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ÚLTIMA VEZ ACTUALIZADO 28 ENERO, 2018 POR

ISABEL PUSTILNIK Y FEDERICO GÓMEZ 13

COMENTARIOS

Introducción a
vectores en R3

Puntos en R3

Para ubicar un punto en R3 usaremos como

sistema de referencia una terna de ejes

perpendiculares entre sí:

eje x (eje de abscisas, en rojo)

eje y (eje de ordenadas, en verde)

eje z (eje de cotas, en azul)

los cuales se cortan en el punto O (origen de

coordenadas).

En el siguiente esquema se ven los tres planos

que quedan determinados:

el plano xy (en azul)

el plano xz ( en verde)

el plano yz (en rojo)

Estos planos se conocen como planos

coordenados. El nombre del plano xy viene de

que este plano contiene al eje x y al eje y. En

forma análoga se derivan los nombres de los

otros dos planos.

Se puede demostrar que hay dos formas

diferentes de armar un sistema de referencia

con tres ejes perpendiculares. Una de esas

formas se conoce con el nombre de terna

derecha (que es la que usaremos en esta

materia y la que hemos presentado recién) y la

otra como terna izquierda:

Vectores en R3

Queda establecido un sistema de coordenadas

donde todo punto de R3 se define mediante

una terna ordenada de números reales:

P (x, y, z), y tiene asociado un vector posición

−−→
p ⃗ = OP = (x, y, z).

Para dar un ejemplo en el siguiente esquema

graficamos al punto P (2, 4, 3), y su vector

−−→
posición p ⃗ = OP :

Hemos tomado la misma escala sobre cada

uno de los ejes. Pero, como en R2 , es posible

tomar una escala diferente para cada eje.

En el siguiente GIF les mostramos cómo

podría hacerse la gráfica del punto paso a

paso:

Operaciones y nociones básicas

sobre vectores en R3

Sean v ⃗ = (vx , vy , vz ) y w ⃗ = (wx , wy , wz )

vectores de R3 .

A continuación definimos algunas operaciones

y nociones básicas:

Igualdad:

v ⃗ = w ⃗ ⇔ v x = wx , v y = wy ,
Suma:

v ⃗ + w ⃗ = (vx + wx , vy + wy , vz + w
Vector nulo: 0 ⃗ = (0, 0, 0)

Opuesto de v ⃗: – v ⃗ = (– vx , – vy , – vz )

Resta:

v ⃗– w ⃗ = v ⃗ + (– w ⃗) = (vx – wx , vy – wy , v

El producto de un escalar por un vector se

define:

v ⃗ = (vx , vy , vz ) , k ∈ R , k. v ⃗ = (k. vx , k.

k. v ⃗ es un vector tal que:

Tiene igual dirección que el vector v ⃗

Sentido: Si k > 0 entonces v ⃗ y k. v ⃗

tienen el mismo sentido, si k < 0

entonces v ⃗ y k. v ⃗ tienen sentido

opuesto. Si k = 0, entonces 0.v ⃗ = 0 ⃗.

k. v ⃗ = |k| v ⃗ . El módulo del vector k. v ⃗

es |k| veces el módulo del vector v ⃗.

¿Cómo es la longitud del vector k. v ⃗ respecto

de la de v ⃗ ?

Si |k| > 1 entonces ∥k. v ⃗∥ > ∥v ⃗∥

Si |k| < 1 entonces ∥k. v ⃗∥ < ∥v ⃗∥

Si |k| = 1 entonces ∥k. v ⃗∥ = ∥v ⃗∥

Notación

∥v ⃗∥: módulo o norma de un vector

|k| : módulo o valor absoluto de un número

real

La definición de producto de un escalar por

un vector permite enunciar una condición

para que dos vectores (no nulos) sean

paralelos:

v ⃗∥w ⃗ ⇔ v ⃗ = k. w ⃗ con k ∈ R

Ejemplo 1

Dados
→
u ⃗ = (1, – 1, 1) , v ⃗ = (2, 0, 2) y w = (– 1, 3,
, ¿Existen α, β ∈ R tales que

w ⃗ = α. u ⃗ + β. v ⃗ ?

Para responderlo escribiremos la igualdad y

trataremos de calcular α, y β:

(– 1, 3, – 1) = α. (1, – 1, 1) + β. (2, 0, 2)

(– 1, 3, – 1) = (α + 2β, – α, α + 2β)

⎧
⎪ – 1 = α + 2β
⎨ 3 =– α
⎩
⇒ α =– 3 ∧ β = 1
⎪
– 1 = α + 2β

(– 1, 3, – 1) =– 3. (1, – 1, 1) + 1. (2, 0, 2)

Como existen α, β ∈ R tales que

w ⃗ = α. u ⃗ + β. v ⃗ , diremos que w ⃗ es
combinación lineal de u ⃗ y v ⃗. Más adelante

desarrollaremos el concepto de combinación

lineal.

Podemos visualizar esto en un gráfico:

Pero esto puede llevarnos a la pregunta:

→ →
Dados tres vectores u ⃗, v , w de R3 , ¿es

siempre posible encontrar los números

reales α y β tales que w ⃗ = α. u ⃗ + β. v ⃗ ?

Veamos otro ejemplo para responderla.

Ejemplo

Si los vectores fueran:

u ⃗ = (2, – 3, 4)

v ⃗ = (– 5, 1, 0)

w ⃗ = (4, 2, 1)

Veamos si existen α, β ∈ R tal que

w ⃗ = α. u ⃗ + β. v ⃗ :

(4, 2, 1) = α (2, – 3, 4) + β. (– 5, 1, 0)

(4, 2, 1) = (2α, – 3α, 4α) + (– 5β, 1β, 0)

(4, 2, 1) = (2α– 5β, – 3α + 1β, 4α)

⎧
⎪ 2α– 5β = 4
⎨ – 3α + β = 2
⎩
⎪
4α = 1

Es un sistema con tres ecuaciones y dos

incógnitas. Podemos despejar α y β a partir de

dos de las ecuaciones (por ejemplo las dos

últimas):

1
α=
4

11
β=
4

Pero luego debemos verificar si estos valores

satisfacen primera ecuación.

Reemplazamos en: 2α– 5β = 4:

2 55
– ≠4
4 4

No se verifica la ecuación, por lo tanto no

existen los escalares α y β que satisfagan la

igualdad. En otras palabras, diremos que w ⃗ no

es una combinación lineal de u ⃗ y de v ⃗.

Como puede observarse en la imagen, los tres

vectores no están contenidos en un mismo

plano (no son coplanares), entonces ninguno

de ellos puede obtenerse como combinación

lineal de los otros dos:

Propiedades de la suma de vectores

y del producto por un escalar

Sean u ⃗, v ⃗, w ⃗ ∈ R3 y α, β ∈ R.

Vimos que: u ⃗ + v ⃗ ∈ R3 y αu ⃗ ∈ R3 . Estas

operaciones verifican las siguientes

propiedades:

1. u ⃗ + v ⃗ = v ⃗ + u ⃗

2. (u ⃗ + v ⃗) + w ⃗ = u ⃗ + (v ⃗ + w ⃗)

3. u ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + u ⃗ = u ⃗

4. u ⃗ + (– u ⃗) = (– u ⃗) + u ⃗ = 0 ⃗

5. α (u ⃗ + v ⃗) = αu ⃗ + αv ⃗

6. (α + β) u ⃗ = αu ⃗ + βu ⃗

7. α (βu ⃗) = (αβ) u ⃗

8. 1u ⃗ = u ⃗

Módulo o norma de un vector en R3

Nos interesa hallar una fórmula para calcular

el módulo o norma de un vector. En R3 el

módulo es la longitud del vector. Para

deducirla usaremos los triángulos rectángulos

que quedan determinados tal como se

muestra en la siguiente figura:

Aplicando el teorema de Pitágoras sobre el

triángulo sombreado de naranja:

d 2 = v2x + v2y (1)

Aplicando el teorema de Pitágoras sobre el

triangulo sombreado de rosa:

∥v ⃗∥2 = d 2 + v2z (2)

Sustituyendo (1) en (2):

∥v ⃗∥2 = v2x + v2y + v2z

Aplicando raíz cuadrada a ambos miembros:

∥v ⃗∥ = √v2x + v2y + v2z

Propiedades del módulo o norma

de un vector

1. ∥v ⃗∥ ≥ 0 ∧ ∥v ⃗∥ = 0 ⇔ v ⃗ = 0 ⃗
2. ∥k. v ⃗∥ = |k| ∥v ⃗∥, k ∈ R

3. Desigualdad triangular:

∥v ⃗ + w ⃗∥ ≤ ∥v ⃗∥ + ∥w ⃗∥

El nombre de desigualdad triangular se

conecta con la propiedad que dice: «La

longitud de cada lado de un triángulo es

menor que la suma de las longitudes de los

otros dos».

¿Qué condiciones tienen que cumplir los

vectores v ⃗ y w ⃗ para que se verifique la

igualdad: ∥v ⃗ + w ⃗∥ = ∥v ⃗∥ + ∥w ⃗∥ ?

Ejemplo

Sean v = (– 1, 1, 2) y w = (3, 0, – 4) calcular:

a) ∥v ⃗∥

b) ∥– 2v ⃗∥

c) ∥w ⃗∥

d) ∥v ⃗ + w ⃗∥

Resolución

∥v ⃗∥ = √(– 1)2 + 12 + 22 = √6

∥– 2v ⃗∥ = √(– 2)2 + 22 + 42 = √24 = 2√6

∥w ⃗∥ = √32 + 02 + (– 4)2 = 5

∥v ⃗ + w ⃗∥ = ∥(2, 1, – 2)∥ = √22 + 12 + (– 2)2

Observemos que ∥v ⃗ + w ⃗∥ ≠ ∥v ⃗∥ + ∥w ⃗∥

Vector determinado por dos puntos

Dados los puntos A (XA , YA , ZA ) y

−−→
B (XB , YB , ZB ), el vector AB , con origen en
A y extremo en B, puede obtenerse cómo
sigue:

−−→ −−→ −−→

OA + AB = OB

−−→ −−→ −−→

⇒ AB = OB – OA = (XB , YB , Z,B ) – (XA , YA

−−→
⇒ AB = (XB – XA , YB – YA , ZB – ZA )

Ejemplo

Sean R (1, 1, 4) y S (3, 0, 2) dos puntos de R3 ,

−
−→
hallar las componentes del vector RS .

Según hemos visto:

−
−→
RS = (3– 1, 0– 1, 2– 4) = (2, – 1, – 2)

Veamos esto en un gráfico:

Distancia entre dos puntos

Problema

¿Cómo podríamos calcular la distancia entre

R (1, 1, 4) y S (3, 0, 2)?

Para hallar esta distancia armamos el vector

−
−→ − −→
RS (o SR ) y calculamos su módulo:

−
−→
RS = (2, – 1, – 2)

−
−→
∥RS ∥ = √22 + (– 1)2 + (– 2)2 = √4 + 1 + 4

⇒ d (R, S) = 3

En general

Dados dos puntos A (xA , yA , zA ) y

B (xB , yB , zB ) la distancia entre los mismos se

calcula:

−−→
d (A, B) = ∥AB ∥ = √(xB – xA )2 + (yB – yA )2

Problema

Encontrar, si es posible, todos los puntos del

eje z cuya distancia al punto A (3, 2, 1) es 5.

Es recomendable hacer una figura de análisis

del problema:

Un punto del eje z tiene la forma P (0, 0, z).

Construyamos el vector desde un punto

genérico cualquiera del eje z hasta A.

−−→
P A = (3, 2, 1– z)

−−→
Se pide que el módulo (o norma) de P A sea 5,

entonces:

−−→
P A = √32 + 22 + (1– z)2 = √13 + 1– 2z + z

25 = 14– 2z + z 2 ⇒ z 2 – 2z– 11 = 0

√ √
 2 + √4– 4.1. (– 11) 2– √4– 4.1.
z= ∨ z=
2 2

2 + √48 2– √48
z= ∨ z=
2 2

z = 1 + √12 ≅4, 46 ∨ z = 1– √12 ≅– 2,

Hemos llegado a que z puede tomar dos

valores distintos. Entonces existen dos puntos

del eje z cuya distancia al punto A (3, 2, 1) es

5. Son:

P1 (0, 0, 1 + √12) ∧ P2 (0, 0, 1– √12)

Expresión canónica de un vector

Recordemos que todo vector de R2 puede

expresarse como combinación lineal de los

versores canónicos ǐ = (1, 0) y ǰ = (0, 1).

v ⃗ = (x, y)

v ⃗ = x (1, 0) + y (0, 1)

v ⃗ = x. ǐ + y. ǰ

En forma análoga, todo vector de R3 puede

expresarse como combinación lineal de los

versores canónicos:

ǐ = (1, 0, 0)

ǰ = (0, 1, 0)

ǩ = (0, 0, 1)

v ⃗ = (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0

v ⃗ = x. ǐ + y. ǰ + z. ǩ (expresión canónica)

Ángulos directores y cosenos

directores de un vector

Se denominan ángulos directores de un vector

a los ángulos determinados por el vector y

cada uno de los semiejes positivos, como se

muestra en la siguiente figura:

Los cosenos de dichos ángulos se llaman

cosenos directores del vector. Aplicando

relaciones trigonométricas, podemos obtener

los cosenos directores:

vx vy
cos(α) = , cos (β) = , cos(γ) =
∥v ⃗∥ ∥v ⃗∥

Por lo tanto, los ángulos directores son:

vy
α = arcos ( x ) , β = arcos ( ) ,
v
∥v ⃗∥ ∥v ⃗∥

Donde α, β, γ están comprendidos entre 0 y π.

Propiedad

cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = 1

Demostración

Sustituyamos los cosenos por los cocientes

correspondientes:

2
cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = ( ) +(
v x
∥v ⃗∥

Ejemplo

Hallar los ángulos directores de

v ⃗ = (2, 0, – 2)

Resolución

Hallemos el módulo del vector:

∥v ⃗∥ = √22 + 02 + (– 2)2 = √8 = 2√2

Ahora calculamos los ángulos con el arco

coseno de los cocientes:

) = 45∘
2
α = arccos(
2√2

) = 90∘
0
β = arccos(
2√2

) = 135∘
–2
γ = arccos(
2√2

Veamos una gráfica del vector y sus ángulos

directores:

Versor asociado a un vector

Dado un vector no nulo v ⃗, se denomina

versor asociado al vector unitario (de módulo 1)

que tiene igual dirección y sentido que v ⃗.

Dado v ⃗ distinto de 0 ⃗, su versor asociado se

obtiene así:

Tomando en cuenta los cosenos directores,

v ⃗ = (∥v ⃗∥ cos α , ∥v ⃗∥ cos β , ∥v ⃗∥ cos γ)

Entonces

v ⃗ ⌣
= v = (cos α , cos β , cos γ )
∥v ⃗∥

O sea, las componentes del versor v̌ son los

cosenos directores de v ⃗.

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ARCHIVADO EN:SIN CATEGORÍA, VECTORES, RECTA

Y PLANO.

Comentarios

Jaime Raúl Saavedra dice

13 agosto, 2017 en 4:52 pm

Sugiero que las graficas animadas (ángulos

directores, por ejemplo), por defecto sean

estáticas y con un botón para la animación o

mediante el desplazamiento del puntero.

Luego, me gusto el material.

Federico Gómez dice

23 agosto, 2017 en 3:25 pm

Jaime, muchas gracias por el comentario!

Germán dice
17 enero, 2018 en 9:42 pm

Creo que hay un error donde dice ¿Qué

condiciones tienen que cumplir los vectores v

y w para que se verifique la igualdad: v + w = v

+ w?

Creo que faltaron agregar las normas : seria

así?

∥v+w∥ = ∥v∥ + ∥w∥

Isabel Pustilnik y Federico Gómez dice

28 enero, 2018 en 5:03 pm

Germán!! Muchas gracias por el comentario.

Tenés razón. No estában los símbolos de

norma de un vector. Ahí lo corregimos.

Saludos y gracias por el aporte!!

Sergio Salanitri dice

2 marzo, 2018 en 4:45 pm

Excelente trabajo!!!, como egresado de la UTN

FRBA es un orgullo ver este tipo de apuntes.

Yo soy de la época de apuntes en papel y con

formulas manuscritas, asi que esta forma de

aprender me resulta hiper interesante, tanto

que estoy repasando AGA para recordar viejos

tiempos.

Sebastian liotta dice

26 marzo, 2018 en 9:01 am

Sería de gran ayuda una version de los temas

en PDF. Personalmente tengo la costumbre de

leer los temas n poco antes de las clases y

tener esta documentacion mientras viajo seria

invaluable. mientras tanto tratare de

arreglarmelas asi, Muchas Gracias por todo

esto, hacen que todo sea mas facil.

Isabel Pustilnik y Federico Gómez dice

16 mayo, 2018 en 7:33 pm

Están en PDF. Podés descargarlos desde los

links del footer.

Micaela dice
30 mayo, 2018 en 3:04 pm

Están buenísimos estos apuntes!!

Me ayudaron mucho en la Facultad regional de

Mendoza utn…

Son claros y con cada ejemplo y los gráficos

fue lo mas importante así uno lo puede

visualizar y poder entender con más facilidad!

Saludos!!!

Gabriel dice
12 febrero, 2020 en 1:54 pm

Buenarda la pagina, gracias a ella me saque un

9 en el primer parcial sin entender un pedo la

materia, le debo la life a quienes la escribieron.

Santiago dice
7 abril, 2020 en 12:02 pm

Muy bueno, dinámico y bastante fácil de

entender. Muchas gracias

José Luis Mincholé dice

29 abril, 2020 en 4:39 pm

Excelente web. Enhorabuena y gracias.

Fabio Miguel Lazcano dice

4 mayo, 2020 en 12:30 pm

Buen dia, una consulta. ¿Que programa usan

para el gráfico de vectores? Gracias.

FEDERICO dice
10 mayo, 2021 en 8:28 pm

Excelente informacion, muy buena

puedo resolver ejercicios de matematicas,

fisica y quimica

FEDERICO ISAZA: +573146571313

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UNIDAD 3

Espacios vectoriales
En las unidades anteriores vimos que el

álgebra de vectores y el álgebra de matrices

presentan similitudes. Pudimos observar que

las propiedades de la suma (de vectores o de

matrices) y del producto por un escalar son

idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto

de vector a partir de estas propiedades en

común que hemos señalado para vectores

geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a

focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos,

las matrices y los polinomios? ¿Qué

propiedades comunes pueden detectarse en

estos objetos de diferente naturaleza y

variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde

se desarrollan conceptos centrales del álgebra

lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y

coordenadas, entre otros.

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