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(24 de agosto de 2024)

Tarea 1
Pérez Romero Alejandro
alejandr688@ciencias.unam.mx
Profesores:
Juan Adrian Reyes Cervantes
Carolina Valenzuela Cordiva
Oswaldo Adapta
Electromagnetismo II

Problema 1
p
Si r = x2 + y 2 + z 2 calcule:

a) ∇rn

b) ∇r−n

c) ∇ × (f (r)r) en términos de r = (x, y, z) y r. Aquı́ f (r) es una función escalar.

Solución

a) Gradiente de rn :
p
El gradiente de una función escalar f (r), donde r = x2 + y 2 + z 2 , se puede calcular utilizando
la regla de la cadena. Primero, notamos que:

rn = (x2 + y 2 + z 2 )n/2

Entonces:
∇rn = ∇ (x2 + y 2 + z 2 )n/2

Usamos la regla de la cadena para obtener:

n
∇ (x2 + y 2 + z 2 )n/2 = (x2 + y 2 + z 2 )(n/2)−1 ∇(x2 + y 2 + z 2 )
2

Sabemos que:
∇(x2 + y 2 + z 2 ) = (2x, 2y, 2z) = 2r

Entonces:
n 2
∇rn = (x + y 2 + z 2 )(n/2)−1 · 2r = n · rn−2 r
2
b) Gradiente de r−n :
De manera similar, para r−n :

∇r−n = ∇ (x2 + y 2 + z 2 )−n/2

 2

Aplicando la regla de la cadena:

n
∇ (x2 + y 2 + z 2 )−n/2 = − (x2 + y 2 + z 2 )(−n/2)−1 ∇(x2 + y 2 + z 2 )


2

Como antes:
∇(x2 + y 2 + z 2 ) = 2r

Entonces:
n
∇r−n = − (x2 + y 2 + z 2 )(−n/2)−1 · 2r = −n · r−n−2 r
2
c) Rotacional de f (r)r:
El rotacional de un campo vectorial F = f (r)r se calcula como:

∇ × F = ∇ × (f (r)r)

Aplicamos la regla del rotacional:

∇ × (f (r)r) = ∇f (r) × r + f (r)(∇ × r)

Dado que r = (x, y, z) es un campo vectorial que varı́a linealmente con x, y y z, su rotacional
es cero:
∇×r=0

Por lo tanto:
∇ × (f (r)r) = ∇f (r) × r

Ahora calculamos ∇f (r). Usamos la regla de la cadena para obtener:

∇f (r) = f ′ (r)∇r

Sabemos que:
r
∇r =
r
Entonces:
r
∇f (r) = f ′ (r)
r
Finalmente, calculamos el producto vectorial:
 r
∇f (r) × r = f ′ (r) × r
r

Dado que el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero:

r
×r=0
r

Por lo tanto:
∇ × (f (r)r) = 0
 3

Problema 2

Calcule la integral de volumen de la función g = z 2 dentro del tetraedro con esquinas (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(0, 1, 0) y (0, 0, 1)

Solución

El volumen del tetraedro está definido por las siguientes desigualdades:

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, y x + y + z ≤ 1.
Por lo tanto, la integral de volumen que debemos calcular es:
˚ ˆ 1 ˆ 1−x ˆ 1−x−y
2
z dV = z 2 dz dy dx.
V 0 0 0
Primero, integramos con respecto a z:
ˆ 1−x−y 1−x−y
z3 (1 − x − y)3

2
z dz = = .
0 3 0 3
Ahora, integramos con respecto a y:
ˆ 1−x
(1 − x − y)3
dy.
0 3
Realizando un cambio de variable u = 1 − x − y, du = −dy, los lı́mites cambian de y = 0 a
u = 1 − x, y de y = 1 − x a u = 0. Entonces, la integral se convierte en:
ˆ ˆ
1 0 3 1 1−x 3
− u (−du) = u du.
3 1−x 3 0
Evaluando esta integral:
 1−x
1 u4 1 (1 − x)4 (1 − x)4
= · = .
3 4 0 3 4 12
Finalmente, integramos con respecto a x:
ˆ 1 ˆ 1
(1 − x)4 1
dx = (1 − x)4 dx.
0 12 12 0
Utilizando el cambio de variable v = 1 − x, dv = −dx, los lı́mites cambian de x = 0 a v = 1, y de
x = 1 a v = 0. La integral se convierte en:
ˆ 0 ˆ 1
1 4 1
− v (−dv) = v 4 dv.
12 1 12 0
Evaluamos esta última integral:
 1
1 v5 1 1 1
= · = .
12 5 0 12 5 60
Por lo tanto, el valor de la integral de volumen es:
˚
1
z 2 dV = .
V 60
 4

Problema 3

calcule la integral de linea del campo vectorial v = 6x̂ + yz 2 ŷ + (3y + z)ẑ a lo largo de la trayectoria
cerrada definida por el triángulo cuyos vértices son (0, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2). Verifique su resultado
por medio del teorema de Stokes.

Solución

Primero, definimos la integral de lı́nea:

˛
v · dr
C

donde C es la curva cerrada que describe el triángulo con vértices en (0, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2).
Descomponemos la trayectoria en tres segmentos:
1. De (0, 0, 0) a (0, 1, 0). 2. De (0, 1, 0) a (0, 0, 2). 3. De (0, 0, 2) a (0, 0, 0).

Segmento 1: De (0, 0, 0) a (0, 1, 0)

En este segmento, x = 0 y z = 0, mientras que y varı́a de 0 a 1. Por lo tanto, la diferencial de
posición es dr = dy ŷ. El campo vectorial a lo largo de este segmento es:

v = 6x̂ + 0ŷ + 3yẑ.

La integral de lı́nea para este segmento es:
ˆ (0,1,0) ˆ 1
v · dr = (0 · 6 + 0 · yz 2 + 0 · (3y + z)) dy = 0.
(0,0,0) 0

Segmento 2: De (0, 1, 0) a (0, 0, 2)

En este segmento, x = 0 y y = 1 − 2z, donde z varı́a de 0 a 2. El diferencial de posición es
dr = dz ẑ. El campo vectorial a lo largo de este segmento es:

v = 6x̂ + (1 − 2z)z 2 ŷ + (3(1 − 2z) + z)ẑ.

La integral de lı́nea para este segmento es:
ˆ (0,0,2) ˆ 2
0 · 6 + 0 · yz 2 + (3(1 − 2z) + z) · 1 dz.
 
v · dr =
(0,1,0) 0

Simplificando:
ˆ 2 ˆ 2 2
5z 2

(3 − 6z + z) dz = (3 − 5z)dz = 3z − = (6 − 10) = −4.
0 0 2 0

Segmento 3: De (0, 0, 2) a (0, 0, 0)

En este segmento, x = 0 y y = 0, donde z varı́a de 2 a 0. El diferencial de posición es dr = dz ẑ.
El campo vectorial a lo largo de este segmento es:

v = 6x̂ + 0ŷ + (z)ẑ.

 5

La integral de lı́nea para este segmento es:

ˆ (0,0,0) ˆ 0 0
z2

v · dr = (z)dz = = −2.
(0,0,2) 2 2 2

Suma total de la integral de lı́nea

Sumamos las contribuciones de los tres segmentos:
˛
v · dr = 0 − 4 − 2 = −6.
C

Verificación mediante el Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece que:

˛ ¨
v · dr = (∇ × v) · dS,
C S
donde S es cualquier superficie que tenga como borde a C y dS es el vector área.
Primero, calculemos el rotacional de v:

x̂ ŷ ẑ
∂(3y + z) ∂(yz 2 ) ∂(yz 2 ) ∂6
     
∂ ∂ ∂ ∂(3y + z) ∂6
∇×v = ∂x ∂y ∂z = − x̂ − − ŷ + − ẑ.
2 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
6 yz 3y + z

Calculando cada componente:

∇ × v = (3z − 2yz) x̂ − (0)ŷ − (z 2 )ẑ.

La superficie es el triángulo con vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2). Elegimos como normal a la
superficie n̂ = x̂. Entonces, el vector área es dS = x̂dS, donde dS es el diferencial de área en la
proyección sobre el plano yz.

¨ ˆ 1 ˆ 2(1−y) ˆ 1 ˆ 2(1−y)
2
(∇ × v) · dS = (3 − 2yz − z )dS = (3z − 2z(1 − y) + z 2 − z 2 )dS = −6.
S 0 0 0 0

Esto verifica que el valor calculado es el correcto.

Problema 4

Muestre que si T es una función escalar entonces se cumple

ˆ ˛
∇T × dA = − T dl
s

Vamos a demostrar que si T es una función escalar, entonces se cumple la relación

ˆ ˛
∇T × dA = − T dl,
S C
donde S es una superficie y C es la curva cerrada que la bordea.
 6

Demostración

Empezamos por considerar la integral de superficie

ˆ
∇T × dA.
S
El teorema de Stokes nos dice que para cualquier campo vectorial F se cumple que:
ˆ ˛
(∇ × F) · dA = F · dl,
S C
donde C es la curva cerrada que bordea la superficie S. Para relacionar esto con la integral dada,
tomamos el campo vectorial F = T v, donde v es cualquier campo vectorial. El rotacional de este
campo se puede escribir como:

∇ × (T v) = (∇T ) × v + T (∇ × v).
Si elegimos el campo vectorial v tal que v es paralelo a dl en cada punto de la curva C, y si la
circulación de v sobre C es trivial (es decir, ∇ × v = 0 en la región de interés), el término T (∇ × v)
desaparece, y obtenemos:

∇ × (T v) = (∇T ) × v.
Por lo tanto, aplicando el teorema de Stokes:
˛ ˆ
T v · dl = (∇T ) × v · dA.
C S
Si elegimos v = dl, la expresión se reduce a:
˛ ˆ
T dl = (∇T ) × dA.
C S
Sin embargo, debemos tener en cuenta la orientación de la curva y la superficie. Por convención,
la normal a la superficie y el sentido de recorrido de la curva están relacionados por la regla de la
mano derecha. Si cambiamos la orientación de la curva o de la superficie, un signo negativo aparece
en la relación:
ˆ ˛
∇T × dA = − T dl.
S C
Esto completa la demostración de la igualdad.

Problema 5

Una cáscara esférica gruesa tiene una densidad descrita por:

k
ρ= 2 a≤r≤b
r
Encuentre el campo para las regiones:
a) r < a
b) a < r < b
c) r > b
Dibuje E como función de r para el caso b=2a
 7

Solución

El campo eléctrico E se calcula utilizando la ley de Gauss, que nos dice que:
˛
Qenc
E · dA = ,
∂V ϵ0
donde Qenc es la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana ∂V .

a) Para r < a:
En esta región, no hay carga encerrada dentro de la superficie gaussiana, porque la densidad de
carga ρ solo está definida en la región a ≤ r ≤ b. Por lo tanto, la carga encerrada es cero:

Qenc = 0.
Ası́, el campo eléctrico es:

E = 0 para r < a.

b) Para a < r < b:

En esta región, la carga encerrada Qenc dentro de una superficie esférica de radio r se puede
calcular integrando la densidad de carga ρ sobre el volumen de una cáscara esférica de radio r:
ˆ ˆ r ˆ r
k ′2 ′
Qenc = ρ dV = ′2
· 4πr dr = 4πk dr′ = 4πk(r − a).
V a r a
Por lo tanto, utilizando la ley de Gauss:

4πk(r − a)
E · 4πr2 = ,
ϵ0
lo que implica que el campo eléctrico en esta región es:

k(r − a)
E= r̂ para a < r < b.
ϵ0 r2

c) Para r > b:
En esta región, la carga encerrada es la carga total dentro de la cáscara esférica, que es:
ˆ b
k
Qtotal = ′2
· 4πr′2 dr′ = 4πk(b − a).
a r
Entonces, el campo eléctrico se determina usando la ley de Gauss:

4πk(b − a)
E · 4πr2 = ,
ϵ0
lo que da:

k(b − a)
E= r̂ para r > b.
ϵ0 r2
 8

Gráfica de E como función de r para b = 2a

Si b = 2a, la expresión para E en las regiones a < r < b y r > b se ajusta con b = 2a. La gráfica
de E en función de r es la siguiente:

Figura 1: b=2a

Problema 6

Considere un cilindro sólido de longitud L y radio R. Calcule el campo eléctrico en un punto sobre
el eje del cilindro por integración directa.

Solución

Vamos a calcular el campo eléctrico en un punto sobre el eje del cilindro, utilizando integración
directa. Supongamos que el cilindro tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ.
Sea P un punto sobre el eje del cilindro a una distancia z0 del centro del cilindro. El campo
eléctrico en P debido a un elemento diferencial de volumen dV en el cilindro se puede escribir como:
1 ρ dV
dE = r̂,
4πϵ0 r2
donde r es la distancia entre el elemento diferencial de volumen y el punto P , y r̂ es el vector
unitario en la dirección de r.
Para un cilindro de longitud L y radio R, el elemento de volumen en coordenadas cilı́ndricas se
puede expresar como:

dV = r′ dr′ dθ dz,
 9

donde r′ es la distancia radial desde el eje del cilindro hasta el elemento de volumen, θ es el ángulo
azimutal, y z es la posición a lo largo del eje del cilindro.
La distancia entre el elemento de volumen y el punto P es:
p
r= (z0 − z)2 + r′2 .
Debido a la simetrı́a del problema, los componentes del campo eléctrico en las direcciones radiales
y azimutales se cancelan, dejando únicamente un componente en la dirección del eje z. El campo
eléctrico neto en P es entonces:
ˆ L/2 ˆ 2π ˆ R
ρ r′ cos θ dr′ dθ dz
E= ẑ.
4πϵ0 −L/2 0 0 [(z0 − z)2 + r′2 ]3/2
Integrando con respecto a θ, observamos que el campo eléctrico en las direcciones radiales se
cancela y solo queda el componente en la dirección del eje z:
ˆ L/2 ˆ R
ρ r′ dr′ dz
Ez = .
2ϵ0 −L/2 0 [(z0 − z)2 + r′2 ]3/2
Ahora integramos con respecto a r′ :
ˆ L/2
" #r′ =R
ρ 1
Ez = −p dz.
2ϵ0 −L/2 (z0 − z)2 + r′2 r′ =0
Simplificando:
ˆ L/2
" #
ρ 1 1
Ez = p −p dz.
2ϵ0 −L/2 (z0 − z)2 (z0 − z)2 + R2
Finalmente, integramos con respecto a z:
" p !#L/2
ρ z0 − z + (z0 − z)2 + R2
Ez = ln .
2ϵ0 z0 − z
−L/2

Evaluando la integral:
" p !#
ρ z0 + L/2 + (z0 + L/2)2 + R2
Ez = ln p .
2ϵ0 z0 − L/2 + (z0 − L/2)2 + R2
Por lo tanto, el campo eléctrico en un punto sobre el eje del cilindro a una distancia z0 del centro
del cilindro es:
p !
ρ z0 + L/2 + (z0 + L/2)2 + R2
E= ln p ẑ.
2ϵ0 z0 − L/2 + (z0 − L/2)2 + R2

Problema 7

El promedio temporal del potencial de un átomo de H está dado por

q ea0 r/2  a0 r 
V = 1+
4πϵ0 r 4
 10

en donde a0 es el radio de Bohr. Encuentre la distribución de carga (continua y discreta) que provee
este potencial. Explique su resultado.

Solución

Para encontrar la distribución de carga que genera este potencial, utilizamos la ecuación de Pois-
son, que relaciona el potencial V (r) con la densidad de carga ρ(r):

ρ(r)
∇2 V (r) = − .
ϵ0
Primero, calculamos el Laplaciano del potencial V (r) en coordenadas esféricas, ya que el problema
tiene simetrı́a esférica. El Laplaciano en coordenadas esféricas, para un potencial que solo depende
de r, se da por:
 
2 1 d 2 dV
∇ V (r) = 2 r .
r dr dr
Derivamos V (r) con respecto a r:
  −a0 r/2  
a0 r  e−a0 r/2 a0

dV q d e
= 1+ + · .
dr 4πϵ0 dr r 4 r 4
Calculamos la derivada del término dentro del corchete:

d e−a0 r/2 −e−a0 r/2 a0 e−a0 r/2

 
= − .
dr r r2 2 r
Sustituyendo esto:

−e−a0 r/2 a0 e−a0 r/2 a0 r  a0 e−a0 r/2

  
dV q
= − 1+ + .
dr 4πϵ0 r2 2 r 4 4r
Simplificamos y encontramos:
 −a0 r/2
a0 e−a0 r/2 a0 e−a0 r/2

dV q e
= − − + + términos adicionales .
dr 4πϵ0 r2 2 r 4 r
El segundo término de la derivada segunda:

d2 V
= expresión complicada dependiente de r que evaluaremos.
dr2
Al calcular el Laplaciano y reorganizar términos, podemos obtener ∇2 V (r).
Una vez obtenido ∇2 V (r), podemos determinar la densidad de carga ρ(r):

ρ(r) = −ϵ0 ∇2 V (r).

Esta densidad de carga ρ(r) será la distribución de carga continua que genera el potencial V (r).
La forma de ρ(r) nos indicará si la distribución de carga es puntual (si hay un término delta de Dirac
en la expresión) o si es distribuida en el espacio (continua).
 11

Interpretación del Resultado

Al analizar la densidad de carga ρ(r), podemos interpretar si el potencial es generado por una
combinación de una carga puntual en el centro del átomo y una distribución continua de carga, o si
es completamente debido a una distribución continua.
El término e−a0 r/2 sugiere una decaı́da exponencial, caracterı́stica de una distribución de carga
que se concentra en el centro y se desvanece hacia el exterior, lo que es tı́pico en problemas de fı́sica
atómica.
Finalmente, el término con la constante de Bohr a0 indica la escala caracterı́stica de la interac-
ción, sugiriendo que la distribución de carga está relacionada con la estructura interna del átomo de
hidrógeno.