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    Unidad 2 - MATEMATICAS

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    “Sistema de ecuaciones y inecuaciones”

    ● Defina correctamente:
    A. Sistema de inecuaciones.
    Un sistema de inecuaciones de primer grado, con una variable,
    es un conjunto de dos o más inecuaciones con la misma
    variable. La solución es el conjunto de números reales que
    verifica, a la vez, a todas las inecuaciones.Son ecuaciones
    con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita,
    normalmente la x). Se dice que son de primer grado cuando
    dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a
    1). 1 - 3x = 2x - 9. x - 3 = 2 + x.

    B. Sistema de ecuaciones.
    Es un conjunto de ecuaciones que involucra las mismas
    variables. Una solución de un sistema es una asignación de
    valores para las variables que satisface cada ecuación.
    Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del
    sistema. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones
    (en nuestro caso serán dos ecuaciones) y varias incógnitas (en
    nuestro caso dos) que aparecen en una o varias de las
    ecuaciones. Una ecuación que tiene más de una incógnita nos
    informa de la relación que existe entre éstas.

    C. Sistema de ecuaciones lineales.


    Un sistema de ecuaciones simultáneas, o también llamado
    sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales, que
    varía de acuerdo al número de ecuaciones lineales que
    contenga. Se le llama así porque contiene 2 ecuaciones con 2
    variables cada una. Contiene 2 ecuaciones con 3 variables cada
    una. Un sistema lineal es aquél que cumple con los principios
    de superposición y de homogeneidad. Es claro que si el sistema
    satisface el principio de Superposición, también satisface el
    de Homogeneidad.

    D. Sistemas de ecuaciones no lineales.


    Llamamos sistema no lineal a un sistema de ecuaciones en el
    que una o ambas de las ecuaciones que forman el sistema es una
    ecuación no lineal, es decir, cuando alguna de las incógnitas
    que forman parte de la ecuación no son de primer grado. Por
    tanto en este tipo de sistemas nos podemos encontrar
    polinomios de segundo grado, raíces, logaritmos,
    exponenciales…. La mayor parte de estos sistemas se resuelven
    utilizando el método de sustitución
    ● Escribe 3 aplicaciones en el diario vivir de las
    inecuaciones y ecuaciones, formando sistemas.

    Inecuaciones:
    - Costo total (Ct).- Es el valor monetario que representa
    la producción de un bien.
    - Costo fijo (Cf).- Son todos aquellos costos de una
    empresa, pero son ajenos a los costos de la producción.
    Estos costos existen aunque no haya producción.
    - -Costo variable (Cv).- Son todos los costos de la empresa
    que varían con la cantidad producida.

    Ecuaciones:
    - Calculo de consumo de los servicios : los servicios
    básicos son cobrados por medio de aplicación de
    ecuaciones, donde X es el consumo que tiene la persona y
    es multiplicado por el precio de la tarifa y se le suma
    cierta cantidad fija.
    - Los comerciantes: todo negocio o comercio, debe utilizar
    las ecuaciones para calcular sus utilidades. Para esto,
    resta los costos a los ingresos, los cuales están
    multiplicados por la variable X
    - Para calcular la productividad: en las empresas o
    pequeñas fábricas , se requiere de las ecuaciones para
    establecer la producción que se tendrá según cierto ritmo
    en una máquina o por la cantidad de trabajadores que se
    tenga, esto permite estimar proyecciones futuras y tomar
    decisiones.

    ● Explique cómo desarrollar, los métodos de eliminación,


    por igualación, sustitución, reducción, gráfico y cramer.

    Método de eliminación:
    El método de eliminación consiste en realizar la sumatoria de
    ambas ecuación con la finalidad de que alguna de las
    incógnitas desaparezca en el resultado de dicha operación.

    Por lo general, es necesario realizar una serie de pasos


    pertinentes para que ambas ecuaciones lo permitan.

    - Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por


    los números que convenga.
    - Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones.
    - Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante.
    - Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de
    las ecuaciones iniciales y se resuelve.
    - Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
    - Finalmente reemplazamos los valores obtenidos para cada
    una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la
    finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos
    casos.

    Método por igualación:


    - El método de igualación consiste en despejar la misma
    incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los
    resultados.
    - Los pasos a seguir son los siguientes:
    - En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos
    despejar. En este caso, empezaré por la «x» y despejo la
    misma en ambas ecuaciones.
    x+y=7; x=7-y
    5x-2y=-7;
    5x=2y-7
    x=(2y-7)/5

    - Una vez hemos despejado, igualamos:


    7-y = (2y-7)/5
    5.( 7-y) = (2y -7)
    35 -5y= +2y -7
    42=7y
    y=42/7=6
    y=6

    - Por último, sustituimos el valor que hemos calculado


    despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones
    iniciales.

    x=7-y
    x=7-6=1
    x=1

    La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.

    Método por sustitución:


    El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de
    una de las ecuaciones y sustituir en la otra ecuación el valor
    hallado. De este modo se tiene una sola ecuación con una sola
    incógnita y se puede resolver despejando.

    1.Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones

    2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra


    ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita

    3. Se resuelve la ecuación

    4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que


    aparecía la incógnita despejada

    5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del


    sistema.

    Método por reducción:


    El método de reducción consiste en sumar o restar 2
    ecuaciones, para obtener una tercera. Esta otra ecuación
    tendrá una variable menos que las anteriores, de tal manera
    que se pueda
    despejar para encontrar la solución de una de las variables.

    Paso 1: Verificar si ambas ecuaciones se pueden sumar o restar


    de tal modo, que se elimine alguna de sus variables.

    De no poder eliminarse directamente, deberemos multiplicar una


    o las dos ecuaciones por algún valor, de tal modo que en
    ambas ecuaciones tengamos alguna variable con el mismo
    coeficiente.

    Paso 2: Una vez teniendo variables con el mismo coeficiente,


    estas podrán restarse y así se eliminara una de las variables.

    Paso 3: En la ecuación obtenida, debemos despejar la variable.

    Paso 4: Sustituimos la variable en una de las dos primeras


    ecuaciones para obtener el valor de la otra variable.

    Método gráfico:
    Es el método que permite la solución de problemas de
    programación lineal, el cual se encuentra limitado a problemas
    de dos variables de decisión, debido a que no es posible una
    representación gráfica de más de tres dimensiones.
    1. Trazar el gráfico de las soluciones factibles y de las
    restricciones. Por lo que, cada variable de decisión debe
    estar representada por un eje.
    2. Se debe establecer la escala de medidas adecuadas para
    cada uno de los ejes a su variable.
    3. Se deben dibujar las restricciones en el sistema de
    coordenadas, incluyendo las de no negatividad.
    4. Cuando se inserten todas las regiones, se determinará la
    región factible. Si el espacio está vacío se continúa con
    los siguientes pasos.
    5. Se determinan los puntos externos del polígono o poliedro
    que componen la región factible.
    6. Se evalúa la función objetiva en todos los vértices y
    aquellos que maximicen o minimicen el valor resultante
    son los que determinarán la solución óptima.

    Método Cramer:
    En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita
    para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con
    tantas ecuaciones como incógnitas. La regla de Cramer es
    válida siempre que el sistema tenga una solución única.

    La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de


    ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

    1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.


    2 El determinante de la matriz de los coeficientes es
    distinto de cero.
    ● Explique de forma teórica y práctica, ejemplos de
    inecuaciones y sistemas de ecuaciones, lineales y no
    lineales.

    Inecuaciones:
    Ecuaciones:
    La solución es (2, -1) por lo que el sistema es compatible
    determinado.
    Lineales:
    No lineales:
    ● ¿Cuáles son las similitudes y diferencias, entre los
    sistemas de ecuaciones lineales, y los sistemas de
    inecuaciones lineales?

    Las ecuaciones involucran la igualdad porque es una


    herramienta que sirve para comparar. Cuando se está
    resolviendo una ecuación nos estamos haciendo (sin ser
    conscientes de la situación muchas veces) la pregunta “¿Qué
    punto o puntos tienen en común la expresión que está en la
    parte izquierda de la igualdad con la expresión que está en la
    parte derecha de la igualdad?”
    Hay diversos tipos de ecuaciones: hay ecuaciones de primer
    grado, de segundo grado, de grado n, logarítmicas,
    trigonométricas, exponenciales, sistemas de ecuaciones, y
    muchas más.

    El cálculo para resolver las inecuaciones es muy similar al de


    ecuaciones. ¡Hay que observar con atención los posibles
    cambios de desigualdad!
    Las inecuaciones son menos concretas, pues, en su mayoría, las
    soluciones de una inecuación (del grado que sean) no van a ser
    ni una, ni dos, ni tres. Pueden incluso ser infinitas.
    Es fenomenal saber resolver las expresiones matemáticas de
    forma mecánica, pero está bueno saber qué es lo que estoy
    haciendo en la asignatura y conocer la terminología.
    ● Explique que significa un intervalo abierto, cerrado,
    semi-abierto y semi-cerrado.

    1. Un intervalo abierto se representa con paréntesis. Por


    ejemplo, (-3, 3) representa el conjunto de números entre
    -3 y 3, sin incluir -3 y 3. Puedes haber notado que la
    notación para un intervalo abierto se ve como la notación
    para un punto en el plano.
    2. Un intervalo cerrado incluye sus puntos finales. Al
    contrario, un intervalo abierto no incluye sus puntos
    finales. Un intervalo abierto se representa con
    paréntesis. Por ejemplo, (-3, 3) representa el conjunto
    de números entre -3 y 3, sin incluir -3 y 3.
    3. Un intervalo semi-abierto es abierto en uno de sus
    extremos y cerrado en el otro. Por ejemplo, podemos
    tener: x≤n<y, donde el intervalo es abierto en el extremo
    superior, pero cerrado en el inferior.
    4. Un intervalo semi-cerrado: son intervalos que tienen una
    parte cerrada y otra abierta

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