PREUNIVERSITARIO

2021-2

TEMA
NUMEROS REALES
2.2
 NÚMEROS REALES
En el conjunto ℝ de los números reales se definen dos operaciones
binarias denotadas por + y ⋅ llamadas adición y multiplicación
respectivamente, estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas

Axioma de clausura
a+b ∈ℝ
∀ a, b ∈ ℝ , ቊ
a⋅b ∈ℝ

Axioma de conmutatividad
a+b=b+a
∀ a, b ∈ ℝ , ቊ
a⋅b=b⋅a
2
Axioma de
asociatividad a + b + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ ℝ , ቊ
a ⋅ b ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Axioma de existencia del elemento
neutro
∃ 0 ∈ ℝ | ∀a ∈ ℝ , a + 0 = a
∃ 1 ∈ ℝ | ∀a ∈ ℝ , a ⋅ 1 = a
Nota. Se comprueba que el elemento neutro es único

Axioma de existencia del elemento

inverso
∀ a ∈ ℝ , ∃ − a ∈ ℝ | a + −a = 0
∀ a ∈ ℝ∗ , ∃ a−1 ∈ ℝ | a ⋅ a−1 = 1
Nota. Se comprueba que el elemento inverso es único
3
Axioma de distributividad

∀ a, b, c ∈ ℝ , a⋅ b+c =a⋅b+a⋅c
Observacione
s ∗
1 ℝ = x∈ℝ x≠0}
2 Un conjunto no vacío 𝕂 donde se definen dos operaciones + y (⋅)
que cumplen estos 11 axiomas se llama CAMPO o CUERPO

3 Son ejemplos de CAMPO los conjuntos ℚ, ℝ y ℂ

4 Si a y b son números reales

a
a − b = a + (−b) = a ⋅ b−1 (b ≠ 0)
b
4
Ejemplo
Sean a, b, c y x números reales, demostrar los siguientes teoremas

1 Si x + a = x + b entoncesa = b

a =0+a

= −x + x + a

= −x + (x + a)

= −x + (x + b)

= −x + x + b

=0+b =b
5
Ejemplo
Sean a, b, c y x números reales, demostrar los siguientes teoremas

2 a⋅0=0

a⋅0 +0=a⋅0

= a ⋅ (0 + 0)
= a⋅0+ a⋅0

De (1) a⋅0=0

6
Ejemplo
Sean a, b, c y x números reales, demostrar los siguientes teoremas

3 Si c ⋅ a = c ⋅ b y c ≠ 0, entonces a = b

a =1⋅a

= c −1 ⋅ c ⋅ a

= c −1 ⋅ (c ⋅ a)

= c −1 ⋅ (c ⋅ b)

= c −1 ⋅ c ⋅ b = b
7
 ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en variable x, es una expresión algebraica de
la siguiente forma
ax = b (∗)
donde a, b ∈ ℝ.
Observacione
s b
(1) Si a ≠ 0, ∗ tiene solución única, C. S. =
a
En este caso ∗ se denomina ecuación de primer grado

(2) Si a = b = ∗ tiene infinitas soluciones, C. S. = ℝ

0,
En este caso ∗ se denomina ecuación indeterminada

(3) Si a = 0 ∧ b ≠ 0, ∗ no tiene solución, C. S. = ∅

8
Ejemplo
Si a + b + c ≠ 0, halle el valor de x que verifica la ecuación
x−a x−b x−c 1 1 1
+ + =2 + +
bc ca ab a b c
Resolución
Al multiplicar por abc en ambos lados de la igualdad

x − a a + x − b b + x − c c = 2(bc + ac + ab)

ax − a2 + bx − b2 + cx − c 2 = 2bc + 2ac + 2ab

x a + b + c = a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac

a+b+c x− a+b+c = 0, x =a+b+c

9
≠0
PRODUCTOS NOTABLES Y EQUIVALENCIAS ALGEBRAICAS
Sean a, b y c números reales, se cumple
a ± b 2 = a2 ± 2ab + b2 a − b 3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
a − b a + b = a2 − b 2 a + b 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
a + b a2 − ab + b2 = a3 + b3 a − b a2 + ab + b2 = a3 − b3
2
a+b+c = a2 + b2 + c 2 + 2(ab + bc + ac)
a+b+c 3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
a+b+c 3 = a3 + b3 + c 3 + 3 a + b + c ab + bc + ac − 3abc
a3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 − ab − bc − ac)
Si a + b + c = 0, entonces se cumple :
a2 + b2 + c 2 = −2(ab + bc + ac) a3 + b3 + c 3 = 3abc
10
Ejempl
o 2
Si a + b2 = 11 y a + b = 5 . Calcule T = a3 + b3
Resolució
n
Dado que a2 + b2 = a + b 2 − 2ab, al sustituir los datos

11 = 52 − 2ab, ab = 7
asimismo
a3 + b 3 = a + b 3
− 3ab(a + b)

al reemplazar los datos anteriores

a3 + b3 = 53 − 3(7)(5), luego a3 + b3 = 20
11
 AXIOMAS DE ORDEN
En el campo ℝ existe un subconjunto no vacío P ⊂ ℝ, tal que :

(1) Si a, b ∈ P, entonces a + b ∈ P y a ⋅ b ∈ P
(2) Si a ∈ ℝ, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
a∈P o a=0 o −a ∈ P
Sean a, b ∈ ℝ, se dice que 𝐚 es menor que 𝐛 y lo denotamos por a < b
a<b ↔ b−a∈P
x ∈P ↔ x−0∈P ↔ 0<x P = x ∈ ℝ 0 < x } = ℝ+

ℝ+
−∞ ℝ− 0 +∞
12
 AXIOMAS DE ORDEN
Sean a, b y c números reales, se define :
a>b ↔ b<a a≤b ↔ a < b ∨ (a = b)
a<b≤c ↔ a<b ∧ (b≤c)

En el campo ℝ la relación de orden " < ", satisface los siguientes axiomas

Axioma 1 ( Ley de la
tricotomía
Sean a, b ∈ )ℝ, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
a<b o a=b o a>b

Axioma 2 ( Ley transitiva Si a < b y b < c entonces ( a < c)

) 13
 AXIOMAS DE ORDEN

Axioma 3 ( Ley aditiva ) Si a < b, entonces ∀x ∈ ℝ, a + x < b + x

Axioma 4 ( Ley Si a < b, entonces ∀c > 0, ac < bc

multiplicativa )
Observación

Un cuerpo 𝕂 donde se define una relación de orden " < " y que cumple
estos 4 axiomas, se llama cuerpo ordenado.

ℝ y ℚ son cuerpos ordenados

14
Teoremas
Sean a y b números reales, se cumple

• a > 0 ↔ a−1 > 0 • a < 0 ↔ a−1 < 0

• ∀a ∈ ℝ , a2 ≥ 0 • a ≠ 0 ↔ a2 > 0
• 0 < a < b ↔ a−1 > b−1 • a < b < 0 ↔ a−1 > b−1
• 0 < a < b → a2 < b 2 • a < b < 0 → a2 > b 2
a<x<b
• 0 < a < b → a2 < x 2 < b 2 • a < b < 0 → a2 > x 2 > b 2
• a < 0 < b → 0 ≤ x 2 < máx{a2 , b2 }

15
Teorema
s
Sean a, b, c, x e y números reales, se cumple

• Si a < b y c < 0 entonces ac > bc

• Si a < b y c < d entonces a + c < b + d
a+b 2ab
• Si a, b > 0 entonces ≥ ab ≥
2 a+b
2
• ax + by ≤ (a2 + b2 )(x 2 + y 2 ) ( Desigualdad de Schwarz

• )ab > 0 si y sólo si a > 0 ∧ b > 0 ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

• ab < 0 si y sólo si a > 0 ∧ b < 0 ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

16
 Resolución
Ejemplo I. ( V )
Si a y b son números reales que
a < b < 0, a + b < 0 a+b
cumplen la condición a < b < 0. >0
a < b, a−b<0 a−b
Determine el valor de verdad e
II. ( V )
indique la secuencia correcta,
a − b < 0, 2a − b < a < 0
sobre las siguientes
proposiciones. 2a − b < 0
2a − b a > 0
a+b a<0
I. >0
a−b
III. ( V ) a < b < 0, −a > −b > 0
II. 2a − b a > 0
1−a>1−b>1
III. 1 − a > 1 − b > 1 17
 INTERVALO
Sea I ⊂ ℝ, I es un intervalo, si y sólo si ∀ a, b ∈ I, a < x < b → x ∈ I
( x es cualquier número real )
Ejemplo
El conjunto A = x ∈ ℝ 2 ≤ x ≤ 3 } Ejemplo

denotado por 2; 3 es un intervalo ¿ Cuáles de los siguientes

conjuntos son intervalos ?
A 𝐱∈ℝ
A = 2; 3 ∪ [5; 6]
−∞ 2 𝐚 𝐱 𝐛 3 +∞
B=ℤ C = {1} D=∅
∀ a, b ∈ A, a < x < b → x ∈ A F = ℚ ∩ 2; 3
18
 INTERVALO
Sean a y b números reales, son intervalos
x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b } = [a; b] x ∈ ℝ a ≤ x } = [ a; +∞〉
x ∈ ℝ a < x < b } = 〈a; b〉 x ∈ ℝ x < b } = 〈−∞; b〉
x ∈ ℝ a ≤ x < b } = [a; b〉 x ∈ ℝ x ≤ b } = 〈−∞; b]
x ∈ ℝ a < x ≤ b } = 〈a; b] −∞ ; +∞ = ℝ
x ∈ ℝ a < x } = 〈 a; +∞〉 ∅ ( Conjunto Vacío )
a ;a = a ( Conjunto unitario )

19
 CONJUNTOS ACOTADOS

Sea X un subconjunto de ℝ
X es acotado superiormente si y sólo si, ∃a ∈ ℝ | ∀ x ∈ X, x ≤ a
Cada a con esta propiedad se denomina cota superior de X.

Ejemplo
ℤ− es acotado superiormente pues ∃ − 1 ∈ ℝ | ∀ x ∈ ℤ− , x ≤ −1

Un elemento a ∈ ℝ se llama supremo de X, cuando a es la menor de las

cotas superiores de X
20
 CONJUNTOS ACOTADOS

Sea X un subconjunto de ℝ
X es acotado inferiormente si y sólo si, ∃b ∈ ℝ | ∀ x ∈ X, b ≤ x
Cada b con esta propiedad se denomina cota inferior de X.

Ejemplo
ℕ es acotado inferiormente pues ∃1 ∈ ℝ | ∀ x ∈ ℕ, 1 ≤ x

Un elemento b ∈ ℝ se llama infimo de X, cuando b es la mayor de las

cotas inferiores de X
21
 CONJUNTOS ACOTADOS

Sea X un subconjunto de ℝ
X es acotado cuando está acotado superior e inferiormente, esto es,
cuando existen a y b ∈ ℝ tales que X ⊂ [a; b]

Ejempl
o 1
¿ El conjunto A = 1 + | n ∈ ℕ es acotado ?
n
Si existen halle el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto A.

22
 DENSIDAD EN ℝ

Sea X un subconjunto de ℝ

X es denso en ℝ si y sólo si, ∀a, b ∈ ℝ, ∃x ∈ X | a < x < b

Ejemplo
s
ℚ es denso en ℝ 𝕀 es denso en ℝ

23
 ℚ ES DENSO EN ℝ
1
Sean a, b ∈ ℝ tales que a < b, dado que > 0, por el principio
b−a
1 𝟏
Arquimediano ∃n ∈ ℕ | < n, de lo cual < 𝐛 − 𝐚,
b−a 𝐧
Sea p ∈ ℤ el máximo entero na, se sigue que p ≤ na < p + 1,

𝐩+𝟏 𝐩 p+1
𝐚< ∧ ≤ 𝐚 , luego 𝐚 < <𝐛
𝐧 𝐧 n
p+1 p+1
Finalmente, ∃ x = | 𝐚< <𝐛
n n
24
 𝕀 ES DENSO EN ℝ

Sean a, b ∈ ℝ tales que a < b, se sigue que a b

< ,
2 2
a b
Por la demostración anterior, ∃ r ∈ ℚ∗ | <r<
2 2

de donde a < 2r < b, luego ∃ x = 2r ∈ 𝕀 | a < x < b

25