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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN - Trabajo Grupal Semana 5
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN - Trabajo Grupal Semana 5
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN - Trabajo Grupal Semana 5
INTEGRANTES
• Andia Leguia, Lander
• Anyarin Quijaite, Corayma
• Aramburu Peña, Jaime
• Uchuya Poma, Emiren
• Vasquez Molina, Lucia
• Vargas Paredes, Jhimy
DOCENTE:
CESAR TORRES SOTELO
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
METODO DE LA
METODO DE LOS ANILLOS CORTEZA CILÍNDRICA
Encontrar el volumen del solido formado al girar la región acotada por la gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙. Y el eje de x (𝟎 ≤ 𝒙 ≥ 𝝅) alrededor del eje x.
𝑉 = 𝜋 − cos 𝑥 |𝜋0
𝑉 = 𝜋 1+1
𝑉 = 2𝜋
MÉTODO DEL ANILLO CIRCULAR
Encontrar el volumen del solido formado al girar la región acotada por las gráficas de
𝒚 = 𝒙 y 𝒚 = 𝒙𝟐 alrededor del eje x.
• En la figura se puede observar que los radios exteriores e interiores son:
𝑅 𝑥 = 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑦 𝑟 𝑥 = 𝑥 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
• Integrando entre 0 y 1:
𝑏
2− 2 ) 𝑑𝑥
𝑉=𝜋 (𝑅 𝑥 𝑟 𝑥
𝑎
1
2−
𝑉=𝜋 [ 𝑥 𝑥 2 2 ] 𝑑𝑥
0
1
𝑉= 𝑥 − 𝑥 4 𝑑𝑥
0
𝑥2 𝑥5 1
𝑉=𝜋 − |
2 5 0
3𝜋
𝑉=
10
MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA
Hallar el volumen del solido que genera la región encerrada por 𝒚 = 𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒚 = 𝟐 − 𝟒𝒙 al girar
alrededor de 𝒙 = −𝟒.
• Las curvas se cortan en los puntos (2,-6), (0,2) y (-2,10). El punto (0,2)
separa la región en dos subregiones donde la curva superior y la inferior
las tienen intercambiadas. Si V es el volumen total y si 𝑉1 y 𝑉2 son los
volúmenes de la región superior e inferior, respectivamente, entonces:
• Hallando Volumen superior:
0
𝑉1 = 2𝜋 𝑥 − −4 2 − 4𝑥 − 2 − 𝑥 3 𝑑𝑥
−2
0
𝑉1 = 2𝜋 𝑥 + 4 −4𝑥 + 𝑥 3 𝑑𝑥
−2
0
𝑉 = 2𝜋 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 16𝑥 𝑑𝑥
−2
𝑥5 4𝑥 3
𝑉 = 2𝜋 4
+𝑥 − − 8𝑥 2 |0−2
5 3
352𝜋
𝑉=
15
• Hallando Volumen inferior:
2
𝑉2 = 2𝜋 𝑥 − −4 2 − 𝑥 3 − 2 − 4𝑥 𝑑𝑥
0
2
𝑉1 = 2𝜋 𝑥 + 4 −𝑥 3 + 4𝑥 𝑑𝑥
0
2
𝑉 = 2𝜋 −𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 + 16𝑥 𝑑𝑥
0
𝑥5 4𝑥 3
4
𝑉 = 2𝜋 − − 𝑥 + + 8𝑥 2 |20
5 3
608𝜋
𝑉=
15
• Hallando Volumen total:
352𝜋 608𝜋
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = + = 64𝜋
15 15