SEMANA 1:

Horas 1-2:
Idea Intuitiva de Límite
Sea la función
x2 1
f (x) = ; x 6= 1
x 1
¿Cómo se comporta f (x) cuando x está cerca de 1?
Para responder a esta pregunta, observemos que

f (x) = x + 1; x 6= 1

y usemos las siguientes tablas

x f (x) x f (x)
0:9 1:9 1:1 2:1
0:99 1:99 1:01 2:01
0:999 1:999 1:001 2:001
0:9999 1:9999 1:0001 2:0001

Se observa en ambos casos que conforme x se acerca al número 1, f (x) se

acerca al número 2. Este hecho se expresa diciendo que el límite de f (x), cuando
x tiende a 1 es el número 2 y se abrevia por lim f (x) = 2.
x!1
La pregunta inicial también puede ser contestada a partir del grá…co de f

En el grá…co se observa que

lim f (x) = 2
x!1

1
 En general, se tiene la siguiente de…nición.
De…nición: Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende al número a es
el número real L lo que se denota por lim f (x) = L si es posible lograr que las
x!a
f (x) estén tan próximos a L, tanto como se quiera, haciendo que las x estén
cada vez más próximas a a, pero no iguales a a.
Más adelante veremos esta de…nición usando la simbología " .
Ejemplo 2: Gra…que la función
x2 + 2x + 3, x<2
f (x) =
2x + 7, x>2

Use el grá…co para calcular

lim f (x)
x!2

Solución:

A partir del grá…co anterior se tiene

lim f (x) = 3
x!2

Límites Laterales: Existen casos en los que al estudiar lim f (x), nos
x!a
podemos acercar a a sólo por la derecha o sólo por la izquierda, situaciones que
exigen considerar el concepto de límite lateral por la derecha o por la izquierda.
De…nición: Se dice que el límite lateral de f (x), por la derecha de a, es el
número real L, lo que se denota por lim+ f (x) = L si es posible lograr que las
x!a
f (x) estén tan próximos a L, tanto como se quiera, haciendo que las x estén
cada vez más próximas a a, con x > a, pero no iguales a a.
De…nición: Se dice que el límite lateral de f (x), por la izquierda de a, es
el número real L, lo que se denota por lim f (x) = L si es posible lograr que
x!a

2
las f (x) estén tan próximos a L, tanto como se quiera, haciendo que las x estén
cada vez más próximas a a, con x < a, pero no iguales a a.
Ejemplo: Dada la función
x2 + 2x + 3, x<2
f (x) =
2x + 3, x>2
Calcule
lim f (x) , lim f (x)
x!2 x!2+
Solución:

A partir del grá…co anterior se tiene

lim f (x) = 3, lim f (x) = 1
x!2 x!2+

Con respecto a los límites laterales se tiene el siguiente resultado.

Teorema: Si f es una función de…nida en un intervalo abierto I que contiene
al número a, excepto posiblemente en x = a, entonces
lim f (x) = L , lim+ f (x) = lim f (x) = L
x!a x!a x!a
2
x + 2x + 3, x<2
Ejemplo: Sea f (x) = ¿Existe lim f (x)?
2x + 3, x>2 x!2
Solución: En el ejemplo anterior se ha visto que lim f (x) = 3 y que
x!2
lim+ f (x) = 1, es decir los límites laterales son diferentes. Por el teorema
x!2
anterior se tiene que lim f (x) no existe.
x!2
De…nición (Límites in…nitos)

3
 1. lim+ f (x) = +1 signi…ca que f (x) crece sín límite cuando x ! a+
x!a

2. lim f (x) = +1 signi…ca que f (x) crece sín límite cuando x ! a

x!a

3. lim+ f (x) = 1 signi…ca que f (x) decrece sín límite cuando x ! a+

x!a

4. lim f (x) = 1 signi…ca que f (x) decrece sín límite cuando x ! a

x!a

Se debe precisar que +1 y 1 no son números reales, ellos son símbolos

que permiten describir el comportamiento de f (x) cuando x se acerca al número
a.
Ejemplo: Calcule
a) lim+ ln (x) b) lim tan (x) c) lim +
tan (x)
x!0 x!( 2 ) x!( 2 )

Solución:
a) Grá…co de f (x) = ln (x)

0
5

-5

Se observa que
lim ln (x) = 1
x!0+
b), c) Grá…co de f (x) = tan (x)

-1 1 2 3

-5

4
 Se observa que lim tan (x) = +1, lim +
tan (x) = 1
x!( 2 ) x!( 2 )
De…nición (Límites al in…nito)

1. lim f (x) = L signi…ca que f (x) se aproxima a L cuando x toma ilimi-

x!+1
tadamente valores grandes positivos.

2. lim f (x) = L signi…ca que f (x) se aproxima a L cuando x toma ilimi-

x! 1
tadamente valores grandes negativos.
1
Veamos el comportamiento de la función f (x) = , x 6= 0 cuando x toma
x
valores muy grandes
x f (x)
10 0:1
102 0:01
103 0:001
104 0:0001
Se observa que a medida que x crece arbitrariamente, las imágenes f (x) se
acercan a 0. Este comportamiento se puede visualizar en el grá…co adjunto.

y
4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-2

-4

Ejemplo: Calcule

a) lim arctan (x) b) lim ex

x!+1 x! 1

Solución:
a) Grá…co de f (x) = arctan (x)

5
 y

-4 -2 2 4

-1

Se observa que lim arctan (x) =

x!+1 2
b) Grá…co de f (x) = ex

Se observa que lim ex = 0.

x! 1
De…nición: lim f (x) = +1 signi…ca que cuando x toma valores ilimi-
x!+1
tadamente grandes positivos, f (x) también toma toma valores ilimitadamente
grandes positivos.
Ejemplo: Calcule lim x3 y lim ln (x)
x!+1 x!+1

6
 Solución:

f (x) = x3 f (x) = ln (x)

A partir de los grá…cos se tiene lim x3 = +1 y lim ln (x) = +1
x!+1 x!+1
Análogamente se de…nen
lim f (x) = 1, lim f (x) = +1, lim f (x) = +1
x!+1 x! 1 x! 1

Ejemplo: Calcule lim x4 y lim x5

x! 1 x! 1
Solución:

f (x) = x4 f (x) = x5
A partir de estos grá…cos se observa que
lim x4 = +1 y lim x5 = 1
x! 1 x! 1

Convención: Diremos que lim f (x) existe para querer decir que lim f (x) =
x!a x!a
L y L es un número real.
Hasta aquí, hemos presentado el concepto de límite en forma intuitiva, sus-
tentando nuestras a…rmaciones en tablas o grá…cos. Para un manejo amplio de
este concepto, es necesaria la de…nición rigurosa en términos de " y .
En lo que sigue, cuando estudiemos lim f (x) asumiremos que la función
x!a
f está de…nida en un intervalo abierto I que contiene al número a, excepto
posiblemente en x = a
De…nición: Se dice que el número real L es el límite de f (x) cuando x
tiende al número a, lo que se denota por lim f (x) = L si
x!a

8" > 0, 9 > 0 tal que:0 < jx aj < ) jf (x) Lj < "

7
 Observaciones:

1. La condición 0 < jx aj < indica que x 6= a y esto concuerda con lo

expresado al inicio en que el concepto de límite considera valores de x
próximos a a pero distintos de a.
2. Primero se elige " y luego se halla que depende de ".

Aclaramos el uso de la de…nición con el siguiente ejemplo-

Ejemplo: Demuestre que

lim (2x + 5) = 11
x!3

Solución:

lim (2x + 5) = 11 , 8" > 0, 9 > 0 tal que:0 < jx 3j < ) j(2x + 5) 11j < "
x!3

, 8" > 0, 9 > 0 tal que:0 < jx 3j < ) j2x 6j < "
, 8" > 0, 9 > 0 tal que:0 < jx 3j < ) 2 jx 3j < "
"
, 8" > 0, 9 > 0 tal que:0 < jx 3j < ) jx 3j <
2
"
Observe que la última implicación será cierta si elegimos = > 0.
2
La demostración …naliza encontrando en términos de ", de modo que la
implicación sea cierta y es lo que tenemos en las dos líneas anteriores.
Con la de…nición " de límite se demuestran muchas propiedades, algunas
de las cuales enunciamos a continuación

8
Teoremas sobre Límites
1. (Unicidad de límite) Si lim f (x) = L1 y lim f (x) = L2 , entonces L1 = L2
x!a x!a

2. lim (C) = C, en donde C es una constante real.

x!a
Ejemplo:
lim ( 5) = 5
x!2

3. lim (mx + b) = ma + b, en donde m y b son constantes reales.

x!a
Ejemplo:
lim (2x 5) = 2 (3) 5=1
x!3

4. Si f y g son funciones reales de variable real, tales que lim f (x) = L 2 R

x!a
y lim g (x) = M 2 R, entonces
x!a

(a) lim (f (x) g (x)) = lim f (x) lim g (x) = L M.

x!a x!a x!a

(b) lim (f (x) g (x)) = lim f (x) lim g (x) = LM .

x!a x!a x!a
(c) Si C es una constante real,entonces lim (Cf (x)) = C lim f (x) = CL
x!a x!a

f (x) lim f (x) L

x!a
(d) lim = = , siempre que M 6= 0.
x!a g (x) lim g (x) M
x!a

Ejemplo: Calcule

2x 5 lim (2x 5) 3
lim = x!1 =
x!1 3x + 1 lim (3x + 1) 4
x!1

Teorema: Si f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 + +an xn es una función polinomial,

entonces

lim a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn = a0 + a1 a + a2 a2 + + an an
x!a

Es decir,
lim f (x) = f (a)
x!a

Ejemplo:

lim 3 4x + x2 x3 = 3 8+4 8= 9
x!2

Teorema: Si lim f (x) = L y n 2 Z+ , entonces

x!a

9
 n
n
(a) lim (f (x)) = lim f (x) = Ln
x!a x!a
p q p
(b) lim f (x) = n lim f (x) = n L. Para este caso L
n
0 si n es par y
x!a x!a
L 2 R si n es impar.

Ejemplo:
p3
q p
3
lim 2x3 3x2 + 5x + 4 = 3 lim (2x3 3x2 + 5x + 4) = 8=2
x!1 x!1

De…nición:(Forma indeterminada 00 )
f (x)
Un límite de la forma lim , en donde lim f (x) = 0 y lim g (x) = 0 se
x!a g (x) x!a x!a
0
llama forma indeterminada 0 .
Observe que el teorema 4d) no se puede aplicar en este caso. Para calcular
estos límites nos apoyamos en el siguiente teorema
Teorema: Si f , g son funciones tales que f (x) = g (x), 8x 6= a y además
existen lim f (x), lim g (x) entonces
x!a x!a

lim f (x) = lim g (x)

x!a x!a

Veamos algunos casos

Ejemplo: Calcule
2x3 5x 6
lim
x!2 3x2 + 2x 16
Solución: El límite es de la forma indeterminada 00 , lo que indica que x 2
es un factor de 2x3 5x 6 y de 3x2 + 2x 16.
Factorizando el numerador por el método de Ru¢ ni
2 0 5 6
2 4 8 6
2 4 3 0
Se tiene
2x3 5x 6 = (x 2) 2x2 + 4x + 3
Factorizando el denominador por el método del aspa, se tiene
3x2 + 2x 16 = (3x + 8) (x 2)
Reemplazando se tiene
2x3 5x 6 (x 2) 2x2 + 4x + 3 2x2 + 4x + 3 19
lim = lim = lim =
x!2 3x2 + 2x 16 x!2 (3x + 8) (x 2) x!2 (3x + 8) 14
Ejemplo: Encuentre los valores de las constantes reales a y b, de modo que
la función 8
< x + 1, x < 1
f (x) = ax + b, 1 x < 2
:
3x, x 2

10
 Veri…que lim f (x) = 2, lim f (x) = 6
x!1 x!2
Solución:
lim f (x) = lim (x + 1) = 2
x!1 x!1

lim f (x) = lim (ax + b) = a + b

x!1+ x!1
Entonces se cumple
a+b=2 (1)
Por otro lado
lim f (x) = lim (ax + b) = 2a + b
x!2 x!2

lim f (x) = lim+ (3x) = 6

x!2+ x!2
Entonces se cumple
2a + b = 6 (2)
De las ecuaciones (1) y (2) se concluye que

a = 4, b = 2

El siguiente teorema es útil para calcular ciertos tipos de límites

f (x)
Teorema: Si lim existe y lim g (x) = 0, entonces lim f (x) = 0
x!a g (x) x!a x!a
Demostración: Por la convención establecida
f (x)
lim = L, L 2 R
x!a g (x)

Se tiene
f (x) f (x)
lim f (x) = lim :g (x) = lim lim g (x) = L (0) = 0
x!a x!a g (x) x!a g (x) x!a

Ejemplo: Respecto al límite

x3 27
lim
x!3 x2 ax 3b
Justi…que la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones.
a) Si a + b < 3 entonces el límite existe
b) Si el límite es igual a 9 entonces b = 0.
c) Si a + b = 3 entonces el límite existe.

1. Solución:

a) Verdadera
x3 27
lim
x!3 x2 ax 3b
3 2
lim x 27 = 0, lim x ax 3b = 9 3a 3b = 9 3 (a + b) > 0
x!3 x!3

11
1. (a) )
x3 27
lim =0
x!3 x2 ax 3b
b) Verdadera

x3 27
lim =9)9 3 (a + b) = 0 ) a + b = 3
x!3 x2 ax 3b
1. (a) Factorizando el denominador por el método de Ru¢ ni

1 a 3b
3 3 9 3a
1 3 a 9 3 (a + b) = 0

Se tiene
x2 ax 3b = (x 3) (x + 3 a)
3 2
x 27 (x 3) x + 3x + 9 27
lim = lim =9) =9
x!3 x2 ax 3b x!3 (x 3) (x + 3 a) 6 a
Se tiene
a = 3, b=0

c) Falsa
0
1. (a) Si a + b = 3, el límite presenta la forma indeterminada 0. Por lo
anterior

x3 27 (x 3) x2 + 3x + 9 x2 + 3x + 9
lim = lim = lim
x!3 x2 ax 3b x!3 (x 3) (x + 3 a) x!3 (x + 3 a)

El límite no existe cuando a = 6, b = 3

Ejemplo: Dado el siguiente límite

x3 + x 2
lim
x!1 2x2 + ax + b
1. (a) Encuentre todos los valores de a y b para que dicho límite sea igual
a 1.
(b) Encuentre todos los valores de a y b para que dicho límite no exista.
Solución:

(a) Observe que el límite del numerador es

lim x3 + x 2 =0
x!1

12
 Entonces el límite del denominador debe ser 0, es decir

a+b+2=0

Con lo que se tiene la forma indeterminada 00

Factorizamos el numerador y denominador, por el método de Ru¢ ni

1 0 1 2
1 1 1 2
1 1 2 0

2 a b
1 2 a+2
2 a+2 a+b+2=0

x3 + x 2 (x 1) x2 + x + 2 4
lim = lim =
x!1 2x2 + ax + b x!1 (x 1) (2x + a + 2) 4+a
4
=1)a=0 y b= 2
4+a
(b) El límite dado no existe si

a+b+2=0^4+a=0

a= 4yb=2

13