MINISTERIO DE EDUCACIÓN

CENTRO EDUCATIVO STELLA SIERRA

EL TRIANGULO

2⁰ TRIMESTRE GRADO: 10⁰ C

PROFESOR: HECTOR GUERRA

INTEGRANTES

QUIROZ, IRMA…………. …8-1076-1799

GONZALEZ, CORINA … 8-1075-578

NAVARRO, ANA ………… 8-1067-1390

BURGOS, EVELYN…… 8-1068-738

CARRAZCO, JUAN …… 4-844-2136

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 Índice

El triangulo --‐--------‐--------------------------------------------------1

Conceptos generales ---------------‐---------------------------------1

Definición de triángulo------------------------------------------------1

Elementos de los triángulos ----------------------------------------1

o Lados

o Vértices

o Ángulos -------------------------------------------------2

Clasificación de los triángulos --------------------------------------2

o Por la medida de sus lados

o Por la amplitud de sus ángulos ---------------------------2-3

Triángulos congruentes—--------------------------------------------3-4

Semejanza de triángulos --------------------------------------------5-6-7-8

Propiedades de los triángulos --------------------------------------9

Fórmulas para calcular -----------------------------------------------9

o Perímetro -------------------------------------------------------9-10

o Área ---------------------------------‐---------------------------10-11

o Volumen de los triángulo-------------------------------------11

Conclusiones

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-3-
 El triángulo

Conceptos generales

Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres
lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre
proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por
cada par de líneas en contacto en un mismo vértice.

Elementos del triángulo

Los triángulos están formados por tres lados que se unen en tres vértices.

Los triángulos se componen de varios elementos, muchos de los cuales hemos ya

mencionado:

• Lados. Se llama así a cada una de las rectas que unen los vértices de un
triángulo, delimitando la figura (el adentro del afuera).
• Vértices. Se trata de los puntos que definen un triángulo al unir dos de
ellos con una línea recta. Así, si tenemos los puntos A, B y C, uniéndolos
con las rectas AB, BC y CA nos dará como resultado un triángulo.

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 Además, los vértices se hallan del lado opuesto de los ángulos interiores
del polígono.
•

• Ángulos. Cada dos lados de un triángulo forman en su vértice común

algún tipo de ángulo, que se denomina ángulo interior, pues da hacia el
adentro del polígono. Estos ángulos son, al igual que los lados y los
vértices, siempre tres.

Clasificación de los triángulos

Existen dos clasificaciones principales de los triángulos:

Según sus lados. Dependiendo de la relación que haya entre sus tres
distintos lados, un triángulo puede ser:

➢ Equilátero. Cuando sus tres lados tienen la misma exacta longitud.

➢ Isósceles. Cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y el tercero
una distinta.
➢ Escaleno. Cuando sus tres lados poseen longitudes distintas entre sí.

• Según sus ángulos. Dependiendo en cambio de la apertura de sus ángulos,

podemos hablar de triángulos:

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 ➢ Rectángulos. Presentan un ángulo recto (de 90°) conformado por dos lados
similares (catetos) y contrapuestos al tercero (hipotenusa).
➢ Oblicuángulos. Aquellos que no presentan ningún ángulo recto, y que a su
vez pueden ser:
➢ Obtusángulos. Cuando alguno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor
de 90°) y los otros dos agudos (menores de 90°).
➢ Acutángulos. Cuando sus tres ángulos interiores son agudos (menores de
90°).

Triángulos congruentes

Los triángulos congruentes son triángulos idénticos.

Los triángulos cuyos ángulos y lados son iguales, su área y perímetro también
serán iguales.

Hay que tener en cuenta que este caso es diferente al caso en el que los triángulos
son semejantes, es decir, en el caso en el que los ángulos son iguales pero las
longitudes de los lados son diferentes en la relación correspondiente.

El signo ≅≅ representa la congruencia

Al comprobar uno de los criterios de congruencia de triángulos, se puede afirmar

que los triángulos son congruentes.

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En geometría se usan los siguientes criterios de congruencia para probar que dos
triángulos son congruentes;

1. Criterio (Lado, Lado, Lado). Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes:

2. Criterio (Lado, Ángulo, Lado). Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Criterio (Ángulo, Lado, Ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen dos
ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

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 Semejanza de los triángulos.

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o

más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o

congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y

lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los
lados:

En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:

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 • Los ángulos homólogos son iguales:

• Los lados homólogos son proporcionales:

A r se le denomina razón de semejanza.

• Se cumple que la razón de los perímetros de dos triángulos semejantes

es también la razón de semejanza y que la razón de sus áreas es el de la
razón d cuadrado e semejanza:

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer sus tres
ángulos y sus tres lados. Existen tres criterios para asegurarlo.

Criterios de semejanza de dos triángulos

1. Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen
que sumar 180°).

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 Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son
semejantes.

Criterios de igualdad de los ángulos:

• Los tres lados homólogos son paralelos

• Los tres lados de un triángulo son perpendiculares a los
homólogos del otro triángulo.

2. Que tengan dos rendido entre ellos sea igual.

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 Entonces:

Y, además, α =% α’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son

semejantes.

3. Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

Entonces:

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 Tenemos también que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a .

3 En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

4 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no

adyacentes. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también
son iguales.

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Fórmulas

Perímetro de un triángulo

perímetro de un triángulo se calcula sumando sus lados.

El perímetro de un triángulo es la suma de la longitud de sus lados, y suele

denotarse con la letra p o con 2s. La ecuación para determinar el perímetro de un
triángulo ABC determinado es:

p = AB + BC + CA.

Por ejemplo: un triángulo cuyos lados miden 5cm, 5cm y 10cm tendrá un perímetro
de 20cm.

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Área de un triángulo

Para calcular el área del triángulo es necesario conocer su altura.

El área de un triángulo (a) delimitado por sus tres lados. Puede calcularse sabiendo
su base (b) y su altura (h), de acuerdo a la fórmula:

a = (b.h)/2.

El área se mide en unidades de longitud al cuadrado (cm2, m2, km2, etc.)

La base de un triángulo es su lado sobre el que “descansa” la figura, usualmente el

inferior. En cambio, para hallar la altura de un triángulo, necesitamos trazar una
recta a partir del vértice opuesto a la base, o sea, el ángulo superior. Esa recta debe
formar un ángulo recto con la base.

Fórmula para Calcular el Volumen de un triángulo.

Para calcular el volumen de un triángulo, se puede utilizar la siguiente fórmula:

Volumen = (1/3)× Área de la base × Altura

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Pasos para Calcular el Volumen del triángulo.

1. Calcula el área de la base del triángulo. Para un triángulo, el área se puede

encontrar utilizando la fórmula del área de un triángulo: Área = (Base x
Altura) / 2.

2. Determina la altura del triángulo, que es la distancia perpendicular desde la

base hasta el vértice opuesto.

3. Sustituye los valores obtenidos en la fórmula Volumen = (1/3) × Área de la

base * Altura y realiza el cálculo.

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 Conclusiones

o Se puede concluir que el triángulo es una figura elemental en la geometría,

con propiedades y teoremas que forman la base de esta disciplina.

o Al obtener conocimientos sobre el triángulo nos servirá de base para luego

conocer sobre otras figuras geométricas.

o Conocer sobre el triángulo es crucial no solo en la teoría, sino también en

aplicaciones prácticas como la medición de terrenos y la planificación de
espacios, donde se requiere una comprensión precisa y es de gran utilidad
en la vida cotidiana.

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