CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR

1. OBJETIVO:
- Verificación experimental de los modelos matemáticos que expresan la carga y la descarga de
un capacitor a través de un resistor formando un circuito serie.
- Análisis de los procesos de carga y descarga del capacitor.
2. FUNDAMENTO TEORICO:
¿Qué es un capacitor?
Antes de hablar de cómo es la carga y descarga de un capacitor refrescamos tu memoria hablando de que
es el capacitor de por sí de manera sencilla, un capacitor es un dispositivo eléctrico pasivo el cual
almacena energía en su campo eléctrico.
En su forma básica, un capacitor consiste en dos o más placas conductoras paralelas (metálicas) que no
están conectadas ni se tocan entre sí, sino que están separadas eléctricamente ya sea por aire o por alguna
forma de un buen material aislante como papel encerado, mica, cerámica, plástico o alguna forma de gel
líquido como el utilizado en los condensadores electrolíticos. La capa aislante entre las placas de un
condensador se llama comúnmente el Dieléctrico.
Debido a esta capa aislante, la corriente continua no puede fluir a través del condensador ya que lo
bloquea permitiendo en su lugar que un voltaje esté presente a través de las placas en forma de una carga
eléctrica.
Las placas metálicas conductoras de un condensador pueden ser cuadradas, circulares o rectangulares, o
pueden tener una forma cilíndrica o esférica con la forma general, el tamaño y la construcción de un
condensador de placa paralela, dependiendo de su aplicación y su voltaje nominal.
Cuando se utiliza en un circuito de corriente continua o de CC, un condensador se carga hasta su tensión
de alimentación pero bloquea el flujo de corriente a través de él porque el dieléctrico de un condensador
no es conductor y es básicamente un aislante. Sin embargo, cuando un condensador se conecta a un
circuito de corriente alterna o de CA, el flujo de la corriente parece pasar directamente a través del
condensador con poca o ninguna resistencia.
El modelaje de un circuito de carga y descarga de un capacitor está conformado por dos elementos, un
capacitor obviamente y una resistencia.
Carga de un capacitor
En la figura de abajo podemos observar un circuito RC, el cual está en serie y es el modelo más simple
que podemos encontrar y en el que podemos decir el más básico. En un principio podemos asumir que el
capacitor está des energizado.
 Cuando pongamos el interruptor en la posición a , en el momento de estadio estacionario t=0 el capacitor
y la resistencia se conectarán con la fuente fluyendo una corriente por la carga que alimentara el
capacitor. Durante el periodo de carga, las cargas eléctricas no realizan un salto de una placa del capacitor
a otra debido a que el espacio que hay entre ellas es representado por un circuito abierto.
En vez de suceder eso, se transfiere la carga de una placa a otra placa y a los alambres de conexión debido
al campo eléctrico establecido en los alambres por la batería, hasta el momento en donde queda cargado
completamente el capacitor.
A medida que las placas se cargan, la diferencia de potencial que se aplica al capacitor también
incrementa. El valor que se encuentra en las placas de carga máxima depende de la magnitud del voltaje
de la fuente. Cuando es alcanzada la carga máxima, la corriente que circula a través del circuito es igual a
0 (I=0), debido a que el voltaje aplicado al capacitor es igual al que suministra la fuente.

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff al circuito cuando el interruptor está en la posición a se obtiene
la siguiente ecuación usando la dirección en el sentido del reloj.

Donde q/C es el voltaje aplicado al capacitor e IR es el voltaje aplicado al resistor ( Vr=I.R). Los valores
de q e I son valores instantáneos que dependen del tiempo en función de la carga del capacitor. Con esta
ecuación se puede determinar la corriente inicial en el circuito y la carga máxima del capacitor. En t=0
(el instante en donde el interruptor es cerrado), Qc=0 y aparece la corriente inicial I en el circuito en su
valor máximo y es conocida por:

En ese instante, el voltaje de los terminales de la fuente es aplicada completamente en el resistor. Cuando
el capacitor es cargado a su valor máximo de Q, dejan de fluir las cargas, y la corriente aplicada en el
circuito pasa a ser 0, y el voltaje aplicado en el capacitor por la fuente aparece. Sustituyendo I=0 en la
ecuación se obtiene la carga máxima del capacitor.
La manera de determinar expresiones analíticas que muestra cómo la corriente y la carga es en función
del tiempo, trabajamos la ecuación de arriba como una ecuación diferencial en función de una variable
Q. Por lo que la corriente que atraviesa todos los elementos del circuito debe ser el mismo. Para que eso
suceda debemos hacer la siguiente sustitución de I=dq/dt y simplifica la ecuación:

Resolviendo la siguiente ecuación diferencial, obtendremos la ecuación que buscamos. Primero

combinamos los términos del lado derecho.

Multiplicamos por la diferencial de tiempo dt y la dividimos por q-Cε

Integramos la expresión, donde q=0 en t=0

A partir de la ecuación de la definición de los logaritmos naturales, escriba esta expresión como sigue:

Utilizando la ecuación de I=dq/dt, derivamos la ecuación de arriba y obtenemos la función de corriente.

Podemos observar cómo es la gráfica de la carga en función del tiempo. Después que pasa un intervalo de
tiempo, en una constante de tiempo la carga tiene un valor de 63.2% del valor máximo de C. Podemos
observar que en la gráfica de abajo la carga es igual a cero en t=0 y a medida que te tiende a infinito se
acerca al valor máximo Cε
En la gráfica de la corriente en función del tiempo que podemos observar abajo. La corriente tiene su
valor máximo Ii= /R en t=0 y decae a 0 exponencialmente conforme t tiende al infinito. En una constante
de tiempo la corriente tiene un valor de 36.8% de valor inicial.

La constante de tiempo se calcula de la siguiente manera.

Cada constante de tiempo muestra el periodo de tiempo mediante el cual la corriente decrece hasta 1/e de
su valor inicial, en otras palabras, un intervalo de tiempo ,la corriente disminuye a I=e-1Ii=0.368Ii. En 2,
la corriente disminuye a I=e-2Ii=0.135Ii y así de manera sucesiva. Igualmente, en un periodo de tiempo la
carga aumenta

Podemos observar en el siguiente análisis dimensional que la constante de tiempo posee unidades de
tiempo.

Debido a que =RC posee unidades de tiempo, cuando dividimos la constante de tiempo con RC como
puede ser en los exponentes de las ecuaciones de arriba. La energía de salida de la fuente en el momento
que el capacitor se encuentra completamente cargado es:
Una vez que se cargue el capacitor, la energía que se almacena en el es:

Si observas bien, es la mitad de energía de la fuente, la otra mitad la consume el resistor.

Descarga de un capacitor
Supongamos que el capacitor se encuentra totalmente cargado, en ese momento en el capacitor hay un
voltaje Q/C y en la resistencia es cero debido a que la corriente es igual a cero. Entonces queremos
descargar el capacitor y pasamos el interruptor a la posición b en t=0.

En algún intervalo de tiempo en la descarga, la corriente que circula por el circuito es I y la carga del
capacitor es q. Si observar el circuito de arriba es el mismo del de carga solo que no tiene una fuente de
alimentación, por lo que eliminaremos la fem ε para obtener la ecuación de voltajes de kirchoff que se
adecue a el circuito de arriba.

Sustituyendo I=dq/dt en la expresión anterior, se obtiene que:

Integrando la expresión con q=Q en t=0, obtenemos:

Si derivamos la ecuación de arriba, sabes que la corriente es igual a la derivada de la carga I=dq/dt, por lo
que obtendremos la ecuación de la corriente instantánea como función del tiempo:

En la cual Q/RC=II es la corriente inicial. El signo negativo es indicativo que mediante el capacitor se
descarga, la dirección de la corriente es contraria a la dirección cuando el condensador se estaba
cargando. Tanto como la carga en el condensador como su corriente decaen de manera exponencial a un
intervalo de tiempo caracterizado por la constante de tiempo τ, la cual para la carga y descarga de un
condensador en el intervalo de tiempo de 4 τ llegan a su cometido.
3. REGISTRO DE DATOS:
TABLA 1
Instrumentos Clase Escala Maxima Err abs
Microamperimetro 1.5 100 V 1.5 V

TABLA 2
Escala Maxima
Resistor 1000000 Ω
capacitor 40 Μf

VOLTAJE = 100 V
TABLA 3

N T(Seg) I(μA) Vr(V) Vc(V)

1 3,9 99 89 10
2 8,01 89 78 20
3 13,15 78 69 30
4 19,02 67 58 40
5 25,53 57 50 50
6 34,45 46 40 60
7 46,86 34 30 70
8 67,66 23 19 80
9 136,17 11 10 90
10 317,01 10 8 91
TABLA 4
 N T(Seg) I(μA) Vr(V) Vc(V)
1 3,14 0 -88 90
2 7,92 -85 -80 80
3 12,4 -77 -78 70
4 17,33 -66 -59 60
5 23,08 -57 -49 50
6 30,02 -46 -40 40
7 39,94 -33 -30 30
8 53,06 -23 -20 20
9 77,2 -11 -10 10
10 132,72 -2 -2 3

4. GRAFICAS:
POSICION A
TABLA 5

N T(Seg) I(A) Vr(V) Vc(V)

1 3,9 0,000099 89 10
2 8,01 0,000089 78 20
3 13,15 0,000078 69 30
4 19,02 0,000067 58 40
5 25,53 0,000057 50 50
6 34,45 0,000046 40 60
7 46,86 0,000034 30 70
8 67,66 0,000023 19 80
9 136,17 0,000011 10 90
10 317,01 0,00001 8 91

a) Carga de Capacitor
−t
RC
v c(t) =V O [1−e ]

b) Descarga del Resistor

 −t
RC
v R (t )=V c e

c) Grafico Combinado

POSICION B
TABLA 6
 N T(Seg) I(A) Vr(V) Vc(V)
1 3,14 0 -88 90
2 7,92 -0,000085 -80 80
3 12,4 -0,000077 -78 70
4 17,33 -0,000066 -59 60
5 23,08 -0,000057 -49 50
6 30,02 -0,000046 -40 40
7 39,94 -0,000033 -30 30
8 53,06 -0,000023 -20 20
9 77,2 -0,000011 -10 10
10 132,72 -0,000002 -2 3

a) Descarga Capacitor
−t
RC
v c(t) =V O e

b) Descarga Resistor
−t
v R (t )=V o e RC

c) Gráfico combinado
v=V R (t )+ V c (t )=0