Taller 4

1 de Junio de 2023
Clase de Taller FEM
Angie Morales
Grupo 4 / 9 a 11 am

Realizado por:
Robin Santiago Salgado Umbarila
1. Cuatro cables muy largos, que transportan corriente, están en el mismo plano y se intersecan para
formar un cuadrado de 40.0 cm por lado, como se ilustra en la figura 28.42. Determine la magnitud y
dirección de la corriente I de manera que el campo magnético en el centro del cuadrado sea igual a
cero. Añadir justificación de elementos a tener en cuenta.

−5 −5
𝐵2 = 0. 80 × 10 𝑇 ;𝐵3 = 2. 00 × 10 𝑇
−5 −5 −5
𝐵12 = − 1. 00 × 10 𝑇, 𝐵22 = − 0. 80 × 10 𝑇, 𝐵32 = 2. 00 × 10 𝑇

𝐵1𝑧 + 𝐵2𝑧 + 𝐵3𝑧 + 𝐵4𝑧 = 0

−6
𝐵4𝑧 = − (𝐵1𝑧 + 𝐵2𝑧+ 𝐵3𝑧) = − 2. 0 × 10 𝑇
µ0𝐼 𝑟𝐵4 −6
(0.200 𝑚)(2.0 × 10 𝑇)
𝐵4 = 2π𝑟
, de esta manera, 𝐼4 = (µ0/2π)
= −7 = 2. 0𝐴
(2 × 10 𝑇·𝑚/𝐴)

Los campos de los alambres 2 y 3 están ubicados en direcciones opuestas y su corriente de campo
neta: 20.0A - 8.0A = 12.0 A en un alambre. El campo del alambre 3 debe estar en la misma dirección
del alambre 1, y 10.A + 12.0 A.
2. Cable coaxial. Un conductor sólido con radio a está sostenido por discos aislantes sobre el eje de
un tubo conductor con radio interior b y radio exterior c (figura 28.49). El conductor y el tubo central
conducen corrientes iguales I en sentidos opuestos. Las corrientes están distribuidas de manera
uniforme sobre las secciones transversales de cada conductor. Obtenga una expresión para la
magnitud del campo magnético a) en puntos situados fuera del conductor central sólido, pero en el
interior del tubo (a < r <b), y b) en puntos situados afuera del tubo (r > c).
Para calcular el campo magnético a una distancia r del centro del cable, se aplica la ley de Ampere a
una ruta circular de radio r. Por simetría:

∮ 𝐵 · 𝑑𝑙 = 𝐵(2π𝑅) para la ruta mencionada.

a) Para a < r < b

𝐼𝑒𝑛𝑐𝑙 = 𝐼

𝐼 = ∮ 𝐵 · 𝑑𝑙 = µ0𝐼

𝐵2π𝑟 = µ0𝐼 ⇒ 𝐵
µ0𝐼
𝐵= 2π𝑟

b) Para r > c
La corriente encerrada es cero, por lo tanto el campo magnético también toma este valor

3. Un alambre cilíndrico, largo y recto, de radio R, conduce una corriente distribuida de manera
uniforme en toda su sección transversal. ¿En qué ubicación el campo magnético producido por esta
corriente es igual a la mitad de su valor máximo? Considere puntos situados adentro y afuera del
alambre.
El valor más grande que toma el campo ocurre en la superficie del cilindro. Dentro del cilindro, el
campo incrementa linealmente desde 0 en el centro, y fuera del campo decrece inversamente desde el
eje central del cilindro.
µ0𝐼
En la superficie del cilindro, 𝐵 = 2π𝑟

µ0𝐼
𝑟
Dentro del cilindro: 𝐵 = 2π𝑟 𝑅2

µ0𝐼
Fuera del campo: 𝐵 = 2π𝑟

Para los puntos dentro del cilindro, el campo es la mitad de su valor máximo cuando:
µ0𝐼 𝑟 1 µ𝐼
0
2π𝑟 𝑅 2 = 2
( 2π𝑟 )

Lo anterior da como resultado 𝑟 = 𝑅/2

Fuera del cilindro, se tiene que:
µ0𝐼 𝑟 1 µ𝐼
0
2π𝑟 𝑅 2 = 2
( 2π𝑟 )

Lo anterior nos da como resultado 𝑟 = 2𝑅

El campo tiene la mitad de su valor máximo en todos los puntos de cilindros coaxiales con el
alambre, pero de radios R/2 y de radio 2R
4. Una bobina plana y rectangular de 50 espiras mide 25.0 cm por 30.0 cm. Está en un campo
magnético uniforme de 1.20 T, con el plano de la bobina paralelo al campo. En 0.222 s se hace girar
de manera que el plano de la bobina queda perpendicular al campo. a) ¿Cuál es el cambio en el flujo
magnético a través de la bobina debido a esta rotación? b) Determine la magnitud de la fem media
inducida en la bobina durante esta rotación.
Alterando la orientación de la bobina relativa a un campo magnético cambia el flujo magnético de la
fem inducida en la bobina.
El flujo a través de la bobina de N vueltas es Φ = 𝑁𝐵𝐴 𝑐𝑜𝑠ϕ, y por ley de Faraday, la magnitud de
la fem inducida será ε = 𝑑Φ/𝑑𝑡
a)
∆Φ = 𝑁𝐵𝐴
𝑁𝐵𝐴 = (50)(1. 20𝑇)(0. 250𝑚)(0. 300 𝑚)
∆Φ = 4. 50 𝑊𝑏
b)
ε = 𝑑Φ/𝑑𝑡
𝑑Φ/𝑑𝑡 = (4. 50 𝑊𝑏)/(0. 222 𝑠) = 20. 3 𝑉
5. La corriente en el alambre largo y recto AB que se ilustra en la figura 29.27 va hacia arriba y se
incrementa en forma estable a razón di/dt. a) En el instante en que la corriente es i, ¿cuáles son la
magnitud y la dirección del campo a una distancia r hacia la derecha del alambre? b) ¿Cuál es el flujo
a través de la banda angosta y sombreada? c) ¿Cuál es el flujo total a través de la espira? d) ¿Cuál es
la fem inducida en la espira? e) Determine el valor numérico de la fem inducida si a =12.0 cm, b =
36.0 cm, L = 24.0 cm, y di/dt = 9.60 A/s.

a) Dirección y magnitud de un campo magnético

µ0𝐼
Cuando 𝐵 = 2π𝑟

Se busca la dirección con la ley de Biot-Savart

 µ0 𝐼𝑑𝑙×𝑟
𝐵= 4π
∫ 2
𝑟

µ0𝐼
𝐵 =− 2π𝑟
𝑖

b) El flujo 𝑑Φ𝐵 a través de la banda angosta y sombreada

Aplicando la expresión que se conoce para el flujo de campo magnético

Φ𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(θ)

𝑑Φ𝐵 = 𝐵𝑑𝐴
µ0𝐼
𝑑Φ𝐵 = 2π𝑟
𝐿𝑑𝑟

c) El flujo total a través de la espira

𝑏 µ𝐼
0
Φ𝐵 = ∫ 2π𝑟
𝐿𝑑𝑟
𝑎

µ0𝐼𝐿 𝑏 1
Φ𝐵 = 2π
∫𝑟 𝑑𝑟
𝑎

µ0𝐼𝐿 𝑏
Φ𝐵 = 2π
𝑙𝑛( 𝑎 )

d) La fem inducida en la espira

Recordando la ley de Faraday
ε =− 𝑑Φ/𝑑𝑡
Del literal anterior:
µ0𝐼𝐿 𝑏
Φ𝐵 = 2π
𝑙𝑛( 𝑎 )
µ0𝐼𝐿 𝑏 𝑑𝑖
ε= 2π
𝑙𝑛( 𝑎 ) 𝑑𝑡

e) El valor numérico de la fem inducida, con las siguientes condiciones:

a = 12 cm
b = 36 cm
L = 24 cm
𝑑𝑖 𝐴
𝑑𝑡
= 9. 6 𝑠

Además, se sabe que:

−7 𝑇𝑚
µ0 = 4π · 10 𝐴
−7 𝑇𝑚
4π·10 𝐴
·0.24𝑚 0.12 𝑚 𝐴
ε= 2π
𝑙𝑛( 0.36 𝑚 )9. 6 𝑠

−7
ε = 5. 06 · 10 𝑉
6. Una espira de acero plano y circular de radio 75 cm se encuentra en reposo en un campo magnético
uniforme, cuya vista de perfil se ilustra de la figura 29.28. El campo cambia con el tiempo, de acuerdo
con la expresión:

a) Fem inducida en la espira como función del tiempo

| 𝑑Φ |
|ε𝑖𝑛𝑑| 𝑑
= | 𝑑𝑡𝐵 | = || 𝑑𝑡 (𝐵, 𝐴)||
| |

|ε𝑖𝑛𝑑| = 𝐴𝑠𝑒𝑛(60°)|| 𝑑𝐵𝑑𝑡 ||

−1

|ε𝑖𝑛𝑑| = 𝐴𝑠𝑒𝑛(60°)||| 𝑑𝑡𝑑 (1. 4𝑇)𝑒−(0.057𝑠 )𝑡|

|
|
−1
2 −1 −(0.057𝑠 )𝑡
| |
ε𝑖𝑛𝑑 = (π𝑟 )(𝑠𝑒𝑛60°)(1. 4𝑇)(0. 057 𝑠 )𝑒
−1
2 −1 −(0.057𝑠 )𝑡
| |
ε𝑖𝑛𝑑 = π(0. 75 𝑚) (𝑠𝑒𝑛60°)(1. 4𝑇)(0. 057 𝑠 )𝑒
−1
−(0.057𝑠 )𝑡
| |
ε𝑖𝑛𝑑 = (0. 12𝑉)𝑒

b) Fem inducida igual a 1/10 de su valor inicial

1
ε0 = 10
−1
1 −(0.057𝑠 )𝑡
ε0 = 10
(0. 12𝑉)𝑒
−1
𝑙𝑛(1/10) = − (0. 057𝑠 )𝑡
𝑙𝑛(1/10)
𝑡= −1
−(0.057𝑠 )

𝑡 = 40. 4𝑠
c) Sentido de la corriente inducida en la espira, viendo esta última desde arriba.

𝐵 está en la dirección de 𝐴, por lo tanto Φ𝐵 es positiva. B se hace más débil, por lo cual la
magnitud del flujo es decreciente y 𝑑Φ𝐵/𝑑𝑡 < 0. Por tanto, la ley de Faraday determina que
ε > 0. De esta manera, se puede decir que la corriente inducida en la espira fluye en sentido
antihorario, vista desde arriba.
7. Una espira circular de alambre está en una región de campo magnético espacialmente uniforme,
como se aprecia en la figura 29.31.El campo magnético está dirigido hacia el plano de la figura.
Determine el sentido (horario o antihorario) de la corriente inducida en la espira cuando a) B aumenta;
b) B disminuye; c) B tiene un valor constante B0.Explique su razonamiento.

a) Sentido de la corriente inducida en la espiral cuando aumenta

El campo se encuentra dentro del plano y aumenta, por lo que el flujo también está
aumentando. El campo de la corriente inducida está fuera de la página. Para producir un
campo fuera del plano, la corriente inducida es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
b) Sentido de la corriente inducida en la espiral cuando disminuye
El campo está dentro del plano y está disminuyendo, por lo que el flujo también disminuye.
El campo de la corriente inducida está en el plano. Para producir campo, la corriente inducida
sigue el sentido de las manecillas del reloj.
c) Sentido de la corriente inducida en la espiral cuando B tiene un valor constante 𝐵0

El campo es constante, por lo que el flujo es constante y no hay fem, ni corriente inducida.
8. Un solenoide largo y delgado tiene 900 espiras por metro y radio de 2.50 cm. La corriente en el
solenoide está aumentando a una tasa uniforme de 60.0 A/s. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico
inducido en un punto cerca del centro del solenoide y a) a 0.500 cm del eje del solenoide; b) a 1.00 cm
del eje del solenoide?
a) Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido en un punto cerca del centro del solenoide a
0.500 cm del eje del solenoide.
R se considerará como el radio del solenoide
𝑑Φ𝐵
Aplicar ∮ 𝐸 · 𝑑𝑙 = 𝑑𝑡
a un camino de integración que es el círculo de radio r, donde

r < R. Se necesita calcular sólo la magnitud de E de tal manera que se tomen los valores
absolutos.
| |
|∮ 𝐸 · 𝑑𝑙| = 𝐸(2π𝑟)
| |
| |
2
Φ𝐵 = 𝐵π𝑟

| 𝑑Φ𝐵 | 2 𝑑𝐵
|− | = π𝑟 || 𝑑𝑡 ||
| 𝑑𝑡 |
| | 𝑑Φ𝐵
|∮ 𝐸 · 𝑑𝑙| = ||− |
|
| | | 𝑑𝑡 |
| |
Lo anterior implica que:
 2 𝑑𝐵
𝐸(2π𝑟) = π𝑟 || 𝑑𝑡 ||
1 𝑑𝐵
𝐸= 2
𝑟|| 𝑑𝑡 ||

𝐵 = µ0𝑛𝑙, así:
𝑑𝐵 𝑑𝑙
𝑑𝑡
= µ0𝑛 𝑑𝑡

1 𝑑𝑙
Por tanto, 𝐸 = 2
𝑟 µ0𝑛 𝑑𝑡

1 −7 𝑇𝑚 −1
𝐸= 2
(0. 00500 𝑚)( 4π · 10 𝐴
)(900 𝑚 )(60. 0 𝐴/𝑠)
−4 𝑉
𝐸 = 1. 70 · 10 𝑚

b) Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido en un punto cerca del centro del solenoide a
1.00 cm del eje del solenoide.
Con r = 0.0100 m, está aún dentro del solenoide, por lo tanto la expresión utilizada en el
literal a puede ser aplicada para este caso, así:
1 𝑑𝑙
𝐸= 2
𝑟 µ0𝑛 𝑑𝑡

1 −7 𝑇𝑚 −1
𝐸= 2
(0. 0100 𝑚)( 4π · 10 𝐴
)(900 𝑚 )(60. 0 𝐴/𝑠)
−4 𝑉
𝐸 = 3. 39 · 10 𝑚

9. Un solenoide toroidal tiene 500 espiras, área de sección transversal de 6.25 cm2, y radio medio de
4.00 cm. a) Calcule la autoinductancia de la bobina. b) Si la corriente disminuye de manera uniforme
de 5.00 A a 2.00 A en 3.00 ms, calcule la fem autoinducida en la bobina. c) La corriente se dirige de
la terminal a de la bobina a la b. El sentido de la fem inducida, ¿es de a a b, o de b a a?
a) Autoinductancia de la bobina.
2
µ0𝑁 𝐴
La autoinductacia de un solenoide toroidal es 𝐿 = 2π𝑟
−7 𝑇𝑚 2 −4 2
(4π·10 𝐴
)(500) (6.25·10 𝑚)
𝐿 = 2π(0.0400 𝑚)

−4
𝐿 = 7. 81 · 10 𝐻
b) Fem autoinducida en la bobina cuando la corriente disminuye de manera uniforme de 5.00A a
2.00A en 3.00 ms.
La magnitud de la fem inducida esta dada por:
𝑑𝑖
ε=𝐿 𝑑𝑡

−4 5.00 𝐴 − 2.00 𝐴
ε = (7. 81 · 10 𝐻)( −3 )
3.00 · 10 𝑠

ε = 0. 781 𝑉
c) Sentido de la fem inducida
La corriente es decreciente, por tanto la fem inducida tendrá en la misma dirección que la
corriente, la cual es desde a hacia b, haciendo que b tenga un potencial mas alto que a.
10. Un inductor con inductancia de 2.50 H y resistencia de 8.00 ohm está conectado a las terminales
de una batería con una fem de 6.00 V y resistencia interna despreciable. Determine a) la tasa inicial
de incremento de la corriente en el circuito; b) la tasa de aumento de la corriente en el instante en que
esta última es de 0.500 A; c) la corriente 0.250 s después de haber cerrado el circuito; d) la corriente
en el estado estable final.
ε − 𝑣𝑅 − 𝑣𝐿 = 0
𝑑𝑖
ε − 𝑖𝑅 − 𝐿 𝑑𝑡
=0

ε −(𝑅/𝐿)𝑡
𝑖= 𝑅
(1 − 𝑒 )

a) Tasa inicial de incremento de la corriente en el circuito

𝑑𝑖 ε
𝑑𝑡
= 𝐿

ε 6.00 𝑉
𝐿
= 2.50 𝐻
= 2. 40 𝐴/𝑠
ε
𝐿
= 2. 40 𝐴/𝑠

b) Tasa de aumento de la corriente en el instante en que esta última es de 0.500 A

𝑑𝑖 ε − 𝑖𝑅 6.00 𝑉 − (0.500 𝐴)(8.00 Ω)
𝑑𝑡
= 𝐿
= 2.50 𝐻
= 0. 800 𝐴/𝑠

c) Tasa de aumento de la corriente en el instante en que esta última es de 0.250 s

ε −(𝑅/𝐿)𝑡 6.00 𝑉 −(8.00 Ω/2.50 𝐻)(0.250 𝑠)
𝑖= 𝑅
(1 − 𝑒 ) = 8.00 Ω
(1 − 𝑒 )
−0.800
𝑖 = 0. 750 𝐴(1 − 𝑒 ) = 0. 413 𝐴
d) Corriente en el estado estable final
𝑑𝑖
Un estado final implica 𝑡 −> 𝑖𝑛𝑓 y 𝑑𝑡
−> 0, por tanto, ε − 𝑖𝑅 = 0
ε 6.00 𝑉
𝑖= 𝑅
= 8.00 Ω
= 0. 750 𝐴