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    de 3

    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

    FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE ENERGÍA


    CÁLCULO MULTIVARIABLE
    Entregable N°2
    (Semestre 2024-B)
    Insumo
    I 1. Encuentre y grafique el dominio de cada una de las siguientes reglas de correspon-
    dencia. √ 2 +y 2 −2x
    a). f (x, y) = e1−2x−y − 1 + ln(x − y 3 ) b). f (x, y) = ln( x4−|x|−|y| )
    p
    2 2 2
    c). f (x, y, z) = ln(1 − x − y − 2z ) d). f (x, y, z) = x − 2y 2 − 3z 2 − 4
    2

    2. Considere la función
    s
    4x2 + y 2 − 2y
    f (x, y) =
    x2 + y 2 − 2x − 8

    Determine analı́ticamente y grafique:


    a) El domino de f .
    b) Las curvas de nivel de f correspondientes a los niveles c = 0 , c = 2 y c = 3
    3. Dibuje el dominio de la función dada.
    p
    a) f (x, y) = (1 − x2 ) (y 2 − 4)
    4. La temperatura, presión y volumen de un gas ideal encerrado están relacionadas
    por medio de T = 0, 01 P V , donde T , P y V se miden en kelvins, atmósferas
    y litros, respectivamente. Dibuje las isotermas T = 300 K , 400 K y 600 K.

    II 1. Considere la regla de correspondencia


    √
    f (x, y) = (4 − x y) ln(2 − x y)

    a) Encuentre y grafique dominio D de f .


    1
    b) Indique cuáles de los puntos (-1, 1), (0, 0), (1,- 2018 ), (-1,-1), (-1,-4) son
    puntos de acumulación de D.
    c) Para cada uno de los puntos (a, b) indicados en el ı́tem b), analice la
    existencia del lı́mite
    lı́m f (x, y)
    (x,y)→(a,b)

    2. Usando definición demuestre que:


    √ p
    a) lı́m 1 − x − yz + y + z + 1 = 0
    (x,y,z)→(0,0,0)

    3. Calcule si existe
    3x2 + 5y 2 x + 3y 2
    a) lı́m
    (x,y)→(0,0) x2 + y 2
    x2 y 2
    b) lı́m
    (x,y)→(0,0) x2 y 2 + (x − 2y)2
    Lnx tan(y − 1)
    c) lı́m
    (x,y)→(1,1) xy − x − y + 1

    4. sea (
    sen(ax2 +y 4 )
    x2 +y 2
    (x, y) ̸= (0, 0)
    f (x, y) =
    0 (x, y) = (0, 0)
    a) Pruebe que f no es continua en (0,0) si a ̸= 0.
    b) Pruebe que f es continua en (0,0) si a = 0
    5. Analice la continuidad de la función
    e + ey + x2x+yy
     x
    2 (x, y) ̸= (0, 0)
    a) f (x, y) =
    2 (x, y) = (0, 0)
    ( 3 x
    y (e −a x−1)
    x4 −2x2 y 2
    x ̸= 0
    b) f (x, y) =
    0 x=0

    III 1. Suponga que z = 4x3 y 4


    a) Determine la pendiente de la recta tangente en (1, −1, 4) en el plano x=1.
    b) Encuentre la pendiente de la recta tangente en (1,-1,4) en el plano y=-1.
    p
    2. Sea z = 9 − x2 − y 2
    a) ¿A qué tasa está cambiando z con respecto a x en el plano y = 2 en el
    punto (2,2,1)?
    √
    b) ¿A qué √
    tasa√está cambiando z con respecto a y en el plano x = 2 en el
    punto ( 2, 3, 2)?
    3. Demuestre que todos los planos tangentes a la superficie definida por la ecua-
    ción
    z 2 = x2 + (y + 1)2
    tienen un punto en común.
    4. si (
    x2 y 2
    x4 +y 4
    (x, y) ̸= (0, 0)
    f (x, y) =
    0 (x, y) = (0, 0)
    ∂2f ∂2f
    Calcule ∂x ∂y
    (0, 0) y ∂y ∂x
    (0, 0)
    5. Sea 
    x y Ln(x2 + y 2 ), (x, y) ̸= (0, 0)
    f (x, y) =
    0, (x, y) = (0, 0)
    a) ¿Es f continua?
    b) ¿Es f diferenciable?
    6. Sea φ : R → R una función diferenciable tal que φ(0) = 2 , φ ′ (0) = 4. Halle
    la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función f (x, y) = φ(2x−y)
    y
    en el
    punto (1,2,1).
    7. Encuentre una ecuación del plano tangente al cilindro x2 + y 2 = 25 en (3,4,6).
    8. Sean f y g dos funciones reales definidas en (0, ∞), ambas derivables en to = 1.
    Se define la función u : (0, ∞) × (0, ∞) → R por
    u(x, y) = f (xy) + g(y/x)
    Calcule si existen ux (1, 1) y uy (1, 1)
    9. Considere la placa de metal rectangular que se muestre la temperatura en el
    punto (x, y) sobre la plca está dada por T (x, y) = 5 + 2x2 + y 2 .
    a) Determine la dirección que un insecto seguirı́a, empezando en (4,2) con el
    fin de enfriarse lo más rápidamente posible.
    b) Observe que el punto (0, 0), es el punto más frı́o de la placa. Encuentre la
    trayectoria de busqueda de enfriamiento del insecto, empezando en (4,2),
    si (x(t), y(t)) es la ecuación vectorial de la trayectoria.
    10. Suponga que la temperatura en grados celsius en el punto (x, y) cerca de un
    aereopuerto está dada por
    7400 − 4x − 9y − 0, 03xy
    f (x, y) =
    180
    con las distancias x e y medidas en kilómetros.
    a) Suponga que un avión despega del aereopuerto en la ubicación P (200, 200)
    y se dirige al noreste en la dirección especificada por el vector V⃗ = (3, 4), ¿cuál
    es la tasa de cambio inicial de la temperatura en la dirección dada?
    b) Si el avión sale del aereopuerto en P y vuela en la dirección V⃗ con una rapidez
    v = ds
    dt
    = 5km/min. ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura en la
    dirección dada por unidad de tiempo?
    IV 1. Encuentre los extremos relativos de la siguiente función
    3y 2
    f (x, y) = 2x3 + y 3 − 3x2 + − 12x − 90y
    2
    2. Halle la mı́nima distancia del origen al cono z 2 = (x − 1)2 + (y − 2)2 item
    Sea T (x, y, z) = 100 + x2 + y 2 la temperatura en cada punto sobre la esfera
    x2 + y 2 + z 2 = 50. Halle la temperatura máxima en la curva formada por la
    intersección de la esfera y el plano x − z = 0.
    3. Encuentre la distancia mı́nima del punto (1,1,1) a la recta que es la intersección
    de los planos π1 y π2 definidos por las ecuaciones 2x+y −z = 1 y x−y +z = 2
    respectivamente.
    4. Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000 pies3 . La parte
    superior y el fondo del cilindro se construiran con un metal que cuesta 2 dólares
    por pie cuadrado. El costo se formará con metal que cuesta 2,50 dólares por
    pie2 . Determine el costo mı́nimo de fabricación.
    5. Dada la función f : R2 → R una función de clase C 2 en R2 . Se define g(r, √ θ) =
    f (r cos θ, r sin
    θ) si se sabe que la matriz hessiana de f en el punto (1, 3) es
    √ 2
    
    1 2 ∂ g π
    Hf (1, 3) = . Calcule (2, )
    2 3 ∂x 2 3

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