1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Números reales. Intervalos

¿Para qué sirve?
INFOACTIVA PÁGINA 2

Los números reales ( ) están formados por los números racionales e irracionales.
Los números irracionales ( ) son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre
dos números enteros.
Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Al escribir
__ 3 __ su expresión decimal, en todos los casos se está realizando una aproximación.
32 ; 39 y π son números irracionales.
__ 3
__
32 ~ 1,41421356… 39 ~ 2,08008382… π ~ 3,14159265…

Densidad y continuidad
Entre dos números reales siempre existe otro número real. Se dice entonces que es un conjunto denso.
A cada número real le corresponde un punto en la recta y recíprocamente. Se dice entonces que
es un conjunto continuo.

Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Si se utiliza paréntesis, significa que el extremo no pertenece al intervalo (intervalo abierto).

Si se utiliza corchete, significa que el extremo pertenece al intervalo (intervalo cerrado).

Los números mayores que a y menores que b se representan de la siguiente manera:

A: x ∈ ∧ a < x < b = (a;b)


a b
Los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente
manera.
B: x ∈ ∧ a ≤ x ≤ b = [a;b]

 
a b
Los números mayores que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente manera:
C: x ∈ ∧ a < x ≤ b = (a;b]

 
a b
Los números mayores o iguales que a se representan de la siguiente manera:
D: x ∈ ∧ x ≥ a = [a;+')


a
Expresen de dos maneras distintas la siguiente expresión. Luego, grafiquen.
Los números mayores que –5 y menores o iguales que 3.
A: x D ∧ –5 < x ≤ 3 = (–5;3]
 
–5 3
10
Test de comprensión
1. Respondan
___
y expliquen las respuestas.
a. 310 y 1,414215 son números reales. ¿Cuál es racional y cuál, irracional?
b. ¿Cuántos números hay entre 1,3 y 1,31?
___
a. 310 es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y 1,414215 es un número racional
porque se puede expresar como fracción. b. Hay infinitos porque los números reales forman un conjunto denso.

ACTIVIDADES
1 Números reales. Intervalos
1. Dados estos números reales, indiquen cuáles son racionales y cuáles, irracionales.
a. 0,215215215... Racional e. –136 Racional
3
__
b. 4,134441334444…. Irracional f. 37 Irracional

c. __52 π Irracional g. π – __31 π Irracional

______
4
d. 30,0016 Racional h. 1,141414… Racional

2. Completen los cifras de los siguientes números irracionales respetando su ley de formación.
a. 3,1112131415161 7 1 8 1 9 2 … b. –22,1871187711187 7 7 1 1 1 1 …

3. Escriban un número racional k que cumpla las condiciones pedidas

__
en cada caso.
a. 2 < k < 3 c. 2,449 < k < 36
5
Por ejemplo __
2. Por ejemplo 2,4493.
__ __
b. 3 < k < π d. – 38 < k < – 37
Por ejemplo 3,12. Por ejemplo –2,5.

4. Escriban de dos formas distintas

__
los números que están representados en las rectas, teniendo en
cuenta que a = – __23 y b = 33 .
a. b.
   
a b -b a

[ ]
__ __ __ __
2 ≤ x ≤ 3 = __
∧ __ 2; 3 2 = – 3 ;– __
∧ 33 < x ≤ __ 2
A: x D 3 3 33
B: x D 3 3 ( 3 ]
5. Escriban como intervalo real y grafiquen en la recta numérica.
a. Los números reales mayores que –3 y menores o iguales que π. (–3;/]

b. Los números reales mayores o iguales que __76 . [ __76;+')

c. Todos los números reales positivos. (0;+')

11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Módulo de un número real

INFOACTIVA

El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo
número real x, su módulo se expresa: |x|.
x
∀ x ∈ : | x | = –x {
si x ≥ 0
si x < 0 Referencias
∀: para todo
|–3| = 3 |4| = 4 ⇒: entonces
ª
«
©
«
¨
ª
«
«
©
«
«
¨
‹: si y solo si
∪: unión
–3 0 4 ∧: y
∨: o
|4| = 4 | –3 | = –(–3) = 3 ≠: es distinto a

Propiedades del módulo

1. | x | * 0 3. | x + y | ) | x | + | y |
| –5,2 | = –(–5,2) = 5,2 ≥ 0 | –2,1 + 1 | ≤ | –2,1 | + | 1 | ⇒ 1,1 ≤ 3,1
1 = __
__
| |
5 5
1≥0 | –3,4 + (–2,1) | ≤ | –3,4 | + | –2,1 | ⇒ 5,5 ≤ 5,5

2. | x | = | –x | 4. | x . y | = | x | . | y |
| –3,2 | = –(–3,2) ∧ | –(–3,2) | = 3,2 | –4,7 . 5 | = | –4,7 | . | 5 | ⇒ 23,5 = 23,5
__
2 = __
| |
3
2 ∧ –__
3
2 = – –__
3| | 2 = __
3 ( )2
3
| –2,5 . (–4) | = | –2,5 | . | –4 | ⇒ 10 = 10

Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.


–a 0 a

x < –a –a < x < a x>a

5. |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–';–a) ∪ (a;+')


–a 0
a
|x| > a

|x| > 3 ⇒ x > 3 ∨ x < –3 ⇒ x ∈ (–∞;–6) ∪ (6;+∞)

|x| ≥ 1,8 ⇒ x ≥ 1,8 ∨ x ≤ –1,8 ⇒ x ∈ (–∞;–1,8] ∪ [1,8;+∞)

6. |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)


–a 0 a
|x| < a

|x| < 7 ⇒ –7 < x < 7 ⇒ x ∈ (–7;7)

3 ⇒ –__
|x| ≤ __
4 4
3 ⇒ x ∈ –__
3 ≤ x ≤ __
4
3 ;__
44
3
[ ]

12
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que | a – b | ≤ | a | + | –b |?
b. ¿Para cuáles valores de x se cumple | –x | = 2?
a. Sí, porque a – b = a + (–b) ‰ | a + (–b) | ) | a | + | –b |. b. x = –2 ∨ x = 2.

ACTIVIDADES
2 Módulo de un número real
6. Calculen los siguientes módulos.
__ __
a. | 16,14 | = 16,14 d. | –3 + 311 | = –3 + 311
__ __
b. | – 35 | = 35 e. Si b < 0, | –b | = –b

c. | 1– (–5) – 12 | = 6 f. Si a > 0, | a – 2a + 1,25a | = 0,25a

7. Completen con >, < o = según corresponda en cada caso.

__
a. | – __76 | = | __76 | d. | –4 . 39 | = | –4 | . |3|
__ __
b. | 2 + 37 | = | 2 | + | 37 | e. | 3,5 – (–2,4) | > | 3,5 | – | –2,4 |

c. | 5 + (–12) | < | –5 | + | –12 | f. Si a = 0 y b = 0, | a + b | = | a| + |b|

8. Expresen los valores que pueden tomar las variables. Luego, represéntenlos en la recta numérica.

a. | x | = 2 x = 2 ∨ x = –2

No tiene solución.
b. | x | = –5 El módulo no puede ser negativo.

c. | x | + 3 = 10 x = 7 ∨ x = –7

13 x = 31 ∨ x = –31
d. __31 . | x | – 6 = ___
3

e. | x | ) __41
x D –__
4 4
1
[
1 ;__
]
f. | y |> 3 y D (–';–3] F (3;+')
__ __ __
g. | h | < 36 h D (–36 ;36 )
__ __

h. 2 . | y | – 32 * 0
__ 2
y D –';– 3__
2
2
F 3__
2
;+' ( ) ( )
9. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable en cada caso?

a. | x | = 4 Ž x * –2 x D [–2;+') X x = 4 x D [–2;4]

b. | y | * –2 Ž y < 1 y D [–2;1) y D (–',–1] X y D (–',–2]

c. –3 . | h | > –9 Ž x & 1 h D (–3;1) X h D (–3;3) – {1} h D (1;3)

13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ecuaciones e inecuaciones con módulo

INFOACTIVA

Para resolver una ecuación, se debe aplicar la definición de módulo.

|x| = x
–x{ si x ≥ 0
si x < 0
Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
4 . | 2x – 5 | – 8 = x + 1 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 2x – 5 ≥ 0 ⇒ 4 . ( 2x – 5 ) – 8 = x + 1 ∨ Si 2x – 5 < 0 ⇒ 4 . ( –2x + 5 ) – 8 = x + 1
5 ⇒ 8x – 20 – 8 = x + 1
Si x ≥ __ ∨ 5 ⇒ –8x + 20 – 8 = x + 1
Si x < __
2 2
5 ⇒ 7x = 29
Si x ≥ __ ∨ 5 ⇒ –9x = –11
Si x < __
2 2
5 ⇒ x = ___
Si x ≥ __ 29 ∨ 5 ⇒ x = ___
Si x < __ 11
2 7 2 9
 
0 1 2 5
__ 3 4 5 –2 –1 0 1 2 5
__ 3 4
2 29
___ 11
___ 2
7 9
29 ∨ x = ___
La solución es S: x = ___ 11 .
7 9

Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a
ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.

Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo.

a. | 3x + 5 | < 4 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 3x + 5 ≥ 0 ⇒ 3x + 5 < 4 ∨ Si 3x + 5 < 0 ⇒ 3x + 5 > –4
5 ⇒ 3x < –1
Si x ≥ – __ ∨ 5 ⇒ 3x > –9
Si x < – __
3 3
5 ⇒ x < – __
Si x ≥ – __ 1 ∨ 5 ⇒ x > –3
Si x < – __
3 3 3

[ – __53;– __13 ) ∨ ( –3;– __53 )

 
5 4 2 1 –2 – 5
–2 – __ – __ –1 – __ – __ 0 –4 –3 __–1 0 1
3 3 3 3 3
5 ∪ – __
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –3;– __
3) 3 3) ([
5 ;– __
1 = –3;– __
1
3)

b. | 2x – 7 | + 5 > 3 + x
| 2x – 7 | > –2 + x ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 2x – 7 ≥ 0 ⇒ 2x – 7 > –2 + x ∨ Si 2x – 7 < 0 ⇒ 2x – 7 < 2 – x
7 ⇒ x>5
Si x ≥ __ ∨ 7 ⇒ 3x < 9
Si x < __
2 2
7 ⇒ x>5
Si x ≥ __ ∨ 7 ⇒ x<3
Si x < __
2 2
( 5;+∞ ) ∨ ( –∞;3 )
 
1 2 3 7
__ 4 5 1 2 3 4 7
__ 5
2 2
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –∞;3 ) ∪ ( 5;+∞ )
14
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si | x | = k, ¿qué valores puede tomar k para que la ecuación no tenga solución?
b. Si | x | > k, ¿qué valores puede tomar k para que tenga solución?
a. k < 0, porque el módulo de un número no puede ser negativo. b. Siempre tendrá solución, pues si k > 0,
| x | puede ser mayor que ese positivo y si k < 0, para todo x, | x | > k.

ACTIVIDADES
3 Ecuaciones e inecuaciones con módulo
10. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
a. | 2 + x | = 5 d. –5 + | 3 – 3x | = –2
x = 3 ∨ x = –7 x=0∨x=2

2 . |x – 5|
b. | 3 – x | = __61 e. _________
7 –1=4
17 19 45 25
x = ___
6
∨ x = ___
6
x = ___ ___
2 ∨x=– 2

____ ___
f. 7 . |x – 3125 | = 8 . | x – 325 | – 1
3
c. | 4 + 2x | = –10
No tiene solución, pues | 4 + 2x | * 0. x=4∨x=6

11. Hallen los valores de a para que cada ecuación tenga la cantidad de soluciones pedidas.
a. | x – 2a | = a + 2, que tenga solución única.
Para que tenga solución única: a = –2.

b. | x – (–5) | = 9a – 2, que tenga dos soluciones distintas.

2.
Para que haya dos soluciones distintas: a > __
9

12. Lean atentamente y escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

La distancia entre dos puntos (a y b) se expresa: D(a;b) = | a – b |

a. Si | x – 4 | = 5 ‰ D(x;–4) = 5. F c. Si | x + 4 | = 5 ‰ D(x;–4) = 5. V

b. Si | x – 4 | = 5 ‰ D(x;4) = 5. V d. Si | x + 4 | = 5 ‰D(x;4) = 5. F

13. Planteen la ecuación y resuelvan.

La distancia entre el doble de un número real y el opuesto de 10 es 18.
La ecuación es | 2x + 10 | = 18 y las soluciones son x = 4 y x = –14.

15
 ACTIVIDADES
3 Ecuaciones e inecuaciones con módulo
14. Marquen las opciones correctas.
15
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación __21 + 3 . | –6 + 5x | = ___
2 + 3?
15 15 28 8 28 15
a. x = ___ ___
28 ∨ x = 8
X b. x = ___ ___
15 ∨ x = 15 c. x = ___ ___
8 ∨ x = 8

15. Resuelvan las ecuaciones y representen la solución en la recta.

a. | 1 – x | = 2x + 1 c. 2 – 3x = –10 + 3 . | 2 – 2x |

x=0 x = –2

b. 4 . |x – 4 | + 4 = 5 – x d. | 3 – __21 x | – 4x = | – __21 x + 3 | + 4
No tiene solución. x = –1

16. Marquen las opciones correctas.

2 a + 7 tenga como solución a [–6;12]?
a. ¿Cuál es el valor de a para que | x – 3 | ) __
5
X a = 5 a = –5 a = –25

b. ¿Cuál es el valor de b para que | 5x – b | > __21 b + 2 tenga como solución a –';– __51 F (1;+')?
( )
b = –2 b=0 X b = 2
| | c
__
c. ¿Cuál es el valor de c para que x + 1 )2 + 3 no tenga solución?

c = –6 X c < –6 c > –6

17. Escriban las inecuaciones que representan cada situación y resuelvan.

a. Un número está a menos de 5 unidades de distancia con respecto a 2.
|x – 2 | < 5; S: (–3;7).

b. Un número está a una distancia no menor de 4,5 unidades con respecto a 8.

|x – 8 | * 4,5; S: (–';3,5] F [12,5;+').

c. El anterior de un número está a una distancia mayor de 4 unidades con respecto a 0.

|x – 1 | > 4; S: (–';–3) F (5;+').

16
 ACTIVIDADES
3 Ecuaciones e inecuaciones con módulo
18. Resuelvan las siguientes inecuaciones. Luego, representen la solución en la recta numérica.
a. | x + 6 | ) 3 d. | 2 – 2x | > 2
S: [–9;–3] S: (–';0) F (2;+')

b. | 5 + 2x | < 2 e. 4 – | z + 1 | < 7 + 2z
7 __
S: – __
(;– 3
2 2 ) S: (–2;+')

c. –14 . | __71 + x | > –7 f. 1 – __21 . (3x + 4) ) 3 – | 1 + 2x |

S: – ___
( 9
5
;___
14 14 ) [
10
S: – ___
7 ;6 ]

19. Escriban una inecuación con módulo que tenga el conjunto solución pedido en cada caso.
a. S: [–2;4] d. S:
|x – 1| ) 3 |x + 2 | *0

b. S: __21 ;__29
( ) e. No tienen solución.
| 5
x – __|
2 
|x + 2 | 0

c. S: (–';–6] F [4;+') f. S: – {4}

|x + 1 | *5 |x – 4 | 0

mente ACTIVA

Observen la siguiente resolución | –3z

+ 6| ) 21
y encuentren el error. –3z + 6 ) 21
No se aplicó correctamente la propiedad –3z ) 15
del módulo. z * –5 ‰ x D [–5;+')
| –3z + 6 | ) 21
[ –3z + 6 * 0 ⇒ –3z + 6 ) 21 ] ∨ [ –3z + 6 < 0 ⇒ –3z + 6 * –21 ]
z D [–5;9]

17
INTEGRACIÓN
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según 23. Escriban las siguientes expresiones de dos
corresponda. Expliquen las respuestas. maneras distintas.
V a. Los números reales mayores que 4 y meno-
a. –5 es un número racional. (4;18]; x > 4 ∧ x ≤ 18
____ res e iguales que 18.
3
b. – 3729 es un número irracional. F
b. Los números reales mayores que cero y
menores que 21. (0;21); x > 0 ∧ x < 21
c. 1,18 es un número racional. V __
__ c. Los números reales menores que 38 .
d. 35 es un número real. V
d. Los números reales menores o iguales que
3 3
e. 2/ = 6,283 F – __43 . d. –';– __
(
4 ]
; x ≤ – __
4
.
e. Todos__ los números reales.
f. __03 es un número racional. F __
c. (–';38 ); x < 38 ; e. (–';+');
g. Todo número real es irracional. F 24. Escriban como intervalos los números que
V están representados en las __rectas. Tengan en
h. Todo número irracional es real.
cuenta que a = – __23 y b = 33 .
i. Existen números reales que son racionales e
a.
irracionales. F

j. La suma de dos números irracionales siem- a b

pre es otro número irracional. F

b.
k. Un número decimal periódico es racional. V  
–a b
l. Todo número real tiene su inverso multipli-
F c.
cativo.
 
–b a
21. Completen las cifras de los siguientes números
irracionales respetando su ley de formación. d.
1 8 2 1 2 4 
a. –0,3691215 …
a –a
b. 78,235711 1 3 1 7 1 9
…
Solución a cargo del alumno.
c. 1,24816 3 2 6 4 1 2
…
25. Marquen las opciones correctas.
d. –3,51015202 5 3 0 3 5 4
… a. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solu-
ción es (–4;4)?
22. Escriban las siguientes expresiones como
X | –x | < 4 – |x| > 4 | x| ) 4
intervalos. Luego, grafiquen en una recta.
a.  – (–';0) f. | x – 3 | > __21 b. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solu-
b. x * –1 [–1;+') g. | 2x – 1 | < 4 Ž x * 1
[0;+') ción es (–';–4] F [4;+')?
c. +0
h. | x | > 2 Ž | x | ) 5
d. – {3/} i. | x – 1 | < 1 Ž | x |> 1 | x| > 4 X – | x | ≤ –4 | x| ) 4
e. | x | ) 5 j. | x – 3 | ) 4 Ž | x | * 2
d. (–';3/) F (3/;+'); e. [–5;5];
5 7 5
f. –';__
( ] [ __
) __
[ )
2 F 2 ;+' ; g. 1; 2 ; h. [–5;–2) F (2;5];
i. (1;2); j. (–';–2] F [2;7]

18
 capítulo

CONTENIDOS
1*2*3 1
26. Marquen las opciones correctas. 31. Resuelvan las siguientes inecuaciones.
¿Cuál es la expresión que representa cada inter- a. __56 . | 2,5x – 5 | ) 1 : __65 S: [1,6;2,4]
valo? b. 9 – __47 . | 3 – x | > __41 S: (–2;8)
c. | 5x + 4 | + 10 * 3 . | 5x [
+ 4 | + 2 S: – 5 ;0
8
__
]
[ ] [ ]
a. –3;– __23 F __23 ;3
d. __32 . | x + 4 | – __35 . | x + 4 | ) –5x + 4 . | x + 4 |
| x | ) 1,5 Ž | x |* 3 1 d. S:
x + __
2 1 1
e. x2 – _____ __
( __
6 > x – 2 . x + 2 ) ( ) e. S: (–';–1)
| x |  1,5 Ž | x | * 3
X | x | * 1,5 Ž | x | ) 3 32. Planteen la inecuación y resuelvan.
__ a. El triple de la distancia entre un número real
b. [ 33 ;+') – {4} y 2 es menor que el doble del consecutivo de 4.
__
X | y | & 4 Ž y * 1 Ž | y | * 33 b. La quinta parte de la distancia entre un
__ número real y 1 es mayor o igual a –2.
y & 4 Ž y * 1 Ž | y |  33 4 ___
a. 3 . | x – 2 | < 10; S: – __; 16 ; b. __
1 |
__
(
3 3 ) |
5 . x – 1 * –2; S:
y& 4 Ž y  1 Ž | y |  33 33. Escriban en lenguaje coloquial las siguientes
expresiones.
27. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). a. 4 . | x + 9 | * 8
Expliquen las respuestas. + | x + 10 | = 7
b. 1 ___
4 3
___
c. 316 – | x – 8 | < – 327
a. | a | > 0 ‰ a > 0 F
Solución a cargo del alumno.
b. | a | = | b | ‰ a = b F 34. Resuelvan las ecuaciones e inecuaciones del
ejercicio anterior. a. S = (–';–11] F [–7;+');
c. | z | > | w | ‰ z > w F
b. S = {–4;–16}; c. S = (–';3) F (13;+')
d. | –4 + (–6,1) | ) | –4 | + | –6,1 | V 35. Marquen las opciones correctas.
__ __
e. | –3 . 37 | = 3 . 37 V a. ¿Cuál
__
es el conjunto solución de la ecuación
2 . 33 . | __83 + 2x | = 0?
28. Resuelvan las siguientes ecuaciones. No tiene solución.
35 37
a. – __71 + 4 . | –x + 9 | = __76 x = ___
4
, x = ___
4 3.
1
__ X Su solución es x = – ___
b. | x – 2 | + 4,5 = –1,5 . | x – 2 | – 2 No tiene 16
solución. 3.
c. 7x + | 1 – 3x | = 1 – __21 x x = 0 Su solución es x = ___
16
d. | x – a | – 2a = 2 . | x – a | – 3a Ž a * 0
x = 2a, x = 0 b. Si | x – a | ) 3a tiene como conjunto solución
29. Hallen los valores de w para que la siguiente a S: – __81 ;__41 , ¿cuál es el valor de a? (a > 0)
( )
ecuación tenga la solución pedida en cada caso.
a = __81 a = __41 1
X a = ___
16
| x – w | – 2w = 2 . | x – w | – 3w Ž w * 0

a. S: x = 0 b. S: x = 0 ∨ x = 6
c. Si b > 0, ¿cuál es la inecuación que tiene la
a. w = 0; b. w = 3
siguiente solución?
30. Planteen la ecuación y resuelvan. x < –14b – 5  x > 16b + 5
a. La distancia entre el triple de un número y
el opuesto de –5 es 7. |x + b | – 5b > 10b + 5
b. La diferencia entre 4 y la distancia entre el X | x – b | – 5b > 10b + 5
doble de un número real y –1 es igual a –10.
2 |x – b | – 5b > –10b – 5
a. | 3x – 5 | = 7 y S: x = 4 ∨ x = – __
3
b. 4 – | 2x + 1 | = –10 y S: x = –7,5 ∨ x = 6,5

19
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Radicales
INFOACTIVA

Los números radicales son aquellas raíces que no tienen solución racional. Todos ellos son números
irracionales.
__ 3 __ __ 4 __
32 ; 39 ; 33 ; 34 ; son radicales.

Propiedades de la potenciación
ˆPotencia de exponente cero. a0 = 1 ⇔ a ≠ 0
1
ˆPotencia de exponente negativo. a–n = __ an
⇔a≠0
n m
ˆPotencia de otra potencia. (a ) = an . m
ˆProducto de potencias de igual base. an . am = an + m
an
___
ˆCociente de potencias de igual base. am
= an – m ⇔ a ≠ 0
ˆDistributividad respecto de la multiplicación. (a . b)n = an . bn
n

( __ba ) = __ban ⇔ b ≠ 0
n
ˆDistributividad respecto de la división.

Propiedades de la radicación
__ __1
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: 3n a = an
__ __ __ __
__ __ __
1 3 1 5 4
1 = x–__34
__
3
4 4
37 = 7 2 36 = 6 3 3x = x 5
x3
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
___
__ 1
1 __
__ 1
____ __
3 m3a = ( am )n = an.m =
n m.n
ˆRaíz de raíz. 3a

n
_____ 1
__ 1
__ 1
__ __ n
__
ˆDistributividad respecto de la multiplicación. 3a . b = (a . b)n = an . bn = 3n a . 3b
__ n __
1
__
1
__
a
__ a an a
ˆDistributividad respecto de la división. n
3 b
= __
b ( ) n
= ___ ____
3 __
1 = n
__
bn 3b
___ m
__ m:r
___ ___
3am = a = a = 3am:r ⇔ r ≠ 0
n n:r
ˆSimplificación de índices. n n:r

___ __ ___ ___ __ ____ 15 ___ 5 __

6 12 12 3 15
333 = 33 316 = 324 = 32 3125 = 353 = 35
__ __
3an = a ⇔ n es impar 3an = |a| ⇔ n es par
n n
ˆEliminación del radical.
___ ___ ___ ___ ____ 3 ___ _____ _____
5 5 3 7 7
336 = 362 = | 6 | = 6 332 = 325 = | 2 | = 2 3125 = 353 = 5 3–128 = 3 (–2)7 = –2
___ m
__ m.p
____ n.p ____
3am = a n = a n.p = 3am.p ⇔ p ≠ 0
n
ˆAmplificación de índices.
__ 2.2
____
4
___
4
___ 3
__ 3.3 ____ 9 ___ 9 ____ 3
__
3.2
___
6
__
3 7 = 3 71.2 = 3 72 = 3 49 3 9 = 3 32.3 = 3 36 = 3 729 3 x4 = 3 x4.2 = 3 x8

Extracción de factores de un radical

Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es
mayor o igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y
de la radicación.
______ _________ ____________ ___ __ __ _____ ___
6y (x ≥ 0; y ≥ 0)
3 3 4 3 3 3 3 3 3 3
48x6y4 = 3
3____ 2 . 3x6yy3 = 3 2 . 23 . 3x6yy3 = 323 . 3x6 . 3y . 32 . 3y = 2x2y . 3
______ ____ __ __
4 4
32x4
_____ 4 4
= 4 _______ 2 x . 4 __
2 . 2 x = 4 ____ 2 = ___
2x . 4 __
2 (x ≥ 0; y > 0)
20
3
4
81y6 3
34y2y4 4 4
33 y 3
y2 3y y2 3
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen sus respuestas. _______
5 3 _____
a. ¿Qué propiedad de la radicación se puede aplicar a 3 32 . a6 ?_____
b. ¿Se puede cancelar el índice de la raíz con el exponente en 3(–7)2 ?
a. Se puede aplicar
___ producto
__ 15 __de índices de radicales y propiedad distributiva de la radicación con respecto
15 15
al producto. 32a6 = 32 . 3a6 . _____ ___
b. No se puede cancelar la raíz con el exponente por tener base negativa. 3(–7)2 = 349 = 7.

ACTIVIDADES
4 Radicales
36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
___ __ 3
__
a. b4 . b5 = b20 F e. (a + b – c)2 = a2 + b2 – c2 F i. 35a3 = 35 . a2 V
__
b. a10 : a4 = a6 V f. (a . b4 . c–3)5 = a5 . b10 . c–5 F j. 3x2 = x F
__ 4
__
___
__ __
4 5
c. d . d . d . d . d = 5d F g. 3a7 = a7 V k. 336 a = 11
3a F
_____ __ __ __
d. (a : b)n = an : b F h. 3a – b = 3a – 3b F l. 3a2 = | a | V

37. Reduzcan a la mínima expresión posible aplicando las propiedades de la potenciación.

a. (a2 . a9 : a5)7 = c. (x–3 . z4)5 : (x–2 . z6)–3 =

a42 x–21 . z38

1
b. (y5)–2 : (y3 . y4)3 = d. (v–3 . w5 . w4) : ( v5 . w–2 . __
w) =
y–31 v–8 . w12

38. Reduzcan
__ __
a la
__
mínima
__
expresión posible aplicando las______
propiedades de la radicación.
______
2 4 5 3 5 4 10 6
a. 35 . 3x . 3x . 3x = c. 3x . y . 3x . y8 =
2

7
__ 6
__
5x6 x5 . y5
______ _______ _______ _______
x15
b. 6 ___
4 12 3

3
y13
5
__
. z18 =
13
___
d. 3(x + y)3 . 3(x + y)–1 . 3(x + y)4 =
x2 . y– 6 . z3 (x + y)2

39. Resuelvan aplicando

__ __
propiedades. __ ___
54 –3 3__8 . 3____
18 –3 –5
a. __
52
+ 6–2 – 33 . 33 + __41 ( ) 3 097
= _____ d. _________ – __41 ( ) . 42 : __41( ) = –0,4
36 32 . 3200

___ __ _______
b. [ 32–1 : 2–2 ] 7 – 52 . 35 = 7
4
__ 1
__
4 4
e. 3625 . 34 . (–1)17 . (–2)5 = 480

______
_____ __ __ _______
256 22 1 –3 164 81
33 _____ __ __ = – ____ f. 395 . 338 . 52 : ( 2 . 334 . 524 ) = ___
6 3
c. –2 6
2 401 – 4 . 43 . 4 – 2 ( ) 7
12
2

21
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Operaciones con radicales

INFOACTIVA

Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
ˆTérminos
__ con__radicales __
semejantes.
__ ˆTérminos
__ con__radicales no
__ semejantes.
__
3 3 3
2 . 35 y 5 . 35 7 . 38 y –38 2 . 35 y 2 . 35 8 . 37 y 7 . 38

Adición y sustracción de radicales

Solo es__posible__sumar __ o restar
__ términos que contienen
__ radicales semejantes.
4 . 33__ + 2 . 3__
3 – 33__ = 33 . (4
__ + 32__– 1) = 5 . 33 __ __ __
3 3 3
3 . 32 – 4 . 32 + 32 + 6 . 32 = 32 . (3 + 1) + 32 . (–4 + 6) = 4 . 32 + 2 . 32
Existen casos
__ en ___
los cuales ___
ciertos ___
radicales son__semejantes
___ luego_____
de llevarlos
___ a su mínima expresión.
8 8 4
–4 . 33 + 5 . 381 – 3 . 312 + 327 = –4 . 3__ 3 – 3 . 3___
3 + 5 . 3__ 22 . 3__+ 33___
3
__
= –4 . 3__ 3 – 3 . 322 __
3 + 5 . 3__ . 33 + 33__2 . 33
= –4 3 3 3
__ . 3 + 5 . 3 – 3 . 2 . 3 +__3 . 3
3
= 33 . (–4 + 5 – 6 + 3) = –2 . 33

Multiplicación y división de radicales

Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
ˆ Propiedad distributiva de la multiplicación y de la división respecto de la suma y de la resta.
(b ± c)
a . __ ± c) . a__= ab
__ = (b___ __ ± ac
__ ___ ± c) : a__= b __: a ±___
(b ___ c : a __ __ __
33 . ( 33 + 327 ) = 3__ + 33 . 327
3 . 33___ ( 318 – 38 ) : 32 = 318 2 – 38 : 32
__ : 3__
= 39 + 381 = 3 + 9 = 12 = 39 – 34 = 3 – 2 = 1
ˆ Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
(a ± __b)2 =__a2 ± 2ab__ + b
2
__ __ __ (a __
+ b) .__(a – b) 2 2
__ = a__– b __ __
2
2 2
( 32 – 33 ) = ( 32 ) – 2 __ . 32 . 33 + ( 33__
) 2
( 37 + 3 5 ) . ( 37 – 35 ) = ( 37 ) – ( 35 )2
= 2 – 2 . 36 + 3 = 5 – 2 . 36 =7–5=2

Multiplicación y división de radicales de distinto índice

Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices
de los __
radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
__
← mcm(3;6)
3 2 6
3__
a y3 x ___ __ = 6; ambos radicales deben tener índice 6.
3 3.2 6 6
__
3a2 = 3a2.2 = 3a4 y 3 x
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y
luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multipli-
cación y división. __
__ n __ n __ __ ___________ n __
n n 3a
___ a
n __
3a . 3b . 3c ... 3d = 3a . b . c ... d ∧ n __ = ⇔b≠0
n
b 3b 3 ___
__ __ ____ ____ ___ ___ ______ ___ 6 ____
6.2 5.2
___ __
2.3 3.2 6 6 6 6 33 5
____ 33
___ = ______ 310 = 1233
12 ___
3
3
33 . 33 = 33 1.3
. 33 1.2
= 33 . 33 = 33 . 3 = 33
3 2 3 2 5
4 3 4.3 3.3 =
____
9
33 33 3

22
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas. __ __
__ __
a. Los términos 2 . 3v y –5 . 33 v ¿son semejantes? ¿Y__
32 y__38 ? __ ______ ___
7 2 7 7 7 __ __ __ 30
b. ¿Qué propiedades de radicación se aplicaron en 3a . 3b3 . 3c4 = 3a2b3c__ 4
? ¿Y __en 3x .33 x . 35 x = 3x31 ?
a. No __son semejantes,
__ pues en uno la __raíz es cuadrada y en el otro, cúbica. 32 y 38 son semejantes, ya
que 38 = 2 . 32 que es semejante a 32 . b. Propiedad recíproca de la distributiva de la radicación del mismo
índice con respecto al producto. Propiedad de reducción a común índice de radicales distintos en el producto.

ACTIVIDADES
5 Operaciones con radicales
40. Sumen y resten los términos con radicales semejantes.
__ __ __ 27 __
___
4 3
. 2
a. 8 . 32 – 2 . 32 + __43 . 32 =
__ __
7
__ __ __ __ – __
2 . 33 + 16 . 35
b. –3 . 33 + 4 . 35 – __21 . 33 + 12 . 35 =
___ ___ ____ __
c. 0,5 . 312 + 4 . 375 – 0,3 . 3108 = 19 . 33

___ ____ ____ ___ __ __

d. 316x – 325x + __23 . 336x – 381z = 13 . 3x – 4 . 3z
__
__ __ __ 11 b . 3 b
__ 3
e. 3b + 2b . 3b – __41 b . 3b3 =
3 9 6
4 2 4
__
__ __ ___
( __52 c + __23 c 2
– __71 c3 ) . 34 c
f. __52 . 3c5 + __23 . 3c9 – __71 . 3c13 =
4 4 4

41. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva o diferencia de cuadrado según corresponda.

__ __ __ __ ___ __ ___
a. –3 . 33 . ( 35 + 4 . 311 ) = d. 33 . ( –324 + 36 ) + 398 =
___ ___ __
–3 . 315 – 12 . 333 4 . 32

__ __ __ __ _____ _____ __ __
b. ( 2 . 32 + 5 . 35 ) . ( 3 . 35 + 32 ) = e. ( 3100a7 + 336b5 ) . ( 10a3 . 3a – 6b2 . 3b ) =
___
11 . 310 + 79 100a7 – 36b5

__ __ __ __ 5
_____ ___ _____
5
c. ( 36 – 37 ) . ( 36 + 37 ) = f. 332x10 . 35 xy . 3x4 . y4 . (x – y) =
–1 2x4 . y – 2x3 . y2

42. Resuelvan aplicando el cuadrado del binomio.

__ __ __ __ __
a. ( –2 . 33 + 3 . 32 )2 = c. 2 . 33 . ( 33 + 32 )2 =
__ __ __
30 – 12 . 36 10 . 33 + 12 . 32

__ ____ __ 4
___ ___
2
b. ( 3a7 – 4 . 39a11 ) = d. ( 5 . 35 – 8 . 320 )2 – 3252 =
a7 – 24a9 + 144a11 600

23
 ACTIVIDADES
5 Operaciones con radicales
43. Reduzcan a común índice los siguientes radicales.
4
__ 3
__ 3
__ 7
__ 21
__
a. 3a3 y 3a4 d. 3d ; 3d y 3d
__ ___ __ __ __
12 12 21 21 21
3a9 y 3a16 3d7 ; 3d3 y 3d

35
__ 14
__ 5
__ 60
___ 60
___
b. 3b2 y 3b3 e. 3e2 ; 3e18 y 3e70
___ ___ ___ ___ ___
70 70 60 60 60
3b4 y 3b15 3e24 y 3e18 y 3e70

52
__ 65
__ 91
__ 77
__ 143
__
c. 3c7 y 3c4 f. 3f11 ; 3f13 y 3f7
___ __ ___ ___ ___
260 260 1 001 1 001 1 001
3c35 y 3c16 3f 121 ; 3f 169 ; 3f 49 .

44. Resuelvan.
________
__ __ __ ________
__ 4 __
6 3
a. 332 . 323 = c. 352 . 3326 . 358 =
2 10

3 8
__ __ __ ___ __ 9
__
12 3 12
b. 334 : (335 . 337 ) = d. 318 . 394 : 336 =
8
__ 3
___
33 318

45. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas donde escribieron F.

__ __ __ 18
___ ___ 4
__ __ ______
12
a. 33 a . 36 a . 39 a = 3a36 F d. 33 xy . 3x2 . 3y5 = y10 . 3x10 . y2 F
18
___ _______
12
3a11 y2 . 3x10 . y10
__ __ __ _____ 3
_____ _____
4 12
3
x__ 3x9 __ V 3 xy 3 x2 . y 2
_____ . 3 x_____
.y xy . 3x2 . y
b. 3____
3 = _______
12 e. ___3
2 . 100 3 5 =
__________
10 3 F ___
3b4 b . 3b4 3
xy . 3x2
_______
10
___ ___________
__________
ay3 ___ 3 _____
3___ f. 3_____________
2
3x_______
– 4x + 4
c. _____
6
3 = 36 ay V 6 2
= 3x – 2 F 1
3ay4 3(x – 2)

24
 ACTIVIDADES
5 Operaciones con radicales
46. Resuelvan los siguientes cálculos hasta encontrar su mínima expresión.
3
___ 5
___ 2
___
39a m2___
. 3m5 : m
a. ______
4
____
2
= d. 3_____________
4
3
__ =
327a
_______ ___3m . 3m
12 20
33–1 . a–2 3m13

__ 3
__ 8
__ 3
__
3 5
. 3v2
3v __ 3t__ . 3u___:u
b. ________
4
3
= e. ___________
48 10 6 2
=
__ 3v 3t . 3tu
3 __
12
3v5 3u

___ 3
__ 6
___ 7
____ 3
__
34x . ____
3x2 . 32x3 b3d11 . ____
3____ 3d5
c. ______________
3 2
= f. ___________
3 2 7 3 8 =
327x 3b d . 3b d
___
2 x . 6 __
__ 2
21 37
3d__
_____
3 3
3
3b2

47. Marquen las opciones correctas. __ __ __ __

4 8 4 8
a. ¿Cuál es la expresión simplificada de ( 3x5 – 3x5 ) . ( 3x5 + 3x5 )?
4__ __ __ __ __ __
X x2 . 3x – x . 3 x x . 3x – x2 . 34 x x . 3x + x . 34 x
___
4x + 9y – 12 . 3xy
b. ¿Cuál es la expresión simplificada de ___________________
___ ___ ?
2
(a – b) . ( 34x – 39y )

1
_____ 1
X _____
a+b
a–b a–b

5
__________ 4
__________ 10
__________
c. ¿Cuál es la expresión simplificada de 3a2 . b10 . c12 . 3a2 . b10 . c12 . 3a2 . b10 . c12 ?

20
_________ 20
__________ 20
__________
ab10c12 . 3a2 . b5 . c6 X ab5c6 . 3a2 . b10 . c12 ab5c . 3a2 . b10 . c12
_____________ ___
d. ¿Cuál es la expresión simplificada de __21 . __32 . x2 . v . w3 . – __94 v ?
3 (3 ) 3

______ _________ ________

xw 6 __
X – ___ 2 5 3 xw 6 __
___ 2 2 3 3 xw 6 __
___ 2 2 3 3
3 . 3v w 3 3
3 . –3 x v w 3
3 . 3x v w

__ _________
__ 2
– b2 . a2
e. ¿Cuál es la expresión simplificada de a . 3a + a__________
__
1 – b2
__
3
– 3a3 ; con a > 0 y b & 1?

3a a . 3a X a

25
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Operaciones combinadas
INFOACTIVA

Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos teniendo en cuen-
ta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.

1. Se separa en términos.
2. Se escriben los radicales en su mínima expresión.
3. Se resuelven las potencias.
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Si es necesario, se obtiene el mínimo común índice
de los radicales para resolver.
5. Cuando sea posible, se reducen a su mínima expresión los radicales obtenidos en el paso anterior.
6. Se resuelven las sumas y restas entre los radicales semejantes.

ˆ Resuelvan los siguientes cálculos combinados.

__ __ ___ __ ___ __
a. 33 . 33 . 327
____ + (4 . 3___
6 – 3 . 310 ) .___32 =
3243
___ 312 – 3 . 3_____
+ 4 . _____ 20 =
3 5
___3 __ + 4 . 3___
22 . 3__ – 3 . 3___
22 . 5__ =
334 . 33__ + 4 . 322 . 3__3 – 3 . 322 . 3__5 =
32 . 3__
3 33 – 3 . 2 .__35 =
+ 4 . 2 . __ __ __
9 . 33 + 8 . 33 – 6 . 35 = 17 . 33 – 6 . 35
__ ___
__ ___ ___ ___
3 6
35 . 336 : 310 – 351 : 317 =
6 6
b.
____ 3.2 ____ ___ _______
35 . 362 . 2 : 310 – 351 : 17 =
2.3 1.3 __
1 6 6

6
____ 6
__ 6
___ 6
__
3125 . 36 : 310 – 33 =
6
___________ 6
__
3125 . 6 : ___
10 – 3__
3 =
6 6
3
______ –
75 33 __ =
6 6
3 25 . 3__ –
___ 3__
3 = ___ __
6 6 6 6 6
325 . 33 – 33 = ( 325 – 1 ) . 3 3

ˆ Hallen la mínima expresión posible.

__ 5
__ __ __ __ __ __
3______
. 35
5___
4 – 2 . 32 . 38 . 3__
3 + ( 33 – 38 )2 =
8
325
2.10
____ 5.4
____ _______ __ __ __ __
351.10____
. 351.4
_____________
4.5 2.5 – 2 . 32 . 8 . __
3 + ( 33 )2 – 2 . 33 . 38 + ( 38 )2 =
8
35
20
___ 20
___ __ ___
. 354
3510___
__________ – 2 . 36 + 3 – 2 . 324 + 8 =
20 10
35
_______ __ _____
10 4

3_______
5 .5 2 . 36 2 . 322 . 6
20
10
– + 11 – =
5
___ __ ___ __
20
354 – 2 . 36 + 11 – 2 . 322 . 36 =
5
__ __ __ 5
__ __
35 – 2 . 36 + 11 – 4 . 36 = 35 – 6 . 36 + 11

26
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es __
correcta __la resolución___
del siguiente
__
cálculo?
__ __ __
__
9 . 33 – 6 . 33 . 32 + 2 . 354 = 9 . 33 – 6 . 36 + 2 . 3 . 36 = 9 . 33 __ __ 5 __ 15 __
3 3
b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones del siguiente cálculo? 34 + 34 . 34 : 34
a. Sí, es correcto. b. Primero se debe resolver la multiplicación y la división de radicales, y luego, si se
obtienen términos semejantes, se resuelve la suma.

ACTIVIDADES
6 Operaciones combinadas
48. Resuelvan.
__ __ __ ____ __ 4
____ ______
1 + __
3405 4
d. _________
3 3
a. 32 . 36 . 33 – 3–27 . 33 = 2
. 35 . 81–1 =
32
3
__ 4
__ __
6 + 3 . 33 (35 + 3 . 35 ) : 6

__ __ __ __ ____ __
__ __
2 2
b. (36 + 35 ) + ( 36 – 35 ) = e. ( 3___814 – 32 + 5 . 30,02 ) . ( 32 + 1 )
4 2
=
22 1 __ __
– __ 2
2 . 32 – 3

____ __ ____ ____ ____ _____ _______

__ __ ___ ___
3
f. ( 0,3 . 3(–2)4 + 35 – 34
3
3 3 3 3 3
c. ( 3500 – 34 + 3108 ) . ( 3256 – 3500 ) =
4
) . ( 33 3 3
+ 324 + 381 ) =
3

__ 2 __
3 1 944
_____
–7 . ( 34 ) 5 + 648 . 33

49. Hallen la mínima expresión posible.

_____
[ ]
__ __ __ ______ ______ 1
__
27
a. 3b4 + 2b . 3b2 – __31 . 3b3 . ______
3 6 9
( 512b16
= ) 33
c. ( 39x + 9 – 34x + 4 ) : –3 . (x + 1)2 =
1
__ 1
– __
b4 3

__ __ _____________
__ ____ ____ _______
( y3
b. 3y – 3___
y5
3___
y + y2 . ( 325y – 349y ) = ) 3x + 10 3
x + 25x
d. _______________
_____
5+x
2
– 3x2 + 5x =
3
–2y 0

27
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Racionalización de denominadores
INFOACTIVA

Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto,

siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la
dada con denominador racional.

ˆ Primer caso: en el denominador hay un único radical.

___
1
__ 2
___
__
4
33 33
__ __ __ ___ ___ ___ ___
4 3 4
___
1 = ___
__ __ 3__
1 . ___ 3__3
3 = ______ =3 33
___ 2__
___ 2__ . 3
= ___ ____
3 . 333 = 2
______
___ = 2 _____ . 34___
______
4
. 327
27 = 2_______
4 4
33 33 33 ( 33 )2 33 33 33
4 3 4
33 . 33
4
334 3

Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.

_____
5
7
____ (x ≠ 0; y ≠ 0)
3x2y4 ___ ___ ___ ___
3 5 5 5 5
_____ 3x___
y . 3x3y
7______ 3x3y = 7_______
7 . ____ . 3x3y
5
7
____ = _____
7 . _____
____
5 2 4 5 3
= ________
5 2 4 3
= _______
5 5 5 xy
3x2y4 3x y 3x y 3x y x y 3x y

ˆ Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos
por su diferencia: ( a + b ) . ( a – b ) = a2 – b2

Racionalicen y hallen la mínima expresión.

a. ________
__ 15__
37 – 32
__ __ __ __ __ __ __ __
________
__ 15__ = ________
__ 15__ . ________ . ( 37 +__32 ) __
__ 15 __
2 = ___________________ 37 + 15__. 32 15 . 37 + 15 . 32 =
3__
7 + 3__ _______________
= 15 . __ = _______________
37 – 32 37 – 32 37 + 32 ( 37 – 32 ) . ( 37 + 32 ) ( 37 )2 – ( 32 )2 7–2
__ __ __ __
. 37 + 15 . 32 = 3 . 37 + 3 . 32
_______________
= 15
5
__
33 +__2
_______
b.
5 – 35
__ __ __ __ __ __ __ __ __
33 +__ 33 +__
2 = _______
_______ 2 . ______
5 + 3__ 33 + 2 ) . ( 5 + 35 )
5 = (________________ 5 . 33 + 33 . 35__+ 2 . 5 + 2 . 35 =
___________________________
__ __ =
5 – 35 5 – 35 5 + 35 ( 5 – 35 ) . ( 5 + 35 ) 52 – ( 35 )2
__ ___ __ __ ___ __ __ ___ __
5 . 33 + 315 + 10 + 2 . 35 = _______________________
= _______________________ 5 . 33 + 315 + 10 + 2 . 35 = 4+3___
3 3____
15 1 + 3___
+ __ 5
25 – 5 20 20 2 10

Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.

Racionalicen y hallen la mínima expresión. (x > 0; y > 0)

_______
__ 2 __
3x + 3y
__ __ __ __ __ __ __ __
3x – 3y 2 . ( 3x – 3y ) 2. 3x – 2 . 3y 2. 3x – 2 . 3y
_______ __ 2 __ . _______
__ 2 __ = _______ __ __ = _________________
__ __ __ __ = ____________
__ 2 __ 2 = ___________
3x + 3y 3x + 3y 3x – 3y ( 3x + 3y ) . ( 3x – 3y ) ( 3x ) – ( 3y ) x–y

28
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
3
a. ¿Cómo se racionaliza ____
__ ?
3π
2 __
b. ¿Por cuánto hay que multiplicar la siguiente expresión para racionalizarla? ______
1 + 3a
__
1 – 3__
a
a. No se puede racionalizar porque π es un número irracional; b. Por ______
1 – 3a
.

ACTIVIDADES
7 Racionalización de denominadores
50. Racionalicen los cálculos que tienen un solo radical en el denominador y hallen
__
la mínima expresión.
2 2 . __ 9z 8
a. ____
__ = __ d. ____
8 11 =
___ 9 . 3z5
_______
311 11 311 3z z

____
_____
4 __ 4 __ . 3v4 w3
–5______ 5
b. ______ = __
9 3
. 3 e. __________ = – __
8 . 32vw
2
3 . 33 332 v3 w

_____
5__ __ 5abc 4
c. ____
5 3 =
5
352 f. ________
______
4 11 2 = 5 . 3ab2 c3
_________
35 3a b c a2

51. Racionalicen los cálculos que tienen una suma o resta con radicales en el denominador y hallen
la mínima expresión. _____ _____ _______
3 __ __ 35 _____
–x
a. _______ = 37 – 2 c. __________ = 5 – x + 325 – x2
3________________
2+ 7 3 1 – 35 + x –4 – x

__ __ 9x – 4y____ __ __
__ 3x __ =
b. ________ x . 35 – x . 32 d. ___________
____ = __23 . 3x – 3y
32 + 35 336x + 316y

52. Hallen la mínima expresión de los siguientes cálculos.

______
__ __
_________
__
33______
2__ + 1 3y . 33 a ___ ___
a. ________ = 33 + 2 . 32 b. _______
__
3 2 + 33 ay = 4 . 33 ay
332 – 1 3y

29
INTEGRACIÓN
53. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). 57. Resuelvan aplicando propiedades de la
Expliquen las respuestas donde escribieron F. potenciación y de la radicación.
____
___
__ __ __ __
8
a. ( 333v ) . 3v3 . 3v4 = v2 . 3v9
4 7 28
3
a. (2 . 2 : 2 ) = 2 4 –3 2 F 210
___ ___
3__4a . _____
39a –3 –5
b. [ (4 ) ] = 4 3 –2 –3 18 V b. __________ + ( __a1 ) . a2 : ( __a1 ) = 8
__
3a . 3 100a 5
5
__ __ 3
__ _______ _______
__ __
5 5
c. 43 = 343 F 345 5
c. 3b . 3b . 3b3 . 3b – b . 3b3 =
10
0
_____ __ __
5 __ 2 5 __ 3 5 __ –4 __
d. 38 . 3 = 38 . 33 V d. [ a . ( 3a ) . ( 3a ) . ( 3a ) ]
3
: 3a =
______ __ ___ ___ ___
10 7
e. 39 + 16 = 39 + 316 F 325
2
a . 3a
4
______ 4
___ 4
__ 58. Resuelvan
__
los siguientes cálculos.
__ __
f. 325 : 8 = 325 : 38 V __
a. –5 . 32 – 12 . 32 + __32 . 32 = – ___
49
. 32
8
_____ ____ __ __ __ __3
g. 3(–2)8 = –2 F
8
3256 = 2 1
__
b. 5 . 37 – 8 . 38 + 3 . 37 – 17 . 38 =
___ ____ __ ____ __
4 6 __ __ __
h. 333 = 33
10
F
24
33 c. –0,25 . 3320 – 9 . 35 + 0,2 . 3405 = –9 . 35
__ ___ __ ___ ___
__ ____
i. 35 = 3125
6
V d. –4 . 36 . (2 . 3__
21 – 37 )__= –24.314 + 4 .342
__ __
e. (3 . 37 – 4 . 33 ) . (2 . 33 – 5 . 37 ) =
__ __ __ __
f. (2 . 311 – 11 . 32 ) . (2 . 311 + 11 . 32 ) =
54. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando __ ___ __ __
exponentes fraccionarios. g. 15 . 32 – 310 . (2 . 32 + 3 . 35 ) =
__ 5 __ 7 __ __ 149
____ __ __ __ __
4
a. 33 . 333 . 335 : 33 = a140 h. (12 . 33 + 5 . 35 ) . (12 . 33 – 5 . 35 ) =
__ __ 137
____ __ __ ___
3 5 2
8 . ____
32 . 38
b. __________ =2
45
i. ( 4 . 35 – 5 . 36 ) = 230 – 40 . 330
9 __ __ ___ ___
3256 3 3 2
j. ( –6 . 327 + 325 ) = 36 . 3214 + 3210 – 192
3 3

__ ___ __
55. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando k. ( –3 . 3__3 + 6 . 3__12 )2 – 394___= 162
16
___
b. . 7 – 25 . 38 ; e. 26 . 321 – 129; f. –198
3 3__
radicales. g. –4 . 35 ; h. 307;
__
__
a. ( x5 )2 : ( x
1
2 __
– __31 5
)
6
__
= 3x3
5 59. Resuelvan aplicando las propiedades que
__ 1
__ 1
2 __
__ __ correspondan.
b. ( 3a ) : ( a )
5 5
8 3 3 2
= 3a ___ ___ ___
____ ____ ____
1 2
__ 3
__ – __54 – __21
___ a. 324y + 324z – 36y – 354z = 36y – 36z
c. e3 . ( e ) : __e1
( ) 10
5
.e .e 5
= 3e27 __ __ __ _ _
b. 3t5 – 3t . 3t4 – __21 t . 3t2 = __21 t . 3t – 3t . 3t
4 8 8 4
1
__ 3
__
3 ___ ___ ___ ___ ___
. z3 . z5
d. z________
45 __
c. __32 . 3w3 – __21 . 3w3 + __61 . 3w9 = __5 . 3w3 – __21 . 3w
6 6
8
__ = 3z137
z9 6
__ __ __ __
d. (9a . 3x + 5x . 3a ) . (9a . 3x – 5x . 3a ) =
__ __ __ ____
56. Resuelvan. 3
e. –a . 3b2 . (b . 33 a – a . 3b ) = – 33 a4b5 + a2b
3

__ __ __ __ ____
2
. 63 __
a. 6______
–2
2 . 3 + __41 ( )
3
4 + 2–2
– 3 = 89
___ 3
+ 3 . 32 f. 3x . 3y3 . (– 3y + 3y . 3x ) = –3xy2 + 9 . 3x3y5
6 ____ 4 __ __ __ __
___ ___ __ 12 4 2
5 5 15 1
__ 3 1
__ __ g. ( 7 . 3a9 – 2 . 3a5 ) = 49 . 3___
a3 + 4 . 3a5 – 28a2
3( ____
) –4
–1 5
b. 32 : 316 . 8
3
. 34 = 15
1 – 2 . 32 __ ____ __ ___ 3 12
2 10 3 29
h. ( –8 . 3b5 + 316b3 ) = 64 .3b __+ 4 .3b –___
32.3b
3 4
1
__ ___ 1
__ – __41
c. ( 3 2
+ 327 + 3243 ) . 3 . 3 4
. __31
( ) = 117 7
__ __ 2 14
__
5 35
3c2 + 4 . 3c17
___ __ ____ ___ i. ( –2 . 3c2 – 35 c ) – 4 . 3c8 =
(
d. 372 – 3
8
__ 1
___
9 + 3200 . 25 . 372 = ) 8 d. 81a2x – 25x2a
60. Hallen el valor de a para que se cumplan
las siguientes
_______
igualdades.
__
a–1
a. 32 + 2
_______ = 33
b. 5a + __41 = –2
3
a. a = 1; b. No existe valor de a que satisfaga la
igualdad.

30
 capítulo

CONTENIDOS
4*5*6*7 1
61. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). 63. Tengan en cuenta el valor de c y calculen lo
Expliquen las respuestas donde escribieron F. pedido en cada caso.
__
__ __ ___ __ __ 1__+ 32
a. 32 . ( 38 – 318 )2 = –2 . 32 F 2 . 32 c = _______
32 – 1
___ __ __ ________
b. ( 345 + 35 ) . ( 3 . 35 – 3(–2)2 + 1 ) = 40 V a. c2 = c. c2 – ( __c1 + c ) =
____ ______

3 )[ ]
__ __ __ __
b. __c1 + c = d. c2 . ( __c1 + c ) =
3 __1
(
c. a . 33 a – __81 a4
3
3
. ( 36 a )2 + a2 . 3a = a .33 a F __ __ __
____ __ __ ___ ______
_____ a. 17 + 12 . 32 ; b. 6; c. 11 + 12 . 32 ; d. 102 + 72 . 32
–2
d. ( 3128 : 32 ) . 3–1 + ( 3m5 : 3381m5 ) = 5 V
3 3 3 4

__
64. Racionalicen las siguientes expresiones.
c. a . ( 33 a )2 y3 __
a. ___
4
__ = y2 . y3
62. Marquen las opciones correctas. 4
3y
3
¿Cuál es la expresión equivalente a la dada en ____
5 c3 d2
b. __________
5
_________
12 6
= 5 5 3 4
__
4 . 3c d
cada caso? 31 024 c d
__
__ __
a. (4 . 3w + 3w + 1)2 = 1__+ 37 =
c. _______ 1 . (1 + __
__
6 37 )2
37 – 1
__ ____ ____ ___ __
3 + 3w – 3500 + __
3125 ___
+ 345 1
___
d. ___________________ = 62 . (25 + 35 )
__ 1 – 35 – 380
_______
__
3 – 3w
3_______
2 – 3__
e. ________ 2
= __
__ 32 – 1
X Ninguna de las anteriores. 25w + 1 + 10 . 3w 32__+ 32 __
__ __
y – 3 . 32
f. – 3__________
2
_________
______
__ __ __ = (____________
3y – 3 . 32 )
3a . 3__a . 3a – ____
b. ___________ 1 3 . 32 + 3y 18 – y
6 12 __ =
3a 3a

12
___ 65. Resuelvan hasta reducir a su mínima
a3 . 3a–7 expresión.
_____
__ 11
___ 2 __ __
3 3 (32 + __1 )
a . 3a –a a. _________ – 5 . 32 + 7 = 4 – 8 . 32
12

11
___ 1 – 32
a 17
X Ninguna de las anteriores. a24 – ___
___ 12 __ __ __
a 3 .__36 + 32 __ 22 . 33 – 10
__
b. ______________ = ___________
13
1
__ 1
__
3b – ___
3
________
1__
b =
4.
32 + 3 . 36
c. __ 1
__ 2
1 –__3b
______ ( 8__2 + 1 ) __
3b
c. ________ = 11 – 6 . 32
(32 + 1)2
__
–1 + 3b 66. Marquen las opciones correctas.
__
¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes
1 – 3b
expresiones?
X Ninguna de las anteriores. _______________
__
__ 75 . (3 . 33 – 1)2
–1 – 3b a. 3_______________
6
___
__
2
1 + 327
(__
32 __
d. ________
3a + 3b ) __
–25 . 33 + 30
__

__ 2 __
. ( 3a – 3b )
2____________ X 25 . 33 – 30
( a – b )2
___
+ 2b – 4 . 3ab Ninguna de las anteriores.
X 2a
________________
2 _______
(a – b) __
1 __+ 35
b. 2 . ______
Ninguna de las anteriores.
__
3 35 – 1
______
__
36 + 32 . 35
_________
__
36 + 2 . 35
__
X Ninguna de las anteriores. 1 + 35

31
 capítulo

AUTOEVALUACIÓN 1
Marquen las opciones correctas
67. Tengan
__
en cuenta___los valores de x e y. Luego, respondan.
x = 2 . 311 + 1; y = 344 – 1
¿A qué conjunto numérico pertenece x + y?
X a. Irracional. b. Racional. c. Entero.

68. ¿Cuáles expresiones son verdaderas?

a. Si a < 0.
| a| = a X | a | = –a | a| < a

b. Si b < 0.
X | –2,3 + b | = | –2,3 | + | b | X | –2,3 + b | ) | –2,3 | + | b | | –2,3 + b | < | –2,3 | + | b |

69. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación?

| 2x + 1 | + x = 3x
X a. No tiene solución. b. S: x = – __41 . c. S: x = __41 .

70. ¿Cuál__es el conjunto solución en _______

cada
_____caso?
| |
a. 4 + 35 – (2x – 4 ) ) 2 – x + 33(5–2)–2
2 –2

97 97 33
X S: ___[
48 ;+' ) S: –';___
( ] [
___
48 F 16 ;+' ) Ninguna de las anteriores.
__ ___ ___
b. –16 . | x – 4 | – 7 . 33 > 375 + 348
__ __ __ __
X S = (4 – 33 ;4 + 33 ) S = (–4 – 33 ;–4 + 33 ) Ninguna de las anteriores.

71. ¿Cuál es la expresión equivalente a cada una de las siguientes?

________
3 4 ______
a. 33 a6 . b23 =
12
___ __ ___ ___
ab . 3b11 X b . 3a . 123b11 12
a . 3b11
__ __ __
b. 3h – __21 . 3h6 + 3 . 3h =
5 5 5

__ __ __ __ __
7 5
__ X 4 . 3h – __1 . h . 3h 4 + 3h – __21 . h . 3h
5 5 5 5
2 . 3h 2

3
___________ _____ _____
c. 3a2 + 2ax + x2 . 3a + x : 36 a + x =
3
______ 3
______
3a2 + x2 3a2 – x2 X a + x
___ ____ ___ ___
3112 – 3448 +____
375 – 312
d. _______________________
1
__ 3 ___ =
72 + 3327
___ ___
–37 + 15 . 321 ___ –37 – 15 . 321
X ____________ 15 ____________
4 –37 + ___
4 . 321 4
__ ___
( 2 – 3x )2 + 316x – 2x
e. ____________________
2 – 3x
__ =
__ __ __
X 2 + 3x 2 – 3x –2 + 3x

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