Historia de los números racionales e

irracionales.
Los números racionales o fracciones
aparecieron muy pronto en la historia de las
matemáticas.
Como la gran mayoría de los conceptos
matemáticos, su descubrimiento fue debido
a la necesidad de resolver un problema. Los
antiguos necesitaban medir longitudes,
áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de
medidas. Al enfrentarse a esto en la vida
cotidiana, pronto descubrieron que no era
suficiente poder contar con los números
naturales para hacerlo de manera exacta,
ya que estas medidas eran susceptibles de
divisiones más pequeñas que la unidad, o
divisiones mayores que la misma pero que
no eran números naturales, por lo que fue
necesario ampliar el concepto de número
natural. Así surgieron los números
racionales.
Las fracciones aparecen ya en los primeros
textos matemáticos de los que hay
constancia, quizás uno de los más antiguos
y más importantes sea el Papiro Rhind de
Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que
pasa por ser la mayor fuente de
conocimiento de la matemática egipcia.
En Occidente tuvieron que pasar muchos
siglos hasta que los musulmanes
introdujeron su sistema de numeración,
conocido como indo arábigo. Este paso fue
clave para la comprensión y el estudio de
los números racionales en la vieja Europa.
Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando
Leonardo de Pisa, más conocido por su
apodo Fibonacci, introdujo el concepto de
números quebrados o números “ruptus”,
empleando además la raya para separar el
numerador del denominador.
Irracionales
El concepto o la idea de número irracional
aparecieron pronto en la geometría. Ya los
antiguos griegos observaron que los
números racionales no completaban la
recta.
Quizás el primero en constatarlo fue el
célebre filósofo y matemático griego
Pitágoras de Samos (582 a.C. – 507 a.C.),
quien estudiando un triángulo rectángulo
con catetos de longitud uno, observó que la
longitud de la hipotenusa de dicho triángulo
no podía tener un valor racional. Con esto
demostró la no completitud de los números
racionales y dedujo la existencia de unos
números hasta entonces desconocidos.
La Escuela Pitagórica llamó a dichos
números inconmensurables. Al principio la
aparición de estos “desconocidos”
desconcertó de forma alarmante a los
miembros de la Escuela Pitagórica, pues la
existencia de los irracionales ponía en
evidencia que muchas suposiciones y
demostraciones de la geometría eran falsas
o estaban incompletas. La sorpresa y
preocupación llegó hasta tal punto que
llegaron a plantearse el mantener en
secreto estos números que contradecían su
doctrina, que entre otras cosas preconizaba
“la adoración del número como ente
perfecto que gobernaba el universo y todo
lo que en él existía”.
Tres siglos después de su descubrimiento,
Euclides trata en su obra “Los Elementos” el
tema de los números irracionales, y llega a
demostrar que la raíz cuadrada de dos no
puede ser un número racional.
Los matemáticos griegos posteriores
estudiaron además de estos irracionales
sencillos, otros cada vez más complicados,
encontrándose tipos como raíz cuadrada de
(raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y
otros semejantes, pero nunca llegaron a
tener la idea general de número irracional.
Esta idea aparece ya bien entrado el siglo
S. XVI, al considerar la idea de un número
decimal aperiódico, esto es un número
decimal cuyas cifras se sucedían de manera
indefinida sin obedecer a ley alguna
determinada.
El campo de los números reales
Introducción
Los números han surgido a lo largo de la
historia como una herramienta para resolver
problemas de conteo, medición,
ordenación, etcétera. Actualmente los
vemos como algo ya terminado y tendemos
a creer que siempre existieron así; sin
embargo, en cada época, cuando se
introdujo algún número nuevo o grupo de
números nuevo, a menudo se suscitaban
polémicas muy fuertes y estos números
tardaban muchos años en ser aceptados
por la comunidad en general. Tales son los
casos del cero, de los números negativos,
los números irracionales, etcétera.
Los primeros números que surgieron
históricamente fueron los números
naturales

. , , . . . que nos
sirven para contar. Aunque el cero apareció
después, es más práctico considerarlo
dentro de los números naturales.
Denotamos por al conjunto de los
números naturales, es decir,
Uno de los primeros problemas a los que
nos enfrentamos al considerar únicamente
a los números naturales, es que al restar
dos de ellos el resultado no es siempre otro
natural. Por ejemplo, en la escuela primaria
nos enseñaron que

"no se puede efectuar''.

Lo que sucede es que la respuesta no es un
número natural.
Para poder restar cualquier par de números
naturales es necesario introducir los
números enteros negativos que junto con
los números naturales constituyen
los números enteros:
Los números naturales también son
llamados enteros no negativos.
Al restar cualquier par de estos números se
obtiene otro entero. Los números negativos
son útiles en la vida cotidiana para
representar cantidades como temperaturas
por debajo del punto de congelación del

agua ( C), deudas monetarias y

profundidades con relación al nivel del mar
de zonas que están por debajo de éste,
entre otras cosas.
Así como enfrentamos el problema de no
poder restar si tenemos sólo números
naturales, también enfrentamos el problema
de no poder dividir si tenemos sólo números
enteros; por ejemplo, al dividir
 No obtenemos un número entero, por lo
que es necesario ampliar el conjunto de
números.
Consideramos ahora el conjunto de
los números racionales, que son aquellos
que pueden escribirse como cociente de
dos números enteros, donde el
denominador no es el cero.

Observemos que como todo número entero

se puede escribir como el cociente de él
mismo entre uno, entonces
todo número entero es un número racional;
así,

Los números racionales son

suficientemente buenos para la mayoría de
las operaciones que realizamos
cotidianamente; sin embargo, ya desde los
pitagóricos, en el siglo V a. de C, se dieron
cuenta de que con una regla y un compás
se podía construir segmentos cuya longitud
no se podía expresar como cociente de dos
enteros. Por ejemplo, en el triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1
La hipotenusa mide y este
número no se puede escribir en la

forma con y enteros; es

decir, no es un número
racional.
Construcción de

Como veremos en las secciones siguientes,

todos los números racionales pueden
identificarse con puntos en una recta. El

hecho de que, por ejemplo no

sea un número racional, significa que hay
un punto en la recta al que no se le ha
asociado ningún número racional; de
hecho, hay una infinidad de dichos puntos,
por lo que es necesario inventar otros
números, llamados números irracionales,
para los puntos de la recta a los que no se
les ha asociado ningún número racional. Es
así como surgen los números reales, que
son la unión de los números racionales e
irracionales.
Finalmente, los números reales también
presentan un problema similar al de la resta
en los números naturales y la división en los
números enteros; este problema consiste
en que no se puede sacar raíz cuadrada de
los números negativos; por
Ejemplo
 No existe ya que no hay

ningún número real tal que

Por esto, es necesario introducir más

números; los números complejos, para
poder, ahora sí, obtener la raíz cuadrada, o
cualquier otra raíz, de todo número real, o
más en general, de todo número complejo.
En las siguientes secciones estudiaremos
con detenimiento las propiedades de los
sistemas numéricos mencionados.
Los números enteros
Los números enteros pueden representarse
como puntos en la recta. Para ello,
seleccionamos un punto para representar

al y otro para representar el , que

normalmente colocamos a la derecha del

. Estos puntos determinan la escala y la

colocación de los demás enteros, en ella:
los números naturales se van colocando
hacia la derecha en orden, dejando entre
dos consecutivos el mismo espacio que

entre y ; es decir, una unidad.

Asimismo, a partir del 0, pero ahora hacia la
izquierda, se colocan

Consecutivamente los números

 , , ,

Los enteros en la recta

En la recta numérica, él está colocado a la

derecha del y el del lado izquierdo. La

distancia de a es unidades y la distancia

de a también es unidades.

y en la recta numérica
La distancia de un número a se llama el valor
absoluto del número y se representa encerrando
al número entre dos rayas verticales, así:
 Significa que el valor absoluto de es
.

Significa que el valor absoluto

de es

NÚMEROS NATURALES, ENTEROS,

RACIONALES, IRRACIONALES, REALES,
MIXTOS, PROPIEDADESNUMEROS
NATURALES:
Los números naturales son aquellos
que normalmente utilizamos para contar.
Son aquellos números positivos y sin parte
decimal. N= {1, 2, 3, 4,...
NUMEROS ENTEROS:
Son todos los números naturales y sus
opuestos, es decir, los números enteros
positivos y negativos. = {1, 2, 3, 4...
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir
en forma de fracción. Incluyen los naturales,
enteros.
NUMEROS IRRACIONALES:
 Son los números que poseen infinitas
cifras decimales.
NUMEROS REALES:
Incluyen todos los números anteriormente
descritos. Cubren la recta real y cualquier
punto de esta es un número real. Estos
números, por ser los m-s importantes, son
los que más veremos. Para verlos
más ampliamente.
NUMEROS NATURALES ¿Que son
los Números Naturales!
Número natural, el que sirve para designar
la cantidad de elementos que tiene un cierto
conjunto, y se llama cardinal de
dic0o con/unto.
Los números naturales son infinitos. El
con/unto de todos ellos se designa por N: N
= {0, 1, 2, 3, 4… 10, 11, 12, el cero, a veces,
se excluye del conjunto de los números
naturales. además de cardinales (para
contar) los números naturales son
ordinales, pues sirven para ordenar los
elementos de un conjunto: 1 (primero),
2(segundo), 16 decimosexto)…
Los números naturales son los primeros que
surgen en las distintas civilizaciones, ya que
las tareas de contar y de ordenar son las m-
s elementales que se pueden realizar en el
tratamiento de las cantidades. Entre los
números naturales están definidas las
operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o
de multiplicar dos números naturales es
tam'i9n un número natural, por lo que se
dice que son operaciones internas.
La sustracción,
Sin embargo, no es una operación interna
en N, pues la diferencia de dos números
naturales puede (no ser un número natural
6no lo es cuando el sustraendo es mayor
que el minuendo). Por eso se crea el
con/unto % de los números enteros, en el
que se puede restar un número de
otro, cualesquiera que sean 9stos.
La división
Tampoco es una operación interna en
N, pues el cociente de dos números
naturales puede no ser un número natural
(no lo es cuando el dividendo no es múltiplo
el divisor). Por eso se crea el conjunto: Q de
los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo
por el cero). La división entera es un tipo de
división peculiar de los números naturales
en la que además de un cociente se obtiene
un resto.
PROPIEDADES DE LA ADICION DE
NUMEROS NATURALES
La adición de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa y
elemento neutro.
Si a, b, c=a+ (b +c) son números naturales
cualesquiera se cumple que (a+ b)+c a+ (b
+ c ); c = a
Por ejemplo (7+4) +5 = 16
(7+ (4+5) = 7+9 = 16
Los resultados coinciden, es decir
(7 +4)+5=7+ (4+5)
Conjunto de números (reales, enteros,
racionales, naturales, irracionales).
En esta unidad vamos a dar una pequeña
introducción a las nociones de conjuntos de
números más significativas, siendo la más
importante el conjunto de los números
reales, que se denota por R.
Pero antes, para llegar a los reales
empezaremos por el conjunto de los
números naturales.
Números naturales N
Los números naturales son los que desde el
principio de los tiempos se han utilizado
para contar. En la mayoría de países han
adoptado los números arábigos, llamados
así porque fueron los árabes quienes los
introdujeron en Europa, pero fue en la India
donde se inventaron.
El conjunto de los números naturales se
denota como N y se representan así:
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,….}
Los números naturales se caracterizan por
dos propiedades:
 El número 1 es el primer número natural
y cada número natural se forma
sumándole 1 al anterior.
 Cuando restamos o dividimos dos
números naturales, el resultado no es
necesariamente un número natural, y
por eso decimos que los números
naturales no son cerrados respecto
estas dos operaciones. En cambio, sí
son cerrados respecto a la suma y la
multiplicación, es decir, la suma o
multiplicación de dos números naturales
da siempre como resultado otro número
natural.
Números enteros Z
Cuando aparece la necesidad de
distinguir unos valores de otros a partir
de una posición de referencia es cuando
aparecen los números negativos. Por
ejemplo, cuando desde el nivel 0 (nivel
del mar) queremos diferenciar por
encima del nivel del mar o por debajo del
mar (en las profundidades). O en el caso
de las temperaturas, positivas o bajo
cero. Así podemos estar a 700m de
altitud,+700, o bucear a 10m de
profundidad,-10 y podemos estar a 25
grados, 25, o a 5 grados bajo 0 -5,

Para denotar los números negativos

añadimos un signo menos delante del
número.
En definitiva, al conjunto formado por los
enteros negativos, el número cero y los
enteros positivos (o naturales) lo
llamamos conjunto de los números
enteros.
Se denota con el símbolo Z y se
pueden escribir como = {-, 2, 3,}