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SESION 15 Volumen, Longitud de Arco
SESION 15 Volumen, Longitud de Arco
SESION 15 Volumen, Longitud de Arco
Sea 𝑓(𝑥) una función continua en [𝑎; 𝑏] tal que 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏].
𝑋.
∆𝑖 𝑉 = 𝜋[𝑓(𝜉𝑖 )]2 ∆𝑖 𝑥.
𝑛 𝑛
𝒃
∴ 𝑽 = 𝝅 ∫ [𝒇(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 .
𝒂
Solución.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑥 ∈ [1; 2] ⟹
𝑏 2
31𝜋 3
𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 = ( )u .
𝑎 1 5
𝑥 = 1.
Solución.
Prof. Lucy Salazar Rojas http://lucy-math.ucoz.c
Universidad Nacional de Trujillo Análisis Matemático
ESTUDIOS GENERALES 2018
𝑑 3 2
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔(𝑦) − 1]2 𝑑𝑦 ⟹ 𝑉 = 𝜋 ∫ (√20 − 4𝑦 + 1 − 1) 𝑑𝑦
𝑐 1
3
𝑉 = 𝜋 ∫ (20 − 4𝑦) = (24𝜋)u3 .
1
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. Sea 𝑅 la región limitada por las curvas
región 𝑅.
Anillo Circular.
𝑛 𝑛
𝒃
𝑽 = 𝝅 ∫ ([𝒇(𝒙)]𝟐 − [𝒈(𝒙)]𝟐 )𝒅𝒙
𝒂
Ejemplo. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del
Solución.
Puntos de intersección de ambas curvas son: (−1; 2), (2; 5), donde
𝑏 2
𝑉 = 𝜋∫ ([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 )𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ [(𝑥 + 3)2 − (𝑥 2 + 1)2 ]𝑑𝑥
𝑎 −1
117𝜋 3
𝑉=( )u .
5
𝑥 = 𝑦 − 𝑦2, 𝑥 = 𝑦 2 − 3.
Solución.
3 3
(−2; −1), (− ; )
4 2
3
𝐹(𝑦) = 𝑦 − 𝑦 2 , 𝐺(𝑦) = 𝑦 2 − 3, 𝑦 ∈ [−1; ].
2
𝑑
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝐹(𝑦) + 4]2 − [𝐺(𝑦) + 4]2 𝑑𝑦
𝑐
3
2 875𝜋 3
𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑦 − 𝑦 2 + 4)2 − (𝑦 2 − 3 + 4)2 ] 𝑑𝑦 = ( )u .
−1 32
EJERCICIOS
acotadas por las curvas y las rectas alrededor del eje 𝑿. (Usar el
𝟏. 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝟐. 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2,
𝜋 𝜋
𝟑. 𝑦 = √9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝟒. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = − ; 𝑥 =
4 4
𝜋
𝟓. 𝑦 = √𝑐𝑜𝑠𝑥, 0≤𝑥≤ , 𝟔. 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 2 , 𝑦=0
2
la recta dada
por abajo por la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 y a la izquierda por el eje 𝑌, alrededor
de la recta 𝑦 = √2.
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alrededor de la recta 𝑦 = 2.
III. Hallar los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones
3
𝟏. 𝑥 = √5𝑦 2 ; 𝑥 = 0; 𝑦 = −1; 𝑦 = 1, 𝟐. 𝑥 = 𝑦 2 ; 𝑥 = 0; 𝑦 = 2,
𝜋 √2𝑦
𝟑. 𝑥 = √2𝑠𝑒𝑛2𝑦; 0 ≤ 𝑦 ≤ ; 𝑥 = 0, 𝟒. 𝑥 = ; 𝑥 = 0; 𝑦 = 1
2 𝑦2 + 1
𝑦
𝟓. 𝑥 = √𝑐𝑜𝑠𝜋 , −2 ≤ 𝑦 ≤ 0, 𝑥 = 0,
4
2
𝟔. 𝑥 = , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦=3
𝑦+1
IV. Hallar los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones
acotadas por las curvas y las rectas alrededor del eje 𝑿. (Usar método
del anillo).
𝟏. 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝟐. 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1,
𝟓. 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 3, 𝟔. 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = 2 − 𝑥,
𝜋 𝜋
𝟕. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥, 𝑦 = √2, − ≤𝑥≤ ,
4 4
del eje 𝒀
1. La región encerrada por el triángulo con vértices (1; 0), (2; 1), (1; 1).
2. La región encerrada por el triángulo con vértices (0; 1), (1; 0), (1; 1).
eje 𝑋 y la recta 𝑥 = 2.
𝑦 = √3.
el círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25.
VI. Hallar el volumen del sólido generado al girar cada región alrededor
recta 𝑥 = −1.
eje de revolución.
este rectángulo gira alrededor del eje de revolución, se obtiene una Capa
1
⟹ 𝜉𝑖 = (𝑥 + 𝑥𝑖 ).
2 𝑖−1
Si este rectángulo gira alrededor del eje 𝑌, se obtiene una capa cilíndrica,
𝑛 𝑛
𝒃
∴ 𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒂
Ejemplo. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del
Solución.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0; 2]
𝑏 2
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = (8𝜋)u3 .
𝑎 0
Solución.
Puntos de intersección de las curvas y rectas son (1; 1), (2; 4). Además
𝜉𝑖 + 3.
4
66𝜋 3
𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑦 + 3) (2 − √𝑦)𝑑𝑦 = ( )u .
1 5
EJERCICIOS
acotadas por las curvas y las rectas alrededor del eje 𝒀. Usar el
𝑥 𝑥
𝟏. 𝑦 = 𝑥, 𝑦=− , 𝑥 = 2, 𝟐. 𝑦 = 2𝑥, 𝑦= , 𝑥=1
2 2
𝟑. 𝑦 = √𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = 4, 𝟒. 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = 2 − 𝑥; 𝑥 = 0; (𝑥 ≥ 0)
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𝟓. 𝑦 = 2 − 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑥 = 0, 𝟔. 𝑦 = 2𝑥 − 1; 𝑦 = √𝑥; 𝑥 = 0
1 1
𝟕. 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥= , 𝑥 = 2.
𝑥 2
II. Hallar los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones
𝟑. 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦 2 , 𝑥 = 0, 𝟒. 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦 2 , 𝑥=𝑦
𝟕. 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑥 − 2, 𝟖. 𝑦 = √𝑥; 𝑦 = 0; 𝑦 = 2 − 𝑥
FUNCIÓN
Asociado con cada punto (𝑥𝑖 ; 0) sobre el eje 𝑋 existe un punto 𝑃𝑖 (𝑥𝑖 ; 𝑓(𝑥𝑖 ))
sobre la curva. Trazar un segmento de recta desde cada punto 𝑃𝑖−1 al punto
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 )
2 2
𝑛
̅̅̅̅̅̅̅̅
∑|𝑃 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑖−1 𝑃𝑖 | = |𝑃0 𝑃1 | + |𝑃1 𝑃2 | + ⋯ + |𝑃𝑖−1 𝑃𝑖 | + ⋯ + |𝑃𝑛−1 𝑃𝑛 |
𝑖=1
̂.
la cual es una aproximación de la longitud del arco 𝐴𝐵
La longitud de arco de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) del punto 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)) hasta el punto
𝑛
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚 ∑|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | , si el límite existe se llama rectificable.
‖∆‖→0
𝑖=1
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 )
2 2
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √(∆𝑖 𝑥) + (∆𝑖 𝑦) . Luego
2 2
∆𝑖 𝑦 2
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √1 + ( ) (∆𝑖 𝑥), porque ∆𝑖 𝑥 ≠ 0, (∗)
∆𝑖 𝑥
∆𝑖 𝑦
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) = ∆𝑖 𝑦, 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = ∆𝑖 𝑥, = 𝑓′(𝑐𝑖 )
∆𝑖 𝑥
̅̅̅̅̅̅̅̅
|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √1 + [𝑓′(𝑐𝑖 )] (∆𝑖 𝑥),
2 (∗∗)
𝑛 𝑛
̅̅̅̅̅̅̅̅
∑|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = ∑ √1 + [𝑓′(𝑐𝑖 )] (∆𝑖 𝑥) ,
2 Suma de Riemann
𝑖=1 𝑖=1
𝒃 𝒃 𝟐
𝒅𝒚
𝑳 = ∫ √𝟏 + [𝒇′(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 , 𝑳 = ∫ √𝟏 + ( ) 𝒅𝒙 .
𝒂 𝒂 𝒅𝒙
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𝒅 𝒅
𝒅𝒙 𝟐
𝑳 = ∫ √𝟏 + [𝑭′(𝒚)]𝟐 𝒅𝒚 , 𝑳 = ∫ √𝟏 + ( ) 𝒅𝒚
𝒄 𝒄 𝒅𝒚
2
Ejemplo. Hallar la longitud de arco de la curva 𝑦 = 𝑥 3 del punto (1; 1) al
Solución.
a) En función de 𝑥:
2 2 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 𝑥 −3 , 𝑎 = 1, 𝑏=8
3
𝑏
2 1 2 88
4
′ 2 √ −
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓 (𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 1 + [ 𝑥 ] 𝑑𝑥 = ∫ √1 + 2 𝑑𝑥
3
𝑎 1 3 1 9𝑥 3
𝐿 ≈ 7,6 u.
2 3 3 1
𝑦 = 𝑥 3 ⟹ 𝐹(𝑦) = 𝑥 = 𝑦 2 ⟹ 𝐹′(𝑦) = 𝑦2, 𝑐 = 1, 𝑑=4
2
𝑑 4
3 1 2 4
9𝑦
𝐿 = ∫ √1 + [𝐹 ′ (𝑦)]2 𝑑𝑦 √
= ∫ 1 + [ 𝑦 ] 𝑑𝑦 = ∫ √1 +
2 𝑑𝑦
𝑐 1 2 1 4
𝐿 ≈ 7,6 u
𝑥 = 0 hasta el punto 𝑥 = 1.
Solución.
𝑑𝑦
Hallar usando diferenciación implícita
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦 6𝑥 2
2(𝑦 + 1) = 12𝑥 ⟹ =
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 + 1
𝑏
𝑑𝑦 2
Luego:, 𝐿 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑏=1
𝑎 𝑑𝑥
1 1 2 1
6𝑥 2 36𝑥 4 36𝑥 4
√
𝐿 = ∫ 1+( ) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + √
𝑑𝑥 = ∫ 1 + 𝑑𝑥
0 𝑦+1 0 (𝑦 + 1)2 0 4𝑥 3
1
2
𝐿 = ∫ √1 + 9𝑥 𝑑𝑥 = (10√10 − 1)u.
0 27
FORMA PARAMÉTRICA
𝑥 = 𝑓(𝑡)
{ , donde 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en el intervalo [𝑎; 𝑏].
𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑏
𝑑𝑦 2
En coordenadas cartesianas se tiene, 𝐿 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥
𝑎 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Se sabe que: = 𝑑𝑡 , si ≠0
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑏 2 𝑑𝑦 2
𝑏
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡
𝑎 𝑑𝑥 𝑎
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝒅𝒙 𝟐
𝒃
𝒅𝒚 𝟐 𝒃
√
𝑳 = ∫ ( ) + ( ) 𝒅𝒕 , 𝑳 = ∫ √[𝒇′(𝒕)]𝟐 + [𝒈′(𝒕)]𝟐 𝒅𝒕
𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒂
𝑥 = 𝑓(𝑡)
{ , suponga que 𝑓′ y 𝑔′ son funciones continuas en el intervalo
𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝒃
𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝟐 𝒃
𝑳 = ∫ √( ) + ( ) 𝒅𝒕 , 𝑳 = ∫ √[𝒇′(𝒕)]𝟐 + [𝒈′(𝒕)]𝟐 𝒅𝒕
𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒂
𝑥 = 𝑡2
paramétricas son { , desde el punto 𝑡 = 0 hasta el punto 𝑡 = 4.
𝑦 = 𝑡3
Solución.
𝑑𝑥 𝑑𝑦
= 2𝑡, = 3𝑡 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 4 4
𝐿 = ∫ √( ) + ( ) 𝑑𝑡 = ∫ √4𝑡 + 9𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 √4 + 9𝑡 2 𝑑𝑡
2 4
𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 0
8
𝐿= (37√37 − 1)u.
27
𝑥 = 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
paramétricas son {𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡, desde el punto 𝑡 = 0 hasta el punto 𝑡 = 2𝜋.
Solución.
𝑑𝑥 𝑑𝑦
= 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡, = 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 2𝜋
𝐿 = ∫ √( ) + ( ) 𝑑𝑡 = ∫ √(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0
2𝜋 2𝜋 2𝜋
𝑡 𝑡
𝐿 = ∫ √2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ √4𝑠𝑒𝑛2 ( ) 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 ( ) 𝑑𝑡
0 0 2 0 2
𝐿 = (8)u.
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EJERCICIOS
𝟏) 9𝑦 2 = 4𝑥 3 , desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 3,
𝟑) 8𝑦 = 𝑥 4 + 2𝑥 −2 , desde 𝑥 = 1 hasta 𝑥 = 2,
𝟒) 𝑦 3 = 8𝑥 2 , desde 𝑦 = 2 hasta y = 18
2 3
𝟓) 𝑦 = (𝑥 − 5)2 , desde 𝑥 = 6 hasta 𝑥 = 8,
3
1 2 3
𝟔) 𝑦 = (𝑥 + 2)2 , desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 3
3
𝜋 𝜋
𝟖) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥), desde 𝑥 = hasta 𝑥 =
6 4
𝑥 = 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝟏. { , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝜋,
𝑦 = 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝟐. { , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝜋,
𝑦 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑥 = 2(𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝜋
𝟑. { , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = ,
𝑦 = 2(𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡) 3
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥
𝟒. { 1 , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 1
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑡 2 + 1)
2
𝑥 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝜋 𝜋
𝟓. { , de 𝑡 = a𝑡 = ,
𝑦=𝑡+1 6 2
𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝟔. { , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 1
𝑦 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑥 = 𝑡2 + 3
𝟕. { , de 𝑡 = 1 a 𝑡 = 4
𝑦 = 3𝑡 2
𝑥 = 3𝑒 2𝑡
𝟖. { , de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝑙𝑛5
𝑦 = −4𝑒 2𝑡