AÑO DE BACHILLERATO: Segundo BGU Docente: Ing.

Yohanna Bueno Pesantes

Vector Posición Rapidez

𝑟⃗ = (𝑟𝑥 𝑖⃗ + 𝑟𝑦 𝑗⃗) 𝑑
𝑣=
∆𝑡
Coordenadas rectangulares Rapidez instantánea
𝑟⃗ = (𝑟𝑥 𝑖⃗ + 𝑟𝑦 𝑗⃗) 𝑣𝑖 = |𝑣⃗𝑖 |

Módulo del vector Movimiento rectilíneo uniformemente

2 variado
⌈𝑟⃗ ⌉ = √(𝑟𝑥 )2 + (𝑟𝑦 )
𝑎̅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Dirección del vector (constante en módulo y dirección)
𝑟𝑦 ⃗⃗𝑣
∆
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 𝑎⃗ =
𝑟𝑥 ∆𝑡
⃗⃗𝑣 = 𝑎⃗ ∙ ∆𝑡
∆
Coordenadas polares
𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗ ⌉ ∙ 𝜃)
Transformando a coordenadas rectangulares 𝑎⃗ = 𝑎⃗𝐶 + 𝑎⃗ 𝑇
𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ cos 𝜃 𝑖⃗ + ⌈𝑟⃗⌉ ∙ sen 𝜃 𝑗⃗)
𝑣⃗𝑓 = 𝑣⃗0 + 𝑎⃗ ∙ 𝑡
Coordenadas geográficas 1
⃗⃗𝑟 = 𝑣⃗0 ∙ 𝑡 + 𝑎⃗ ∙ 𝑡 2
∆
𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ 𝑁𝜃𝐸) 𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ 𝑁𝜃𝑂) 2
𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ 𝑆𝜃𝐸) 𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ 𝑆𝜃𝑂) 1
𝑟⃗𝑓 = 𝑟⃗0 + 𝑣⃗0 ∙ 𝑡 + 𝑎⃗ ∙ 𝑡 2
𝑁𝜃𝑂 ⟹ 𝜃𝑟 = 90 + 𝜃 2
2 2
𝑆𝜃𝐸 ⟹ 𝜃𝑟 = 270 + 𝜃 𝑣⃗𝑓 = 𝑣⃗0 + 2𝑎⃗ ∙ ∆ ⃗⃗𝑟
𝑆𝜃𝑂 ⟹ 𝜃𝑟 = 270 − 𝜃
Velocidad media
Vector unitario (no tiene unidades) 𝑣⃗𝑓 + 𝑣⃗0
𝑣⃗ 𝑣⃗𝑚 =
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗𝑣 = 2
⌈𝑣⃗ ⌉ En la gráfica (𝑣 × 𝑡) la aceleración:
𝑣⃗𝑓 − 𝑣⃗0 ∆ ⃗⃗𝑣
Desplazamiento: 𝑚 = tan 𝜃 = = = 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒.
⃗⃗𝑟 = ⃗⃗⃗⃗
∆ 𝑟𝑓 − 𝑟⃗⃗⃗⃗𝑜 𝑡𝑓 − 𝑡0 ∆𝑡

Distancia recorrida: En movimientos verticales:

⃗⃗𝑟|
𝑑 = |∆ 𝑎⃗ = 𝑔⃗ = (−9.8𝑗⃗)𝑚/𝑠2

Movimiento rectilíneo uniforme 𝑣⃗𝑓 = 𝑣⃗0 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡

1
𝑣⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⃗⃗𝑦 = 𝑣⃗0 ∙ 𝑡 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡 2
∆
𝑎̅ = 0 2
1
𝑟⃗𝑓 = 𝑟⃗0 + 𝑣⃗0 ∙ 𝑡 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡 2
Velocidad (constante en módulo dirección y sentido) 2
2 2
𝑣⃗𝑓 = 𝑣⃗0 + 2𝑔⃗ ∙ ∆ ⃗⃗𝑦
⃗⃗𝑟 𝑟̅𝑓 − 𝑟̅0
∆
𝑣⃗ = =
∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡0 Movimiento parabólico
⃗⃗𝑟 = 𝑣⃗ ∙ ∆𝑡
∆

𝑟̅𝑓 = 𝑟̅0 + 𝑣⃗ ∙ ∆𝑡

Velocidad media
̅̅̅ 𝑎⃗ = 𝑔⃗ = (−9.8𝑗⃗)𝑚/𝑠2
∆𝑟
𝑣⃗𝑚 = 𝑣⃗0𝑥 = 𝑣⃗0 ∙ cos 𝛼
∆𝑡 𝑣⃗0𝑦 = 𝑣⃗0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
Movimiento parabólico

En el eje x (MRU)
𝑣⃗0𝑥 = 𝑣⃗0 ∙ cos 𝛼 = 𝑣⃗𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Altura máxima
2 2
𝑎⃗𝑥 = 0 𝑣⃗0𝑦 𝑣⃗0 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼
ℎ𝑚á𝑥 = =
2𝑔 2𝑔
𝑥
𝑣⃗0𝑥 =
𝑡 Alcance máximo:
2
𝑣⃗0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝛼
𝑥 = 𝑣⃗0𝑥 ∙ 𝑡 𝐴=
𝑔
En el eje y (MRUV)
𝑎⃗ = 𝑎⃗𝑦 = 𝑔⃗ = (−9.8𝑗⃗)𝑚/𝑠2 MOVIMIENTO CIRCULAR (MC)

𝑣⃗𝑦 = 𝑣⃗0𝑦 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡
1
⃗⃗𝑦 = 𝑣⃗0𝑦 ∙ 𝑡 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡 2
∆
2
1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣⃗0𝑦 ∙ 𝑡 + 𝑔⃗ ∙ 𝑡 2
2
2 2
𝑣⃗𝑦 = 𝑣⃗0𝑦 + 2𝑔⃗ ∙ ∆ ⃗⃗𝑦

Aceleración ⌈𝑟⃗⌉ = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

𝑎⃗ = 𝑎⃗𝐶 + 𝑎⃗ 𝑇
Cuando alcanza la máxima altura 𝑎⃗ 𝑇 = 0 Punto (x, y)
• Posición angular en (𝑟𝑎𝑑)
Aceleración tangencial 𝑦
𝑎⃗ 𝑇 = (𝑎⃗𝑦 ∙ 𝑢
⃗⃗𝑣𝑦 ) ∙ 𝑢
⃗⃗𝑣 𝜽 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( )
𝑥
(𝑎⃗𝑦 ∙ 𝑢
⃗⃗𝑣𝑦 ) → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝜋
𝜽𝒓𝒂𝒅 = 𝜃 ×
180°
Velocidad inicial horizontal • Vector posición
⌈𝑟⃗⌉ = √(𝑥)2 + (𝑦)2

𝑟⃗ = (⌈𝑟⃗⌉ ∙ cos 𝜃 𝑖⃗ + ⌈𝑟⃗⌉ ∙ sen 𝜃 𝑗⃗)

Desplazamiento angular ∆𝜃 (𝑟𝑎𝑑)

En el eje x (MRU) ∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃0
𝑥 𝑟𝑎𝑑
𝑣⃗0𝑥 = Velocidad angular 𝜔 ( )
𝑡 𝑠

𝑥 = 𝑣⃗0𝑥 ∙ 𝑡 ∆𝜃 𝜃 − 𝜃0
𝜔= =
En el eje y (MRUV) ∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡0
𝑣⃗𝑦 = 𝑔⃗ ∙ 𝑡
1 2𝜋
𝑦 = 𝑔⃗ ∙ 𝑡 2 𝜔=
2 𝑇
Tiempo de vuelo Velocidad angular media 𝜔𝑚
𝑣⃗0𝑦 2𝑣⃗0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑡𝑣 = 2𝑡𝑠 = 2 = ∆𝜃 𝜃 − 𝜃0
𝑔 𝑔 𝜔𝑚 = =
∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡0
 𝜔 + 𝜔0
𝜔𝑚 = Velocidad lineal (𝑣)
2
2𝜋 ∙ 𝑅
1𝑟𝑒𝑣 = 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑣 = 𝜔∙𝑅 =
𝑇
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Aceleración (𝑎)
∆𝜃 La rapidez es constante lo que hace que no se
𝑛= genere una aceleración tangencial
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
Aceleración angular 𝛼 (𝑟𝑎𝑑/𝑠2 ) 𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐

∆𝜔 𝜔 − 𝜔0 Aceleración centrípeta (𝑎𝑐 )

𝛼= = El módulo de esta aceleración es constante
∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡0 𝑣2
𝑎𝑐 = 𝑎 = = 𝜔2 ∙ 𝑅 = 𝜔 ∙𝑣
𝑅
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
(MCU)
∆𝜃 𝜃𝑓 − 𝜃𝑜
𝜔= = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
∆𝑡 ∆𝑡
𝑣 = |𝑣⃗ | = 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑣⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖𝒗 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
⌈𝑣 ⌉
𝑎𝑐 = 𝑎𝑐 ∙ (−𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝒓

𝑟⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖𝒓 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
⌈𝑟⌉
Desplazamiento angular (∆𝜽)
Módulo de la aceleración Centrípeta
∆𝜃 = 𝜔 ∙ ∆𝑡 𝑣2
𝑎𝑐 = 𝑎 = = 𝜔2 ∙ 𝑅 = 𝜔 ∙ 𝑣
𝑅
Posición angular final (𝜃𝑓 )

𝜃𝑓 = 𝜃𝑜 + 𝜔 ∙ ∆𝑡 Módulo de la aceleración Tangencial

𝑎𝑇 = 𝛼 ∙ 𝑅
En MCU la partícula recorre arcos iguales en
tiempos iguales, lo que significa que todas las MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
vueltas serán recorridas en tiempos iguales VARIADO (MCUV)

∆𝜔
Período (T) (𝑠𝑒𝑔) 𝛼= = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∆𝑡
𝑇=
𝜔 ∆𝜔 = 𝛼 ∙ ∆𝑡
Frecuencia (f) (ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧 = 𝑠 −1 ) 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼 ∙ ∆𝑡
1 𝜔
𝑓= = 1
𝑇 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∆𝜃 = 𝜔0 ∙ 𝑡 + 𝛼 ∙ ∆𝑡 2
2
Distancia recorrida (𝑑) longitud de un arco
1
∆𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 ∙ 𝑡 + 𝛼 ∙ ∆𝑡 2
2
𝑑 = ∆𝜃 ∙ 𝑅 𝜔2 = 𝜔0 2 + 2𝛼 ∙ ∆𝜃
Si el movimiento es acelerado 𝜔 y ∝ tienen
signos iguales.
DINÁMICA
Si el movimiento es retardado 𝜔 y ∝ tienen
signos opuestos Fuerza (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 = 1𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 2 )

En MCUV el vector velocidad varía 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗

simultáneamente en módulo, dirección y
sentido Peso (𝐾𝑔𝑓)
𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑚 ∙ 𝑔⃗
Rapidez (𝑣)
Fuerza de rozamiento (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛)
2𝜋 ∙ 𝑅
𝑣 = 𝜔∙𝑅 =
𝑇 𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝑁
𝜇 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
ACELERACIÓN TANGENCIAL 𝑁 = 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝑎 𝑇 = 𝑎 𝑇 ∙ (𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝒗 Gráfico del coeficiente de rozamiento
Estático y Cinético
MÓDULO DE LA ACELERACIÓN TANGENCIAL

𝑎 𝑇 =∝∙ 𝑅

|𝑎 𝑇 | = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

ACELERACIÓN TANGENCIAL

𝑎𝑐 = 𝑎𝑐 ∙ (−𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝒓
Fuerza elástica
𝐹𝑒 = −𝑘 ∙ 𝑥
MÓDULO DE LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒
𝑥 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐿𝑓 − 𝐿0
𝑣2
𝑎𝑐 = = 𝜔2 ∙ 𝑅 = 𝜔 ∙ 𝑣
𝑅 FUERZAS QUE ACTÚAN EN UN
MOVIMIENTO CIRCULAR
DIRECCIÓN DE LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA

𝑢
⃗⃗𝑎𝑐 = −𝑢
⃗⃗𝑟

ACELERACIÓN TOTAL
varia continuamente en módulo y dirección
FUERZA TANGENCIAL
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑣
∑ 𝐹⃗𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑎⃗ 𝑇 = 𝑚 ∙
∆𝑡
Módulo de la Fuerza Tangencial
∑ 𝐹𝑇 = 𝑚 ∙ 𝛼 ∙ 𝑅

𝐹𝑇 = 0 cuando la velocidad angular es constante

(MCU)

FUERZA CENTRÍPETA
𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑇 ∑ 𝐹⃗𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑎⃗𝐶

𝑎2 = 𝑎𝑐2 + 𝑎2𝑇 Módulo de la Fuerza Centrípeta

𝑣2
∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ = 𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑅
𝑅
𝑎 = √𝑎𝑐2 + 𝑎2𝑇
𝐹𝑐 = 0 cuando el movimiento es rectilíneo