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I. Guía Pedagógica Del Módulo Tratamiento de Datos y Azar: TADA-02
I. Guía Pedagógica Del Módulo Tratamiento de Datos y Azar: TADA-02
I. Guía Pedagógica Del Módulo Tratamiento de Datos y Azar: TADA-02
7. Descripción 95
8. Tabla de ponderación 99
9. Materiales para el desarrollo de actividades de evaluación 100
La Guía Pedagógica es un documento que integra elementos técnico-metodológicos planteados de acuerdo con los principios y lineamientos del
Modelo Académico de Calidad para la Competitividad del Conalep para orientar la práctica educativa del Prestador de Servicios Profesionales (PSP)
en el desarrollo de competencias previstas en los programas de estudio.
La finalidad que tiene esta guía es facilitar el aprendizaje de los alumnos, encauzar sus acciones y reflexiones y proporcionar situaciones en las que
desarrollará las competencias. El PSP debe asumir conscientemente un rol que facilite el proceso de aprendizaje, proponiendo y cuidando un encuadre
que favorezca un ambiente seguro en el que los alumnos puedan aprender, tomar riesgos, equivocarse extrayendo de sus errores lecciones
significativas, apoyarse mutuamente, establecer relaciones positivas y de confianza, crear relaciones significativas con adultos a quienes respetan no
por su estatus como tal, sino como personas cuyo ejemplo, cercanía y apoyo emocional es valioso.
Es necesario destacar que el desarrollo de la competencia se concreta en el aula, ya que formar con un enfoque en competencias significa crear
experiencias de aprendizaje para que los alumnos adquieran la capacidad de movilizar, de forma integral, recursos que se consideran
indispensables para saber resolver problemas en diversas situaciones o contextos, e involucran las dimensiones cognitiva, afectiva y
psicomotora; por ello, los programas de estudio, describen las competencias a desarrollar, entendiéndolas como la combinación integrada de
conocimientos, habilidades, actitudes y valores que permiten el logro de un desempeño eficiente, autónomo, flexible y responsable del individuo en
situaciones específicas y en un contexto dado. En consecuencia, la competencia implica la comprensión y transferencia de los conocimientos a
situaciones de la vida real; ello exige relacionar, integrar, interpretar, inventar, aplicar y transferir los saberes a la resolución de problemas. Esto significa
que el contenido, los medios de enseñanza, las estrategias de aprendizaje, las formas de organización de la clase y la evaluación se
estructuran en función de la competencia a formar; es decir, el énfasis en la proyección curricular está en lo que los alumnos tienen que aprender,
en las formas en cómo lo hacen y en su aplicación a situaciones de la vida cotidiana y profesional.
Considerando que el alumno está en el centro del proceso formativo, se busca acercarle elementos de apoyo que le muestren qué competencias va a
desarrollar, cómo hacerlo y la forma en que se le evaluará. Es decir, mediante la guía pedagógica el alumno podrá autogestionar su aprendizaje a
través del uso de estrategias flexibles y apropiadas que se transfieran y adopten a nuevas situaciones y contextos e ir dando seguimiento a sus avances
a través de una autoevaluación constante, como base para mejorar en el logro y desarrollo de las competencias indispensables para un crecimiento
académico y personal.
Título:
Con el propósito de difundir los criterios a considerar en la instrumentación de la presente guía entre los docentes y personal académico de planteles y
Colegios Estatales, se describen algunas consideraciones respecto al desarrollo e intención de las competencias expresadas en los módulos
correspondientes a la formación básica, propedéutica y profesional.
Los principios asociados a la concepción constructivista del aprendizaje mantienen una estrecha relación con los de la educación basada en
competencias, la cual se ha concebido en el Colegio como el enfoque idóneo para orientar la formación ocupacional de los futuros profesionales
técnicos y profesionales técnicos bachiller. Este enfoque constituye una de las opciones más viables para lograr la vinculación entre la educación y el
sector productivo de bienes y servicios.
En los programas de estudio se proponen una serie de contenidos que se considera conveniente abordar para obtener los Resultados de Aprendizaje
establecidos; sin embargo, se busca que este planteamiento le dé al prestador de servicios profesionales la posibilidad de desarrollarlos con mayor
libertad y creatividad.
En este sentido, se debe considerar que el papel que juegan el alumno y el prestador de servicios profesionales en el marco del Modelo Académico de
Calidad para la Competitividad tenga, entre otras, las siguientes características:
Planea y diseña experiencias y actividades necesarias para la adquisición de las competencias previstas. Asimismo, define los ambientes de aprendizaje,
espacios y recursos adecuados para su logro.
Proporciona oportunidades de aprendizaje a los estudiantes apoyándose en metodologías y estrategias didácticas pertinentes a los Resultados de
Aprendizaje.
Ayuda también al alumno a asumir un rol más comprometido con su propio proceso, invitándole a tomar decisiones.
Facilita el aprender a pensar, fomentando un nivel más profundo de conocimiento.
Ayuda en la creación y desarrollo de grupos colaborativos entre los alumnos.
Guía permanentemente a los alumnos.
Motiva al alumno a poner en práctica sus ideas, animándole en sus exploraciones y proyectos.
Considerando la importancia de que el PSP planee y despliegue con libertad su experiencia y creatividad para el desarrollo de las competencias
consideradas en los programas de estudio y especificadas en los Resultados de Aprendizaje, en las competencias de las Unidades de Aprendizaje, así
como en la competencia del módulo; podrá proponer y utilizar todas las estrategias didácticas que considere necesarias para el logro de estos
fines educativos, con la recomendación de que fomente, preferentemente, las estrategias y técnicas didácticas que se describen en este apartado.
Al respecto, entenderemos como estrategias didácticas los planes y actividades orientados a un desempeño exitoso de los resultados de aprendizaje,
que incluyen estrategias de enseñanza, estrategias de aprendizaje, métodos y técnicas didácticas, así como, acciones paralelas o alternativas que el
PSP y los alumnos realizarán para obtener y verificar el logro de la competencia; bajo este tenor, la autoevaluación debe ser considerada también
como una estrategia por excelencia para educar al alumno en la responsabilidad y para que aprenda a valorar, criticar y reflexionar sobre el
proceso de enseñanza y su aprendizaje individual.
Es así como la selección de estas estrategias debe orientarse hacia un enfoque constructivista del conocimiento y estar dirigidas a que los alumnos
observen y estudien su entorno, con el fin de generar nuevos conocimientos en contextos reales y el desarrollo de las capacidades reflexivas y
críticas de los alumnos.
Desde esta perspectiva, a continuación se describen brevemente los tipos de aprendizaje que guiarán el diseño de las estrategias y las técnicas que
deberán emplearse para el desarrollo de las mismas:
Se fundamenta en una concepción constructivista del aprendizaje, la cual se nutre de diversas concepciones asociadas al cognoscitivismo, como la
teoría psicogenética de Jean Piaget, el enfoque sociocultural de Vygotsky y la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel.
Dicha concepción sostiene que el ser humano tiene la disposición de aprender verdaderamente sólo aquello a lo que le encuentra sentido en virtud
de que está vinculado con su entorno o con sus conocimientos previos. Con respecto al comportamiento del alumno, se espera que sean capaces de
desarrollar aprendizajes significativos, en una amplia gama de situaciones y circunstancias, lo cual equivale a “aprender a aprender”, ya que de ello
depende la construcción del conocimiento.
Colaborativo.
El aprendizaje colaborativo puede definirse como el conjunto de métodos de instrucción o entrenamiento para uso en grupos, así como de estrategias
para propiciar el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social). En el aprendizaje colaborativo cada miembro del grupo
es responsable de su propio aprendizaje, así como del de los restantes miembros del grupo (Johnson, 1993.)
Más que una técnica, el aprendizaje colaborativo es considerado una filosofía de interacción y una forma personal de trabajo, que implica el manejo de
aspectos tales como el respeto a las contribuciones y capacidades individuales de los miembros del grupo (Maldonado Pérez, 2007). Lo que lo
distingue de otro tipo de situaciones grupales, es el desarrollo de la interdependencia positiva entre los alumnos, es decir, de una toma de conciencia de
que sólo es posible lograr las metas individuales de aprendizaje si los demás compañeros del grupo también logran las suyas.
El aprendizaje colaborativo surge a través de transacciones entre los alumnos, o entre el docente y los alumnos, en un proceso en el cual cambia la
responsabilidad del aprendizaje, del docente como experto, al alumno, y asume que el docente es también un sujeto que aprende. Lo más importante
en la formación de grupos de trabajo colaborativo es vigilar que los elementos básicos estén claramente estructurados en cada sesión de trabajo. Sólo
de esta manera se puede lograr que se produzca, tanto el esfuerzo colaborativo en el grupo, como una estrecha relación entre la colaboración y los
resultados (Johnson & F. Johnson, 1997).
Los elementos básicos que deben estar presentes en los grupos de trabajo colaborativo para que éste sea efectivo son:
Consiste en la presentación de situaciones reales o simuladas que requieren la aplicación del conocimiento, en las cuales el alumno debe analizar la
situación y elegir o construir una o varias alternativas para su solución (Díaz Barriga Arceo, 2003). Es importante aplicar esta estrategia ya que las
competencias se adquieren en el proceso de solución de problemas y en este sentido, el alumno aprende a solucionarlos cuando se enfrenta a
problemas de su vida cotidiana, a problemas vinculados con sus vivencias dentro del Colegio o con la profesión. Asimismo, el alumno se apropia de los
conocimientos, habilidades y normas de comportamiento que le permiten la aplicación creativa a nuevas situaciones sociales, profesionales o de
aprendizaje, por lo que:
Se puede trabajar en forma individual o de grupos pequeños de alumnos que se reúnen a analizar y a resolver un problema seleccionado o diseñado
especialmente para el logro de ciertos resultados de aprendizaje.
Se debe presentar primero el problema, se identifican las necesidades de aprendizaje, se busca la información necesaria y finalmente se regresa al
problema con una solución o se identifican problemas nuevos y se repite el ciclo.
El mismo diseño del problema debe estimular que los alumnos utilicen los aprendizajes previamente adquiridos.
El diseño del problema debe comprometer el interés de los alumnos para examinar de manera profunda los conceptos y objetivos que se quieren aprender.
El problema debe estar en relación con los objetivos del programa de estudio y con problemas o situaciones de la vida diaria para que los alumnos
encuentren mayor sentido en el trabajo que realizan.
Los problemas deben llevar a los alumnos a tomar decisiones o hacer juicios basados en hechos, información lógica y fundamentada, y obligarlos a
justificar sus decisiones y razonamientos.
TÉCNICAS
Método de proyectos.
Es una técnica didáctica que incluye actividades que pueden requerir que los alumnos investiguen, construyan y analicen información que coincida
con los objetivos específicos de una tarea determinada en la que se organizan actividades desde una perspectiva experiencial, donde el alumno
aprende a través de la práctica personal, activa y directa con el propósito de aclarar, reforzar y construir aprendizajes (Intel Educación).
Para definir proyectos efectivos se debe considerar principalmente que:
Los alumnos son el centro del proceso de aprendizaje.
Los proyectos se enfocan en resultados de aprendizaje acordes con los programas de estudio.
Definir la duración.
Establecer preguntas guía. Las preguntas guía conducen a los alumnos hacia el logro de los objetivos del proyecto. La cantidad de
preguntas guía es proporcional a la complejidad del proyecto.
Calendarizar y organizar las actividades y productos preeliminares y definitivos necesarias para dar cumplimiento al proyecto.
Las actividades deben ayudar a responsabilizar a los alumnos de su propio aprendizaje y a aplicar competencias adquiridas en el salón de clase en
proyectos reales, cuyo planteamiento se basa en un problema real e involucra distintas áreas.
El proyecto debe implicar que los alumnos participen en un proceso de investigación, en el que utilicen diferentes estrategias de estudio; puedan
participar en el proceso de planificación del propio aprendizaje y les ayude a ser flexibles, reconocer al "otro" y comprender su propio entorno personal y
cultural. Así entonces se debe favorecer el desarrollo de estrategias de indagación, interpretación y presentación del proceso seguido.
De acuerdo a algunos teóricos, mediante el método de proyectos los alumnos buscan soluciones a problemas no convencionales, cuando llevan a la
práctica el hacer y depurar preguntas, debatir ideas, hacer predicciones, diseñar planes y/o experimentos, recolectar y analizar datos, establecer
conclusiones, comunicar sus ideas y descubrimientos a otros, hacer nuevas preguntas, crear artefactos o propuestas muy concretas de orden social,
científico, ambiental, etc.
En la gran mayoría de los casos los proyectos se llevan a cabo fuera del salón de clase y, dependiendo de la orientación del proyecto, en muchos de los
casos pueden interactuar con sus comunidades o permitirle un contacto directo con las fuentes de información necesarias para el planteamiento de
su trabajo. Estas experiencias en las que se ven involucrados hacen que aprendan a manejar y usar los recursos de los que dis ponen como el tiempo y los
materiales.
Como medio de evaluación se recomienda que todos los proyectos tengan una o más presentaciones del avance para evaluar resultados relacionados
con el proyecto.
Presentaciones de avance,
Calendarizar sesiones semanales de reflexión sobre avances en función de la revisión del plan de proyecto.
Estudio de casos.
El estudio de casos es una técnica de enseñanza en la que los alumnos aprenden sobre la base de experiencias y situaciones de la vida real, y se
permiten así, construir su propio aprendizaje en un contexto que los aproxima a su entorno. Esta técnica se basa en la participación activa y en procesos
colaborativos y democráticos de discusión de la situación reflejada en el caso, por lo que:
Se deben representar situaciones problemáticas diversas de la vida para que se estudien y analicen.
Se pretende que los alumnos generen soluciones validas para los posibles problemas de carácter complejo que se presenten en la realidad futura.
Se deben proponer datos concretos para reflexionar, analizar y discutir en grupo y encontrar posibles alternativas para la solución del problema planteado.
Guiar al alumno en la generación de alternativas de solución, le permite desarrollar la habilidad creativa, la capacidad de innovación y representa un recurso
para conectar la teoría a la práctica real.
Debe permitir reflexionar y contrastar las propias conclusiones con las de otros, aceptarlas y expresar sugerencias.
Analizar un problema.
Tomar decisiones.
Fase de eclosión: "Explosión" de opiniones, impresiones, juicios, posibles alternativas, etc., por parte de los participantes.
Fase de análisis: En esta fase es preciso llegar hasta la determinación de aquellos hechos que son significativos. Se concluye esta fase cuando se ha
conseguido una síntesis aceptada por todos los miembros del grupo.
Fase de conceptualización: Es la formulación de conceptos o de principios concretos de acción, aplicables en el caso actual y que permiten ser utilizados
o transferidos en una situación parecida.
Interrogación.
Consiste en llevar a los alumnos a la discusión y al análisis de situaciones o información, con base en preguntas planteadas y formuladas por el
PSP o por los mismos alumnos, con el fin de explorar las capacidades del pensamiento al activar sus procesos cognitivos; se recomienda integrar esta
técnica de manera sistemática y continua a las anteriormente descritas y al abordar cualquier tema del programa de estudio.
Participativo-vivenciales.
Son un conjunto de elementos didácticos, sobre todo los que exigen un grado considerable de involucramiento y participación de todos los
miembros del grupo y que sólo tienen como límite el grado de imaginación y creatividad del facilitador.
Los ejercicios vivenciales son una alternativa para llevar a cabo el proceso enseñanza-aprendizaje, no sólo porque facilitan la transmisión de
conocimientos, sino porque además permiten identificar y fomentar aspectos de liderazgo, motivación, interacción y comunicación del grupo,
etc., los cuales son de vital importancia para la organización, desarrollo y control de un grupo de aprendizaje.
Los ejercicios vivenciales resultan ser una situación planeada y estructurada de tal manera que representan una experiencia muy atractiva, divertida y
hasta emocionante. El juego significa apartarse, salirse de lo rutinario y monótono, para asumir un papel o personaje a través del cual el individuo pueda
manifestar lo que verdaderamente es o quisiera ser sin temor a la crítica, al rechazo o al ridículo.
El desarrollo de estas experiencias se encuentra determinado por los conocimientos, habilidades y actitudes que el grupo requiera revisar o analizar y
por sus propias vivencias y necesidades personales.
Tratamiento de datos y azar es un módulo cuya organización curricular se encuentra dividida en dos unidades programáticas que se enfocan a la
adquisición de competencias necesarias para llevar a cabo la interpretación de información, interpretación de eventos aleatorios En la primera unidad se
agrupan y grafican conjuntos de datos cualitativos y cuantitativos a partir de la distribución de frecuencias para su interpretación, y se calcula y grafica
las medidas de tendencia central y dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas estadísticas; la segunda unidad, como su nombre lo indica, se
aboca a la interpretación de eventos aleatorios aplicando las técnicas de conteo y fórmulas relacionadas, para determinar el número de resultados
posibles en un experimento aleatorio y se determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad discreta.
Con la finalidad de lograr la adquisición de las competencias de este módulo, los tipos de aprendizaje a través de los cuales se abordará su contenido
son tanto de carácter cognitivo, ya que es imprescindible para la formación del alumno el conocimiento e interpretación de los conceptos asociados con
la probabilidad y la estadística, ejemplo de ello es cuando se abordan contenidos relacionados con la descripción de la estadística descriptiva y la
determinación de las medidas de tendencia central; y actitudinal cuando se fomenta y desarrolla en el alumno un conjunto de criterios éticos enfocados
a la adquisición de habilidades y actitudes de honestidad e integridad profesional necesarias para desempeñarse en su ámbito laboral.
Desde una óptica amplia, este módulo pretende promover la comprensión reflexiva e interpretación, más que el mero conocimiento o aplicación
memorística de datos, denominaciones y procedimientos de la probabilidad y estadística, lo cual llevará, a su vez, al estudiante, a la adquisición de
habilidades y destrezas necesarias para la resolución de problemas en los diferentes campos de aplicación. Por otra parte, se pretende también
desarrollar instrumentos que logren el aprendizaje de manejar conjunto de datos y observaciones para realizar inferencias, que pueden ser predicciones
o decisiones acerca de la población de donde provienen dichos datos, sobre la base de la información de dicha muestra y las técnicas cuantitativas
útiles para el manejo de datos, basándose en relaciones de confianza e integridad profesional que deberán fomentarse por el PSP a través del
desarrollo de diversas estrategias didácticas como las que se presentan en esta guía.
Es importante subrayar asimismo que, además de los aprendizajes cognitivo y procedimental también conocidos como “saber saber” y “saber hacer”
respectivamente, el PSP deberá fortalecer el aprendizaje actitudinal, el denominado “saber ser”. Para ello se le sugiere estar permanentemente
consciente del desarrollo explícito de competencias transversales como son las cívicas y éticas, a través de la enseñanza de valores y actitudes que
fomenten el ejercicio honesto de la profesión; científicas que desarrollen una actitud de búsqueda de nuevas soluciones a viejos y nuevos problemas a
partir de la observación sistemática y objetiva del entorno; matemáticas a través del constante empleo del pensamiento lógico; tecnológicas que lo lleven
al desempeño eficiente, autónomo y flexible de las herramientas informáticas existentes para el desarrollo de la probabilidad y estadística.
Finalmente es necesario resaltar, la importancia que tiene el fomento de la atención personalizada por parte del PSP hacia cada uno de sus alumnos
con miras a optimizar sus procesos individuales de aprendizaje, y a potencializar sus capacidades críticas y creativas al ritmo y posibilidades de cada
persona; tanto como el desarrollo de aquellas modalidades grupales cooperativas o colaborativas basadas en la creación de relaciones de sinergia y
cohesión grupal que se fundan, a su vez, en el intercambio de información y en el logro de procesos de relación interpersonal y de comunicación que
aporten mejoras a los interlocutores que intervienen en ellos.
Orientaciones Didácticas
Brindar una formación de calidad y con equidad en donde se promueva la participación plena de los sujetos en el mundo del trabajo, el estudio y la
convivencia acompañando sus procesos de reconocimiento y adquisición de saberes y habilidades, procurando remover inequidades que se originan
en visiones estereotipadas sobre el papel que juegan las distintas personas según su sexo, origen, situación social, conocimientos, etc.
La unidad correspondiente a la interpretación de información está orientada a la identificación de los elementos básicos de la estadística descriptiva,
agrupando conjuntos de datos numéricos de una población que la caractericen, a partir de su distribución de frecuencias, susceptibles de presentarse
dentro de un entrono específico, dentro de un panorama concreto. Ello se realiza con el fin de que el alumno esté en posibilidades de calcular las
medidas de tendencia central y dispersión del conjunto de datos, para establecer los valores representativos y de variación en una población. El
desarrollo de esta unidad proporcionará al alumno elementos básicos que le permitirán desarrollar las actividades previstas en las unidades
subsecuentes, por eso se propone que el PSP lleve a cabo lo siguiente:
Analiza con sus alumnos, las implicaciones y alcances del programa del módulo, a través de las técnicas de dinámica grupal de encuadre, con
el fin de precisar aquellas formas de trabajar, responsabilidades y compromisos de los integrantes del grupo que dirijan al logro tanto del
propósito del módulo, como de los objetivos generales de la carrera.
Caracteriza la información como muestra, población, datos, variable estadística, precisando su utilidad, identificando la importancia de sus
aportaciones para el análisis de la estadística descriptiva en una población, dentro de una sociedad globalizada y cada vez más competitiva.
Promueve una dinámica grupal colaborativa y cooperativa para favorecer un clima que fomente el intercambio constructivo de ideas, a través de
la realización de las técnicas didácticas y de aprendizaje correspondientes, durante el transcurso de cada sesión.
Facilita el proceso de homogeneización de las capacidades lógico-matemáticas del grupo con la finalidad de que sus alumnos logren identificar
las propiedades generales de la estadística descriptiva y las medidas de tendencia central y de dispersión necesarios para el desarrollo de esta
unidad.
Fomenta el empleo del pensamiento lógico y espacial para representar modelos y construcciones que permitan identificar y comprender el
comportamiento de una población a partir de una muestra en la vida cotidiana de la comunidad.
Subraya la importancia que tiene la presencia del alumno en cada clase, su participación para el enriquecimiento del aprendizaje de todo el
grupo y la asignación de tareas y actividades intra y extramuros, con el fin de incentivar en él su cumplimiento voluntario y oportuno. Fortalece la
Orientaciones Didácticas
Esta unidad se encuentra orientada al cálculo de la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo y en ese sentido, se requiere que el
alumno desarrolle, en un principio, aquellas competencias relacionadas con la identificación de fórmulas relacionadas, para determinar el número de
resultados posibles de un experimento aleatorio, y en un segundo momento estar en posibilidades de determinar el comportamiento, propiedades y
características de los resultados de la variable aleatoria conforme su función de densidad.
En virtud de que cada una de las unidades que integran al módulo se encuentran relacionadas secuencialmente, el estudio de esta unidad requiere del
dominio de las competencias relacionadas con la distribución de frecuencias y las medidas de tendencia central y dispersión de un conjunto de datos
que constituye, a su vez, en requisito para llevar a cabo el cálculo de probabilidad de eventos y funciones de densidad de que se trate en un problema
específico, para su desarrollo se sugiere al PSP llevar a cabo lo siguiente:
Enfatiza los objetivos del módulo precisados en la anterior unidad, de forma que se renueve el compromiso del grupo para su logro.
Organiza sistemáticamente la información que se ha de manejar y procesar para su aprendizaje. Efectuando explícitamente la vinculación de
esta unidad con la que la precede, a fin de que el alumno valore su importancia académica y curricular.
Promueve la elaboración de ejercicios relacionados con el manejo del cálculo de probabilidad de eventos aplicando técnicas de conteo en
problemas diversos en diferentes campos de la ciencia, con el desarrollo general de los contenidos de la unidad, tanto de forma individual como
en grupo, favoreciendo su análisis, co-evaluación y retroalimentación grupal en ambos casos.
Fomenta el desarrollo de competencias ecológicas, especialmente aquellas relacionadas con el manejo de la papelería a fin de que el alumno
adquiera conciencia en la aplicación de medidas tales como utilizar ambas caras de las hojas blancas en la resolución de problemas, reciclar
hojas de medio uso y en general recursos que le permitan el ahorro de energía.
Fomenta el empleo del pensamiento lógico y espacial para representar fórmulas, modelos, construcciones gráficas y diagramas, que permitan
identificar y comprender la importancia de realizar el tratamiento de las cantidades eficientemente en la vida cotidiana aplicándolas en función de
los requerimientos propios y comunicando las situaciones propiciadas a las cuales se enfrenta el individuo, como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo.
Fortalece competencias transversales relacionadas con desarrollar el uso del lenguaje matemático que permita la interpretación y expresión de
criterios, conocimientos y opiniones de acuerdo con los propósitos concretos y contextos relacionados con esta unidad de cálculo de eventos
aleatorios.
Revisa conjuntamente con sus alumnos criterios de ética y justicia asociados a las competencias desarrolladas en relación con los resultados de
aprendizaje de esta unidad a fin de promover en sus alumnos un criterio de equidad social que puede aplicarse en las operaciones que
desarrolle profesionalmente.
El segundo resultado de aprendizaje está directamente relacionado con el anterior, ya que en éste se determina el comportamiento, propiedades
y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su función de densidad, por lo que resulta indispensable fortalecer en el
alumno la idea de distintos modelos aplicables de distribuciones de probabilidad como: Bernoulli, la binomial, poisson y la normal.
Se combinan los métodos de estadística descriptiva y los de probabilidad para formar un modelo teórico de comportamiento, se recopilan los
datos muéstrales, los cuales se pueden describir con gráficas, medidas de tendencia central y de variación y calcular la probabilidad de cada
resultado. Se presenta una distribución de probabilidades que sirve como modelo para una distribución de frecuencias poblacional teóricamente
perfecta. Con tal conocimiento de los resultados se podrá calcular sus características importantes, tales como la media y la desviación estándar.
Algunos ejemplos típicos, además de los ya mencionados, que el PSP puede generar a partir de la situación de sus alumnos son:
- Interpretación del problema o experimento.
- Cálculo del estadístico y graficación.
- Recopilación de datos muéstrales.
- Calcular las probabilidades de los resultados.
- Crear un modelo teórico que describa la forma en que se espera se comporte el experimento, después de obtener sus parámetros.
A partir de ello el PSP puede pedir que sus alumnos identifiquen cómo se manejan estos aspectos del cálculo de eventos aleatorios;
individualmente y organizados en equipos.
Se sugiere promover las siguientes competencias genéricas:
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas y gráficas.
Resultado de Aprendizaje: 1.1 Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos con base en la distribución de frecuencias.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 1 Resolverá ejercicios en los que maneje elementos de estadística, distribución de frecuencias de datos
no agrupados y agrupados.
ELEMENTOS DE LA ESTADÍSTICA
Ejercicio 1. Relaciona las dos columnas, colocando en el paréntesis de la columna derecha, la letra que corresponde.
a) Dato de variable cuantitativa ( ) Total de elementos en estudio que presentan características comunes.
b) Muestra ( ) Características de cada elemento de una muestra o población.
c) Parámetro ( ) Medida descriptiva de una muestra ó población.
d) Población ( ) Valor numérico de una variable.
e) Datos ( ) Subconjunto representativo de una población.
f) Variable estadística ( ) Es el resultado que se obtiene como resultado de un conteo.
g) Estadística ( ) Estudio de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de
observaciones numéricas, para tomar decisiones o realizar generalizaciones
acerca de las características de una población
CONSIDERACIONES:
Para relacionar las columnas debes de identificar cada uno de los conceptos.
Ejercicio 2. Identifica cada uno de los siguientes casos como ejemplos de variable y escribe el número correspondiente en el paréntesis de la derecha.
1) Atributo 2) Discreta 3) Continua
Consideraciones:
Debes de diferenciar entre una variable continua, discreta y cualitativa.
Ejercicio 3. Un fabricante de medicamentos desea conocer la proporción de personas cuya hipertensión (alta presión sanguínea) puede ser controlada
con un nuevo producto. Al realizar un estudio en 5000 individuos hipertensos se encontró que 80% de ellos pudo controlar su hipertensión utilizando el
nuevo medicamento. Suponiendo que esas 5000 personas son representativas del grupo de pacientes con hipertensión, contesta las siguientes
preguntas.
a) ¿Cuál es la población?
b) ¿Cuál es la muestra?
c) Identifica el parámetro de interés.
d) Identifica las estadísticas e indica cual es su valor.
e) ¿Se conoce el valor del parámetro?
Ejercicio 4. Un técnico de control de calidad selecciona partes de una línea de ensambles de aparatos eléctricos y anota para cada una de ellas la
siguiente información.
a) Si está o no defectuosa.
b) El número de identificación de las personas que armo la pieza.
c) El peso de la pieza.
CONSIDERACIONES:
Clasifica las respuestas para cada parte como atributo o dato cualitativo, dato de variable discreta o dato de variable continua.
87 86 85 87 86 87 86 81 77 85
86 84 83 83 82 84 83 79 82 79
Ejercicio 6. Peso en Kg. de un grupo de estudiantes.
56 64 72 75 77 74 75 72 64 67
61 70 69 74 76 78 70 69 61 56
CONSIDERACIONES:
Para realizar una distribución de frecuencias, necesita identificar que es la frecuencia absoluta, la relativa, la frecuencia acumulada, y la
porcentual.
Ordenar los datos de menor a mayor.
Contar cuantos datos hay de cada uno anotándola en una tabla de frecuencias (frecuencia absoluta).
Obtener la frecuencia relativa dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de la muestra, si se quiere obtener en porcentaje, multiplicar
por 100
Obtener la frecuencia acumulada sumando las frecuencias absolutas ó relativas antecedentes a la clase ó a la variable de la cual nos
interesa, el resultado del último valor será igual al tamaño de la muestra o el 100% de la frecuencia relativa porcentual.
175 180 169 152 177 145 160 172 170 158
154 155 158 160 156 148 183 172 164 166
168 154 155 175 171 169 168 163 162 179
CONSIDERACIONES:
Para obtener el rango hay que identificar el valor más pequeño de los datos (Xm) y el valor más grande de los datos (XM), entonces el Rango
(R) = XM - Xm.
El número de intervalos se obtiene utilizando la fórmula k n , donde k = Número de clases ó intervalos y n = total de elementos. También
se puede obtener aplicando la fórmula: k= 1+3.3 log (n).
R
Para la amplitud determinar ó ancho que deberá tener cada intervalo, se aplica la fórmula A Donde: A = Ancho del Intervalo, R = Rango
k
de los datos, k = Número de clase ó intervalos. (Es recomendable redondear hacia delante (entero mayor) el valor de A).
Para obtener la distribución de frecuencias se tiene que determinar el valor del límite inferior de la primera clase ó intervalo, utilizando el dato
más pequeño, sumándole el número de datos de acuerdo a su amplitud. Se puede disminuir uno o dos datos tanto del primer intervalo como del
último, para completar los datos.
Se determina la frecuencia absoluta contabilizando el número de datos.
Se obtiene la frecuencia relativa dividiendo el número de datos de la clase (frecuencia absoluta) entre el número de la muestra.
Ejercicio 8. Las puntuaciones siguientes se obtuvieron en una parte de 53 preguntas. Elabora una distribución de frecuencias con datos agrupados.
49 37 31 26 19 46 37 31 26 18 46 37 30 25 16
15 44 35 30 24 32 21 39 31 27 20 33 27 21 39
CONSIDERACIONES:
Se recomienda hacer el procedimiento anterior, colocando los datos en la tabla siguiente:
Resultado de Aprendizaje: 1.1 Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos con base en la distribución de frecuencias
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 2 Resolver problemas en los que maneje elementos de estadística, distribución de frecuencias de datos
no agrupados y agrupados.
Problema 1. Elabora una distribución de frecuencias de la muestra dada, que incluya frecuencia absoluta (fi), frecuencia relativa fr (%), frecuencia
absoluta acumulada (Fi) y el porcentaje de la frecuencia relativa acumulada Fr (%).
2 1 1 3 5 2 1 3 4 4 2 6 2 5 1 4
2 4 3 1 4 4 2 1 1 4 2 6 3 4 3 2
3 1 5 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 1 3 4
Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Empleado 10 2 4 2 6 4 2 4 6 2 8
Problema 3. Una escuela primaria reportó en la siguiente tabla la población de niños que acuden diariamente a tomar clases a ese plantel, determina:
a) la frecuencia relativa, b) la frecuencia relativa porcentual y c) la frecuencia acumulada.
1 80 90 92 97 40 60 72 70 91
37 32 23 25 34 12 9 8 7 30
3 5 18 23 56 48 83 72 4 66
1 4 10 35 31 29 28 39 22 19
20 24 26 39 2 73 58 87 14 6
Problema 5. Se obtiene una distribución de frecuencias de datos agrupados del peso en kilogramos de 40 personas.
53 62 73 83 92 61 58 72 100 75 63 64 79 77 69 78 57 65 55 65
76 52 54 40 67 85 73 82 74 66 78 72 58 68 84 88 55 81 79 48
Resultado de Aprendizaje: 1.2 Calcula y grafica las medidas de tendencia central y dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas
estadísticas.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 3 Resolver ejercicios para calcular las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) de un
conjunto de datos y las medidas de dispersión.
Ejercicio 1. De los siguientes datos que representan las calificaciones de Matemáticas IV de un grupo de 45 alumnos.
Calcular: a) Media, b) Mediana, c) Moda, d) Desviación media, e) Varianza, f) Desviación estándar.
a) Media.
La forma de calcular la media es:
∑ ∑
Para calcular la media tenemos la fórmula donde involucra las frecuencias absolutas por lo tanto la fórmula que se utiliza es:
Se recomienda trazar una distribución de frecuencias con una columna más de datos de tal forma que se multiplica la variable (Xi) por la frecuencia
absoluta (fi), el primer dato se obtiene multiplicando (5) (1) = 5, y así sucesivamente, hasta obtener el total de datos y poder obtener la Media
b) Mediana.
Para obtener la mediana es el valor que se ubica exactamente a la mitad de una serie de datos, la cual debe estar ordenada en forma
ascendente ó descendente. La forma de calcular la mediana cuando los datos NO están agrupados es seguir los siguientes pasos:
Se ordenan los datos de manera creciente o decreciente
Se determina el total de elementos en la serie de datos (n).
Si n es impar entonces: La mediana será el valor que se encuentra en la posición central de la serie ordenada
Para obtener la mediana de una muestra de datos con frecuencias simples se obtiene la faa (frecuencia absoluta acumulada), identificando el
valor central, siendo este valor la mediana
c) Moda.
La moda es el valor que más veces se repite en una serie de datos, es decir, es el valor con mayor incidencia. La forma de calcular la moda es observar
los datos y determinar cuál o cuáles de ellos tienen el mayor número de frecuencias.
Medidas de Dispersión.
Las medidas de dispersión nos dan una idea de las desviaciones de los datos con relación de los valores centrales y son:
Desviación media
Varianza.
Desviación estándar.
d) Desviación Media
La desviación media es la dispersión de los valores individuales partiendo de una tendencia central y se calcula con la fórmula:
∑ | |
6 5
7 12
8 13
9 10
10 4
f) Varianza.
La forma de calcular la varianza muestral o la varianza poblacional cuando tenemos los datos NO agrupados es mediante las fórmulas siguientes:
∑ ( ) ∑ ( )
Para este caso se utiliza la fórmula, puesto que tenemos datos ordenados:
∑ ( )
Se recomienda realizar la tabla para sustituir valores y no cometer errores en los cálculos:
5 1 8.0656 8.0656
6 5 3.3856 16.9
7 12
8 13
9 10
10 4
f) Desviación estándar.
La desviación estándar es una medida de dispersión, la cual también mide la dispersión que los datos tienen con respecto a su media.
La forma de calcular la desviación estándar muestral o la desviación estándar poblacional cuando tenemos datos NO agrupados es utilizando la
siguiente fórmula:
√∑ ( )
√
∑ ( )
Para este caso, que son datos con frecuencias simples se aplica la fórmula:
√∑ ( )
O bien, podemos decir simplemente que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
Ejercicio 2 En la siguiente tabla se presentan las cotizaciones mensuales del tipo de cambio entre el peso mexicano y el dólar estadounidense en el
año 2000, este tipo de cambio se presentó en algunas casas de cambio.
Determina:
a. Media
b. Mediana
c. Moda
d. Varianza
e. Desviación Estándar
f. Coeficiente de variación
g. Coeficiente de asimetría
h. Coeficiente de Kurtosis.
Consideraciones:
Ya que los datos No están agrupados, para calcular cada uno de los valores solicitados se utilizan las fórmulas definidas para datos NO agrupados.
Donde:
X = Es la media muestral.
m = Es la media poblacional.
n = Total de Elementos en la muestra.
N = Total de Elementos en la población.
Xi= El valor que toma el dato i.
Como la información de la tabla es sobre una muestra, se utiliza la fórmula de X (media muestral).
b. Mediana.
Consideraciones:
Se ordenan los datos de manera creciente o decreciente.
Se determina el total de elementos en la serie de datos (n) n = 12, se determina el lugar de la mediana con la fórmula:
Como n es par, hay que determinar los valores que se encuentran en la posición central.
Por último hay que determinar el promedio de estos 2 valores
c. Moda.
La moda es el valor que más veces se repite en una serie de datos, es decir, es el valor con mayor incidencia, este conjunto de datos tiene 2 modas, por
tanto es una muestra bimodal
Como la información de la tabla es sobre una muestra se sustituyen los datos en la primer fórmula.
e. Desviación estándar. Sin considerar si los datos están o no están agrupados, sabemos que la desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de
la varianza muestral:
f. Coeficiente de Variación. Este valor se determina de igual forma para datos agrupados como para no agrupados. La fórmula a utilizar es:
Donde (g1) representa el coeficiente de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor.
Los resultados de esta ecuación se interpretan:
(g1 = 0): Se acepta que la distribución es Simétrica, es decir, existe aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Este
valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).
(g1 > 0): La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media.
(g1 < 0): La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.
Ecuacion 5-10
(g2 = 0) la distribución es Mesocúrtica: Al igual que en la asimetría es bastante difícil encontrar un coeficiente de Curtosis de cero (0), por lo que se
suelen aceptar los valores cercanos (± 0.5 aprox.).
Cuando la distribución de los datos cuenta con un coeficiente de asimetría (g1 = ±0.5) y un coeficiente de Curtosis de (g2 = ±0.5), se le denomina Curva
Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayoría de los procedimientos de la estadística de inferencia se requiere que los datos se
distribuyan normalmente.
Resultado de Aprendizaje: 1.2 Calcula y grafica las medidas de tendencia central y dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas
estadísticas
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 4 Resolver problemas para calcular las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) de un
conjunto de datos y las medidas de dispersión.
Problema 1. De los siguientes datos que representan las calificaciones de Ingles de un grupo de 40 alumnos. Calcular:
a) Media, b) Moda, c) Mediana, d) Desviación media, e) Varianza, f) Desviación estándar
Problema 2. Los siguientes datos representan las calificaciones de un alumno del CONALEP de 31 asignaturas que ha cursado. Calcular:
a) Media, b) Moda, c) Mediana, d) Desviación media, e) Varianza, f) Desviación estándar
a. Media
b. Mediana
c. Moda
d. Cuartiles.
e. Deciles.
f. Percentiles
g. Varianza
h. Desviación Estándar
i. Coeficiente de variación
j. Coeficiente de asimetría
k. Coeficiente de Kurtosis.
l. Gráfica
Problema 4. Los siguientes datos representan muestras aleatorias de calificaciones de 10 asignaturas diferentes de un alumno del CONALEP: 10, 8,
7, 9, 10, 6, 5, 6, 8,8. Determina:
a. Media
b. Mediana
c. Moda
d. Cuartiles.
e. Deciles.
f. Percentiles
g. Varianza
h. Desviación Estándar
i. Coeficiente de variación
j. Coeficiente de asimetría
k. Coeficiente de Kurtosis.
l. Gráfica
Problema 5. Existe una población en Querétaro donde según la gente que ha visitado esta región, dice que existen más ancianos que jóvenes y niños,
por lo que se tomaron los siguientes registros de edades para verificar si lo que la gente dice es cierto o es falso.
37 32 23 25 34 12 9 8 7 30
3 5 18 23 56 48 83 72 4 66
1 4 10 35 31 29 28 39 22 19
20 24 26 39 2 73 58 87 14 6
Resultado de Aprendizaje: 2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo, fórmulas y leyes relacionadas.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 5 Realizará ejercicios para determinar la probabilidad de eventos y aplicar leyes de Adición, condicional,
independencia estadística, multiplicación y Bayes.
Consideraciones:
Eventos simples se le denomina a la colección de un único resultado posible o un único punto muestral.
Evento compuesto se le denomina a la colección de dos o más resultados posibles o puntos muestrales, también llamados conjuntos.
Probabilidad simple es la probabilidad de que ocurra un evento simple, es decir, es la probabilidad de que se presente un punto muestral,
misma que ya no puede ser descompuesta o desagregada.
Probabilidad conjunta Se denomina a la posibilidad de que ocurra un evento conjunto, es decir, la posibilidad de que se presenten dos o más
puntos muestrales.
Unión de dos eventos es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos en los mismos, si se tienen dos eventos A y B, la
unión de éstos es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos tanto en el evento A como en B o en ambos y se
representa medante la notación AUB.
La intersección de dos eventos A y B es el conjunto de todos los puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos A y B
simultáneamente, y se representa matemáticamente por A∩B.
Eventos complementarios, se denomina a la colección de posibles resultados o puntos muestrales del espacio muestral que no fueron
incluidos en otro evento ya definido y su notación es P( ̅ )=1-P(A)
Eventos mutuamente excluyentes. Si no presentan puntos muestrales en común: es decir, que cuando ocurre un evento el otro no puede
ocurrir de manera simultánea. Y cumple con P(A∩B)=0
Problemas propuestos.
Problema 2 Un estudiante adolescente se encuentra chateando en internet con tres jóvenes con el propósito de encontrar novio. Existe la posibilidad de
que los jóvenes con los que platique sean guapos (G) o feos (F). Si se define el evento A “que dos jóvenes sean guapos” y el evento C “al menos
dos jóvenes sean guapos”:
Problema 3 Un inversionista seleccionará de manera aleatoria y sin remplazo dos acciones entre un portafolio compuesto por 3 acciones: acción A,
acción B y acción C. Si se define el evento A “que salga seleccionada la acción A” y el evento B “que salga seleccionada la acción B”, encuentra:
Problema 4 Un encuestador entrevistará a dos distintas personas para conocer su opinión sobre la calidad de una marca de jamón que les mostrará
mediante una probada. Las posibles respuestas que puede realizar cada uno de los encuestados son: bueno, regular, malo. Si se define el evento
A “que al menos una persona piense que la calidad es buena”, un evento B “al menos una persona piense que la calidad es mala”.
Problema 6 Una estudiante adolescente se encuentra chateando en Internet con tres jóvenes con el propósito de encontrar novio. Existe la posibilidad
de que los jóvenes con los que platique sean guapos (G) o feos (F). Si se define el evento A “que dos jóvenes sean guapos” y el evento B “al menos dos
jóvenes sean guapos”:
Problema 7Un inversionista seleccionará de manera aleatoria y sin remplazo dos acciones entre un portafolio compuesto de 3 acciones: acción A,
acción B y acción C. Si se define el evento A “que salga seleccionada la acción A” y el evento B “que salga seleccionada la acción B”, encuentra:
Determinación de la probabilidad
Ley de la Adición
Si se tienen dos eventos que no son mutuamente excluyentes, A y B, la ley de adición será la siguiente:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Donde:
P(AUB): es la probabilidad de que se presente el evento A o el evento B.
P(A): la probabilidad de que suceda el evento A.
P(B): la probabilidad de que suceda el evento B.
P(A∩B): la probabilidad de que sucedan A y B de manera simultánea.
Es decir, por ejemplo, si se tienen dos eventos que son mutuamente excluyentes, A y B, la ley de adición será la siguiente:
P(AUB) = P(A) + P(B)
La probabilidad condicional
La probabilidad condicional de un evento es aquella que está condicionada o determinada por la presencia de otro evento.
La probabilidad condicional se representa mediante la siguiente fórmula:
( )
( )
( )
Donde:
P(A/B): Probabilidad condicional de que se presente el evento A dado que ocurra el evento B.
P(A∩B): Probabilidad de la intersección del evento A con el evento B; es decir, la probabilidad de que ocurran éstos eventos de forma simultánea.
P(B): Probabilidad de que suceda el evento B. Observa que el evento B es el que condiciona la probabilidad del evento A
La independencia estadística
Dos eventos son estadísticamente independientes cuando no tienen ninguna influencia entre sí, es decir, que la probabilidad de un evento es
indiferente a la presencia o no presencia de otro evento
La independencia estadística entre dos eventos se expresa mediante la siguiente fórmula:
P(A/B) = P(A)
Por el contrario, cuando los eventos si se influyen o se determinan entre sí, se dice que no son estadísticamente independientes. En el caso de dos
eventos que no son estadísticamente independientes se cumple lo siguiente:
P(A/B) ≠ P(A)
Ley de la Multiplicación
P(A∩B) = P(A)∙P(B)
Donde:
Por otra parte si dos eventos no son estadísticamente independientes, la ley de la multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento
A y de que suceda el evento B se obtiene mediante la siguiente fórmula:
P(A∩B) = P(A/B)∙P(B)
Donde:
P(A/B): Es la probabilidad condicional de que suceda el evento A dado que se presente el evento B.
Ley de Bayes
La fórmula para encontrar una probabilidad a posteriori es la que se le conoce como la ley de Bayes, la cual se expresa de la siguiente manera:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
De lo anterior se puede deducir lo siguiente; si el evento A ocurre, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generado por el evento B?
Donde:
Problemas propuestos.
Problema 1. Se sabe de una población de 100 estudiantes del plantel Ecatepec II, 50 leen el periódico La Jornada, 50 leen el periódico Reforma y
20 leen ambos. Encuentra la probabilidad de que una persona de esta población, al ser seleccionada de manera aleatoria, lea La Jornada o
Reforma.
Problema 2. De acuerdo con algunos estudios se sabe que la probabilidad de que exista un incremento en la bolsa de valores y una caída en las
tasas de interés es de 0.3, mientras que la probabilidad de que se presente una caída en las tasas de interés es de 0.4.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exista un incremento e la bolsa de valores dado que se presente una caída en las tasas de interés?
b) Señala qué tipo de probabilidad es la que hemos encontrado en el inciso anterior.
Problema 3 En un centro de negocios existe una probabilidad de que los inversionistas compren acciones tipo A de 0.34, una probabilidad de
que compren acciones tipo B de 0.2, una probabilidad de que compren ambas de 0.11. ¿Cuál es la probabilidad de un inversionista compre
acciones tipo A dado que ya compró acciones del tipo B?
Problema 4 La probabilidad de que la empresa Tornillos y Tuercas S.A. emplee una nueva estrategia de mercado para incrementar las ventas
es de 0.54 y la probabilidad de que nueva estrategia de mercado sea adoptada y que las ventas crezcan a los niveles proyectados es de 0.39,
¿cuál es la probabilidad de que si la compañía emplea la nueva estrategia las ventas crezcan a los niveles proyectados?
Problema 5. La probabilidad de que la administración de una empresa trabaje con eficiencia es de 0.80, se ha observado que el buen
funcionamiento de la empresa depende en gran medida de la eficiencia de la administración. De acuerdo con estudios realizados se estima que
la probabilidad de que la administración sea eficiente y que la empresa trabaje a 100% es de 0.72, ¿cuál es la probabilidad de que si la
administración es eficiente la empresa trabaje a 100%?
Problema 7. En una encuesta que se realizó a 200 cadenas de tiendas de abarrotes, éstas revelaron los siguientes ingresos, después de
descontar los impuestos:
1 a 20 millones 61
20 millones o más 37
¿Cuál es la probabilidad de que una cadena de tiendas de abarrotes seleccionada al azar tenga un ingreso entre un millón a 20, o un
ingreso de 20 millones o más?
Problema 8 Como parte del programa anual de servicio de salud a sus empleados, una empresa de químicos descubrió que 8% de los
empleados requieren zapatos especiales, 15% necesita servicios dental y 3% requiere tanto zapatos como servicio dental. ¿Cuál es la
probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar necesite zapatos especiales y servicio dental?
Problema 9. Una empresa productora de llantas sabe que la probabilidad de que un neumático dure 50.000 es de 0.80, ¿cuál es la
probabilidad de que cuatro neumáticos duren 50 000 km?
Problema 11 Un equipo de béisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus juegos
nocturnos y 90% diurnos. De acuerdo con las últimas noticias, ganó el último fin de semana, ¿cuál es la probabilidad de que el partido se
haya desarrollado por la noche?
Problema 12 Un productor espera detectar los artículos de mala calidad para quitarlos de los inventarios. Supón que en una determinada
planta de manufactura, hacia el final de la línea de producción, el inspector de calidad recoge algunos artículos que le parecen de calidad
sospechosa para someterlos a una inspección minuciosa. Si 10% de todos los artículos producidos son defectuosos, 60% de los
defectuosos se someten a una inspección minuciosa y sólo 20% de los no defectuosos se someten al examen, calcula la probabilidad de
que un artículo sea defectuoso dado que fue inspeccionado.
Resultado de Aprendizaje: 2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo, fórmulas y leyes relacionadas.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 6 Realizará ejercicios con la técnica de la multiplicación, con la técnica de la permutación, la técnica de
la combinación y aplicando las técnicas de conteo.
Principio de la multiplicación
Ejercicio 1. Un helado puede servirse en vaso o en cono, los hay de sabor fresa, chocolate o vainilla, con cubierta de chocolate, caramelo, mermelada o
sin cubierta. De cuantas maneras se puede presentar el helado?
Consideraciones:
Principio fundamental de conteo: Establece que el total de posibles resultados en una situación dada se pueden encontrar multiplicando el
número de formas en la que puede suceder cada evento. Es decir, si se tienen k eventos y el primer evento se puede realizar de n1 formas
diferentes, el segundo evento se puede realizar de n2 formas diferentes, el tercer evento se puede realizar de n3 formas diferentes,...., y el k-
ésimo evento se puede realizar de nk formas diferentes, entonces los k eventos pueden realizarse juntos en n1 x n2 x n3 x n4 x ....x nk formas.
El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que
pueden variar.
Ejercicio 2. Un turista desea visitar 4 Estados de México, desea visitar en primer lugar El estado de Nuevo León, posteriormente visitará El estado de
Querétaro, el tercer estado a visitar será Hidalgo y el último estado será Guanajuato; Si existen 7 rutas diferentes de Nuevo León a Querétaro, 6 rutas
diferentes de Querétaro a Hidalgo y 8 rutas de Hidalgo a Guanajuato. ¿Cuántas alternativas o posibles rutas se le presentan al Turista para realizar su
viaje?
Consideraciones:
Se definen los eventos:
Se multiplican, obteniendo así las rutas en que se pueden visitar los cuatro estados.
Ejercicio 3. Un código de identificación de un producto se forma con 4 dígitos (del 0 al 9). ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar considerando
que si se pueden repetir los dígitos?
Consideraciones:
Se definen los eventos:
Evento 1 → 1° dígito
Evento 2 → 2° dígito
Evento 3 → 3° dígito
Evento 4 → 4° dígito
Se cuantifican los elementos de cada evento
N (Evento1) = 10, ya que hay 10 dígitos posibles a colocar
N (Evento2) = 10, ya que hay 10 dígitos posibles a colocar
N (Evento3) =
N (Evento4) =
Se multiplican, obteniendo así la solución
Ejercicio 4. Si en el ejemplo del código de identificación no es posible repetir los dígitos ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar?
Consideraciones:
Se definen los eventos:
Evento 1 → 1° dígito
Evento 2 → 2° dígito
Evento 3 → 3° dígito
Evento 4 → 4° dígito
Se cuantifican los elementos de cada evento
Consideraciones:
Permutación.
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo (El
orden si importa). La expresión matemática es: n! = n * (n – 1) *(n – 2) *.....*(2)*(1)
Se representar los nombres de los componentes electrónicos de la siguiente manera: Transistor → T, Capacitor → C, Diodo → D
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
Posibilidad 1 → T D C
Posibilidad 2 → D C T
Posibilidad 3 → C T D
Posibilidad 4 → T C D
Posibilidad 5 → C D T
Posibilidad 6 → D T C
Utilizando esta fórmula para solucionar el problema anterior, entonces, el total de permutaciones serían 3!, ya que son 3 piezas que se desean
ensamblar, que da como resultado 6.
Para poder utilizar esta fórmula hay que considerar estas 3 condiciones:
a. Si deben ser considerados todos los elementos.
b. Si importa el orden
c. No se repiten los elementos.
Ejercicio 7. 8 amigos se reúnen para poder ver el partido de fut-bol. En el cuarto de TV hay 6 lugares y Lalo consigue 2 sillas más ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse estas ocho personas para ver el partido de fut-bol?
Consideraciones:
Se identifica el total de amigos elementos (n).
Se sustituye en la ecuación de permutación.
Se realiza la multiplicación, observando que conforme se escoge a un amigo, no se vuelven a repetir.
Obteniendo así las distintas formas de sentarse los 8 amigos.
Ejercicio 8. ¿Cuántos códigos de 5 caracteres se pueden formar considerando que todos los caracteres en el código deben de ser diferentes, y que los
caracteres a utilizar son 3, 6, T, 7, U?
Consideraciones:
Se identifica el total de elementos (n).
Se sustituye en la ecuación de permutación.
Se realiza la multiplicación, observando que conforme se escoge un elemento, no se vuelven a repetir.
Obteniendo así las posibles formas de los códigos.
Consideraciones:
n!
n Pr
(n r )!
Permutaciones con r elementos (r < n):
Ejercicio 10. Suponga que hay ocho tipos de computadora pero sólo hay tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
Consideraciones:
Definir quién es n y r, n = Total de elementos y r = número de elementos que se van a escoger, Por lo tanto para este tipo de técnicas de
conteo se considera la fórmula de permutación:
n!
n Pr
(n r )!
Entonces hay que calcular nPr = 8P3.
Técnica de la Combinación
Ejercicio 11. Si de un grupo de 6 personas se van a selección a 3 personas para que realicen una actividad especial ¿Cuántos grupos diferentes de 3
personas se pueden formar?
Consideraciones:
Ejercicio 12. En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar
con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este
código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Consideraciones:
Se identifica n y r, n = 7
Se compara el resultado con las 42 partes del producto, si el resultado es mayor será adecuado para identificar las 42 partes, y si no concluye
por qué no!
El tomar 3 colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto, ya
Ejercicio 13. Juanita invitó a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero sólo puede pasar a la mesa a 6 personas
a. ¿De cuántas maneras los puede pasar a la mesa? si no le importa como queden acomodados.
b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuántas maneras los puede pasar a la mesa?, si no le
importa como queden acomodados los demás.
c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuántas maneras los puede pasar a la mesa?, si no le importa
como queden acomodados los demás.
Consideraciones:
Se realiza el mismo procedimiento con la aplicación de la fórmula de combinaciones. Hay que determinar nCr = 10C6
Ejercicio 14. Supongamos que lanzamos un dado balanceando y anotamos sus resultados. Determina la probabilidad de cada uno de los resultados.
Consideraciones:
Para cada lado del dado se tiene un número diferente, entonces la probabilidad de que aparezca cualquiera de ellas es de un lado entre seis
caras. Utilizando la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Ejercicio 15. Calcula la probabilidad de obtener sol al lanzar una moneda al aire.
Consideraciones:
Ejercicio 16. Se lanzan al aire tres monedas balanceándose y se anotan los resultados. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos:
a) Aparece máximo un sol.
b) Aparecen dos caras iguales y una diferente.
Para el inciso a)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles), por medio de las técnicas de conteo(2x2x2)
Determina el número de casos favorables: {SAA, ASA, AAS, AAA} por lo tanto n(A)=4
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Consideraciones:
Para el inciso c)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles), por medio de las técnicas de conteo(2x2x2)
Determina el número de casos favorables:
Sustituye en la fórmula anterior.
Ejercicio 17. Un dado es lanzado 200 veces, y se obtienen los siguientes resultados:
No. en el dado 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 48 36 42 30 18 58
Consideraciones:
Ejercicio 18. En una familia de tres hijos, se registra el sexo de cada uno. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos.
a) Los hijos son del mismo sexo.
b) Máximo existe un hijo varón.
c) Cuando mucho existen dos mujeres.
Consideraciones:
Para el inciso a)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles)
Determina el número de casos favorables: { } ( )
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Consideraciones:
Para el inciso b) y c)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles)
Determina el número de casos favorables
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Consideraciones:
Para los incisos a),b) y c)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles)
Determina el número de casos favorables: se considera para cada color
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Consideraciones:
Para el inciso d)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles)
Determina el número de casos favorables. En este caso como son un evento u otro se suman los posibles resultados.
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Ejercicio 20. Sea el experimento aleatorio de arrojar dos dados normales y sumar sus caras superiores, calcula la probabilidad de que la suma de los
puntos:
a) Sea 7.
b) Sea 11.
c) Sea 4.
Consideraciones:
Para los 3 incisos:
Determina el espacio muestral (número de casos posibles), en este caso: {( ) ( ) ( )} ( ) porque (6x6)
Determina el número de casos favorables, para estos casos identificar exactamente los resultados como por ejemplo:
Ejercicio 21. Una urna tiene 15 bolas de la cuales, 5 son blancas y 10 son negras, si se seleccionan al azar dos bolas Calcula la probabilidad de los
eventos A y B.
a) Ambas bolas son negras.
b) Ambas bolas son blancas.
Consideraciones:
Para el inciso a) y b)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles),se sugiere utilizar n(S) = 15C2
Determina el número de casos favorables. En este caso n (A) = 10C2 y n (B) = 5C2
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Ejercicio 22. Una urna tiene 12 bolas blancas y 10 negras; se extraen sin remplazo 6 bolas. Encuentra la probabilidad de obtener:
a) Al menos una bola blanca
b) Más bolas negras que blancas o más blancas que negras.
Consideraciones:
Para el inciso a) y b)
Determina el espacio muestral (número de casos posibles),se sugiere utilizar n(S) = 22C6
Determina el número de casos favorables. En este caso n (A) = 22C6 – (10C6 )( 12C0 )
Sustituye en la fórmula:
Ejercicio 23. En una fábrica hay 20 trabajadores, 4 hombres y 16 mujeres; se forma un comité de 5 trabajadores. Determina la probabilidad de que en el
comité se encuentre
a) Un hombre.
b) A lo más 4 mujeres.
c) Más hombres que mujeres.
Consideraciones:
Determina el espacio muestral (número de casos posibles),se sugiere utilizar n(S) = 20C5
Determina el número de casos favorables. En este caso n(A) = 16C4 * 4C1 , n(B) = 16C4 * 4C1 + 16C3 * 4C2 + 16C2 * 4C3 + 16C1 * 4C4 , y n(C)
= 16C2 * 4C3 + 16C1 * 4C4
Sustituye en la fórmula:
( )
( ) ( )⁄ ( )
( )
Resultado de Aprendizaje: 2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo, fórmulas y leyes relacionadas.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 7 Resolver problemas con la técnica de la multiplicación, con la técnica de la permutación, la técnica
de la combinación y aplicando las técnicas de conteo.
Problema 1. ¿Cuántos códigos de 5 caracteres se pueden formar considerando que todos los caracteres en el código deben de ser diferentes, y que
los caracteres a utilizar son A, 3, 6, T, 7, U, X, 9, Z?
Problema 2. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. El maestro desea que se nombre a los representantes del salón
(Presidente, Secretario y Tesorero). Determina de cuantas formas se puede construir este grupo de representantes.
Problema 3. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar si se consideran solo 6 letras del siguiente conjunto de letras (L, O, S, R, A, C, I, G, M, E)?
Problema 4. ¿Cuántas combinaciones se pueden obtener al escoger a cuatro personas de un conjunto de siete?
Problema 5. En una caja hay 39 esferas, marcadas con los números del 1 al 39. Si se toman al azar 6 esferas. ¿Cuántas formas distintas pueden
resultar?
Problema 6. Suponga que se tiene una urna con 7 canicas cafés, 5 rojas y 3 blancas. Encuentra las probabilidades de extraer una pelota:
Problema 7. Un comité de estudiantes está formado por 4 estudiantes de primer semestre, 6 de segundo semestre y 8 de tercero si se escoge un
estudiante al azar. Hallar la probabilidad de que sea de:
a) 2° semestre
b) 3° semestre
Problema 8. En una empresa hay 50 obreros; a 35 les gusta su trabajo, 27 tienen buenas relaciones con su jefe, a 15 les gusta su trabajo y tienen
buenas relaciones con su jefe. Si se selecciona un obrero al azar, obtén la probabilidad de que:
Problema 9. En una reunión asistieron 20 hombres y 10 mujeres; del total de personas; la mitad de los hombres tiene ojos café. Hallar la probabilidad
de que una persona escogida al azar sea hombre o tenga ojos café.
Resultado de Aprendizaje: 2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad discreta.
Consideraciones:
Determina la probabilidad de cada uno de la variable aleatoria.
Aplicar la fórmula, sustituyendo. Recordando que f(x) es la probabilidad de cada variable
Ejercicio 2. Suponga que “x”, representa el número de errores que comete una secretaria en una hoja que escribe a máquina, suponga además que la
distribución de probabilidad de los errores (que resulto de un análisis de la experiencia previa) es la siguiente
X 0 1 2 3
f(x) 0.22 0.25 0.23 0.30
Encontrar el número esperado de errores.
Consideraciones:
Aplicar la fórmula .Recordando que f(x) es la probabilidad de cada variable
Consideraciones:
Determina la probabilidad de cada una de las variables aleatorias.
Aplicar la fórmula .Recordar que f(x) es la probabilidad de cada variable
La variancia de una variable aleatoria discreta se puede considerar como la desviación promedio al cuadrado en torno a la media (Ex) tomada sobre
todos los valores.
N
V(X) σ 2x xi μx * f xi
2
i 1
∑( ) ( )
VARIANCIA
Consideraciones:
Determinar la esperanza matemática.
Sustituir en la fórmula para determinar la varianza, utilizar la que más se te facilite.
N
V(X) σ 2x xi μx * f xi
2
i 1
Ejercicio 5. Sea el experimento de lanzar tres monedas y la variable aleatoria se identifica por el número de águilas. Obtener la media, varianza y la
desviación estándar de la variable aleatoria
Consideraciones:
Determina la probabilidad de cada una de las variables aleatorias.
Aplicar la fórmula para obtener la media ó valor esperado.
x = E(X) = x1 * f(x1) + x2 * f(x2) + ... + xn * f(xn)
Sustituir en la fórmula para determinar la varianza, utilizar la que más se te facilite.
N
V(X) σ 2x xi μx * f xi
2
i 1
∑( ) ( )
Resultado de Aprendizaje: 2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad discreta.
Problema 2. Un fabricante de galletas gana 10¢ por cada galleta que no se rompe y pierde 2¢ por cada galleta que se rompe. Si el 18% de la
producción de galletas se rompen ¿Cuál es la ganancia esperada?
Problema 3. En una caja se encuentran esferas marcadas con los números 1, 3, 5, 7. Supongamos que el 25% de las esferas están con el
número 1; el 35% con el número 3; el 12% con el número 5; y el 28% con el número 7, se extrae una esfera al azar varias veces con remplazo
¿Cuál es la media, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria?
X 1 3 5 7
f(x) 0.25 0.35 0.12 0.28
Resultado de Aprendizaje: 2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad discreta.
Problema 1. El gobierno de Nuevo León afirma que la prueba Enlace el cual es aplicado a nivel primaria y Secundaria en todo el país, es un indicador
que motiva a las escuelas a mejorar su nivel académico en un 70% de las veces. Si este indicador se lleva a cabo 4 veces en el año, cuál es la
probabilidad de que:
a. Las 4 veces que se lleva a cabo en el año el examen sea exitoso?
b. A lo más 2 sean exitosas?
Consideraciones:
Para el a) tenemos:
Extraer los datos del problema
Número de ensayos o número de veces en las que se va a aplicar el examen (n=4) la variable X toma el valor de k (k=4)
El número de fracasos, probabilidad de éxito y probabilidad de fracaso (p,q=1-p).
( ) ( ) k n-k
nCk (p )(Q )= ( )( )
( )
Problema 2. Durante un estudio de sondeo, se obtuvo como resultado que el 40% de los artículos que se consumen en una tienda de autoservicio
corresponde a los artículos de origen japonés. Suponiendo que se seleccionan al azar 7 personas que han comprado artículos en esa tienda de
autoservicio.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 5 personas hayan comprado un artículo de origen japonés?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 6 personas hayan comprado artículos de origen japonés?
Consideraciones:
Para el a) tenemos:
Extraer los datos del problema
Número de ensayos o número de veces (n=7) la variable X toma el valor de k (k=5)
El número de fracasos, probabilidad de éxito y probabilidad de fracaso (p,q=1-p).
n = 7, tamaño de la muestra.
k = 5, número de éxitos. Ya que se desea que sólo 5 personas hayan consumido un artículo de origen japonés
n - k = 7-5= 2, número de Fracasos.
p = 0.4, probabilidad de éxito.
q = 1 – p = 1 – 0.4 = 0.6, probabilidad de fracaso.
Sustituir los datos en la Función de distribución de Probabilidad de la Distribución Binomial.
b. Se está pidiendo, se calcule la probabilidad de que por lo menos 6 personas hayan comprado un artículo de origen japonés, es decir, k puede ser
6, 7
P(k) = P(6) + P(7)
Entonces, hay que obtener las probabilidades de obtener 6 y 7 éxitos para después sumarlas y encontrar la solución.
Consideraciones:
a) y b) el valor de n, se considera la 6 y la 8 respectivamente, sustituir en la fórmula.
Problema 4. En cierta ciudad, el número de coches modelo 2001 o posteriores representa 30% del parque vehicular. Si se escoge una muestra
aleatoria de 5 coches, calcula la probabilidad
a) de que al menos dos sean 2001 o posterior.
b) que en esta muestra haya cuando menos dos y máximo cuatro coches.
Consideraciones:
Para el inciso a):
Extraer los datos del problema
Número de ensayos (n=5) la variable X toma el valor de k (k=2,3,4 y5) porque
El número de fracasos, probabilidad de éxito y probabilidad de fracaso (p,q=1-p).
Para este caso se recomienda el uso de tablas.
1
P(x≥2)=1-
0
b(1,5,0.3)
P
n x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
5 0 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313
1 0.9185 0.7373 0.5282 0.3370 0.1875
2 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000
3 0.9995 0.9933 0.9692 0.9130 0.8125
4 1.0000 0.9997 0.9976 0.9898 0.9688
5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
4 1
P(4≥x≥2) = = b(4,5,0.3) - b(1,5,0.3)
0 0
DISTRIBUCION DE POISSON
Problema 5 . El número promedio de perfumes venidos en una hora es de 5. Se desea saber cuál es la probabilidad de que en determinada hora se
realicen:
a) 3 ventas
b) 6 ventas.
Consideraciones
Extraer los datos del problema: la constante positiva o media de la distribución np , en este caso ya e l ejercicio la da; 5 y la variable
aleatoria x para el inciso a) x=3
Sustituir en la fórmula de distribución de Poisson para determinar los resultados :
( )
Consideraciones
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es = 3.
la variable aleatoria x para este caso (x≤2); por lo tanto: sumar las probabilidades de P(x=0) + P(x=1) + p(x=2)
Sustituir en la fórmula de distribución de Poisson para determinar los resultados y poder sumar:
( )
Tomando en cuenta que la variable aleatoria toma varios valores en este ejercicio, se pueden utilizar las tablas de la distribución de Poisson.
La primer columna presenta los diversos valores que x puede tomar (x≤2)
El primer renglón presenta los diversos valores de la Media
Como se sabe estas tablas son acumuladas y donde cruzan la columna 2, con el renglón 3. Es el resultado de la probabilidad.
Se sugiere realizarlo de las dos formas para verificar su resultado.
Problema 7. Una fábrica de refrescos produce 11,400 refrescos diarios y se reparten pedidos (muestras) de 200 refrescos para cada uno de los centros
comerciales. Si en la muestra no aparecen más de dos elementos defectuosos se acepta el lote de refrescos.
¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea aceptado, suponiendo que la probabilidad de defectuoso es del 1%?
Consideraciones:
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es = np, n (es la muestra) y p (es la probabilidad del refresco defectuoso).
la variable aleatoria x para este caso (x≤2) puesto que para ser rechazado el lote debe tener más de dos refrescos defectuosos; por lo tanto:
sumar las probabilidades de P(x=0) + P(x=1) + p(x=2) para que sea aceptado el lote.
Considerando que la variable aleatoria toma varios valores en este ejercicio, se pueden utilizar las tablas de la distribución de Poisson.
Consideraciones:
Para el inciso a)
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es = 0.4 en un minuto, por lo que se deben considerar el promedio por el tiempo
transcurrido. Para el primer inciso = 0.4(3)
la variable aleatoria x para este caso (x=1) ya que para solo pide una imperfección.
Se sustituyen los datos, y se obtiene el resultado.
Para el inciso b)
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es = 0.4 en un minuto, por lo que se deben considerar el promedio por el tiempo
transcurrido. En este caso = 0.4(4)
la variable aleatoria x para este caso es x≥2.
Se buscan los datos en tablas, y se obtiene el resultado, como en el ejercicio 3.
Problema 9. Una compañía decidió otorgarles a sus 3,000 empleados una prestación poco usual. Si se sabe que la probabilidad de que un empleado
haga uso de esa prestación es 0.001.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún empleado de las 3,000 que tiene la empresa haga uso de esa prestación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 empleados hagan uso de esa prestación?
Consideraciones:
Para el inciso a)
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es =np, n(número de empleados) p(probabilidad de éxito, en este caso es 0.001)
la variable aleatoria x para este caso (x=0) ya que ningún empleado harán uso de esa prestación.
Se sustituyen los datos en la fórmula, y se obtiene el resultado.
Para el inciso b)
Extraer los datos del problema: la media de la distribución es =np, n(número de empleados) p(probabilidad de éxito, en este caso es 0.001)
la variable aleatoria x para este caso (x≥10)
Se busca el valor en tablas y se resta 1 menos el valor encontrado.
Tanto la distribución binomial como la distribución hipergeométrica persiguen un mismo objetivo (el numero de éxitos en una muestra que contiene n
observaciones). Lo que establece una diferencia entre estas dos distribuciones es la forma en que se obtiene la información y la manera como se
trabajan las muestras y poblaciones.
La distribución hipergeométrica es aquella en la que se considera la existencia de éxitos y/o fracasos en una muestra y en una población, suponiendo
que se tiene conocimiento del tamaño de la población y el número de elementos dentro de ella que se consideran éxitos o fracasos, y que extrae una
muestra donde también existen éxitos o fracasos.
De manera, la distribución hipergeométrica considera no solo a los elementos de la muestra, sino también a los elementos de la población, por lo cual se
tiene:
k! (N – k)!
P(k) = (k C x)(N- k C n-x) = x!(k – x)! (n – x)! [(N – k)-(n – x)]!
(N C n) N!
n! (N-n)!
Donde:
Distribución geométrica.
La distribución geométrica se basa en la distribución binomial sólo que en ésta nos interesan las probabilidades de que el primer éxito o fracaso ocurre
en el tercer experimento.
Donde:
P = Probabilidad de éxito.
Resultado de Aprendizaje: 2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad discreta.
Problema 1. Un aspirante al puesto de Gerente administrativo de una reconocida empresa, necesita acreditar 5 pruebas con pase de excelencia, si la
probabilidad de obtener un pase de excelencia es de 0.4
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el puesto en la octava prueba?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el puesto en la quinta prueba?
Problema 2. La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque dada es de 0.7, encuentre la probabilidad de que
sobrevivan exactamente dos de los siguientes cuatro componentes que se prueben.
Problema 3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. si se sabe que 15 personas contraen esta
enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Sobrevivan al menos 10,
b) Sobrevivan de 3 a 8
c) Sobrevivan exactamente 5?
DISTRIBUCION DE POISSON
Problema 4. Los clientes de una gasolinera, llegan a una bomba ocupada en promedio de 3 por minuto. La gasolinera desea saber la probabilidad de
que en un minuto determinado se presenten dos o menos llegadas para establecer el número de bombas que deben estar funcionando para dar un
mejor servicio.
Problema 5. Del ejercicio anterior, supóngase que se desea conocer la probabilidad de que en cierto minuto lleguen mínimo 6 personas a una bomba
ocupada. El término mínimo, implica que el valor más pequeño que x puede tomar es 6, es decir, puede tomar el valor de 6, 7, 8, 9,... etc. Es decir x ≥ 6;
x puede ser 6, 7, 8, 9,....etc.
Problema 6. Se tiene una población de 10,000 personas, si la probabilidad de seleccionar a una mujer en esa población es de 0.02; encuentre la
probabilidad de que por lo menos haya 2 mujeres en una muestra tomada al azar de 40 personas.
Problema 7. Si en un estudio realizado en una prestigiosa universidad reflejó que 1 de cada 2,000 estudiantes retrasan sus estudios por cuestiones de
transporte. Si la universidad cuenta con 45,000 estudiantes. Determina:
a) La probabilidad de que por lo menos 15 estudiantes retrasen sus estudios por cuestiones de transporte.
b) La probabilidad de que a lo más 20 estudiantes retrasen sus estudios por cuestiones de transporte.
Distribución hipergeométrica. .
Problema 8 Una empresa presenta 10 declaraciones a un auditor de hacienda y éste selecciona una muestra de seis declaraciones de impuestos de
personas con una profesión particular para una posible auditoria. Si siete de las declaraciones indican deducciones autorizadas no se auditará a todo al
grupo de 10 declaraciones, cuál es la probabilidad de que no se realice una auditoria más detallada si las declaraciones correctas son:
a) Cinco
b) Tres.
Problema 9 Un gerente selecciona aleatoriamente a tres individuos de un grupo de 10 empleados de un departamento para la formación de un equipo
asignado a un proyecto. Suponiendo que cuatro de los empleados fueron asignados anteriormente a un proyecto similar, determina la probabilidad de
que exactamente dos de los tres empleados hayan tenido experiencia en este tipo de proyectos.
Problema 10 Una analista financiera ha recibido una lista de los bonos de 12 compañías. La analista selecciona tres empresas de la lista cuyos bonos
cree que están en peligro de caer el próximo año. En realidad cuatro de las empresas de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Supongamos que
la analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las elegidas esté entre aquellas cuyos
bonos bajarán el próximo año?
Problema 11 El director de un banco está considerando la concesión de un préstamo a 10 personas que lo han solicitado. El perfil de todos los
solicitantes es similar, excepto en que cinco son menores de edad y el resto no. Al final, el director aprueba seis solicitudes. Si estas seis solicitudes
han sido elegidas aleatoriamente del total. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de las solicitudes aprobadas sean de menores de edad?
Problema 12 En una tienda de autoservicio 15 de los 20 clientes encuestados por una marca reconocida de botanas están insatisfechos con el sabor de
algunos productos. Si una muestra aleatoria de cuatro clientes es encuestada sobre el sabor de los productos, determina la probabilidad de que tres de
los clientes encuestados se muestren insatisfechos con el sabor de las botanas.
Problema 13 En el departamento de recursos humanos de una compañía tiene tres candidatos factibles para un puesto gerencial, los cuales han sido
seleccionados a través de varias pruebas, determinándose que la probabilidad de acertar las respuestas es de 0.9, para decidir cuál de ellos debe
quedarse con el puesto, se les hará una prueba más. ¿Cuál es la probabilidad que el primer candidato conteste acertadamente a la prueba?
Problema 14 Si la probabilidad de que un estudiante de una clase numerosa pueda dar la respuesta a un problema asignado es de 0.3, ¿Cuál es la
probabilidad de que cuarto estudiante seleccionado al azar por el instructor sea el primero en dar la respuesta correcta?
Resultado de Aprendizaje: 2.3 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad continua.
Ejercicio/Problema/Actividad núm. 12 Resolverá problemas que determine el cálculo de distribución normal, la relación entre la distribución
normal y la binomial, distribución “T” student, uniforme y exponencial.
Distribución Normal
Ejercicio 9
Una empresa maquiladora de telas para uniformes escolares, realizó un estudio sobre el tiempo de vida útil de una nueva tela que desea lanzar al
mercado y detectó que la tela tiene una duración promedio de 18 meses y una desviación estándar de 2 meses. El gerente de la empresa maquiladora,
está interesado en saber:
a) ¿Qué probabilidad hay de que la tela tenga un tiempo de vida superior a los 20 meses?
b) ¿Qué probabilidad hay de que la tela tenga una vida inferior a los 14 meses?
c) ¿Qué probabilidad hay de que esta tela tenga un tiempo de vida entre los 14 meses y 20 meses?
Para el b):
Extraer los datos del problema (Encontrar media de distribución normal ( µ), Desviación estándar ( ) y la variable aleatoria (x))
Para el c):
Extraer los datos del problema (Encontrar media de distribución normal ( µ), Desviación estándar ( ) y la variable aleatoria (x))
la variable aleatoria es 14 < x < 20
Sustituir en la fórmula para encontrar a Z1 y Z2 , ya que se tratan de dos valores de x
Ejercicio 10 Una empresa paga a sus empleados un salario promedio de $30 por hora con una desviación estándar de $3. Si los salarios están
distribuidos en forma normal.
a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios entre $25 y $28 por hora?
b) ¿Cuál es el mínimo salario que reciben los empleados que representan el 5% mas mejor pagados?
Consideraciones:
Para el inciso a):
Extraer los datos del problema (Encontrar media de distribución normal ( µ), Desviación estándar ( ) y la variable aleatoria (x))
la variable aleatoria es 25 < x < 28
Sustituir en la fórmula para encontrar a Z1 y Z2 , ya que se tratan de dos valores de x
En este caso se realiza como el ejercicio anterior (c) y el resultado final se multiplica por 100, ya que piden porcentaje y no probabilidad.
Ejercicio 11. Los cocientes intelectuales de 500 personas se distribuyen normalmente, es decir, se aproximan a una curva normal, con µ=100 y σ=10
¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga un cociente intelectual entre 100 y 110 inclusive?
Consideraciones:
Extraer los datos del problema
La variable que se va a estudiar es X1 y X2
Determinar los valores de Z1 y Z2
Realizar la diferencia entre los dos valores obtenidos.
Con ayuda de la gráfica obtener el resultado e interpretación.
Ejercicio 12. Calcular las siguientes probabilidades usando las áreas bajo la curva normal estándar. Realizar una curva para cada inciso, señalando el
área pedida.
a) P (Z≤ -0.70)
b) P (Z≤ 3)
c) P (P (-2.5 ≤ Z ≤ 1.70)
d) P (Z≥-1.25)
e) P (0.10≤ Z ≤ 3.49)
Consideraciones:
Extraer los datos del problema
aproximación a la distribución binomial utilizando la distribución normal estandarizada, nos generaría la siguiente fórmula de transformación.
√ ( )
Ejercicio 13. Una universidad de alto prestigio, creó un nuevo campus en el estado de Querétaro y está contratando personal; el 40% de las solicitudes
son aceptadas ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo seleccionado al azar de 65 solicitudes se acepten a más de 30?
Consideraciones:
Extraer los datos del problema
n = 65 (son las solicitudes que se toman al azar)
p = 40% = 0.40 (probabilidad de éxito)
Determinar el promedio np
Determinar la desviación estándar np(1 p)
La variable que se va a estudiar es x > 30
Obtener el valor tipificado con la fórmula:
√ ( )
√ ( )
Distribución T Student
Es un conjunto de distribuciones que tienen un comportamiento muy similar a la distribución normal, con la salvedad de que sus datos tienen mayor
dispersión. Se aplica para realizar inferencias cuando la muestra con la que se esta trabajando es pequeña y además se desconoce la desviación
estándar poblacional.
̅
⁄
√
Donde:
̅ =Media muestral
=Media poblacional
S=Desviación estándar muestral como aproximación a la desviación estándar de la población
n=número de observaciones.
Los grados de libertad se obtiene restando uno al tamaño de la muestra (n-1), cuando se esta analizando una sola variable.
Contiene todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria continua y todos estos valores tienen la misma probabilidad de ser tomados
por la variable aleatoria, su formula para representarla es:
( )
Donde:
f(x)
P(x)
a a a a
Distribución exponencial.
La Distribución exponencial aborda fenómenos cuya probabilidad se refiere a tiempo y distancias entre la ocurrencia de experimentos con respecto a un
intervalo continuo.
Cuando גּes el número medio de ocurrencias y el objetivo es encontrar la probabilidad de que el evento no suceda en el intervalo especificado, entonces
la fórmula es:
Donde:
T = Tiempo.
De igual manera, cuando es el número medio de ocurrencias y lo que se busca es la probabilidad de que un evento ocurra en el curso del intervalo
establecido, entonces la fórmula es:
גּt
P(T≤t)=
Resultado de Aprendizaje: 2.3 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria
conforme su distribución de probabilidad continua.
Distribución Normal
Problema 1. Las estaturas de 300 estudiantes se distribuyen de manera normal de tal forma que el promedio es igual 152 cm y su desviación es de 35
cm. Determina la probabilidad de estudiantes con estaturas:
a) Mayor o igual a 160 cm
b) Menor o igual a 156cm
c) Mayor o igual a 145cm
d) Entre 140 y 167 cm
Problema 3. Un fabricante afirma que los focos que produce su compañía tienen una duración promedio de 1000 horas con un varianza de 14400.
Supóngase que se compran 36 de estos focos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tengan una duración menor a 970 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una duración entre 900 y 1020 horas?
Problema 4. Las ventas mensuales realizadas por una tienda de autoservicio, sigue una distribución normal con una media de $800,000.00 y una
desviación estándar de $50,000.00. La tienda de autoservicio, desea conocer:
a) El rango de valores entre los que se encuentra aproximadamente el 68% de las ventas mensuales.
b) El rango de valores entre los que se encuentra aproximadamente el 95% de las ventas mensuales.
c) El rango de valores entre los que se encuentra aproximadamente el 99% de las ventas mensuales.
Problema 5. Una empresa de automóviles realizó un estudio de tiempos y movimientos, en dicho estudio se detectó que el ensamblado de un automóvil
sigue una distribución normal con una media de 27.8 minutos y un desviación estándar de 4.0 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este tipo de automóvil se pueda ensamblar en menos de 25 minutos?
Problema 6. Una empresa paga a sus empleados un salario promedio de $20 por hora con una desviación estándar de $2. Si los salarios están
aproximadamente distribuidos en forma normal, ¿qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios entre $18 y $23 por hora?
Problema 7. Se sabe que el ciclo de vida de un componente eléctrico sigue una distribución normal con una media de 2 000 hora y una desviación
estándar de 200 horas. Calcula la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2 000 y 2 400 horas.
Problema 9. Una compañía de reparación de fotocopiadoras encuentra, revisando sus expedientes, que el tiempo invertido en realizar un servicio se
representa como una variable normal con media de 65 minutos y desviación estándar de 20 minutos. Calcula:
Problema 10. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4, si se sabe que 100 personas contraen
esta enfermedad, ¿Cuál es la responsabilidad de que menos de 30 sobrevivan?
Problema 11. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas cada una con cuatro respuestas posibles de las que solo una es la correcta. ¿Cuál es
la probabilidad de que con puras conjeturas se obtengan de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los que el estudiante
no tiene conocimientos?
Problema 12. Un proceso para fabricar un componente electrónico tiene 1% de defectuosos. Un plan de control de calidad es seleccionar 100 artículos
del proceso, y si ninguno esta defectuoso el proceso continúa. Use la aproximación normal a la binomial para encontrar
Problema 13 Una empresa realiza un estudio de mercado para saber si es viable la introducción de un nuevo detergente en el mercado. El estudio
reporta que aproximadamente 75% de las mujeres opina que el detergente es bueno. De la siguientes 80 personas entrevistadas,
Problema 14 La administración de una empresa de reconocido prestigio ha decidido ofrecer una agresiva política de servicio a clientes, dicha política
consiste en aceptar devoluciones sin discusión alguna. El número promedio de clientes que regresan la mercancía es de 10% por día; si se elige una
muestra al azar de 70 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 5 clientes regresen la mercancía?
Problema 15 En relación con un grupo extenso de prospectos de venta se ha observado que 30% de los contactados personalmente por un
representante de ventas realizará una compra. Si un representante de ventas contacta a 30 prospectos, determina la probabilidad de que 10 o más
realicen una compra.
Problema 16 Una tienda departamental efectúa un estudio y determina que 70% de los clientes que acude realizan al menos una compra. En una
muetra de 50 individuos, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 40 personas realicen una compra o más cada uno?
Distribución T Student:
Problema 17 Si n =20 y se trabaja con un nivel de confianza de 95% para estimar una variable, los valores tα y tα/2 son:
Problema 18 Las ventanas de una gasolinera alcanzan en promedio los 40,000 litros diarios y un mínimo de 30,000, si las ventanas del combustible
siguen una distribución uniforme, ¿Cuál es la probabilidad de que las ventanas de gasolina excedan los 35,000 litros?
Problema 19 Una compañía productora de acero corta y vende tubos con medidas que van de 1 a 5 metros, estas medidas son las más demandadas
en el mercado:
Problema 21 Un consultor comienza a trabajar en un proyecto. El beneficio esperado oscila entre 30,000 y 70,000 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de
que el beneficio del consultor esté entre 50,000 y 60,000 pesos?
Problema 22 Un vendedor recibe un salario anual entre 150,000 y 250,000 pesos, según su productividad. Calcula la probabilidad de que:
Problema 23 Las llamadas de emergencia que recibe un hospital durante las primeras horas del día lunes siguen un modelo exponencial, con un tiempo
medio de 20 minutos por cada llamada.
a) Calcula la probabilidad de que el tiempo en que se espera una llamada sea mayor a 20 minutos.
b) Obtén la probabilidad de que el tiempo en que se tarda en recibir una llamada sea igual o menor a 20 minutos.
c) Encuentra la probabilidad de que el tiempo de espera de una llamada sea de 10 minutos o menos.
Problema 24 En promedio 5 personas tardan 10 minutos en retirar dinero de un cajero automático, ¿Cuál es la probabilidad de que tarden mas de 5
minutos?
Problema 25 El tiempo de atención al cliente en un servicio de información de una biblioteca sigue una distribución exponencial, con un tiempo de
servicio medio de 3 consultas cada 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 consultas se realicen en más de 5 minutos?
Problema 27 Un analista hace predicciones sobre las ganancias de una corporación. Si las ganancias promedio son de 60,000 mensuales, realizando 4
servicios cada 5 días, cuál es la probabilidad de que:
7. Descripción
La guía de evaluación es un documento que define el proceso de recolección y valoración de las evidencias requeridas por el m ódulo desarrollado y
tiene el propósito de guiar en la evaluación de las competencias adquiridas por los alumnos, asociadas a los Resultados de Aprendizaje; en donde
además, describe las técnicas y los instrumentos a utilizar y la ponderación de cada actividad de evaluación. Los Resultados de Aprendizaje se definen
tomando como referentes: las competencias genéricas que va adquiriendo el alumno para desempeñarse en los ámbitos personal y profesional que le
permitan convivir de manera armónica con el medio ambiente y la sociedad; las disciplinares, esenciales para que los alumnos puedan desempeñarse
eficazmente en diversos ámbitos, desarrolladas en torno a áreas del conocimiento y las profesionales que le permitan un desempeño eficiente,
autónomo, flexible y responsable de su ejercicio profesional y de actividades laborales específicas, en un entorno cambiante que exige la
multifuncionalidad.
La importancia de la evaluación de competencias, bajo un enfoque de mejora continua, reside en que es un proceso por medio del cual se obtienen y
analizan las evidencias del desempeño de un alumno con base en la guía de evaluación y rúbrica, para emitir un juicio que conduzca a tomar
decisiones.
La evaluación de competencias se centra en el desempeño real de los alumnos, soportado por evidencias válidas y confiables frente al referente que es
la guía de evaluación, la cual, en el caso de competencias profesionales, está asociada con alguna normalización específica de un sector o área y no en
contenidos y/o potencialidades
El Modelo de Evaluación se caracteriza porque es Confiable (que aplica el mismo juicio para todos los alumnos), Integral (involucra las dimensiones
intelectual, social, afectiva, motriz y axiológica), Participativa (incluye autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación), Transparente (congruente con
los aprendizajes requeridos por la competencia), Válida (las evidencias deben corresponder a la guía de evaluación).
Durante el proceso de enseñanza - aprendizaje es importante considerar tres categorías de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.
La evaluación diagnóstica nos permite establecer un punto de partida fundamentado en la detección de la situación en la que se encuentran nuestros
alumnos. Permite también establecer vínculos socio-afectivos entre el PSP y su grupo. El alumno a su vez podrá obtener información sobre los aspectos
donde deberá hacer énfasis en su dedicación. El PSP podrá identificar las características del grupo y orientar adecuadamente sus estrategias. En
esta etapa pueden utilizarse mecanismos informales de recopilación de información.
La evaluación formativa se realiza durante todo el proceso de aprendizaje del alumno, en forma constante, ya sea al finalizar cada actividad de
aprendizaje o en la integración de varias de éstas. Tiene como finalidad informar a los alumnos de sus avances con respecto a los aprendizajes que
deben alcanzar y advertirle sobre dónde y en qué aspectos tiene debilidades o dificultades para poder regular sus procesos. Aquí se admiten errores, se
identifican y se corrigen; es factible trabajar colaborativamente. Asimismo, el PSP puede asumir nuevas estrategias que contribuyan a mejorar los
resultados del grupo.
Finalmente, la evaluación sumativa es adoptada básicamente por una función social, ya que mediante ella se asume una acreditación, una promoción,
un fracaso escolar, índices de deserción, etc., a través de criterios estandarizados y bien definidos. Las evidencias se elaboran en forma individual,
puesto que se está asignando, convencionalmente, un criterio o valor. Manifiesta la síntesis de los logros obtenidos por ciclo o período escolar.
Actividades de Evaluación
Los programas de estudio están conformados por Unidades de Aprendizaje (UA) que agrupan Resultados de Aprendizaje (RA) vinculados
estrechamente y que requieren irse desarrollando paulatinamente. Dado que se establece un resultado, es necesario comprobar que efectivamente éste
se ha alcanzado, de tal suerte que en la descripción de cada unidad se han definido las actividades de evaluación indispensables para evaluar los
aprendizajes de cada uno de los RA que conforman las unidades.
Esto no implica que no se puedan desarrollar y evaluar otras actividades planteadas por el PSP, pero es importante no confundir con las actividades de
aprendizaje que realiza constantemente el alumno para contribuir a que logre su aprendizaje y que, aunque se evalúen con fines formativos, no se
registran formalmente en el Sistema de Administración Escolar SAE. El registro formal procede sólo para las actividades descritas en los programas
y planes de evaluación.
De esta manera, cada uno de los RA tiene asignada al menos una actividad de evaluación, a la cual se le ha determinado una ponderación con respecto
a la Unidad a la cual pertenece. Ésta a su vez, tiene una ponderación que, sumada con el resto de Unidades, conforma el 100%. Es decir, para
considerar que se ha adquirido la competencia correspondiente al módulo de que se trate, deberá ir acumulando dichos porcentajes a lo largo del
período para estar en condiciones de acreditar el mismo. Cada una de estas ponderaciones dependerá de la relevancia que tenga la AE con respecto al
RA y éste a su vez, con respecto a la Unidad de Aprendizaje. Estas ponderaciones las asignará el especialista diseñador del programa de estudios.
La ponderación que se asigna en cada una de las actividades queda asimismo establecida en la Tabla de ponderación, la cual está desarrollada en
una hoja de cálculo que permite, tanto al alumno como al PSP, ir observando y calculando los avances en términos de porcentaje, que se van
alcanzando (ver apartado 8 de esta guía).
Esta tabla de ponderación contiene los Resultados de Aprendizaje y las Unidades a las cuales pertenecen. Asimismo indica, en la columna de
actividades de evaluación, la codificación asignada a ésta desde el programa de estudios y que a su vez queda vinculada al Sistema de Evaluación
Escolar SAE. Las columnas de aspectos a evaluar, corresponden al tipo de aprendizaje que se evalúa: C = conceptual; P = Procedimental y A =
Actitudinal. Las siguientes tres columnas indican, en términos de porcentaje: la primera el peso específico asignado desde el programa de estudios
para esa actividad; la segunda, peso logrado, es el nivel que el alumno alcanzó con base en las evidencias o desempeños demostrados; la tercera,
peso acumulado, se refiere a la suma de los porcentajes alcanzados en las diversas actividades de evaluación y que deberá acumular a lo largo del
ciclo escolar.
Otro elemento que complementa a la matriz de ponderación es la rúbrica o matriz de valoración, que establece los indicadores y criterios a
considerar para evaluar, ya sea un producto, un desempeño o una actitud y la cual se explicará a continuación.
Una matriz de valoración o rúbrica es, como su nombre lo indica, una matriz de doble entrada en la cual se establecen, por un lado, los indicadores o
aspectos específicos que se deben tomar en cuenta como mínimo indispensable para evaluar si se ha logrado el resultado de aprendizaje esperado y,
por otro, los criterios o niveles de calidad o satisfacción alcanzados. En las celdas centrales se describen los criterios que se van a utilizar para
evaluar esos indicadores, explicando cuáles son las características de cada uno.
Los criterios que se han establecido son: Excelente, en el cual, además de cumplir con los estándares o requisitos establecidos como necesarios en el
logro del producto o desempeño, es propositivo, demuestra iniciativa y creatividad, o que va más allá de lo que se le solicita como mínimo, aportando
elementos adicionales en pro del indicador; Suficiente, si cumple con los estándares o requisitos establecidos como necesarios para demostrar que se
ha desempeñado adecuadamente en la actividad o elaboración del producto. Es en este nivel en el que podemos decir que se ha adquirido la
competencia. Insuficiente, para cuando no cumple con los estándares o requisitos mínimos establecidos para el desempeño o producto.
Un punto medular en esta metodología es que al alumno se le proporcione el Plan de evaluación, integrado por la Tabla de ponderación y las
Rúbricas, con el fin de que pueda conocer qué se le va a solicitar y cuáles serán las características y niveles de calidad que deberá cumplir para
demostrar que ha logrado los resultados de aprendizaje esperados. Asimismo, él tiene la posibilidad de autorregular su tiempo y esfuerzo para recuperar
los aprendizajes no logrados.
Como se plantea en los programas de estudio, en una sesión de clase previa a finalizar la unidad, el PSP debe hacer una sesión de recapitulación
con sus alumnos con el propósito de valorar si se lograron los resultados esperados; con esto se pretende que el alumno tenga la oportunidad, en caso
de no lograrlos, de rehacer su evidencia, realizar actividades adicionales o repetir su desempeño nuevamente, con el fin de recuperarse de inmediato y
no esperar hasta que finalice el ciclo escolar acumulando deficiencias que lo pudiesen llevar a no lograr finalmente la competencia del módulo y, por
ende, no aprobarlo.
La matriz de valoración o rúbrica tiene asignadas a su vez valoraciones para cada indicador a evaluar, con lo que el PSP tendrá los elementos para
evaluar objetivamente los productos o desempeños de sus alumnos. Dichas valoraciones están también vinculadas al SAE y a la matriz de ponderación.
Cabe señalar que el PSP no tendrá que realizar operaciones matemáticas para el registro de los resultados de sus alumnos, simplemente
deberá marcar en cada celda de la rúbrica aquélla que más se acerca a lo que realizó el alumno, ya sea en una hoja de cálculo que emite el SAE o bien,
a través de la Web.
8. Tabla de Ponderación
ASPECTOS A
ACTIVIDAD DE EVALUAR % Peso % Peso % Peso
UNIDAD RA Específico Logrado Acumulado
EVALUACIÓN C P A
En blanco
Resultado de 1.1. Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y Actividad de 1.1.1 Resuelve problemas planteados por el PSP de
Aprendizaje: cuantitativos con base en la distribución de frecuencias. evaluación: distribución de frecuencias con datos no
agrupados y agrupados.
C R I T E R I O S
INDICADORES %
Excelente Suficiente Insuficiente
Resuelve un problema con datos Resuelve problema con datos Omite alguno de los siguientes
cualitativos y otro con datos cualitativos y otro con datos aspectos:
cuantitativos. cuantitativos. Resolver problema con datos
Realiza las operaciones Realiza las operaciones cualitativos y otro con datos
aritméticas, aplicando las fórmulas aritméticas, aplicando las fórmulas cuantitativos.
correspondientes, determinando: correspondientes, determinando: Realizar las operaciones
frecuencia absoluta, frecuencia frecuencia absoluta, frecuencia aritméticas, aplicando las
relativa, frecuencia absoluta relativa, frecuencia absoluta fórmulas correspondientes,
acumulada, frecuencia relativa acumulada, frecuencia relativa determinando: frecuencia
acumulada. Sin cometer errores de acumulada. Sin cometer errores de absoluta, frecuencia relativa,
Distribución de
40 cálculo. cálculo. frecuencia absoluta acumulada,
frecuencias con
datos no agrupados Presenta el desarrollo de los Presenta el desarrollo de los frecuencia relativa acumulada.
cálculos realizados cálculos realizados Sin cometer errores de cálculo.
Presenta en una hoja de cálculo Presenta en una hoja de cálculo Presentar el desarrollo de los
los datos y los resultados los datos y los resultados cálculos realizados
obtenidos. obtenidos. Presentar en una hoja de
Realiza la gráfica circular e Realiza la gráfica circular e cálculo los datos y los
histograma en hojas milimétricas. histograma en hojas milimétricas. resultados obtenidos.
Elabora las gráficas en software de Realizar la gráfica circular e
cómputo y las entrega impresas en histograma en hojas
blanco y negro. milimétricas.
Resuelve problemas con datos Resuelve problemas con datos Omite alguno de los siguientes
cuantitativos discretos y continuos, cuantitativos discretos y continuos, aspectos:
propuestos por el PSP. propuestos por el PSP. Resolver problemas con datos
Calcula lo siguiente con tablas de Calcula lo siguiente con tablas de cuantitativos discretos y
distribución de frecuencias: distribución de frecuencias: continuos, propuestos por el
Número de clase. Número de clase. PSP.
Amplitud de clase. Amplitud de clase. Calcular lo siguiente con
Distribución de Marcas de clase o punto medio. Marcas de clase o punto medio. tablas de distribución de
frecuencias con
40 Límites reales o fronteras reales. Límites reales o fronteras reales. frecuencias:
Elabora gráfica de polígono de Elabora gráfica de polígono de - Número de clase.
datos agrupados
frecuencias y Ojivas en hojas frecuencias y Ojivas en hojas - Amplitud de clase.
milimétricas. milimétricas. - Marcas de clase o punto
Elabora las gráficas en software de medio.
cómputo y las entrega impresas en - Límites reales o fronteras
blanco y negro. reales.
Elaborar gráfica de polígono
de frecuencias y Ojivas en
hojas milimétricas.
Identifica los valores de mayor y Identifica los valores de mayor y Omite alguno de los siguientes
menor frecuencia absoluta y relativa menor frecuencia absoluta y relativa aspectos:
de los siguientes problemas: de los siguientes problemas. Identificar los valores de
De datos no agrupados De datos no agrupados mayor y menor frecuencia
cualitativos cualitativos absoluta y relativa de los
De datos no agrupados De datos no agrupados siguientes problemas.
cuantitativos cuantitativos - De datos no agrupados
De datos agrupados cuantitativos De datos agrupados cuantitativos cualitativos
Interpretación de los 15 discretos discretos - De datos no agrupados
resultados De datos agrupados cuantitativos De datos agrupados cuantitativos cuantitativos
continuos. continuos. - De datos agrupados
Explica el significado de los valores Explica el significado de los valores cuantitativos discretos
máximos y mínimos de cada uno de máximos y mínimos de cada uno de - De datos agrupados
los problemas propuestos por el PSP. los problemas propuestos por el PSP. cuantitativos continuos.
Explica la diferencia entre los Explicar el significado de los
resultados de los datos no agrupados valores máximos y mínimos de
y agrupados. cada uno de los problemas
propuestos por el PSP.
Perseverancia y Muestra constancia en la resolución Muestra constancia en la resolución de Omite alguno de los siguientes
5
sentido de de problemas de distribución de problemas de distribución de aspectos:
organización frecuencias con datos agrupados y no frecuencias con datos agrupados y no Mostrar constancia en la
Resultado de 1.2 Calcula y grafica las medidas de tendencia central y Actividad de 1.2.1 Resuelve un problema planteado por el PSP de las
Aprendizaje: dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas evaluación: medidas de la tendencia central y medidas de
estadísticas dispersión poblacional y muestral con datos no
agrupados y agrupados.
C R I T E R I O S
INDICADORES %
Excelente Suficiente Insuficiente
Realiza las operaciones Realiza las operaciones Omite alguno de los siguientes
aritméticas, aplicando las aritméticas, aplicando las aspectos:
fórmulas correspondientes, fórmulas correspondientes, Realizar las operaciones
Determinación de las determinando: La media, determinando: La media, aritméticas, aplicando las
medidas de mediana, moda, mediana, moda. fórmulas correspondientes,
tendencia central 20 Presenta el desarrollo de los Presenta el desarrollo de los determinando: La media,
con datos no cálculos realizados. cálculos realizados. mediana, moda
agrupados Realiza la gráfica en hojas Realiza la gráfica en hojas Presentar el desarrollo de los
milimétricas milimétricas cálculos realizados.
Elabora las gráficas en software Realizar la gráfica en hojas
de cómputo y las entrega milimétricas.
impresas en blanco y negro.
Realiza las operaciones Realiza las operaciones Omite alguno de los siguientes
aritméticas, aplicando las aritméticas, aplicando las aspectos:
fórmulas correspondientes, fórmulas correspondientes, Realizar las operaciones
determinando: media aritmética, determinando: media aritmética, aritméticas, aplicando las
Determinación de las media geométrica mediana, media geométrica mediana, fórmulas correspondientes,
medidas de moda, cuartiles, deciles, moda, cuartiles, deciles, determinando: media aritmética,
20
tendencia central percentiles. percentiles. media geométrica mediana,
con datos agrupados Presenta el desarrollo de los Presenta el desarrollo de los moda, cuartiles, deciles,
cálculos realizados. cálculos realizados. percentiles.
Realiza la gráfica en hojas Realiza la gráfica en hojas Presentar el desarrollo de los
milimétricas. milimétricas. cálculos realizados.
Elabora las gráficas en software Realizar la gráfica en hojas
de cómputo y las entrega milimétricas.
Resultado de 2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las Actividad de 2.1.1 Resuelve problemas de probabilidad de eventos
Aprendizaje: técnicas de conteo, fórmulas y leyes relacionadas. evaluación: planteados por el PSP.
C R I T E R I O S
INDICADORES %
Excelente Suficiente Insuficiente
Determina la probabilidad de Determina la probabilidad de Omite alguno de los siguientes
cada eventos: cada eventos: aspectos:
- Unión - Unión Determinar la probabilidad de
- Intersección - Intersección cada eventos:
Cálculo de la
35 - Complemento - Complemento - Unión
probabilidad - Mutuamente excluyentes - Mutuamente excluyentes - Intersección
Presenta el desarrollo de los Presenta el desarrollo de los - Complemento
cálculos realizados. cálculos realizados. - Mutuamente excluyentes
Presenta diagramas Presentar el desarrollo de los
cálculos realizados.
Determina la probabilidad de Determina la probabilidad de Omite alguno de los siguientes
leyes: leyes: aspectos:
- De adición - De adición Determinar la probabilidad de
- Condicional - Condicional leyes:
Aplicación de leyes 35 - Independencia y estadística - Independencia y estadística - De adición
- Multiplicación - Multiplicación - Condicional
- Bayes - Bayes - Independencia y estadística
Memoria de cálculo Memoria de cálculo - Multiplicación
Presenta diagramas - Bayes
Memoria de cálculo
Interpreta los resultados de la Interpreta los resultados de la Omite alguno de los siguientes
probabilidad de cada evento probabilidad de cada evento aspectos:
Interpretación de
25 Determina cuál es el evento más Determina cuál es el evento más Interpretar los resultados de la
resultados. probabilidad de cada evento
favorable. favorable.
Determina cuál es el evento Determina cuál es el evento Determinar cuál es el evento
menos favorable. menos favorable. más favorable.
100
Resultado de 2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de Actividad de 2.2.1 Resuelve problemas de distribución de
Aprendizaje: los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de evaluación: probabilidad discreta planteado por el
probabilidad discreta. PSP.
C R I T E R I O S
INDICADORES %
Excelente Suficiente Insuficiente
Determina las medidas de Determina las medidas de Omite alguno de los siguientes
distribución de probabilidad distribución de probabilidad aspectos:
discreta: discreta: Determinar las medidas de
- Variable aleatoria. - Variable aleatoria distribución de probabilidad
- Función de probabilidad. - Función de probabilidad. discreta:
- Esperanza matemática. - Esperanza matemática. - Variable aleatoria.
Análisis de las - Varianza. - Varianza. - Función de probabilidad.
50 - Desviación estándar - Desviación estándar - Esperanza matemática.
medidas de una
distribución Presenta memoria de calculo Presenta memoria de calculo - Varianza.
Presenta grafica en hojas Presenta grafica en hojas - Desviación estándar
milimétricas milimétricas Presentar memoria de calculo
Elabora las gráficas en software Presentar grafica en hojas
de cómputo y las entrega milimétricas
impresas en blanco y negro.
Resultado de 2.3 Determina el comportamiento, propiedades y Actividad de 2.3.1 Resuelve problemas de distribución de probabilidad
Aprendizaje: características de los resultados de la variable evaluación: continua planteado por el PSP
aleatoria conforme su distribución de probabilidad
continua
C R I T E R I O S
INDICADORES %
Excelente Suficiente Insuficiente
Obtiene datos del problema y de Obtiene datos del problema y de Omite alguno de los siguientes
tabla de valores de z. tabla de valores de z. aspectos:
Elabora sustitución en la formula Elabora sustitución en la formula Obtención de datos del problema
Análisis de las Calcula la probabilidad de Calcula la probabilidad de y de tabla de valores de z.
medidas de una 25 distribución normal. distribución normal. Sustitución en la formula
distribución Grafica el resultado obtenido Grafica el resultado obtenido Calcular la probabilidad de
Explica el resultado obtenido Explica el resultado obtenido distribución normal.
Elabora las gráficas en software Graficar el resultado obtenido
de cómputo y las entrega Explicar el resultado obtenido
impresas en blanco y negro.
Obtiene datos del problema y de Obtiene datos del problema y de Omite alguno de los siguientes
tabla de valores de z. tabla de valores de z. aspectos:
Elabora sustitución en la formula Elabora sustitución en la formula Obtención de datos del problema
Relación entre la Calcula la probabilidad de Calcula la probabilidad de y de tabla de valores de z.
distribución normal 25 distribución normal y binomial. distribución normal y binomial. Sustitución en la formula
y la binomial Grafica el resultado obtenido Grafica el resultado obtenido Calcular la probabilidad de
Explica el resultado obtenido Explica el resultado obtenido distribución normal y binomial.
Elabora las gráficas en software Graficar el resultado obtenido
de cómputo y las entrega Explicar el resultado obtenido
impresas en blanco y negro.
Obtiene datos del problema y de Obtiene datos del problema y de Omite alguno de los siguientes
tabla de valores de z. tabla de valores de z. aspectos:
Elabora sustitución en la formula Elabora sustitución en la formula Obtención de datos del problema
Cálculo de
Calcula la probabilidad de Calcula la probabilidad de y de tabla de valores de z.
distribución de distribución uniforme distribución uniforme Sustitución en la formula
25
probabilidad Grafica el resultado obtenido Grafica el resultado obtenido Calcular la probabilidad de
uniforme Explica el resultado obtenido Explica el resultado obtenido distribución uniforme
Elabora las gráficas en software Graficar el resultado obtenido
de cómputo y las entrega Explicar el resultado obtenido
impresas en blanco y negro.
Obtiene datos del problema y de Obtiene datos del problema y de Omite alguno de los siguientes
tabla de valores de z. tabla de valores de z. aspectos:
Elabora sustitución en la formula Elabora sustitución en la formula Obtención de datos del problema
Cálculo de Calcula la probabilidad de Calcula la probabilidad de y de tabla de valores de z.
distribución 20 distribución exponencial distribución exponencial Sustitución en la formula
exponencial Grafica el resultado obtenido Grafica el resultado obtenido Calcular la probabilidad de
Explica el resultado obtenido Explica el resultado obtenido distribución exponencial
Elabora las gráficas en software Graficar el resultado obtenido
de cómputo y las entrega Explicar el resultado obtenido
impresas en blanco y negro.
Colabora con sus compañeros Colabora con sus compañeros Omite alguno de los siguientes
para resolver problemas de para resolver problemas de aspectos:
Disposición distribución de probabilidad distribución de probabilidad Colaborar con sus compañeros
discreta. discreta. para resolver problemas de
colaborativa y 5
Presenta cálculos de forma Presenta cálculos de forma distribución de probabilidad
emprendedora ordenada. ordenada. discreta.
Busca soluciones a los Presentar cálculos de forma
problemas planteados por el ordenada.
PSP.
100