PEP 1 - Física (2004)

PRUEBA FÍSICA I PEP 1
Miércoles 21 de Abril 2004. Duración 1 hora 30 minutos.

La calculadora es de uso personal. Se deben entregar respuestas numéricas con sus unidades
cuando corresponda. Utilice 3 decimales en sus cálculos. El orden y claridad de sus
explicaciones son importantes para la corrección. Las figuras debe hacerlas en su desarrollo.
1. Considere dos hipotéticos planetas esféricos A y B de iguales de masa M A = M B = 1020 kg , siendo la

distancia entre sus centros 2 ×107 m , describiendo órbitas circulares en torno a su centro de masas. Los
radios de ambos planetas son 5000 Km . Determine
a. El periodo de rotación en días que tendría el sistema de ambos planetas en torno a su centro de
masa.
b. La rapidez de cada planeta en su órbita en m/s.
c. La magnitud de la fuerza gravitacional que experimenta cada uno producida por el otro en
Newtons.
d. La magnitud de la aceleración del centro de cada planeta en m/s2.
2. Los vértices de un triángulo son los puntos A = (0, 0, 0), B = (1, 0,1), C = (0,1,1) donde las coordenadas
están en metros. Determine:
a. El área del triángulo.
b. Los ángulos del triángulo.
c. Las longitudes de los lados triángulo.
d. Las longitudes de las simetrales del triángulo. (Rectas de un vértice al punto medio del lado
opuesto)
Z
3. Respecto a la figura, los puntos indicados tienen como D
coordenadas
A = (5, 0, 0), B = (5,8, 0), C = (0,8, 0), D = (0, 0,10), E = (0,8,5) y
M es el punto medio uuur de la recta BD. Determine E
a. El vector BD en componentes cartesianas. 10 m
b. La longitud de la recta ME. M 5m
c. El ángulo entre ME y MB.
O C
Y
8m
5m
5m
A B
8m
X
FORMULAS
v 2 4π 2 GM 2GM G(M1 + M 2 ) 2 r r r
G = 6.673 × 10−11 m3 kg −1s −2 , a = = 2 R, v = , ve = , R3 = T , τ O = ∑ ri × Fi
R T R R 4π 2
r r r r r r
a ⋅ b = a b cos α = ax bx + a y by + az bz a × b = (a y bz − az by )iˆ + (az bx − ax bz ) ˆj + (ax by − a y bx )kˆ
r r r r r
a × b = a b sin α a = ax2 + a y2 + az2
PAUTA PEP 1 Física I Plan anual
Hay un punto (1p), base y se le suman los indicados. Si alguien no
llega al resultado correcto en cada letra, evalúe el error cometido, y el puntaje
que le corresponde.
1.- Las masas de los planeta son M = 1020 kg siendo la distancia entre sus
centros d = 2 × 107 m. Los radios de ambos son r = 5000000 m.G =
6.673 × 10−11 m3 kg s−2
a) El período de ambos estará dado por

s r
4π 2 R3 4π 2 d3
T = = = 4. 864 77 × 106 s = 56. 305 días
G(M1 + M2 ) 2GM
(1.5 p)
b) La rapidez de cada uno puede obtenerse (usted revisa otras formas)

con T = 4. 864 77 × 106 s
2π(d/2) m
v= = 12. 915 7 (1.5 p)
T s
c) La fuerza será de magnitud
M2 15 kg m
F =G = 1. 668 × 10 = 1. 668 × 1015 N (1.5 p)
(d)2 s2
d) La magnitud de la aceleración de cada uno será
F M m
a= = G 2 = 1. 668 × 10−5 2 (1.5 p)
M (d) s
2.- Los vértices de un triángulo son los puntos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 1),
y C = (0, 1, 1). Vectores a lo largo de los lados serán
−→
AB = (1, 0, 1),
−−→
BC = (0, 1, 1) − (1, 0, 1) = (−1, 1, 0)
−→
AC = (0, 1, 1)
1
a) El área del triángulo será
√
1 1 3
A = |(1, 0, 1) × (−1, 1, 0)| = |(−1, −1, 1)| = = 0.866 m2
2 2 2
(1.5 p)
b) Los ángulos del triángulo

C
A α
β
B
estarán dados por

−→ −→
AC · AB (0, 1, 1) · (1, 0, 1) 1
cos α = ¯¯−→¯¯ ¯¯−→¯¯ = √ √ =
¯AC ¯ ¯AB ¯ 2 2 2
−→ −−→
BA · BC (−1, 0, −1) · (−1, 1, 0) 1
cos β = ¯¯−→¯¯ ¯¯−−→¯¯ = √ √ =
¯BA¯ ¯BC ¯ 2 2 2
−→ −−→
CA · CB (0, −1, −1) · (1, −1, 0) 1
cos γ = ¯¯−→¯¯ ¯¯−−→¯¯ = √ √ =
¯CA¯ ¯CB ¯ 2 2 2
α = β = γ = 60o (1.5 p)
c) Las magnitudes de los lados del triángulo están calculadas en la pre-

gunta anterior y son
√
a = b = c = 2 = 1. 414 m (1.5 p)
d) Como ya sabemos que es una triángulo equilátero, calculamos una sola

(vea figura)
µ ¶
1 −→ −→ 1 1 1
S1 = AB − AC = (1, 0, 1) − (0, 1, 1) = , −1, − ,
2 2 2 2
2
luego las longitudes de las simetrales serán
r
1 1 1√
+1+ = 6 = 1. 225 m (1.5 p)
4 4 2
3.- Con relación al enunciado y figura de la prueba con y siendo las co-
ordenadas A = (5, 0, 0), B = (5, 8, 0), C = (0, 8, 0), D = (0, 0, 10) y
E = (0, 8, 5)
a) luego
−−→ −−→ −−→
BD = OD − OB = (0, 0, 10) − (5, 8, 0) = (−5, −8, 10) (2 p)
b) Ahora
−−→ −−→ 1 −−→ 1
OM = OB + BD = (5, 8, 0) + (−5, −8, 10)
µ 2¶ 2
5
= , 4, 5
2
además
µ ¶ µ ¶
−−→ −−→ −−→ 5 5
ME = OE − OM = (0, 8, 5) − , 4, 5 = − , 4, 0
2 2
y la longitud de la recta ME será
r
25 1√
ME = + 16 = 89 = 4. 717 (2 p)
4 2
−−→ −−→ ¡ ¢
c) Considerando que MB = − 12 BD = − 12 (−5, −8, 10) = 52 , 4, −5 el
ángulo estará dado por
−−→ −−→ ¡ 5 ¢ ¡ ¢
ME · MB − 2 , 4, 0 · 52 , 4, −5
cos α = ¯¯−−→¯¯ ¯¯−−→¯¯ = ¯¯¡ 5 ¢¯ ¯¡ 5 ¢¯
¯ ¯ , 4, −5 ¯
¯ME ¯ ¯MB ¯ − 2
, 4, 0 2
39
= q q4 = 0.300 7
25
4
+ 16 254
+ 16 + 25
o
α = 72. 5 (2 p)

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Miércoles 21 de Abril 2004. Duración 1 hora 30 minutos.

1. Considere dos hipotéticos planetas esféricos A y B de iguales de masa M A = M B = 1020 kg , siendo la

a) El período de ambos estará dado por

b) La rapidez de cada uno puede obtenerse (usted revisa otras formas)

c) La fuerza será de magnitud

d) La magnitud de la aceleración de cada uno será

b) Los ángulos del triángulo

estarán dados por

c) Las magnitudes de los lados del triángulo están calculadas en la pre-

d) Como ya sabemos que es una triángulo equilátero, calculamos una sola

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