TRABAJO PRÁCTICO 2

Continuidad y Funciones Partidas

2
2𝑥 −8
1) Dadas 𝑓(𝑥) = 𝑥−2
y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4, se pide:

a) Analicen si f y g tienen el mismo gráfico.

b) Calculen el siguiente límite: lim 𝑓(𝑥) .
𝑥→2
c) Grafiquen la función f(x).

3
𝑥 − 9𝑥
2) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥+3
, calcular lim 𝑓(𝑥) y luego graficar la función.
𝑥 → −3

2
2𝑥 − 20𝑥 + 18
3) Se muestra el gráfico de ℎ(𝑥) = 2 que tiene una asíntota vertical, una asíntota
𝑥 − 7𝑥 + 6
horizontal y un “agujero” en el punto B.

2
2𝑥 − 20𝑥 + 18
a) Calculen lim 2 .
𝑥→1 𝑥 − 7𝑥 + 6

b) Determinen las coordenadas del punto B y las ecuaciones de las asíntotas de la función h.

1
4) Analicen las siguientes afirmaciones y decidan si son verdaderas o falsas.
2
a) El gráfico de 𝑔(𝑥) =
𝑥 − 5𝑥 + 6
2
𝑥 + 3𝑥 − 10
tiene un “agujero” en el punto 2; − ( 1
7 ).
2
𝑥 − 5𝑥 + 6
b) El gráfico de 𝑔(𝑥) = 2 tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal.
𝑥 + 3𝑥 − 10
𝑥+4
c) Los gráficos de funciones 𝑤: (− ∞; − 2)→𝑅 / 𝑤(𝑥) = 2 y
6𝑥+𝑥 +8
2
1
ℎ: (− ∞; − 2)→𝑅 / ℎ(𝑥) = 5 𝑥+2 + 𝑥+2
comparten la asíntota vertical en x =−2.
3 2
2𝑥 − 14𝑥 + 12𝑥
d) La función dada por la fórmula 𝑓(𝑥) = 3 2 tiene dos asíntotas verticales,
𝑥 − 10𝑥 + 27𝑥 − 18
cuyas ecuaciones son x = 1 y x = 6.

3
𝑥 +8
5) Se define la función 𝑓: 𝐷→𝑅 / 𝑓(𝑥) = 2 y se pide:
2𝑥 + 𝑥

a) Hallen el conjunto D.
b) Determinen todas las asíntotas y “agujeros” del gráfico de f.

3 3 2
𝑥 + 𝑏𝑥 − 40 𝑥 − 2𝑥 + 𝑏𝑥 − 6
6) Dadas las funciones definidas por las fórmulas 𝑓(𝑥) = 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥−2
,
𝑥 − 4𝑥 + 4
se pide:
a) Hallar, si es posible, b ϵ R de manera tal que x = 2 sea asíntota vertical para las funciones
f(x) y g(x).
b) Determinar todas las ecuaciones de las asíntotas.

7) En la siguiente tabla, se presentan algunas fórmulas de funciones que analizaste en los problemas
anteriores. Indicar, para cada una de ellas, en cuál o cuáles valores de “x” es discontinua y qué tipo
de discontinuidad presenta. Luego, analizá si es posible pedir condiciones en esos valores para que
la función se vuelva continua.

Valores de x donde es
Pro-
Fórmula de la función discontinua y tipo de Condiciones para ser continua
blema
discontinuidad

2
2𝑥 −8
1 𝑓(𝑥) = 𝑥−2

1 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4

2
 3
𝑥 − 9𝑥
2 𝑓(𝑥) = 𝑥+3

2
2𝑥 − 20𝑥 + 18
3 ℎ(𝑥) = 2
𝑥 − 7𝑥 + 6

2
𝑥 − 5𝑥 + 6
4 𝑔(𝑥) = 2
𝑥 + 3𝑥 − 10

3 2
2𝑥 − 14𝑥 + 12𝑥
4 𝑓(𝑥) = 3 2
𝑥 − 10𝑥 + 27𝑥 − 18

3
𝑥 +8
5 𝑓(𝑥) = 2
2𝑥 + 𝑥

8) Dada la siguiente función partida:

a) Completá la siguiente tabla.

x -3 -1 0 1 5

f(x)

b) Construir el gráfico de la función. Indicar dominio, imagen, conjunto de ceros, ordenada al

origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3
9) Dada la siguiente función partida:

a) Completá la siguiente tabla.

x -4 .2 0 1 10

f(x)

b) Construir el gráfico de la función. Indicar dominio, imagen, conjunto de ceros, ordenada al

origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

10) Considerar la siguiente función:

Se sabe que 𝑓(− 3) = 7 y que 𝑓(− 1) = 6.

a) Determinar los valores de k y de t.
b) Decidir si la función f(x) es continua en R. Si crees que sí, explicar por qué. Si crees que
presenta alguna discontinuidad, indicar de qué tipo.
c) Realizar un gráfico de la función.

11) Determinar, en cada caso, todos los valores posibles de a para que la función sea continua en el
dominio indicado.

4
 𝑥−2
12) Si 𝑓(𝑥) = 2 . ¿Es posible redefinirla a la función para que resulta continua en 𝑥 = 2? En
𝑥 −4
caso afirmativo, escribí como queda la función f*. En caso contrario, explicá por qué.

2
𝑥 −2
13) Si 𝑓(𝑥) = 2 . ¿Es posible redefinirla a la función para que resulta continua en 𝑥 = 1? En
𝑥 −1
caso afirmativo, escribí como queda la función f*. En caso contrario, explicá por qué.

14) Redefinir, cuando sea posible, las siguientes funciones para que sean continuas en R.
2
𝑥 − 2𝑥 − 3
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥−3

2
1 𝑥 −1
b) 𝑓(𝑥) = ( )
3
+
3
𝑥
+4
3
𝑥 − 27
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥−3

2
(𝑥 + 3) . (𝑥 − 16)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥−4

2
𝑥 + 5𝑥 + 6
e) 𝑓(𝑥) = 3 2
𝑥 +2𝑥 − 3𝑥

15) Construí, en cada caso, el gráfico de una función que cumpla simultáneamente todas las
condiciones pedidas.
a) Dom(f) = R (-2;4) sea un punto del gráfico 3 es raíz
lim 𝑓(𝑥) =− ∞ lim 𝑓(𝑥) =− 1 f(0) = f(-2)
𝑥→3 𝑥 → +∞

b) Dom(f) = R (3;-2) sea un punto del gráfico -2 es raíz

lim 𝑓(𝑥) =+ ∞ lim 𝑓(𝑥) = 3 f(0) = f(3)
𝑥 → −2 𝑥 → +∞

0
c) Dom(f) = R 𝐶 (𝑓) = {− 1; 3}
lim 𝑓(𝑥) =− ∞ lim 𝑓(𝑥) = ∞ lim 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→1 𝑥 → −∞ 𝑥 → +∞

d) Dom(f) = R lim 𝑓(𝑥) = 5 lim 𝑓(𝑥) =− ∞

+ −
𝑥→2 𝑥→2
lim 𝑓(𝑥) = 3 lim 𝑓(𝑥) =− 2
+
𝑥 → −∞ 𝑥→6
5
16) Proponer, para cada ítem, la fórmula de una función que cumpla simultáneamente las siguientes
condiciones.
a) Tiene una discontinuidad en 𝑥 =− 4 lim 𝑓(𝑥) = 5 lim 𝑓(𝑥) = 5
− +
𝑥 → −4 𝑥 → −4

b) lim 𝑓(𝑥) = 2 lim 𝑓(𝑥) =− ∞

𝑥 → +∞ 𝑥 → −∞
f(0) = 3 Tiene una discontinuidad en 𝑥 = 2

Adicionales
1) Dadas las siguientes funciones, se pide:
a) Realizar un gráfico.
b) Determinar dominio, imagen, conjunto de ceros, ordenada al origen, conjuntos de
positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Analizar si son continuas en R. Si existen valores de “x” donde no lo son, clasificar si
discontinuidad y decidir si es posible redefinirla para que resulten continuas en esos valores.

2) Calcular los siguientes límites.