INTERVALO DE CONFIANZA

Cálculo de un PARÁMETRO
 CONCEPTO
• El parámetro poblacional es
frecuentemente un valor desconocido que
puede ser estimado a partir de los datos de
una muestra.

• Es necesario determinar el grado de certeza para

el parámetro calculado.
 CONCEPTO
• El valor de la media muestral depende de la muestra
seleccionada. Como la toma de la muestra es aleatoria, la media muestral
es una variable aleatoria.
• Valores de la media de las X
combinaciones posibles de muestras en
una población (nCr).

• Las medias de las muestras se

distribuyen normalmente en
torno a la media de la población.

• La desviación estándar disminuye

cuando aumenta el tamaño de la
muestra.
 CONCEPTO
• La media muestral es centrada y consistente para
estimar la media de la población, es decir es un buen
estimador puntual para conocer la media de una
población, en el caso de que ésta se desconozca.

La media muestral nos da una aproximación de la media

poblacional, cuando ésta se desconoce; pero no da
información de la precisión de la aproximación, ni
de la probabilidad de que sea buena o mala.
 INTERVALO DE CONFIANZA
Basándonos en la media de la muestra, damos un
intervalo en el que podemos suponer que
se encuentra la media de la población con
una con anza determinada.

1 - .1 = .90 90% nivel de con anza

1 - .05 = .95 95% 1-α
1 - .01 = .99 99% nivel de signi cancia
(probabilidad de error)

α
Niveles de con anza más comunes
fi
fi
fi
fi
 l o s
d e dia
u l o M e
c á lc la de
d el entrarvalo
n z a ncu nte
a e e e l i
c on es s plía
r l a ual am
n ta s c se z a
m e e l o ) , a n
u r
a ent al ( o n
r a n c
Palores lacio
va Pob

90%
95%

99%
99.9%

x̅ - Z (S/√n) ≤ ≤ x̅ + Z (S/√n)
fi
𝝁
𝝁
fi
INTERVALO DE CONFIANZA
nivel de con anza
1-α
fi
INTERVALO DE CONFIANZA
nivel de con anza
fi
1-.05 = .95
EL VALOR DE Z DEPENDE DEL
NIVEL DE CONFIANZA

Valores de Z utilizados en la fórmula para calcular Intervalo de

con anza en muestras grandes (distribución similar a mesocúrtica).
fi
 TAMAÑO DE MUESTRA
• Muestra pequeña < 30
*Las muestras pequeñas son comunes en diversas
disciplinas incluida la medicina y la biología

• Muestra grande ≥30

 ERROR ESTÁNDAR

Desviación estándar de las medias (hipotéticas)

También conocido como el Error estándar de la media (EE)
 Aunque el Error Estándar y el Intervalo de
Con anza son ambos indicadores de la
precisión de una cantidad numérica,
di eren en su enfoque: muestra o población
(respectivamente)
fi
fi
 Indica el rango que es probable que
contenga el parámetro verdadero de la
población

Intervalo
de con anza

Indica cuánto puede uctuar el estadístico

calculado de la muestra si el mismo
experimento o toma de datos es repetida en
Error
distintas ocasiones (es decir se obtienen
Estándar
otras muestras)
fi
fl
 Una propiedad importante
Los IC y los EE varían de manera inversa a la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra (n)

n
Por ejemplo, Si se cuadruplica el tamaño de la muestra,
los EE y los IC a la mitad.

Esta regla de la raíz cuadrada es una de las reglas más

ampliamente utilizadas en estadística.
Los IC y los EE varían de manera inversa a la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra (n)

Si el tamaño de la muestra se amplía los EE y los IC se “acortan”

Presentación de 4 grupos de datos mediante 4 distintos grá cos

Mediana, Q1, Q2, Q3 y media (boxplot) Media y Desviación Estándar (SD)

Media y Error Estándar (SE) Media e Intervalo de Con anza a 95%

fi
fi
 FÓRMULAS (INTERVALO DE CONFIANZA)
Cuando se conoce la DESVIACIÓN EST. POBLACIONAL
muestras
grandes
y * Lo común es que no se
pequeñas conozca la Media ni la
Desviación poblacional.

Cuando se conoce únicamente la DESVIACIÓN EST. MUESTRAL

muestras grandes muestras pequeñas

 MUESTRA PEQUEÑA
(valor de t)
Los grados de libertad se obtienen de
restar 1 al tamaño de muestra

g.l. = n-1
• En la tabla de t de student se interceptan los
grados de libertad con el nivel de con anza
deseado.
1 - .1 = .90 90%
1 - .05 = .95 95%
1 - .01 = .99 99%

fi
 MUESTRA PEQUEÑA: T STUDENT
La distribución t de student asume una curva
platicúrtica

La dispersión es mayor que en la distribución normal (mesocúrtica)

 MUESTRA PEQUEÑA: T STUDENT
La distribución t de student asume una curva
platicúrtica

La dispersión es mayor que en la distribución normal (mesocúrtica)

 MUESTRA PEQUEÑA: T STUDENT
La distribución t de student asume una curva
platicúrtica

La dispersión es mayor que en la distribución normal (mesocúrtica)

El tamaño de la muestra (pequeña o grande) de ne la amplitud del IC

Media Poblacional
DESCONOCIDA

fi
 nivel de con anza
de “2 colas”
grados de libertad

fi
EJERCICIO MUESTRA PEQUEÑA
Número Nombre Altura (m)
1 Gibran 1.9
2 Cristel 1.5
3 Vivian 1.6
4 Andrea 1.6
5 Beto 1.5
6 Erick 1.66
7 Marcos 1.7
8 Ulises 1.76
9 Natalia 1.66
10 Carlos 1.75
11 Mary 1.59
12 Izar 1.69
13 Maria 1.7
14 Lisset 1.65
15 Zayma 1.62
16 Ana 1.66
17 Julieta 1.56
18 Alexa 1.57
19 Perla 1.57
20 Cecilia 1.57
21 Valeria 1.57
22 Sara 1.55
23 Sergio 1.72
24 Marco 1.73
25 Daniela 1.66
26 Gabriela 1.6
27 Omar 1.82
PROMEDIO 1.64666666666667
DESVIACIón 0.0945
EJERCICIO MUESTRA PEQUEÑA
Número Nombre Altura (m)
1 J. Aquiles 1.80

2 Carlos 1.71

3 David 1.73

4 Pablo 1.70

5 Jaime 1.72

6 Ernesto 1.73

7 Julia 1.58

8 Nancy 1.72

9 Jaqueline 1.62

10 Frida 1.61

11 Gerardo 1.82

12 JUan 1.80

13 Dora 1.72

14 KArla 1.65

15 Marco 1.72

16 Karina 1.72

MEDIA 1.709375

DESVIACIÓN 0.0674753041242992
EJERCICIO MUESTRA PEQUEÑA
Número Nombre Altura (m)

1 Maria José 1.60

2 Juan David 1.80

3 Jorge 1.72

4 Armando 1.85

5 Gerardo 1.82

MEDIA 1.758

DESVIACIÓN 0.100598210719674
Se obtuvo una muestra de 1000 individuos adultos aparentemente
sanos con el n de establecer un patrón con respecto a lo que se
considera un nivel normal de calcio en sangre. Se extrajo una muestra
de sangre de cada uno de los individuos. La variable X del estudio es
el número de miligramos de calcio por decilitro de sangre. Se obtuvo
una media muestral de 9.5 y una desviación típica (o estándar) de 0.5

Hallar un intervalo de con anza para μX al 90 %

Hallar un intervalo de con anza para μX al 95 %
Hallar un intervalo de con anza para μX al 99 %.
fi
fi
fi
fi
 n=1000 95% +0.0294
media= 9.5mg/dL 99% + 0.0387
S= 0.5mg/dL

M= 9.5 + (1.96 ) 0.5/ 31.6 M= 9.5 + (2.58) 0.5/ 31.6

M= 9.5 + 1.96 (0.015) M= 9.5 + (2.58) 0.015
M=9.5 +0.0294 M=9.5 + 0.0387
M =9.529 M= 9.5387

M= 9.5 - (1.96 ) 0.5/ 31.6 M= 9.5 - (2.58 ) 0.5/ 31.6

M= 9.5 - 1.96 (0.015) M= 9.5 - 2.58 (0.015)
M=9.5 - 0.0294 M=9.5 - 0.0387
M = 9.4706 M = 9.4613

9.47 ≤ ≤ 9.52 95%

9.461 ≤ ≤ 9.538 99%

𝝁
𝝁
Se obtuvo una muestra de 25 individuos adultos aparentemente
sanos con el n de establecer un patrón con respecto a lo que se
considera un nivel normal de calcio en sangre. Se extrajo una muestra
de sangre de cada uno de los individuos. La variable X del estudio es
el número de miligramos de calcio por decilitro de sangre. Se obtuvo
una media muestral de 9.5 y una desviación típica (o estándar) de 0.5

Hallar un intervalo de con anza para μX al 90 %

Hallar un intervalo de con anza para μX al 95 %
Hallar un intervalo de con anza para μX al 99 %.
fi
fi
fi
fi
n=25 MUESTRA PEQUEÑA
media= 9.5mg/dL
S= .5mg/dL

M=9.5 + (2.0639 ) .5/ 5 (raíz de 25)

M= 9.5 + (2.0639 )(0.1)
M=9.5 +0.20639
M=9.70639

M=9.5 - 0.20639
M=9.29361

9.47 ≤ ≤ 9.52 A 95% de con anza con muestra grande

9.29 ≤ ≤ 9.70 A 95% de con anza con muestra pequeña

𝝁
𝝁
fi
fi
Para cada problema de intervalo de con anza indique los tres puntos
siguientes:
1. Sustituir los valores correspondientes en la fórmula
2. Indicar el resultado del intervalo ( x min ≤ ≤ x max)
3. Escribir una conclusión breve

Se tomó una muestra de colesterol total

de 200 personas sanas. Los datos
obtenidos mostraron distribución normal.
Se calcularon las medidas de tendencia
central y dispersión, de los cuales, la
media fue 200mg/dl y la desviación
estándar 10 mg/dl.

Hallar el intervalo de con anza para un

nivel de signi cancia de 0.1, 0.05 y 0.01
(90, 95, 99 % de con anza)
fi
fi
fi
𝝁
fi
Se tomó una muestra de colesterol de 200 personas sanas. Los datos
obtenidos mostraron distribución normal. Se calcularon las medidas de
tendencia central y dispersión, de los cuales, la media fue 200mg/dl y
la desviación estándar 10 mg/dl.

Hallar el intervalo de con anza para un nivel de signi cancia de .10,

.05, .01 (90, 95, 99% de con anza)

198.83mg/dl ≤ ≤ 201.163mg/dl

198.614mg/dl ≤ ≤ 201.386mg/dl

198.179mg/dl ≤ ≤ 201.821mg/dl
𝝁
𝝁
fi
𝝁
fi
fi
Se tomó una muestra de colesterol de 25 personas sanas. Los datos
obtenidos mostraron distribución normal. Se calcularon las medidas de
tendencia central y dispersión, de los cuales, la media fue 200mg/dl y
la desviación estándar 10 mg/dl.

Hallar el intervalo de con anza para un nivel de signi cancia de

.1 .05 y .01 fi
fi
 Se tomó una muestra de colesterol de 25 personas sanas. Los datos obtenidos mostraron distribución normal. Se calcularon las
medidas de tendencia central y dispersión, de los cuales, la media fue 200mg/dl y la desviación estándar 10 mg/dl.

Hallar el intervalo de con anza para un nivel de signi cancia de .1 .05 y .01.

n=25 = x̅ - t (S/√n) = x̅ + t (S/√n)

x̅ = 200mg/dl = 200 - 1.7109 (10/√25)
S = 10mg/dl = 200 + 1.7109 (10/√25)
g.l. = 24 = 200 - 1.7109 (10/5) = 200 + 1.7109 (10/5)
= 0.1 (90% nivel de con anza) = 200 - 1.7109 (2) = 200 + 1.7109 (2)
t (tabla) = 1.7109 = 200 - 3.4218 = 200 + 3.4218
= 196.5782 196.5782 ≤ ≤ 203.4218
= 203.4218

n=25
= x̅ - t (S/√n) = x̅ + t (S/√n)
x̅ = 200mg/dl
S = 10mg/dl = 200 - 2.0639 (10/√25) = 200 + 2.0639 (10/√25)
g.l. = 24 = 200 - 2.0639 (10/5) = 200 + 2.0639 (10/5)
= 0.05 (95% nivel de con anza) = 200 - 2.0639 (2) = 200 + 2.0639 (2)
t (tabla) = 2.0639 = 200 - 4.1278 = 200 + 4.1278
= 195.8722 = 204.1278 195.8722 ≤ ≤ 204.1278

n=25 = x̅ - t (S/√n) = x̅ + t (S/√n)

x̅ = 200mg/dl = 200 - 2.7969 (10/√25) = 200 + 2.7969 (10/√25)
S = 10mg/dl = 200 - 2.7969 (10/5) = 200 + 2.7969 (10/5)
g.l. = 24
= 200 - 2.7969 (2) = 200 + 2.7969 (2)
= 0.01 (99% nivel de con anza)
= 200 - 5.5938 = 200 + 5.5938
t (tabla) = 2.7969
= 194.4062 = 205.5938 194.4062 ≤ ≤ 205.5938
𝝰
𝝰
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝰
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
𝝁
fi
fi
fi
fi
fi
En un estudio se evaluó la citotoxicidad del veneno de 2 especies de serpiente. El
ensayo consistió en conocer a qué concentración de veneno (expresada en mg/ml) se
inhibía el crecimiento de la mitad (50%) de los glóbulos rojos presentes en el medio.

Mayor
citotoxicidad Bothrops leucurus CT50 x̅ = 4.95 mg/dl
S = 0.51 mg/dl
Menor
citotoxicidad Bothrops atrox CT50 x̅ = 34.64 mg/dl
S = 2.38 mg/dl
Los resultados de citotoxicidad en las dos especies estudiadas (medias y desviaciones
estándar) se obtuvieron mediante 10 repeticiones en cada caso (n=10).

Calcule el Intervalo de con anza a 95% y 99% para ambas especies.

Bothrops leucurus Bothrops atrox

x̅ = 4.95 mg/dl x̅ = 34.64 mg/dl
S = 0.51 mg/dl S = 2.38 mg/dl
n = 10 fi
n = 10
Peso Passerina cyanea

En una estación de monitoreo y anillado

de aves en en la península de
Guanahacabibes, Cuba en dos días, se
capturaron 15 individuos (n) de P.
cyanea. El peso de estos tiene una
distribución normal , siendo la media
(x̅) =13g y la desviación estándar
(S)=2g

Calcule los intervalos de con anza del peso para 90%, 95% y 99%
fi
INTERVALO DE CONFIANZA
de la proporción
 INTERVALO DE UNA PROPORCIÓN
• Se estima”pi”
(no la media poblacional)
• El parámetro poblacional es frecuentemente un
valor desconocido que puede ser estimado a
partir de los datos de una muestra.
Para obtener la proporción de éxito de una
muestra se necesita
n (tamaño de muestra) y (número de éxitos)

p (proporción de éxito)
q (proporción de fracaso)
A partir de una “regla de 3”

n=1
p=x
(expresado en decimales)
fi
• El parámetro poblacional es frecuentemente un
valor desconocido que puede ser estimado a
partir de los datos de una muestra.
Para obtener la proporción de éxito de una
muestra se necesita
n (tamaño de muestra) y (número de éxitos)

p = proporción de éxito
q = proporción de fracaso
fi
 FÓRMULA PARA EL
INTERVALO DE UNA PROPORCIÓN
 FÓRMULA PARA EL
INTERVALO DE UNA PROPORCIÓN