6 Cálculo Diferencial

Nivelación
Académica
Guía de Estudio
Cálculo Diferencial e Integral para
la Aplicación de la Física y Química
Ciencias Naturales: Física Química

© De la presente edición
Colección:
GUÍAS DE ESTUDIO - NIVELACIÓN ACADÉMICA
DOCUMENTO:
Unidad de Formación
Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química
Documento de Trabajo
Coordinación:
Dirección General de Formación de Maestros
Nivelación Académica
Como citar este documento:

Ministerio de Educación (2016). Guía de Estudio: Unidad de Formación
“Cálculo Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química”, Equipo Nivelación Académica, La Paz Bolivia.
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Nivelació n
Académic a
Cálculo Diferencial e Integral para

la Aplicación de la Física y Química
Ciencias Naturales: Física Química

Puntaje
Datos del participante
Nombres y Apellidos: .....................................................................................................................................................................................................
Cédula de identidad: .....................................................................................................................................................................................................
Teléfono/Celular: .....................................................................................................................................................................................................
Correo electrónico: .....................................................................................................................................................................................................
UE/CEA/CEE: .....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
ESFM: .....................................................................................................................................................................................................
Centro Tutorial: .....................................................................................................................................................................................................
3
Índice
Presentación .................................................................................................................... 7
Estrategia Formativa ........................................................................................................ 8
Objetivo Holístico de la Unidad de Formación .............................................................. 10
Orientaciones para la Sesión Presencial ........................................................................ 11
Materiales Educativos .................................................................................................... 13
Partiendo desde el Contacto con la Realidad, Experimentación y Experiencia.............. 14
Tema 1: Funciones y Límites..................................................................................... 20

Profundización a partir del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfico ................. 21
1. Definición de función ............................................................................................... 21
2. Dominio y rango ....................................................................................................... 21
3. Composición de funciones ....................................................................................... 22
4. Funciones elementales ............................................................................................ 23
5. Definición de límites ................................................................................................. 27
6. Teorema de límites ................................................................................................... 27
7. Límites exponenciales y logarítmicos ....................................................................... 28
8. Límites laterales ........................................................................................................ 29
9. Continuidad .............................................................................................................. 30
Tema 2: Derivadas .................................................................................................. 31

1. Definición ................................................................................................................. 32
2. Interpretación geométrica ....................................................................................... 33
3. Derivación de funciones ........................................................................................... 33
4. Regla de la cadena.................................................................................................... 35
5. Derivación implícita .................................................................................................. 36
6. Derivadas laterales ................................................................................................... 37
7. Derivadas y continuidad ........................................................................................... 38
8. Aplicaciones de la derivada ...................................................................................... 39
5
Tema 3: Gestión Educativa Curricular Escolarizada .................................................. 41
1. Definición de anti – derivada ................................................................................... 42
3. Integración por sustitución....................................................................................... 43
4. Integración por partes .............................................................................................. 44
5. Integración por fracciones parciales......................................................................... 45
6. Integrales trigonométricas ....................................................................................... 46
7. Integrales binómicos ................................................................................................ 46
8. Integrales de funciones irracionales ......................................................................... 47
9. Integrales de funciones racionales trigonométricas ................................................. 47
10. Aplicación de la integración................................................................................... 48
Orientaciones para la Sesión de Concreción .................................................................. 50

Orientaciones para la Sesión de Socialización ............................................................... 57
Bibliografía ..................................................................................................................... 58
Anexo
Presentación
El proceso de Nivelación Académica constituye una opción formativa dirigida a maestras y

maestros sin pertinencia académica y segmentos de docentes que no han podido concluir dis-
tintos procesos formativos en el marco del PROFOCOM-SEP. EL mismo ha sido diseñado desde
una visión integral como respuesta a la complejidad y las necesidades de la transformación del
Sistema Educativo Plurinacional.
Esta opción formativa desarrollada bajo la estructura de las Escuelas Superiores de Formación
de Maestras/os autorizados, constituye una de las realizaciones concretas de las políticas
de formación docente, articuladas a la implementación y concreción del Modelo Educativo
Sociocomunitario Productivo (MESCP), para incidir en la calidad de los procesos y resultados
educativos en el marco de la Revolución Educativa con ‘Revolución Docente’ en el horizonte
de la Agenda Patriótica 2025.
En tal sentido, el proceso de Nivelación Académica contempla el desarrollo de Unidades de

Formación especializadas, de acuerdo a la Malla Curricular concordante con las necesidades
formativas de los diferentes segmentos de participantes que orientan la apropiación de los
contenidos, enriquecen la práctica educativa y coadyuvan al mejoramiento del desempeño
docente en la UE/CEA/CEE.
Para apoyar este proceso se ha previsto el trabajo a partir de Guías de Estudio, Dossier Digital y
otros recursos, los cuales son materiales de referencia básica para el desarrollo de las Unidades
de Formación.
Las Guías de Estudio comprenden las orientaciones necesarias para las sesiones presenciales,
de concreción y de socialización. En función a estas orientaciones, cada tutora o tutor debe
enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las actividades propuestas de acuerdo
a su experiencia y a las necesidades específicas de las y los participantes.
Por todo lo señalado se espera que este material sea de apoyo efectivo para un adecuado pro-
ceso formativo, tomando en cuenta los diferentes contextos de trabajo y los lineamientos de
la transformación educativa en el Estado Plurinacional de Bolivia.
Roberto Iván Aguilar Gómez

MINISTRO DE EDUCACIÓN
7
Estrategia Formativa
El proceso formativo del Programa de Nivelación Académica se desarrolla a través de la moda-

lidad semipresencial según calendario establecido para cada región o contexto, sin interrupción
de las labores educativas en las UE/CEA/CEEs.
Este proceso formativo, toma en cuenta la formación, práctica educativa y expectativas de las y
los participantes del programa, es decir, maestras y maestros del Sistema Educativo Plurinacio-
nal que no concluyeron diversos procesos formativos en el marco del PROFOCOM-SEP y PPMI.
Las Unidades de Formación se desarrollarán a partir de sesiones presenciales en periodos

intensivos de descanso pedagógico, actividades de concreción que la y el participante deberá
trabajar en su práctica educativa y sesiones presenciales de evaluación en horarios alternos
durante el descanso pedagógico. La carga horaria por Unidad de Formación comprende:
SESIONES CONCRECIÓN SESIÓN PRESENCIAL

PRESENCIALES EDUCATIVA DE EVALUACIÓN
24 Hrs. 50 Hrs. 6 Hrs. 80 Hrs. X UF
FORMACIÓN EN LA PRÁCTICA
Estos tres momentos consisten en:
1er. MOMENTO (SESIONES PRESENCIALES). Parte de la experiencia cotidiana de las y los par-
ticipantes, desde un proceso de reflexión de su práctica educativa.
A partir del proceso de reflexión de la práctica de la y el participante, la tutora o el tutor pro-

mueve el diálogo con otros autores/teorías. Desde este diálogo de la y el participante retroa-
limenta sus conocimientos, reflexiona y realiza un análisis comparativo para generar nuevos
conocimientos desde su realidad.
8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA LA APLICACIÓN DE LA FÍSICA Y QUÍMICA
2do. MOMENTO (CONCRECIÓN EDUCATIVA). Durante el periodo de concreción de la y el

participante deberá poner en práctica con sus estudiantes o en su comunidad educativa lo
trabajado (contenidos) durante las Sesiones Presenciales. Asimismo, en este periodo de la y el
participante deberá desarrollar procesos de autoformación a partir de las orientaciones de la
tutora o el tutor, de la Guía de Estudio y del Dossier Digital de la Unidad de Formación.
3er. MOMENTO (SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN). Se trabaja a partir de la socialización

de la experiencia vivida de la y el participante (con documentación de respaldo); desde esta
presentación de la tutora o el tutor deberá enriquecer y complementar los vacío y posterior-
mente avaluar de forma integral la Unidad de Formación.
9
Objetivo Holístico de la
Unidad de Formación
Una vez concluida la sesión presencial (24 horas académicas), la y el participante deberá cons-
truir el objetivo holístico de la presente Unidad de Formación, tomando en cuenta las cuatro
dimensiones.
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Orientaciones para la Sesión
Presencial
Dentro de cada guía que aborda una Unidad de Formación de la especialidad de Ciencias
Naturales: Física - Química, se desarrollarán diferentes contenidos planteados a partir de diversas
actividades, las cuales permitirán alcanzar el objetivo del Proceso Formativo.
Al inicio del desarrollo de la presente guía de estudio, encontrarás una actividad titulada
“Partiendo desde el contacto con la realidad, experimentación y experiencia”, mediante la
cual podremos reforzar tus saberes y conocimientos en relación a la Unidad de Formación.
La presente Unidad de Formación, por ser de carácter formativo y evaluable, las y los
participantes trabajarán en la diversidad de actividades teóricas/prácticas programadas para
el desarrollo de las temáticas. Durante el proceso de desarrollo de la presente guía deben
remitirse constantemente desde el principio hasta el final, al material bibliográfico (dossier
digital) que se les ha proporcionado, puesto que, nos ayudará a tener una visión más amplia
y clara de lo que se trabajará en toda la Unidad de Formación, programada para el siguiente
conjunto de temáticas:
• Funciones y límites.
• Derivadas.
• Integrales de Integración.
Para las sesiones presenciales debe tomarse en cuenta dos aspectos:
La organización del Aula: Para comenzar el desarrollo del proceso formativo es fundamental
considerar la organización del ambiente, de manera que sea un espacio propicio y adecuado para
el avance de las actividades planteadas. Tomando en cuenta el tipo de actividad o actividades
que se realizarán durante la sesión.
Las actividades formativas, considerando la profundización a partir del diálogo con los autores
y el apoyo bibliográfico: Las actividades correspondientes a la Unidad de Formación “Cálculo
Diferencial e Integral para la Aplicación de la Física y Química”, que a lo largo de los contenidos
irán desarrollándose de acuerdo a las consignas en cada una de ellas, tienen relevancia a partir
de las siguientes tareas:
11
GUÍA DE ESTUDIO
• Aplicación de las experiencias propias, pedagógicas en el contexto.
• Resolución de las actividades planificadas.
• Descripción y construcción de gráficos (dibujos).
• Análisis y profundización de lecturas.
12
Materiales Educativos
El uso de los materiales y recursos educativos son herramientas que apoyan el trabajo docente, que
no sólo forman parte del proceso educativo sino también transmiten conocimientos facilitando la
comprensión de algunos contenidos, durante el desarrollo de la Unidad de Formación se utilizaran
los siguientes materiales:
Descripción del Material/recurso educativo Producción de conocimientos
Fortalece de manera clara y reflexiva el desarro-

llo de los conocimientos nuevos a trabajar, poder
Documentos Digitales
analizar las concepciones brindadas, además son
prácticos y de fácil consulta.
Facilita el poder llevar a la imaginación más allá de

sólo teorizar, muestra la realidad de todo aquello
Material Audiovisual que se busca conocer pero a veces no se puede
tener de forma tangible, desarrolla del aprendizaje
visual y auditivo.
Desarrolla la capacidad interpretativa, ejecutando

Material de escritorio (hojas, lápices, colores, diversos trabajos, formando conocimientos pro-
plastilina, etc.) pios a partir de lo aprendido, volviendo suyo el
conocimiento y reflejado en diversas actividades.
Permite el fortalecimiento del conocimiento a

Contexto
partir de la observación y el análisis de la realidad.
Pelota de poligoma, cronómetro, calculadora, cua- Ayudará a realizar la experiencia antes de introdu-
derno de notas, cinta métrica o flexómetro. cirse al contenido de la Guía de Estudio.
Almacenar información relevante como evidencias

Cámara fotográfica
del trabajo realizado.
13
Partiendo desde el Contacto con
la Realidad, Experimentación y
Experiencia
Actualmente se desarrollan diversas actividades a diario donde casi nunca uno se ocupa de
justificar el porqué de los sucesos o acontecimientos, es decir, no existe la curiosidad de ir más
allá de la experiencia vivida, sin darnos cuenta que existe un mundo lleno de cálculos posibles a
poder realizar para explicar lo que pasa, lo cual nos facilita el poder contextualizar los procesos
formativos.
Para introducirnos al estudio de la presente Unidad de Formación, es necesario hacer algunas

experiencias previas, para lo cual se trabajara en equipos comunitarios de trabajo, con los
siguientes materiales:
• Pelota de poligoma.
• Cronómetro.
• Cinta métrica.
• Cuaderno de notas.
• Calculadora.
Se sugiere que para empezar la primera experiencia se desplacen a un área abierta y se deli-
mite espacio para cada equipo de trabajo, luego se debe realizar la práctica bajo las siguientes
consignas:
• Medir 100 metros y señalar desde 0 hasta 100.

• Un integrante del equipo debe correr el espacio marcado y otro cronometrará el tiempo,
debe ser registrado en el cuaderno de notas, se repetirá tres veces la prueba.
Una vez realizada la experiencia, gráfica lo sucedido, por medio de la relación tiempo y distancia,
determinando la rapidez para cada experiencia.
14
Completa la siguiente tabla con los datos obtenidos, indicando la rapidez en cada prueba y
resultados promedios.
Distancia (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s)
Promedio
Responde las siguientes preguntas:
¿Cómo era el lugar donde salis-

te, tenía delimitaciones? ¿Qué
puedes describir del momento
de partida y de llegada? ¿Cómo
inicio y cómo se detuvo?
Si no hubiera existido un puto de

referencia donde detenerse ¿Qué
sucedía con el corredor respecto
a su desplazamiento y trayecto-
ria?
En el momento de pasar el punto

final ¿Cómo fue el ritmo de des-
plazamiento?
¿Cómo defines el infinito y límite

a partir de la experiencia realiza-
da? ¿Existe relación? Si o no ¿Por
qué?
15
GUÍA DE ESTUDIO
Considera los siguientes sucesos:
En 1991, Carl Lewis impuso un récord mundial, recorriendo 100 metros en 9.86 segundos, es
decir, que en algún momento, recorrió 10 metros en menos de un segundo:
vCarl Lewis = 100 m /9.86 s = 10.141 m/s
Y en las olimpiadas de 2008, en China, Usain Bolt recorrió los 100 metros en 9.69 segundos:
vUsain Bolt = 100 m/9.69 s = 10.319 m/s
Convirtiéndose en el hombre más rápido en esa competencia. Lo que hay que observar es que,
conforme el tiempo que se emplea para recorrer la misma distancia, disminuye, el cociente, es
decir, la rapidez, aumenta. Ahora intenten comprender una rapidez muy grande, la velocidad
de la luz. Como saben, la luz recorre una distancia enorme en poco tiempo. La velocidad de
la luz es de 299, 792, 458 m/s, o aproximadamente: 300, 000 km/s, esto es, recorre 300, 000
kilómetros en un segundo.
vluz = 100 m/0.0000003335640952 s = 299’ 792, 458 m/s
En función a la experiencia realizada. Contesta justificando cada una de tus respuestas.
1. En la carrera de 100 metros planos ¿Cómo puedes calcular la rapidez en los últimos 10 me-
tros de la carrera?
2. Escribe la relación para calcular la velocidad promedio para cualquier posición inicial ¿A qué
concepto matemático corresponde?
a) La raíz de la ecuación b) El vértice c) La pendiente d) La ordenada al origen
16
¿Será que con ese cociente, se puede determinar la rapidez que tiene el corredor en cualquier
instante? ¿por qué? ¿Cómo puedes determinar si el corredor está acelerado?, justifica tus
respuestas.
La pelota de poligoma debe ser soltada desde una altura de 1 metro, se debe controlar los
rebotes que tiene y el tiempo que tarda en detenerse.
• Se debe repetir tres veces y observar el momento final de la pelota es decir cuando
empieza a querer detenerse.
Elabora una tabla con los resultados obtenidos y la gráfica correspondiente de tiempo vs. dis-
tancia, considera el tipo de desplazamiento que se dio según los rebotes.
17
GUÍA DE ESTUDIO
Completa el siguiente cuadro justificando tus respuestas en cada caso:
Al observar detenidamente la experiencia de

la pelota, ¿qué sucede cuando sueltas la pe-
lota de poligoma? ¿Cuántos rebotes puedes
calcular en ella?
Respecto a la pelota de poligoma, ¿cómo de-

fines el movimiento que sigue? ¿Qué tipo de
trayectoria tubo?
En los últimos instantes de rebote, ¿qué ex-

plicación te merece a partir del momento que
quiere empezar a detenerse? ¿Cómo relacio-
nas los rebotes finales que tiene?
Si soltabas con fuerza la pelota de poligoma,
¿qué sucedía respecto a sus rebotes?
¿Tendrá algún punto infinito sus rebotes? ¿Por

qué? ¿Cómo defines dominio y rango? ¿Cuál
es el límite de la pelota de poligoma?
Realizadas ambas experiencias, interpreta las siguientes gráficas describiendo el movimiento

que se genera.
18
La siguiente actividad se plantea para ser realizada en la noche, observa el cielo y cuenta las
estrellas que se visibilizan. ¿Cuántas estrellas pudiste contar? ¿Crees estar en el número exacto?
¿Por qué se dice que las estrellas son infinitas? ¿Alguna vez seguiste el origen de un arco iris?
¿Creas tenga un principio y fin? ¿Cómo defines el infinito en tu contexto?
19
Tema 1
Funciones y Límites
“El vicio es un error de cálculo en la búsqueda de la felicidad.”

(Jeremy Bentham)
El estudio del cálculo dentro de la Física – Química tiene gran incidencia al momento de interpre-
tar las posibles soluciones que se puede desarrollar, según el planteamiento de los problemas
a resolver, teniendo funciones específicas que cumplir en la aplicación de fórmulas según sea
el caso a resolver.
De acuerdo al Programa de Estudio, la aplicación de funciones y límites está aplicado en cuarto,

quinto y sexto año de Educación Secundaria Comunitaria Productiva, considerada dentro de
Cinemática, Dinámica, Estática y Electricidad, en la solución de diversos problemas según el
fundamento teórico.
Las y los maestros de Física – Química, deben tomar en cuenta que la utilización de funciones
y límites dentro de la especialidad, debe ser manejado como una solución paralelo o alterna
a las fórmulas tradicionales dentro de los contenidos, debido a que nos da otra alternativa
de solución, además es un método de dar con precisión algunos resultados, relacionando los
temas dentro del área de cálculo.
Para las y los estudiantes, será de gran utilidad comprender las funciones y límites, porque por
medio de ellas podrán tener un panorama amplio de resolución y considerar el origen del por
qué de los diferentes acontecimientos, aplicándose dentro de los movimientos que se estudian
en mecánica, analizando a la vez nuevos términos y situaciones a resolver.
La aplicaciones de procedimientos de cálculos en la Física – Química busca el desarrollar pro-

cesos cognitivos en las y los estudiantes, fortaleciendo la capacidad de análisis que se puede
tener en la comprensión e interpretación de la formulación y planteamiento de los problemas
de manera contextualizada.
Estos contenidos son útiles, dado que muchos desconocemos los principios y objetivos del
Sistema Educativo Plurinacional, todo para que el ser humano tenga una formación integral y
productiva.
20
Profundización a partir del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfico
1. Definición de función
Una función es conocida como una relación entre un conjunto dado (X) y un conjunto de ele-
mentos (Y), existiendo una relación entre ambos. Para comprender acerca del mismo, realiza
la lectura (A.A., s.f.) “Funciones” (Pág. 1- 2), y elabora una conceptualización de la relación que
se da entre (X) – (Y), definiendo de manera clara lo que es una función.
2. Dominio y rango
La relación que se da entre ambos conjuntos tiene elementos definidos, conocidos como el do-
minio y rango. Para poder caracterizar cada uno de ellos, lee (Pérez, 2005) “Dominio y Rango”
(Pág. 89 – 108) y completa el siguiente cuadro:
Dominio Rango
21
GUÍA DE ESTUDIO
Realiza la representación gráfica en el eje de coordenadas en función a los ejercicios propuestos

dentro de la lectura anterior.
3. Composición de funciones
La composición de funciones se da por medio de la relación establecida entre los conjuntos,

considerando el dominio y rango de cada una, operaciones entre funciones. A continuación
revisa la lectura (Vargas & Crail, s.f.) “Composición de Funciones” (Pág. 2 – 11) y describe cómo
se da esta relación matemática, completa los ejercicios propuestos.
Según la notación funcional, realiza un ejemplo representando la relación de conjuntos que se da.
22
4. Funciones elementales
Se conoce como función elemental a una función construida a partir de una cantidad finita de
diversas funciones por medio de diversas operaciones, teniendo características diversas según
las operaciones que se realicen en cada una, para conocer a cerca de las mismas, lee (Pérez,
2006) “Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable” (Pág. 19 – 25) y completa el
siguiente cuadro, mencionando las características de cada uno e indicando la función aplicada
según su representación formular y gráfica.
Representación (fórmula –
Función Característica
gráfica)
Función Polinómica y ra-

cionales
Raíces de un número
Potencias racionales
Funciones logarítmicas
Funciones Exponenciales
Funciones de exponen-
tes reales
23
GUÍA DE ESTUDIO
Funciones trigonométri-
cas
Ángulos
Funciones seno y coseno
Funciones arcoseno, ar-

cocotangente
Función hiperbólica
Función hiperbólica in-

versa
24
A continuación desarrolla los ejercicios propuestos en el texto citado, resolviendo de forma

analítica y gráfica.
También dentro de las funciones se tiene funciones elementales complejas, las cuales se des-
criben el libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable” (Pág.
35 – 35), generadas a partir de funciones especiales, mediante operaciones elementales y com-
posición, en función al contenido describe cada una de ellas en el siguiente cuadro, indicando
la representación gráfica, características y formas de representación que poseen.
Función exponencial
Función logarítmica compleja
25
GUÍA DE ESTUDIO
Función potencias complejas
Resuelve los ejercicios planteados en relación a las funciones elementales complejas propuestas
en el texto.
26
5. Definición de límites
Hacer referencia al término de límite es referirse a una noción topológica que forma la no-
ción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, para
comprender acerca del mismo, lee el texto (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág.
9 – 10) y realiza una sistematización conceptual del mismo, considerando las características y
formas de representación.
6. Teorema de límites
Revisa el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 10 – 17), y elabora las fórmulas
representativas que se describen en el contenido del texto.
27
GUÍA DE ESTUDIO
Resuelve los ejercicios planteados dentro del texto, de forma analítica y gráfica.
7. Límites exponenciales y logarítmicos
En función al contenido del libro (Oteyza, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 237 – 265) y
completa el siguiente cuadro mencionando sus características, formulas y representación gráfica.
Límite exponencial
Límite logarítmico
28
En función al contenido del libro resuelve los ejercicios propuestos, de manera analítica y gráfica.
8. Límites laterales
Revisa el contenido del libro (Oteyza, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 105 – 109) y
explica a qué se refieren los límites laterales.
29
GUÍA DE ESTUDIO
9. Continuidad
Se entiende por continuidad el cambio de variable dentro de una función, que es un punto
así, para comprender acerca del contenido, lee (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral”
(Pág. 18 – 21), y completa el siguiente cuadro y resuelve los ejercicios propuestos de cambio
de variable.
Propiedades
Propiedades Gráfica
Continuidad derecha
Continuidad izquierda
Continuidad intervalos
Discontinuidad
30
Tema 2
Derivadas
“Los sistemas de lenguaje humano son representaciones derivadas de un modelo más

completo: la suma total de las experiencias que un ser humano ha tenido en su vida.”
John Grinder
Se entiende por derivada de una función el estudio del movimiento de una partícula, propiamen-
te de la rapidez que se produce en ella, calculando por medio del límite el cambio de posición
que se produce; es decir, se trabaja en función de un punto dado.
De acuerdo al Programa de Estudio, la representación de derivadas con el movimiento se apli-

ca propiamente en cuarto año de Educación Secundaria Comunitaria Productiva, dentro del
contenido “El movimiento en la Madre Tierra” y “Manifestaciones gravitacionales de la Madre
Tierra y el Cosmos”, pero también se involucra en quinto y sexto año debido a que se ve el
movimiento de una partícula.
El desarrollo del presente tema permitirá a las y los maestros de Física Química, integrar de
manera correlativa el estudio de la derivada con el movimiento que ejerce una determinada
partícula, describiendo el desplazamiento, recorrido, funcionalidad, gráfica, entre algunas
características, facilitando la interpretación de lo que es el infinito y el límite dentro de una
trayectoria descrita según el tipo de movimiento ejecutado.
Para las y los estudiantes será relevante el conocer acerca del estudio de la derivada para tener
una mejor interpretación de la forma en la que se presentan las gráficas, definiendo de esta
manera el límite dentro de la misma, el recorrido planteado por medio de los ejes de coorde-
nadas, la funcionalidad del concepto infinito, logrando de esta forma, leer correctamente las
interpretaciones, además poder realizar soluciones analíticas aplicando los principios analíticos
de la derivada.
31
GUÍA DE ESTUDIO
1. Definición
Para comprender a que se refiere una derivada, lee (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral”
(Pág. 22 – 27), sintetiza la información encontrada en el contenido del texto.
Comprendida la lectura, ¿Qué relaciones encuentras en la misma? ¿De qué manera podrías
hacer su representación?
32
2. Interpretación geométrica
La forma de interpretar las derivadas es indistinta, ahora veremos desde el punto de vista
geométrico, para ello revisa el libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de una va-
riable” (Pág. 202 – 205) y completa el siguiente cuadro, caracterizando cada uno e indica su
representación gráfica.
Tangente de una
curva
Razón de cambio
Velocidad
instantánea
3. Derivación de funciones
La derivación funcional sucede de la combinación de funciones por medio del cambio de po-
sición que se en el movimiento, para conocer acerca de la derivación de funciones, revisa el
libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 28 – 36 y 60 – 78), y define cada una
según el siguiente cuadro:
Funciones Propiedades Fórmulas Gráfica
Algebraica
Implícita
33
GUÍA DE ESTUDIO
Trigonométrica
Trigonométrica inver-
sa
Exponencial
Logarítmica
Hiperbólica
34
Una vez desarrolla la tabla propuesta, en función al contenido del texto desarrolla los ejerci-
cios propuestos, indicando el tipo de función en cada uno, además su representación gráfica
y solución analítica.
4. Regla de la cadena
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones,
es decir cuando existe composiciones entre ambas, lee el documento (Larson & Otros, 2006)
“Cálculo con Geometría Analítica” (Pág. 130 – 140) y explica cómo se da este suceso entre dos
funciones, considera las representaciones que se dan dentro el contenido del texto, e indica
ejemplos que consideres necesarios para poder explicar el contenido.
35
GUÍA DE ESTUDIO
5. Derivación implícita
A continuación, revisa el documento (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría Analítica”
(Pág. 141 – 147) y describe en qué consiste la derivación implícita, además ejemplifica e indica
las fórmulas que se aplican dentro de la ella.
En función al contenido de la lectura, desarrolla los ejercicios propuesto fundamentado de

forma teórica la respuesta obtenida.
36
6. Derivadas laterales
Se estudia a las derivadas laterales cuando se ve las funciones por trozos, considerando derivadas
por la izquierda y derecha, para comprender la misma, lee el documento (Pérez, 2006) “Cálculo
Diferencial e Integral de funciones de una variable” (Pág. 71 - 74) y completa el siguiente cuadro:
Derivada Lateral Propiedades Funcionalidad Gráfica
Derivada por la
izquierda
Derivada por la
derecha
En función al contenido del texto, indica ejemplos en casos que puedan ser aplicados dentro
del proceso formativo.
37
GUÍA DE ESTUDIO
7. Derivadas y continuidad
Se considera que si una función es derivable en un punto entonces es continua, pero sino enton-
ces se tiene una discontinuidad, considerando una relación con los límites que se pueden presen-
tar según el movimiento de la partícula, para profundizar acerca del estudio de la continuidad,
lee (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencia el Integral de una variable” (Pág. 82 – 101) y (González,
s.f.) “Derivada y Continuidad” (Pág. 121 – 131), luego desarrolla las características que posee,
de acuerdo al siguiente cuadro, considerando la funcionalidad, aplicación y representaciones.
Consejos para calcular límites de funciones
Consejos para calcular límites de sucesión
Teorema de Tayler
Funciones convexas y cóncavas
38
Considerando el contenido del texto, desarrolla los ejercicios propuestos en el mismo.
8. Aplicaciones de la derivada
La aplicación de la derivada es diversa, según los resultados que se buscas o las definiciones
y relaciones establecidas en los diferentes ejercicios, para comprender acerca de las mismas,
estudia el texto (Granville, 1998) “Cálculo Diferencial e Integrado” (Pág. 52 – 88) y elabora una
sistematización respecto a la aplicación que tiene en los diferentes cálculos aplicados, indicando
en cada uno su fórmula y gráfica.
39
GUÍA DE ESTUDIO
A continuación revisa el contenido del libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría
Analítica” (Pág. 163 – 241) y describe dos procesos ejecutados, indicando en cada uno las ca-
racterísticas y los resultados que se tuvo, según las aplicaciones de la derivada.
Arco Iris
Río Conmeticut
En función al contenido de ambos libros, resuelve 30 ejercicios propuestos.
40
Tema 3
Gestión Educativa Curricular Escolarizada
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la reali-

dad, no son ciertas: cu nado son ciertas no se refieren a la realidad.”
(Albert Eisntein)
El estudio de las integrales obedece a una función donde se puede describir la anti - derivada,
es una generalización de la suma de infinitos sumados, se basa en el estudio de varios científicos
donde proponen que la derivación y la integración son procesos inversos.
De acuerdo al Programa de Estudio, las integrales de integración se desarrolla en cuarto año

de Educación Secundaria Comunitaria Productiva dentro el contenido de “El Movimiento en la
Madre Tierra” y “Manifestaciones gravitacionales de la Madre Tierra y el Cosmos”, pero tam-
bién abarca cierto espacio en sexto año dentro del análisis de la electricidad, considerando el
comportamiento de las partículas y su movimiento.
En el desarrollo del contenido las y los maestros de Física - Química, podrán desarrollar la
integración por medio de la aplicación de funciones establecidas dentro de los diferentes mo-
vimientos que se dan dentro de la Madre Tierra, tomando en cuenta el comportamiento de las
partículas, relacionando dos campos de estudio como ser la matemática y la física directamente,
debido a la relación formular que posee, pero también dentro de los cálculos estequiométricos
que se realizan en química.
Las y los estudiantes podrán comprender acerca de la relación que se da entre los procesos
analíticos de solución en los ejercicios, interpretando la integración desde el punto de vista
física y químico según el planteamiento problemático que se generen en los ejercicios a resol-
ver, de cierta manera ayudará a entender de donde surge cada formula; es decir, el origen que
poseen de acuerdo a las explicaciones científicas, con aptitudes propias de expresar diferentes
conceptos matemáticos, aplicando en la solución de problemas.
41
GUÍA DE ESTUDIO
1. Definición de anti – derivada
Para conocer acerca de la anti – derivada, revisa el documento (Larson & Otros, 2006) “Cálculo
con Geometría Analítica” (Pág. 248 – 294), luego elabora tu propia definición al respecto, con-
siderando la explicación de las gráficas y las fórmulas que se presenta en el contenido.
Describe cómo se dio la demostración del teorema fundamental que se indica en el contenido
del texto.
42
2. Fórmulas elementales
A continuación elabora un formulario base en función al contenido del libro (Ayres, 1989)
“Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 119 – 122), indicando el nombre en cada fórmula y la
aplicación de la misma.
3. Integración por sustitución
La integración por sustitución se conoce también como el cambio de variable que se da dentro
de la función establecida, en función al libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo con Geometría
Analítica” (Pág. 295 – 308), explica cuándo se da este suceso y la forma de proceder a su re-
solución.
43
GUÍA DE ESTUDIO
Considerando el análisis realizado, resuelve los ejercicios planteados en el documento, indicando

la solución gráfica en cada uno.
4. Integración por partes
La integración por partes se utiliza cunado el integrando está formado por un producto, en
función al libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 138 – 142) indica la fórmula
que se aplica para poder resolver este tipo de integraciones, además describe sus propiedades
y características.
44
Conociendo las propiedades y desarrollo de la integración por partes, resuelve los ejercicios
propuestos.
5. Integración por fracciones parciales
Según el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 150 - 153), explica los pasos
que se siguen para resolver la integración por fracciones parciales, indicando ejemplos en el
procedimiento.
45
GUÍA DE ESTUDIO
6. Integrales trigonométricas
Revisa el libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 143 – 149) y desarrolla las
fórmulas trigonométricas aplicadas dentro de la integración.
7. Integrales binómicos
Las integrales binómicos se da entre dos números reales, siendo uno de ellos la parte imagina-
ria y la otra parte real, para conocer más acerca del contenido, lee el texto (Gorostizaga, 2009)
“Integrales de Funciones” (Pág. 1 – 3) y realiza un esquema del proceso de resolución que se
sigue de la misma, tomando en cuenta las fórmulas y gráficas aplicadas.
46
8. Integrales de funciones irracionales
Las funciones irracionales son aquellas que se trabajan dentro de una raíz; es decir, que se ha-
bla de radicales. A continuación revisa el contenido del libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo
Diferencial e Integral” (Pág. 332 – 359) y describe la integración de las funciones por medio
de fórmulas y gráficas.
9. Integrales de funciones racionales trigonométricas
Para comprender el proceso de integración racional trigonométrica, analiza el contenido del

libro (Larson & Otros, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 387 - 387) y elabora un
cuadro según las racionalizaciones mencionadas dentro del texto, ejemplificando en cada caso.
47
GUÍA DE ESTUDIO
10. Aplicación de la integración
Para comprender la aplicación de la integración en los diferentes procesos de cálculos, revisa

el contenido del libro (Ayres, 1989) “Cálculo Diferencial e Integral” (Pág. 159 – 161) y define
en que procesos se aplica.
48
En función al libro (Pérez, 2006) “Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable”
(Pág. 133 – 174) completa el siguiente cuadro, caracterizando la aplicación de la integral en la
misma.
Cálculo áreas
planas
Longitud de un
arco de curva
Volumen de
sólidos
Área de una
superficie de
revolución
49
Orientaciones para la Sesión de
Concreción
Al llegar a la culminación del trabajo estructurado en toda la guía, pasaremos a la concretización

del involucramiento que se dio por parte de las/los maestros, estudiantes y la comunidad, a
partir de este momento la Unidad de Formación “Cálculo Diferencial e integral para la Aplicación
de la Física y Química”, nos reflejará todos los resultados obtenidos.
Para el desarrollo de la sesión de concreción tomaremos los siguientes aspectos:
1. Profundización de las lecturas/documentales complementarios.
Es necesario el poder profundizar los conocimientos y poder hacer un proceso reflexivo acerca
de los contenidos, considerando la importancia que tiene el cálculo dentro de la historia, para
ello, observa los siguientes videos:
• “Historia del Cálculo Integral” (00:01 – 26:15 min.) Fuente: https://www.youtube.com/

watch?v=WuhBxx60uPk
• “Historia del Cálculo Diferencial” (00:01 – 42:57 min.) Fuente: https://www.youtube.com/
watch?v=u4zRwFyJ2qA
Considerando el análisis del video, realiza una conceptualización de cada uno considerando el tema
de mayor relevancia y relaciona con el contenido estudiado dentro de la Unidad de Formación.
50
En función a las lecturas dentro del contenido de la Guía de Estudio elabora una sistematización
respecto a las estrategias metodológicas que aplicarías dentro de la especialidad para poder
dar los contenidos de cálculo a tus estudiantes y en qué contenidos los desarrollarías.
51
GUÍA DE ESTUDIO
2. Trabajo con las y los estudiantes para articular con el desarrollo curricular y relacionarse
e involucrarse con el contexto.
A partir de la Unidad de Formación abordada, se plantea el desarrollo de una práctica aplicando

los conocimientos adquiridos, para ello se trabajará bajo las siguientes consignas:
• Se organiza a las y los estudiantes en equipos comunitarios de trabajo.

• Se elige un lugar abierto dentro de la comunidad y se distribuye a cada equipo un espacio,
delimitado entre los demás equipos.
• Se procede a hacer un levantamiento topográfico del mismo.
• Se calculas las áreas, perímetro y longitudes aplicando los principios de las integrales.
Concluida la actividad, el levantamiento realizado debe constar de su informe en cual debe
enfocarse a la representación gráfica de la misma y la aplicación de las fórmulas empleadas
para los cálculos realizados.
52
3. Descripción de la Experiencia Educativa
Durante todo el proceso formativo se busca consolidar nuestras experiencias Educativas Trans-
formadoras, donde partiremos de:
• Análisis de la participación y aceptación de todos los actores involucrados (estudiantes,

maestra/os y comunidad).
• Relación de las actividades con el PSP de la Unidad Educativa.
• Aceptación o rechazo por parte de los actores involucrados.
Este aspecto será esencial, puesto que relatarás el proceso formativo de la actividad de concre-
ción y así poder consolidar nuestras Experiencia Educativa Transformadora, para ello deberás
hacerlo de manera crítica y reflexiva, de acuerdo a los siguientes criterios:
• Análisis de la participación de los actores educativos (estudiantes, maestras/os y comu-

nidad) durante la Experiencia Educativa Transformadora.
• El impacto que tuvo la actividad de concreción con relación al PSP de la Unidad Educativa.
Coloca las evidencias de acuerdos establecidos y propuestas realizadas en función al trabajo
realizado.
53
GUÍA DE ESTUDIO
• Evidencias de trabajos, fotos, etc.
54
55
GUÍA DE ESTUDIO
56
Orientaciones para la Sesión de
Socialización
Al haber concluido y llegar hasta este punto, será de gran importancia el proceso evaluativo en
todo el trabajo desarrollado, debido a que permitirá valorar todos los conocimientos prácticos
y/o teóricos, mostrando logros dentro del objetivo trazado.
Al concluir la Guía de Estudio “Cálculo Diferencial e Integral para la aplicación de la Física y
Química”, la o el participante deberá presentar los productos de su proceso formativo.
Para la valoración, la o el tutor a cargo, tomará lo siguientes criterios:
Evaluación de Evidencias
• Verificación de las evidencias de la actividad de concreción (fotos, materiales, actas,
acuerdos, diario de campo, videos, etc.)
• Valoración de evidencias de producto a partir de la bibliografía propuesta en la Guía de
Estudio.
Socialización de la sesión de concreción:

• Se debe socializar de cómo y a partir de qué se desarrolló la articulación de los conteni-
dos con la malla curricular, mostrando el plan de desarrollo curricular elaborado para el
contenido, demostrando el relacionamiento con el PSP de la Unidad Educativa.
• Socialización de su Experiencia de Práctica Educativa desarrollada con sus estudiantes.
• Uso y adaptación de los materiales y su adecuación a los contenidos.
• Involucramiento de la comunidad a la actividad desarrollada.
• Valoración de productos tangibles e intangibles que se originaron a partir de la concre-
ción.
• Conclusiones.
• Evaluación individual.
Profundización y reflexión de los contenidos temáticos de la Unidad de Formación:
• Funciones y Límites.
• Derivadas.
• Integrales de Integración
57
Bibliografía
• A.A., (s.f.). funciones. México: JRL.

• Ayres, F. (1989). Cálculo Diferencial e Integral . España: McGrawHill.
• González, P. (s.f.). Derivada y Continuidad. Madrid.
• Gorostizaga, J. (2009). Integrales de Funciones. México.
• Granville, W. (1998). Cálculo Diferencial e Integrado. México: LIMUSA.
• Larson, R., & Otros. (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill.
• Oteyza, E. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México : Pearson.
• Pérez, J. (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada:
Creative Commons.
• Pérez, L. (2005). Dominio y Rango. México: JRL.
• Vargas, A., & Crail, S. (s.f.). Composición de Funciones. México.
58
Anexo
ESPECIALIDAD: CIENCIAS NATURALES: FÍSICA - QUÍMICA

UNIDAD DE FORMACIÓN: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA LA APLICACIÓN DE LA FÍSICA Y QUÍMICA
NITARIA PRODUCTIVA
¿UNIDAD DE FORMACIÓN: ÁLGEBRA LINEAL, DISEÑO Y PRODUCCIÓN.
Utilidad para la o el Aplicabilidad en la Bibliografía de

Temas Contenidos
maestro vida profundización
De acuerdo al Programa de Estudio, la Para las y los estudiantes, será de Definición de función Video: “Historia del Cálculo Integral”
aplicación de funciones y límites está gran utilidad comprender las fun- A.A., (s.f.). Funciones. México: JRL. (Pág. 1 – 2). (00:01 – 26:15 min.)
aplicado en cuarto, quinto y sexto año ciones y límites porque por medio https://www.youtube.com/watch?-
de Educación Secundaria Comunitaria de ellas podrán tener un panorama Dominio y rango v=WuhBxx60uPk
Productiva, considerada dentro de Cine- amplio de resolución y considerar el Pérez, L., (2005). Dominio y Rango. México: JRL. (Pág. 89 – 108).
mática, Dinámica, Estática y Electricidad, origen del porqué de los diferentes
en la solución de diversos problemas se- acontecimientos, aplicándose dentro Composición de funciones
gún el fundamento teórico de los movimientos que se estudian Vargas, A., & Crail, S., (s.f.). Composición de Funciones. México. (Pág. 2 - 11). Video: “Historia del Cálculo Diferencial”
en mecánica, analizando a la vez nue- (00:01 – 42:57 min.)
vos términos y situaciones a resolver. Funciones elementales https://www.youtube.com/watch?-
Las y los maestros de Física – Quí- Pérez, J., (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada: v=u4zRwFyJ2qA
mica, deben tomar en cuenta que Creative Commons. (Pág. 19 – 25; 35 – 37).
la utilización de funciones y límites
dentro de la especialidad, debe ser Definición de límites
manejado como una solución para- Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 9 – 10).
lelo o alterna a las fórmulas tradi-
cionales dentro de los contenidos, Teorema de límites
Funciones y Lí- debido a que nos da otra alternativa Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 10 – 17).
mites de solución, además es un método
de dar con precisión algunos resul- Límites exponenciales y logarítmicos
tados, relacionando los temas dentro Oteyza, E. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México: Pearson. (Pág. 237 - 265).
del área de cálculo
Límites laterales
Oteyza, E. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México: Pearson. (Pág. 105 - 109).
Continuidad
Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 18 - 21).
59
60
De acuerdo al Programa de Estudio, Para las y los estudiantes será rele- Definición Ministerio de Educación, Reglamento
la representación de derivadas con el vante el conocer acerca del estudio Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 22 - 27). de Gestión Curricular del SEP, La Paz,
movimiento se aplica propiamente en de la derivada para tener una mejor Interpretación geométrica Bolivia
cuarto año de Educación Secundaria interpretación de la forma en la que Pérez, J., (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada:
Comunitaria Productiva, dentro del se presentan las gráficas, definiendo Creative Commons. (Pág. 202 - 205).
contenido “El movimiento en la Madre de esta manera el límite dentro de Derivación de funciones
GUÍA DE ESTUDIO
Tierra” y “Manifestaciones gravitaciona- la misma, el recorrido planteado por Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 28 - 78).
les de la Madre Tierra y el Cosmos”, pero medio de los ejes de coordenadas, la Regla de la cadena
también se involucra en quinto y sexto funcionalidad del concepto infinito, Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág.
año debido a que se ve el movimiento logrando de esta forma leer correcta- 130 - 140).
de una partícula. mente las interpretaciones, además Derivación implícita
El desarrollo del presente tema permiti- poder realizar soluciones analíticas Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág.
Derivadas
rá a las y los maestros de Física Química, aplicando los principios analíticos de 141 - 147).
integrar de manera correlativa el estudio la derivada. Derivadas laterales
de la derivada con el movimiento que Pérez, J., (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada:
ejerce una determinada partícula, des- Creative Commons. (Pág. 71 - 74).
cribiendo el desplazamiento, recorrido, Derivadas y continuidad
funcionalidad, gráfica, entre algunas Gonzales, P., (s.f.). Derivada y Continuidad. (Pág. 121 – 131).
características, facilitando la interpre- Pérez, J., (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada:
tación de lo que es el infinito y el límite Creative Commons. (Pág. 71 - 74).
dentro de una trayectoria descrita según Aplicaciones de la derivada
el tipo de movimiento ejecutado. Granville, W., (1998). Cálculo Diferencial e Integrado. México: LIMUSA. (Pág. 52 – 88).
Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág.
163 – 241).
De acuerdo al Programa de Estudio, las Las y los estudiantes podrán com- Definición de anti - derivada Estado Plurinacional de Bolivia. 2016.
integrales de integración se desarrolla prender acerca de la relación que se Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág. “PLAN DE DESARROLLO ECONÓMICO
en cuarto año de Educación Secundaria da entre los procesos analíticos de 248 - 294). Y SOCIAL: En el Marco del Desarrollo
Comunitaria Productiva dentro el con- solución en los ejercicios, interpre- Fórmulas elementales Integral para Vivir Bien”
tenido de “El Movimiento en la Madre tando la integración desde el punto Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 119 - 122).
Tierra” y “Manifestaciones gravitaciona- de vista física y químico según el Integración por sustitución UNICEF. 2013 “PLAN DE ACCIÓN DEL
les de la Madre Tierra y el Cosmos”, pero planteamiento problemático que se Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág. PROGRAMA PAÍS 2013 – 2017 entre el
también abarca cierto espacio en sexto generen en los ejercicios a resolver, 295 - 308). Gobierno del Estado Plurinacional de
año dentro del análisis de la electrici- de cierta manera ayudará a entender Integración por partes Bolivia y el Fondo de las Naciones Uni-
dad, considerando el comportamiento de donde surge cada formula, es de- Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 138 - 142). das para la Infancia (UNICEF)”
de las partículas y su movimiento. cir, el origen que poseen de acuerdo Integración por fracciones parciales
En el desarrollo del contenido las y los a las explicaciones científicas, con Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 150 - 153).
maestros de Física - Química, podrán aptitudes propias de expresar dife- Integrales trigonométricas
Integrales de In- desarrollar la integración por medio de rentes conceptos matemáticos, apli- Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 143 - 149).
tegración la aplicación de funciones establecidas cando en la solución de problemas. Integrales binómicos
dentro de los diferentes movimientos Gorostizaga, J. (2009). Integrales de Funciones. México. (Pág. 1 - 3).
que se dan dentro de la Madre Tierra, Integrales de funciones irracionales
tomando en cuenta el comportamiento Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág.
de las partículas, relacionando dos cam- 332 - 359).
pos de estudio Integrales de funciones racionales trigonométricas
Larson, R., & Otros., (2006). Cálculo con Geometría Analítica. México: McGrawHill. (Pág.
380 - 387).
Aplicaciones de la integral
Ayres, F., (1989). Cálculo Diferencial e Integral. España: McGrawHill. (Pág. 159 - 161).
Pérez, J., (2006). Cálculo Diferencial e integral de funciones de una variable. Granada:
Creative Commons. (Pág. 133 - 174).

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Nivelación

Ciencias Naturales: Física Química

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Ciencias Naturales: Física Química

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Nombres y Apellidos: .....................................................................................................................................................................................................

Cédula de identidad: .....................................................................................................................................................................................................

Correo electrónico: .....................................................................................................................................................................................................

Centro Tutorial: .....................................................................................................................................................................................................

Tema 1: Funciones y Límites..................................................................................... 20

Tema 2: Derivadas .................................................................................................. 31

Orientaciones para la Sesión de Concreción .................................................................. 50

El proceso de Nivelación Académica constituye una opción formativa dirigida a maestras y

En tal sentido, el proceso de Nivelación Académica contempla el desarrollo de Unidades de

Roberto Iván Aguilar Gómez

El proceso formativo del Programa de Nivelación Académica se desarrolla a través de la moda-

Las Unidades de Formación se desarrollarán a partir de sesiones presenciales en periodos

SESIONES CONCRECIÓN SESIÓN PRESENCIAL

24 Hrs. 50 Hrs. 6 Hrs. 80 Hrs. X UF

Estos tres momentos consisten en:

A partir del proceso de reﬂexión de la práctica de la y el participante, la tutora o el tutor pro-

2do. MOMENTO (CONCRECIÓN EDUCATIVA). Durante el periodo de concreción de la y el

3er. MOMENTO (SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN). Se trabaja a partir de la socialización

• Aplicación de las experiencias propias, pedagógicas en el contexto.

• Resolución de las actividades planiﬁcadas.

• Descripción y construcción de gráﬁcos (dibujos).

• Análisis y profundización de lecturas.

Descripción del Material/recurso educativo Producción de conocimientos

Fortalece de manera clara y reﬂexiva el desarro-

Facilita el poder llevar a la imaginación más allá de

Desarrolla la capacidad interpretativa, ejecutando

Permite el fortalecimiento del conocimiento a

Almacenar información relevante como evidencias

Para introducirnos al estudio de la presente Unidad de Formación, es necesario hacer algunas

• Medir 100 metros y señalar desde 0 hasta 100.

Distancia (m) Tiempo (s) Rapidez (m/s)

Responde las siguientes preguntas:

¿Cómo era el lugar donde salis-

Si no hubiera existido un puto de

En el momento de pasar el punto

¿Cómo deﬁnes el inﬁnito y límite

Considera los siguientes sucesos:

vCarl Lewis = 100 m /9.86 s = 10.141 m/s

vUsain Bolt = 100 m/9.69 s = 10.319 m/s

vluz = 100 m/0.0000003335640952 s = 299’ 792, 458 m/s

En función a la experiencia realizada. Contesta justiﬁcando cada una de tus respuestas.

a) La raíz de la ecuación b) El vértice c) La pendiente d) La ordenada al origen

Completa el siguiente cuadro justiﬁcando tus respuestas en cada caso:

Al observar detenidamente la experiencia de

Respecto a la pelota de poligoma, ¿cómo de-

En los últimos instantes de rebote, ¿qué ex-

¿Tendrá algún punto inﬁnito sus rebotes? ¿Por

Realizadas ambas experiencias, interpreta las siguientes gráﬁcas describiendo el movimiento

“El vicio es un error de cálculo en la búsqueda de la felicidad.”

De acuerdo al Programa de Estudio, la aplicación de funciones y límites está aplicado en cuarto,

La aplicaciones de procedimientos de cálculos en la Física – Química busca el desarrollar pro-

Profundización a partir del diálogo con los autores y el apoyo bibliográﬁco