Matemáticas básicas

Módulo 4: Trigonometría y funciones

Autores: Néstor A. Navarro y Cristina Bolívar

Fecha de actualización: 8 de septiembre de 2016

1
Introducción

Este último módulo del curso Matemáticas Básicas se divide en dos grandes
temas: la trigonometría y funciones.
Para iniciar, la medición de los terrenos y la navegación han sido de gran
importancia en el desarrollo de las sociedades modernas. Hace siglos las
delimitaciones, las fronteras, los territorios, las distancias, entre otras, del
espacio donde se vivía era incalculable por medio de una medición directa,
pues, las formas de racionalizar estos problemas a través del cálculo no se
habían puesto en práctica o se desconocían los métodos matemáticos para
hacerlo. Este problema lo resolvieron los antiguos babilonios, quienes
recurrieron a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que
permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las
medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una
montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un
determinado punto de la costa, pueden resultar inaccesibles a la medición
directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente
geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de
antemano, acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos
relativamente sencillos.
El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas
entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados
de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera
que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
Por otra parte, las funciones permiten relacionar variables de manera tal
que vienen a ser los entes matemáticos ideales para proponer los
denominados “modelos” matemáticos, los cuales son la herramienta
conceptual clave para describir eventos, situaciones, relaciones, etcétera.
Las gráficas de las funciones son producto de la geometría analítica,
fundada por Descartes, cuando llevó la geometría euclidiana al plano
cartesiano una vez que se estableció una dependencia entre variables que
podían modelar las diferentes figuras de la geometría tradicional hasta ese
momento.

2
Competencias a adquirir por el estudioso:
• Utiliza las razones trigonométricas para determinar la medida de los
elementos que conforman un triángulo rectángulo teniendo en cuenta
las relaciones que se establecen entre sus lados y ángulos.
• Resuelve problemas de aplicación del teorema de Pitágoras, Teorema
de Thales, criterios de congruencia de triángulos, razones
trigonométricas, leyes del seno y coseno teniendo en cuenta las
relaciones que se establecen entre los lados y ángulos de un
triángulo.
• Utiliza las funciones para modelas situaciones reales y matemáticas a
través de sus diferentes representaciones gráfica, algebraica y
analítica.

Contenido
1. Trigonometría ..........................................................................................................................................4
1.1 Ángulos ..................................................................................................................................................4
1.1.1 Sentido del ángulo .............................................................................................................. 6
1.1.2 Clasificación de los Ángulos ....................................................................................... 7
1.2 TRIÁNGULOS ...................................................................................................................................... 9
1.3 Razones trigonométricas .................................................................................................... 26
1.4 Relaciones trigonométricas......................................................................................................31
1.5 Identidades trigonométricas ................................................................................................... 36
1.6 Funciones trigonométricas de números reales ...................................................... 40
2. Funciones .................................................................................................................................................. 87
2.1 Concepto de función ...................................................................................................................... 89
2.1 Definición........................................................................................................................................... 90
2.2 Funciones continuas ................................................................................................................ 90
2.3 Dominio y codominio ..................................................................................................................91
2.4 Gráficas de funciones ............................................................................................................ 94

3
 2.5 Tipos de funciones.................................................................................................................... 96
4 Bibliografía .................................................................................................................................................... 109

1. Trigonometría

Resolver triángulos rectángulos consiste en determinar la medida de sus

seis lados y sus seis ángulos, para lo cual es necesario conocer tres de los
seis elementos, donde por lo menos uno sea un lado.

Nombre de la
Matemáticas Básicas
asignatura
Tema Ángulos y triángulos

Autor del contenido Javier Escobar

1.1 Ángulos
Es la amplitud formada por dos rectas unidas por un mismo punto llamado
vértice, y se denotan como a,∢a, ∢ABC o ABC

Figura 1: Elementos de un ángulo.

4
Imagen recuperada de:
https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/14
45430290/contido/ud1/1411_imagen_teoria_angulo.png

Los ángulos generalmente se miden en grados, en donde un giro completo

es de 360°, y se debe tener presente:

• Si un ángulo completo se divide en 360 partes, entonces cada una de

&
las partes es un grado sexagesimal, es decir, partes que es igual
'()
a 1°.
• Si 1° se divide en 60 partes iguales, cada parte corresponde a un
&
minuto (1 min), es decir, = 1′.
()
• Ahora bien, si un minuto se divide en 60 partes iguales, entonces cada
&-
una de las partes es un segundo, es decir, = 1".
()

De lo anterior podemos concluir que 1° = 60' = 3600".

Ejemplo:

Exprese 45, 234° en minutos y segundos

45,234° = 45° + (0,234×60′)

45,234° = 45° + 14,04′
45,234° = 45° + 14 + (0,04×60")
45,234° = 45° + 14′ + 2"
45,234° = 45° 14' 2"

Los ángulos también pueden ser medidos en radianes. Un ángulo de un

radian (rad) es un arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Por

5
ejemplo el giro completo de la ruda de un vehículo describe un ángulo en
radianes (2𝜋 𝑟𝑎𝑑).
La relación entre grados y radianes, esta expresada bajo la siguiente
igualdad:

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 o 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑

Por lo tanto,

𝜋
1° = 𝑟𝑎𝑑
180

1.1.1 Sentido del ángulo

El lado final de un ángulo puede girar de manera positiva (en sentido

antihorario) o negativa (en sentido horario), teniendo entonces un ángulo
positivo o negativo.

Figura 2: Sentido del ángulo.

Imagen recuperada de:
http://images.slideplayer.es/28/9302924/slides/slide_2.jpg

6
1.1.2 Clasificación de los Ángulos

Los ángulos se clasifican según su:

1. Medida

Figura 3: Clasificación de los ángulos según su medida.

Imagen recuperada de: http://cursa.ihmc.us/rid=1LGL2S6XJ-1Q7J3WX-

1JRW/Clasificaci%C3%B3n%20de%20%C3%A1ngulos%20seg%C3%BAn
%20su%20medida.png

2. Posición

Figura 4: Clasificación de los ángulos según su posición.

7
Imagen recuperada de: https://2.bp.blogspot.com/-Xhn8bNWqZz0/VMeAQTLaB-
I/AAAAAAAAEy0/tOxnCgHRDgw/s1600/mas_angulos.jpg

3. Formados por dos rectas paralelas y una secante

La intersección de estas rectas forma ocho ángulos, de los cuales 4
son internos y 4 son externos.

Figura 5: Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.

Fuente propia

A continuación se relacionan los ángulos que componen estas tres rectas:

Tipo de ángulo Ángulos Descripción

Ángulos comprendidos entre las

Internos c, d, e y f
paralelas

Ángulos comprendidos fuera de

Externos a, b, g y h
las paralelas

a y e; b y f; c y g; d Ángulos iguales, uno interno y

Consecutivos
yh otro externo.

8
 Ángulos internos ubicados a uno y
Alternos internos c y f; e y d otro lado de la secante, pero en
distinta paralela.

Ángulos externos ubicados a uno

Alternos
a y h; b y g y otro lado de la secante, pero en
externos
distinta paralela.

Ángulos internos ubicados en un

Colaterales
c y e; d y f mismo lado de la transversal,
internos
pero en distinta paralela.

Ángulos externos ubicados en un

Colaterales
a y g; b y h mismo lado de la transversal,
externos
pero en distinta paralela.

Tabla 1. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

Finalmente es importante destacar que los ángulos se pueden sumar o

restar algebraicamente cumpliendo con las propiedades de estas
operaciones 13° + 45° = 58° . Así mismo se pueden multiplicar por una
cantidad escalar k cualquier 𝑘×45°, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 2 → 45°×2 = 90° .

1.2 TRIÁNGULOS

Son figuras geométricas compuestas de tres lados y tres ángulos internos.

9
 Vértices A, B y C

Lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 𝑦 𝐶𝐴

Ángulos
internos a, β y γ

Ángulos
externos w, q y τ

Figura 6: Elementos de un triángulo

Fuente propia

1.2.1.1 Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida

de sus ángulos internos:

4. La longitud de sus lados

Escaleno
Equilátero Isósceles

10
 Ninguno de sus lados
Todos sus lados Dos de sus lados posee la misma
poseen la misma tienen la misma medida.
longitud. medida.

Tabla 2. Clasificación de un triángulo según la medida de sus lados.

5. La medida de sus ángulos internos

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

Uno de sus ángulos

Uno de sus ángulos Todos sus ángulos internos es obtuso
internos mide 90° internos son agudos. (mayor a 90°).
(ángulo recto).
Tabla 3. Clasificación de un triángulo según la medida de sus ángulos
internos.

1.2.1.2 Propiedades de los Triángulos

A continuación se relacionan algunas propiedades de los triángulos:

1. La suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo es 180°,

entonces 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° .
2. Un triángulo equilátero es también un triángulo equiángulo.
3. La medida de cada ángulo externo del triángulo es igual a la suma de
sus ángulos internos no adyacentes, por lo cual 𝛼 + 𝛽 = 𝜃 .
4. La suma de los ángulos externos es 360°, entonces 𝜔 + 𝜃 + 𝜏 = 180° .

11
 5. Cualquier lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los
otros dos y menor que su suma (Propiedad de Desigualdad
Triangular).
6.
1.2.1.3 Congruencia de Triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, esto

implica que la medida de sus lados y de sus ángulos internos sea igual. La
congruencia entre triángulos se simboliza como: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹

Figura 7: Congruencia de triángulos

Fuente propia

Criterios de Congruencia1

Dos triángulos son congruentes si:

1. Dos pares de lados correspondientes y el ángulo comprendido entre

ellos, son congruentes (Lado – Ángulo - Lado).
2. Los tres pares de lados correspondientes son congruentes (Lado –
Lado - Lado).
3. Un lado y los dos ángulos de los extremos de ese lado en un triángulo,
son respectivamente congruentes con un lado y los dos ángulos de
los extremos de ese lado, en el otro triángulo (Ángulo – Lado - Ángulo).
1 Tomado de: Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín. (s.f.). Obtenido de
http://www.bdigital.unal.edu.co/5846/10/201021414.2012.2.pdf

12
 Lado – Ángulo - Lado

Lado – Lado - Lado

Ángulo – Lado - Ángulo

Tabla 4.
Criterios de Congruencia de triángulos
Tomado de http://www.bdigital.unal.edu.co/5846/10/201021414.2012.2.pdf

13
1.2.1.4 Semejanza de Triángulos

Se habla de que dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de los

siguientes criterios:

1. Si dos de sus ángulos

internos son
respectivamente iguales.

2. Si los tres lados del

triángulo son
proporcionales

𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴
; ;
𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝐷

3. Si tienen un lado igual y

los lados que los forman
son proporcionales.

Tabla 5.
Criterios de semejanza de triángulos

14
Teorema de Pitágoras

Nombre de la
Matemáticas Básicas
asignatura
Tema Teorema de Pitágoras

Autor del contenido Diana Carolina Ramirez

Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto, es decir que mide 90°, el

lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de Hipotenusa, los lados
restantes reciben el nombre de catetos (ver figura 1).

Figura 8 Elementos de un triángulo rectángulo

El teorema de Pitágoras establece una relación entre la longitud de los

lados de un triángulo rectángulo, de la siguiente manera:

Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de las longitudes de los

catetos de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de la longitud de
la hipotenusa.

15
 Figura 1 Teorema de Pitágoras Imagen tomada de http://goo.gl/xC3zi1

En este sentido, en el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 donde 𝑎 𝑦 𝑏 representan las

longitudes de los catetos y 𝑐 representa la longitud hipotenusa entonces:

𝑎\ + 𝑏\ = c \

En el siguiente ejemplo se puede evidenciar gráficamente la relación que

se establece en el Teorema de Pitágoras:

Figura 8 Representación geométrica del Teorema de Pitágoras

Imagen tomada de http://goo.gl/0oRQeF

16
En la figura 8, se tiene un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con 𝑎 𝑦 𝑏 catetos que
tienen una longitud de 3 y 4 unidades, la hipotenusa 𝑐 con una longitud de 5
unidades.

En este caso, los cuadrados de los catetos 𝑎 𝑦 𝑏 son:

𝑎\ = 4\ 𝑏 \ = 3\

𝑎\ = 16 𝑏\ = 9

Área 1= 16 unidades
Área 2= 9
cuadradas
unidades
cuadradas

El área del cuadrado de la hipotenusa 𝑐 es

𝑐 \ = 5\

𝑐 \ = 25

17
 Área 3= 25 unidades cuadradas

El teorema de Pitágoras establece que “La suma de los cuadrados de las

longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado
de la longitud de la hipotenusa” en otras palabras “la suma de las áreas de
los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado de la hipotenusa”

En el ejemplo anterior:

𝐴1 + 𝐴2 = 𝐴3 𝑎\ + 𝑏\ = 𝑐 \

16 + 9 = 2 4\ + 3\ = 5\

De la expresión dada en el Teorema de Pitágoras se pueden resolver

situaciones donde se conocen dos de las tres longitudes de los lados del
triángulo rectángulo. Por ejemplo:

18
 Caso 1: Si se conocen las medidas de los dos catetos, se puede
determinar la medida de la hipotenusa.

Caso 2: Si se conoce la medida de un cateto y la hipotenusa es posible

determinar la medida del cateto faltante.

Despejando la ecuación inicial 𝑎\ + 𝑏 \ = 𝑐 \ se obtienen las siguientes

expresiones:

𝑐= 𝑎\ + 𝑏 \
Teorema de Pitágoras

𝑎\ + 𝑏\ = 𝑐 \ 𝑎= 𝑐 \ − 𝑏\

𝑏= 𝑐 \ − 𝑎\

Figura 9 Expresiones del Teorema de Pitágoras

A continuación se mostrarán ejemplos de aplicación del Teorema de

Pitágoras.

19
1.2.1.5 Ejemplo 1:
Se quiere determinar la medida de una de las diagonales de la cancha de
futbol, la cual tiene 100 m de largo por 74 m de ancho, como se muestra en
la figura 5.

Figura 10 Medidas cancha de futbol. Imagen tomada de

http://goo.gl/YxSCJa

1.2.1.6 Solución:
En la figura 6, se observa un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 formado por la
diagonal AB y los catetos BC y AC respectivamente.

20
 Figura 11 Diagonal de la cancha de futbol. Imagen tomada de
http://goo.gl/YxSCJa, adecuada por el autor,

Datos conocidos Datos desconocidos

Medida del cateto AC= 100m Medida de la diagonal (hipotenusa) AB ¿?

Medida del cateto BC= 75m

𝑎\ + 𝑏\ = 𝑐 \

𝑐= 𝑎\ + 𝑏\

𝑐= 100\ + 75\

𝑐 = 1000 + 5625

𝑐 = 15625
𝑐 = 125

21
En este caso, el problema solicita buscar la medida de la hipotenusa,
aplicando el Teorema de Pitágoras:

Por lo tanto, la medida de la diagonal de la cancha de futbol es de 125 metros.

1.2.1.7 Ejemplo 2:
Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que
el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la
altura, que alcanza la escalera sobre la pared2

1.2.1.8 Solución:
En la figura 12, se observa un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 formado por
la hipotenusa AB y los catetos BC y AC respectivamente.

Figura 12 Representación problema de la escalera. Tomado de:

https://goo.gl/3fOIA8, adecuado por el autor

2 Ejercicio tomado de: https://goo.gl/3fOIA8

22
 Datos conocidos Datos desconocidos

Medida del cateto AC= 9m

Medida de la escalera (hipotenusa) Medida del cateto (altura) BC= ¿?

AB=15m

En este caso, el problema solicita buscar la medida de un cateto

aplicando el Teorema de Pitágoras:

𝑎\ + 𝑏\ = 𝑐 \

𝑏= 𝑐 \ -𝑎 \

𝑏= 15\ -9\

𝑏 = 225 − 81

𝑏 = 144

𝑏 = 12

Por lo tanto, la medida de la altura de la escalera sobre la pared es de 12

metros.

23
1.2.1.9 Ejemplo 3:
Oscar desea poner una cerca en el terreno triangular donde tendrá el
cultivo de papa en su finca. Las medidas del terreno se encuentran en la
figura 8. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercar su terreno?

1.2.1.10 Solución:
En la figura 13 se observa un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 formado por
la hipotenusa AB y los catetos BC y AC respectivamente.

Figura 13 medidas terreno triangular

Datos conocidos Datos desconocidos

Medida del cateto BC= 5 pies

Medida de la hipotenusa AB=13 pies Medida del cateto AC= ¿?

En este caso, el problema solicita buscar la medida de un cateto aplicando

el Teorema de Pitágoras:

24
 𝑎\ + 𝑏\ = 𝑐 \

𝑎= 𝑐 \ -𝑏 \

𝑎= 13\ -5\

𝑎 = 169 − 25

𝑎 = 144
𝑎 = 12

Por lo tanto, la medida del cateto AC del terreno es de 12 metros.

Sin embargo el problema solicita determinar el perímetro, para ello se

realiza la suma de los tres lados del terreno,

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 13𝑓𝑡 + 5𝑓𝑡 + 12𝑓𝑡 = 30𝑓𝑡

Luego se realiza la conversión de unidades ya que el problema lo pide en

metros.

Se realiza la conversión de 𝑓𝑡 a 𝑚.

Teniendo en cuenta que: 1𝑓𝑡 = 0,3048𝑚

25
Utilizando el factor de conversión:

0,3048𝑚
30𝑓𝑡* =
1𝑓𝑡

0,3048𝑚
30𝑓𝑡* = 9,144𝑚
1𝑓𝑡

Por lo tanto Oscar deberá utilizar 9,144 metros de alambre para cercar su
terreno triangular.

1.3 Razones trigonométricas

A las razones que existen entre las longitudes de un triángulo
rectángulo se les llama razones trigonométricas.

Dado el triángulo rectángulo de la figura 14, se define:

Figura 14 – Triángulo rectángulo para ejemplificar las razones

trigonométricas

a) Seno del ángulo θ

26
La razón entre el cateto opuesto (CO) y la hipotenusa (H) es el seno (sen)
del ángulo theta (θ), es decir:

gh
Sen θ =
i

b) Coseno del ángulo θ

La razón entre el cateto adyacente (CA) y la hipotenusa (H) es el coseno

(cos) del ángulo theta (θ), es decir:

gj
Cos θ =
i

c) Tangente del ángulo θ

La razón entre el cateto opuesto (CO) y el cateto adyacente (CA) es la

tangente (tan) del ángulo theta (θ), es decir:

gj
Tan θ =
gh

d) Cotangente del ángulo θ

La razón entre el cateto adyacente (CA) y el cateto opuesto (CO) es la

cotangente (cot) del ángulo theta (θ), es decir:

gj
Cot θ =
gh

e) Secante del ángulo θ

La razón entre la hipotenusa (H) y el cateto adyacente (CA) la secante (sec)

del ángulo theta (θ), es decir:

i
Sec θ =
gj

f) Cosecante del ángulo θ

27
La razón entre la hipotenusa (H) y el cateto opuesto (CO) la cosecante (csc)
del ángulo theta (θ), es decir:

i
Csc θ =
gh

Se debe tener en cuenta que los catetos se nombran según el ángulo al que
se le hace referencia.

Ejemplo 3: en el triángulo de la figura 6, determinar los catetos opuestos y

adyacentes para los ángulos 𝛼 y 𝛽.

Figura 15 – Triángulo rectángulo para el ejercicio del ejemplo 3.

Ejemplo 4: en el triángulo de la figura 15, obtener las razones

trigonométricas de los ángulos 𝛼 y 𝛽.

Figura 16 – Triángulo rectángulo para el ejercicio del ejemplo 4.

28
En el triángulo la hipotenusa es c y los catetos a y b, entonces las razones
trigonométricas para el ángulo α son:

Las razones trigonométricas para 𝛽 son:

k
Ejemplo 5: si θ es un ángulo agudo, y cos θ = , calcular los valores de las
l
razones trigonométricas para θ.

Se construye un triángulo rectángulo, donde θ es uno de sus ángulos agudos,

según la definición del coseno se tendría que la hipotenusa es 5 y el cateto
adyacente a θ es 3.

29
Figura 17 – Triángulo rectángulo para el ejercicio del ejemplo 5.

Se aplica el teorema de Pitágoras para obtener el valor del lado faltante:

Entonces las razones trigonométricas del ángulo θ son:

30
1.4 Relaciones trigonométricas
Si en un triángulo rectángulo se tiene en particular H = 1, entonces CO = sen
θ y CA = cos θ, representado en la Figura 18.

Figura 18 – Triángulo rectángulo para ejemplificar relaciones trigonométricas.

De lo anterior se deducen las relaciones trigonométricas:

Ejemplo 6: relaciones trigonométricas principales para diferentes ángulos

con H = 1.

Tabla 6 Relaciones trigonométricas principales para diferentes ángulos con

H = 1.

31
Para el caso del ángulo recto (90°), la tangente es indefinida por su
definición:

mno (p)°) &

Tan (90°) = =
gqr (p)°) )

Se tendría que dividir entre cero (0); o sea, una división indeterminada.

Ejemplo 7: una escalera de 7,4 m de larga se requiere para alcanzar una

ventana a 6,7 m de altura, ¿cuál es el ángulo de inclinación de la escalera
respecto al piso?

Se identifica la longitud de la escalera como H = 7,4; la altura de la

ventana como
CO = 6,7; luego:

(,s
Sen θ = = 0,9054
s,k

En una tabla de funciones trigonométricas o usando una calculadora, se

determina el correspondiente ángulo cuyo seno sería 0,9054; 65°
aproximadamente.

Ejemplo 8: un topógrafo ubicado a 1750 metros de una colina mide su altura

con un ángulo de inclinación del teodolito de 17°. ¿Cuál es la altura
aproximada de la colina?

Se identifica la distancia a la colina como CA = 1750, así que CO será su altura,

luego:

gh
Tan (17°) = 0,3057 =
&sl)
0,3057 * 1750 = CO
CO = 535 metros

Ejemplo 9: la cometa de Juliana se encuentra a un ángulo de 40° respecto

a la horizontal. Juliana ha soltado cerca de 140 metros de cuerda. ¿A qué
altura está la cometa?

32
Se identifica la longitud de la cuerda como H = 140 así que CO será la altura
de la cometa, de modo que:

gh
Sin (40°) = 0,6428 =
&k)
0,6428*140 = CO
90 metros = CO

En conclusión tenemos:

Nombre de la
Matemáticas Básicas
asignatura
Solución de triángulos rectángulos y no
Tema
rectángulos

Autor del contenido Javier Escobar

Solución de Triángulos Rectángulos

Los problemas que involucran triángulos rectángulos pueden ser

solucionados por medio de:

• Razones trigonométricas

33
 Figura 19: Razones trigonométricasImagen recuperada de
https://matesnoaburridas.files.wordpress.com/2015/01/razones-
trigonometricas.jpg

• Teorema de Pitágoras

Este teorema se aplica a triángulos rectángulos, y establece que la

hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
ℎ\ = 𝑎 \ + 𝑏 \

ℎ= 𝑎\ + 𝑏\

𝑎= ℎ\ -𝑏 \

𝑏= ℎ\ -𝑎\

Solución de Triángulos No Rectángulos

Cuando un problema implica triángulos no rectángulos, y hay que dar

solución a este se aplican dos leyes fundamentales:

• Ley del Seno

Relaciona dos lados y dos ángulos, y sirve para determina u lado o un
ángulo conociendo los otros tres valores.

34
 𝑎 𝑏 𝑐
= =
𝑆𝑒𝑛(𝛼) 𝑆𝑒𝑛(𝛽) 𝑆𝑒𝑛(𝛾)

• Ley del Coseno:

Relaciona los tres lados de un triángulo y un ángulo. Sirve para
determinar un lado cuando se conoce el ángulo opuesto a este lado
y los otros dos lados.

𝑎\ = 𝑏 \ + 𝑐 \ − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝛼)

𝑏 \ = 𝑎\ + 𝑐 \ − 2𝑎𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝛽)

𝑐 \ = 𝑎\ + 𝑏 \ − 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝛾)

35
1.5 Identidades trigonométricas
Estas son igualdades en las que interviene las razones trigonométricas y es
válida para cualquier valor angular.

Identidad pitagórica

Según el teorema de Pitágoras:

(CO)2 + (CA)2 = H2

En este triángulo rectángulo se tiene en particular que H = 1, entonces:

Figura 20 – Triángulo rectángulo para ejemplificar la identidad pitagórica.

Entonces, para este ejemplo:

(Sen θ)2 + (Cos θ)2 = 1

Se acostumbra a escribir el cuadrado de las relaciones trigonométricas en

la forma:

Sen2 θ + Cos2 θ = 1

Esta es la primera y principal de las identidades trigonométricas, llamada

identidad pitagórica.

Ejemplo 10: el nadador colombiano Omar Pinzón es invitado a cruzar el río

Magdalena a la altura de la Dorada, donde la anchura del río es de 350

36
metros. Va a cruzar hacia Puerto Salgar en la orilla opuesta. Sin embargo, la
corriente lo lleva 160 metros más abajo. ¿Cuál es la distancia entre el punto
donde se lanzó Omar a nadar y el punto donde toca la orilla?

Considerando la margen opuesta del río como CO = 160 metros y,

perpendicular a su ancho, CA = 350 metros, se aplica el teorema de
Pitágoras para hallar H:

H= (160)\ + (350)\ = 385 metros, aproximadamente.

A partir de la identidad pitagórica fundamental se obtiene que:

Tan2 θ + 1 = Sec2 θ
1 + Cot2 θ = Csc2 θ

Identidades de la suma y la diferencia de ángulos

Son importantes las identidades de suma de dos ángulos, α y β:

Así como las de ángulo doble:

En los siguientes ejemplos se usarán las identidades de la suma de dos

ángulos:

Ejemplo 11: determinar el coseno del ángulo complementario a (x).

37
 Ejemplo 12: determinar el seno del ángulo opuesto a (x).

Ejemplo 13: deducir la identidad para la tangente de la suma de dos ángulos.

Se divide tanto numerador como denominador entre cos (x) cos (y):

38
 Ejemplo 14: encontrar una identidad para el coseno del ángulo medio.

En la identidad del coseno del ángulo doble se coloca 2θ = φ, donde θ = φ/2.

Quedaría de esta forma:

Del teorema de Pitágoras se obtiene:

Sustituido en la anterior ecuación:

Despejando el coseno del ángulo medio:

Nombre de la
Matemáticas Básicas
asignatura
Funciones trigonométricas de números
Tema
reales

Autor del contenido Diana Carolina Ramirez

39
1.6 Funciones trigonométricas de números reales
Para definir las funciones trigonométricas se tomará como referencia las
propiedades de la circunferencia unitaria que se presentan a continuación:

Circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del

plano cartesiano 𝑥, 𝑦 ; y cuya longitud de radio es la unidad.

Su ecuación es: 𝑥 \ + 𝑦 \ = 1

Gráficamente:

Figura 21 Circunferencia Unitaria

Figura 12

Si se traza un segmento perpendicular al eje x desde el punto P, se puede

evidenciar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud de 1
unidad (Ver figura 22), si se aplica el Teorema de Pitágoras, cada punto de
la circunferencia 𝑃 𝑥, 𝑦 satisface la ecuación:

𝑥\ + 𝑦\ = 1

El ángulo θ es el ángulo central de la circunferencia unitaria cuya medida es

𝑡 radianes (ver figura 23). En este caso se cumple, se cumple que:

Para cualquier número Real 𝑡, el ángulo con medida 𝑡 radianes, subtiende un arco 𝑠 de
longitud 𝑡 unidades en la circunferencia unitaria.

40
 Figura 22 Ángulo central de la circunferencia unitaria

Definición de las funciones trigonométricas:

Sea una circunferencia unitaria y 𝜃 su ángulo central de medida 𝑡radianes.

𝑃(𝑥, 𝑦) el punto de intersección del lado final del ángulo 𝜃

Figura 23

En la figura 24, se evidencia 𝑂𝐵 = 1 por ser radio de la circunferencia

unitaria. Al observar el triángulo rectángulo 𝐵𝐻𝑂 se tiene:

41
 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡

𝐵𝐻 𝑦 𝑂𝐻 𝑥 𝐵𝐻 𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = =
𝐵𝑂 1 𝐵𝑂 1 𝑂𝐻 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 𝑥 𝑦
𝑡𝑎𝑛 𝑡 = , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
𝑥

𝑐𝑠𝑐𝜃 = 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑐𝑜𝑡 𝑡

𝐵𝑂 1 𝐵𝑂 1 𝑂𝐻 𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝑡 = = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = = 𝑐𝑜𝑡𝑡 = =
𝐵𝐻 𝑦 𝑂𝐻 𝑥 𝐵𝐻 𝑦

1 1 𝑥
𝑐𝑠𝑐 𝑡 = ; 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 0 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = , 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 0
𝑦 𝑥 𝑦

Tabla 7 Definición de las funciones trigonométricas a partir de la

circunferencia unitaria
Con la información de la tabla se concluye además:

𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡 1
𝑡𝑎𝑛 𝑡 = = ; 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ≠ 0 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = , 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝑡 ≠ 0
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡

42
 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡 1
𝑐𝑜𝑡 𝑡 = = ; 𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ≠ 0 𝑐𝑠𝑐 𝑡 = , 𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ≠ 0
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

Enlace: circulo trigonométrico en Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/SVmJX2sR

Gráfica de las funciones trigonométricas

En esta sección se realizará la gráfica de las funciones trigonométricas:

seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante con sus
características. Para ello se tomará como referencia las relaciones
establecidas en la tabla 7 y el concepto de periodo de una función.

Función periódica:

Una función f es periódica si hay un número positivo 𝑝 tal que 𝑓 (𝑡 + 𝑝) = 𝑓 (𝑡) para toda 𝑡.
El mínimo de tal número positivo (si existe) es el período de 𝑓. Si 𝑓 tiene período 𝒑, entonces
la gráfica de f en cualquier intervalo de longitud 𝑝 se denomina período completo de 𝑓. Stewart
pág. 387.

Figura 24 Periodo de una función. Tomada de: http://goo.gl/3NAdzM

43
La gráfica de una función con período 𝑝 se ve igual en cada intervalo de
longitud 𝑝. Como se muestra en los siguientes ejemplos:

Figura 25 Función con periodo 4. Tomada de: http://goo.gl/dRRmg3

Gráfica función Seno y características:

Figura 26 Gráfica función seno. Tomada de: http://goo.gl/vwGHMd

Características de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥:

44
 𝑥 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

0 0

𝜋 1
6 = 0,5
2

𝜋
3
3 = 0,86
2

𝜋 1
2

1- La función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tiene como dominio el

2𝜋 3
3 = 0,86 conjunto de los números reales.
2
2- El rango de la función es el intervalo [−1,1].
5𝜋 1 3- Es una función impar, es decir que su gráfica es
= 0,5
6 2 simétrica respecto al origen. Cumple que
𝒔𝒆𝒏 (−𝒙) = −𝒔𝒆𝒏𝒙.
𝜋 0 4- El periodo de la función es 2𝜋
5- La función alcanza su valor máximo 1 en los puntos
7𝜋 1 „
6
- = −0,5 𝑥 = \ + 2𝑛 para 𝑛 ∈ 𝑍.
2
6- Los ceros de la función seno se presentan en los
4𝜋 3 múltiplos enteros de 𝜋,
3 - = −0,86
2 Luego 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ; 𝑠𝑖 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ 𝑍
7- La función es continua en todo su dominio.
3𝜋 −1
2

5𝜋 3
3 - = −0,86
2

11𝜋 1
- = −0,5
6 2

2𝜋 0

Tabla 8 Valores función y=senx

45
Los valores de la tabla son graficados en el plano cartesiano tomando como
referencia que en el eje x, se ubican los valores de los ángulos en radianes.
En la figura 28 se muestra la gráfica de la función seno, en color azul y
blanco se indica el periodo de la función 2𝜋

Figura 27 Periodo de la función Seno

Enlace: Gráfica de la función Seno en Geogebra:
https://www.geogebra.org/student/mvwBQ3Cmf

Gráfica función coseno y características:

https://www.geogebra.org/m/xxhnSXDp

46
 1. La función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 tiene como
dominio el conjunto de los números
reales.
2. El rango de la función es el intervalo
[−1,1].
3. El periodo de la función es 2𝜋.
4. La función alcanza su valor máximo 1 en
los puntos 𝑥 = 2𝑛𝜋 para 𝑛 ∈ 𝑍.
5. El valor mínimo es -1 en los puntos 𝑥 =
(2𝑛 − 1)𝜋 para 𝑛 ∈ 𝑍
6. Los ceros de la función seno se presentan
„
en los múltiplos impares de \ ,
Luego 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 ; 𝑠𝑖(2 𝑛 −
„
1) \ , 𝑛 ∈ 𝑍
7. La función es continua en todo su
dominio.
Los valores de la tabla son graficados en el plano cartesiano tomando como
referencia que en el eje x, se ubican los valores de los ángulos en radianes.
En la figura 10 se muestra la gráfica de la función coseno, en color morado
y blanco se indica el periodo de la función 2𝜋

Figura 8 Periodo función coseno Tomado de: http://goo.gl/1T4a5c

47
Gráfica función tangente y característica:

Figura 30 Grafica función tangente. Tomada de: http://goo.gl/Vd6zVK

Se tiene en cuenta las relaciones que se establecieron en la Tabla 7 se

puede establecer que:

En este sentido la tabla de la función tangente es:

„ '„ l„
En la gráfica 30 se identifica que en los valores de , , (representados
\ ,\ \
por la línea punteada) no están definidos, la gráfica de la función crece

48
 „ '„ l„
cuando los valores de x se acercan a , , por derecha. Esto permite
\ \ \
afirmar que las rectas

„ '„ l„
𝑥 = , 𝑥 = ,𝑥 =
\ \ \

Son asíntotas verticales de la función tangente.

Definición de Asíntota vertical:

Se dice que 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de una curva, si la curva crece

indefinidamente o decrece indefinidamente cuando 𝑥 se aproxima al valor de 𝑎, sea
por derecha o por izquierda.

Aunque la gráfica se acerca indefinidamente a la recta 𝑥 = 𝑎, nunca la va a tocar.

(Ver gráfica 11)

Figura 31 Gráfica Asíntota Vertical tomado de: http://goo.gl/7kiZUl

Características de la función tangente:

1. La función 𝑦 = tan 𝑥 tiene como dominio el conjunto:

„
𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ + 𝑛𝜋, 𝑛𝜖𝑅
\

2. El rango de la función es el conjunto de los números reales.

49
 3. Es una función impar, simétrica respecto al origen. Cumple 𝑡𝑎𝑛 -𝑥 =
-𝑡𝑎𝑛𝑥
4. El periodo de la función es 𝜋.
5. Es una función creciente.
6. No tiene máximos ni mínimos.
7. Los ceros de la función tangente se presentan en los múltiplos
impares de 𝜋. Así
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 0 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ 𝑍

En la figura 32 se muestra la gráfica de la función tangente, en color azul y

blanco se indica el periodo de la función 𝜋

Figura 32 Periodo función tangente. Tomado de: http://goo.gl/AhiFp1

Enlace Gráfica función tangente en Geogebra:
https://www.geogebra.org/m/PnmttD6T

Gráfica función cotangente y características:

Se tiene en cuenta las relaciones que se establecieron en la Tabla 7 se

puede establecer que:

50
A continuación se presenta la gráfica de la función cotangente:

Figura 339 Grafica función cotangente

Características de la función cotangente:

1. La función 𝑦 = cot 𝑥 tiene como dominio el conjunto:

{𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≠ 𝑛𝜋 , 𝑛𝜖𝑅}
2. El rango de la función es el conjunto de los números reales.
3. Es una función impar, simétrica respecto al origen. Cumple
𝑐𝑜𝑡 (−𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑥
4. El periodo de la función es 𝜋.
5. Es una función decreciente.
6. No tiene máximos ni mínimos.
7. Los ceros de la función tangente se presentan en los múltiplos
„
impares de . Así
\
𝑦 = cot 𝑥 = 0 ;
𝜋

En la figura 33 se muestra la gráfica de la función cotangente, en color azul

y blanco se indica el periodo de la función 𝜋

51
 Figura 34 Periodo función cotangente Tomada de: http://goo.gl/LUzVZk
Enlace gráfica función cotangente en Geogebra:
https://www.geogebra.org/m/czhsjJJU

Gráfica función secante y características:

Se tiene en cuenta las relaciones que se establecieron en la Tabla 1 se puede

establecer que:

Acorde con la relación anterior, la función secante no está definida para

aquellos valores de x para los cuales cos 𝑥 = 0. Como se observa en la
„ '„
gráfica 35, la función 𝑠𝑒𝑐𝑥 no está definida por ejemplo en 𝑥 = 𝑥 = ; en
\ \
estos casos se dice que estas rectas son asíntotas verticales de la función
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥.

A continuación se presenta la gráfica de la función secante:

52
Figura 35 Gráfica función secante. Tomada de: http://goo.gl/89hcoU

𝑥 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

0 1

𝜋 2
4

𝜋 𝑁. 𝐷
2

3𝜋 - 2
4

𝜋 −1

53
 5𝜋 - 2 Características de la función secante:
4
1- La función 𝑦 = sec 𝑥 tiene como dominio el
3𝜋 𝑁. 𝐷 conjunto:
2 „
’𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≠ + 𝑛𝜋 , 𝑛𝜖𝑅}
\

7𝜋 2- El rango de la función es el conjunto 𝑅 − (−1,1)

2 3- Es una función par, simétrica respecto al eje y.
4
Cumple sec(−𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑐𝑥
4- El periodo de la función es 2𝜋.
2𝜋 1
5- Es una función creciente en los intervalos en los
cuales 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es decreciente. Además, es
decreciente donde 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es creciente, es decir
'„ '„
en los intervalos:“”𝜋, \
• 𝑦 ( \ , 2𝜋)–
6- No tiene máximos ni mínimos. Además no tiene
ceros, nunca es nula.
7- La función es continua en todo su domino, es decir
„
el conjunto ’𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≠ \ + 𝑛𝜋, 𝑛𝜖 𝑍—

En la figura 36 se muestra la gráfica de la función tangente, en color azul y

blanco se indica el periodo de la función 2𝜋

Figura 36 Periodo función secante Tomada de: http://goo.gl/Vx6nsX

54
 Enlace gráfica función secante en Geogebra:
https://www.geogebra.org/m/kczc7FzX

Gráfica función cosecante y características:

Se tiene en cuenta las relaciones que se establecieron en la Tabla 1 se puede

establecer que:

Acorde con la relación anterior, la función cosecante no está definida para

aquellos valores de x para los cuales 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0. Como se observa en la
gráfica 37, la función 𝑐𝑠𝑐𝑥 no está definida por ejemplo en 𝑥 = 0 𝑥 = 𝜋, 𝑥 =
2𝜋; en estos casos se dice que estas rectas son asíntotas verticales de la
función 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥.

A continuación se presenta la gráfica de la función secante:

Figura 37 Grafica función cosecante. Tomada de: http://goo.gl/ctZpZ3

55
 Características de la función secante: 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥

1. La función 𝑦 = sec 𝑥 tiene como dominio el 0 𝑁. 𝐷

conjunto:
{𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≠ 𝑛𝜋 , 𝑛𝜖𝑅} 𝜋 2
2. El rango de la función es el conjunto 𝑅 − (−1,1) 4
3. Es una función impar, simétrica respecto al origen.
Cumple 𝑐𝑠𝑐 (−𝑥 ) = −𝑐𝑠𝑐𝑥 𝜋 1
4. El periodo de la función es 2𝜋. 2
5. Es una función cosecante es creciente en los
intervalos en los cuales 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es 3𝜋
„ '„
2
decreciente.“” \ , 𝜋)• 𝑦 (𝜋, \
)– Y es estrictamente 4
decreciente donde 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es creciente, es
„ '„
decir, “”0, \ )• 𝑦 ( \ , 2𝜋)– 𝜋 𝑁𝐷
6. No tiene máximos ni mínimos. Además no tiene
ceros, nunca es nula. 5𝜋 - 2
7. La función es continua en todo su domino, es decir 4

3𝜋 −1
En la figura 38 se muestra la gráfica de la función 2
tangente, en color azul y blanco se indica el periodo
de la función 2𝜋 7𝜋 - 2
4

2𝜋 𝑁𝐷

56
 Figura 38 Periodo función cosecante Tomada de: http://goo.gl/UO1YG8

Enlace gráfica función cosecante en Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/KZUZTwXA

Resumen características de las funciones trigonométricas:

Figura 39 Síntesis características funciones trigonométricas.

57
 Tomado de: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica 12°Edición.
Editorial Cengage Learning.

Variaciones de las funciones trigonométricas

Principios de graficación:

Las gráficas de las funciones trigonométricas sufren transformaciones

cuando la variable independiente o la función se multiplican por algún
número real, cambiando la gráfica de la a partir de alargamientos,
compresiones, traslaciones o reflexiones según sea el caso.

1. Traslaciones: Si se conoce la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pueden

realizar dos tipos de desplazamientos: verticales y horizontales.
a. Desplazamiento vertical: Se obtiene al sumar o restar un valor 𝑐 a la
función dada. Así:

Ecuación Efecto en la gráfica Gráfica

𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐 > 0 La gráfica se desplaza

verticalmente c
unidades hacia arriba.

Figura 10 Tomado de
Álgebra y
Trigonometría con
Geometría Analítica
12°Edición. Editorial
Cengage Learning.

58
 𝑦 = 𝑓 𝑥 -𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐 > 0 La gráfica se desplaza
verticalmente c
unidades hacia abajo.

Figura 11 Tomado de
Álgebra y
Trigonometría con
Geometría Analítica
12°Edición. Editorial
Cengage Learning
Tabla 8 Desplazamiento vertical de una gráfica

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥,

𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2

59
ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 5

Tabla 9 Desplazamiento vertical gráfica y=senx

b. Desplazamiento horizontal: Se obtiene al sumar o restar un
valor 𝑐 a la función dada de la siguiente manera:

Ecuación Efecto en la gráfica Gráfica

𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐 La gráfica se
>0 desplaza
horizontalmente
hacia la izquierda c
unidades

Figura 12 Tomado de
Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica
12°Edición. Editorial Cengage
Learning.

60
 𝑦 = 𝑓 𝑥-𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐 > 0 La gráfica se
desplaza
horizontalmente
hacia la derecha c
unidades

Figura 13 Tomado de
Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica
12°Edición. Editorial Cengage
Learning.

Tabla 10 Desplazamiento horizontal de una gráfica

Ejemplo:

Sea 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥

61
 𝑔 𝑥
𝜋
= 𝑡𝑎𝑛(𝑥- )
2

𝜋
ℎ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥- )
8

Tabla 11 Desplazamiento horizontal función tangente

2. Reflexiones: Se puede realizar la reflexión de una gráfica tomando
como referencia el eje respecto al cual se va a realizar la
transformación, puede ser respecto al eje x o respecto al eje y.

62
 - Respecto al eje x: Para realizar la reflexión de la gráfica de la
función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se obtiene determinando 𝑦 = -𝑓(𝑥)
- Respecto al eje y: Para realizar la reflexión de la gráfica 𝑦 = 𝑓(𝑥)
se obtiene determinando 𝑦 = 𝑓(-𝑥)
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 y 𝑔 𝑥 = -𝑐𝑜𝑠𝑥

Para este caso 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es igual a 𝑓 𝑥 = cos (-𝑥)

Figura 40 Reflexión de la función coseno.

3. Compresión o alargamiento.
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑎 un número real positivo. Se tienen las siguientes
transformaciones.

Transformación Horizontal Vertical

Alargamiento 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) con 0 < 𝑐 > 1 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) con 𝑐 > 1

La gráfica se alarga
verticalmente.

63
 La gráfica se elonga
horizontalmente en un
&
factor de
›

Compresión 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) con 𝑐 > 1 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) con 0 < 𝑐 > 1

La gráfica se comprime La gráfica se comprime

horizontalmente en un verticalmente.
factor de 𝑐

Tabla 12 Elongamiento y compresión de una gráfica

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 se presenta la transformación alargamiento.

Horizontal

1
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3

Vertical

𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥

64
 Tabla 13 Alargamiento vertical y horizontal función seno

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 se presenta la transformación compresión.

Horizontal

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥

Vertical

1
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
3

Tabla 14 Compresión horizontal y vertical función seno

A continuación las características de amplitud, periodo y desplazamiento de

fase de las gráficas de las funciones trigonométricas.

65
 - Amplitud:
La amplitud |𝐴| de una función 𝑓 𝑥 es el valor absoluto de la mitad de la
diferencia entre M y m. con M valor máximo de la función y m valor mínimo
&
de la función. Se obtiene mediante la siguiente expresión: 𝐴 = | 𝑀-𝑚 |
\

Ejemplo: Con la función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

&
𝐴 = | (1 − (−1)||
\

&
𝐴 = | (2)||
\

2
𝐴 = =1
2

La amplitud de la función se observa en la figura 41:

Figura 41 Amplitud función cero.

En las funciones 𝑦 = 𝑨 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 y 𝑦 = 𝑨𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥 𝐴 𝑦 𝑏 ≠ 0

La amplitud de las funciones es |𝑨|

66
Ejemplo: 𝑦 = 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 la amplitud es |𝐴| = |5| = 5

Figura 42 Amplitud función y=5cosx

- Periodo de las funciones seno y coseno.

Sí 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝒃𝑥 y 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝒃𝑥 con 𝒃 > 0.

El periodo de la función 𝑇 se determina mediante la expresión:

𝟐𝝅
𝑻=
|𝒃|

67
Ejemplo: Sea la función 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛3𝑥

Se identifica A= 2, b=3

Figura 43 Gráfica función y=2sen3x

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝐴 = 2 = 2

2𝜋 2𝜋 2𝜋
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜: 𝑇 = = =
|𝑏| |3| 3

\„
Entonces, la onda senoidal tiene una amplitud de 2 en el intervalo 0,
'

68
 - Desplazamiento de fase de las funciones seno y coseno.

Sí 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑥 + 𝒄) y 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑏𝑥 + 𝒄) con 𝑐𝑜𝑛 𝒃 𝒚 𝒄 ≠ 0.

El desplazamiento de fase sobre el eje x, tomando como referencia la función

𝒄
𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 Se determina mediante la expresión: −
𝒃

- Si 𝑐 > 0 el desplazamiento es hacia la izquierda.

- Si 𝑐 < 0 el desplazamiento es hacia la derecha.

„
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 5cos (𝑥 + )
\

„
Se identifica A= 5, b=1, c=
\

Figura 44 Gráfica función f(x)=5cos(x+π/2)

69
Características:

- Amplitud: 𝐴 = 5 = 5
\„ \„
- Periodo: 𝑇 = = = 2𝜋
© &
ª
› „
- Desplazamiento de fase: - = - «
=-
© & \

Entonces, la onda cosenoidal tiene una amplitud de 5 en el intervalo 0,2𝜋 ,

-„
Como Si 𝑐 > 0 el desplazamiento de fase es hacia la izquierda de
\

- Periodo, desplazamiento de fase y asíntotas función tangente.

Sí 𝑦 = 𝐴𝑡𝑎𝑛 (𝑏𝑥 + 𝑐) y 𝑦 = 𝐴𝑡𝑎𝑛 (𝑏𝑥 + 𝑐) con 𝑎 𝑦 𝑏 ≠ 0.

𝝅
- El periodo es 𝑻 =
|𝒃|
𝒄
- El desplazamiento de fase es −
𝒃
- Las asíntotas verticales para la gráfica se pueden determinar al resolver la siguiente desigualdad:
−𝜋 𝜋
< 𝑏𝑥 + 𝑐 <
2 2

& „ „
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = tan (2𝑥- ) Se identifica A= 1/3, b=2, c=-
' k k

70
 Figura 45 Periodo y desplazamiento función f(x)=1/3 tan(2x-π/4)
Características:
„ „
- Periodo: 𝑇 = =
© \
ª
› - „
- Desplazamiento de fase: - = - ¬
=
© \ -
- Asíntotas verticales
-𝜋 𝜋 𝜋
< 2𝑥- <
2 4 2

-𝜋 3𝜋
< 2𝑥 <
4 4

-𝜋 3𝜋
<𝑥<
8 8

71
 - Periodo, desplazamiento de fase y asíntotas función cotangente.

Sí 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑡 (𝑏𝑥 + 𝑐) y 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑡 (𝑏𝑥 + 𝑐) con 𝑎 𝑦 𝑏 ≠ 0.

𝝅
- El periodo es 𝑻 = |𝒃|
𝒄
- El desplazamiento de fase es −
𝒃
- Las asíntotas verticales para la gráfica se pueden determinar al resolver la
siguiente desigualdad:
0 < 𝑏𝑥 + 𝑐 < 𝜋

„ „
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 (3𝑥 + ) Se identifica A= 1, b=3, c=
\ \

Figura 46 Gráfica función cotangente

72
 „ „
- Periodo: 𝑇 = =
© '
ª
› „
- Desplazamiento de fase: - = - «
=-
© ' (
- Asíntotas verticales
𝜋
0 < 3𝑥 + < 𝜋
2
𝜋 𝜋
- < 3𝑥 < 𝜋-
2 2
𝜋 𝜋
- < 3𝑥 <
6 6

Funciones trigonométricas inversas

A continuación se presentan las gráficas de las inversas de las funciones

trigonométricas:

Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥

73
 Figura 47 Inversa función seno. Tomado de: https://goo.gl/sz5zxa

Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 ®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥

Figura 48 Inversa función coseno. Tomado de https://goo.gl/ZmQDTf

74
 Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥

Figura 49 Inversa función tangente. Tomado de https://goo.gl/LpVuAo

75
 Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 ®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥

Figura 50 Inversa función cotangente. Tomada de https://goo.gl/Bzvg3p

Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 ®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑥

76
Figura 51 Inversa función secante. Tomado de: https://goo.gl/QeaqpV

Función trigonométrica Función Inversa

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑓 ®& 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 ®& 𝑥

𝑓 ®& 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑐 𝑥

77
 Figura 52 Inversa función cosecante. Tomado de: https://goo.gl/8ic0gL

Nombre de la
Matemáticas Básicas
asignatura
Tema Ecuaciones trigonométricas

Autor del contenido Javier Escobar

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las ecuaciones trigonométricas son igualdades entre funciones
trigonométricas, en donde la incógnita es el ángulo común de las funciones.

2
cos (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2

78
Solución de Ecuaciones Trigonométricas

Al igual que una ecuación lineal o cuadrática, la solución de una ecuación

trigonométrica implica encontrar todos los valores que satisfagan la
igualdad, estos valores pueden ser ilimitados, debido al carácter periódico
de estas funciones.

Si bien es cierto no existe un método específico para solucionar ecuaciones

trigonométricas, se puede tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Transformar todas las funciones de la igualdad en una sola función

(especialmente en seno, coseno o tangente), empleando de ser
necesario las razones e identidades trigonométricas.
2. Una vez la identidad este en términos de una sola función, se emplean
todos los pasos que se siguen para solucionar una ecuación
algebraica.
3. Finalmente se resuelve la parte trigonométrica, determinado el
ángulo para el cual se cumple la igualdad.

Ecuaciones trigonométricas de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑘

Este tipo de ecuaciones posee una función trigonométrica igualada a un

número real k. Por ejemplo:

\
• 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
\

2 La igualdad está en términos de una sola

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = función
2

79
 𝑥 Se despeja en ángulo x, hallando la razón
2 trigonométrica a la menos 1. Para este caso es
= 𝑠𝑒𝑛®& el arcoseno.
2

𝑥 = 45° Se halla el valor de x

Para hallar los demás valores solución de la ecuación

trigonométrica, se puede emplear la siguiente expresión, siempre y
cuando la función sea 𝑆𝑒𝑛(x) o 𝐶𝑠𝑐(𝑥):

𝑥o = 𝑛𝜋 + (−1)o ∙ 𝑥°

Donde,

𝑥o Ángulos (otras soluciones en radianes)

𝑛 Número entero

Ángulo principal(primera solución en

𝑥°
radianes)

Solución principal Solución principal Otras soluciones en

en grados en rad. radianes

(𝑥o = 𝑛𝜋 + (−1)o ∙ 𝑥° )

80
 3𝜋
𝑥& =
𝜋 4
𝑥 = 45° 𝑥° =
4 7𝜋
𝑥\ =
4

Ecuaciones Trigonométricas Lineales

Se despeja la función trigonométrica hasta llegar a una ecuación de la

forma 𝑓 𝑥 = 𝑘.

• 12 + 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 13, en el intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

12 + 2𝑐𝑜𝑠 𝑥
La igualdad está en términos de una sola función
= 13

2𝑐𝑜𝑠 𝑥
= 13 − 12
Se realiza la transposición de términos hasta obtener
2𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 una función 𝑓 𝑥 = 𝑘.
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
2

Se despeja en ángulo x, hallando la razón

®&
1
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 trigonométrica a la menos 1. Para este caso es el
2 arcocoseno.

𝑥 = 60 Se halla el valor de x

81
Para hallar los demás valores solución de la ecuación trigonométrica, se
puede emplear la siguiente expresión, siempre y cuando la función sea
𝐶𝑜𝑠(𝑥) o 𝑆𝑒𝑐(𝑥):

𝑥o = 2𝑛𝜋 ± 𝑥°

donde,

𝑥o Ángulos (otras soluciones en radianes)

𝑛 Número entero

Ángulo principal(primera solución en

𝑥°
radianes)

Solución principal Solución Otras soluciones en radianes

en grados principal en rad.
(𝑥o = 𝑛𝜋 + (−1)o ∙ 𝑥° )

𝜋 5𝜋
𝑥 = 60° 𝑥° = 𝑥& =
3 3

Ecuaciones trigonométricas por medio de factorización

Ciertas ecuaciones trigonométricas están expresadas como el producto

de dos o más términos igualados a cero:

• 𝑠𝑒𝑛\ 𝑥 = 1

82
 La igualdad está en términos de una sola función,
𝑠𝑒𝑛\ 𝑥 − 1 = 0 y se iguala a cero.

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Efectúa la diferencia de cuadrados
−1

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0 Se iguala cada término a cero

𝑥& = 𝑠𝑒𝑛®& −1 Se despeja en ángulo x, para cada una de las

igualdades, hallando la razón trigonométrica a la
𝑥\ = 𝑠𝑒𝑛®& 1 menos 1. Para este caso es el arcoseno.

𝑥& = − 90°
Se halla el valor de x
𝑥\ = 90°

𝜋 3𝜋
𝑥& = - ,
2 2
Otras soluciones
𝜋
𝑥\ =
2

Ecuaciones trigonométricas cuadráticas

Para dar solución a este tipo de ecuaciones se puede hacer uso de la

ecuación cuadrática.

• tan\ (𝑥) + 2 tan 𝑥 = −1

83
tan\ (𝑥) + 2 tan 𝑥 + 1 La igualdad está en términos de una sola función,
=0 y se iguala a cero.

𝑡 \ + 2𝑡 + 1 = 0 Se hace cambio de variable y se remplaza tan 𝑥

por t, para facilitar el proceso de aplicación de la
ecuación cuadrática

−2 ± 2\ − 4(1)(1) Aplica la ecuación cuadrática, y se resuelve

𝑡=
2(1)

−2 ± 0
𝑡=
2

𝑡 = −1

tan (𝑥) = −1 Se hace nuevamente cambio de variable a la

función principal

𝑥& = 𝑡𝑎𝑛®& −1 Se despeja en ángulo x, para cada una de las

igualdades, hallando la razón trigonométrica a la
menos 1. Para este caso es el arcotangente.

𝑥& = − 45° Se halla el valor de x

𝜋 Otras soluciones
𝑥& = -
4

84
 Para hallar los demás valores solución de la ecuación trigonométrica,
se puede emplear la siguiente expresión, siempre y cuando la función
sea 𝑡𝑎𝑛(𝑥) o 𝐶𝑡𝑔(𝑥):

𝑥o = 𝑛𝜋 + 𝑥°

donde,

𝑥o Ángulos (otras soluciones en radianes)

𝑛 Número entero

Ángulo principal(primera solución en

𝑥°
radianes)

Solución principal Solución principal Otras soluciones en

en grados en rad. radianes

(𝑥o = 𝑛𝜋 + (−1)o ∙ 𝑥° )

𝜋 3𝜋
𝑥 = 60° 𝑥° = - 𝑥& =
4 4

Ecuaciones trigonométricas con identidades fundamentales

Las ecuaciones de este tipo se resuelven empleando las identidades

trigonométricas.

85
 Expresa la igualdad en términos de una sola
3𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3 = 2(1
función, para ello se emplea la identidad 𝑠𝑒𝑛\ 𝑥 =
− 𝑐𝑜𝑠 \ (𝑥))
1 − 𝑐𝑜𝑠 \ (𝑥).

Resuelven las operaciones pertinentes

\
2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0 (transposición de términos y reducción de
cantidades semejantes). Se iguala a cero.

2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1
=0
Se factoriza o se aplica la ecuación cuadrática
para hallar las soluciones.

2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0
Se igual a cero cada uno de los términos.
𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0

1
𝑥& = c𝑜𝑠 ®& -
2 Se despeja en ángulo x, para cada una de las
igualdades, hallando la razón trigonométrica a la
menos 1. Para este caso es el arcocoseno.
𝑥\ = 𝑐𝑜𝑠 ®& −1

2𝜋
𝑥& = 120° =
3 Se halla el valor de x
𝑥\ = 𝜋

4𝜋
𝑥& =,
3 Otras soluciones
𝑥\ = 2𝜋

86
2. Funciones

El plano cartesiano sirve para ubicar coordenadas y, como consecuencia

de ello, para representar funciones gráficamente.

Un plano cartesiano se forma por la intersección de una recta horizontal y

una vertical. La horizontal representa el eje de las X, o abscisas, y la vertical
el eje Y, u ordenadas.

La intersección forma cuatro cuadrantes I, II, III y IV (ver Figura 11), que
representan las distintas coordenadas posibles.

En el plano se ubican pares ordenados dependiendo de las coordenadas

dadas. El punto donde se cortan las rectas se denomina origen y es el punto
(0,0), o sea 0 para X y 0 para Y.

Desde el origen hacia la derecha se ubican los valores positivos del eje X, y
a la izquierda los negativos; del mismo modo para Y, hacia arriba se sitúan
los valores positivos y hacia abajo los negativos.

Figura 11 – Plano cartesiano.

87
En conclusión, en un plano se pueden ubicar puntos dependiendo de las
coordenadas o encontrar las coordenadas de un punto (ver Figura 53 ), así:

(6,4), que es lo mismo que: 6 para X y 4 para Y.

(-7,6), que es lo mismo que: -7 para X y 6 para Y.

(-2,-7), que es lo mismo que: -2 para X y -7 para Y.

Si los puntos dispuestos corresponden a una misma función, al unirlos se

encuentra su representación gráfica (Ver figura 54).

Figura 54 - Plano cartesiano, ejemplo con valores en los ejes X y Y.

La línea recta (Figura 54) es la representación de una función lineal de la

cual existen diversos tipos que se estudiarán más adelante.

88
Figura 55 – Plano cartesiano con línea recta, función lineal.

2.1 Concepto de función

A menudo en el lenguaje se usan expresiones donde se involucra una
premisa y, en seguida, se condiciona lo afirmado con otra, por ejemplo, se
podría decir “Voy a visitar a Angélica si hoy hace sol”. Acá se está
estableciendo una dependencia de una acción respecto a una circunstancia.
A este tipo de relación se le llama función, dado que la acción dependerá
de la circunstancia.

En matemáticas se tiene una relación de la misma clase. Una variable

dependerá de otra y la forma de esta dependencia es la que se conoce
estrictamente como una función, la cual se expresa así:

y = f (x)

89
La variable (y) depende de (x) y esa dependencia tiene la forma f. De esta
forma, si se escribe 𝑦 = 2𝑥 + 1, se dice que (y) depende de (𝑥) conforme que
(𝑥) se multiplique por 2 y luego se le sume 1. La forma funcional será: 2𝑥+1.

Todos los días se manipulan funciones matemáticas de algún tipo. Una lista
de productos y sus respectivos precios es una función, un directorio
telefónico es una función, las calificaciones que reciben los estudiantes al
final de un periodo de estudio, son funciones3.

2.2 Definición
Dados dos conjuntos, las funciones son las relaciones de sus elementos; o
sea, que a cada elemento de uno de los conjuntos le corresponde solo uno
del otro. Por ejemplo, a cada artículo de una papelería le corresponde un
precio. En este caso, varios artículos pueden tener el mismo precio, pero
cada artículo no puede tener más de un valor de cobro. Esta última es una
regla ineludible para afirmar que una relación de conjuntos es una función.

Figura 56 – Correlación de funciones.

2.3 Funciones continuas

Una función continua puede considerarse como una correspondencia de un
conjunto (D) de números reales (𝑥), a un conjunto (E) de números reales (y),

3 Enciclopedia Lúmina siglo XXI, tomo: matemáticas e informática.

90
donde el número (y) es único para cada valor específico de (𝑥). (Leithold,
1998).

Si existe una regla mediante la cual se asocia un solo valor de (y), variable
dependiente, a un valor (𝑥), variable independiente, esta regla se expresará
por medio de una ecuación (su forma). Por ejemplo, la ecuación y = x2 – 5
define una función para la cual (D) es el conjunto de todos los números
reales y (E) es el conjunto de todos los números reales que se obtienen
cuando se toma un elemento real (𝑥), se eleva al cuadrado y se le resta 5,
entonces:

En 𝑥 = 3, 𝑦 = 32 – 5 = 4
En 𝑥 = -1, 𝑦 = (−1)2 – 5 = −4

Tabla 2

Valores asociados a la ecuación y = x2 – 5.

Para denotar funciones se utilizan símbolos como 𝑦 = (𝑥), 𝑣 = 𝐺(𝑢), 𝐿 = 𝑠(𝑡) donde
la variable independiente se coloca entre paréntesis (x, u, t) y las
dependientes (𝑦, 𝑣, 𝐿) no, respectivamente. Las letras 𝑓, 𝑠, indican la forma
de la función, pues, en álgebra, se puede usar cualquier letra para referirse
a una variable.

2.4 Dominio y codominio

El conjunto (D) que contiene los elementos que pueden ser afectados por la
función es el Dominio de la función. El conjunto (E) de reales asignados a los
𝑥 y que resulta de todas las “acciones” de la función en los elementos del
Dominio, es el Codominio, también llamado Recorrido de la función.

Como a cada elemento del codominio (y) le corresponde unívocamente un

elemento del dominio (𝑥), a este elemento (y) se le llama Imagen de (𝑥).

91
Para hacer referencia al dominio y al codominio de una función, se utiliza la
notación de intervalos (vista en el anterior Módulo).

Ejemplo 15: y = 3x + 1

(x) puede tomar cualquier valor real, de tal manera que siempre se va a
obtener un valor para (y). Eso significa que el dominio es el conjunto de
todos los reales, es decir que D: (–∞, ∞). Normalmente se escribe también,
por comprensión, D: { 𝑥:𝑥∈ℝ}.

Dada la forma de la función, ella permite obtener cualquier valor de (y),

luego no hay limitación a los valores que puedan tomar (y); así, el codominio
es, igualmente, el conjunto de todos los reales, E: (–∞, ∞)

Ejemplo 16: y = x2 – 5

(x) puede tomar cualquier valor real, de tal manera que siempre se va a
obtener un valor para (y). Eso significa que el dominio es el conjunto de
todos los reales, es decir que D: (–∞, ∞).

No obstante, existe un conjunto de valores para (y) que no se puede obtener

con esta función. Al inspeccionar, se puede realizar que (y) nunca puede ser
igual a -6, -7, -8, etcétera. Ningún número real (x), al elevarse al cuadrado y
restársele 5, dará menor que -5. El mínimo valor que puede tomar x2 es 0,
puesto que todo número al cuadrado es positivo. Siendo 0 el mínimo, el
mínimo absoluto se obtiene restándole 5 a 0; o sea, -5. Luego, el recorrido
de dicha función no incluye los reales menores a -5 dado que este es el
mínimo absoluto.

El codominio, entonces, será el correspondiente conjunto complemento, E:

[-5, ∞). Ello significa que la función solo tomara valores mayores a -5.

Ejemplo 17: h(r) = 1 – 2r2

De nuevo, (r) acepta cualquier valor real, de tal manera que el dominio es (–
∞, ∞).

92
En este caso, el conjunto de valores para h(r) que no se puede obtener con
esta función son todos los mayores que 1 (probarlo con h = 2 y 3). El mínimo
valor que puede tomar 𝑟2 es 0. Al multiplicarse por 2 se sigue teniendo 0
como mínimo. Cuando 0 se resta de 1, este pasa a ser un “máximo absoluto”,
puesto que no existe número positivo que al restársele 1, dé mayor que 1. De
este modo, queda establecido el recorrido como (–∞, 1]

Ejemplo 18: H(x) = 5 + |x|

Es claro que el valor absoluto está definido para cualquier número real, así
que el dominio será (–∞, ∞).

Sin embargo, una vez más se observa que, siendo el valor absoluto un
número positivo, su valor mínimo será 0. Al sumársele 5, este pasará a ser
el mínimo absoluto. Luego, el codominio corresponde al conjunto [5, ∞).

Ejemplo 19: g(z) = 𝑥 \ − 4

En este caso es más sencillo identificar el codominio, pues, ninguna raíz

cuadrada es negativa. En conclusión, E: [0, ∞)

Para el dominio hay que tener en cuenta que las raíces cuadradas de
números negativos no están definidas en variables reales (sino imaginarias).
Por lo tanto, necesariamente, 9 – z ≥ 0, es decir, z ≤ 9. El dominio es el conjunto
de los reales menores o iguales que 9.

Ejemplo 20: 𝜑 = 𝑥 \ − 4

Al igual que en el ejemplo anterior, el codominio son los números reales

positivos.

El dominio se identifica siguiendo la misma vía; necesariamente 𝑥2 – 4 ≥ 0. Se

resuelve la inecuación por el método ya conocido:

Así, pues, el dominio es el conjunto unión (–∞, –2 ] U [ 2, ∞).

93
2.5 Gráficas de funciones
Con lo anterior se ejemplifica que no es sencillo analizar el dominio y
codominio de una función si no se tiene un suficiente manejo de las
operaciones con números.

Por ello, resulta sumamente útil tener una representación gráfica de las
funciones. La imagen de un objeto abstracto, como lo es una función,
permite un nivel de comprensión mucho mayor. Visualizar la función facilita
identificar inmediatamente dominio y codominio, así como puntos de corte
con los ejes, valores máximos o mínimos, intervalos de crecimiento o
decrecimiento y las tendencias de la función para valores grandes de (x),
tanto positivos como negativos, curvatura, etcétera.

El procedimiento general de graficar cualquier función es a través de la

tabulación de datos, en la cual se asigna indistintamente un valor a (x) y este
se remplaza en la función para obtener el de (y). Hecho esto, se encuentra
la pareja ordenada y se ubica en el plano cartesiano.

Ejemplo 21: y = f(x) = x2 – 5

Tabla 4

Tabulación de datos para el ejercicio del ejemplo 21.

Las parejas ordenadas son: (-3, 4); (-2, -1); (-1, -4); (0,-5); (1, -4); (2, -1); (3, 4); (4, 11).

Enseguida los puntos ubicados en el plano cartesiano se unen mediante una

curva suave y continúa siguiendo la tendencia de los puntos (Figura 15).

94
Figura 57 – Unión de puntos en plano cartesiano del ejercicio 21.

95
 Ejemplo 22: g(z) = 9 − 𝑧

Tabla 5

Tabulación de datos para el ejercicio del ejemplo 22.

Figura 58 – Unión de puntos en plano cartesiano del ejercicio 22.

2.6 Tipos de funciones

En matemáticas existen variados tipos de funciones, sin embargo, durante
este módulo solo se estudiarán dos de estas: la función lineal y la función
cuadrática.

96
 Función lineal

Tiene la forma:

y = 𝑎) + 𝑎& 𝑥

Su dominio son todos los reales, su recorrido también es el conjunto de los

reales. En la Figura 17 se aprecia una función lineal, dibujada en rojo, de
pendiente positiva, mientras que la dibujada en azul corresponde a una de
pendiente negativa.

Se entiende por pendiente la inclinación de la línea. Una pendiente es

positiva si en la medida en que se avanza en la dirección (x) se incrementa
la función en la dirección (y), creciente. Una pendiente negativa significa que
en la medida en que se avanza en la dirección (x) decrece en la dirección
(y), como indican las respectivas gráficas.

La función constante corresponde a la funciona lineal de pendiente 0 y si la

recta se hace más vertical, su pendiente tiende a infinita.

Figura 59 – Plano cartesiano con función lineal graficada.

97
Ecuación de la línea recta

Corte – pendiente

Tal como está escrita arriba, la función lineal está en la forma Corte –
Pendiente, donde el corte hace referencia al valor de a0 y corresponde al
corte con el eje de las ordenadas.

La pendiente se identifica con el coeficiente de (x).

Ejemplo 23: y = 4x – 5

Su pendiente es 4 y su corte es -5 (ver Figura 18, en rojo).

Ejemplo 24: y = –x + 3

Su pendiente es -1 y su corte es 3 (ver Figura 18, en azul).

Dos puntos

Dados dos puntos pertenecientes a una recta, (𝑥& , 𝑦& ) y (𝑥\ , 𝑦\ ) (Figura 19). La
pendiente (m) se calcula como:

Donde el símbolo Δ significa diferencia o incremento en la correspondiente

variable. Cualquier otro punto de la recta (𝑥, 𝑦) debe cumplir de forma igual.

Figura 60 – Plano cartesiano que ejemplifica la ecuación de una línea recta

en dos puntos.

98
 De aquí se deduce que:

Es la forma dos puntos de la función lineal.

Figura 61 – Plano cartesiano ejemplificando la función lineal de los dos

puntos.

99
Ejemplo 25: expresar en las dos formas la ecuación de la recta que pasa
por los puntos (9, 8) y (5, -3).

Se calcula la pendiente:

Se puede tomar como punto referente el (8,9) y tener:

Seguidamente:

100
 Aquí se identifica el corte con la coordenada: -13.

Ejemplo 26: escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,4) y
tiene una pendiente de -7.

El punto (0,4) es justamente el corte con las ordenadas, así que:

𝑦 = −7𝑥 + 4

Ejemplo 27: dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Escribir la

ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-6) y es paralela a la recta y =
'
x – 1.
-

'
La recta en cuestión debe tener la misma pendiente, 𝑚 = ; usando la forma
-
“dos puntos”.

Por el teorema fundamental del álgebra, la función lineal debe tener una
sola raíz (por ser de primer grado). Esta se encuentra haciendo y = 0:

Ejemplo 28: y = 4x – 5

®l l
Su raíz es x = – =
k k

Ejemplo 29: y = –x + 3

101
 l
Su raíz es x = – =3
®&

Función cuadrática

Tiene la forma:

Por comodidad se prefiere escribir:

𝑥∈ℝ, (dominio los reales).

La gráfica de la función cuadrática se denomina como la parábola y,

dependiendo del valor de (𝑎), la parábola abre hacia arriba si 𝑎 > 0 o abre
hacia abajo si 𝑎 < 0; (gráficas azul y roja en la Figura 20, respectivamente).
Esencialmente lo que se busca es ubicar raíces y vértice de la parábola.

Las raíces se encuentran con la ya conocida fórmula cuadrática:

Figura 62 – Plano cartesiano que ejemplifica la gráfica de las funciones

cuadráticas.

102
Recuérdese que dependiendo del discriminante se tienen dos soluciones
reales diferentes, dos soluciones reales repetidas y dos soluciones
complejas; de ese modo, se tienen respectivamente dos cortes con el eje
horizontal, una parábola tangente al eje horizontal y una parábola que no
corta al eje horizontal (ver Figura 20).

El vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola. Por la simetría

vertical de ésta, la abscisa del vértice es el punto medio de las raíces.

La ordenada correspondiente a 𝑥¸ es:

103
A un lado del vértice la función crece mientras que al otro lado
necesariamente decrece.

Ejemplo 30: encontrar los puntos de intersección, coordenadas del vértice,

dominio y codominio de la parábola dada por la función:

y = x2 – 3x – 4

Aplicando la fórmula cuadrática:

Como el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola abre

hacia arriba, luego el vértice es un punto mínimo.

El dominio son todos los números reales, el codominio será el conjunto de

®\l ®\l
los reales mayores o iguales que , E: [ , ∞). Ver Figura 21.
k k

Figura 63 – Plano cartesiano del ejercicio del ejemplo 30.

104
Figura 64 – Plano cartesiano del ejercicio del ejemplo 30.

105
Ejemplo 31: encontrar los puntos de intersección, coordenadas del vértice,
dominio y codominio de la parábola dada por la función:

y = –2x2 + 4x + 1

Aplicando la fórmula cuadrática:

Como el coeficiente del término cuadrático es negativo, la parábola abre

hacia abajo. Luego, el vértice es un punto máximo.

El dominio son todos los números reales. El codominio será el conjunto de

los reales menores o iguales que 3, E: [−∞,3). Figura 23

Figura 65 – Plano cartesiano del ejercicio del ejemplo 31.

106
3 Glosario

Términos de trigonometría

Identidad trigonométrica: igualdad entre relaciones trigonométricas.

Relación trigonométrica: cociente entre las medidas de los catetos y la

hipotenusa de un triángulo rectángulo, dependiendo de la abertura de sus
ángulos.

Teorema de Pitágoras: relación de igualdad entre la suma de los cuadrados

de los catetos y el cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Trigonometría: disciplina matemática que estudia las relaciones entre

longitudes de lados y abertura de ángulos en los triángulos.

Términos sobre funciones

107
 Argumento: valor en el cual se calcula una función trascendente.

Codominio: conjunto de valores reales que son el resultado de operar sobre

el dominio a través de una función.

Dominio: conjunto de valores reales que puede ser afectado por la regla o
forma asociada a una función.

Función: relación entre elementos de dos conjuntos en donde a un elemento

de uno de los dos conjuntos le corresponde solo un elemento del otro
conjunto de acuerdo a una regla o forma que usualmente se escribe como
una ecuación.

Función polinómica: aquella que tiene la forma de un polinomio.

Funciones trascendentes: aquellas donde la variable independiente figura

como exponente, como argumento del logaritmo o de una función
trigonométrica.

Modelo matemático: descripción matemática de un sistema, un fenómeno o

un proceso del mundo real.

Pendiente de la recta: inclinación de una línea recta. Cociente constante

entre intervalos de la variable dependiente y la variable independiente.

Parábola: gráfica de la función cuadrática.

Plano cartesiano: espacio de dos dimensiones donde se representan

gráficas de funciones.

Raíces de una función: valores del dominio donde una función se hace igual
a 0.

Variable dependiente: cantidad con la que se escribe el valor que resulta

después de operar mediante una función.

Variable independiente: cantidad con la cual se escribe la forma de una

función y que pertenece al dominio.

108
 4 Bibliografía

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Spes.

Gechtman, M. (1997). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México:

Limusa.

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ciencias sociales. México: McGraw-Hill.

Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford.

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109