Actividad Grupal 1 Abadiano - Orbea - Salazar

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Dinámica de Sistemas
NRC: 14305
Actividad:
Taller Grupal 1
Estudiante:
Santiago Orbea
Chrysleer Salazar
Enrique Abadiano
Carrera de Ingeniería Mecánica
Docente:
Ing. Alejandro Gómez
Fecha: Junio, 05 del 2024.

Actividad Grupal 1
Considere el siguiente sistema, donde R1=1500 ohm, R2=1000ohm, C1=1800uF, L1=100mH.
1. Determine el modelo del circuito:

a) A Ecuaciones Diferenciales
b) A Variables de Estado
c) A Función de Transferencia para medir el Voltaje del Capacitor y la Corriente
del Inductor.
2. Implemente el circuito en simulink y verifique que los modelos obtenidos en el
numeral anterior, se comportan de manera similar al circuito, para una entrada de
10V. Comente los resultados.
3. Implemente en Matlab las funciones de transferencia y obtenga los modelos
canónicos en variables de estado para el voltaje y la corriente. Indique si las
respuestas son similares a las mediciones realizadas en el circuito.
a) A Ecuaciones Diferenciales
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 → 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖𝑎𝑛𝑜
2
𝐿 1
𝐿 = 𝑞̇ 22 − (∫ 𝑞̇ 𝑐 𝑑𝑡) (1)
2 2𝑐
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝑐
𝑑𝑞
= 𝑞̇
𝑑𝑡
𝑞 = ∫ 𝑞̇ 𝑑𝑡
1 1
𝐿 = 𝑞̇ 22 − (𝑞1 − 𝑞2 )2
2 2𝑐
1
𝐹 = (∑ 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) − ∑ 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 → F. D
2
1 1
𝐹 = (𝑅1 𝑞̇ 12 ) + (𝑅2 𝑞̇ 22 ) − 𝑉𝑞̇ 1 (2)
2 2
Malla (1) para 𝑞̇ 1 , 𝑞1
𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐹
− ( )=
𝜕𝑞1 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞̇ 1
1 𝑑 𝑅1
(2)(𝑞1 − 𝑞2 ) − (0) = (2)𝑞̇ 1 − 𝑉
2𝐶 𝑑𝑡 2
1 1
𝑞2 − 𝑞1 = 𝑅1 𝑞̇ 1 − 𝑉
𝐶 𝐶
1 1 1
𝑞̇ 1 = + 𝑞2 − 𝑞
𝑅1 𝐶𝑅1 𝐶𝑅1 1
Malla (2) para 𝑞̇ 2 , 𝑞2
𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐹
− ( )=
𝜕𝑞2 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞̇ 2
1 𝐿
(2)(𝑞1 − 𝑞2 ) − (2)𝑞̈ 2 = 𝑅2 𝑞̇ 2
2𝐶 2
1 1
𝑞1 − 𝑞2 − 𝐿𝑞̈ 2 = 𝑅2 𝑞̇ 2
𝐶 𝐶
1 1 𝑅2
𝑞̈ 2 = 𝑞1 − 𝑞2 − 𝑞̇ 2
𝐶𝐿 𝐶𝐿 𝐿
Figura 1. Simulación del circuito
Figura 2. Ecuaciones diferenciales
ANALISIS LITERAL A
Nuestro análisis parte principalmente planteado el problema y resolviendo el modelo con el

circuito asignado a ecuaciones diferenciales, teniendo todos estos parámetros presentes
podemos apreciar según la gráfica del voltaje en el capacitor, observamos que parte desde 0
[V] y al llegar a un tiempo cerca de los 6 [s] el voltaje se estabiliza, presentando así dos etapas
la primera parte desde los 0 [V] subiendo linealmente tendiendo nuestros valores hasta los 4
[V] y seguidamente en este punto nuestro voltaje del capacitor se llega a estabilizar en una
línea recta, dicho de otro modo nuestra curva comienza con un valor de pendiente de nuestra
función analizada tendiendo a reducir su pendiente donde se estabiliza o está estable el
sistema estudiado, también tenemos presente la corriente en el inductor esta permanecerá
constante en 0 [V] durante los intervalos de tiempo.
b) A Variables de Estado
Para el voltaje (Vc) y la corriente en el inductor (𝑖2 )
Variables de estado
𝑉𝑐 = 𝑋1 𝑑𝑉𝑐
𝑋̇1 =
𝑑𝑡
𝑖2 = 𝑋2
𝑑𝑖2
𝑋̇2 =
𝑑𝑡
𝑉 = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑐
𝑉 = 𝑅1 𝑖1 + 𝑋1
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝑐
𝑑𝑉𝑐
𝑖𝑐 = 𝐶
𝑑𝑡
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖𝑐
𝑑𝑉𝑐
𝑖1 = 𝑖2 + 𝐶
𝑑𝑡
𝑖1 = 𝑖2 + 𝐶𝑋̇1
𝑖1 = 𝑋2 + 𝐶𝑋̇1
𝑉 = 𝑅1 (𝑋2 + 𝐶𝑋̇1 ) + 𝑋1
𝑉 𝑋1 𝑋2
𝑋̇1 = − −
𝑅1 𝐶 𝑅1 𝐶 𝐶
1 1 1
𝑋̇1 = 𝑉− 𝑋1 − 𝑋2
𝑅1 𝐶 𝑅1 𝐶 𝐶
𝑉𝑐 = 𝑉𝑅2 + 𝑉𝐿
𝑑𝑖2
𝑋1 = 𝑖2 𝑅2 + 𝐿
𝑑𝑡
𝑋1 = 𝑋2 𝑅2 + 𝐿𝑋̇2
1 𝑅2
𝑋̇2 = 𝑋1 − 𝑋2
𝐿 𝐿
Forma canónica
1 1
− − 1
𝑋̇1 𝑅1 𝐶 𝐶 𝑋
( )=( ) ( 1 ) + (𝑅1 𝐶 ) 𝑉
𝑋̇2 1 𝑅2 𝑋2
− 0
𝐿 𝐿
𝑋
𝑌 = (𝑉𝑐 𝑖2 ) ( 1 )
𝑋2
Figura 3. Variables de estado
Figura 4. Corriente 𝑖2
ANALISIS LITERAL B
En el apartado B tenemos resultados similares al analizar el voltaje en el inductor (era de

esperarse) es así que nuestro análisis se repite principalmente planteado el problema y
resolviendo el modelo con el circuito asignado a variables de estado, teniendo todos estos
parámetros presentes podemos apreciar de igual manera que la gráfica del voltaje en el
capacitor, observamos que parte desde 0 [V] y al llegar a un tiempo cerca de los 6 [s] el voltaje
se estabiliza, presentando así las mismas dos etapas la primera se partió desde los 0 [V]
subiendo linealmente su amplitud hasta los valores cercanos a los 4 [V] y seguidamente en
este punto nuestro voltaje del capacitor se llega a estabilizar en una línea recta, nuestro valor
de la pendiente cambio en función al tiempo esto sucediendo en los dos casos analizados.
Al realizar la comparación de las dos graficas llegamos a la conclusión de que son iguales por
tal motivo el modelo queda validado.
c) A Función de Transferencia para medir el Voltaje del Capacitor y la Corriente del

Inductor.
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑐
1
ℒ [𝑉 = 𝑖1 𝑅1 + (∫ 𝑖1 𝑑𝑡 − ∫ 𝑖2 𝑑𝑡)]
𝐶
1 1 1
𝑉(𝑠) = 𝑅1 𝑖1 (𝑠) + ( 𝑖1 (𝑠) − 𝑖2 (𝑠))
𝐶 𝑠 𝑠
1 1
𝑉(𝑠) = 𝑖1 (𝑠) (𝑅1 + ) − 𝑖2 (𝑠) (1)
𝐶𝑠 𝐶𝑠
1 1
ℒ [ ∫ 𝑖1 𝑑𝑡 − ∫ 𝑖2 𝑑𝑡 = 𝑖2 𝑅2 + 𝐿𝑖2 ]
𝐶 𝐶
1 1
𝑖1 (𝑠) − 𝑖2 (𝑠) = 𝑅2 𝑖2 (𝑠) + 𝐿𝑠𝑖2 (𝑠)
𝐶𝑠 𝐶𝑠
1 1
𝑖1 (𝑠) = 𝑖2 (𝑠) (𝑅2 + 𝐿𝑠 + ) (2)
𝐶𝑠 𝐶𝑠
𝑖2 (𝑠)
𝑃(𝑠) =
𝑉(𝑠)
De (2)
𝑖1 (𝑠) = 𝑖2 (𝑠)(𝑅2 𝐶𝑠 + 𝐿𝐶𝑠 2 + 1) (3)
(3) en (1)
1 1
𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)(𝑅2 𝐶𝑠 + 𝐿𝐶𝑠2 + 1) (𝑅1 + ) − 𝑖2 (𝑠)
𝐶𝑠 𝐶𝑠
1 1
𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠) (𝑅2 𝑅1 𝐶𝑠 + 𝐿𝐶𝑅1 𝑠2 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝐿𝑠 + − )
𝐶𝑠 𝐶𝑠
𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)(𝐿𝑐𝑅1 𝑠2 + (𝐿 + 𝑅2 𝑅1 𝐶)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2 )
𝑖2 (𝑠) 1
= 2
𝑉(𝑠) 𝐿𝑐𝑅1 𝑠 + (𝐿 + 𝑅2 𝑅1 𝐶)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2
Para medir la corriente en el inductor
𝑖2 (𝑠) 1
= 2
𝑉(𝑠) 𝐿𝑐𝑅1 𝑠 + (𝐿 + 𝑅2 𝑅1 𝐶)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2
ℒ[𝑉𝑐 = 𝑖2 𝑅2 + 𝐿𝑖2 ]
𝑉𝑐(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)𝑅2 + 𝐿𝑆𝑖2 (𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)
𝑖2 (𝑠) =
𝑅2 + 𝐿𝑆
𝑉(𝑓) = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑐
𝑉 = 𝑖1 𝑅1 + 𝑉𝑐
𝑖𝑐
𝑉̇𝑐 =
𝑐
𝑞𝑐
𝑉𝑐 =
𝐶
𝑖1 − 𝑖2 = 𝑖𝑐
𝑑𝑉𝑐
𝑖1 − 𝑖2 = 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑐
𝑖2 = 𝑖1 − 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑐
𝑖1 = 𝑖2 + 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑐
ℒ [𝑉 = 𝑖2 𝑅1 + 𝐶𝑅1 + 𝑉𝑐]
𝑑𝑡
𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)𝑅1 + 𝐶𝑅1 𝑠𝑉𝑐(𝑠) + 𝑉𝑐(𝑠)
𝑅1
𝑉(𝑠) = 𝑉𝑐(𝑠) + 𝐶𝑅1 𝑠𝑉𝑐(𝑠) + 𝑉𝑐(𝑠)
𝑅2 + 𝐿𝑠
𝑅1
𝑉(𝑠) = ( + 𝐶𝑅1 𝑠 + 1) 𝑉𝑐(𝑠)
𝑅2 + 𝐿𝑠
𝑉𝑐(𝑠) 𝑅2 + 𝐿𝑠
=
𝑉(𝑠) 𝑅1 + 𝐶𝑅1 𝑠(𝑅2 + 𝐿𝑠) + 𝑅2 + 𝐿𝑠
=
𝑉(𝑠) 𝑅1 + 𝐶𝑅1 𝑅2 𝑠 + 𝐶𝑅1 𝐿𝑠2 + 𝑅2 + 𝐿𝑠
= 2
𝑉(𝑠) 𝐶𝑅1 𝐿𝑠 + (𝐶𝑅1 𝑅2 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2
Figura 5. Función de transferencia

Figura 6. Para el Voltaje en el capacitor
Figura 7. Para la corriente
ANALISIS LITERAL C
Finalmente tenemos el apartado C al analizar el voltaje en el inductor con la corriente por lo

que obtenemos resultados similares, el análisis parte principalmente planteado el problema y
resolviendo el modelo con el circuito asignado a función de transferencia, podemos apreciar
de igual manera que la gráfica del voltaje en el capacitor parte desde 0 [V] y al llegar a un
tiempo cerca de los 6 [s] el voltaje se estabiliza a los 4 [V], lo podemos apreciar tanto en las
figuras 5 y 6 en nuestro caso para el voltaje del capacitor, en la corriente podemos apreciar
que se comporta como una señal continua en el tramo. De esta manera se verifica que lo
cálculos realizados coinciden con la simulación en los tres modelos.
Al realizar la comparación de los tres modelos se llega a concluir que de cierta manera los
modelos analizados los cuales fueron: El modelo a Ecuaciones Diferenciales, modelo a
Variables de Estado y el modelo a Función de Transferencia son prácticamente iguales por tal
motivo el modelo queda validado.

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Ing. Alejandro Gómez

Fecha: Junio, 05 del 2024.

Considere el siguiente sistema, donde R1=1500 ohm, R2=1000ohm, C1=1800uF, L1=100mH.

1. Determine el modelo del circuito:

Malla (1) para 𝑞̇ 1 , 𝑞1

Malla (2) para 𝑞̇ 2 , 𝑞2

Nuestro análisis parte principalmente planteado el problema y resolviendo el modelo con el

En el apartado B tenemos resultados similares al analizar el voltaje en el inductor (era de

c) A Función de Transferencia para medir el Voltaje del Capacitor y la Corriente del

𝑖1 (𝑠) = 𝑖2 (𝑠)(𝑅2 𝐶𝑠 + 𝐿𝐶𝑠 2 + 1) (3)

𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)(𝐿𝑐𝑅1 𝑠2 + (𝐿 + 𝑅2 𝑅1 𝐶)𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2 )

Para medir la corriente en el inductor

𝑉(𝑠) = 𝑖2 (𝑠)𝑅1 + 𝐶𝑅1 𝑠𝑉𝑐(𝑠) + 𝑉𝑐(𝑠)

Figura 5. Función de transferencia

Finalmente tenemos el apartado C al analizar el voltaje en el inductor con la corriente por lo

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