Matemáticas Ii: Geometría Plana Y Trigonometría

MATEMÁTICAS II
GEOMETRÍA PLANA Y TRIGONOMETRÍA

ÍNDICE
UBICACIÓN CURRICULAR ....................................................................................................................... 3

PRESENTACIÓN ...................................................................................................................................... 4
ICONOGRAFÍA ........................................................................................................................................ 6
COMPETENCIAS GENÉRICAS .................................................................................................................. 10
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DE MATEMÁTICAS ................................................................ 12
APRENDIZAJES CLAVES .......................................................................................................................... 13
I
BLOQUE
Ángulos y triángulos ......................................................... 14
Secuencia didác ca 1. Elementos básicos de la geometría plana y ángulos ......................................... 16
Secuencia didác ca 2. Triángulos .......................................................................................................... 36

8
MATEMÁTICAS II
II
BLOQUE
Propiedades de los polígonos ........................................... 68
Secuencia didác ca 1. Polígonos .......................................................................................................... 70
Secuencia didác ca 2. Poliedros ........................................................................................................... 87
III
BLOQUE
Elementos de la circunferencia ......................................... 108
Secuencia didác ca 1. Concepto de circunferencia y sus elementos .................................................... 110
Secuencia didác ca 2. Ángulos en la circunferencia ............................................................................. 125

IV
BLOQUE
Razones trigonométricas ................................................ 158
Secuencia didác ca 1. Razones trigonométricas para ángulos agudos de un

triángulo rectángulo ........................................................................................ 160
Secuencia didác ca 2. Valores de las razones trigonométricas para ángulos

notables (30°, 45°, 60°) ................................................................................... 169
Secuencia didác ca 3. Solución de problemas que con enen triángulos rectángulos ......................... 173
V
BLOQUE
9
Funciones trigonométricas ............................................. 192
PRELIMINARES
Secuencia didác ca 1. De las razones a las funciones trigonométricas ................................................ 194
Secuencia didác ca 2. Iden dades trigonométricas ............................................................................ 210
VI
BLOQUE
Triángulos oblicuángulos ................................................ 226
Secuencia didác ca 1. Ley de senos .................................................................................................... 228
Secuencia didác ca 2. Ley de cosenos ................................................................................................ 240
Referencias ............................................................................................................................................ 264

BLOQUE
Secuencia didác ca 1
Elementos básicos de la geometría plana y
ángulos.
De manera individual responde los siguientes reac vos en tu cuaderno y muestra los resultados a tu
profesor.
I. Con tus propias palabras de ne los siguientes conceptos:
1. Punto: _____________________________________________________________________
2. Recta: _____________________________________________________________________
3. Plano: _____________________________________________________________________
16
4. Ángulo: ____________________________________________________________________
MATEMÁTICAS II
5. Triángulo: ___________________________________________________________________
II. Encuentra el valor de x para las siguientes ecuaciones:
1. (3x – 2) + (5x – 4) = 100

2. 4(5x – 5) = 180
3. (7x – 2) + (8x – 2) = 360
4. (2x – 5) +3(3x + 8) =100
5. 6(3x + 1) + 2(8x – 1)=180
III. Encuentra el valor de la incógnita:
1.
2.
3.
4.
5.
C o le g io de B ac hi lle re s d e l E s tado de Sono ra

Antecedentes históricos de la geometría plana
Es innegable que desde la prehistoria el hombre u lizó las formas geométricas para la solución de diversos
problemas, la geometría plana surge de la necesidad de estandarizar dichas di cultades que incluían
determinar longitudes, áreas y volúmenes de formas geométricas, la nalidad era la de determinar una
repar ción equita va de parcelas, cobro de impuestos, cálculo de producción de cul vos, entre otros, a
con nuación, se presentan algunos antecedentes.
Babilonios (3500 a. C.)

● Inventan la rueda.
● Dividen la circunferencia en 360 partes.
Egipcios (200 a. C.)

● Emplean la geometría para construir pirámides.
● Calcularon longitudes y áreas de ciertas guras geométricas y volúmenes de poliedros.
Griegos (640 a. C.)

● Tales de Mileto. Entre varios hallazgos demostró la igualdad de los ángulos del triángulo isósceles
e introdujo la geometría entre los lósofos griegos.
● Pitágoras de Samos. Demostró el teorema que lleva su nombre y la propiedad de la suma de los 17
ángulos internos de un triángulo.
● Euclides de Alejandría. Escribió la obra cumbre de la geometría llamada “Elementos” considerada
BLOQUE I. Ángulos y triángulos

la base de la geometría elemental (llamada Geometría Euclidiana).
● Arquímedes de Siracusa. Descubrió diversas formas de medir super cies curvas, así como áreas
y volúmenes de varias guras curvas. Inventó un método para calcular el valor aproximado de π.
Elementos básicos de geometría analí ca
La geometría plana parte de tres conceptos primarios: el punto, la línea y el plano; los cuales se de nen de
manera intui va para lograr comprenderlos.
El punto carece de longitud, área o volumen, la idea del punto está caracterizada por la huella que deja en
el papel la punta a lada de un lápiz al ser presionada sobre una hoja de papel. Los puntos se denotan con
letras mayúsculas, por ejemplo la distancia entre punto A y punto B.
Figura 1.1 Representación grá ca del punto

La línea posee sólo una dimensión que es la longitud, carece de área o volumen, las líneas pueden ser
rectas, curvas o una combinación de ambas. La línea es representada por dos letras mayúsculas.
Figura 1.2 Representación grá ca de la línea AB y CD
El plano es una gura geométrica formada por dos dimensiones, la idea de plano o super cie es dada por
una pared o por la cara de una hoja de tu cuaderno.
18
Figura 1.3 Representación grá ca del plano ABC
MATEMÁTICAS II
La geometría plana estudia los elementos que se encuentran sobre un plano, con base en los elementos
descritos (punto, línea y plano) de niremos las guras geométricas:
Puntos colineales: son puntos ubicados en la misma línea recta.
Figura 1.4 Representación de puntos colineales
Puntos coplanares: son puntos ubicados sobre el mismo plano.
Figura 1.5 Representación de puntos coplanares

Rectas paralelas: son rectas que se encuentran en el mismo plano, pero no se intersectan.
Figura 1.6 Representación de rectas paralelas
Rectas intersecantes: son dos rectas que enen un punto en común.
19

Figura 1.7 Representación de rectas intersecantes
Rectas concurrentes: son 3 o más rectas con un punto en común.
Figura 1.8 Representación de rectas concurrentes

Segmento de recta: en una recta, es la parte comprendida entre dos puntos.
Figura 1.9 Representación de segmento de recta
Semirecta o rayo: es una trayectoria in nita en una sola dirección acotada de un extremo.
Figura 1.10 Representación de una semirrecta o rayo
Ángulo: es la abertura formada por dos rayos que enen un origen en común llamado vér ce.
20
MATEMÁTICAS II
Figura 1.11 Representación del ángulo
Ángulos en el plano
Los ángulos se representan con el símbolo y se puede escribir de las siguientes formas:
● Mediante 3 letras mayúsculas.
Figura 1.12 El ángulo con vér ce en el punto B se nombra , correspondiendo la letra central al vér ce.

● Con la letra mayúscula que corresponde al vér ce.
Figura 1.13 El ángulo con vér ce en el punto B se nombra
● Por medio de una letra griega en el interior del ángulo.
Figura 1.14 Ángulo
Medición de ángulos
Para determinar la magnitud de los ángulos se u lizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular.
21
● La unidad de medida en el sistema sexagesimal son los grados, minutos y segundos y se denota
de la siguiente manera:

● Grados °
● Minutos ´
● Segundos “
Si el ángulo se presenta en notación decimal u liza la calculadora para realizar la conversión a

sexagesimal. En la gura se muestra la tecla para realizar conversión ( ° ´ “).
Figura 1.15 Tecla para conver r de sistema decimal a sexagesimal y viceversa
● La unidad de medida del sistema circular son los radianes, de nidos como el ángulo central que
sub ende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Para conver r de sistema sexagesimal a circular y viceversa se presentan las siguientes proporciones:
Ejemplo 1:
Expresar en radianes la medida del ángulo que se muestra a con nuación:
Al conver r grados a radianes se u liza la fórmula:
22
MATEMÁTICAS II
Comprobación:
Ejemplo 2:
Conver r un ángulo de 4.5 radianes en sistema circular a grados en sistema sexagesimal:
Ahora, se realiza la conversión de radianes a grados por lo que se u liza:

Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=ew188f6LTGI
h ps://www.youtube.com/watch?v=seR9VVW4DaI
h ps://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
1
Realiza individualmente la siguiente ac vidad en tu cuaderno, anotando los procedimientos para
presentarlos a tu profesor.
I. Expresa en radianes los siguientes ángulos y dibuja la representación grá ca en cada caso, u lizando
un transportador:
a) 35°
b) 270° 23
c) 110°
d) 145°
e) 312°

II. Convierte a grados los siguientes ángulos y dibuja la representación grá ca en cada caso, u lizando
un transportador:
a) 2 radianes
b) 2 radianes
c) 5 radianes
d) 1.79 radianes
e) 0.75 radianes
Clasi cación de los ángulos
A con nuación, se presentan las formas en las que se pueden clasi car los ángulos:
● Según su medida.
● Por la suma de sus medidas.
● Por la posición de sus lados.
● Por su posición entre dos paralelas y una transversal.
Clasi cación de los ángulos según su medida
De acuerdo con la medida del ángulo, se clasi can en las siguientes categorías:
● Agudo: es mayor a 0°, pero menor a 90°.
● Recto: mide 90°.
● Obtuso: mide más de 90° pero menos de 180°.
● Llano: mide 180°.
● Cóncavo o Entrante: mide más de 180°, pero menos de 360°.
● Perígono: mide 360°.
2
En equipo realicen en sus cuadernos la representación grá ca de dos ejemplos de cada categoría
de la clasi cación de los ángulos según su medida.
Clasi cación de los ángulos según la suma de sus medidas
Con relación a la suma de las medidas de dos ángulos, se establece la siguiente clasi cación:
● Complementarios: cuando la suma de sus medidas es igual a 90°.
● Suplementarios: cuando la suma de sus medidas es igual a 180°.
● Conjugados: cuando la suma de sus medidas es igual a 360°.
Ejemplo 1:
Encontrar los ángulos complementarios ∠ABC y ∠CBA si ∠ABC = (4x + 5)° y ∠CBA = (3x − 13)°.
Como son ángulos complementarios la suma debe ser igual a 90°, por lo tanto:
24 ∠ABC + ∠CBD= 90°
Se sus tuye el valor de cada ángulo, quedando:
MATEMÁTICAS II
(4x + 5)° + (3x − 13)°= 90°

Se determina el valor de x:
4x + 5 + 3x − 13= 90
7x − 8= 90
7x= 90 + 8
7x = 98
98
x=
7
x= 14
Al sus tuir el valor de x en cada ángulo se ob ene:
∠ABC = (4x + 5)°
∠ABC = 4(14) + 5
∠ABC = 56+5
∠ABC = 61°
∠CBD = (3x − 13)°
∠CBD = 3(14) − 13
∠CBD = 42 − 13
∠CBD = 29°
Ejemplo 2:
Dados los ángulos suplementarios ∠α = (5x − 14)° y ∠β = (3x + 10)°. Determina el valor del ángulo ∠β.
Como los ángulos son suplementarios, la suma de ∠α+∠β=180°, por lo tanto:

5x − 14 + 3x +10 = 180
Después, encontramos el valor de x:

8x − 4 = 180
8x = 180 + 4
8x = 184
184
x=
8 25
x = 23

Por úl mo, encontramos el valor del ángulo ∠β:
∠β = (3x + 10)°
∠β = [3(23) + 10]°
∠β = (69 + 10)°
∠β = 79°
Si deseamos determinar el ángulo
∠α + ∠β = 180°
∠α = 180° − ∠β
∠α = 180° − 79°
∠α = 101°
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=admf0PGYBgs
h ps://www.youtube.com/watch?v=Y2BjSS2JghA
3
Encuentra los siguientes ángulos que se piden y su representación grá ca. Anota los procedimientos
en tu cuaderno y muéstralos a tu profesor para que haga una retroalimentación.
I. Considera que los ángulos ∠A y ∠B son suplementarios y que ∠A = (8x − 25)° y el ∠B = (7x + 10)°.
Encuentra la medida del ángulo ∠B.
II. Halla la medida del ángulo α = (5x + 7)°, si es el conjugado del ángulo β = (2x − 2)°.
III. Determina el ángulo ∠ABC = (12x)°, si su ángulo complementario es ∠DAB = (4x − 10)°.
IV. Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = (13x − 5)° y B = (2x − 10)°. Encuentra los
valores para los ángulos A y B respec vamente.
V. Dados los ángulos suplementarios ABC = (8x + 3)° y DBC = (4x − 9)°. Determina el valor del
ángulo ABC.
VI. Determina los ángulos solicitados en la tabla, tomando en cuenta sólo ángulos posi vos y
presentados en la notación (° ´ ”)
26 Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

78.14°
MATEMÁTICAS II
127.35°
300.58°
7.12°
95.48°
Clasi cación de los ángulos según la posición de sus lados
Dependiendo de la posición de sus lados, los ángulos se pueden clasificar en:
• Adyacentes: cuando enen un mismo vér ce y lado en común.
Figura 1.16 Los ángulos ∠BAC y ∠CAD son adyacentes

• Adyacentes formando un par lineal: cuando son adyacentes y los lados no comunes forman un
ángulo de 180°.
Figura 1.17 Los ángulos ∠BAC y ∠CAD forman un par lineal
Los ángulos ∠BAC y ∠CAD suman 180°.
• Opuestos por el vér ce: cuando dos rectas se intersecan, los ángulos que se forman y no son
adyacentes se les denomina opuestos por el vér ce.
27

Figura 1.18 Los ángulos ∠1 y ∠3 y los ángulos ∠2 y ∠4 son opuestos por el vér ce
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, por lo tanto:
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
Ejemplo 1:
Encuentra la medida de los ángulos ∠ACD y ∠DCB, si su medida es:

∠ACD = [5(2x + 3)]° y ∠DCB =[ 2(3x − 5)]°
Como los ángulos ∠ACD y ∠DCB son adyacentes y forman un par lineal:
∠ACD + ∠DCB = 180°

[4(2x − 3)]° + [2(3x + 5)]° = 180°
8x − 12 + 6x + 10 = 180
Encontramos en valor de x:
14x − 2 = 180
14x = 180 + 2
14x = 182
182
x=
14
x = 13
Sus tuimos el valor de x en el ángulo ∠ACD:
∠ACD = [4(2x − 3)]°

∠ACD = (8x − 12)°
∠ACD = [8(13) − 12]°
∠ACD = [104 − 12]°
28 ∠ACD = 92°
Como los ángulos ∠ACD y ∠DCB son adyacentes y forman un par lineal:
MATEMÁTICAS II
∠ACD + ∠DCB = 180°

∠DCB = 180°− ∠ACD
∠DCB = 180°− 92°
∠DCB = 88°
Ejemplo 2:
Encuentra la medida de los ángulos ∠GAH y ∠JAI que se muestran en la siguiente figura, si
∠GAH =(6x−20)° y ∠JAI = (3x + 40)°:

Como los ángulos ∠GAH y ∠JAI son opuestos por el vértice, entonces:
∠GAH = ∠JAI
6x − 20 = 3x + 40
Encontramos el valor de x:
6x − 3x = 40 + 20
3x = 60
60
x=
3
x = 20
Sustituyendo el valor de x:
∠GAH = 6x − 2
∠GAH = 6(20) − 2
∠GAH = 120 − 2
∠GAH = 118°
Como los ángulos ∠GAH y ∠JAI son opuestos por el vértice, entonces:
∠GAH = ∠JAI
∠JAI =118°
29
Para saber más...

h ps://www.youtube.com/watch?v=Um_fq7NlJso
3
Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno anotando los procedimientos que u lizaste para su
resolución.
I. Encuentra el valor de los ángulos ∠GAJ y ∠HAI, si ∠GAJ = (3x − 15)° y ∠HAI = (2x + 15).
II. Determina la medida de los ángulos α y β, dados α = 4x + 2 β = 5x − 20
III. Halla el ángulo ACD, si ACD = 3(2x + 4) y DCB = 6(3x − 8).
IV. Encuentra el valor del ángulo ∠BAC en la siguiente gura.
30
MATEMÁTICAS II
V. Halla en valor del ángulo ∠1 y ∠3, si los ángulos ∠4 = (3x − 1)° y el ∠2 = 49°.

Clasi cación de los ángulos por su posición entre dos paralelas y una transversal
En la figura 1.18 se muestran dos líneas paralelas cuando se intersecan por una recta transversal se forman
8 ángulos y se denominan de la siguiente manera.
• Ángulos externos: son los que se visualizan en la parte externa de las rectas paralelas y
corresponden a los ángulos ∠1, ∠2, ∠7 y ∠8.
• Ángulos internos: son los ángulos que quedan dentro de las líneas paralelas y son ∠3, ∠4, ∠5 y
∠6.
• Ángulos alternos externos: es la pareja de ángulos externos que se encuentran en diferente lado
de la transversal y poseen la misma magnitud, en la gura 1.18 son los ángulos ∠1 y ∠8, así como
el ∠2 y ∠7.
• Ángulos alternos internos: es la pareja de ángulos internos que se encuentran en diferente lado
de la transversal y poseen la misma magnitud, en la gura 1.18 son los ángulos ∠3 y ∠6, así como
el ∠4 y ∠5.
• Ángulos correspondientes: es la pareja de ángulos que se encuentra por el mismo lado de la

transversal, unocorrespondeal internoyelotro alexterno. Enla gurason ángulos correspondientes
∠1 y ∠5, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, ∠4 y ∠8.
31
Figura 1.19 Ángulos entre dos paralelas y una transversal

Ejemplo 3:
Encuentra el valor de los 8 ángulos formados por la recta transversal que corta dos líneas paralelas, tal
como se muestra en la figura, tomando en cuenta que el ángulo ∠2 = (4x + 25)° y el ángulo ∠7 = (7x − 11)°.
Los ángulos ∠2 y ∠7 son alternos externos, por lo que tienen la misma amplitud:
32 ∠2 = ∠7
(4x + 25)° = (7x − 11)°
MATEMÁTICAS II
Encontramos el valor de x:
4x + 25 = 7x − 11
4x − 7x = −11 −25
−3x = −36
-36
x=
-3
x = 12
Se determina la medida del ángulo ∠2:

∠2 = (4x + 25)°
∠2 = [4(12)+25]°
∠2 = (48 + 25)°
∠2 = 73°
Los ángulos ∠1 y ∠2 son ángulos adyacentes formando par lineal:
∠1 + ∠2 = 180°
∠1 + 73° = 180°
∠1 = 180° − 73°
∠1 = 107°

Determinamos la medida por sus ángulos alternos externos:
∠1 = ∠8 = 107°
∠2 = ∠7 = 73°
Determinamos los ángulos faltantes por sus ángulos correspondientes:
∠1 = ∠5 = 107°
∠2 = ∠6 = 73°
∠4 = ∠8 = 107°
∠3 = ∠7 = 73°
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=m1WcxcDlNAY
h ps://www.youtube.com/watch?v=-oXpnNQJ3aI
2 33
Reúnanse en equipo de cuatro integrantes y resuelvan la ac vidad en el cuaderno, anotando los

procedimientos que siguieron para la resolución de los reac vos.
Encuentra el valor de los 8 ángulos formados por la recta transversal que corta dos líneas paralelas,
tal como se muestra en las siguientes guras.
3
De manera individual realiza en cuaderno los siguientes reac vos anotando el procedimiento que
u lizaste para su resolución.
I. Determina todos los ángulos que se forman con las intersecciones de las líneas:
34
MATEMÁTICAS II

35
Triángulos
Responde los siguientes reac vos en tu cuaderno y muestra los resultados a tu profesor.
I. Determina la medida de los ángulos suplementarios:
36
MATEMÁTICAS II
II. Encuentra el valor de x en cada ecuación lineal:
1. 5x + 3 = 180
2. 7x + 4x − 2 = 360
3. 8x + 5 = 3x + 100
4. 4x + 5−(3x + 4) = 270
5. 10x −5−2(3x + 1) = 180
III. Encuentra el valor de x en cada ecuación cuadrá ca:
1. x² = 25 + 16
2. 144 − x² = 80
3. x² − 121 = 23
4. x² + 49 = 218
5. 16 + 180 = x²
Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados, los puntos donde estos se cortan son llamados vér ces, para
representarlos se u liza el símbolo Δ, estos se clasi can:
• Según sus ángulos.

• Según la medida de sus lados.
Clasi cación de los triángulos según sus ángulos
Según la medida de sus ángulos internos, los triángulos se clasi can en:
• Acutángulos: son los triángulos cuyos 3 ángulos internos son agudos.

• Rectángulos: son aquellos triángulos que ene un ángulo recto.
• Obtusángulos: son aquellos que enen un ángulo obtuso.
37

Figura 1.20 Clasi cación de los triángulos según sus ángulos
Clasi cación de los triángulos según la medida de sus lados

• Triángulo equilátero: Es aquel cuyos lados enen la misma longitud.
• Triángulo isósceles: Es el triángulo que ene dos lados congruentes (iguales).
• Triángulo escaleno: Son aquellos que enen los tres lados de diferente longitud.
Figura 1.21 Clasi cación de los triángulos según la medida de sus lados
Propiedades de los triángulos
Son enlistadas sólo tres propiedades de los triángulos que están relacionadas con los ángulos interiores y
exteriores.
● La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°
Figura 1.22 La suma de ángulos internos es igual a 180°
● La suma de las medidas de los tres ángulos externos de un triángulo es igual a 360°
α + β + θ = 360°
38
MATEMÁTICAS II
Figura 1.23 La suma de ángulos internos es igual a 180°
● La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos
no adyacentes a aquél.
∠1 = ∠2 + ∠3
Figura 1.24 El ángulo externo es igual a la suma de ángulos internos no adyacentes.

Ejemplo 1:
Determina el valor del ángulo β en la siguiente gura:
Primero, se u liza la propiedad 3. “La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de
los dos ángulos internos no adyacentes a aquél”.
∠β = ∠α + ∠θ
120 = (2x + 20) + (3x − 10)
5x + 10 = 120
5x = 120 − 10
5x = 110
39
110
x=
5
x = 22

Una vez que se encuentra el valor de x, se determina la medida de los ángulos internos.
α = 2x + 20
α = 2(22) + 20
α = 44 + 20
α = 64
θ = 3x − 10
θ = 3(22) − 10
θ = 66 − 10
θ = 56
Por úl mo se aplica la propiedad 1, “La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es
igual a 180°”.
∠β +∠α + ∠θ = 180
∠β = 180 − ∠α − ∠θ
∠β = 180° − 64° − 56°
∠β = 60°
Ejemplo 2:
Encuentra el valor de los ángulos ∠2 y ∠3 de la siguiente gura.
Primero, se u liza la propiedad 1, “La suma de las medidas de los tres ángulos externos de un triángulo
es igual a 360°”.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°
125° + (2x + 15) + (4x + 25) = 360°
6x + 165 = 360°
6x = 360 − 165
40
6x = 195
MATEMÁTICAS II
195
x=
6
x = 32.5
Se sustituye el valor de x en cada ángulo:

∠2 = 2x + 15
∠2 = 2(32.5) + 15
∠2 = 65 + 15
∠2 = 80
∠3 = 4x + 25
∠3 = 4(32.5) + 15
∠3 = 130 + 15
∠3 = 145
Para saber más...

h ps://www.youtube.com/watch?v=RIIx0r3V7Yw
h ps://www.youtube.com/watch?v=H11UYdS_-N0

1
Realiza los cálculos en tu cuaderno y preséntalos a tu profesor para que haga una retroalimentación
sobre tu desempeño.
Encuentra el valor de los ángulos faltantes:
41

Rectas y puntos notables en el triángulo
En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables
más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las siguientes:
• Bisectriz e incentro: se llama bisectriz de un ángulo a la línea recta que divide en dos ángulos
iguales, el punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo es llamado incentro. El
incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Figura 1.25 Bisectriz e incentro

• Alturas y ortocentro: se llama altura de un triángulo al segmento perpendicular trazado desde
un vér ce hasta el lado opuesto o hasta la prolongación de dicho lado, las alturas del triángulo
concurren en un punto llamado ortocentro. El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo
si este es acutángulo; coincide con el vér ce del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el
exterior del triángulo si es obtusángulo.
Figura 1.26 Alturas y ortocentro

• Mediatriz y circuncentro: se denomina mediatriz de un lado de un triángulo a la recta
perpendicular que pasa por el punto medio de este, el punto donde se cortan estas mediatrices se
llama circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya
que equidista de sus tres vér ces.
42
MATEMÁTICAS II
Figura 1.27 Mediatriz y circuncentro

• Medianas y baricentro: se llama mediana al segmento de recta trazado de un vér ce de un
triángulo al punto medio de su lado opuesto, cada triángulo ene tres medianas que se cortan en
un punto llamado baricentro. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento
que une al baricentro con vér ce mide el doble que el segmento que une al baricentro con el
punto medio del lado opuesto.
Figura 1.28 Medianas y baricentro

2
En tu cuaderno determina las rectas y puntos notables del siguiente triángulo, recuerda hacer un
dibujo por rectas y punto notable.
Congruencia de triángulos
43
Se dice que dos triángulos son congruentes si ambos enen la misma forma y el mismo tamaño, es decir,
que sus ángulos y lados correspondientes sean congruentes, su representación es mediante el símbolo ≅.

Criterios de congruencia de triángulos
Para demostrar que dos triángulos son congruentes, no es necesario comprobar los seis elementos de la
gura 1.28, sólo se necesita cumplir con alguno de los tres criterios siguientes:
• LAL: Lado – Lado – Lado

• LAL: Lado – Ángulo – Lado
• ALA: Ángulo – Lado – Ángulo
Figura 1.29 Congruencia de triángulos

Ejemplo 1:
Determina si el ΔACE ≅ ΔBCD , siendo C el punto medio del segmento AB y el ∠D ≅ ∠E . U lizando los
criterios de congruencia.
Los ángulos ACE y BCD son congruentes, dado que son opuestos por el vér ce, el punto C es el punto
medio del segmento AB, entonces el segmento AC es congruente con el segmento CB y u lizando que
∠D ≅ ∠E.
∠D ≅ ∠E ÁNGULO
AC ≅ BC LADO
∠ACE ≅ ∠BCD ÁNGULO
Ejemplo 2:
44
En la siguiente gura el segmento AD ≅ DB, además AC ≅ CB, ¿qué criterio determina la congruencia de
MATEMÁTICAS II
estos triángulos?
El criterio que de ne la congruencia de estos triángulos es LLL, ya que el segmento CD es lado para cada
uno de los triángulos, además AD ≅ DB, AC ≅ CB.
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4
h ps://www.youtube.com/watch?v=eYvnh35p05Q

Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes y las medidas de sus lados son proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Ya han sido determinados los criterios para de nir si dos triángulos son congruentes, a con nuación, se
de nen los criterios de semejanza:
• AA: Ángulo – Ángulo
Figura 1.29 Criterio AA de semejanza de triángulos
• LLL: Lado – Lado – Lado

45
Figura 1.30 Criterio LLL de semejanza de triángulos BLOQUE I. Ángulos y triángulos
• LAL: Lado – Ángulo – Lado
Figura 1.31 Criterio LAL de semejanza de triángulos

Encuentra el valor de x de la siguiente gura.
Se puede observar que los ángulos son iguales a 110°.
Ahora, se determina si son proporcionales las medidas de los lados AC y PR y los lados BC y QR.
QR 20
= =4
BC 5
PR 24
= =4
AC 6
U lizando el criterio de semejanza LAL comprobamos que el ΔABC ≅ ΔPQR

46 Por lo tanto:
PQ
MATEMÁTICAS II
=2
AB
x
=2
9
x = 2(9)
x = 18
Ejemplo 2:
Calcular el valor de x en la siguiente gura.

U lizando el criterio ALA los ángulos α ≅ β y ambos enen un ángulo recto. Se determina la razón de
proporcionalidad de los lados AD y BE.
AD 4
= =2
EB 2
Al ser congruentes entonces:
AC
=2
CB
6
=2
x
6 = 2x
6
x=
2
x=3
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=nO58sj9bkAI
h ps://www.youtube.com/watch?v=jJJVb3zkI0k
47

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios u lizando los criterios de congruencia y semejanza
de triángulos para determinar el valor de las incógnitas.
Teorema de Tales
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se ob enen dos triángulos
semejantes.
Figura 1.32 Si DE || AB, entonces ΔCDE ≅ ΔCAB.
De la gura 1.33 podemos determinar lo siguiente:
48
MATEMÁTICAS II
Figura 1.33 Teorema de Tales
AF 44 11
= =
AD 48 12
FC 33 11
= =
DB 36 12
Por lo tanto:
AF FC
≅
AD DB
Además:
∠D ≅ ∠B
∠F ≅ ∠C
U lizando los criterios de semejanza Ángulo – Ángulo, los triángulos ΔABC y ΔAFD son semejantes.

Ejemplo 1:
Considere que los segmentos de recta FD || AB, encontrar el valor de x.
9 6
=
12 x
9x
=6
12
9x = 6(12)
72
x=
9
x=8
Ejemplo 2:
Encuentra el valor de x en la siguiente gura:
49

Sabemos que los triángulos ΔACB y ΔFDB son semejantes dado que los segmentos AC y FD son paralelos,
entonces:
x 9
=
20 15
20(9)
x=
15
x = 12
Para saber más

h ps://www.youtube.com/watch?v=JGyYSzhCxFA
h ps://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58
4
Resuelve en tu cuaderno los siguientes reac vos anotando el procedimiento que u lizaste para
llegar al resultado.
Encuentra el valor de x en los siguientes triángulos:
50
MATEMÁTICAS II

Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c² = a² + b²
51
Figura 1.34 Teorema de Pitágoras

Ejemplo 1:
Determina la longitud de la hipotenusa, dada la siguiente gura:
Se aplica el teorema de Pitágoras, ya que ene un ángulo recto.
c² = a² + b²
Se despeja la hipotenusa:
c = √a² + b²
Se sus tuyen los valores del triángulo:

Ejemplo 2:
Encontrar la altura del triángulo isósceles mostrado en la siguiente gura:
Primero, trazamos la bisectriz para formar dos triángulos rectángulos congruentes de base 5:
52
Se u liza el teorema de Pitágoras:
MATEMÁTICAS II
c² = a² + b²
Se despeja el cateto a:
a² = c² − b²
Se sus tuyen los valores del triángulo:
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=2y EAt2ew0
h ps://www.youtube.com/watch?v=CJ8bpjhwA2k

5
Realiza en tu cuaderno los procedimientos y la solución, u lizando el teorema de Pitágoras para
encontrar el lado faltante de los siguientes triángulos rectángulos:
53
1.- Lidiar con las di cultades.

Página: 65
En esta sección aplicarás lo aprendido durante el bloque en problemas contextualizados.
6
En tu cuaderno realiza los siguientes reac vos, anotando el procedimiento que te llevo al resultado.
1. Calcula la altura del faro:
3m
54
MATEMÁTICAS II
2. Calcula la altura de un edi cio que proyecta

una sombra de 36 metros en el momento en
que una estaca de 2 m proyecta una sombra de
1.5 metros.
3. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3

metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a
70 cen metros de ésta.

4. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2.5
metros de longitud. Si la distancia desde la parte
más alta del árbol al extremo más alejado de la
sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
5. Un clavadista está entrenando en una

piscina, saltando de una plataforma.
Cuando realiza el salto, cae a una
distancia de 1 metro de la plataforma
sumergiéndose 2.4 metros bajo el agua.
Para salir a la super cie, bucea hasta el
nal de la piscina siguiendo una línea
transversal de 8.8 metros de longitud.
Si la longitud desde la parte superior de
la plataforma al lugar en donde emerge
del agua es de 11.2 metros, ¿cuál es la
altura de la plataforma (desde el nivel 55
del agua)?

6. ¿Cuál es la altura del montón de libros situado
sobre el césped?
7. Observando la escalera que aparece en

el dibujo calcula la longitud de la cuerda
que une los peldaños de la escalera con
su parte posterior.
8. Un parque de diversiones quiere construir
una nueva atracción que consiste en una
rolesa que parte desde la base superior de
una columna con forma cilíndrica. Si la altura
de la columna es de 19 m, calcular la longitud
del cable de la rolesa para que alcance el
suelo a 40 metros de distancia de la columna.
9. La medida que se u liza en los televisores es

la longitud de la diagonal de la pantalla en
unidades de pulgadas. Una pulgada equivale
a 2.54 cen metros. Si David desea comprar
un televisor para colocarlo en un hueco de
96 cm x 79 cm, ¿cuántas pulgadas como
máximo debe tener el televisor?
56
MATEMÁTICAS II
10. Calcula la altura de un edi cio que da una

sombra de 18 m, si un árbol de 4 m da una
sombra de 6 m, según la gura siguiente.

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno con las operaciones necesarias y subraya la respuesta
correcta.
I. Tomando en cuenta la siguiente gura contesta los siguientes reac vos:
1. Son ángulos correspondientes.

58
a) ∠7 y ∠2
MATEMÁTICAS II
b) ∠2 y ∠4
c) ∠1 y ∠5
d) ∠5 y ∠8
2. Son ángulos opuestos por el vér ce.
a) ∠7 y ∠2
b) ∠2 y ∠4
c) ∠1 y ∠5
d) ∠5 y ∠8
3. Son ángulos alternos internos.
a) ∠7 y ∠2
b) ∠2 y ∠4
c) ∠3 y ∠6
d) ∠5 y ∠8
4. Son ángulos alternos externos.
a) ∠7 y ∠2
b) ∠2 y ∠4
c) ∠3 y ∠6
d) ∠5 y ∠8
5. Si ∠1 = (25x)° y ∠6 = (11x)°, el valor de los ángulos ∠3 y ∠5.
a) ∠3 = 125° y ∠ 5= 55°
b) ∠3 = 55° y ∠5 = 125°
c) ∠3 = 155° y ∠5 = 75°
d) ∠3 = 45° y ∠5 = 135°
II. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
1. Determina el valor del lado faltante.
a) 9
59
b) 3

d) 7
2. El segmento de recta ED es paralelo al segmento AB, determina la longitud del segmento DB.
a) 10
b) 4
c) 8
d) 5
3. En los valores 1.5m y 1.20m u lizar punto en vez de coma y quitar el punto decimal al nal de
la letra m.
a) 1.60 m
b) 1 m
c) 0.50 m
d) 1.20 m
4. Determina el valor de x en la siguiente gura.
60
MATEMÁTICAS II
a) 100 m
b) 25 m
c) 200 m
d) 32 m
5. Una cancha de Fútbol ene las siguientes dimensiones: 110 m de largo y 68 m de ancho. ¿Cuál
será la distancia máxima aproximada en línea recta que puede correr un jugador?
a) 129.32 m
b) 145.15 m
c) 101 m
d) 150 m
BLOQUE
Polígonos
Responde lo siguiente:
1. Un ganadero ene un prado cuadrado de 24 m de lado y quiere cercar con tres hileras de alambre
alrededor. Cada metro de alambre cuesta $18.30 ¿Cuánto costará comprar el alambre que
necesita? (Diseña un dibujo de la situación).
2. Un campo de fútbol mide de largo 105 m y de ancho 65 m. Queremos reponer el césped, que
cuesta $254 por metro cuadrado. ¿Cuánto tenemos que pagar?
3. El perímetro de un pentágono regular mide 75.8 m, calcula cuánto mide el lado.
4. ¿Cuántos lados ene un octágono y un pentadecágono, respec vamente?

70
MATEMÁTICAS II
5. ¿Cuántos grados ene una vuelta completa?
6. Nombre que reciben los ángulos interiores de un cuadrado.
7. Coloca el nombre adecuado en los elementos del siguiente polígono relacionando ambas
columnas:
a) Centro
b) Lado
c) Vér ce
d) Ángulo interior
e) Radio
f) Ángulo central
g) Apotema
h) Ángulo exterior

El Museo Soumaya
Fue diseñado por el arquitecto mexicano Fernando Romero, con la asesoría de Ove Arup y Frank Gehry.
Tiene una super cie de 17,000 metros cuadrados. Su estructura está conformada por 28 columnas de
acero curvado de diferentes diámetros y siete anillos o vigas perimetrales que le proporcionan estabilidad.
Tiene una altura de 46 metros.
71
La fachada asimétrica consiste en un armazón envolvente
recubierto por más de 16,000 módulos hexagonales de aluminio
BLOQUE II. Propiedades de los polígonos

plateado sin más aberturas visibles que la puerta de entrada. Los
paneles no se apoyan en el suelo ni se tocan entre sí, por lo que
dan la impresión de otar alrededor del edi cio.
El interior del museo está dividido en seis plantas conectadas por

ascensores y una rampa perimetral en espiral lo que permite el
acceso para sillas de ruedas.
El piso superior es el espacio más amplio del recinto; su techo

ene un centro semitransparente que permite la entrada de luz natural. Esta sala no ene ninguna
columna central lo que favorece el tránsito de los visitantes alrededor de las esculturas.
La obra tuvo un costo aproximado de 47 millones de euros. El es lo del edi cio ha sido comparado con el
Edi cio Selfridges en Birmingham y con el del Museo Guggenheim Bilbao.
Preguntas:
1. ¿Por qué crees que el edi cio del museo está recubierto por hexágonos regulares?
2. ¿A qué crees que se deba su forma exterior y de qué manera consideras que contribuya al hecho
de que el edi cio no ene una columna central?
3. En las construcciones a tu alrededor, ¿qué forma enen los elementos que lo componen (ladrillos,
madera, etc)?
Elementos y clasi cación
De nición de polígono: gura geométrica plana delimitada por al menos tres segmentos de recta, donde
cada segmento es un lado y el punto donde se unen se denominan vér ces.
Un polígono se nombra según sus vér ces. Ejemplo: el primer polígono mostrado a con nuación es el
polígono ABCDE, mientras que el segundo se nombra como IFGH.
Condiciones:
1. Dos lados consecu vos no están sobre la misma recta.

2. Cada lado del polígono intersecta a exactamente otros dos lados del polígono.
3. Los lados del polígono se intersectan en sus extremos.
Los siguientes son polígonos:
72
MATEMÁTICAS II
Los siguientes no lo son ya que no cumplen con las condiciones dadas:

Polígonos regulares: se denominan aquellos que enen todos sus lados la misma longitud y sus ángulos
internos enen la misma medida.
Polígonos irregulares: si incumple las dos reglas de los polígonos regulares.
Triángulo Pentágono Octágono
Regular
Irregular
73

Tabla 2.1
Polígonos cóncavos y convexos
Cóncavo: es aquel que ene al menos uno de sus ángulos internos entrante.
(Ver octágono regular de la tabla 2.1)
Convexo: es aquel que no ene ningún ángulo interno entrante.

(Ver octágono irregular en la tabla 2.1)
1
Reconocer polígonos
En pareja observen las siguientes guras geométricas y marquen con una X las caracterís cas que
correspondan a un polígono. Discutan sobre las razones por las que seleccionaron las caracterís cas
de las guras y en la úl ma columna anoten sus conclusiones, argumentando sus respuestas.
Polígono Regular Cóncavo
Figura Geométrica Argumentación de sus respuestas

Sí No Sí No Sí No
74
MATEMÁTICAS II

Polígono Regular Cóncavo
Figura Geométrica Argumentación de sus respuestas

Sí No Sí No Sí No
75

Nombrar polígonos
Para nombrar polígonos analizaremos la raíz e mológica que se u liza dependiendo de los lados que
enen.
Terminación que
Palabras que indican Palabras para indicar
Conjunción “y “ indica que es un
DECENAS UNIDADES
polígono
1 - Deca 1 - Hená / En
2 - Icosa 2 - Dí / do
3 - Triaconta 3 - Tri
4 - Tetraconta Según la can dad de lados 4 - Tetra

del polígono se nombran
uniendo palabras y se Se u liza la palabra
5 - Pentaconta 5 - Penta
u liza la conjunción Y. gono
6 - Hexaconta kai 6 - Hexa
7 - Heptaconta 7 - Hepta
76
8 - Octaconta 8 - Octa/Octo
MATEMÁTICAS II
9 - Eneaconta 9 - Enea/Nona
Reglas para nombrar polígonos:
Ejemplos: pentágono, hexágono, octágono, etc.

3 al 9 Can dad de unidades + gono También hay polígonos que enen nombres
especiales como el triángulo o el cuadrado.
Ejemplos: tridecágono (13 lados), tetradecágono

10 al 20 Unidades + decenas + gono (14 lados), heptadecágono (17 lados), icoságono
(20 lados).
Ejemplos:
icosakaipentágono (25 lados),
21 al 100 Decenas + kai + Unidades + gono
Hexacontakaioctágono (68 lados)
Octacontakaitrígono (83 lados)

2
Nombrar polígonos
Esta ac vidad consiste en una competencia. Reunidos en equipo seleccionen al primer vocero (será
quien diga el nombre del polígono o la can dad de lados) y el primero en responder correctamente
se lleva el punto. A con nuación, el compañero de la derecha será el segundo vocero y dirá la
cues ón a responder, así sucesivamente hasta completar la tabla a con nuación. El compañero con
más puntos gana la competencia.
Número de lados Nombre del polígono Ganador

7 lados
Octágono
Tetradecágono
18 lados
icosakaitrigono
53 lados
Tetracontakaioctágono
Endecágono 77
31 lados

12 lados
Octacontakainonágono
Heptacontakaipentágono
Elementos de un polígono
Ángulo exterior: ángulo suplementario al ángulo
Vér ce: punto de intersección entre dos lados. interior formado por una extensión de uno de
Lado: segmento de recta que conforman el los lados.
polígono.
Centro: punto equidistante a cada uno de los
vér ces.
Apotema: segmento de recta que une el centro
y el punto medio de un lado.
Radio: segmento de recta que une el centro y
uno de los vér ces.
Diagonal: segmento de recta que une dos
vér ces no con nuos.
Ángulo central: ángulo formado entre dos radios
consecu vos.
Ángulo interior: ángulo formado por dos lados
consecu vos.
3
Elementos de los polígonos
En los siguientes polígonos marca con un lápiz los elementos que se te piden en la columna de la
derecha, a con nuación, toma una regla y transportador y mide tales elementos, escribiendo su
medida en el espacio asignado.
Nombre:
Lado:
Apotema:
Radio:
Diagonal menor:
Diagonal mayor:
Ángulo central:
78
Ángulo interior:
MATEMÁTICAS II
Ángulo exterior:
Nombre:
Lado:
Apotema:
Radio:
Diagonal menor:
Diagonal mayor:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Ángulo exterior:

Nombre:
Lado:
Apotema:
Radio:
Diagonal menor:
Diagonal mayor:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Ángulo exterior:
Nombre:
Lado:
Apotema:
Radio:
79
Diagonal menor:
Diagonal mayor:

Ángulo central:
Ángulo interior:
Ángulo exterior:
Nombre:
Lado:
Apotema:
Radio:
Diagonal menor:
Diagonal mayor:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Ángulo exterior:
Sugerencia: Utiliza la siguiente herramienta digital para comprobar tus
resultados y analizar polígonos con mayor cantidad de lados:
https://www.geogebra.org/m/wg3zneut
Ángulos en un polígono
Ángulo central: es el ángulo formado por dos radios consecu vos.
Se calcula dividiendo 360° entre la can dad de lados:
360�
Central =
No. de lados
● La suma de los ángulos centrales es 360°.
80
MATEMÁTICAS II
Ángulo interior: ángulo formado por dos lados consecu vos.
Existen 3 formas de determinarlo:
1. Se calcula restando el central a 180°
360�
2. interior = 180° -
No. de lados
3. interior = 180�(n-2)
n
● La suma de los ángulos interiores se ob ene con la

ecuación:
◦S interiores = (n - 2) 180°

Ángulo exterior: ángulo suplementario al ángulo
interior, formado por un lado y la extensión de un lado
consecu vo.
exterior = 180° - interior
● La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°
● exterior = central
Diagonales de los polígonos

Diagonales que parten desde un mismo vér ce.
Número de diagonales (d) que

Diagonales que parten de un Número de
Polígono parten de un mismo vér ce
mismo vér ce (Dibujo) lados (n)
d=n-3
81
Pentágono 5 2

Diagonales totales
Número de diagonales totales (D)

Diagonales que parten de un Número de
Polígono n(n-3)
mismo vér ce (Dibujo) lados (n) D=
n
Pentágono 5 5
4
Ángulos y diagonales en los polígonos
Usando las fórmulas analizadas previamente, calcula los datos que solicita la columna de la derecha.
Nombre:
Suma de ángulos centrales:
Suma de ángulos interiores:
Suma de ángulos exteriores:
Diagonales que parten de un vér ce:
Diagonales totales:
Nombre:
82
MATEMÁTICAS II
Diagonales totales:
Nombre:
Diagonales totales:

Nombre:
Diagonales totales:
U liza la siguiente herramienta para que observes el patrón que se forma al trazar las diagonales en
polígonos de 10, 15, 20 o más lados. ¿Puedes determinar en qué po de polígonos ninguna diagonal
cruza por el centro?
Herramienta geogebra: https://www.geogebra.org/m/cVXwaP7m
Geometría fractal
La geometría fractal provee una representación y un modelo matemá co

para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Esta
geometría está revolucionando diferentes áreas de la ciencia, desde la 83
sica, medicina, el procesamiento digital de señales hasta el diseño de
antenas para las telecomunicaciones.

Es así como durante la úl ma década, inves gadores han empezado
a aplicar Fractales para diseños de antenas. Estas podrían parecer
simples juegos geométricos, pero la teoría detrás de ellas, basadas
en las ecuaciones de Maxwell del electromagne smo y la geometría
fractal, es compleja y se encuentra aún en desarrollo.
Fuente: http://www.radiocomunicaciones.net/pdf/antenas_fractales.pdf
Perímetros y Áreas
Perímetro: es la suma de
la longitud de todos sus lados.
Área: es la super cie que encierra el perímetro.

Fórmulas para determinar el área de los polígonos regulares.
Polígono Fórmula
Triángulo A= base x altura

2
Cuadrado A= largo x ancho
Polígonos de 5 o más lados A= perímetro x apotema

2
Con apoyo de una regla, mide los lados de los siguientes polígonos y determina su perímetro y
área. En caso de que la gura sea irregular puedes apoyarte en la cuadrícula del fondo para trazar
líneas de apoyo para fraccionar la gura. Anota tus procedimientos y resultados al lado derecho
de la gura.
84
Perímetro:
MATEMÁTICAS II
Área:
Perímetro:
Área:

Perímetro:
Área:
Perímetro:
Área: 85
Perímetro:
Área:
6
Resueve los siguientes problemas que implican el uso de las propiedades de los polígonos.
1. Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por 63 cm de alto.
¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta $140.5 pesos,
calcula el precio de dicho marco.
2. En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentágono irregular. Los lados miden
respec vamente 45, 39, 29, 17 y 39 metros. ¿Qué longitud ene la valla que lo rodea?
3. Se ene que embaldosar el pa o interior de un edi cio con baldosas cuadradas de 30 cm de lado.
El pa o es rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m. ¿Cuántas baldosas se necesitarán?
86
MATEMÁTICAS II
4. Una vela triangular de una barca se ha estropeado y es necesario sus tuirla por otra. Para
confeccionar la nueva vela nos cobran $420 por metro cuadrado. ¿Cuánto costará esa nueva vela
si debe tener 8 m de alto y 4 m de base?
5. Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa tela cortada en forma de polígono
regular. Calcula la can dad que necesitará para fabricar 36 sombrillas de 10 lados si sabemos que
el lado mide 173 cm y su apotema mide 266.21 cm.
6. La torre de una an gua for cación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de la planta
inferior obteniéndose un resultado de 166.27 m . Si cada una de sus paredes mide 8m de anchura
¿cuánto mide la apotema de la planta de dicha torre?

Poliedros
I. Subraya la respuesta correcta.
1. ¿Cuántas caras posee un hexaedro?
a) 6 caras
b) 5 caras
c) 10 caras
d) 9 caras
2. Selecciona la opción que se re era a un poliedro platónico.
a) Pirámide triangular
b) Dodecaedro 87
c) Esfera
d) Prisma rectangular

3. Calcula el área total de un prisma pentagonal de arista 3 cm, apotema 2.6 cm y una altura de 8 cm.
a) 145.6 cm
b) 358.9 cm
c) 89.55 cm
d) 167.4 cm
4. Determina el volumen del prisma de la pregunta anterior.
a) 374.4 cm
b) 425.5 cm
c) 396.5 cm
d) 289.5 cm
II. Marca con una “x” si la oración es verdadera o falsa y argumenta tu respuesta.
Oración F V Argumentación
1. Un cilindro es un poliedro.
2. En cada vér ce de un poliedro

concurren al menos 3 caras.
3. Una pirámide de base pentagonal es
un poliedro.
4. Un poliedro ene al menos 10 aristas.
5. Una pirámide de base cuadrada es un

poliedro regular.
Museo Louvre en Francia
88
MATEMÁTICAS II
La Pirámide del Louvre (en francés, pyramide du Louvre) es una pirámide de vidrio y metal situada en el
centro del cour Napoléon del Museo del Louvre de París (Francia), que alberga la entrada principal del
museo. Fue inaugurada una primera vez por el presidente de Francia François Mi errand el 4 de marzo de
1988, y una segunda vez el 29 de marzo de 1989.
Encargada por François Mi errand en 1983, la pirámide fue diseñada por el arquitecto sino-estadounidense
Ieoh Ming Pei. La estructura metálica que sos ene el reves miento de vidrio está hecha de acero y aluminio
y pesa 200 toneladas; ene una altura de 21.64 metros sobre una base cuadrada de 35.42 metros de lado.
Está recubierta con 603 rombos y 70 triángulos de vidrio y fue la primera gran construcción que u lizó el
vidrio laminado. La pirámide suscitó una gran controversia cuando se presentó el proyecto en 1984.

De nición de poliedro: Es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra
un volumen nito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en donde se
cortan varias aristas se llaman vér ces.
Los siguientes son ejemplos de poliedros:
De manera individual observa tu entorno y contesta las siguientes preguntas.

89

1. ¿Por qué consideras relevante el estudio de los poliedros?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles son las principales industrias que se preocupan por este análisis matemá co?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. Dibuja en el interior de cada uno de los sigyuientes recuadros, un poliedro que observes en tu
entorno.
Clasi cación de poliedros
Los poliedros se clasi can y se nombran según dis ntos criterios los cuales se mencionan a con nuación:
90 Según el número de caras: Se u lizan los términos provenientes del griego clásico. Tetraedro (4 caras),
pentaedro (5 caras), hexaedro (6 caras), heptaedro (7 caras), etc.
MATEMÁTICAS II
Según su regularidad: Un poliedro regular debe tener sus caras, aristas y ángulos iguales. Sólo existen
cinco cuerpos geométricos que cumplen con estas caracterís cas, se denominan poliedros platónicos, los
cuales se mencionan a con nuación.
En la siguiente tabla la letra “a” especi cada en las caracterís cas representa la medida de la arista.
Caras: 4 triángulos
equiláteros
Aristas: 6
Tetraedro Vér ces: 4
Volumen:

Caras: 6 cuadrados congruentes
Aristas: 12
Hexaedro
Vér ces: 8
Volumen:
Caras: 8 triángulos equiláteros

congruentes
Aristas: 12
Octaedro
Vér ces: 6
Volumen:
Caras: 12 pentágonos regulares

91
congruentes
Aristas: 30

Dodecaedro Vér ces: 20
Volumen =
Caras: 20 triángulos equiláteros

congruentes
Aristas: 30
Icosaedro
Vér ces: 12
Volumen =
Los poliedros irregulares son in nitos, las familias más importantes son:
Prismas
Pirámides
Sólidos de Johnson
92
MATEMÁTICAS II
Sólidos de
Arquímedes
Sólidos de Catalán
Sólidos de Kepler -
Poinsot

Según sus ángulos:
Los poliedros convexos se denominan si dos puntos cualesquiera del poliedro se pueden unir con una
línea que no salga del poliedro. (Ejemplo: Pequeño dodecaedro estrellado)
Los poliedros cóncavos enen un ángulo mayor de 180°. (Ejemplo: Icositetraedro deltoidal)
Según la forma de sus caras:
• -Poliedros de caras regulares: aunque pueden ser polígonos dis ntos y también ser dis ntas
sus aristas. (Ejemplo: Gran dodecaedro)
• -Poliedros de caras uniformes: todas las caras son iguales, aunque no sean regulares. (Ejemplo:
Icosaedro truncado)
Domo geodésico
Un domo geodésico es una sección de una esfera geodésica, su forma está basada en la gura del icosaedro.
La división que se haga de esta gura inicial, determinará la frecuencia de la cúpula. Son estructuras de
gran rendimiento y de gran espacio armónico, dada la ausencia de columnas o pilares.
Al mismo empo, al ser una estructura fractal, se generan grandes resistencias de cargas con can dades
de material muy inferiores a las que se suelen u lizar en la arquitectura tradicional.
93
En nuestros empos, el concepto fue desarrollado por Richard Buckminster Fuller, quien patentó la idea y
las matemá cas del proyecto a mitad del siglo XX, razón por la cual es considerado su inventor.
2
En pareja, realicen una inves gación sobre las siguientes familias de poliedros e inves guen el
método para calcular su área super cial y su volumen, además de los criterios por los que se
considera que pertenece a dicha familia.
Familia de Poliedros Propiedades
Área super cial =
Prismas Volumen =
Caracterís cas =
Área super cial =
94 Pirámides Volumen =
MATEMÁTICAS II
Caracterís cas =
Área super cial =
Sólidos de Johnson Volumen =
Caracterís cas =
Área super cial =
Sólidos de Arquímedes Volumen =
Caracterís cas =

Familia de Poliedros Propiedades
Área super cial =
Sólidos de Catalán Volumen =
Caracterís cas =
Área super cial =
Sólidos de Kepler - Poinsot Volumen =
Caracterís cas =
95

2.- Quitarnos las e quetas que no nos ayudan
Página: 101
En esta sección aplicarás lo aprendido durante el bloque en problemas contextualizados.
3
Resuelve los siguientes problemas y jus ca tu respuesta u lizando la fórmula del área que sea
adecuada para cada situación.
1. Calcular el área total y el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 cm de ancho por
43 de lado con una altura de 42 cm y la altura del prisma es 60 cm. (Realiza un dibujo de dicho
prisma).
2. Calcular el área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuyo lado de la base mide
1.20 m y la altura del prisma es 4 m. (Realiza un dibujo de dicho prisma).
3. Calcular el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular cuya base mide 7.3 cm de lado
96 y 5 cm de apotema, y la altura del prisma mide 14 cm.
MATEMÁTICAS II
4. Calcular el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10
cm, la altura 12 cm y la apotema del poliedro de 13 cm. (Apotema del poliedro es la altura de una
de las caras triangulares).
5. Calcular el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura del prisma es
3.20 m, la apotema del poliedro es 3.26 m, el lado de la base es 0.90 m, la apotema de la base es
0.60 m.
6. Estoy construyendo una piscina de 5.7 metros de largo, 4 metros de ancho y 1.9 metros de alto.
Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 20 cm de lado. ¿Cuántos
azulejos necesitaré si aproximadamente se desperdicia un 10%?
7. Se va a restaurar el lateral y la parte superior de una torre con forma de prisma octogonal de 12 m
de alta. La base es un octógono regular de 3 m de lado y 3.62 metros de apotema. Si la empresa
de restauración cobra $2, 260 por cada metro cuadrado, ¿cuál será el precio de la restauración?
8. Una pirámide egipcia de base cuadrada ene 150 metros de altura y 139 metros de arista de la
base. ¿Cuál es su super cie lateral?

Eje social
Relaciones geométricas elementales

1. Reducción de ángulos por parte del portero u lizando la bisectriz en los ros de un delantero.
97
Indicaciones:

Se coloca un delantero en una parte del terreno de juego, uno de sus compañeros realiza las líneas de
trazado para determinar el ángulo con el que debe patear para poder anotar un gol, tal como se muestra
en la gura siguiente, después se determina la bisectriz del ángulo formado para que el portero se coloque
sobre esa línea para reducir la probabilidad de que el delantero anoté el gol.
Hacer el mismo procedimiento de por lo menos 5 ros y mostrar evidencias del trabajo realizado:
• Fotos
• Trazado de líneas con cuerdas o estambre
• Representación grá ca de la situación
• Determinación del ángulo de ro y su directriz
Determina tus conclusiones sobre la u lización de la geometría plana en el deporte y como puede apoyar
en el mejoramiento de desempeño de un equipo de fútbol.
I. Resuelve los siguientes problemas. Jus ca tu respuesta.
1. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm. ¿Cuál es el área del
triángulo?
a) 389.25 dm
b) 389.25 cm
c) 38.93 dm
d) 38.92 cm
2. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y

30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m .
a) 180 árboles
b) 240 árboles
c) 300 m
d) 36 m
99
3. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada de 25 m
de largo. Calcula el área del jardín y calcula el costo de fer lizar el jardín si la compañía fer lizante

cobra $26.60 por metro cuadrado.
a) $225, 000.80
b) $377, 850.76
c) $581, 875.00
d) $763, 450.00
4. Un jardín rectangular ene dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos
perpendiculares que forman una cruz. Uno ene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área
del jardín.
a) 562.56 m
b) 732.78 m
c) 18.30 dm
d) 704.89 dm
II. Resuelve la siguiente tabla calculando los valores solicitados.
Suma de ángulos Can dad de diagonales Medida del ángulo

Polígono
interiores totales central
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Octágono
III. Resuelve los siguientes problemas.
1. Calcula los metros cuadrados de tela que se necesitan para fabricar una sombrilla con forma de
pirámide dodecagonal de 84 cm de arista de la base y 194 cm de arista lateral.
a) 9.55 m
b) 10.05 m
c) 5.8 m
d) 9.6 m
2. Calcula el área total de un prisma triangular de 55 m de altura y 30 m de arista de la base.

100
a) 5,729.42 m
MATEMÁTICAS II
b) 6,890.00 m
c) 1.7 dm
d) 4,005.75 m
3. Una pizzería ofrece pizzas de varios tamaños y las vende en cajas hexagonales de 39 cm de lado y
4,7 cm de alto. ¿Qué can dad de cartón se necesita para cada caja teniendo en cuenta que la caja
está formada por dos partes compuestas de una base y el lateral?
a) 15, 607.45 cm
b) 10, 102.95 cm
c) 75, 890.00 cm
d) 24,856.87 cm

IV. Completa la siguiente tabla contestando según el conocimiento adquirido en el análisis de este
bloque. Selecciona un poliedro de cada familia y escribe su nombre, alguna aplicación en la vida real
que tenga y un dibujo del mismo.
Familia de poliedros Nombre Aplicación Dibujo
Prisma
Pirámide
Poliedros platónicos
101
Respuestas de autoevaluación

Parte 1
1 B
2 B
3 C
4 A
Parte 2
1 A
2 A
3 B
BLOQUE
Concepto de circunferencia y sus elementos.
Resuelve lo siguiente.
I. Relaciona los conceptos con su de nición:
Concepto De nición
Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la
Círculo
misma distancia del centro
Es una gura plana formada por una línea curva cerrada y su
Circunferencia
interior
II. Calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo correspondiente de los siguientes
ejercicios:
a. Si su radio mide 5 cm.
b. Si el diámetro es de 12 cm.
c. Si el radio son 54 unidades.
110
d. Si el diámetro es de 254 unidades.
MATEMÁTICAS II
III. El área en cm de un círculo es de área de 36 π, ¿cuánto mide el perímetro de la circunferencia

correspondiente?
IV. Si el perímetro del círculo es de 120 π cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia correspondiente?
V. ¿Cuál es la medida del diámetro de una circunferencia si el área de su círculo mide 28.2744 cm2?
VI. Si el radio de una circunferencia se duplica, ¿cuál de las siguientes a rmaciones es correcta?
a. Se duplica su área.
b. El perímetro se triplica.
c. Su área se cuadruplica.
d. Se cuadruplica el perímetro.
VII. Coloca en la siguiente ilustración; y sobre los elementos asociados a la circunferencia, la letra del inciso
que le corresponda.
a. Circunferencia.
b. Radio.
c. Diámetro.
d. Cuerda.
e. Secante.
f. Tangente.
g. Arco.
h. Ángulo central
i. Ángulo inscrito.
j. Ángulo semi-inscrito.
k. Ángulo exterior.
Perímetro de circunferencia y área del círculo correspondiente

111
Pese a ser uno de los inventos más imprescindibles para el desarrollo de la sociedad, no se ene registro
Elementos de la circunferencia
de la persona que ideó la rueda.
De acuerdo a algunos hallazgos, la rueda se empleó por primera vez en Mesopotamia en el año 3.500 a.C.
Otros arqueólogos apuntan a que la primera rueda se usó en la an gua civilización sumeria, alrededor del
año 5.500 a.C. Como resultado del uso del rodillo y el trineo.
Los primeros usos de la rueda se le adjudican a la alfarería, para facilitar el trabajo del artesano, quien,
hasta el momento, usaba manos y pies para mover el torno. Posteriormente, con la inserción de la rueda
BLOQUE III.
en el centro de un eje, se logró mejorar la transmisión del movimiento. Esto cimentó la base para los
nuevos vehículos de transporte.
La evolución de la rueda trajo como principal ventaja una mayor facilidad para el desempeño de
ciertas ac vidades que fueron importantes para cada era de la humanidad; como lo fueron la alfarería,
el transporte de animales y objetos pesados, y el desenvolvimiento de las maquinarias durante las
revoluciones industriales, entre muchas más aplicaciones.
Sin duda alguna el invento de la rueda ha bene ciado a la humanidad en muchos sen dos, durante la
historia. Ninguna civilización industrializada es concebible sin el invento de la rueda.
Sabemos que en la prehistoria con la invención de la rueda se ha logrado muchos avances tecnológicos
que actualmente conocemos, este invento está directamente relacionado con la circunferencia, pero ¿por
qué es importante estudiar la circunferencia?, es simple miremos a nuestro alrededor y en nuestra vida
co diana, podemos observar que nos rodea una in nidad de formas circunferenciales y para que todo
ello se pudiera crear se tuvo que recurrir a aplicaciones de la circunferencia, por ejemplo los CD's que
aunque parezcan piezas ordinarias requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento, por
lo tanto para su fabricación se u lizan las técnicas del radio y del diámetro; también recordemos que
en los relojes que comúnmente se u lizan, se aplica las propiedades de la circunferencia, incluso en los
juegos mecánicos, en los deportes (los campos de fútbol, las canchas de básquetbol, los campos de fútbol
americano) y otro claro ejemplo del uso de las circunferencias es en el transporte (bicicletas, coches,
motos, etc.) que ahora gracias a ellas podemos transportarnos a otros lados.
Recordando un poco lo anterior, decimos que la

circunferencia no solo le compete al área de las matemá cas,
sino que también están presentes en diversos aspectos de
nuestras vidas. Sin embargo, es cierto que la matemá ca
(geometría) ha estudiado ampliamente todo lo relacionado
con la circunferencia, y pues gracias a sus aplicaciones ahora
disfrutamos de sus múl ples bene cios.
Entonces reconociendo la importancia y la u lidad de la

circunferencia, es necesario aprender y entender cuáles son
sus elementos, como se de ne, como se representa en un
plano cartesiano y de cuáles son las diferentes ecuaciones,
que nos serán de gran u lidad para reconocer rápidamente
a la circunferencia y para estudios futuros o simplemente en
nuestra vida co diana.
En esta secuencia se analizará lo que el hombre ha descubierto Ilustración 1. Rueda de carro hallada cerca de
respecto a la circunferencia, sus elementos y las propiedades Susa (actual Irán), datada en el II milenio a. C.; en
112 asociadas a esos elementos, que le han ayudado a hacer el Museo Nacional de Irán.
innovaciones que bene cien su vida co diana.
MATEMÁTICAS II
A par r de la lectura anterior, de la imagen de apoyo y del conocimiento de tu entorno, responde de

manera breve cada uno de los siguientes planteamientos.
1. Según tu perspec va, ¿qué bene cios trajo el invento de la rueda?, menciona tres ejemplos:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
2. ¿Qué bene cios gozas hoy por el invento de la rueda?, menciona tres ejemplos:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

3. ¿Por qué es importante su estudio y qué aplicaciones podría tener?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
4. Menciona 10 ejemplos de la aplicación de la circunferencia en la vida co diana.

__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
5. ¿Qué elementos conoces de la circunferencia?

__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Circunferencia y círculo
De manera formal, una circunferencia se de ne como el lugar geométrico de los puntos del plano
equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.
113
No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad
una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una
super cie).
A con nuación vemos una imagen de una circunferencia.
BLOQUE III.
En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano
todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos
más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.
Elementos básicos:
114
Usualmente en el estudio de la geometría básica se trabaja mucho con circunferencias y círculos, ya que
MATEMÁTICAS II
estos permiten efectuar varias mediciones sencillas.
Además la demostración de varias de sus propiedades elementales son ú les para desarrollar las
habilidades cogni vas.
En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a con nuación:
Centro. Es el punto medio de la circunferencia, ubicado literalmente en el centro de la gura a una distancia
equidistante de todos los demás puntos de la línea trazada que conforma la circunferencia. Sobre el centro
de una circunferencia pueden trazarse in nitas líneas que permiten de nir sus propiedades y delimitar
segmentos para efectuar mediciones de longitud, ángulos o equivalencias.
Radio. Cualquier recta que une algún punto de la circunferencia con su centro será denominada radio, el
elemento básico de cualquier círculo y circunferencia, ya que sirve para calcular otras magnitudes como
la super cie. Aunque pueden trazarse in nitas líneas entre una circunferencia y su centro, todas tendrán
siempre la misma longitud. El cálculo del radio de una circunferencia corresponde a su perímetro dividido
entre 2 pi (radio = perímetro / 2π), es equivalente a la mitad del diámetro.
Diámetro. Es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro es
entonces una línea media que divide a una circunferencia en partes iguales. Puede haber in nitas líneas
de diámetro pero estas siempre medirán lo mismo. El valor del diámetro de una circunferencia es igual al
doble del radio.

Cuerda. Es una línea que une 2 puntos cualesquiera de una circunferencia y no está sujeta a ninguna
condición (como es el caso del diámetro). Dentro de una circunferencia pueden exis r in nitas cuerdas.
Recta secante. Una recta secante es una línea que divide una circunferencia en 2 puntos. A diferencia del
radio, el diámetro o la cuerda, que únicamente tocan la circunferencia, una recta secante la atraviesa más
allá de sus límites “cortándola”. De hecho, la palabra secante viene del la n secare, que signi ca cortar.
Recta tangente. Una línea que, siendo perpendicular al radio, toca la circunferencia en un único punto,
es una recta tangente. Este po de recta se ubica en el exterior de la circunferencia y puede tener una
longitud variable, aunque normalmente no es mayor al diámetro de la circunferencia misma.
Arco. Es el segmento de una circunferencia, producto del trazado de una cuerda. Un arco se compone por
3 puntos: el centro y los 2 lugares donde la cuerda toca la circunferencia.
2
Calculo de las dimensiones de la erra según Eratóstenes
Reúnanse en equipo, lean el texto y analicen con tus compañeros que conocimientos básicos fueron
necesarios para tal conclusión.
115
Unos 1700 años antes de la famosa expedición de Magallanes y Elcano, que tardó más de tres años en
circunnavegar la Tierra para constatar que no es plana, sino redonda, el sabio griego Eratóstenes logró
hacer esa misma comprobación y además es mar su diámetro con un sencillo razonamiento matemá co,
sin salir de la ciudad de Alejandría y con una precisión sorprendente. La potencia de las matemá cas de-
sarrolladas por los griegos clásicos fue la clave para realizar esta hazaña y conseguir medir lo imposible.
Además, supo aplicar conocimientos matemá cos básicos, como el cálculo de la longitud de un arco de
circunferencia, que ahora se estudia en secundaria y preparatoria, para aproximar de forma muy precisa el
radio de la Tierra, solo con instrumentos rudimentarios. En concreto, Eratóstenes observó la sombra que
BLOQUE III.
producían los rayos del Sol durante el sols cio de verano en dos lugares su cientemente alejados uno del
otro: Siena (actualmente la ciudad egipcia de Asuán) y Alejandría, situada al norte de Siena siguiendo el
mismo meridiano.
Eratóstenes par a de un modelo de erra redonda, con forma de esfera, por lo que sabía que la curvatura
de la Tierra provocaría ese efecto. Ideó un método para calcular el diámetro de la esfera con solo dos da-
tos: el ángulo de incidencia del Sol en Alejandría en el Sols cio de verano (que es el mismo que la sección
de circunferencia que de nen las dos ciudades) y la distancia entre ellas. De esta manera, con una sencilla
regla de tres podría calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra. Si el ángulo de incidencia da lugar
a una longitud de arco de circunferencia igual a la distancia entre Alejandría y Siena, entonces a 360 grados
(los de la circunferencia completa) le corresponde la longitud total.
Para calcular el ángulo de incidencia de los rayos del sol en Alejandría en el sols cio de verano tuvo que
emplear nociones de trigonometría, que ya eran conocidas por los matemá cos griegos, aunque usando
métodos muy diferentes a los de ahora. En la terminología actual, ese ángulo de incidencia es el valor de
la arcotangente de la división entre la sombra de un objeto y su altura. Eratóstenes obtuvo el valor cercano
a 7.2 grados.
Para terminar su cálculo necesitaba una es mación su cientemente precisa de la distancia entre las dos
ciudades. La leyenda cuenta que Eratóstenes sabía que un camello tardaba cincuenta días en llegar de
una ciudad a otra, recorriendo unos cien estadios por día, así que es mó la distancia en unos cinco mil
estadios. La precisión de su cálculo es una incógnita, pues el estadio no es una unidad de medida con un
valor claro. Pero si consideramos como medida de un estadio a la correspondiente al estadio egipcio (160
metros), se obtendría una distancia aproximada de 800 km. Sus tuyendo estos valores en la regla de tres
anterior se ob ene una longitud de circunferencia de 40,000 km. Esto supone una excelente aproximación
del valor autén co, que son unos 40.075 km en el Ecuador.
Posteriormente llegó a la conclusión de que la proporción entre el arco de cada circunferencia y el radio
correspondiente, era una constante, y que esa constante era el ángulo α medido en radianes:
La medida del ángulo α en su caso fue 7.2°, equivalente a 0.1256 radianes. Con ese dato y conociendo el
arco formado entre Alejandría y Siena, cuya medida era de 5000 estadios (800 km), calculó el radio (r).
116
De esta manera, podemos decir que el arco L que sub ende un ángulo central α en una circunferencia de
MATEMÁTICAS II
radio r, está dado por la relación L = αr , donde α está medido en radianes.
Para saber más...

h ps://www.youtube.com/watch?v=UeIQnjOEGUY
Conociendo equivalencia de grados a radianes

Reúnete con un compañero para realizar la siguiente ac vidad.
Empecemos por recordar que un ángulo es la abertura que existe entre dos rectas que se intersectan en
un punto en común al que llamamos vér ce. Lo podemos expresar con letras mayúsculas (∠A, ∠ABC),
letras minúsculas (∠a) o letras del alfabeto griego (∠α, ∠β).
Para poder medir la magnitud de un ángulo, se toma como base la circunferencia. Existen dos procedi-
mientos o sistemas con los que puedes obtenerla:

Sistema sexagesimal. Este sistema está basado en una circunferencia dividida en 360 partes llamadas
grados, por ejemplo, 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, etc.
Sistema cíclico. Su unidad fundamental es el radián, que es la longitud del radio de un círculo. Una circun-
ferencia es igual a 2 radianes y se expresa como 2π rad.
De esto, podemos concluir que:
2π = 360°
π = 360°
2
π = 180°
Para conver r los grados a radianes, sólo se ene que mul plicar el ángulo por π/180 y simpli car
el resultado. Prac ca completando la siguiente tabla:
Ángulo en grados Ángulo en radianes
π 270 π 3π
270° (270) ( 180 ) = 180 = 2
117
80°
160°
BLOQUE III.
2π
9
4π
9
75°
Como bien se mencionó una circunferencia ene 360°, y dentro de ella podremos dibujar polígonos regu-
lares circunscritos por ejemplo.
Y por lo tanto el ángulo central α también puede ser expresado en radianes. Para el caso del triángulo
sería: 2π
120º =
118 3
A con nuación se presenta la circunferencia, algunos ángulos en grados y su correspondiente en radianes.
MATEMÁTICAS II

Organizados en binas, o de manera individual, completa la siguiente tabla según los encabezados de cada
columna y según los ejemplos mostrados, después responde a las preguntas planteadas.
Longitud
Dibujo de polígono con L de arco
Ángulo central del polígono
ángulo central y radio de la subtendida
que equivale al ángulo central
Polígono regular circunferencia de r=10 cm por dos radios
de la circunferencia
(este también es el radio que forman el
del polígono) ángulo central
Grados Radianes L=αr
L = (2.094)(10)
Triángulo equilátero 120° 2π
= 2.094
3 20.94
Pentágono
119
Hexágono
Octágono BLOQUE III.
Icoságono
Polígono de 100
lados (hectágono)
Contesta las siguientes preguntas con base a la información que ingresaste en la tabla anterior:
a) ¿Qué sucede con el ángulo central a medida que aumentamos el número de lados del polígono?
b) ¿Cómo varía el ángulo central y su respec va longitud de arco (L), a medida que aumentamos el nú-
mero de lados del polígono?
c) ¿A qué área se aproxima el área del polígono si se incrementa el número de lados?
d) ¿A qué medida de la circunferencia se aproxima la apotema del polígono a medida que aumentamos
su número de lados.
4
Basándote en lo aprendido anteriormente y aplicando lo establecido por Eratóstenes, calcula el arco
subtendido por dos radios de la circunferencia.
Ejercicio Medida del arco

Arco MN =
120
MATEMÁTICAS II
Arco OS=

Arco AB=
5
Organizados en binas, o tercias, resuelvan los siguientes problemas, aplicando las fórmulas para calcular
el área y perímetro de la circunferencia, así como la fórmula establecida por Eratóstenes para calcular 121
la longitud de arco.
1. La rueda de un camión ene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado
100 vueltas?
BLOQUE III.
2. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
3. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de
forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
4. La super cie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1m de lado y dos semicír-
culos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.
5. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos
pequeños miden 2 cm.
6. ¿Cómo harías para saber la longitud del borde de la pizza? Una pizza grande ene 35.5 cm de diámetro
y se puede cortar en 8 o 10 pedazos, el borde representa la circunferencia de la pizza.
7. Las llantas de un carro enen un diámetro aproximado de 46 cm. ¿Qué distancia recorre el carro si
las llantas giran una vez?, ¿Qué distancia recorre el carro luego de que las llantas hayan rotado 2.500
veces?
8. Busca el radio del círculo cuya circunferencia mide 88 cm.
9. Determina el área del círculo si el segmento PS que une dos vér ces del cuadrado inscrito en la cir-
cunferencia mide 8 cm.
122
MATEMÁTICAS II
10. Encuentra el área de la región sombreada de la siguiente gura:

6
Realiza en cuaderno de manera individual la siguiente ac vidad.
1. Dibuja con regla y compás una circunferencia de 3 cm de radio con centro en el punto A y traza sobre
ella los siguientes elementos: un radio, un diámetro, una cuerda y un arco.
2. Observa el siguiente grá co, completa la tabla indicando cuáles de los puntos son interiores, exterio-
res o pertenecen a la circunferencia.
Tipos de punto Letras

Interior
Exterior
Pertenece a la circunferencia
123
3. Calcula la longitud de una circunferencia que ene 20 cm de radio.
4. Calcula la longitud de la circunferencia y de los arcos marcados en azul y rojo, sabiendo que su radio
BLOQUE III.
es 3 cm.
5. Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 180° en una circunferencia de radio 1.
Calcula también las longitudes de los arcos de 30º, 90º y 270º.
6. Calcula el radio de una circunferencia sabiendo que ene un perímetro de 25.13 cm.
7. Calcula el radio de una circunferencia sabiendo que a un ángulo de 60º le corresponde un arco de
10 cm. ¿Y si fuese un ángulo de 203º al que corresponde un arco de 15 cm?
8. Una piscina circular de 4 m de diámetro está rodeada por una acera de 1 m de anchura.
¿Cuál será la longitud de la acera si la medimos exactamente por la mitad de su anchura?
9. Calcula el área de las guras circulares coloreadas. Nota: El radio de las circunferencias exteriores es 2
cm en todos los casos y el de las interiores es 1.2 cm.
124
MATEMÁTICAS II
10. Si el minutero de un reloj mide 4 cm, calcula el área del sector circular que describe esta aguja entre
las 3:20 y las 4:00. Calcula el área del sector que describe en el mismo intervalo de empo la aguja
horaria, que mide 3 cm.
11. Si una circunferencia ene un perímetro de 45 cm y un arco ene longitud de 25 cm ¿qué amplitud
tendrá el ángulo central correspondiente a ese arco?
12. Calcula el área y el perímetro de la gura naranja.

Ángulos en la circunferencia
Lee detenidamente las preguntas y responde en tu libro, libreta o cuaderno lo que se te pide.
1. ¿Qué es un ángulo?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
2. ¿Dibuja una circunferencia y traza tres ángulos cuyos vér ces se encuentren en:
a) El centro de la circunferencia.
b) En la circunferencia.
c) Fuera de la circunferencia y cuyos lados sean tangentes a la circunferencia. 125
3. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia?, jus ca tu respuesta de manera breve.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
4. Determina el área y el perímetro de la circunferencia de radio 15 cm.
5. Completa las siguientes frases u lizando las palabras Centro, Radio, Cuerda, Diámetro, Arco y Semi-
BLOQUE III.
circunferencia.
a) Arco que comprende la mitad de la circunferencia: __________________.
b) Punto interior del que equidistan todos los puntos de la circunferencia: ______________________.
c) Segmentos cuyos extremos son el centro de la circunferencia y cualquier punto de la misma:

________________.
d) Cuerda que con ene al centro de la circunferencia: _______________________.
e) Porción de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos: _______________.
f) Segmentos cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia: _____________________.
6. ¿Se puede trazar la tangente a una circunferencia desde un punto interior? Jus ca tu respuesta.
Propiedades de los diversos pos de ángulos en la circunferencia
En muchas ocasiones se piensa que la geometría no es importante ni ene tanta aplicabilidad en la vida,
pero la verdad es que la geometría está involucrada en cada momento de nuestras vidas y en muchos de
los objetos en nuestro alrededor, ya sea la forma, su tamaño y demás caracterís cas que lo conforman,
además esta es la base de la construcción y el desarrollo que ha tenido a lo largo de la historia de la hu-
manidad.
La importancia de la geometría relacionada con la famosa circunferencia.
Quizás para muchos esta es solo una "línea circular con un centro O". Pero en realidad es mucho más que
eso y en esta secuencia observarás los variados usos de este elemento geométrico para que se compren-
dan mejor.
La circunferencia es uno de los elementos geométricos más importantes del área de geometría. El desa-
rrollo de la circunferencia en la vida co diana ha tenido un sin n de aplicaciones en la evolución y desa-
rrollo de la construcción de la sociedad actual, como ya pudiste observar en la secuencia anterior.
La circunferencia en el uso de la matemá cas y la geometría ha sido sumamente importante para el desa-
rrollo de ges ones de comercio y cálculo. Con el descubrimiento del número pi (π) y su relación al sistema
de circunferencia, logró perfeccionar el uso y op mización de la construcción, transportes, comunicación,
126 música, sistemas de horarios, entre otros, que han optado por basarse en sus diseños.
MATEMÁTICAS II
En esta secuencia profundizaremos en las propiedades de los ángulos relacionados a la circunferencia, así
como su aplicabilidad para la resolución de problemas matemá cos. Por otro lado, fundamentamos las
bases para culminar con éxito los diferentes tópicos que observarás a lo largo del bachillerato.
Así mismo aplicarás lo que aprendiste en la secuencia anterior, sobre los elementos que forman parte
de la circunferencia. Haremos un recordatorio de los elementos del círculo, con la diferencia de que se
presentan como elementos de la circunferencia; además, es incluida la recta tangente a la circunferencia
como un elemento más.
Para este caso el primer ítem se considera completo al escribir los nombres de todos los literales.

De niciones y propiedades de los diversos pos de ángulos en la circunferencia.
Ángulo central. El ángulo central ene su vér ce en el centro de la circunferencia y sus lados son dos
radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito. El ángulo inscrito ene su vér ce en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
127
Ángulo semi-inscrito. El vér ce de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro
tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
BLOQUE III.
Ángulo interior. Su vér ce es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus
lados.
Ángulo exterior.
● Su vér ce es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son secantes a ella.
● Su vér ce es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son uno tangente y
otro secante a ella.
● Su vér ce es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son tangentes a ella.
Ángulo ex-inscrito. El ángulo ex-inscrito ene su vér ce está en la circunferencia y es el ángulo

suplementario al ángulo inscrito.
Mide la mitad del arco que no abarca el ángulo inscrito.
128
MATEMÁTICAS II
Para saber más...

h ps://www.youtube.com/watch?v=gsZedTu2CQE

1
Resuelve los siguientes ejercicios.
I. Observa la propiedad de los ángulos y calcula:
Recordatorios:
En ejercicios de esta secuencia, aparecen en ocasiones triángulos inscritos (dentro) de una circunferencia.
Por lo tanto es per nente recordar de los triángulos que:
● La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

● La medida de todo ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.
129
BLOQUE III.
● Dos ángulos adyacentes suplementarios suman 180º. En la gura anterior γ + δ = 180°
En toda circunferencia se cumple las siguiente:
● Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es el diámetro de ella. Y la divide en dos
partes iguales.
● Todo triángulo dentro de una circunferencia que tenga dos lados coincidentes con un radio, es
isósceles. Y los ángulos interiores, del mismo triángulo, opuestos a dichos lados, son de igual me-
dida entre sí.
Las propiedades anteriores se muestran en la siguiente circunferencia:
● En la circunferencia de abajo, r designa su radio. AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo
tanto es también un diámetro.
● El triángulo AOC es isósceles, pues AO = OC = r. Y sus ángulos interiores, opuestos a dichos lados,
y de igual medida entre sí, están indicados por α.
130 ● Otro punto que destacar rela vo a ángulos al interior de una circunferencia es que, un ángulo
completo es aquel que sub ende un arco que coincide con la propia circunferencia y que, por lo
tanto, mide 360º.
MATEMÁTICAS II
II. Resuelve de manera individual u lizando las de niciones de propiedades de los ángulos de una
circunferencia anteriores y realiza las siguientes ac vidades:
1. Observa las circunferencias y calcula:

b. Para cada caso, deduce la medida del ángulo α.
c. Calcula el ángulo, aplicando la propiedad que dice que el ángulo del centro mide lo mismo que el
arco de circunferencia que sub ende.

2. Dibujar sobre una circunferencia: una cuerda AB que coincida con un diámetro de la circunferencia;
una cuerda CD que toque otros dos puntos de la circunferencia; una recta tangente PT, formando un
ángulo de 90º con un radio OT; una recta secante L que corte a la circunferencia en dos puntos.
131
BLOQUE III.
Lee los siguientes conceptos y responde los ejercicios.
Perímetro de la circunferencia y área del círculo
El Perímetro de la circunferencia, designada comúnmente con la letra P, es la longitud de la línea fronte-

riza que encierra un círculo.
El número Pi, designado con la letra griega π y cuyo valor es π ≈ 3.14 surge del cociente entre el P de una
circunferencia y su diámetro d = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.
La úl ma expresión es la más usada en la literatura matemá ca para calcular el perímetro P de una

circunferencia.
Por otro lado un círculo es una región que ene a una circunferencia como frontera. Es una super cie
interior a la circunferencia y podemos calcular en el área del círculo.
El área A del círculo viene dado por: .
El círculo es una super cie, por lo cual no ene perímetro. El perímetro le corresponde a la circunferencia
que lo limita.
Corona circular
Es la super cie comprendida entre dos circunferencias concéntricas, esto es, que comparten el mismo
centro.
132
Presentamos a con nuación, en la gura siguiente, la forma de toda corona o anillo circular.
MATEMÁTICAS II
Y cuya área se ob ene de la diferencia o resta de las áreas de los dos círculos que lo componen.
ACORONA = πR2 − πr 2 = π(R2 − r2)
En cuanto al perímetro de todo anillo circular, debemos considerar la suma de perímetros de las dos cir-
cunferencias que lo de nen, de radios R y r. Esto es:
PCORONA = 2πR + 2πr = 2π(R + r)

Trapecio circular
Un trapecio circular es una región de un anillo o corona circular, limitado por los lados que determina un
ángulo del centro al interior de un círculo.
El perímetro de un trapecio circular (TC), en la siguiente gura, es dado por:
Donde el perímetro de cada arco es proporcional a la medida del ángulo respecto a los 360º que compo- 133
nen el perímetro 2πR y 2πr de cada una de las circunferencias completas concéntricas de centro O.
El área del trapecio circular es dado por la diferencia de los sectores circulares que determinan los lados
que de nen el ángulo del centro sobre el círculo.
Sector circular
La super cie comprendida entre dos radios y el arco que sub enden entre sí, se denomina sector circular.
BLOQUE III.
En la gura, es la región sombreada.
El área de un sector circular cuyo ángulo del centro o arco mide α, se determina mediante proporcionali-
dad directa. Clasi cando ángulos de la circunferencia completa con α y sus respec vas áreas, como sigue:
Efectuando el producto cruzado y despejando x:
Grados Áreas
360 πr2
α x
Área sector circular = x = α π r

2
360º
En tanto, el perímetro de un sector circular puede obtenerse usando también una proporción, pero lógi-
camente no con el área, sino con el perímetro de una circunferencia.
Grados Áreas
360 2πr
α x
Y el perímetro nal del sector circular de radio r es:
134
MATEMÁTICAS II
2
Organizados en binas, resuelvan los siguientes problemas, aplicando las fórmulas para calcular el
área y perímetro de la circunferencia, corona circular, trapecio circular y sector circular mencionadas
anteriormente.
1. Calcula el área y perímetro de la región sombreada. O es centro de la circunferencia mayor.

2. Calcula el área y perímetro de la región sombreada. En la gura, AB = 12 cm, donde AB es diámetro
de la circunferencia más grande.
3. Calcula el perímetro y área de la siguiente región sombreada: donde, R = 60 cm. AB es diámetro y O

es centro de la circunferencia.
135
4. Calcula en cada una de las siguientes coronas o anillos circulares, el área y perímetro en cm.
BLOQUE III.
a. R=9 y r=5
b. R=5 y r=3
c. R=8 y r=3
5. Calcula el perímetro y área en cm y cm2 respec vamente, de los siguientes trapecios circulares:
a. R=7, r=2 y α=40°

b. R=10, r=4 y α=60°
c. R=8, r=5 y α=85°
6. Calcula en cada uno de los siguientes sectores circulares, el área y perímetro.
a. r=9 cm y α=120°
b. r=3 cm y α=45°
136
MATEMÁTICAS II
7. El triángulo ABC es equilátero. R, S y T son puntos medios de sus lados.

8. En la esquina exterior de una bodega se amarra una oveja mediante una cuerda de 9 metros de
longitud (ver gura). La bodega está rodeada por pasto y la oveja queda atada por un empo que le
permita comer todo el pasto que esté a su alcance. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto puede comer
la oveja?
9. Considerando la siguiente imagen, calcula el área sombreada.
137
BLOQUE III.
10. Un aspersor rocía agua hasta una distancia de 30 pies mientras rota en un ángulo de 135°. Calcule el
área del pa o que recibe agua del aspersor.
Combinación de ejercicios de áreas y perímetros con propiedades de ángulos en
la circunferencia.
Con la combinación de propiedades de ángulos en la circunferencia surgen ejercicios que di cilmente nos
pueden dejar indiferentes. Recordemos algunas de estas propiedades:
a) El ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito. O bien; el ángulo inscrito mide la mitad que
el ángulo del centro.
b) El ángulo del centro sub ende un arco de circunferencia de igual medida que él.
138
MATEMÁTICAS II
c) Los ángulos inscritos que sub enden el mismo ángulo del centro, o arco de circunferencia, son iguales
entre sí y miden la mitad que el ángulo del centro, así como del arco que sub ende. O bien, el ángulo
del centro mide el doble que todos los ángulos inscritos que sub enden el mismo arco que él.

d) Ángulos opuestos suman 180º en todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia.
e) Ángulo interior a una circunferencia. Un ángulo interior a una circunferencia es aquel ángulo forma-
do por dos cuerdas que se cortan, como se muestra en la gura. Y su medida se ob ene mediante la
fórmula:
139
O bien
BLOQUE III.
f) Ángulo exterior a una circunferencia formado por dos secantes. La medida de un ángulo exterior x,
formado por dos secantes PA y PB, se ob ene mediante la fórmula:
3
Organizados en binas, resuelvan los siguientes problemas, aplicando las fórmulas para calcular el
área y perímetro de la circunferencia, corona circular, trapecio circular y sector circular mencionadas
anteriormente.
1. En la gura y es el centro de la circunferencia. Si , entonces el ángulo α mide:
2. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la gura, la medida del ángulo x es:
140
MATEMÁTICAS II
3. En la circunferencia de centro O de la gura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo
AOC?

4. En la circunferencia de centro O, AB y AC son cuerdas. Calcula α.
5. Se ene un nonágono regular (polígono de nueve lados congruentes) inscrito en la circunferencia.

Calcula α, δ y β.
141
6. Calcula los ángulos α, δ y β.
BLOQUE III.
3.- Regular las emociones entrenando la mente.

Página: 154
4
Realiza en cuaderno de manera individual la siguiente ac vidad.
1. Calcula α, sabiendo que AB es el diámetro de la circunferencia.
2. Calcula α
142
MATEMÁTICAS II
3. Di qué po de ángulos son los siguientes respecto de las circunferencias en las que se encuentran.
a) b) c)
d) e) f)

4. Calcula la medida del ángulo central cuando el ángulo inscrito en una circunferencia mide:
a) 25º b) 40º c) 60º d) 75º
5. Calcular los ángulos naranjas de los siguientes círculos:
a) b)
6. Calcular los ángulos naranjas señalados en el siguiente círculo.
143
7. Copia la gura y construye a par r de ella los ángulos inscritos cuyas medidas son las siguientes:
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60°
BLOQUE III.
8. Obtén la medida del ángulo representado en la siguiente circunferencia:
9. Calcula en cada caso la medida del ángulo B:
a) b)
144
MATEMÁTICAS II

Selecciona la opción correcta en cada uno de los siguientes planteamientos:
1. La siguiente imagen muestra una pista de carrera de bicicletas (velódromo) en forma de circunferen-
cia. Si el diámetro de la pista mide 75 metros, ¿cuántos metros recorre una bicicleta que da 45 vueltas
durante una carrera?
a) 3375π metros
b) 15,000 metros
c) 2000π metros
d) 20,000 metros
2. Un ciclista da una vuelta a una pista circular y el velocímetro indica 131.88 metros recorridos. ¿Cuál
es el diámetro de la pista?
146
a) 50 m
MATEMÁTICAS II
b) 42 m
c) 25 m
d) 72 m
3. En el centro de la Ciudad de Hermosillo, Sonora, se encuentra el Parque Infan l que cuenta con una
rueda de la fortuna con 12 góndolas (asientos) y con un diámetro de 8 metros; la longitud de arco que
une a una góndola con la otra mide:
a) 1.047 m
b) 2.094 m
c) 3.4214 m
d) 4.1887 m

4. ¿Cuál es el área de una circunferencia inscrita en un hexágono regular de lado 5 cm?
a) 65.15 cm2
b) 71.05 cm2
c) 58.90 cm2
d) 83.15 cm2
5. En la circunferencia de centro O, AC y BD son diámetros. Si el ángulo DOC mide 80º, ¿cuánto mide
el ángulo ABO?
a) 60°
b) 30°
c) 40°
d) 50° 147
6. En la gura, <BCA = 40° y <CDB = 30º. ¿Cuánto mide el <ABC?
BLOQUE III.
a) 90°
b) 100°
c) 110°
d) 120°
BLOQUE
Razones trigonométricas para ángulos
agudos de un triángulo rectángulo
Contesta los siguientes reac vos:
I. Dibuja en tu cuaderno un plano cartesiano y gra ca los siguientes ángulos:
a) 45°
b) 56°
c) 120°
d) 330°
II. Observa el siguiente triángulo rectángulo y anota la letra que corresponda a la respuesta correcta.
160 β
a) Es el cateto adyacente al ángulo β _________ z
MATEMÁTICAS II
b) Es el cateto opuesto al ángulo β ___________ y

c) Es la hipotenusa _________
x
III. Con ayuda de la calculadora, encuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
a) sen 60° =
b) cos 54° =
c) sec 36° =
d) tan 15° 20´ 16´´ =
IV. Encuentra el valor del ángulo β y del lado “a” del siguiente triángulo rectángulo:
a) Valor del lado a __________ β

b) Medida del ángulo β__________ c= 10
a
b= 8

Unidades de medida de los ángulos
Las unidades de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal son los grados, existe otra unidad de
medida más prác ca, el radián.
¿Qué es un radián?
Un radián (rad) es la amplitud de un ángulo central de una circunferencia cuyos lados comprenden un arco
con longitud igual al radio de la circunferencia.
Existen dos formas de medir los ángulos: 161
La medida en grados para el ángulo correspondiente a una rotación completa en sen do contrario de las
BLOQUE IV. Razones trigonométricas

manecillas del reloj es 360º, y la medida en radianes para el mismo ángulo es 2 π radianes (perímetro de
la circunferencia), por lo tanto 360º = 2 π radianes, o bien, 180º = π radianes.
π 180
1º=
180
radián 1radián =
π )º
La relación entre grado sexagesimal y el radián establece la siguiente razón:
180º = Medida en grados del ángulo

π Medida en radianes del ángulo
Ejemplo 1. Expresar en radianes un ángulo de 90º:
180º = grados
π radianes
180º = 90º
π radianes
π π
= radianes → 90º = radianes
2 2
Ejemplo 2. Expresa en grados un ángulo de 12.85 radianes:
180º = grados
π radianes
180º = grados
π 12.85
180º(12.85) = grados
π
12.85 radianes =736º15´3"
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=seR9VVW4DaI h ps://www.youtube.com/watch?v=L5GNg9a_gSc
1
Convierte los siguientes valores de grados a radianes y viceversa.
162
MATEMÁTICAS II
a) 3.14 rad.
b) 9.24 rad.
c) 45°
d) 135°
e) 5 π radianes
3
f) 60°
g) 26° 15´
h) 56° 48´16´´
i) 3 π radianes
2
j) 270°

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos
La palabra trigonometría se re ere a la medición de los triángulos. En esta sección se de nirán las seis
funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, como las razones
de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Consideremos el triángulo rectángulo ABC, el nombre de los lados de este triángulo dependerá del ángulo
que se esté trabajando.
B B
HIPOTENUSA α HIPOTENUSA
CATETO OPUESTO CATETO ADYACENTE
β
A A
C CATETO ADYACENTE C CATETO OPUESTO
El dominio de las funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos, los valores de las
seis funciones dependen únicamente del tamaño del ángulo y no del triángulo rectángulo.
Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo θ de un triángulo rectángulo se de nen:
Razones Trigonométricas Representación Abreviatura

Cateto Opuesto
Seno Sen θ, sin θ
Hipotenusa
Cateto Adyacente
Coseno Cos θ 163
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Tangente Tan θ, tg θ

Cateto Adyacente
Cateto Adyacente
Cotangente Cot θ, ctg θ
Cateto Opuesto
Hipotenusa
Secante Sec θ
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Cosecante csc θ
Cateto Opuesto
Importante Razones recíprocas

CO H
Los números recíprocos son aquellos que se sen θ = csc θ =
H CO
relacionan entre sí cumpliendo la consigna que el
producto entre ellos es 1.
CA H
cos θ = sec θ =
5 es recíproco a 3 H CA
3 5
Como puedes iden car, tres de las razones CO CA
tan θ = cot θ =
trigonométricas, son las recíprocas de las otras tres. CA CO
2
Completa las tablas anotando los valores de las razones trigonométricas para los ángulos A y B del
triángulo ABC.
sen A cos A tan A cot A sec A csc A

B
a c
c b
c
a
sen B cos B tan B cot B sec A csc A
A
a C b
c
Ejemplo 1. El valor de la función sen 35° se ob ene presionando en la

calculadora:
164
MATEMÁTICAS II
sen 35º = 0.5735
Ejemplo 2. Obtener el valor de la función sec 48º .

Si observas en la calculadora NO SE ENCUENTRA la tecla de sec; sin embargo sabemos que es una razón
recíproca a coseno por tal mo vo obtendremos el cos 48º y después su recíproco con la tecla x-1 la cual se
u liza para inver r la fracción.
sec 48º = 1.4945

De manera similar, podrás calcular la cotangente y cosecante de cualquier ángulo.
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=4mpKZMrFauw

3
De manera individual y con ayuda de la calculadora, obtén el valor de las siguientes razones
trigonométricas:
sen 36º = csc 18º 40´56´´=
cos 23º 15´ = tan 20º =
tan 45º = cos 33º 35´ =
cot 135º 20´16´´ = sec 41º 20´15´´ =

165

sec 46º = cot 15º 26´ =
Ejemplo 3. Calcula el valor de las incógnitas del siguiente triángulo rectángulo:
sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ
CO CA CO CA H H
H H CA CO CA CO
Primeramente y según el
β = 54° c = 6 cm angúlo de 54°.
a=?
Cateto Adyacente es a
Cateto Opuesto es b
θ Hipotenusa es c
A
C b=?
Para obtener el valor del cateto adyacente "a" u lizaremos la razón cos β puesto que conocemos la
hipotenusa y queremos encontrar el valor del cateto adyacente. Para tal n, despejamos la incógnita "a"
y resolvemos.
cos 54º = a
6
(6)(cos 54º) = a
a = 3.5267 cm.
Para obtener el valor del cateto opuesto “b” u lizaremos la razón sen β ya que conocemos la hipotenusa
y queremos encontrar el valor del cateto opuesto. De nuevo despejamos la incógnita, en este caso b y
resolvemos.
sen 54º = b
6
(6)(sen 54º) = b
b = 4.8541 cm.
Para calcular el valor del ángulo θ puedes u lizar cualquier razón trigonométrica puesto ya se conocen los
tres lados o bien por diferencia ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º.
tan θ = a sen θ = a
b c
3.5267
tan θ = sen θ = 3.5267
4.8541 6
166
tan θ = 0.7265 sen θ = 0.5878
MATEMÁTICAS II
θ= tan-1 (0.7265) θ= sen-1 (0.5878)
θ= 35º59´59´´ θ= 35º59´59´´
Ejemplo 4. El asta bandera de la escuela proyecta una sombra de 3.5 metros cuando el ángulo de elevación
del sol es de 63°. ¿Cuál es la altura del asta?
tan 63º = y
3.5
y = (3.5) (tan 63º)
y = 6.86 m
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=FbJXWrxNMNE

4
Calcula el valor de las incógnitas en los siguientes triángulos rectángulos.
167

5
1. Determina el valor de las siguientes razones trigonométricas:

a) sen 38º 34´56´´ =
b) cot 45º 34´ =
c) sec 39º =
d) tan 12º =
e) csc 16º 24´ =
f) sen 34.5º =
2. Completa la tabla:
Radianes Grados
168
5π
2
MATEMÁTICAS II
25° 15´16´´
2.45
3. U lizando el siguiente triángulo rectángulo completa los valores de las razones trigonométricas:
B
sen A cos A tan A cot A sec A csc A
c
3
A
C 4
4. Si en un triángulo rectángulo se sabe que tanθ = 3 , calcula el valor del ángulo θ.
4
5. Calcula el valor de los ángulos:
a) Sen A = 0.3045
b) Cos B = 0.8976
c) c) Tan C = 1.54

Valores de las razones trigonométricas para
ángulos notables (30º, 45º, 60º)
Contesta los siguientes ejercicios:
I. Dibuja en el siguiente espacio un triángulo equilátero y otro isósceles.
II. Si los lados iguales de un triángulo isósceles miden 3 unidades, calcula el valor del lado dis nto, así
como las medidas de los ángulos agudos.
169

III. Dibuja un triángulo equilátero de 4 unidades de lado, divídelo a la mitad trazando su altura. Separa
a uno de los triángulos rectángulos que se formaron. Determina el valor de cada una de las seis razones
trigonométricas para cada uno de los dos ángulos agudos.
IV. Con ayuda de tu calculadora calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a) Sen 45° =
b) Tan 45° =
c) Cos 45° =
d) Sen 60° =
e) Tan 30° =
V. Racionaliza el denominador.
3
4
VI. Calcula el valor del ángulo:
a) Tan A = 1
b) Cos B = 0.5
c) Sen C = 0.7071
Cálculo de valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30º,

45º, 60º).
Los ángulos que miden 30° ( π radianes), 45° ( π radianes) y 60° ( π radianes) se u lizan frecuentemente
en trigonometría. 6 4 3
Para encontrar los valores de las seis funciones trigonométrica de un ángulo de 45º u lizaremos un
triángulo rectángulo isósceles con dos lados iguales de longitud 1.
sen 45° cos 45° tan 45° cot 45° sec 45° csc 45°
2 2 1 1 2 2
2 2
170
MATEMÁTICAS II
Ejemplo 1. sen 45º = 1 , racionalizando el denominador: ( 1 ) ( 2 )= 2 = 2

2 2 2 ( 2 )² 2
1
Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo de 30º y 60º u lizaremos un
triángulo equilátero de lado 2 y trazaremos una altura, completa las tablas:

1
2
2
1 3
2 2 2 3
3
Para saber más...
h ps://www.youtube.com/watch?v=rQSuqLrhn7E
2
Sin u lizar calculadora, encuentra los valores de X y Y.
171
a)

y
45°
x
b) 2 cos30º – tan 60º + 3 tan 45º = X
c) 3 csc 60º - 2 cot 30º = Y
d) 6 tan 30º - 4 sen 60º + 2 cot 45º = X
e) Sen 45º - cos 45º + tan 45º = Y
4.- El botón de la ansiedad académica.

Página: 189
3
1) Completa la tabla con los valores de las funciones trigonométricas de mayor uso:
Función 0° 30° 45° 60° 90°
sen
cos
tan
2) Determina el valor de “c” sin calculadora.
172
MATEMÁTICAS II
3) Calcular el área del trapecio isósceles mostrado a con nuación:
4) Dibuja un ángulo de 30º, 45º, 60º y 90º, los puedes dibujar por separado o en un mismo plano u lizando
diferentes colores.
5) Un poste se ha caído a causa del viento, éste quedó sobre una barda y formó con el suelo un ángulo de
45°, si el poste mide 7 metros ¿qué altura ene la barda?

Solución de problemas que contienen
triángulos rectángulos
Resuelve los siguientes ejercicios:
I. Anota en cada recuadro del triángulo el nombre de los lados tomando como referencia el ángulo A.
173
II. Determina el valor de los ángulos:

6
a) sen θ =
10
b) tan θ = 3
7
III. Explica o dibuja que es un ángulo de elevación.
IV. Explica o dibuja que es un ángulo de depresión.

V. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?
VI. Las razones trigonométricas se u lizan para resolver triángulos:
VII. Dibuja las escuadras de tu juego geométrico e indica la medida de su ángulos:
Ángulos de elevación y de depresión
• Ángulo de elevación: ángulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con un
174
objeto que se encuentra arriba de la horizontal.
• Ángulo de depresión: ángulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con un
MATEMÁTICAS II
objeto que se encuentra debajo de la horizontal.
Ejemplo 1. para medir la altura de la Torre Ei el un turista midió un ángulo de elevación del Sol con de
28.4º con la sombra horizontal de la torre de 1822 pies. ¿Qué altura ene la Torre?
Y
tan 28.4º =
1822
(1822)(tan 28.4º) = Y
Y = 985.15 pies

Ejemplo 2. calcula la altura de la torre eléctrica que se encuentra en el borde de un precipicio al lado de
un río.
15.3
tan θ =
12
Calculamos el ángulo θ
θ = tan-1(1.275)
θ = 51º53´33´´
Sumamos θ y 12° 63º53´33´´
15.3 + Y
tan 63º53´33´´=
12
Para calcular Y
(tan63º53´33") (12) = 15.3 + Y
(tan63º53´33") (12) − 15.3 = Y
La altura de la Torre es Y = 9.1868 m
175

1
Resuelve los siguientes problemas que involucran triángulos rectángulos.
1. Lalo observa la parte más alta de la cascada cola de caballo en Monterrey con un ángulo de elevación
θ= 64º 32´12´´, si el se encuentra a 10 m de la cascada ¿cuál es la altura aproximada de la cascada si de la
línea de visibilidad a la super cie del agua son 4m?
a) 21 m
b) 25 m
c) 8.29 m
d) 24 m
2. Adrián y su perro observan un globo aerostá co de 26 m con un ángulo de elevación de 27° 28´28´´.
Determina la distancia horizontal a la que se encuentra el globo de ellos.
a) 12.94 m
b) 13.52 m
c) 50 m
d) 50.4 m
3. ¿Cuál debe ser el máximo ángulo de ro de un jugador para tener más probabilidad de anotar un gol, si
la portería mide de poste a poste 7.32 m. y de altura 2.44 m?
a) 18º 26´6´´
b) 71º 33´54´´
c) 112º 37´12´
d) 33º 41´24´´
176
4. Determina la separación entre dos pueblos A y B, toma como referencia la montaña de 12,000 pies de
altura, los ángulos de elevación desde los pueblos a la cima de la montaña son 37º y 28º respec vamente.
MATEMÁTICAS II
a) 12,000 pies
b) 15,924.54 pies
c) 22,568.72 pies
d) 38,493.26 pies
2
En equipo de cuatro integrantes elabora un exómetro.
Materiales:
• 1 popote.
• 1 transportador.
• 1 tuerca, rondana o una plomada.
• 1 trozo de hilo.
• Cinta adhesiva.

3
En equipo de cuatro compañeros y u lizando el exómetro elaborado anteriormente realiza lo que
a con nuación se te pide:
a) Elige en tu escuela un árbol, edi cio, canasta de basquetbol, etc, para medir su altura.
b) Registren la distancia que hay entre un integrante del equipo y el objeto con un exómetro. Incluir
imagen del exómetro elaborado.
c) A través del popote de su exómetro observa la parte más alta del objeto, cada integrante
registrará una medida y después obtendrán el promedio de las mediciones y tomarán esa medida
para resolver su ejercicio. 177

d) Tomen una fotogra a y colócala en este espacio.
e) Con ayuda de las razones trigonométricas, determina la altura del objeto que elegiste.
f) Propongan un nuevo ejercicio u lizando el exómetro, por ejemplo calcular la altura, ángulo de
elevación o depresión, distancia horizontal, pueden considerar la medida del ángulo desde el
suelo o desde la línea de visibilidad desde sus ojos, escriban una redacción del problema, realicen
el dibujo o tomen fotogra a y den solución al mismo.
4
1) Cris na observa el globo aerostá co más alejado el cual se encuentra a 150 metros arriba de la
horizontal de visibilidad de ella. Determina el ángulo de elevación si Cris na se encuentra a 550
metros del globo.
2) Una araña sube por el hilo de una telaraña que va hacia una cámara de vigilancia situada a 3 metros
178 de altura, u lizando la información del dibujo determina el valor del ángulo de elevación y la distancia
que recorrerá la araña hasta la cámara.
MATEMÁTICAS II
3) Determina la altura h de la chimenea, u lizando la información proporcionada a con nuación.

4) Gabriel observa por el exómetro la parte más alta del monumento a Jesús García “Héroe de Nacozari
” y registra un ángulo de elevación de 61º, si él se encuentra 8.8 metros de distancia. Calcula la altura
aproximada del monumento, si Gabriel ene una estatura de 1.80 m.
5) Determina el ángulo de inclinación medido desde “los tres niños” de la fuente de las sonrisas a las
“ranitas” que ven los niños con los datos proporcionados en la imagen.
179

6) Calcula el valor de las incógnitas indicadas en el siguiente triángulo rectángulo.
7) Inves ga la distancia de la Tierra a la Luna y determina los elementos que faltan en el siguiente
triángulo rectángulo formado entre la Luna, la Tierra y el Sol según Nicolás Copérnico.
8) Encuentra la altura del pino que se encuentra frente a la bella fuente de las sonrisas en Nacozari de
García, una de las siete fuentes que existen en el mundo. El árbol proyecta una sombra de 12 metros
cuando el ángulo de elevación del Sol en ese instante es de 38º 22´.
9) ¿Cuánto mide el asta bandera del Zócalo, si un turista se encuentra a 69.68 metros del pie del asta y la
observa con un ángulo de elevación de 56º a la parte más alta del asta?
180
MATEMÁTICAS II
10) Si la casa o enda de campaña que se muestra en la imagen mide 9 pies de alto, calcula el valor de X.
Expresa el resultado en metros.

Selecciona la opción correcta en cada uno de los siguientes planteamientos:
1. Si el sen A = 9 , el valor del ángulo A es:

15
a) 0° 0´38´´
b) 36° 52´12´´
c) 0° 36´
d) 60°
2. Rebeca observa un gato que se encuentra en la copa de un árbol, con un ángulo de elevación medido
desde el suelo de 28° , si ella se encuentra a 7 metros del árbol ¿a que altura se encuentra el gato?
a) 13.16 m
b) 12.56 m
c) 3.72 m
d) 4 m
3. Un poste de 10 metros de altura proyecta una sombra de 2.3 metros. Calcula el ángulo de elevación
del Sol en ese instante.
a) 77° 2´50´´
184
b) 12° 57´10´´
c) 4° 20´52´´
MATEMÁTICAS II
d) 0° 4´34´´
4. En la azotea de un edi cio de 40 metros de altura se encuentra Eduardo y observa del otro lado de la
calle a su mamá con un ángulo de depresión de 39°, ¿a qué distancia se encuentra su mamá?
a) 32.39 m
b) 49.39 m
c) 63.56 m
d) 40 m
2
5. Si en un triángulo sen B = , encuentra Cos B y Tan B.
7
a) 7 y 2
b) 1.044 y 3.35
c) 1.028 y 0.2777
d) 0.9571 y 0.2985
6. La base de un triángulo isósceles mide 6 cm, sus ángulos miden 65° ¿cuánto mide la longitud de sus
lados y la altura?
a) 7.1 cm y 6.43 cm
b) 14.19 cm y 12.86 cm
c) 3 cm y 6 cm
d) 1.3 cm y 1.3 cm
7. A un poste de 8 metros de altura está anclado un cable tensor que va desde el suelo a la parte más alta
del poste, si el cable está a 2 metros de la base del poste. Determina la longitud del cable y el ángulo
que forma el cable con el poste.
a) 8.24 m y 75° 57´50´´
b) 7.74 m y 14° 2´10´´
c) 8.24 m y 14° 2´10´´
d) 7.74 m y 75° 57´50´´
8. Andrea y Jorge observan un pino en su parte más alta, Andrea lo ve con un ángulo de elevación de 45°
y Jorge que está a 2 metros de Andrea lo ve con un ángulo de elevación de 85°. Determina la altura
del pino.
a) 0.1917 m
b) 2.1911 m
c) 2 m
d) 22 m
9. Determina el valor de “Y”

a) 1.31 m
b) 3.33 m
c) 1.46 m
d) 6.84 m
185
10. El sen 60º es:
a) 3
2

b) 2
c) 3
3
1
d)
2
BLOQUE
De las razones a las funciones trigonométricas
La evaluación diagnós ca ene la nalidad de iden car los conocimientos que adquiriste en el bloque
4, los cuales te permi rán desarrollar otros nuevos en el bloque 5.
Lee con cuidado cada inciso y responde lo que se pide.
1. ¿Cuáles son los componentes de un punto?
2. Gra ca los siguientes puntos en el plano cartesiano

A(0,1), B(2,0), C(0,−3), D(−3,−1), E(2,−3), F(−1,0) y
G(2−3).
3. Escribe las coordenadas de los puntos H, I, J y K.

194
4. Determina el cuadrante del plano cartesiano en donde
MATEMÁTICAS II
se ubican los puntos D, E, F y G.
5. Escribe los símbolos que se u lizan para representar

ángulos.
6. Traza en tu cuaderno cada uno de los siguientes

ángulos. 130°, 270°. 420°, 520°, −35° y −45°. U liza un
dibujo diferente para cada uno.
7. U liza como referencia el ángulo α y escribe en los recuadros la letra y el nombre del cateto que le
corresponda, ya sea opuesto o adyacente; de igual manera, anota la letra y nombre del lado que
le corresponda a la hipotenusa.

8. Escribe el teorema de Pitágoras.
9. Completa de manera correcta los siguientes enunciados. U liza las palabras que se proporcionan
Igual menor mayor a veces siempre nunca
El valor de la hipotenusa siempre es ___________________________ que cualesquiera de los dos

catetos.
Al dividir el valor de un cateto entre el valor de la hipotenusa el resultado siempre es
____________________ que el número 1.
En todos los triángulos rectángulos ________________ dos ángulos agudos.

En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo menor siempre es __________________
que su cateto adyacente.
El obje vo principal de esta sección es estudiar el sistema circular, para esto es necesario introducir como
medida fundamental el radián, valor que se de ne como el ángulo central AOB que se encuentra en la
circunferencia de radio 1 que sub ende al arco AB que ene la misma longitud que el radio.
195
BLOQUE V. Funciones trigonométricas
Con ayuda de tu maestro analiza la imagen y la simbología u lizada.
Escribe el signi cado de cada simbología encontrada en la imagen.
Un radián (1 rad) equivale a 57.29° ya que el radio y el arco AB enen la misma medida y por consecuencia
se produce el ángulo de 57.29°, por otro lado un π rad equivale a 180°.
En relación con las unidades de medida, podemos realizar conversiones de un sistema a otro, en otras
palabras, podemos conver r radianes a grados sexagesimales y viceversa, podemos aplicar al plantear
la conversión, una regla de tres. Para ejempli car esto conver remos 45° a radianes y lo haremos paso a
paso, por lo cual te solicitamos que examines atentamente los pasos de conversión.
Conver r grados a radianes
Para conver r 45° a radianes estructuramos el siguiente procedimiento:
1.- ¿Cuántos radianes hay en 45°? Si sabemos que π rad equivale a 180°.
2.- En cuanto al acomodo podemos observar que de un lado de la igualdad colocamos los radianes y
del otro los grados, recuerda que buscamos conver r 45° a radianes.
x 45º
=
π rad 180º
3.- Eliminamos los grados.
x 45
=
π rad 180
4.- Despejamos x de la igualdad.
45
x = 180 (π rad)
5.- Simpli camos valores para obtener.
196 1 π
x = 4 (π rad) = 4 rad
MATEMÁTICAS II
Método II de conversión
Para conver r 45° a radianes estructuramos el siguiente procedimiento:
1.- ¿Cuántos radianes hay en 45°?
2.- Escribimos el ángulo a conver r y a un lado colocamos un paréntesis.
3.- Como se ha dicho que π rad equivale a 180° y pretendemos eliminar grados para conservar
radianes, colocamos π rad como numerador y 180° como denominador.
4.- Mul plicamos
5.- Eliminamos los grados y simpli camos para obtener

Conver r radianes a grados
Para conver r 2 π rad a grados estructuramos el siguiente procedimiento:

3
1.- ¿Cuántos grados hay en 2 π rad?
3
2.- En cuanto al acomodo podemos observar que de un lado de la igualdad colocamos los grados y
del otro los radianes, recuerda que buscamos conver r 2 π rad a grados.
3
2π
3
3.- Eliminamos los radianes.
4.- Despejamos x de la igualdad.
5.- Simpli camos para obtener.
197

1
Completa los pasos del método II para conver r 2 π rad.
3
Método II
Para conver r un valor en radianes a uno en grados hay que mul plicar por 180/π rad.
1.- ¿Cuántos grados hay en 2 π rad?

3
2.- Escribimos el ángulo a conver r y a un lado colocamos un paréntesis.
3.- Como se ha dicho que π rad equivale a 180° y pretendemos eliminar radianes para conservar
grados, colocamos 180° como numerador y π rad como denominador.
4.- Eliminamos los radianes y simpli camos para obtener.

x=
2
Analiza la siguiente imagen y responde lo solicitado.
Grados vs. Radianes

Instrucciones:
1.- Traza un segmento de recta para unir el centro con cada punto que está sobre la circunferencia
2.- Calcula cada ángulo formado entre el eje x y cada recta que trazaste.
3.- En tu cuaderno realiza de manera organizada y limpia la conversión de grados a radianes o
viceversa según sea el caso.
4.- U liza la imagen para ubicar geométricamente los radianes y los grados correspondientes.
5.- Presenta a tu maestro los cálculos realizados.
198
MATEMÁTICAS II

3
Radianes a grados más allá de 2π
En tu cuaderno realiza la conversión de radianes a grados y después ubícalos geométricamente en
una circunferencia.
π , 2π , 4π , 9π , 7π , 8π
3 3 3 3 3 3
1.- ¿Qué patrón puedes percibir en las grá cas realizadas?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.- ¿Qué observaste al gra car los úl mos tres ángulos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
199
El obje vo principal de la sección desarrollo es de nir el círculo unitario, con la nalidad de aplicarlo para

la construcción de algunas funciones trigonométricas.
En primer lugar un círculo unitario es aquel cuyo radio es

igual a la unidad y cuyo centro coincide con el origen 0
(0, 0). Como puedes observar en el segmento que inicia
del origen al punto extremo de la circunferencia, de ne
el radio.
Por otro lado, de niremos las coordenadas del punto

extremo como P (abscisa , ordenada)
U lizado lo anterior y las razones trigonométricas

podemos deducir que:
ordenada
sen(θ)=
1
abscisa
cos(θ) =
1
Es decir el cateto adyacente es igual al valor de la abscisa,
al mismo empo el cateto opuesto es igual al valor de la
ordenada, por lo tanto, P( cos(θ), sen(θ)).
En la siguiente ac vidad analizarás las coordenadas del punto extremo, centralmente los diferentes signos
que aparecen en cada cuadrante.
Para saber más...

Más información sobre el círculo unitario
h ps://youtu.be/98EArSjJw78
4
Analiza las coordenadas del punto que está sobre cada circunferencia y responde lo solicitado.
Círculo unitario y coordenadas de un punto P
Sugerencia: veri ca que tu calculadora esté programada en el modo “DEG”, que es la abreviatura de la
200
palabra inglesa DEGREE, que signi ca grados.
MATEMÁTICAS II
Círculo unitario Observaciones realizadas Calculadora seno/coseno
Calcula los siguientes valores.

¿En qué cuadrante se ubica el punto P?
Ejemplo:
Ángulo θ u lizado es 42° sus tuimos el θ = 42°
Abscisa x del punto P es 0.743 sen(θ) =

= sen(42°) = 0.669
Ordenada y del punto P es 0.669 cos (θ) =
= cos (42°) = 0.743

Calcula los siguientes valores:
Ángulo θ u lizado
sen(θ) =
Abscisa x del punto P
cos (θ) =
Ordenada y del punto P

Ángulo θ u lizado
sen(θ) =
cos (θ) =

Ángulo θ u lizado
sen(θ) =
cos (θ) =
5
201
Responde las siguientes preguntas y argumenta tu respuesta.

Analiza la tabla anterior
1- Analiza los resultados obtenidos en la tabla anterior.

2- Con tus propias palabras trata de explicar los patrones y/o coincidencias encontradas.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3- ¿En qué cuadrante del plano es posi vo el sen(θ)?

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4- ¿En qué cuadrante del plano es nega vo el sen(θ)?

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
5- ¿En qué cuadrante del plano es posi vo el cos (θ)?

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6- ¿En qué cuadrante del plano es nega vo el cos (θ)?

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
7- ¿Cuál es el valor mínimo y máximo encontrado? explica tu respuesta.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
8- ¿Puedes encontrar un valor mayor que 2?

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Como puedes observar el signo del valor numérico depende del ángulo u lizado.
Problema 1: determina un recorrido/dominio del ángulo en donde sen(θ) siempre sea posi vo.
Problema 2: determina un recorrido/dominio del ángulo en donde sen(θ) siempre sea nega vo.
Problema 3: determina un recorrido/dominio del ángulo en donde cos (θ) siempre sea posi vo.
Problema 4: determina un recorrido/dominio del ángulo en donde cos (θ) siempre sea nega vo.
Aplicación que te ayudará a realizar la ac vidad 4 y 5 .

h ps://www.geogebra.org/m/s3fuqg9q
202
Al trabajar en secuencia la ac vidad 4 y 5 lograste darte cuenta que existe una relación entre el círculo
MATEMÁTICAS II
unitario y el sen(θ) y cos (θ), para profundizar estudiaremos por separado las expresiones con la nalidad
de obtener la representación analí ca y grá ca de cada una.
U liza el triángulo rectángulo y trata de imaginar que el punto se mueve sobre la circunferencia en contra
de las manecillas de reloj, se observa que el cateto adyacente y el cateto opuesto varían conforme el ángulo
θ crece, al tomar en cuenta lo observado podemos relacionar el ángulo con ambos catetos y construir la
representación analí ca y grá ca de las funciones trigonométricas.

Con ayuda de tu maestro u liza la aplicación GeoGebra.
Aplicación que te ayudará a realizar la ac vidad 6 y 7.

h ps://www.geogebra.org/m/f6swvc5f
6 203
Construcción de la grá ca de la función coseno par endo del círculo unitario.

1- U liza la siguiente tabla para analizar el ángulo θ y la abscisa x.
a) ¿Qué observas cuando el ángulo cambia?
b) ¿Hay un patrón en el cambio de la abscisa?
c) ¿Qué patrón percibes en el cambio del ángulo?
Anota tus observaciones y descubrimientos.
2- Como ya sabemos el radián es la unidad fundamental de medida en el sistema circular y lo u lizamos para
realizar conversiones de grados a radianes y viceversa, según el sistema que deseamos trabajar.
Por otro lado, al analizar la composición estructural de 3 π , podemos observar que está compuesto por
4
un número racional y otro irracional, cabe mencionar que dicho número se categoriza como número real
204 y por lo tanto lo podemos ubicar en la recta real.
Composición Recta real

MATEMÁTICAS II
a) Utiliza los radianes ubicados en la recta real y conviértelos en notación decimal, recuerda que
π = 3.1416…
Ejemplo: si tenemos 3 π y sabemos que π = 3.1416… podemos mul plicar y obtener lo siguiente:
4
3 π 3 (3.1416...)
= = 2.3561...
4 4
Procedimiento:

b) Explica con tus propias palabras lo aprendido en la actividad.
3- U liza los datos de la tabla y la explicación anterior para completar la siguiente tabla.
Sugerencia: recuerda conver r los grados a radianes.
a) Obtén la relación ángulo abscisa.
Ángulo u lizado Valor de la abscisa Punto (θ, abscisa) Puntos para gra car
205
0 1 (0,1) (0,1)
π
45°= 0.707

4
π
=
2
3π
=
4 −0.707 ( 3 π , −0.707) (2.356, − 0.707)
4
180°= π
5π
=
4
= 3π
2
7π
=
4
360° = 2 π
4- U liza la expresión funcional y = cos (θ) para describir los valores y signos de y cuando el ángulo varía:
a) de 0° a 90°
b) de 90° a 180°
c) de 180° a 270°
d) de 270° a 360°
5- Gra ca los puntos de la tabla inciso 3 y únelos con una curva suave.
a) Anota tus observaciones y descubrimientos.
206
MATEMÁTICAS II
7
Construcción de la grá ca de la función seno par endo del círculo unitario.
1- U liza la siguiente tabla para analizar el ángulo θ y la ordenada y.

a) ¿Qué observas cuando el ángulo cambia?
b) ¿Hay un patrón en el cambio de la ordenada?
207
c) ¿Qué patrón percibes en el cambio del ángulo?

d) Anota tus observaciones y descubrimientos.
2- Obtén la relación ángulo ordenada.
Sugerencia: recuerda conver r los grados a radianes.
Ángulo u lizado Valor de la ordenada Punto (θ, ordenada) Puntos para gra car
0 1 (0,1) (0,1)
π
45°= 0.707
4
π
=
2
= 3π −0.707 ( 3 π , −0.707) (2.356, − 0.707)

4 4
180°= π
= 5π
4
= 3π
2
= 7π
4
360° = 2 π
208 3- U lizan la expresión funcional y = sen(θ) describir los valores y signos de y cuando el ángulo varía:
MATEMÁTICAS II
a) de 0° a 90°
b) de 90° a 180°
c) de 180° a 270°
d) de 270° a 360°
4- Gra ca los puntos de la tabla inciso 2 y únelos con una curva suave.

a) Anota tus observaciones y descubrimientos.
En esta parte de la secuencia formalizaremos los resultados obtenidos respecto a las funciones
trigonométricas
209

8
Las funciones seno y coseno.
Las funciones seno y coseno se representan de manera analí ca por y = sen(θ) y y = cos (θ) donde θ
representa el valor de ángulo y y representa el valor del sen(θ) y cos (θ), podemos entender que, el valor
de la función y depende del ángulo estudiado, a este po de relación se le llama función.
1- U liza la expresión funcional y = cos (θ) para describir los valores y signos de y cuando el ángulo varía:
a) de 0° a 90°
b) de 90° a 180°
c) de 180° a 270°
d) de 270° a 360
2- U lizan la expresión funcional y = sen(θ) describir los valores y signos de y cuando el ángulo varía:
a) de 0° a 90°
b) de 90° a 180°
c) de 180° a 270°
d) de 270° a 360°
3- U liza las ac vidades de la secuencia como referencia y elabora un mapa conceptual de los contenidos.
Identidades trigonométricas
La evaluación te ayudará a reac var herramientas desarrolladas en matemá cas I, dichas herramientas
te ayudarán en el desarrollo de esta secuencia didác ca.
Lee con cuidado cada inciso y responde lo que se pide:
1. Escribe el teorema de Pitágoras y despeja b.
3
2. Suma la expresión 1 + .
x
210
MATEMÁTICAS II
3. Simpli que la expresión 2x-3(x + y)-4y.
4. Simpli ca la expresión 9b - 6 .
3b
5. Sus tuye y =2x + 3 en 3y - 5x - 9 y simpli ca la expresión.
6. Simpli ca la expresión 9senx - 6 .

3senx

En esta secuencia didác ca iden carás las iden dades trigonométricas elementales, con la nalidad
de que puedas plantear una misma expresión en diferentes formas, u lizando técnicas de sus tución
para simpli car la expresión inicial y facilitar los cálculos que te llevarán a la solución de problemas.
1
Iden dades pitagóricas
U liza el ángulo α del triángulo para plantear las razones trigonométricas básicas, cabe mencionar que este
tema lo estudiaste en el bloque 4, se retoma con la nalidad de recuperar tus conocimientos desarrollados
y llevarlos a un nuevo aprendizaje.
Razón
De nición
trigonométrica
Sen α
Cos α 211

Tan α
Csc α
Sec α
Cot α
2
Construyendo las iden dades pitagóricas.
1- ¿Recuerdas la fórmula del teorema de Pitágoras? Escríbela en términos del triángulo anterior.
Instrucciones Desarrollo algebraico

Escribe la fórmula del teorema de Pitágoras. a2 + b2 = c2
Divide la expresión entre c2 en ambos lados de la igualdad.
Simpli ca la expresión.
Aplica la ley de los exponentes en los diferentes términos.

a2 a 2
2 = (
c c )
Reescribe la expresión.
Los cocientes escritos en la expresión son equivalentes a los cocientes de la tabla, centralmente con él
212 sen α y cos α.
Sus tuye y obtén la expresión nal. sen2a + cos2a = 1
MATEMÁTICAS II
2- Sus tuye en la expresión obtenida los siguientes ángulos y con ayuda de una calculadora obtén el
resultado.
a) 50°, 60 ° y 120°
b) π , 2π y 4π
2 2 2

3
Un paso más ¿Qué pasa si dividimos la expresión entre a o con b ?
1- Escribe los pasos algebraicos con a2.
Instrucciones Desarrollo algebraico

Escribe la fórmula del teorema de Pitágoras.
Divide la expresión entre a2 en ambos lados de la igualdad.
Simpli ca la expresión.
Aplica la ley de los exponentes en los diferentes términos.

c2 c 2
2 = (
a a )
Reescribe la expresión.
Los cocientes escritos en la expresión son equivalentes a los cocientes de la tabla, centralmente con él 213
csc α y cot α.

Sus tuye y obtén la expresión nal.
2- Sus tuye en la expresión obtenida los siguientes ángulos y con ayuda de una calculadora obtén el
resultado.
a) 50°, 60 ° y 120°
π , 2π y 4π
b)
2 2 2
c) Realiza en tu cuaderno el análisis correspondiente con b2

Iden dades trigonométricas elementales
Pitagóricas Recíprocas
sen α = 1 tan α = senα

cos2 α + sen2 α = 1 cscα cosα
1 cot α = cosα
1 + tan2 α = sec2 α cos α =
secα senα
cot α = 1
1 + cot2 α = csc2 α tanα
Las iden dades trigonométricas construidas en la sección de inicio son ú les para simpli car expresiones
como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1: demuestre la siguiente igualdad.
2cos2α - 1 = 1 - 2sen2α
Demostración
U lizamos la iden dad 1 = cos2α + sen2α y sus tuimos en:
214
2cos2α − 1 = 1 − 2sen2α
MATEMÁTICAS II
2cos2α − (cos2α + sen2α) = 1 − 2sen2α

2cos2α − cos2α − sen2α = 1 − 2sen2α
Simpli camos términos semejantes.
cos2α − sen2α =1 − 2sen2α
Empleamos cos2α = 1 − sen 2α
1 − sen2α − sen2α = 1 − 2sen2α
1 − 2sen2α = 1 − 2sen2α
Por lo que la iden dad queda demostrada.

Ejemplo 2: demuestre la siguiente igualdad.
cos α
sen α =
cot α
Demostración
cos α
U lizamos la iden dad cot α = y sus tuimos en:
sen α
cos α
1
sen α = cos α
Se realiza el cociente correspondiente sen α
cos α * sen α
sen α = cos α
Eliminamos factores
sen α = cos α * sen α

cos α
sen α = sen α
Por lo que la iden dad queda demostrada.
215
Es de suma importancia que analices a detalle los procesos de sus tución que se llevaron a cabo con la
nalidad de que los u lices para resolver las siguientes ac vidades.

Para saber más...
En el siguiente link encontrarás más información.
h ps://youtube.be/ox1wH5OORn8
Es momento de analizar la quinta lección del programa Construye-T “Cuando llega el huracán”; el reto es
reflexionar acerca de las características de la atención cuando las “emociones te controlan” en una clase.
5.- Cuando llega el huracán.

Página: 223
4
Demuestra en tu cuaderno las siguientes igualdades.
Sugerencia: u liza las iden dades trigonométricas elementales.
a) 1 + tan2α = sec2α
b) 1 + cot2α = csc2α
cscα + secα
c) = csc2α
1 + tanα
tanα 1
d) =
tan2α-1 tanα - cotα
216
e) sec2α + csc2α = (sec2α)(csc2α)
MATEMÁTICAS II
f) (tan2α + 1)cosα = secα

1- Determina la función trigonométrica que modela la siguiente grá ca.
a) y = sen α
b) y = cos α
c) y = tan α
2- Determina la función trigonométrica que modela la siguiente grá ca.
a) y = sen α
b) y = cos α
c) y = tan α
217

3- U liza la expresión funcional y = cos α y determina la variación en el signo cuando el ángulo varía de
0° a 90°.
a) de posi vo a nega vo
b) solo posi vo
c) solo nega vo
4- U liza la expresión funcional y = sen α y determina la variación en el signo cuando el ángulo varía de
0° a 90°.
a) de posi vo a nega vo
b) solo posi vo
c) solo nega vo
5- Convierte 7π a notación decimal.

2
a) 10.90
b) 10.99
c) 11.2
6- La función y = sen α expresa que:
a) el valor de y modi ca el sen α
b) el valor de y es igual al ángulo
c) el valor de y depende del valor de ángulo
7- Determina la coordenada con base en el ángulo y el valor de la ordenada como valor dependiente.
a) (-0.707, -0.707)
b) (315°,-0.707)
c) (0.707,315°)
218
MATEMÁTICAS II
8- La coordenada ( 3π , − 0.707) es igual a:

4
a) (2.3561, -0707)
b) (135, -0707)
c) (2.3561, 135)
9- U liza el círculo unitario para determinar en qué cuadrante se encuentre el punto ( 8π ,1/2).
3
a) primero
b) segundo
c) tercero
10- Demuestra la igualdad sen α (1 + cot α )=___________

a) sen α + cot α
b) sen α + cos α
c) sen α + tan α

BLOQUE
Razones trigonométricas para ángulos
agudos de un triángulo rectángulo
Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Las razones trigonométricas relacionan:
a) Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo.
b) Las medidas de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo rectángulo.
c) La medida de algún ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo con las longitudes de dos de
sus lados.
d) El ángulo interior recto de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados.
2. Si ∠A es agudo e interior a un triángulo rectángulo, entonces la razón trigonométrica seno para la

medida de dicho ángulo se de ne como:
Hipotenusa
a)
Cateto Opuesto
228
b) Cateto Adyacente
Hipotenusa
MATEMÁTICAS II
c) Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
d) Cateto Opuesto
Hipotenusa
3. En la siguiente igualdad: Sen A = a , el resultado de despejar la incógnita c, es:

c
a) c = a Sen A
a
b) c =
Sen A
c) c = a - Sen A
d) c = Sen A
a
4. La razón Cateto Adyacente de ne a la razón trigonométrica:

Cateto Opuesto
a) Seno
b) Coseno
c) Tangente
d) Cotangente
5. Son razones trigonométricas recíprocas las que aparecen en la opción:

a) Seno y coseno
b) Coseno y tangente
c) Seno y cosecante
d) Cotangente y secante
6. Si ∠A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y las longitudes de los catetos opuesto
y adyacente a dicho ángulo son 3 y 4 centímetros, respectivamente, entonces el valor de la razón
trigonométrica coseno es:
a) 4/5
b) 3/5
c) 4/3
d) 3/4
7. Si Cos A = 21 , entonces la medida en grados decimales del ∠A es:

29
a) 35.90972308°
b) 43.60281897°
c) 46.39718103°
d) 54.09027692°
8. Si la medida en grados decimales de un ángulo es 43.75°, entonces dicha medida en grados

sexagesimales es:
a) 43° 15´
b) 43° 35´
c) 43° 45´
d) 43° 75´
9. Si la medida en grados sexagesimales de un ángulo es 35° 12´ 36´´, entonces dicha medida en grados
decimales es: 229
a) 35.21°
BLOQUE VI. Triángulos oblicuángulos

b) 35.22°
c) 35.23°
d) 35.24°
10. El teorema de Pitágoras está relacionado con un triángulo:

a) Acutángulo.
b) Obtusángulo.
c) Rectángulo.
d) Equiángulo.
11. Es el resultado de la siguiente operación: Sen−1 ( (5)(Sen75) )

10
a) 28°52’44.74°
b) 38°55’49.74°
c) 72°08’13.18°
d) 52°27’31.26°
152-202-252
12. Es el resultado de la siguiente operación: Cos-1 ( -2(20)(25) )
a) 36°52’11.63°
b) 60°47’10.21°
c) 41°55’32.15°
d) No existe
Ley de senos
La trigonometría se desarrolló a partir de los esfuerzos realizados en la antigüedad para impulsar el estudio
de la astronomía y pronosticar la trayectoria y posición de los cuerpos celestes, así como para mejorar la
precisión en la navegación y el cálculo del tiempo y los calendarios.
Una gran parte del trabajo matemático realizado en el siglo XVIII fue producto de la necesidad de describir
ciertos fenómenos físicos.
Las aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos en campos como topografía y navegación

implican resolver triángulos rectángulos. La expresión “resolver un triángulo” quiere decir que se desea
determinar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. Se puede resolver cualquier
triángulo rectángulo si se conocen dos lados o un ángulo agudo y un lado. Y para resolverlo se utiliza el
Teorema de Pitágoras.
Sin embargo, cuando deseamos resolver triángulos que no sean rectángulos, es decir, triángulos
oblicuángulos, aplicamos Ley de senos y cosenos.
Para saber más...

La trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media hizo evolucionar el teorema de Pitágoras y sus
230 derivados:
MATEMÁTICAS II
Al-Battani
El astrónomo y matemático Al-Battani generalizó el resultado de
Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que
permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la
Tierra. Las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y
coseno se descubrieron en ese periodo.
Ghiyath Al-Kashi
Eso permitió a Ghiyath al-Kashi, matemático de la escuela de Samarcanda,
formular el teorema de la ley de senos bajo una forma utilizable para la
triangulación durante el siglo XV.
François Viète
François Viète lo utilizó en occidente ya que al parecer, lo redescubrió
independientemente.

Conceptos básicos
Teorema de los senos
En la trigonometría plana se le conoce como el teorema de senos o ley de senos, relaciona la longitud de
los lados de un triángulo oblicuo (sin ángulo recto) con los senos de sus ángulos opuestos mediante una
proporción como se muestra en la gura siguiente:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respec vamente a,
b, c, entonces:
a b c
= =
Sen α Sen β Sen γ
¿Cuándo se u liza la ley de senos?
Está fórmula o ley se u liza para encontrar las partes de un triángulo oblicuo, es decir sus lados y ángu-
los, siempre y cuando se conozcan al menos:
231
Caso A: Se conoce dos lados y un ángulo (opuesto a uno de ellos).

Caso B: Se conoce un lado (cualquiera) y 2 ángulos.
1
Búsqueda de un triángulo oblicuo en nuestro entorno.
Obje vo:
Reconocer las caracterís cas de un triángulo oblicuo, con respecto a sus ángulos y lados aplicando la ley
de senos.
Materiales:
ե Transportador.
ե Celular/cámara fotográ ca.
ե Hoja de papel.
ե Regla.
ե Calculadora.
ե Lápiz.
Instrucciones:
Paso 1. Formen un equipo, con la can dad de integrantes que indique el maestro. Realicen un paseo en
tu centro educa vo y en un radio no mayor a 300 m iden quen un triángulo oblicuo en estructuras, la
naturaleza, objetos, animales o medios de transporte.
232
Paso 2. Cuando ya lo tengan iden cado realicen una fotogra a con un teléfono celular.
MATEMÁTICAS II
Paso 3. Luego dibujen la gura en una escala de 1:4 en una hoja de papel.
Paso 4. U lizando una regla y un transportador determinen la medida de dos de sus ángulos y un lado.
Paso 5. Por medio de la ley de senos calculen aproximadamente la medida de los otros dos lados y el
ángulo faltante.
Paso 6. Comparen los resultados con sus es maciones iniciales.
Con base en la prác ca, respondan lo aprendido.
1. ¿En cuál po de triángulo se u liza la ley de senos?

2. ¿Qué datos necesito para poder usar esta ley?
3. ¿En nuestro entorno donde es más frecuente encontrar triángulos que requieran aplicar la ley de
senos?
4. ¿Cuál es la importancia de la existencia de esta ley para la resolución de problemas?
Sabías que...
El Sistema de Posicionamiento Global (GPS) utiliza la ley de senos
para poder determinar distancias y ángulos en las trayectorias de los
aviones.

2
En los siguientes problemas, usa la ley de los senos para resolver el triángulo:
1. α = 80°, β = 20°, b = 7
2. α = 60°, β = 15°, c = 30
3. β = 37°, γ = 51°, a = 5
233
4. α = 30°, γ = 75°, a = 6

5. β = 72°, b = 12, c = 6
6. α = 120°, a = 9, c = 4
7. γ = 62°, b = 7, c = 4
8. β = 110°, γ = 25°, a = 14
9. γ = 15°, a = 8, c = 5
10. α = 55°, a = 20, c = 18
11. γ = 150°, b = 7, c = 5
12. α = 35°, a = 9, b = 12
13. β = 30°, a = 10, b = 7
14. α = 140°, γ = 20°, c = 12
15. α = 20°, a = 8, c = 27
3
Aunque la ley de los senos es válida para cualquier triángulo, aquí será utilizada específicamente
para triángulos acutángulos o agudos, esto es, en los que los tres ángulos, α, β y γ son menores de
90°. Como se ve en la siguiente figura, sea h la altura desde el vértice A al lado BC. Como la altura
es perpendicular a la base BC, determina dos triángulos rectángulos. En consecuencia, se puede
escribir:
h h
Sen β = c y Sen γ = b
Así, las ecuaciones se transforman en:
ℎ = c · Sen β y ℎ = b · Sen γ
Se igualan las dos expresiones:

c · Sen β = b · Sen γ
234 Por lo que:
Sen β Sen γ
MATEMÁTICAS II
(1) =
b c
Si se usa la altura desde el vér ce C hasta el lado AB de la misma forma, entonces:
Sen α Sen β
(2) =
a b
Al combinar (1) y (2) se llega al resultado que se muestra cuando se estableció la Ley de senos.
Ejemplo 1:
Determinación de las partes de un triángulo
Calcular las partes restantes del triángulo de la siguiente gura.
Solución: Sean β = 20°, α = 130° y b = 6. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°; entonces:
γ = 180° - 20° - 130° = 30°

Por lo tanto aplicando la Ley de senos, quedaría:
Sen 130º Sen 20º Sen 30º

= =
a 6 c
Usaremos la primera igualdad para despejar a: = 6 • Sen 130º
= 13.44
Sen 20º
6 • Sen 30º
Usando la segunda igualdad para obtener c: = = 8.77
Sen 20º
Ejemplo 2:
Altura de un edi cio
Un edi cio está al lado de una colina que baja formando un ángulo de 15°. El Sol está sobre la colina, y
desde el edi cio ene un ángulo de elevación de 42°. Calcular la altura del edi cio, si su sombra mide 36
pies de longitud.
235

Solución: Sea h la altura del edi cio sobre la pendiente, con lo cual se forma un triángulo rectángulo QPS
como se ve en la gura anterior. Ahora bien, α + 15° = 42°, por tanto, α = 27°. Como triángulo QPS es
rectángulo:
γ = 180° - 90° - 42° = 48°. Por la ley de los senos, quedaría:
Sen 48º Sen 27º 36 • Sen 27º

= → h= = 21.99 pies
36 h Sen 48º
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la Ley de senos:
1. Dos puntos, A y B, están en las orillas opuestas de un río. Otro punto, C, está en la misma orilla del
río que B, a una distancia de 35 m de él. Si el ángulo ABC es de 105° y el ángulo ACB es de 20°,
calcule la distancia de A a B a través del río.
2. Los ángulos de elevación hacia un avión se miden desde la parte superior y la base de un edi cio
que ene 20 m de altura. El ángulo desde la azotea es de 38°, y desde la base es de 40°. Calcule la
al tud del avión.
3. Una parcela triangular con vér ces R, S y T se delimita por una cerca, pero se advierte la ausencia
de la marca del lindero en S. Del tulo de propiedad, se sabe que la distancia de T a R es 350 m,
la distancia de T a S es 510 m y ángulo en R del triángulo mide 125°. Determine la ubicación de S,
calculando la distancia de R a S.
4. Desde un puesto de observación P se detectan dos automóviles A y B con una distancia entre
ellos de 2850 m. Las visuales respec vas desde P hasta AB forman ángulos de 60° en A y 72° en B.
Calcule la distancia aproximada entre el puesto de observación y el automóvil B.
5. Los aviones Águila, Halcón y Colimbo realizan un espectáculo de vuelo en formación. La distancia
entre el Águila y el Colimbo es la misma que entre el Halcón y el Colimbo, y entre ambas suman
440 m. El ángulo que se forma con las dos visuales desde el Águila y desde el Halcón al Colimbo
mide 98°. Calcule la distancia a la que viajan el Águila y el Halcón.
236
MATEMÁTICAS II
6. Desde el barco Marino, que se encuentra anclado en un punto M, se observan dos torres de
control en la playa: A y B. Si la distancia entre las dos torres es de 4.5 km y se conocen las medidas
de los ángulos ∠MAB = 32° y ∠MBA = 38°, calcule la distancia aproximada desde el Marino hasta
la torre A.
7. Francisco, Gerardo y Daniel son tres investigadores que se encuentran ubicados alrededor del
cráter de un volcán. Las distancias respectivas desde Francisco hasta Gerardo y desde Francisco
hasta Daniel son de 26 m cada una. Si el ángulo que se forma con las dos visuales desde Gerardo
y desde Daniel hasta Francisco mide 108°, calcule la distancia aproximada entre Gerardo y Daniel.
8. En un triángulo dos de sus ángulos miden 38° y 93° respectivamente; además el lado opuesto al
ángulo menor mide 8 cm. Calcule el perímetro aproximado del triángulo.
9. Tres barcos pesqueros de una flota están mar adentro. El Chester está a 32 km del Ángela. Un
oficial del Chester resuelve que el ángulo entre el Ángela y el Beverly es 25°. Un oficial del Beverly
resuelve que el ángulo entre el Ángela y el Chester es 100°. ¿Qué tan alejados están el Chester y
el Beverly?
10. Un equipo de investigación está midiendo la distancia entre punto A ubicado en un lado del río y
punto B al otro lado del río. Un investigador se encuentra en el punto A y el segundo se encuentra
en el punto C, 65 m más arriba del punto A. Siguiendo la orilla del río. El investigador en el punto
A calcula que el ángulo entre los puntos B y C es 103°. El investigador en el punto C calcula que el
ángulo entre los puntos A y B es 42°. Encuentra la distancia entre los puntos A y B.

4
Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los elementos que faltan.
Lados Ángulos
a = 68.7 A=?
b = 45 B = 38°57’
c=? C=?
Lados Ángulos
a = 21 A = 30°25’
b = 75 B=?
c=? C=?
5 237
En equipo, plantea y resuelvan los siguientes problemas haciendo la representación gráfica

correspondiente.
1. Marco notó que se forma un ángulo de 15° desde un punto P en el suelo hasta la copa de un árbol,
pero si avanza horizontalmente 20 metros hacia el árbol a un punto Q, el ángulo que se forma es
de 25°. ¿Cuál es la altura del árbol?
2. Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia
entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta
ahora son las distancias de él respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente,
también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual “A” es de 39.4°
¿Qué distancia hay entre los dos edificios?
3. La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto
a dichos puntos son de 58° 20′ y 67° 32′. ¿A qué altura del suelo se encuentra el globo?
4. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro
lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de
6 km del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
5. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y
Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre
Alberto y Camilo.
6. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles miden 35°. Si la base de dicho triángulo mide 18
centímetros. ¿Cuánto mide los lados congruentes del triángulo?
7. Calcular la distancia que debe recorrer un obrero para subir y bajar una carretilla por una rampa.
Sabemos que la base de la rampa mide 27 metros y tiene una inclinación de 30º en la subida y 39º
en la bajada.
8. A y B son dos puntos localizados en las márgenes opuestas de un río. Desde A se traza una línea
AC = 50 m y se miden los ángulos CAB = 97° y el ángulo BCA = 34°. Hallar la longitud AB.
238
6
Plantea y resuelve los siguientes problemas haciendo la representación grá ca correspondiente.
MATEMÁTICAS II
1. Dos personas separadas 100 metros observan la parte más alta de un edificio que se encuentra
entre ellas, una observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 62° y la otra con un ángulo
de 47° . Encuentra la altura del edificio.
a) 68.29 m
b) 53.61 m
c) 94.03 m
d) 77.35 m
2. Calcula la longitud de un árbol que se encuentra 15° inclinado y que proyecta una sombra de 18
metros cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 60°.
a) 22.04 m
b) 16.13 m
c) 24.58 m
d) 18 m
3. Calcula el valor del lado c, si A= 51.34° , B = 69.62° y b = 7 cm.
a) 5.83 cm
b) 7.01 cm
c) 6.40 cm
d) 7 cm
4. Alejandro observa la máquina 501 con un ángulo de visibilidad de 81° lo largo de la máquina de
extremo a extremo, el se encuentra a 9.88 metros de la parte de enfrente y el ángulo que se forma
en la parte trasera es de 39° . Encuentra la longitud aproximada de la locomotora.
5. Encuentra el valor del ángulo A en el triángulo ABC si a = 5.68, c = 9 y C= 100.76° .
a) 40.92°
b) 38.32°
c) 79.24°
d) 80°
239
6. Si en un triángulo ABC, las medidas de los ángulos A y B son 40° y 60° respec vamente, calcula la
medida del lado c, si a = 8 unidades.

a) 12.25 unidades
b) 8.3 unidades
c) 10.77 unidades
d) 8 unidades
7. Dos personas observan un avión con ángulos de elevación de 54° y 67°, si en ese preciso momento
están separadas 150 metros, ¿a qué altura se encuentra el avión?
a) 130.31 m
b) 141.57 m
c) 161.08 m
d) 150 m
Para saber más...
h ps://www. simat.com.mx/ley-de-senos/ h p://www.cajondeciencias.com/

Ley de cosenos
Realiza los siguientes ejercicios, anotando el procedimiento en tu cuaderno para que tu profesor lo
revise y haga la retroalimentación necesaria.
I. Despeja la incógnita solicitada.
Fórmula Incógnita por despejar
x = √y2 + 5z - 4 y=
2x
Tanθ = y=
y
240 x2
Cosβ = x=
y
MATEMÁTICAS II
x = √3y + 2Cosα α=
y2 = x2 + 2Cosα x=
II. Determina el valor del ángulo (sólo ángulos posi vos).

Ángulo Complementario Suplementario
27.37°
67.87°
125°
95°
100°

Ley de cosenos
El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de
Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría. Se u liza en la resolución de triángulos obli-
cuángulos (Figura 1).
En especí co se estudiarán los casos cuando:
• Se conocen dos lados y ángulo comprendido entre ellos.

• Se conocen los tres lados.
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
241

Figura 1. Triángulo oblicuángulo.
Caso 1: cuando se conocen dos lados y ángulo comprendido entre ellos.
Figura 2. Triángulo oblicuángulo con 2 lados conocidos y el ángulo comprendido entre ellos.
Para determinar el lado faltante u lizaremos la ley de cosenos:
c = √a2 + b2 - 2abCosC
Una vez conocidos los tres lados se procede a encontrar uno de los ángulos desconocidos, a par r de la
ley de cosenos:
Cos B = a + c - b
2 2 2
2ac
+ c2 - b2
(a )
2
∠B = Cos-1
2ac
Para determinar el ángulo A u lizamos la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° − ∠B − ∠C
Ejemplo 1:
Resuelve el siguiente triángulo (encuentra sus lados y ángulos interiores).
242
MATEMÁTICAS II
Primero, se determina el lado faltante u lizando la ley de cosenos:
c = √a2 + b2 - 2abCosC
c = √122 +72 - 2(12)(7)Cos27º
c = √144 + 49 - 149.69
c = √43.31
c ≈ 6.58

Después, se procede a encontrar uno de los ángulos desconocidos, a partir de la ley de cosenos:
Cos B = a + c - b
2 2 2
2ac
(12)2 + (6.58)2 - (7)2
∠B = Cos-1 (
2(12)(6.58) )
144 + 43.29-49
∠B Cos-1 ( 157.92 )
138.29
∠B = Cos-1 ( 157.92 )
∠B = 28.87°
Por último, se determina el ángulo A utilizando la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un
triángulo:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° − 28.87° − 27°
∠A = 124.13°
El triángulo resuelto queda de la siguiente forma.
243
Caso 2: Cuando se conocen los tres lados.
Figura 3. Triángulo oblicuángulo con los 3 lados conocidos.

Primero, determinamos uno de los ángulos u lizando la ley de cosenos:
a2 + c2 - b2
CosB = 2ac
+ c2 - b2
(a )
2
∠B = Cos-1
2ac
Después, encontramos el otro ángulo u lizando la ley de cosenos:

Cos C = a + b - c
2 2 2
2ab
+ b2 - c2
(a )
2
∠C = Cos-1 2ab
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° − ∠B − ∠C
244
Ejemplo 2:
Resuelve el triángulo de la siguiente gura:
MATEMÁTICAS II
Primero, determinamos uno de los ángulos u lizando la ley de cosenos:

Cos B = a + c - b
2 2 2
2ac
( 122(12)(4)
+4 -9
2 2 2
∠B = Cos-1 )
∠B = Cos-1 ( 144 +9616 - 81 )
79
∠B = Cos (
96 )
-1
∠B = 34.62º
Después, encontramos el otro ángulo u lizando la ley de cosenos:
CosC = a + b - c
2 2 2
2ab
( 122(12)(9)
+9 -4
2 2 2
∠C = Cos-1 )
∠C = Cos-1 ( 144 +216

81 - 16
)
209
∠C = Cos-1 ( 216 )
∠C = 14.62º
∠A + ∠B + ∠C = 180º
∠A = 180º - ∠B - ∠C
∠A = 180º - 34.62º - 14.62º
∠A = 130.76º
245
Quedando resuelto el triángulo de la siguiente manera:
Para saber más...
1. h ps://www.youtube.com/watch?v=65RP6V0hsy4
2. h ps://www.youtube.com/watch?v=x4sCCs5q8aA
3. h ps://www.youtube.com/watch?v=cCeJ SwHvc
1 2 3
1
Realiza la siguiente ac vidad en tu cuaderno anotando los procedimientos que realizaste para llegar
al resultado y muéstralos a tu profesor para que brinde retroalimentación.
I. Resuelve los siguientes triángulos:
246
MATEMÁTICAS II

2
Resuelve en tu cuaderno los siguientes reac vos, anotando los procedimientos que u lizaste para
su resolución.
1. Un ganadero desea saber cuántos metros de tubería debe comprar para llevar agua potable desde
su rancho hasta una pequeña casa cerca de una milpa. Cabe señalar que desconoce la distancia
del Rancho a la casa, pero si conoce la distancia que existe entre el Rancho y la milpa, y también la
distancia de la casa a la milpa, tal como se muestra en el siguiente dibujo.
247

2. Una persona se encuentra a 180 m del edi cio A y a 210 m del edi cio B y existe un ángulo entre
ambas distancias de 39.4°. Determina la distancia que existe entre los edi cios A y B.
3. Se requiere determinar la fuerza de tensión que deben soportar dos cuerdas que sos enen una
masa de 100 kg, pero para determinar las tensiones se necesita conocer los ángulos de inclinación
de dicho sistema, por lo que nos asignan el trabajo de hacer tales cálculos. En el siguiente dibujo
se muestra la situación.
4. Dos trenes parten de la misma estación en trayectorias rec líneas que forman entre sí un ángulo
de 75°, con velocidades de 120 km/h y 150 km/h respec vamente. Calcular la distancia que separa
a los trenes al cabo de 3 horas.
248
MATEMÁTICAS II
5. Calcula la distancia que hay desde la casa de Melanie a la casa de Valeria, conociendo la distancia
que hay entre la casa de Melanie y la de Cris na es de 5 km y la distancia que hay entre la casa de
Valeria y Cris na es de 8 km, si el ángulo comprendido entre dichas distancias es de 95°.
6.- ¿El problema ene solución?

Página: 258

3
Aplica la ley de los cosenos para resolver los siguientes problemas que con enen triángulos obli-
cuángulos y acutángulos.
1. Alex y Gabriel salen de un mismo puerto en sus barcos, Alex viaja a 14 millas por hora en una di-
rección N 48º O y Gabriel sale a 12 millas por hora tomando una dirección S 36º O. ¿ Cuál será su
separación después de dos horas? (toma como referencia al eje X).
a) 34.92 millas
b) 17.46 millas
c) 1219.5 millas
d) 304.85 millas
2. La Distancia del COBACH Nacozari al Cine es 240 m, del Colegio al IMSS 85 metros y del IMSS al
Cine 230 metros, encuentra la medida del ángulo comprendido entre el colegio y el cine.
249
a) 16º 35´52´´
b) 86º 17´51´´
c) 90º
d) 36º 17´
3. Un niño observa el pie y la parte más alta de una palmera con un ángulo de 60° , calcula la altura
de la palmera.
a) 39 m
b) 109 m
c) 6.24 m
d) 10.44 m
4. Calcula la medida del ángulo A en el triángulo ABC si a= 5.83, b= 7 y c= 6.4
a) 60º
b) 59.04º
c) 69.62º
d) 51.34º
5. Un ingeniero revisa una parte de un puente para darle mantenimiento, si se encuentra debajo del
puente y observa de un extremo a otro, el extremo A con un ángulo de 36º a 12 metros y el extre-
250 mo B con un ángulo de 53º a 10 metros. ¿Cuánto mide el tramo de puente que revisó?
a) 15.48 m
MATEMÁTICAS II
b) 15.75 m
c) 15.62 m
d) 15 m
6. Dos autos parten de un mismo punto, si toman rumbos dis ntos formando un ángulo de 75º
20´16´´y uno va a 100 km/h y el otro a 95 km/h. ¿Cuál es su separación después de 1.5 horas?
a) 178.84 km
b) 119.22 km
c) 175.23 km
d) 110.00 km
7. Encuentra la medida de los ángulos del triángulo cuyos lados miden 9, 7 y 6.96 unidades.
a) 49.7º , 50º y 80º

b) 50º , 50º y 80º
c) 50º , 49.7º y 80º
d) 49.7º , 50.03º y 80.27º

1. Analiza la imagen y determina la fórmula que debes de u lizar para encontrar el ∠ C.
a) c a
=
sen C sen A
b) b c
=
sen B sen C
a b
c) =
sen B sen C
254
2. La ley de senos se u liza cuando:
a) Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
MATEMÁTICAS II
b) Los datos conocidos son sus tres lados.

c) Los datos conocidos son un ángulo y un lado.
3. La ley de los cosenos se u liza cuando:

a) Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
b) Los datos conocidos son sus tres lados.
c) Los datos conocidos son un ángulo y un lado.
4. U liza los datos para trazar el triángulo y decide cuál fórmula u lizar.
En el triángulo ABC ,a = 15 cm, c = 18 cm y ∠B = 70°.
a) a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
b) b2 = a2 + c2 − 2ac cosB
c) c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

5. Analiza la siguiente imagen y calcula los datos faltantes.
a) a = 2.03, ∠ C = 42.71° y ∠ A = 20.43°
b) a = 2.03, ∠ C = 44.71° y ∠ A = 18.43°
c) a = 2.32, ∠ C = 39.71° y ∠ A = 23.43°
6. Calcula los ángulos del triángulo ABC, con los datos a = 50, b = 45, c = 32.
a) ∠ A = 80°, ∠ B = 64.06° y ∠ C = 35.94°
b) ∠ A = 82°,∠ B = 60.06° y ∠ C = 37.94°

255
c) ∠ A = 79°, ∠ B = 62.06° y ∠ C = 38.94°

7. Un biólogo coloca un disposi vo localizador a un halcón para inves gación. En un momento dado, el
halcón vuela 25 km con dirección al sur, después cambia su dirección con un ángulo de 65° hacia el
suroeste, volando 35 km. ¿A qué distancia se encuentra del punto de par da?
a) 47.98 km
b) 50.88 km
c) 56.34 km
8. Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edi cios, 250 m y 380 m, respec vamente.
Si el ángulo formado por los 2 edi cios y el observador es de 38.333° precisa la distancia entre ambos
edi cios.
a) 184.35 m
b) 240.55 m
c) 245.45 m
9. Para establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto B del otro lado
de éste, una persona selecciona un punto P a 500 metros del punto A sobre la misma orilla, las
medidas de ∠ A = 38° y P =47.533°. Obtén la distancia entre A y B.
a) 324.89 m
b) 360.42 m
c) 369.95 m
10. Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un punto P a 100 metros
del punto M; al medir los ángulos resulta que ∠ M = 110° y P = 40°. ¿Cuál es la distancia entre los
puntos M y Q?
a) 128.54 metros
b) 132.54 metros
c) 135.82 metros
256
MATEMÁTICAS II

Matemáticas Ii: Geometría Plana Y Trigonometría

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Matemáticas Ii: Geometría Plana Y Trigonometría

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Matemáticas Ii: Geometría Plana Y Trigonometría

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

MATEMÁTICAS II

GEOMETRÍA PLANA Y TRIGONOMETRÍA

UBICACIÓN CURRICULAR ....................................................................................................................... 3

Ángulos y triángulos ......................................................... 14

Secuencia didác ca 1. Elementos básicos de la geometría plana y ángulos ......................................... 16

Secuencia didác ca 2. Triángulos .......................................................................................................... 36

Propiedades de los polígonos ........................................... 68

Secuencia didác ca 1. Polígonos .......................................................................................................... 70

Secuencia didác ca 2. Poliedros ........................................................................................................... 87

Elementos de la circunferencia ......................................... 108

Secuencia didác ca 1. Concepto de circunferencia y sus elementos .................................................... 110

Secuencia didác ca 2. Ángulos en la circunferencia ............................................................................. 125

Razones trigonométricas ................................................ 158

Secuencia didác ca 1. Razones trigonométricas para ángulos agudos de un

Secuencia didác ca 2. Valores de las razones trigonométricas para ángulos

Secuencia didác ca 2. Iden dades trigonométricas ............................................................................ 210

Triángulos oblicuángulos ................................................ 226

Secuencia didác ca 1. Ley de senos .................................................................................................... 228

Secuencia didác ca 2. Ley de cosenos ................................................................................................ 240

Referencias ............................................................................................................................................ 264

I. Con tus propias palabras de ne los siguientes conceptos:

II. Encuentra el valor de x para las siguientes ecuaciones:

1. (3x – 2) + (5x – 4) = 100

III. Encuentra el valor de la incógnita:

C o le g io de B ac hi lle re s d e l E s tado de Sono ra

Babilonios (3500 a. C.)

Egipcios (200 a. C.)

Griegos (640 a. C.)

BLOQUE I. Ángulos y triángulos

Elementos básicos de geometría analí ca

Figura 1.1 Representación grá ca del punto

Figura 1.2 Representación grá ca de la línea AB y CD

Figura 1.4 Representación de puntos colineales

Puntos coplanares: son puntos ubicados sobre el mismo plano.

Figura 1.5 Representación de puntos coplanares

C o le g io de B ac hi lle re s d e l E s tado de Sono ra

Figura 1.6 Representación de rectas paralelas

Rectas intersecantes: son dos rectas que enen un punto en común.

BLOQUE I. Ángulos y triángulos

Rectas concurrentes: son 3 o más rectas con un punto en común.

Figura 1.8 Representación de rectas concurrentes

Figura 1.9 Representación de segmento de recta

Figura 1.10 Representación de una semirrecta o rayo

Figura 1.11 Representación del ángulo

● Mediante 3 letras mayúsculas.

C o le g io de B ac hi lle re s d e l E s tado de Sono ra

Figura 1.13 El ángulo con vér ce en el punto B se nombra

● Por medio de una letra griega en el interior del ángulo.

Figura 1.14 Ángulo

BLOQUE I. Ángulos y triángulos

Si el ángulo se presenta en notación decimal u liza la calculadora para realizar la conversión a

Figura 1.15 Tecla para conver r de sistema decimal a sexagesimal y viceversa

Al conver r grados a radianes se u liza la fórmula:

Ahora, se realiza la conversión de radianes a grados por lo que se u liza:

C o le g io de B ac hi lle re s d e l E s tado de Sono ra

BLOQUE I. Ángulos y triángulos

Clasi cación de los ángulos según la suma de sus medidas

(4x + 5)° + (3x − 13)°= 90°