x · g  x  f 
 x 
 
g g x
, g x  0
3 x 2  2 x  2 3 x2  2 x  2 6  f  2x  2
f  g  x  
x· x  1
f  g  x  
x·  x  1
 f · g  x     x 
3 x 2
x1 g
 3 x  2x  2
 f  g  x   f  g  x   
donde ponga x en f ,
2
f g
  f   
 x1 ponemos g  x  
3 x
 3 x  3 x
g compuesto con f x1  
antes, NO de izquierda a derecha)  x1
Función compuesta 2 6
3 ·  
2
  g  f  x   g  f  x    g    x   x  6
donde ponga x en g ,
g f 
 x ponemos f  x  
2
2 2x x2
f compuesto con g x  1
antes, NO de izquierda a derecha)  x x
1
Función inversa f : 3 x
g  x  y   y ·  x  1  3 x 
 f  f  I
1 x1
 1 1º Llamamos y a f  x  yx  y  3 x  yx  3 x   y 
 f  f  I y
Si existe, la inversa es única y
2º Despejamos x en función de y  x  y  3   y  x 
3º Cambiamos los papeles de x e y y3
su gráfica y la de la función son
x
simétricas respecto a la de la  f 1  x  
función identidad. x3
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

1) Dominio Conjunto de valores que tienen imagen.
Operación
f  0    0, f (0)
Ordenadas (OY) numérica
2) Puntos de corte
con los ejes  f  0   No hay Nada
Abscisas (OX) ‐CEROS‐ f x  0  x 1 , x 2 , ...   x 1 , 0  ;  x 2 , 0  ;... Ecuación
Par f  x  f  x Operación
3) Simetría
Impar f x   f  x algebraica
148
Funciones
FAMILIAS DE
Racional Irracional Exponencial Logarítmica Definida a trozos
FUNCIONES
Índice par Índice impar ‐Valores de la variable
‐Puntos problemáticos de
  {puntos   {puntos cada fórmula
  {polos} {x  ; {x  ;
Dominio (D) problemáticos problemáticos   {valores que no toma la
radicando  0} exponente} argumento > 0} variable y puntos
radicando}
problemáticos incluidos en el
rango}
(0, f(0)) si 0Dom f

(0, f(0)) si (0, f(0)) si (0, f(0)) si
OY (0, f(0)) si 0Dom f (0, f(0)) si 0Dom f sustituyendo en la fórmula
Puntos 0Dom f 0Dom f 0Dom f
cuyo rango contiene al 0
de corte
con los
ejes ‐Cada fórmula = 0
OX Numerador = 0 Radicando = 0 Radicando = 0 No hay Argumento = 1 ‐Soluciones que pertenecen a
su rango
0 < a < 1:
argumento<1: + ‐Ceros, polos y puntos donde
‐Ceros y polos Positivo
Signo del Positivo en todo argumento>1: ‐ cambia la definición
Signo ‐Estudio del signo en siempre salvo
radicando su dominio a > 1: ‐Estudio del signo en la recta
la recta real en los ceros
argumento<1: ‐ real
argumento>1: +
Todos los grados

PAR Argumento par Argumento par
pares o impares
Es tan infrecuente la simetría
Simetría del
Simetría Nunca en este tipo de funciones que
Todos los grados del radicando
dor dor no merece la pena estudiarla
IMPAR n pares y del d Nunca Nunca
impares o viceversa
0<a<1 a>1
CARACTERÍSTICAS x x
a log a x a log a x
Dominio  = (, ) + = (0, )  = (, ) + = (0, )
Recorrido + = (0, )  = (, ) + = (0, )  = (, )
Puntos de Ordenadas (0, 1) (0, 1)
corte con
los ejes Abscisas (1, 0) (1, 0)
Positivo  = (, ) (0, 1)  = (, ) (1, )
Signo
Negativo (1, ) (0, 1)
Simetría
DIBUJO
149
Funciones
EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
2 x  2 si x  1,
1. Esboza la gráfica de la función f:    dada por f ( x)  
x  x si x  1.
3
2. Copia en tu cuaderno y realiza las operaciones indicadas con las siguientes funciones:
p( x)  5 x  3 ; q( x)  2 x 2  x  7 ; r ( x)   x 3  6 ; s( x)  3 x 2  x
2x  4 3 x1  x2
f ( x)  ; g ( x)  ; h( x )  2 ; j ( x)  2
x3 x x x 4
x
2
1 x
x4
k ( x)  e ; l ( x)  2 x
; m( x )    ; n( x )  e x 1
3
 x1  x2  1 
a( x)  L  x  2  ; b( x)  log   ; c( x)  L   ; d ( x)  log  x  1 
3
 3   2x  4 
a) ( s  q )( x ) b) ( r  p )( x )
c) ( p  q )( x ) d) ( p  q  r  s )( x )
e) (q  r  s)( x) f) ( p  q  r  s )( x )
g) ( g  h )( x ) h) ( s  g )( x )
i) ( n  k )( x ) j) ( g  d )( x )
k) (b  d )( x ) l) ( c  s )( x )
m) ( s · q · r )( x ) n) ( r · p )( x )
o) ( q : p )( x ) p) ( s : q )( x )
q) ( g · h )( x ) r) ( s : g )( x )
s) ( n · k )( x ) t) ( g : d )( x )
u) ( s  q )( x ) v) (r  p )( x)
w) ( q  p )( x ) x) ( g  h)( x)
y) ( s  g )( x ) z) ( n  k )( x )
x
3. Considera la función f:    definida por f ( x )  . Determina los siguientes elementos: su
1  x2
dominio, puntos de corte con los ejes, signo y simetrías.
2
4. Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas y  x 2  1, y 
x
e y  x1.
150
Funciones
5. Consideremos las siguientes funciones:
f ( x)  x 3  3 x 2  3 x  1 h( x)  2  x1 k ( x )  2 x · 30 x  1 · 12  x  1 m( x)  4 5  2 x
x2 j( x)  L  x 5  1 
x2  9 1
g ( x)  l ( x)  3 n( x )   4 x 2  4 x  1  3
x 7 x  7 x  15 x  9
2
a) Calcular las siguientes composiciones:

f h ; g h ; g  j ; k h ; g h j ; m j ; lh ; mh ; jh ; l m
b) Calcular f 1  x  , h 1  x  , k 1  x  , j 1  x  , n 1  x  y verificar que son las inversas de

f  x  , h  x  , k  x  , j  x  y n  x  . ¿Por qué g 1  x  y m 1  x  no son inversas?
c) Calcular todos los dominios.
d) Calcular los puntos de corte con los ejes de todas las funciones.
6. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros
alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por h ( t )  5  4 t  t 2 . Calcula la altura desde la que se
lanza el objeto y a la que se encuentra después de 1 segundo. Determina en qué instante alcanzará
la altura máxima y cuál es. Por último, calcula el instante en que caerá al suelo y representa
gráficamente la situación con los datos obtenidos anteriormente.
7. Considera las funciones f, g: [0, 2]  , f ( x )  2  sen( x ) y g ( x)  sen( 2 x). Dibuja la región del
plano limitada por las gráficas de f y de g.
8. Sea la función dada por f  x   x 3  ax 2  bx  c . Determina a, b y c sabiendo que es impar y que
pasa por el punto  1, 2  .
9. Sean las funciones definidas mediante f ( x )  x  x  2  y g ( x )  x  4 . Esboza las gráficas de f y g
sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas.
10. El gasto por el consumo de luz (en céntimos de euro) de una vivienda, en función del tiempo
1
transcurrido (en horas), nos viene dado por la expresión f  t    t 2  2t  10 0  t  12 .
5
a) Represente gráficamente la función.
b) ¿Cuál es el consumo a las 6 horas? ¿Y después de 12 horas?
2 log x
11. Considera la función definida por f  x   . Calcula su dominio.
x2
x
12. Dibuja el recinto limitado por las curvas y  e x  2 , y  e y x  0.
50 x  100
13. Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la función f  x   ,
2x  5
donde x representa los años de vida de la empresa, cuando x  0 . Calcula el dominio, corte con los
ejes, signo y simetrías de dicha función.
14. Considera la función definida por g  x   ln  x  (donde ln denota el logaritmo neperiano). Esboza
el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y = 1. Calcula los puntos de corte entre ellas.
151
Funciones
Lx
15. Calcula el dominio de las siguientes funciones: f ( x )  ( Lx indica logaritmo neperiano de x);
x2
1
g ( x )  (1  x 3 ) cos x y h( x )  4 x  5 x 
3
.
ex
1  x 2 si x1

16. Sea la función f ( x )   3 x 2  12 x  9 si 1  x  3 . Dibuja su gráfica y, a la vista de ella,
 2 x 2  16 x  30 si x3

indica su dominio, sus puntos de corte con los ejes y su signo.
17. Estudia el dominio, puntos de corte con los ejes y signo de las siguientes funciones:
a) b)
c) d)
18. El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de euros
 x2 8 x 8
 50  25  5 si 0  x  5
produce una ganancia de f(x) millones de €, siendo: f ( x)   . Razona
 5
si x  5
 2x
cuál es el rango de valores de la variable, los puntos problemáticos de cada una de las fórmulas y,
finalmente, el dominio de la función.
19. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se
encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión h ( t )   5 t 2  40 t .
a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?
b) Represente gráficamente la función h(t).
c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura?
d) ¿En qué instante llega al suelo?
152
Funciones
AUTOEVALUACIÓN
1. Señala cuál de las siguientes gráficas no corresponde a una función:
a) b) c) d)
2. La fórmula de la composición f o g de las funciones f  x   2 x  1 y g  x    x 2  2 es:
a) 2 x 2  3 b) 2 x2  3 c) 4 x 2  4 x  1 d) 4 x 2  4 x  1
x1
3. La fórmula de la función inversa o recíproca de f  x   es:
x2
x2 x  1 2x  1 2 x  1
a) b) c) d)
x 1 x2 x1 x1
4. La gráfica de la función f  x    x 2  2 x  3 es:
a) b) c) d)
x
5. El dominio de la función f  x   e x 2
1 es:
a)  b)   {1} c)   {1, 1} d)   {0}
153
Funciones
6. El recorrido de la función es:
a)  1,  b) 1,  c)  , 1 d)   {4}
7. Los puntos de corte con el eje de abscisas de la función f  x   ln  x 2  3 x  3  son:
a) No tiene b)  1, 0  ;  2, 0  c)  1, 0  ;  2, 0  d)  0, ln 3 
8. La única función impar entre las siguientes es:
a) b) c) d)
9. El intervalo donde la función es negativa es:
a) 1, 1 b)  , 1 c) , 1 d) , 0

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias

Autor: José Gallegos Fernández

2. OPERACIONES CON FUNCIONES

3. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

Funciones en forma de tabla

Espacio (m) 0 0’2 0’5 0’8 1 1’2 1’4 1’43

Tiempo (s) 0 0’2 1’13 3’14 4’9 7’06 9’16 10’00

Funciones en forma de expresión algebraica

Funciones en forma de gráfica

Función identidad (transforma cada número en él mismo):

Área de los trapecios de bases 6 y 8 dm en función de la altura: A  h  

(2, 3) (1, 1) (1/2, 0) (0, 1) (1, 3)

Coeficiente líder: 1 > 0  parábola convexa

Ordenada en el origen: 5  (0, 5) punto de corte con el

La gráfica de la función de proporcionalidad inversa es:

x 3 2 1 1/2 1/5 1/5 1/2 1 2 3

Interpolación y extrapolación cuadrática

Número de bacterias en cada hora Gráfica de la función

La tabla de valores y la gráfica de la función y  log2 x son las siguientes:

Relación entre las funciones exponencial y logarítmica

1.5. Funciones definidas a trozos. Función valor absoluto. Función parte

Funciones parte entera

Precio por saco (euros) 8 6 4 2

Precio de un piso (euros) 1500 1000 500

2.2. Composición de funciones

1º Aplicamos una función a un número.

2º Aplicamos otra función al resultado obtenido.

La función inversa (o recíproca) de una función f es otra función, f , tal que:  1 1

FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN INVERSA

19. Calcula la función inversa de:

Función afín: p( x)  3 I ( x)  x (identidad) ; p( x)  2 x  1  2 x  1

  {puntos problemáticos 1

3.2. Recorrido o imagen

En general no resulta fácil calcular la imagen de una función, aunque:

Gráficamente, lo podemos intuir trazando rectas horizontales (paralelas al eje de abscisas) y

 Im f = (, 6]  0, +)

La función de proporcionalidad inversa

3.5. Puntos de corte con los ejes

t ( x)  2 x4  4 x3  5 x 2  6 x  3  Sol  1, 1  (1, 0)

OY (0, f(0)) si 0  Dom f f ( x)  e 3x

PUNTOS CORTE EJES PUNTOS CORTE EJES

3.6. Signo de una función

‐Ceros y polos 3 x     Positivo : , 1 2

x1      Positivo : 2, 1  2, 

0<a<1:  x 1  Sol 0,1 Positivo: 0,1

argumento<1 → + f (x) log05. x    

x 2x11  Sol ,0 2, Positivo: ,0 2,

argumento<1 → ‐ g(x)  L x2 2x1   2  

Lx x2 Nada     Positivo : 1, 2 3, 

puntos donde cambia la 0 1 2 3

En Biología se presenta cuando la tasa de variación de una

ocurre cuando no hay factores que limitan el crecimiento como 110

ocurre con ciertas poblaciones de bacterias. 90

También aparece en cierto tipo de reacciones químicas cuando la 50

velocidad de descomposición de una sustancia es proporcional a 30

su masa, la más importante de estas reacciones es la

desintegración radiactiva que se utiliza para asignar fecha a -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

acontecimientos que ocurrieron hace mucho tiempo y ha sido un