UNIDAD 3.

Modelado con programación lineal

La programación lineal es una técnica mediante la cual se pueden resolver problemas
(lineales) optimizando las variables con algún propósito.

Programación lineal con dos variables

EJEMPLO: Se producen pinturas con materias primas M1 y M2

Toneladas de materia prima

Disponibilidad
Exterior Interna
diaria máx.
M1 6 4 24
M2 1 2 6
$ 5 4

Lo primero que debemos hacer es:

- Identificar las variables que se pretenden determinar
- El objetivo que necesitamos optimizar (maximizar o minimizar)
- Las restricciones de la solución a satisfacer
Definimos
X1 = Toneladas producidas diariamente de pintura para Exterior
X2 = Toneladas producidas diariamente de pintura para Interior
Como se desea maximizar las ganancias el problema es de una maximización.
Utilidad de la pintura para exteriores = 5X1
Utilidad de la pintura para interiores = 4X2
Cantidad a maximizar
La ganancia total
Z = 5X1 + 4X2

Tenemos
(Consumo de materia prima por día por ambas pinturas) ≤ Disponibilidad máxima
El consumo de M1 es de 6 toneladas por tonelada de pintura para exterior y de 4 para el
interior
Consumo de M1 por ambas pinturas = 6X1 + 4X2
Consumo de M2 por ambas pinturas = X1 + 2X2
Donde las restricciones son:
6X1 + 4X2 ≤ 24 (Para M1)
X1 + 2X2 ≤ 6 (Para M2)
Una restricción de acuerdo con la demanda puede ser que la producción diaria de pintura
para interiores no debe exceder a la de exteriores en más de una unidad.
X2 – X1 ≤ 1
Si la demanda diaria de pintura para interiores de be de estar limitada a 2 toneladas
X2 ≤ 2
En resumen, tenemos
Z = 5X1 + 4X2
6X1 + 4X2 ≤ 24
X1 + 2X2 ≤ 6
-X1 + X2 ≤ 1
X2 ≤ 2
X1 y X2 ≥ 0
Solución de un modelo de minimización.
EJEMPLO 2.2-2 (Problema de la dieta)
Ozark Farms consume diariamente de un mínimo de 800 lb de un alimento especial, el cual
es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones:

lb por lb de forraje
Forraje Proteína Fibra Costo (%/lb)
Maíz .09 02 30
Soya .60 06 90
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un
máximo de 5% de fibra. El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo
mínimo.
Se define
X1 = libras de maíz en la mezcla
X2 = libras de soya en la mezcla
La cantidad a minimizar Z = 0.30 X1 + 0.9 X2
Como mínimo se consumen 800 lb diarias de la mezcla
X1 + X2 ≥ 800 lb
La cantidad de proteína contenida en X1 libras de maíz y en X2 libras de soya es
0.09 X1 + 0.6 X2
Pero el requerimiento es que ésta sea de al menos el 30% de la mezcla
0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30 (X1 + X2) Simplificando
-0.21 X1 + 0.30 X2 ≥ 0
En el caso de la fibra
0.02 X1 + 0.06 X2 ≤ 0.05 (X1 + X2)
-0.03 X1 + 0.01 X2 ≤ 0 Simplificando

En resumen
Z = 0.3 X1 + 0.9 X2 Cant. A minimizar
X1 + X2 ≥ 800 Mezcla mínima
0.21 X1 – 0.3 X2 ≤ 0 Cant. proteína
0.03 X1 – 0.01 X2 ≥ 0 Cant. fibra
X1, X2 ≥ 0
*Gráfica*
X1 = 470.6 lb
X2 = 329.4 lb
Z = 437.64 pesos
Planificación y control de inventario
EJEMPLO:
En preparación para la temporada invernal, una compañía fabricante de ropa está
manufacturando abrigos de piel con capucha y chamaras con relleno de plumas de ganso,
pantalones con aislamiento y guantes. Todos los productos de elaboran en cuatro
departamentos diferentes: corte, aislamiento, costura y empaque. La compañía recibió
pedidos en firme de sus productos. El contrato estipula una penalización por los artículos
no surtidos. Elabore un plan de producción óptimo para a compañía, con base en los
siguientes datos:
Tiempo por unidades (h)
Relleno de Capacidad
Departamento Chamarras Pantalones Guantes
plumas (h)
Corte 0.30 0.30 0.25 0.15 1000
Aislamiento 0.25 0.35 0.30 0.10 1000
Costura 0.45 0.5 0.40 0.22 1000
Empaque 0.15 0.15 0.1 0.05 1000
Demanda 800 750 600 500
Utilidad unitaria $30 $40 $20 $10
Penalización por
$15 $20 $10 $8
unidad

Sean
X1 = cantidad de chamarras con capucha
X2 = cantidad de chamarras con relleno de pluma de ganso
X3 = cantidad de pantalones
X4 = cantidad de guantes

Cantidad a maximizar: las ganancias netas

Ganancias netas = ganancias totales – penalizaciones

Ganancias totales = 30 X1 + 40 X2 + 20 X3 + 10 X4
Penalizaciones totales = 15 P1 + 20 P2 + 10 P3 + 8 P4
La ganancia neta
Z = 30 X1 + 40 X2 + 20 X3 + 10 X4 - 15 P1 - 20 P2 - 10 P3 - 8 P4
Para la capacidad de producción
0.30 X1 + 0.3 X2 + 0.25 X3 + 0.15 X4 ≤ 1000
0.25 X1 + 0.35 X2 + 0.3 X3 + 0.1 X4 ≤ 1000
0.45 X1 + 0.5 X2 + 0.4 X3 + 0.22 X4 ≤ 1000
0.15 X1 + 0.15 X2 + 0.1 X3 + 0.05 X4 ≤ 1000
Para la demanda
X1 + P1 = 800
X2 + P2 = 750
X3 + P3 = 600
X4 + P4 = 500
Positividad
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0, P1 ≥ 0, P2 ≥ 0, P3 ≥ 0, P4 ≥ 0

Análisis de Regresión
El análisis de regresión tiene como finalidad modelar n forma matemática el
comportamiento de una variable de respuesta en función de una o más variables
independientes.
Sean dos variables X y Y, suponga que se pretende explicar el comportamiento de Y en
función de X.
Y = variable de respuesta (variable aleatoria)
X = variable regresora (no necesariamente aleatoria)
Suponemos que
Y = f(x)
A las n parejas de puntos. Con esto, se puede ver si dado un valor de la variable
independiente podemos predecir el valor promedio de Y
Hay infinitas maneras de relacionar a Y con X, lo más simple es una relación lineal del
tipo:
Y = β0 + β1X + ε
Donde ε es el error aleatorio de media cero y varianza σ2. Este modelo se conoce como
modelo de regresión lineal simple.
El valor esperado de Y para cada valor de X es
E(Y|X) = β0 + β1X
Donde β0 y β1 son parámetros a especificar mediante los datos experimentales

La recta elegida tiene la forma Y = β0 + β1X

Evaluando parra cada punto experimental
Yi = β0 + β1X
El valor de la tabla es yi y el valor del modelo es Yi
Nos interesa la diferencia entre yi-Yi

ε =∑ ( y i−Y i )

¿ ∑ | y i −Y i|
i

¿ ∑ ( y i −Y i )
2

n
S=∑ ( y i−Y i )
2

i=1

n
S=∑ ( y i−( β0 + β 1 X i ) )
2

i=1

Para minimizar la discrepancia entre el modelo y los datos debemos aplicar el proceso de
minimización de la función S.
Tenemos S = S(β0, β1)

Calidad del ajuste en regresión lineal simple

Coeficiente de determinación R2
Se define el coeficiente de determinación R2 como

2 Variabilidad explicada por elmodelo SC R

R= =
Variabilidad total S yy
 n
Donde Syy = SCR + SCE y SC R=∑ (^y i− y )2
i=1

Queda claro que 0 < R2 ≤ 1

R2 se interpreta como la proporción de la variabilidad en los datos (Y) que es explicada en
el modelo.

Se define el coeficiente de determinación ajustado, R2aj como:

2 CM TOTAL−CM E
Raj =
CM TOTAL

El coeficiente de correlación r se define como

S xy
r=
√ S xx S yy
Donde -1 ≤ r ≤ 1
Si r es cercano a -1: correlación negativa fuerte (si variable x aumenta, entonces y
disminuye)
Si r es cercano a 0: no hay correlación lineal
Si r es cercano a 1: correlación positiva fuerte (si una aumenta, la otra también. Mismo caso
si disminuye)
En el caso de la línea recta
R2 = r2
El error estándar de estimación se define como

2
σ =
√ √ SC E
n−2
=
S yy − ^
n−2
β 1 S xy

Tenemos la media del error absoluto (mea)

N
1
mea= ∑ |e i|
n i=1

Estimación y predicción por intervalo en regresión simple

Ya teníamos el valor esperado de la medición dado un valor de x

*Falta apuntes*****
Para hacer la estimación por intervalo para E(y|X0) definimos

[ ]
2
2 1 ( 0
x −x )
^ (^
V y 0 )=σ +
n S xx

Cambiando σ2 a CME el intervalo de confianza a un nivel α es

√ [ ] √ [ ]
2 2
1 ( x 0−x ) 1 ( x 0−x )
^
y 0−t α CM E + ≤ E ( y|x 0 ) ≤ ^
y 0+ t α CM E +
2
,n−2 n S xx 2
,n −2 n S xx

Prueba de falta de ajuste

H0: El modelo ajusta de manera adecuada a los datos
HA: El modelo no ajusta de manera satisfactoria
La suma de cuadrado del error es
SCE = SCEP + SCFA
SCEP = suma de cuadrados atribuibles a un error experimental puro
SCFA = es la suma de cuadrados atribuible a la falta de ajuste del modelo
Para estimar SCFA es necesario que para al menos un valor de X i haya varias observaciones
de Y.
Sean

Y11, Y12, …, Y1n1 = observaciones repetidas para X1; y sea y 1 la media de éstas.

.
.
.

Ym1, Ym2, …, Ymnm = nm observaciones repetidas para xm; y sea y m la media de éstas
m ni
SC EP=∑ ∑ ( y ij − y i )
2

i=1 i=1

Tenemos (n-m) grados de libertad

SCFA = SCE - SCEP
El estadístico es
SC FA
m−2 CM EA
F 0= =
SC EP CM EP
(n−m)

Regresión lineal múltiple

Cuando un sistema cuenta con x1, x2, …, xk variables independientes o regresoras y una
variable de respuesta Y, entonces el modelo de regresión lineal múltiple con k variables
independientes es
Y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε
Donde los βi se conocen como coeficientes de regresión ε es el error aleatorio con E(ε)=0,
V(ε)=σ2
En la práctica, a veces es necesario modelos de mayor orden, por ejemplo
Y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + β12x1x2 + β22x22 + β11x12 + ε
Este tipo de modelo también es un modelo de regresión lineal ya que es lineal en los
coeficientes β’s y siempre podemos definir
X3 = x1x2, β3 = β12, x4 = x12, β4 = β11, x5 = x22 y β5 = β22
Así
Y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + ε
En término de los datos, el medio de regresión lineal múltiple puede escribirse como
k
y i=β 0 + ∑ β j x ji +ϵ i con i=1 ,2 , … , n
j=i

Donde n es el número de observaciones

La suma cuadrática de errores

 ( )
n n k 2
S=∑ ϵ =∑ y i−β 0−∑ β j x ji
2
i
i=1 i=1 j=1

Para obtener los estimadores de números cuadrados para β i se obtienen al minimizar los
errores.
Usando notación matricial
……………
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aceptar H0 significa que ningún término o variable en el modelo tiene una contribución
significativa al explicar la variable de respuesta

Ahora se descompone la suma total de cuadrados en

 Syy = SCR + SCE
Si H0 es verdadera, entonces SCR/σ2 tiene distribución Xk2 con k grados de libertad iguales
al número de términos en el modelo de regresión.
Además, SCE → Xn-k-12 y SCE y SCR son independientes
Se define un estadístico
SC R
k CM R
F 0= =
SC E CM E
(n−k−1)

Continuando con el análisis…

Necesitamos una forma explícita de SCR. Ya sabemos que SCE está dado por

SC E= ⃑y ⃑y−⃑β ⃑x ⃑y
T T T
a) Independiente: horas y dependiente: diámetro
b)

c)
T0B0 es mayor a t crítica (19.47>2.101), entonces la hipótesis se rechaza
T0B1 también está muy lejos (6.1541>2.101)
d) S

Tarea: Ejercicio 22
Paso 1. Formar una matriz con los coeficientes de los parámetros β

⃑y= x́ ⃗β

()
1 10 3
1 12 11
1 12 4
1 4 1
1 12 11
x́= 1 6 1
1 8 7
1 2 4
1 18 8
1 9 10
1 17 8
1 2 5
Introducción a la metodología de superficie de respuesta.
La metodología de superficie de respuesta es la estrategia experimental y de análisis que
permite resolver el problema de encontrar las condiciones de operación óptimas de un
proceso, es decir, aquellos que dan por resultado “valores óptimos” de una o varias
características de calidad del producto.
La región experimental es el espacio delimitado por los rangos de experimentación
utilizados con cada factor.
La región de operabilidad está delimitada por el conjunto de puntos o condiciones donde el
equipo pueda ser operado. Eta región es igual o más grande que la región experimental.
Mejor tratamiento o punto óptimo

Elementos de la metodología de superficie de respuesta

Diseño: Implica que para optimizar un proceso se debe aplicar un diseño de experimentos
que sirva para ajustar un modelo de regresión lineal múltiple.
Modelo: se utiliza el análisis de regresión lineal múltiple, junto con sus elementos básicos
que son: parámetros del modelo, modelo ajustado, significancia del modelo, prueba de falta
de ajuste, residuos, predichos, intervalos de confianza y coeficientes de determinación.
Optimización: Está formada por algunas técnicas matemáticas que sirven para que, dado el
modelo ajustado, explorarlo a finde obtener más información sobre el punto óptimo. Tales
técnicas pueden ser:
o Derivadas de funciones
o Multiplicadores de Lagrange
o Operaciones con matrices
o Valores y vectores propios
o Sistemas de ecuaciones

La MSR consiste en:

Cribado: se identifica el número mínimo de factores relevantes.
Búsqueda 1 o de primer orden: Se aplica cuando se tienen pocos factores (k≤5) que
influyen sobre la variable de respuesta.
En esta etapa se corre un diseño de primer orden que permita caracterizar en forma
preliminar el tipo de superficie de respuesta y detectar la presencia de curvatura. Por lo
general se utiliza un diseño factorial completo o fraccionado con repeticiones al centro.
Búsqueda 2 o de segundo orden: En el momento en que se detecta curvatura, se corre o se
completa un diseño de segundo orden para caracterizar mejor la superficie de respuesta y
modelar su curvatura. Con el modelo ajustado se determinan las condiciones óptimas de
operación del proceso.

Modelos
Los modelos que se utilizan en MSR son básicamente polinomios.
Si tenemos k factores
Modelo de primer orden
k
Y = β0 + ∑ β i x i + ϵ
i =1

Modelo de segundo orden

k k k
Y = β0 + ∑ β i x i+ ∑ βi i xi2 + ∑ k ∑ βi j xi x j ϵ
i =1 i =1 i=1<¿ ¿ j=1