Los Ejercicios propuestos tienen

8
su número resaltado en verde
MOMENTO LINEAL,
IMPULSO Y COLISIONES

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted
aprenderá:

• El significado de momento lineal de

una partícula y cómo el impulso
de la fuerza neta que actúa sobre
una partícula hace que su momento
lineal varíe.
• Las condiciones en las que

? ¿Qué podría causar un daño más grande a esta zanahoria: una bala calibre .22 el momento lineal total de un
que se mueve a 220 m!s como se muestra aquí, o una bala más ligera de la sistema de partículas es constante
misma longitud y diámetro pero de la mitad de la masa que se mueve al doble (es decir, se conserva).
de velocidad? • A resolver problemas en los que
dos cuerpos colisionan entre sí.

H cando directamente la segunda ley de Newton, gF ! ma . Por ejemplo, si una

ay muchas preguntas relacionadas con fuerzas que S
no pueden contestarse apli- • La diferencia entre choques
S
elásticos, inelásticos y totalmente
camioneta choca de frente con un auto compacto, ¿qué determina hacia dónde inelásticos.
se mueven los restos después del choque? Cuando usted juega billar, ¿cómo deter-
• La definición del centro de masa
mina la dirección que debe dar a la bola blanca para introducir la bola 8 en la bu-
de un sistema y lo que determina
chaca? Y cuando un meteorito choca contra la Tierra, ¿qué tanta de la energía cinética
la forma en que se mueve el centro
del meteorito se libera en el impacto?
de masa.
Algo que tienen en común todas estas preguntas es que implican fuerzas acerca de
las que sabemos muy poco: las fuerzas que actúan entre el auto y la camioneta, en- • Cómo analizar situaciones, como
tre las dos bolas de billar, o entre el meteorito y la Tierra. Lo sobresaliente es que la propulsión de un cohete,
en este capítulo veremos que ¡no necesitamos saber nada acerca de estas fuerzas para en las cuales la masa de un
contestar preguntas de este tipo! cuerpo cambia conforme
Nuestro enfoque utiliza dos conceptos nuevos, momento lineal e impulso, y una nue- se mueve.
va ley de conservación, la de conservación del momento lineal, tan importante como la
de conservación de la energía. La ley de conservación del momento lineal es válida aun
en situaciones en las que las leyes de Newton son inadecuadas, tales como cuerpos que
se mueven con una rapidez muy alta (cercana a la de la luz) u objetos muy pequeños
(como las partículas que constituyen los átomos). En el ámbito de la mecánica newto-
niana, la conservación del momento lineal nos permite analizar muchas situaciones que
serían muy difíciles si tratáramos de aplicar las leyes de Newton directamente. Entre
ellas están los choques, en los que dos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas muy
grandes en un lapso muy breve.

8.1 Momento lineal e impulso

gF ! ma , en términos del teorema del trabajo y la energía, el cual nos ayudó

EnS el capítulo 6 replanteamos la segunda ley de Newton para una partícula,
S

la energía. Volvamos a gF ! ma y veamos otra forma útil de reformular esta ley

a resolver muchos problemas
S
de física y nos condujo a la ley de conservación de
S

fundamental.
241
 Los Ejercicios propuestos tienen
su número resaltado en verde Preguntas para análisis 267

PROBLEMA PRÁCTICO Un choque después de otro

Una esfera A de masa igual a 0.600 kg se mueve inicialmente a la dere- EJECUTAR

cha a 4.00 m!s. La esfera B, de masa igual a 1.80 kg, se encuentra ini- 4. Obtenga la velocidad de la esfera A después del primer choque.
cialmente a la derecha de la esfera A y se mueve a la derecha a 2.00 m!s. ¿A se frena o se acelera con este choque? ¿Esto es lógico?
Después de que las esferas chocan, la esfera B se mueve a 3.00 m!s en 5. Ahora que conoce las velocidades tanto de A como de B después
la misma dirección de antes. a) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y direc- del primer choque, determine si este es elástico o inelástico. (¿Cómo
ción) de la esfera A después del choque? b) ¿El choque es elástico o ine- se hace esto?).
lástico? c) Luego, la esfera B tiene un choque desalineado con una 6. El segundo choque es bidimensional, de modo que tendrá que
esfera C, cuya masa es de 1.20 kg y que inicialmente se encuentra en cumplirse que ambas componentes del momento lineal se con-
reposo. Después de este choque, la esfera B se mueve a 2.00 m!s a serven. Use esto para calcular la rapidez y dirección de la esfera
19.0° de su dirección inicial. ¿Cuál es la velocidad (magnitud y direc- C después del segundo choque. (Sugerencia: Después del primer
ción) de la esfera C después del choque? d) ¿Cuál es el impulso (mag- choque, la esfera B tiene la misma velocidad hasta que golpea
nitud y dirección) impartido a la esfera B por la esfera C cuando a la esfera C).
chocan? e) ¿Esta segunda colisión es elástica o inelástica? f ) ¿Cuál es 7. Use la definición de impulso para calcular el impulso impartido a
la velocidad (magnitud y dirección) del centro de masa del sistema de la esfera B por la esfera C. Recuerde que el impulso es un vector.
tres esferas (A, B y C) después del segundo choque? Ninguna fuerza 8. Use la misma técnica empleada en el paso 5 para determinar si el
externa actúa sobre las esferas de este problema. segundo choque es elástico o no.
9. Calcule la velocidad del centro de masa después del segundo
GUÍA DE SOLUCIÓN choque.
Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar
EVALUAR
una solución con Video Tutor.
10. Compare las direcciones de los vectores que obtuvo en los pasos
IDENTIFICAR y PLANTEAR 6 y 7. ¿Esto es una coincidencia? ¿Por qué?
1. En estos choques, el momento lineal se conserva. ¿Puede explicar 11. Calcule la velocidad del centro de masa antes y después del primer
por qué? choque. Compare con el resultado del paso 9. Otra vez, ¿esto es
2. Elija los ejes x y y, y asigne subíndices a los valores antes del una coincidencia? ¿Por qué?
primer choque, después del primer choque pero antes del segundo,
y después del segundo choque.
3. Elabore una lista de las incógnitas, y elija las ecuaciones que usará
para obtenerlas.

Problemas Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com

. , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores.
CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas.

PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P8.6 a) Cuando un automóvil grande choca con uno pequeño, ¿cuál ex-
perimenta el mayor cambio en el momento lineal: el automóvil grande o
P8.1 Al partir leños con martillo y cuña, ¿es más efectivo un martillo el pequeño? ¿O es igual en ambos? b) Considerando la respuesta del in-
pesado que uno ligero? ¿Por qué? ciso a), ¿por qué es más probable que los ocupantes del automóvil peque-
P8.2 Suponga que usted atrapa una pelota de béisbol y, después, al- ño se lesionen, suponiendo que ambos automóviles son igual de sólidos?
guien le ofrece la opción de atrapar una bola para jugar a los bolos con P8.7 Una mujer de pie en una capa de hielo horizontal sin fricción
el mismo momento lineal, o bien, con la misma energía cinética que lanza una roca grande con rapidez v0 y ángulo a sobre la horizontal.
la pelota. ¿Qué elegiría? ¿Por qué? Considere el sistema formado por la mujer y la roca. ¿Se conserva el
P8.3 Al caer la lluvia, ¿qué pasa con su momento lineal al golpear el momento lineal del sistema? ¿Por qué? ¿Se conserva cualquier com-
suelo? ¿Es válida su respuesta para la famosa manzana de Newton? ponente del momento lineal del sistema? Nuevamente, ¿por qué?
P8.4 Un auto tiene la misma energía cinética si viaja al sur a 30 m!s P8.8 En el ejemplo 8.7 (sección 8.3), donde los deslizadores de la fi-
que si lo hace al noroeste a 30 m!s. ¿Su momento lineal es el mismo gura 8.15 quedan unidos después de chocar, el choque es inelástico, ya
en ambos casos? Explique. que K2 6 K1. En el ejemplo 8.5 (sección 8.2), ¿el choque es inelástico?
P8.5 Un camión acelera conforme se frena en una autopista. Un mar- Explique.
co de referencia inercial está fijo al suelo con su origen en un poste. P8.9 En un choque totalmente inelástico entre dos objetos que se unen
Otro marco está fijo a un automóvil de policía que viaja en la autopista después del choque, ¿es posible que la energía cinética final del sis-
con velocidad constante. ¿El momento lineal del camión es el mismo tema sea cero? De ser así, cite un ejemplo. Si la energía cinética final
en ambos marcos de referencia? Explique. ¿La tasa de cambio del mo- es cero, ¿cuál debe ser el momento lineal inicial del sistema? ¿La ener-
mento lineal del camión es la misma en los dos marcos? Explique. gía cinética inicial del sistema es igual a cero? Explique.
 Los Ejercicios propuestos tienen
268 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y colisiones
su número resaltado en verde
P8.10 Puesto que la energía cinética de una partícula está dada por libera sobre una mesa horizontal sin fricción y pronto se alejan li-
S S
K = 12 mv2 y su momento lineal por p ! mv, es fácil demostrar bremente del resorte. Conforme las canicas se alejan entre sí, ¿cuál
2
que K = p / 2m. ¿Cómo es posible entonces tener un evento durante de los siguientes enunciados acerca de ellas es verdadero? a) Solo el
el cual el momento lineal total del sistema sea constante, pero la ener- momento lineal de las canicas se conserva; b) solo la energía mecánica
gía cinética total cambie? de las canicas se conserva; c) tanto el momento lineal como la ener-
P8.11 En los ejemplos 8.10 a 8.12 (sección 8.4), verifique que el vec- gía mecánica de las canicas se conservan; d) la energía cinética de
tor de velocidad relativa de los dos cuerpos tenga la misma magnitud las canicas se conserva.
antes y después del choque. En cada caso, ¿qué sucede con la direc- P8.26 Una camioneta muy pesada choca de frente con un automó-
ción del vector de velocidad relativa? vil compacto muy ligero. ¿Cuál de los siguientes enunciados acerca
P8.12 Si un vidrio cae al piso, es más probable que se rompa si el piso del choque es correcto? a) La cantidad de energía cinética que pierde
es de concreto que si es de madera. ¿Por qué? (Remítase a la figura la camioneta es igual a la cantidad de energía cinética que gana el
8.3b). automóvil compacto; b) el momento lineal que pierde la camioneta es
P8.13 En la figura 8.22b, la energía cinética de la pelota de ping-pong igual al momento lineal que gana el automóvil compacto; c) durante
es mayor después de su interacción con la bola para jugar a los bolos el choque, el automóvil compacto experimenta una fuerza considera-
que antes. ¿De dónde proviene la energía adicional? Describa el suceso blemente mayor que la camioneta; d) ambos vehículos pierden la mis-
en términos de la conservación de energía. ma cantidad de energía cinética.
P8.14 Se dispara una ametralladora hacia una placa de acero. ¿La fuer-
za media que actúa sobre la placa por los impactos es mayor si las ba-
las rebotan o si se aplastan y se quedan adheridas a la placa? Explique. EJERCICIOS
P8.15 Una fuerza neta de 4 N actúa durante 0.25 s sobre un objeto en
reposo y le imprime una rapidez final de 5 m!s. ¿Cómo podría una Sección 8.1 Momento lineal e impulso
8.1 . a) ¿Qué magnitud tiene el momento lineal de un camión de
P8.16 Una fuerza neta cuya componente x es g Fx actúa sobre un ob-
fuerza de 2 N producir esa rapidez final?
10,000 kg que viaja con rapidez de 12.0 m!s? b) ¿Con qué rapidez ten-

neal del objeto es la misma en ambos instantes, pero g Fx no siempre

jeto desde el instante t1 hasta el t2. La componente x del momento li- dría que viajar una camioneta de 2000 kg para tener i. el mismo mo-

es cero en ese lapso. ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de gFx

mento lineal? ii. ¿la misma energía cinética?
8.2 . En una competencia varonil de pista y campo, la bala tiene una
contra t? masa de 7.30 kg y se lanza con una rapidez de 15.0 m!s a 40.0° por
P8.17 Un tenista golpea la pelota con la raqueta. Considere el sistema encima de la horizontal ubicada sobre la pierna izquierda extendida
de la pelota y la raqueta. ¿El momento lineal total del sistema es el de un hombre. ¿Cuáles son las componentes iniciales horizontal y ver-
mismo justo antes y justo después del golpe? ¿El momento lineal total tical del momento lineal de esa bala? Debe decir K = ....
justo después del golpe es el mismo que 2 s después, cuando la pelo- 8.3 .. a) Demuestre que la energía cinética K y la magnitud del
ta se encuentra en el punto más alto de su trayectoria? Explique cual- momento lineal p de una partícula de masa m están relacionadas por
quier diferencia entre ambos casos. la expresión K = p2!2m. b) Un cardenal (Richmondena cardinalis) de
P8.18 En el ejemplo 8.4 (sección 8.2), considere el sistema del rifle y 0.040 kg y una pelota de béisbol de 0.145 kg tienen la misma energía
la bala. ¿Qué rapidez tiene el centro de masa del sistema después del cinética. ¿Cuál tiene mayor magnitud de momento lineal? ¿Cuál es la
disparo? Explique su respuesta. razón entre las magnitudes del momento lineal del cardenal y de la pe-
P8.19 Se suelta del reposo un huevo desde una azotea hasta el suelo. lota? c) Un hombre de 700 N y una mujer de 450 N tienen el mismo
Conforme el huevo cae, ¿qué pasa con el momento lineal del sistema momento lineal. ¿Quién tiene mayor energía cinética? ¿Cuál es la ra-
formado por el huevo y la Tierra? zón entre las energías cinéticas del hombre y de la mujer?
P8.20 Una mujer está de pie en el centro de un lago congelado perfec- 8.4 . Dos vehículos se aproximan a una intersección. Uno es una
tamente liso y sin fricción. Puede ponerse en movimiento aventando camioneta pickup de 2500 kg que viaja a 14.0 m!s con dirección este-
objetos, pero suponga que no tiene nada que lanzar. ¿Puede llegar a la oeste (la dirección -x), y el otro es un automóvil sedán de 1500 kg que
orilla sin lanzar nada? va de sur a norte (la dirección +y) a 23.0 m!s. a) Determine las com-
P8.21 En un entorno con gravedad cero, ¿puede una nave impulsada ponentes x y y del momento lineal neto de este sistema. b) ¿Cuáles son
por cohetes alcanzar una rapidez mayor que la rapidez relativa con que la magnitud y dirección del momento lineal neto?
se expulsa el combustible quemado? 8.5 . Un defensor de línea de fútbol americano de 110 kg corre hacia
P8.22 Cuando un objeto se divide en dos (por explosión, desintegra- la derecha a 2.75 m!s, mientras otro defensor de 125 kg corre direc-
ción radiactiva, etcétera), el fragmento más ligero adquiere más ener- tamente hacia el primero a 2.60 m!s. ¿Cuáles son a) la magnitud y
gía cinética que el más pesado (también se pueden incluir los casos en dirección del momento lineal neto de estos dos deportistas, y b) su
los que ocurre el retroceso). Esto es una consecuencia de la conserva- energía cinética total?
ción del momento lineal, pero, ¿puede explicarlo también empleando 8.6 .. BIO Biomecánica. La masa de una pelota de tenis regla-
las leyes de Newton del movimiento? mentaria es de 57 g (si bien puede variar ligeramente), y las pruebas
P8.23 Una manzana cae de un árbol sin experimentar resistencia del aire. han demostrado que la pelota está en contacto con la raqueta durante
Conforme cae, ¿cuál de los siguientes enunciados acerca de ella es ver- 30 ms. (Este número también puede variar, dependiendo de la raqueta
dadero? a) Solo su momento lineal se conserva; b) solo su energía y del golpe). En este ejercicio supondremos un contacto de 30.0 ms.
mecánica se conserva; c) tanto su momento lineal como su energía me- El servicio de tenis más rápido que se conoce lo realizó “Big Bill”
cánica se conservan; d) su energía cinética se conserva. Tilden en 1931 con una rapidez de 73.14 m!s. a) ¿Qué impulso y qué
P8.24 Dos trozos de arcilla chocan y quedan pegados. Durante el choque, fuerza ejerció Big Bill sobre la pelota de tenis en su servicio récord?
¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) Solo el momento b) Si el oponente de Big Bill devolvió su servicio con una rapidez de
lineal de la arcilla se conserva; b) solo la energía mecánica de la arcilla 55 m!s, ¿qué fuerza e impulso ejerció sobre la pelota, suponiendo solo
se conserva; c) tanto el momento lineal como la energía mecánica de la movimiento horizontal?
arcilla se conservan; d) la energía cinética de la arcilla se conserva. 8.7 . Fuerza de un golpe de golf. Una pelota de golf de 0.0450 kg,
P8.25 Dos canicas se presionan contra un ligero resorte ideal entre en reposo, adquiere una rapidez de 25.0 m!s al ser golpeada por un
ellas, sin que estén unidas al resorte de ninguna forma. Luego, se les palo. Si el tiempo de contacto es de 2.00 ms, ¿qué fuerza media actúa
Obs.: Si no puede resolver sin ayuda alguno de los ejercicios,
trate de resolver otros similares luego de consultar.
 Los Ejercicios propuestos tienen
269
su número resaltado en verde Ejercicios

sobre la pelota? ¿Es significativo el efecto del peso de la pelota durante pelota está en reposo justo antes de ser golpeada y adquiere una altura
el tiempo de contacto? ¿Por qué? de 5.50 m, ¿qué impulso dio la jugadora a la pelota?
8.8 . Fuerza de un batazo. Una pelota de béisbol tiene masa de 8.16 .. CALC Partiendo en t = 0, se aplica una fuerza neta horizontal
S
0.145 kg. a) Si se lanza con una velocidad de 45.0 m!s y después F = (0.280 N!s)tnı + (-0.450 N!s2)t2n≥ a una caja que tiene un mo-
S
de batearla su velocidad es de 55.0 m!s en la dirección opuesta, de- mento lineal inicial p = (-3.00 kg!m/s)nı + (4.00 kg! m/s)n≥ . ¿Cuál es
termine la magnitud del cambio de momento lineal de la pelota y el el momento lineal de la caja en t = 2.00 s?
impulso aplicado a ella con el bate. b) Si la pelota está en contacto con
el bate durante 2.00 ms, calcule la magnitud de la fuerza media apli- Sección 8.2 Conservación del momento lineal
cada por el bate. 8.17 .. Los gases en expansión que salen por el cañón de un rifle tam-
8.9 . Un disco de hockey de 0.160 kg se mueve en una superficie ho- bién contribuyen al retroceso. Una bala de calibre .30 tiene una masa
rizontal cubierta de hielo y sin fricción. En t = 0, el disco se mueve de 0.00720 kg y una rapidez de 601 m!s relativa al cañón del rifle,
hacia la derecha a 3.00 m!s. a) Calcule la velocidad (magnitud y di- cuya masa es de 2.80 kg. El rifle, sostenido sin firmeza, retrocede a
rección) del disco después de que se aplica una fuerza de 25.0 N hacia 1.85 m!s en relación con el suelo. Calcule el momento lineal de los
la derecha durante 0.050 s. b) Si, en lugar de ello, se aplica una fuer- gases al salir del cañón, en un sistema de coordenadas fijo al suelo.
za de 12.0 N dirigida a la izquierda, entre t = 0 y t = 0.050 s, ¿cuál es 8.18 . Una astronauta de 68.5 kg está haciendo una reparación en
la velocidad final del disco? el espacio en la estación espacial en órbita. Ella arroja una herramien-
8.10 . El motor de un sistema de maniobras orbitales (OMS) del trans- ta de 2.25 kg con una rapidez de 3.20 m!s en relación con la esta-
bordador espacial ejerce una fuerza de 126,700 N2n≥ durante 3.90 s, ción espacial. ¿Con qué rapidez y dirección comenzará a moverse la
expulsando una masa insignificante de combustible en comparación astronauta?
con la masa de 95,000 kg de la nave. a) ¿Qué impulso tiene la fuerza 8.19 . BIO Propulsión animal. Los calamares y pulpos se impulsan
en el lapso de 3.90 s? b) ¿Cómo cambia el momento lineal de la nave a sí mismos expeliendo agua. Para hacer esto, guardan agua en una
por este impulso? c) ¿Y su velocidad? d) ¿Por qué no podemos calcu- cavidad y luego contraen repentinamente esa cavidad para forzar la
lar el cambio resultante en la energía cinética del transbordador? salida del agua a través de una abertura. Un calamar de 6.50 kg (in-
8.11 . CALC En el instante t = 0, un cohete de 2150 kg en el espa- cluyendo el agua en la cavidad) está en reposo, cuando de pronto ve un
cio exterior enciende un motor que ejerce una fuerza creciente sobre peligroso depredador. a) Si el calamar tiene 1.75 kg de agua en su ca-
él en la dirección +x. Esta fuerza obedece la ecuación Fx = At2, donde t vidad, ¿con qué rapidez debe expeler esa agua para alcanzar una rapi-
es el tiempo, y tiene una magnitud de 781.25 N cuando t = 1.25 s. dez de 2.50 m!s y escapar así del depredador? Desprecie cualquier
a) Calcule el valor en el SI de la constante A, incluyendo sus unidades. efecto de arrastre del agua circundante. b) ¿Cuánta energía cinética ge-
b) ¿Qué impulso ejerce el motor sobre el cohete durante el lapso de nera el calamar con esta maniobra?
1.50 s que comienza 2.00 s después de encender el motor? c) ¿Cuánto 8.20 .. Suponga que usted está de pie en una plancha de hielo que
cambia la velocidad del cohete durante ese lapso? cubre el estacionamiento del estadio de fútbol americano de Buffalo;
8.12 .. Un bate golpea una pelota de 0.145 kg. Justo antes del im- la fricción entre sus pies y el hielo es insignificante. Un amigo le lanza
pacto, la pelota viaja horizontalmente hacia la derecha a 50.0 m!s, y un balón de 0.400 kg que viaja horizontalmente a 10.0 m!s. La masa
pierde contacto con el bate viajando hacia la izquierda a 65.0 m!s con de usted es de 70.0 kg. a) Si atrapa el balón, ¿con qué rapidez se
un ángulo de 30° por arriba de la horizontal. Si la pelota y el bate están moverán usted y el balón después? b) Si el balón lo golpea en el pecho
en contacto durante 1.75 ms, calcule las componentes horizontal y ver- y rebota moviéndose horizontalmente a 8.0 m!s en la dirección opues-
tical de la fuerza media que actúa sobre la pelota. ta, ¿qué rapidez tendrá usted después del choque?
8.13 . Una piedra de 2.00 kg se Figura E8.13 8.21 .. En una mesa de aire horizontal sin fricción, el disco A (con
desliza hacia la derecha por una masa de 0.250 kg) se mueve hacia el disco B (con masa de 0.350 kg)
superficie horizontal sin fricción a F ( kN ) que está en reposo. Después del choque, A se mueve a 0.120 m!s a la
5.00 m!s, cuando repentinamen- izquierda, y B lo hace a 0.650 m!s a la derecha. a) ¿Qué rapidez tenía
te es golpeada por un objeto que A antes del choque? b) Calcule el cambio de energía cinética total del
ejerce una gran fuerza horizontal sistema durante el choque.
sobre ella por un breve lapso. La 2.50 8.22 .. Cuando los automóviles están equipados con parachoques
gráfica en la figura E8.13 indica la (defensas) flexibles, rebotan durante choques a baja rapidez, provo-
magnitud de esa fuerza como fun- cando daños menores. En un accidente de este tipo, un auto de 1750 kg
ción del tiempo. a) ¿Qué impulso t (ms) viaja hacia la derecha a 1.50 m!s y choca con un auto de 1450 kg que
O 15.0 16.0
ejerce esa fuerza sobre la piedra? va hacia la izquierda a 1.10 m!s. Las mediciones indican que la ra-
b) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la piedra inme- pidez del auto más pesado inmediatamente después del choque era de
diatamente después de que la fuerza deja de actuar, si esa fuerza actúa 0.250 m!s en su dirección original. Podemos ignorar la fricción de la
i. hacia la derecha o ii. hacia la izquierda. carretera durante el choque. a) ¿Cuál era la rapidez del auto más ligero
8.14 .. BIO Fractura de un hueso. Pruebas experimentales han inmediatamente después del choque? b) Calcule el cambio en la ener-
demostrado que un hueso se romperá si experimenta una densidad de gía cinética combinada del sistema de los dos vehículos durante este
fuerza de 1.03 * 108 N!m2. Suponga que una persona de 70.0 kg choque.
patina sin cuidado hacia una viga de metal que golpea con su frente 8.23 .. Dos masas idénticas de 1.50 kg se presionan contra los extre-
y detiene completamente su movimiento hacia adelante. Si el área de mos opuestos de un resorte ligero con constante de fuerza de 1.75 N!cm,
contacto con la frente de la persona es de 1.5 cm2, ¿cuál es la máxima comprimiendo el resorte 20.0 cm a partir de su longitud normal. Calcule
rapidez con la cual puede golpear la viga sin romperse un hueso la rapidez de cada masa cuando se mueven libremente sobre una mesa
cuando su cabeza está en contacto con la viga por 10.0 ms? horizontal sin fricción.
8.15 .. Durante su calentamiento para un partido, una jugadora de 8.24 . El bloque A de la figura E8.24 tiene una masa de 1.00 kg, y
tenis golpea verticalmente una pelota de 57.0 g con su raqueta. Si la el B, de 3.00 kg. A y B se juntan de manera forzada, comprimiendo un

Obs.: Si no puede resolver sin ayuda alguno de los ejercicios,

trate de resolver otros similares luego de consultar.
270 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y colisiones

resorte S entre ellos; luego, el sistema se suelta del reposo en una su- asteroide B, que inicialmente estaba Figura E8.31
perficie plana sin fricción. El resorte, de masa despreciable, está suelto en reposo, viaja a 45.0° con res-
A A
y cae a la superficie después de extenderse. El bloque B adquiere una pecto a la dirección original de A 40.0 m/s 30.0°
rapidez de 1.20 m!s. a) ¿Qué rapidez final tiene A? b) ¿Cuánta ener- (figura E8.31). a) Calcule la rapidez
45.0°
gía potencial se almacenó en el resorte comprimido? de cada asteroide después del cho-
que. b) ¿Qué fracción de la energía B
Figura E8.24 cinética original del asteroide A se
disipa durante el choque?
mA ! 1.00 kg mB ! 3.00 kg
S
Sección 8.3 Conservación del momento lineal
y choques
8.32 . Dos patinadores chocan y quedan asidos sobre una pista de hielo
sin fricción. Uno de ellos, cuya masa es de 70.0 kg, se movía hacia la
8.25 .. Un cazador que se encuentra sobre un estanque congelado y derecha a 2.00 m!s, mientras que el otro, cuya masa es de 65.0 kg, se
sin fricción utiliza un rifle que dispara balas de 4.20 g a 965 m!s. La movía hacia la izquierda a 2.50 m!s. ¿Cuáles son la magnitud y direc-
masa del cazador (incluyendo su rifle) es de 72.5 kg; el hombre sos- ción de la velocidad de estos patinadores inmediatamente después de
tiene con fuerza el arma después de disparar. Calcule la velocidad de que chocan?
retroceso del cazador si dispara el rifle a) horizontalmente y b) a 56.0° 8.33 .. Un pez de 15.0 kg, que nada a 1.10 m!s, repentinamente en-
por encima de la horizontal. gulle un pez de 4.50 kg que estaba detenido. Desprecie los efectos de
8.26 . Un núcleo atómico súbitamente se fisiona (se divide) en dos par- arrastre del agua. a) Calcule la rapidez del pez grande inmediatamente
tes. El fragmento A, de masa mA, viaja hacia la izquierda con una rapi- después de haberse comido al pequeño. b) ¿Cuánta energía mecánica
dez vA. El fragmento B, de masa mB, viaja hacia la derecha con una se disipó durante esta comida?
rapidez vB. a) Con base en la conservación del momento lineal, des- 8.34 . Dos amorosas nutrias se deslizan una hacia la otra por una su-
peje vB en términos de mA, mB y vA. b) Utilice los resultados del inci- perficie horizontal lodosa (y por lo tanto, sin fricción). Una de ellas, con
so a) para demostrar que KA!KB = mB!mA, donde KA y KB son las masa de 7.50 kg, se desliza hacia la izquierda a 5.00 m!s, mientras que
energías cinéticas de los dos fragmentos. la otra, con masa de 5.75 kg, se desliza hacia la derecha a 6.00 m!s.
8.27 .. Dos patinadores, Daniel (masa de 65.0 kg) y Rebeca (masa de Las nutrias quedan unidas después de chocar. a) Calcule la magnitud
45.0 kg) están practicando. Daniel se detiene para atar su agujeta y, y la dirección de la velocidad de estas nutrias después del choque.
cuando está detenido, es golpeado por Rebeca, quien se desplazaba a b) ¿Cuánta energía mecánica se disipa durante este juego?
13.0 m!s antes de chocar con él. Después del choque, Rebeca se mue- 8.35 . Misión de impacto profundo. En julio de 2005, en la mi-
ve con una velocidad de magnitud igual a 8.00 m!s con un ángulo de sión “Impacto Profundo” de la NASA, una sonda de 372 kg, que se
53.1° con respecto a su dirección original. Ambos patinadores se mue- desplazaba a 37,000 km!h, chocó directamente contra la superficie del
ven en una superficie de patinaje horizontal y sin fricción. a) Calcule la cometa Tempel 1. La rapidez original del cometa en ese momento era de
magnitud y dirección de la velocidad de Daniel después del choque. 40,000 km!h y su masa se estimó en el rango de (0.10 - 2.5) * 1014 kg.
b) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética total de los dos patinadores Utilice el menor valor de la masa estimada. a) ¿Cuál es el cambio en la
como resultado del choque? velocidad del cometa que se produjo por el choque? ¿Será perceptible
8.28 .. Usted está de pie sobre una gran plancha de hielo sin fricción, ese cambio? b) Suponga que este cometa fuera a chocar contra la Tierra
sosteniendo una gran roca. Para salir del hielo, usted avienta la roca para fusionarse con ella. ¿En cuánto cambiaría la velocidad de nuestro
de manera que esta adquiere una velocidad relativa a la Tierra de planeta? ¿Sería apreciable ese cambio? (La masa de la Tierra es de
12.0 m!s, a 35.0° por arriba de la horizontal. Si su masa es de 70.0 kg 5.97 * 1024 kg).
y la masa de la roca es de 15.0 kg, ¿qué rapidez tiene usted después 8.36 . Un auto deportivo de 1050 kg se desplaza hacia el oeste a
de lanzar la roca? (Véase la pregunta para análisis P8.7). 15.0 m!s por una carretera horizontal cuando choca con un camión de
8.29 . Masa variable. Un vagón abierto de 24,000 kg viaja sin fric- 6320 kg, que viaja hacia el este por el mismo camino a 10.0 m!s.
ción sobre una vía horizontal. Está lloviendo muy fuerte, y la lluvia cae Los dos vehículos quedan unidos después del choque. a) ¿Qué velo-
de forma vertical. El vagón originalmente está vacío y tiene una rapi- cidad (magnitud y dirección) tendrán los dos vehículos inmediata-
dez de 4.00 m!s. a) ¿Qué rapidez tiene el vagón después de acumular mente después del choque? b) ¿Qué rapidez debería llevar el camión
3000 kg de agua de lluvia? b) Puesto que la lluvia cae verticalmente, para que ambos vehículos se detengan por el choque? c) Encuentre
¿cómo afecta esto al movimiento horizontal del vagón? el cambio de energía cinética del sistema de los dos vehículos en las
8.30 . Un astronauta en el espacio no puede utilizar medios conven- situaciones de los incisos a) y b). ¿En cuál situación tiene mayor mag-
cionales, como una báscula o balanza, para determinar la masa de un nitud el cambio de energía cinética?
objeto. Pero cuenta con dispositivos para medir la distancia y el tiempo 8.37 .. En un campo de fútbol muy lodoso, un apoyador de 110 kg
de manera exacta. Él sabe que su masa es de 78.4 kg, pero no está taclea a un corredor de 85 kg. Justo antes del choque, el apoyador res-
seguro de la masa de un enorme tanque de gas en el interior del cohete bala con una velocidad de 8.8 m!s hacia el norte, y el corredor lo hace
sin aire. Cuando el tanque se aproxima a él a 3.50 m!s, empuja su con una velocidad de 7.2 m!s hacia el este. ¿Con qué velocidad (mag-
cuerpo contra este, lo que disminuye la rapidez del tanque a 1.20 m!s nitud y dirección) se mueven juntos los dos jugadores inmediatamente
(pero no invierte su dirección) y da al astronauta una rapidez de 2.40 después del choque?
m!s. ¿Cuál es la masa del tanque? 8.38 .. Análisis de un accidente. Dos automóviles chocan en una
8.31 .. Choque de asteroides. Dos asteroides de igual masa, per- intersección. El automóvil A, con masa de 2000 kg, va de oeste a este,
tenecientes al cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter, chocan de mientras que el automóvil B, con masa de 1500 kg, va de norte a sur a
forma oblicua. El asteroide A, que inicialmente viajaba a 40.0 m!s, 15 m!s. Como resultado de este choque, los dos automóviles quedan
se desvía 30.0° con respecto a su dirección original, mientras que el enredados y se mueven después como uno solo. En su papel de testigo
asteroide B, que inicialmente estaba en reposo, viaja a 45.0° con res- experto, usted inspecciona la escena y determina que, después del cho-
Obs.: Si no puede resolver sin ayuda alguno de los ejercicios,
trate de resolver otros similares luego de consultar.
 Ejercicios 271

que, los automóviles se movieron a un ángulo de 65° al sur del este del 8.45 .. PA Un adorno de 5.00 kg cuelga de un alambre de 1.50 m
punto de impacto. a) Con qué rapidez se mueven los automóviles justo cuando es golpeado repentinamente por un proyectil de 3.00 kg que
después del choque? b) ¿Con qué rapidez iba el automóvil A inme- viaja en trayectoria horizontal a 12.0 m!s. El proyectil se incrusta en
diatamente antes del choque? el adorno durante el choque. ¿Cuál es la tensión del alambre inmedia-
8.39 . Dos automóviles, uno compacto con masa de 1200 kg y otro tamente después del choque?
grande, un devorador de gasolina, de 3000 kg, chocan de frente a
velocidades típicas de autopista. a) ¿Cuál experimenta un cambio de
mayor magnitud en su momento lineal? ¿Cuál experimenta un mayor Sección 8.4 Choques elásticos
cambio de velocidad? b) Si el automóvil más grande cambia su velo- 8.46 .. Un deslizador de 0.150 kg se mueve a la derecha a 0.80 m!s
cidad en ¢v, calcule el cambio en la velocidad del automóvil pequeño en un riel de aire horizontal sin fricción y choca de frente con un des-
en términos de ¢v. c) ¿Los ocupantes de cuál automóvil esperaría us- lizador de 0.300 kg que se mueve a la izquierda con una rapidez de
ted que sufran lesiones más graves? Explique su respuesta. 2.20 m!s. Calcule la velocidad final (magnitud y dirección) de cada
8.40 .. BIO Defensa de las aves. Para proteger a sus crías en el deslizador si el choque es elástico.
nido, los halcones peregrinos vuelan tras las aves de rapiña (como los 8.47 .. Los bloques A (masa de 2.00 kg) y B (masa de 10.00 kg) se
cuervos) con gran rapidez. En uno de tales episodios, un halcón de mueven en una superficie horizontal sin fricción. En un principio,
600 g que vuela a 20.0 m!s choca con un cuervo de 1.50 kg que vuela el bloque B está en reposo y el A se mueve hacia él a 2.00 m!s. Los
a 9.0 m!s. El halcón choca con el cuervo en ángulo recto con respec- bloques están equipados con protectores de resorte ideal, como en el
to a su trayectoria original y rebota a 5.0 m!s. (Estas cifras son estima- ejemplo 8.10 (sección 8.4). El choque es de frente, así que todos los
ciones del autor, quien presenció este ataque en el norte de Nuevo movimientos antes y después del choque están en una línea recta.
México). a) ¿En qué ángulo cambió el halcón la dirección del vuelo a) Calcule la energía máxima almacenada en los protectores de resor-
del cuervo? b) ¿Cuál era la rapidez del cuervo inmediatamente des- te y la velocidad de cada bloque en ese momento. b) Calcule la velo-
pués del choque? cidad de cada bloque una vez que se han separado.
8.41 . En el cruce de la Avenida Figura E8.41 8.48 . Una canica de 10.0 g
Figura E8.48
Texas y el Paseo Universitario, un se desliza a la izquierda a
automóvil subcompacto amarillo y (norte) 0.400 m!s sobre una acera ho-
0.200 m/s
de 950 kg que viaja al este por el rizontal de Nueva York, cu-
Paseo choca con una camioneta 24.0° bierta de hielo y sin fricción, y 0.400 m/s
30.0 g
pickup color rojo de 1900 kg que tiene un choque elástico de
viaja al norte por la Avenida Texas frente con una canica de 30.0 g 10.0 g
16.0 m/s
y no respetó el alto de un semá- que se desliza a la derecha con
x (este)
foro (figura E8.41). Los dos ve- una velocidad de magnitud igual
hículos quedan unidos después a 0.200 m!s (figura E8.48).
del choque y se deslizan a 16.0 m!s a) Determine la velocidad (magnitud y dirección) de cada canica des-
en dirección 24.0° al este del nor- pués del choque. (Puesto que el choque es de frente, los movimientos
te. Calcule la rapidez de cada ve- son en una línea). b) Calcule el cambio en el momento lineal (es de-
hículo antes del choque. El choque cir, el momento lineal después del choque menos el momento lineal
tiene lugar durante una tormenta; las fuerzas de fricción entre los antes del choque) para cada canica. Compare los valores obtenidos.
vehículos y el pavimento húmedo son despreciables. c) Calcule el cambio de energía cinética (es decir, la energía cinética
8.42 .. Una bala de 5.00 g se dispara horizontalmente hacia un bloque después del choque menos la energía cinética antes del choque) para
de madera de 1.20 kg que descansa en una superficie horizontal. El cada canica. Compare los valores obtenidos.
coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.20. 8.49 .. Moderadores. Los reactores nucleares canadienses usan mo-
La bala queda incrustada en el bloque, que se desliza 0.230 m por la deradores de agua pesada en los que se dan choques elásticos entre
superficie antes de detenerse. ¿Qué rapidez tenía inicialmente la bala? neutrones y deuterones de masa 2.0 u (véase el ejemplo 8.11 en la sec-
8.43 .. Péndulo balístico. Una bala de rifle de 12.0 g se dispara ción 8.4). a) ¿Qué rapidez tiene un neutrón, expresada como fracción
a 380 m!s contra un péndulo balístico de 6.00 kg, suspendido de una de su rapidez original, después de un choque elástico de frente con
cuerda de 70.0 cm de longitud (véase el ejemplo 8.8, sección 8.3). un deuterón inicialmente en reposo? b) ¿Qué energía cinética tiene,
Calcule a) la distancia vertical que sube el péndulo, b) la energía ciné- expresada como fracción de su energía cinética original? c) ¿Cuántos
tica inicial de la bala y c) la energía cinética de la bala y el péndulo choques sucesivos como este reducirán la rapidez de un neutrón a
inmediatamente después de que la bala se incrusta en el péndulo. 1!59,000 de su valor original?
8.44 .. Combinación de las leyes de conservación. Un bloque de 8.50 .. Imagine que controla un acelerador de partículas que envía un
15.0 kg está sujeto a un resorte horizontal muy ligero con constante haz de protones (masa m) a 1.50 * 107 m!s contra un objetivo gaseoso
de fuerza de 500.0 N!m, que reposa sobre una mesa horizontal sin fric- de un elemento desconocido. El detector indica que algunos protones
ción (figura E8.44). De repente, es golpeado por una piedra de 3.00 kg rebotan en la misma línea después de chocar con uno de los núcleos
que viaja de forma horizontal a 8.00 m!s hacia la derecha, con lo cual del elemento desconocido. Todos esos protones tienen una rapidez de
la piedra rebota horizontalmente a 2.00 m!s hacia la izquierda. Calcu- rebote de 1.20 * 107 m!s. Suponga que la rapidez inicial del núcleo
le la distancia máxima que el bloque comprime el resorte después del objetivo es despreciable y que el choque es elástico. a) Calcule la masa
choque. del núcleo del elemento desconocido. Exprese su respuesta en térmi-
nos de la masa m del protón. b) ¿Qué rapidez tiene el núcleo descono-
Figura E8.44 cido inmediatamente después de este choque?

15.0 kg
3.00 kg /
8.00 m s Sección 8.5 Centro de masa
8.51 . Tres bloques de chocolate de forma irregular tienen las siguien-
tes masas y coordenadas de su respectivo centro de masa: 1. 0.300 kg,
272 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y colisiones

(0.200 m, 0.300 m); 2. 0.400 kg, (0.100 m, -0.400 m); 3. 0.200 kg, 8.59 . CALC El momento lineal de un modelo de avión controlado
(-0.300 m, 0.600 m). Determine las coordenadas del centro de masa por radio está dado por [(-0.75 kg! m!s3)t2 + (3.0 kg!m!s)]nı "
del sistema formado por los tres bloques. (0.25 kg!m!s2)tn≥ . Determine las componentes x, y y z de la fuerza neta
8.52 . Calcule la posición del centro de masa del sistema formado que actúa sobre el avión.
por el Sol y Júpiter. (Como Júpiter tiene mayor masa que el resto de 8.60 .. BIO Cambio de su centro de masa. Para mantener los cálcu-
los planetas juntos, se obtendrá básicamente la posición del centro los muy sencillos, pero todavía razonables, modelaremos una pierna
de masa del Sistema Solar). ¿El centro de masa está dentro o fuera del humana de 92.0 cm de longitud (medida a partir de la articulación de
Sol? Use los datos del apéndice F. la cadera), suponiendo que las partes superior e inferior de la pierna
8.53 .. Plutón y Caronte. El diámetro de Plutón mide aproximada- (incluyendo el pie) tienen longitudes iguales y que cada una de ellas
mente 2370 km, y el diámetro de su satélite Caronte mide 1250 km. es uniforme. Para una persona de 70.0 kg, la masa de la parte superior
Aunque la distancia varía, sus centros a menudo están separados unos de la pierna es de 8.60 kg, mientras que la de la parte inferior (in-
19,700 km. Suponiendo que tanto Plutón como Caronte tienen la mis- cluyendo el pie) es de 5.25 kg. Determine la ubicación del centro
ma composición y, por consiguiente, la misma densidad media, deter- de masa de esta pierna, en relación con la articulación de la cadera, si
mine la ubicación del centro de masa de este sistema en relación con está a) estirada horizontalmente, y b) doblada por la rodilla para for-
el centro de Plutón. mar un ángulo recto con la parte superior de la pierna que permanece
8.54 . Una camioneta de 1200 kg avanza en una autopista recta a horizontal.
12.0 m!s. Otro automóvil, con masa de 1800 kg y rapidez de 20.0 m!s,
tiene su centro de masa 40.0 m adelante del centro de masa de la ca-
Sección 8.6 Propulsión de un cohete
8.61 .. Un astronauta de 70 kg flota en el espacio en una unidad de
mioneta (figura E8.54). a) Determine la posición del centro de masa
del sistema formado por los dos vehículos. b) Calcule la magnitud del
maniobras tripulada (MMU, por las siglas de manned maneuvering
momento lineal total del sistema, a partir de los datos anteriores. c) Calcu-
unit) de 110 kg y experimenta una aceleración de 0.029 m!s2 al dis-
le la rapidez del centro de masa del sistema. d) Calcule el momento
parar uno de sus impulsores. a) Si la rapidez del gas N2 que escapa,
lineal total del sistema, usando la rapidez del centro de masa. Compare
relativa al astronauta, es de 490 m!s, ¿cuánto gas se gasta en 5.0 s?
su resultado con el del inciso b).
b) ¿Qué empuje tiene el impulsor?
Figura E8.54 8.62 . Un cohete pequeño quema 0.0500 kg de combustible cada se-
gundo, expulsándolo como gas con una velocidad de 1600 m!s relativa
1200 kg 1800 kg al cohete. a) ¿Qué empuje tiene el cohete? b) ¿Funcionaría el cohete en
12.0 m/s 20.0 m/s el espacio exterior donde no hay atmósfera? Si es así, ¿cómo se podría
guiar? ¿Podría frenarlo?
8.63 . El modelo de motor C6-5 de un cohete tiene un impulso de
40.0 m 10.0 N!s durante 1.70 s mientras quema 0.0125 kg de combustible.
El empuje máximo es de 13.3 N. La masa inicial del motor más el
8.55 . La refacción de una má- Figura E8.55 combustible es de 0.0258 kg. a) ¿Qué fracción del empuje máximo
quina consiste en una barra del- es el empuje medio? b) Calcule la rapidez relativa de los gases de es-
Bisagra cape, suponiéndola constante. c) Suponiendo que la rapidez relativa
gada y uniforme de 4.00 kg y
1.50 m de los gases de escape es constante, calcule la rapidez final del motor
1.50 m de longitud, colgada en
forma perpendicular, mediante una 4.00 kg si está sujeto a una armazón muy ligera y se enciende estando en
bisagra, a una barra vertical simi- reposo en el espacio exterior, sin gravedad.
lar cuya masa es de 3.00 kg y que 8.64 .. Sin duda, los cohetes alcanzan gran rapidez, pero, ¿qué rapi-
mide 1.80 m de longitud. La barra 3.00 kg 1.80 m dez máxima es razonable? Suponga que un cohete se enciende desde
más larga tiene una bola pequeña, el reposo en una estación espacial donde la fuerza de gravedad es des-
pero densa, de 2.00 kg unida a preciable. a) Si el cohete expulsa gas con rapidez relativa de 2000 m!s
uno de sus extremos (figura E8.55). y se desea que el cohete alcance una rapidez final de 1.00 * 10-3c,
2.00 kg donde c es la rapidez de la luz, ¿qué fracción de la masa total inicial
¿Qué distancia se mueve horizon-
tal y verticalmente el centro de masa de esta refacción si la barra ver- del cohete no es combustible? b) ¿Cuál es esta fracción si se desea
tical se mueve alrededor del pivote en sentido antihorario 90° para alcanzar una rapidez final de 3000 m!s?
hacer a la refacción completamente horizontal? 8.65 .. Un cohete de una etapa se enciende desde el reposo en una
8.56 . En un instante dado, el centro de masa de un sistema de dos plataforma espacial donde la fuerza de gravedad es despreciable. Si el
partículas se encuentra sobre el eje x en x = 2.0 m y tiene una veloci- combustible se quema en 50.0 s y la rapidez relativa de los gases
dad de (5.0 m!s). Una partícula está en el origen. La otra tiene masa de de escape es vesc = 2100 m!s, ¿cuál debe ser la razón de masas m0!m
0.10 kg y está en reposo en el eje x, en x = 8.0 m. a) ¿Qué masa tiene para adquirir una rapidez final v de 8.00 km!s (similar a la rapidez
la partícula que se localiza en el origen? b) Calcule el momento lineal orbital de un satélite terrestre)?
total del sistema. c) ¿Qué velocidad tiene la partícula que se encuentra
en el origen?
8.57 .. En el ejemplo 8.14 (sección 8.5), Ramón tira de la cuerda
PROBLEMAS
para impulsarse con una rapidez de 0.70 m!s. ¿Cuál es la rapidez de 8.66 .. PA CALC Una niña de 40.0 kg se desliza sobre una superfi-
Jaime? cie horizontal sin fricción, con un momento lineal inicial hacia el este,
8.58 . CALC Un sistema consta de dos partículas. En t = 0 una par- de magnitud igual a 90.0 k! m!s. En t = 0, se aplica sobre la niña una
tícula está en el origen; la otra, cuya masa es de 0.50 kg, se encuentra fuerza neta de magnitud F = (8.20 N!s)t en dirección hacia el oeste.
en el eje y en y = 6.0 m. En t = 0 el centro de masa del sistema está en a) ¿En qué valor de t la niña tiene un momento lineal hacia el oeste de
el eje y en y = 2.4 m. La velocidad del centro de masa está dada por magnitud de 60.0 kg! m!s? b) ¿Cuánto trabajo ha realizado la fuerza
(0.75 m!s3)t 2nı . a) Calcule la masa total del sistema. b) Calcule la ace- sobre la niña en el intervalo de tiempo de t = 0 hasta el tiempo calcu-
leración del centro de masa en cualquier instante t. c) Calcule la fuerza lado en el inciso a)? c) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de la
externa neta que actúa sobre el sistema en t = 3.0 s. niña en el instante calculado en el inciso a)?
 Problemas 273

8.67 .. Una esfera de acero con masa de 40.0 g se deja caer desde una 8.74 ... Usted y sus amigos efectúan experimentos de física en un
altura de 2.00 m sobre una plancha de acero horizontal, rebotando a estanque congelado que sirve como superficie horizontal sin fricción.
una altura de 1.60 m. a) Calcule el impulso que se da a la esfera en el Sam, de 80.0 kg, recibe un empujón y se desliza hacia el este. Abigaíl,
impacto. b) Si el contacto dura 2.00 ms, calcule la fuerza media que de 50.0 kg, recibe también un empujón y se desliza hacia el norte. Los
actúa sobre la esfera durante el impacto. dos chocan. Después del choque, Sam se mueve a 37.0° al norte del
8.68 . En una erupción volcánica, una roca de 2400 kg es lanzada este con rapidez de 6.00 m!s, y Abigaíl, a 23.0° al sur del este con
verticalmente hacia arriba. Al alcanzar su altura máxima, estalla de rapidez de 9.00 m!s. a) ¿Qué rapidez tenía cada uno antes del choque?
forma súbita (a causa de los gases atrapados) y se divide en dos frag- b) ¿Cuánto disminuyó la energía cinética total de las dos personas
mentos, uno de los cuales tiene una masa tres veces mayor que la del durante el choque?
otro. El fragmento más liviano comenzó con una velocidad horizontal 8.75 ... El núcleo del 214Po decae radiactivamente emitiendo una par-
y tocó tierra 318 m directamente al norte del punto del estallido. tícula alfa (masa 6.65 * 10-27 kg) con una energía cinética de 1.23 * 10-12 J,
¿Dónde caerá el otro fragmento? Desprecie la resistencia del aire. medida en el marco de referencia del laboratorio. Suponiendo que el Po
8.69 .. Una pelota de tenis de 0.560 N tiene una velocidad de estaba inicialmente en reposo en este marco, calcule la velocidad de re-
(20.0 m!s)nı ! (4.0 m!s)n≥ , justo antes de ser golpeada por una ra- troceso del núcleo que queda después de la desintegración.
queta. Durante los 3.00 ms que la raqueta y la pelota están en con- 8.76 . PA En una exhibición de autos antiguos, un Nash Metropo-
tacto, la fuerza neta que actúa sobre la pelota es constante e igual a litan modelo 1955 de 840 kg avanza a 9.0 m!s seguido de un Packard
-(380 N)nı " (110 N)n≥ . a) ¿Qué componentes x y y tiene el impulso Clipper modelo 1957 de 1620 kg que avanza a 5.0 m!s. a) ¿Qué auto
de la fuerza neta aplicada a la pelota? b) ¿Qué componentes x y y tiene tiene mayor energía cinética? ¿Cuál es la razón entre las energías
la velocidad final de la pelota? cinéticas del Nash y el Packard? b) ¿Qué auto tiene mayor magnitud
8.70 . Tres discos de hockey idénticos en una mesa horizontal de aire del momento lineal? ¿Cuál es la razón entre las magnitudes de mo-
tienen imanes repelentes. Se les junta y luego se les suelta simultánea- mento lineal del Nash y el Packard? c) Sean FN y FP las fuerzas netas
mente. Todos tienen la misma rapidez en cualquier instante. Un disco requeridas para detener en un tiempo t el Nash y el Packard, respec-
se mueve al oeste. ¿Cuál es la dirección de la velocidad de cada uno tivamente. ¿Cuál fuerza es mayor: FN o FP? ¿Cuánto vale la razón
de los otros dos discos? FN!FP? d) Sean ahora FN y FP las fuerzas netas requeridas para de-
8.71 .. Un convertible azul de 1500 kg viaja al sur, y una camioneta tener en una distancia d el Nash y el Packard, respectivamente. ¿Cuál
roja de 2000 kg viaja al oeste. Si el momento lineal total del sistema fuerza es mayor: FN o FP? ¿Cuánto vale la razón FN!FP?
formado por los dos vehículos es de 7200 kg # m!s dirigido 60.0° al 8.77 .. PA Un bloque de madera de 8.00 kg reposa en el extremo de
oeste del sur, ¿qué rapidez tiene cada vehículo? una mesa sin fricción a 2.20 m arriba del suelo. Una bola de arcilla
8.72 .. Un vagón de ferrocarril se mueve sobre vías rectas sin fric- de 0.500 kg se desliza a través de la mesa con una rapidez de 24.0 m!s,
ción con resistencia despreciable del aire. En los casos que siguen, golpea el bloque de madera y se adhiere a él. El objeto combinado
el vagón tiene inicialmente una masa total (vehículo y contenido) de abandona el extremo de la mesa y cae al suelo. ¿Qué distancia hori-
200 kg y viaja hacia el este a 5.00 m!s. Suponiendo que no se sale zontal recorre el objeto cuando llega al suelo?
de la vía, calcule su velocidad final si: a) una masa de 25.0 kg se lan- 8.78 ... PA Un pequeño bloque de madera de 0.800 kg de masa está
za lateralmente desde el vagón con velocidad de 2.00 m!s relativa a la suspendido del extremo inferior de una cuerda ligera de 1.60 m de
velocidad inicial del vagón; b) una masa de 25.0 kg se lanza hacia atrás longitud. El bloque está en reposo inicialmente. Una bala de 12.0 g
con velocidad de 5.00 m!s relativa al movimiento inicial del vagón; de masa es disparada al bloque con una velocidad horizontal v0.
c) una masa de 25.0 kg se avienta al interior del vagón con velocidad La bala golpea el bloque y se incrusta en él. Después del choque, el ob-
de 6.00 m!s relativa al suelo y opuesta en dirección a la velocidad ini- jeto combinado oscila en el extremo de la cuerda. Cuando el bloque
cial del vagón. se eleva una altura vertical de 0.800 m, la tensión en la cuerda es de
8.73 . Las esferas A (masa de 0.020 kg), B (masa de 0.030 kg) y 4.80 N. ¿Cuál era la velocidad inicial v0 de la bala?
C (masa de 0.050 kg) se acercan al origen deslizándose sobre una mesa 8.79 .. Combinación de las leyes de conservación. Un trozo de
de aire sin fricción (figura P8.73). Las velocidades iniciales de A y B hielo de 5.00 kg se desliza a 12.0 m!s sobre el piso de un valle cubierto
se indican en la figura. Las tres esferas llegan al origen simultánea- de hielo cuando choca y se adhiere con otro pedazo de hielo de 5.00 kg
mente y se unen. a) ¿Qué componentes x y y debe tener la velocidad que estaba en reposo (figura P8.79). Como el valle tiene hielo, no hay
inicial de C si después del choque los tres objetos tienen una veloci- fricción. Después del choque, ¿qué altura sobre el suelo del valle al-
dad de 0.50 m!s en la dirección +x? b) Si C tiene la velocidad obtenida canzan los pedazos combinados?
en el inciso a), ¿cuál es el cambio en la energía cinética del sistema
de las tres esferas como resultado del choque?
Figura P8.79
Figura P8.73
5.00 kg 12.0 m s 5.00 kg
y /
B

vB 5 0.50 m/s

8.80 .. Análisis de un accidente automovilístico. Suponga que lo

llaman como testigo experto para analizar el siguiente accidente auto-
60° vA 5 1.50 m/s movilístico: el automóvil B, con una masa de 1900 kg, estaba deteni-
O do ante un semáforo cuando fue golpeado por detrás por el automóvil A,
x
vC con una masa de 1500 kg. Los automóviles se enganchan de los para-
A
choques durante la colisión y se deslizan hasta detenerse con los fre-
C nos de todos los neumáticos bloqueados. Las mediciones de las marcas
274 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y colisiones

del derrape dejadas por los neumáticos miden 7.15 m de longitud. El mienzan a deslizarse los contrincantes entrelazados sobre el piso?
coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento b) Si el coeficiente de fricción cinética entre sus cuerpos y el piso es
es de 0.65. a) ¿Cuál era la rapidez del automóvil A inmediatamente mk = 0.250, ¿qué distancia se deslizan?
antes del choque? b) Si el límite de rapidez es de 35 mph, ¿el auto- 8.86 .. PA Dos masas idénticas Figura P8.86
móvil A lo rebasó y, de ser así, por cuántas millas por hora? se sueltan del reposo en un tazón
8.81 .. Análisis de un accidente. Un automóvil sedán de 1500 kg hemisférico liso de radio R, desde
atraviesa una gran intersección viajando de norte a sur cuando es gol- las posiciones que se muestran en R
peado por una camioneta de 2200 kg que viaja de este a oeste. Los la figura P8.86. Se puede despre-
dos automóviles se enganchan debido al impacto y se deslizan como ciar la fricción entre las masas y
uno solo después del choque. Las mediciones en la escena del acci- la superficie del tazón. Si se unen
dente indican que el coeficiente de fricción cinética entre los neumá- cuando chocan, ¿qué altura por Resolver este mismo ejercicio
ticos de los automóviles y el pavimento es de 0.75 y los automóviles arriba del fondo del tazón alcan- suponiendo que las dos masas
se deslizaron hasta detenerse 5.39 m al oeste y 6.43 m al sur del punto zarán las masas después de chocar? rebotan elásticamente.
de impacto. ¿A qué rapidez viajaba cada automóvil justo antes del 8.87 .. Una pelota con masa M, que se mueve horizontalmente a
choque? 4.00 m!s, choca elásticamente con un bloque de masa 3M que ini-
8.82 ... PA Un bastidor de 0.150 kg, Figura P8.82 cialmente está en reposo y cuelga del techo por medio de un alambre
suspendido de un resorte, estira a este de 50.0 cm. Determine el ángulo máximo de oscilación del bloque des-
0.070 m. Un trozo de masilla de 0.200 kg pués del impacto.
en reposo se deja caer sobre el basti- 8.88 ... PA Una esfera de plomo de 20.00 kg cuelga de un gancho
dor desde una altura de 30.0 cm (figura atado a un alambre delgado de 3.50 m de longitud, y puede girar en un
P8.82). ¿Qué distancia máxima baja círculo completo. De forma repentina, un dardo de acero de 5.00 kg la
el bastidor con respecto a su posición golpea horizontalmente, incrustándose en ella. ¿Qué rapidez inicial mí-
inicial? nima debe tener el dardo para que la combinación describa un círculo
8.83 . Una bala de rifle de 8.00 g completo después del choque?
golpea y se incrusta en un bloque de 8.89 ... PA Una pelota de 8.00 kg, que cuelga del techo atada a un
0.992 kg que descansa en una superfi- alambre ligero de 135 cm de longitud, experimenta un choque elástico
cie horizontal sin fricción sujeto a un 30.0 cm
con una pelota de 2.00 kg que se mueve horizontalmente a 5.00 m!s
resorte (figura P8.83). El impacto com- justo antes del choque. Calcule la tensión en el alambre inmediatamen-
prime el resorte 15.0 cm. La calibra- te después del choque.
ción del resorte indica que se requiere 8.90 .. Un obús en reposo de 7.0 kg explota y se divide en dos frag-
una fuerza de 0.750 N para comprimirlo 0.250 cm. a) Calcule la mag- mentos, uno de masa igual a 2.0 kg y el otro de 5.0 kg. Si el fragmento
nitud de la velocidad del bloque inmediatamente después del impacto. más pesado gana 100 J de energía cinética a partir de la explosión,
b) ¿Qué rapidez tenía inicialmente la bala? ¿cuánta energía cinética gana el más ligero?
8.91 .. Una bala de 4.00 g viaja horizontalmente con una velocidad
de magnitud igual a 400 m!s y choca con un bloque de madera de
Figura P8.83
0.800 kg que estaba en reposo en una superficie plana. La bala atra-
viesa el bloque y sale con su rapidez reducida a 190 m!s. El bloque se
v desliza una distancia de 45.0 cm sobre la superficie con respecto a su
posición inicial. a) ¿Qué coeficiente de fricción cinética hay entre el
bloque y la superficie? b) ¿En cuánto se reduce la energía cinética de
la bala? c) ¿Qué energía cinética tiene el bloque en el instante en que la
15.0 cm bala sale de él?
8.92 .. Una bala de 5.00 g se dispara a través de un bloque de ma-
dera de 1.00 kg suspendido de una cuerda de 2.00 m de longitud. El
8.84 .. Rebote de una bala. Una piedra de 0.100 kg descansa en centro de masa del bloque se eleva 0.38 cm. Calcule la rapidez de la
una superficie horizontal sin fricción. Una bala de 6.00 g que viaja bala al salir del bloque si su rapidez inicial es de 450 m!s.
horizontalmente a 350 m!s golpea la piedra y rebota horizontalmente 8.93 .. Un neutrón de masa m experimenta un choque elástico de
en ángulo recto de su dirección original, con rapidez de 250 m!s. frente con un núcleo de masa M en reposo. a) Demuestre que si la
a) Calcule la magnitud y la dirección de la velocidad de la piedra energía cinética inicial del neutrón es K0, la energía cinética que pier-
después del golpe. b) ¿Es perfectamente elástico el choque? de durante el choque es 4mMK0!(M + m)2. b) ¿Con qué valor de M
8.85 .. Un doble de cine (masa pierde más energía el neutrón incidente? c) Si M tiene el valor calcu-
de 80.0 kg) se pone de pie en un al-
Figura P8.85 lado en el inciso b), ¿qué rapidez tiene el neutrón después del choque?
féizar a 5.0 m sobre el piso (figura 8.94 .. División de energía en choques elásticos. Un objeto esta-
P8.85). Sujetando una cuerda ata- cionario con masa mB es golpeado de frente por un objeto con masa
da a un candelabro, oscila hacia mA que se mueve con rapidez inicial v0. a) Si el choque es elástico,
abajo para pelear con el villano ¿qué porcentaje de la energía original tendrá cada objeto después del
(masa de 70.0 kg), quien está de pie 5.0 m m 5 80.0 kg choque? b) Aplique el resultado del inciso a) a los siguientes casos
exactamente abajo del candelabro. especiales: i. mA = mB y ii. mA = 5mB. c) ¿Con qué valores, si existen,
(Suponga que el centro de masa de la razón de masas mA!mB la energía cinética original se divide equi-
del doble baja 5.0 m, y él suelta tativamente entre los dos objetos después del choque?
la cuerda justo al chocar con el 8.95 .. PA En el centro de distribución de una compañía de embar-
villano). a) ¿Con qué rapidez co- m 5 70.0 kg ques, un carrito abierto de 50.0 kg está rodando hacia la izquierda con
 Problemas 275

rapidez de 5.00 m!s (figura Figura P8.95 desintegración se libera energía, la cual aparece como energía cinéti-
P8.95). La fricción entre el carrito ca del protón y del electrón. La masa de un protón es 1836 veces la de
y el piso es despreciable. Un pa- un electrón. ¿Qué fracción de la energía total liberada se convertirá en
quete de 15.0 kg baja deslizándo- 37° energía cinética del protón?
se por una rampa inclinada 37° 8.102 .. Un núcleo de 232Th (torio) en reposo se desintegra para pro-
sobre la horizontal y sale proyec- ducir un núcleo de 228Ra (radio) con emisión de una partícula alfa.
tado con una rapidez de 3.00 m!s. 4.00 m La energía cinética total de los productos de la desintegración es de
El paquete cae en el carrito y 6.54 * 10-13 J. La masa de una partícula alfa es 1.76% de la masa
siguen avanzando juntos. Si el ex- de un núcleo de 228Ra. Calcule la energía cinética de: a) el núcleo de
228
tremo inferior de la rampa está a Ra en retroceso y b) la partícula alfa.
una altura de 4.00 m sobre el 8.103 . Antineutrino. En la desintegración beta, un núcleo emite un
fondo del carrito, a) ¿qué rapidez tendrá el paquete inmediatamente electrón. Un núcleo de 210Bi (bismuto) en reposo experimenta la desin-
antes de caer en el carrito? y b) ¿qué rapidez final tendrá el carrito? tegración beta para producir 210Po (polonio). Suponga que el electrón
8.96 . Un disco azul de hockey con masa de 0.0400 kg, que se desliza emitido se mueve hacia la derecha con un momento lineal de 5.60 *
con rapidez de 0.200 m!s sobre una mesa de aire horizontal sin fric- 10-22 kg!m!s. El núcleo de 210Po, cuya masa es de 3.50 * 10-25 kg,
ción, experimenta un choque perfectamente elástico de frente con un retrocede hacia la izquierda con rapidez de 1.14 * 103 m!s. La con-
disco rojo de masa m, inicialmente en reposo. Después del choque, la servación del momento lineal requiere la emisión de una segunda
velocidad del disco azul es de 0.050 m!s en la misma dirección que partícula, llamada antineutrino. Calcule la magnitud y dirección del
su velocidad inicial. Calcule a) la velocidad (magnitud y dirección) momento lineal del antineutrino emitido en esta desintegración.
del disco rojo después del choque; y b) la masa m del disco rojo. 8.104 .. Jonathan y Jane están sentados en un trineo en reposo sobre
8.97 ... Jack y Jill están de pie sobre una caja en reposo en la su- hielo sin fricción. Jonathan pesa 800 N, Jane pesa 600 N y el trineo
perficie horizontal sin fricción de un estanque congelado. La masa de pesa 1000 N. Las dos personas ven una araña venenosa en el piso del
Jack es de 75.0 kg, la de Jill es de 45.0 kg y la de la caja es de 15.0 kg. trineo y saltan hacia afuera. Jonathan salta a la izquierda con velocidad
Se acuerdan que deben ir por un cubo de agua, así que los dos saltan (relativa al hielo) de 5.00 m!s a 30.0° por arriba de la horizontal, y
horizontalmente desde encima de la caja. Inmediatamente después de Jane salta a la derecha a 7.00 m!s (relativa al hielo) a 36.9° por arriba
saltar, cada uno se aleja de la caja con una rapidez de 4.00 m!s relativa de la horizontal. Calcule la velocidad horizontal (magnitud y direc-
a la caja. a) ¿Qué rapidez final tiene la caja si Jack y Jill saltan si- ción) del trineo después del salto.
multáneamente y en la misma dirección? (Sugerencia: Use un sistema 8.105 .. Dos amigos, Burt y Ernie, están de pie en los extremos opues-
de coordenadas inercial fijo al suelo). b) ¿Cuál es la rapidez final de tos de un tronco uniforme que está flotando en un lago. El tronco tiene
la caja si Jack salta primero y Jill lo hace unos segundos después, en la 3.0 m de longitud y masa de 20.0 kg. La masa de Burt es de 30.0 kg y
misma dirección? c) ¿Qué rapidez final tiene la caja si Jill salta pri- la de Ernie de 40.0 kg. Inicialmente los dos amigos y el tronco están
mero y luego Jack, en la misma dirección? en reposo relativo a la orilla. Entonces Burt ofrece a Ernie una galleta,
8.98 . Imagine que sostiene una pelota pequeña en contacto con una quien camina hacia el extremo del tronco de Burt para tomarla. En re-
pelota grande y directamente arriba del centro de esta última. Si luego lación con la orilla, ¿qué distancia se mueve el tronco durante el tiempo
deja caer la pelota pequeña un poco después de dejar caer la grande, la en que Ernie llega con Burt? Ignore la fuerza horizontal que el agua ejer-
pelota pequeña rebotará con rapidez sorprendente. Para ver el caso ce sobre el tronco y suponga que ni Burt ni Ernie caen del tronco.
extremo, ignore la resistencia del aire y suponga que la pelota grande 8.106 .. Una mujer de 45.0 kg está de pie en una canoa de 60.0 kg
choca elásticamente con el piso y luego rebota para chocar elástica- y 5.00 m de longitud. Ella camina desde un punto a 1.00 m de un ex-
mente con la pelota pequeña en descenso. Justo antes del choque en- tremo hasta un punto a 1.00 m del otro extremo (figura P8.106). Si se
S
tre las dos pelotas, la grande se mueve hacia arriba con velocidad v ignora la resistencia del agua al movimiento de la canoa, ¿qué distan-
S
y la pequeña tiene velocidad - v. (¿Entiende por qué?). Suponga que cia se mueve la canoa durante este proceso?
la masa de la pelota grande es mucho mayor que la de la pequeña.
a) ¿Qué velocidad tiene la pelota pequeña justo después del choque Figura P8.106
con la grande? b) Use la respuesta al inciso a) para calcular la razón
entre la distancia de rebote de la pelota pequeña y la distancia que cayó
antes del choque.
8.99 ... Un disco de hockey B descansa sobre una superficie de hielo
liso y es golpeado por otro disco A de la misma masa. A viaja ini-
cialmente a 15.0 m!s y es desviado 25.0° con respecto a su dirección
original. Suponga un choque perfectamente elástico. Calcule la ra-
pidez final de cada disco y la dirección de la velocidad de B después Inicio Final
del choque.
8.100 ... División de energía. Un objeto con masa m, que inicial-
1.00 m 3.00 m 1.00 m
mente está en reposo, explota y produce dos fragmentos, uno con masa
mA y otro con masa mB, donde mA + mB = m. a) Si se libera una ener- 8.107 .. Imagine que está de pie en una plancha de concreto que des-
gía Q en la explosión, ¿cuánta energía cinética tendrá cada fragmen- cansa sobre un lago congelado. Suponga que no hay fricción entre la
to inmediatamente después de la explosión? b) ¿Qué porcentaje de la plancha y el hielo. La plancha pesa cinco veces más que usted. Si usted
energía total liberada recibirá cada fragmento si la masa de uno es cua- comienza a caminar a 2.00 m!s en relación con el hielo, ¿con qué ra-
tro veces la del otro? pidez relativa al hielo se moverá la plancha?
8.101 ... Desintegración de neutrones. Un neutrón en reposo se 8.108 .. PA Un proyectil de 20.0 kg se dispara con un ángulo de
desintegra (se rompe) para producir un protón y un electrón. En la 60.0° sobre la horizontal y rapidez de 80.0 m!s. En el punto más alto
276 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y colisiones

de la trayectoria, el proyectil estalla en dos fragmentos de igual masa; Puede despreciar la resistencia del aire. Compare su respuesta con la
uno cae verticalmente con rapidez inicial cero. Ignore la resistencia del rapidez calculada en el ejemplo 8.16.
aire. a) ¿A qué distancia del punto de disparo cae el otro fragmento si 8.113 .. Cohete de múltiples etapas. Suponga que la primera eta-
el terreno es plano? b) ¿Cuánta energía se libera en la explosión? pa de un cohete de dos etapas tiene una masa total de 12,000 kg, de los
8.109 ... PA Un cohete de fuegos artificiales se dispara verticalmen- cuales 9000 kg son de combustible. La masa total de la segunda etapa
te hacia arriba. En su altura máxima de 80.0 m, estalla y se divide en es 1000 kg, de los cuales 700 kg corresponden al combustible. Supon-
dos fragmentos, uno con masa de 1.40 kg y otro con masa de 0.28 kg. ga que la rapidez relativa vesc del material expulsado es constante, e
En la explosión, 860 J de energía química se convierten en energía ignore los efectos gravitacionales (que son pequeños durante el perio-
cinética de los dos fragmentos. a) ¿Qué rapidez tiene cada fragmento do de encendido si la tasa de consumo de combustible es alta). a) Su-
inmediatamente después de la explosión? b) Se observa que los dos ponga que todo el combustible de este cohete de dos etapas se utiliza
fragmentos caen al suelo al mismo tiempo. ¿Qué distancia hay entre en un cohete de una sola etapa con la misma masa total de 13,000 kg.
los puntos en los que caen? Suponga que el suelo es horizontal y que En términos de vesc, ¿qué rapidez tendría el cohete, partiendo del re-
la resistencia del aire es despreciable. poso, al agotarse el combustible? b) En cuanto al cohete de dos etapas,
8.110 ... Un obús de 12.0 kg es disparado con un ángulo de 55.0° ¿qué rapidez tiene al agotarse el combustible de la primera etapa si
sobre la horizontal con una rapidez inicial de 150 m!s. En el punto esta transporta la segunda etapa hasta este punto? Dicha rapidez es
más alto de la trayectoria, el obús estalla en dos fragmentos, uno con ahora la rapidez inicial de la segunda etapa, que en este punto se separa
tres veces más masa que el otro. Los dos fragmentos llegan al suelo de la primera. c) ¿Qué rapidez final tiene la segunda etapa? d) ¿Qué
al mismo tiempo. Suponga que la resistencia del aire es despreciable. valor de vesc se requiere para impartir a la segunda etapa del cohete
Si el fragmento más pesado cae en el punto desde el cual se lanzó el una rapidez de 7.00 km!s?
obús, ¿dónde caerá el fragmento más ligero y cuánta energía se habrá
liberado en la explosión?
8.111 . PA Un bandido suelta una carreta con dos cajas de oro (masa
PROBLEMAS DE DESAFÍO
total = 300 kg) que estaba en reposo 50 m cuesta arriba de una pen- 8.114 . CALC Gota de lluvia de masa variable. En un problema
diente de 6.0° (figura P8.111). El plan es que la carreta baje la cuesta, de propulsión de cohetes, la masa es variable. Un problema similar es
ruede por terreno plano y luego caiga en un cañón donde sus cómplices una gota de lluvia que cae a través de una nube de gotitas de agua,
esperan. Sin embargo, en un árbol a 40 m del borde del cañón están algunas de las cuales se adhieren a la gota aumentando su masa al
el Llanero Solitario (masa de 75.0 kg) y Toro (masa de 60.0 kg), caer. La fuerza sobre la gota es
quienes se dejan caer verticalmente sobre la carreta al pasar por debajo
dp dv dm
de ellos. a) Si nuestros héroes necesitan 5.0 s para tomar el oro y sal- Fext = = m + v
tar, ¿lo lograrán antes de que la carreta llegue al borde del risco? La dt dt dt
carreta rueda con fricción despreciable. b) Cuando los héroes caen en Suponga que la masa de la gota depende de la distancia x que ha caí-
la carreta, ¿se conserva la energía cinética del sistema de los héroes do. Entonces, m = kx, donde k es constante, y dm!dt = kv. Puesto que
más la carreta? Si no, ¿aumenta o disminuye, y por cuánto? Fext = mg, esto da

dv
Figura P8.111 mg = m + v1kv2
dt
O bien, dividiendo entre k,

dv
xg = x + v2
dt
300 kg
50 m Esta es una ecuación diferencial con solución de la forma v = at, donde
6.0° a es la aceleración constante. Suponga que la velocidad inicial de la
40 m al cañón gota es cero. a) Usando la solución propuesta para v, calcule la ace-
leración a. b) Calcule la distancia que la gota cae en t = 3.00 s. c) Con
k = 2.00 g!m, calcule la masa de la gota en t = 3.00 s. [Otros aspectos
8.112 .. CALC En la sección 8.6 consideramos un cohete que se en- interesantes del problema pueden consultarse en K. S. Krane, Amer.
Jour. Phys., vol. 49 (1981), pp. 113-117].
8.115 .. CALC En la sección 8.5, calculamos el centro de masa consi-
ciende en el espacio exterior donde no hay resistencia del aire y la
fuerza de gravedad es despreciable. Suponga ahora que el cohete en
reposo acelera verticalmente desde la superficie terrestre. Siga ig- derando objetos constituidos por un número finito de masas puntuales
norando la resistencia del aire y considere solo la parte del movimiento u objetos que, por simetría, pueden representarse con un número finito
en la que la altura del cohete es pequeña y g puede suponerse cons- de masas puntuales. Si la distribución de masa de un objeto sólido no
tante. a) ¿Cómo se modifica la ecuación (8.37) cuando se toma en permite una determinación simple del centro de masa por simetría, las
cuenta la fuerza de gravedad? b) Deduzca una expresión para la ace- sumas de las ecuaciones (8.28) deben generalizarse a integrales:
leración a del cohete, análoga a la ecuación (8.39). c) ¿Qué aceleración
ML ML
1 1
tiene el cohete del ejemplo 8.15 (sección 8.6) si está cerca de la su- x cm = x dm ycm = y dm
perficie terrestre y no en el espacio? Ignore la resistencia del aire.
d) Calcule la rapidez del cohete del ejemplo 8.16 (sección 8.6) después donde x y y son las coordenadas de un fragmento pequeño del objeto
de 90 s si parte de la superficie terrestre y no del espacio exterior. con masa dm. Se integra sobre todo el objeto. Considere una varilla
 Respuestas 277

delgada de longitud L, masa M y área transversal A. Sea el origen de Figura P8.116

coordenadas en el extremo izquierdo de la varilla y el eje +x a lo largo
y
de la varilla. a) Si la densidad r = M!V del objeto es uniforme, realice
la integración anterior para demostrar que la coordenada x del centro
de masa está en el centro geométrico de la varilla. b) Si la densidad del
objeto varía linealmente con x, es decir, r = ax (donde a es una cons-
tante positiva), calcule la coordenada x del centro de masa de la varilla. a x
8.116 .. CALC Use los métodos del problema de desafío 8.115 para t
calcular las coordenadas x y y del centro de masa de una placa metá-
lica semicircular con densidad uniforme r, espesor t y radio a. La masa
de la placa es entonces M = 12 rpa2t. Use el sistema de coordenadas de
la figura P8.116.

Respuestas

Pregunta inicial del capítulo ? que vC2x = –vA2x 7 0 y vC2y = –vB2y 7 0, por lo que las componentes de
velocidad de la pieza C son positivas. La pieza C tiene una rapidez
Las dos balas tienen la misma magnitud de momento lineal p = mv (el 2vC2x2 + vC2y2 = 2vA2x2 + vB2y2 , que es mayor que la rapidez de
producto de la masa por la rapidez), pero la bala ligera, más rápida, cualquiera de las piezas A o B.
1
tiene dos veces más energía cinética K = 2 mv2. Por lo tanto, la bala 8.3 Respuestas: a) elástico, b) inelástico, c) totalmente inelástico
ligera puede efectuar dos veces más trabajo sobre la zanahoria (y En cada caso, la energía potencial gravitacional se convierte en energía ci-
causar dos veces más daño) en el proceso de detenerse (véase la sec- nética conforme la pelota cae, y el choque es entre la pelota y el suelo.
ción 8.1). En a) toda la energía inicial se convierte en energía potencial gravita-
cional, así que no se pierde energía cinética en el rebote, y el choque es
Preguntas de las secciones elástico. En b) hay menos energía potencial gravitacional al final que
al principio, por lo que algo de energía cinética se pierde en el rebote.
Evalúe su comprensión Por lo tanto, el choque es inelástico. En c) la pelota pierde toda la ener-
8.1 Respuesta: v, i y ii (empate en segundo lugar), iii y iv (empate gía cinética que tiene para dar, la pelota queda pegada al suelo, y el cho-
en tercer lugar) El impulso de la fuerza neta se puede calcular de que es totalmente inelástico.
dos formas: 1. como la fuerza neta multiplicada por el tiempo durante el 8.4 Respuesta: peores Después del choque con una molécula de
que actúa la fuerza neta, y 2. como el cambio en el momento lineal agua inicialmente en reposo, la rapidez del neutrón es ƒ 1mn - mw2>
17
de la partícula sobre la que actúa la fuerza neta. Nuestra elección del 1mn + mw2 ƒ = ƒ 11.0 u - 18 u2> 11.0 u + 18 u2 ƒ = 19 de su rapidez
método depende de qué información se nos dé. Tomamos la dirección
inicial, y su energía cinética es A B = 0.80 del valor inicial. Por
17 2
+x hacia el este. i. La fuerza no se conoce, así que usamos el método 2: 19
lo tanto, una molécula de agua es peor moderador que un átomo de
Jx = mv2x - mv1x = (1000 kg)(0) - (1000 kg)(25 m!s) = -25,000
carbono, cuyos valores son 1113 y A 13 B = 0.72 respectivamente.
11 2
kg!m!s, por lo que la magnitud del impulso es 25,000 kg !m!s =
8.5 Respuesta: no Si la gravedad es la única fuerza que actúa sobre
25,000 N! s. ii. Por la misma razón que en i, usamos el método 2:
el sistema de dos fragmentos, el centro de masa seguirá la trayectoria
Jx = mv2x - mv1x = (1000 kg)(0) - (1000 kg)(25 m!s) = -25,000
parabólica de un objeto que cae libremente. Sin embargo, una vez que
kg!m!s, y la magnitud del impulso, una vez más, es 25,000 kg! m!s =
el fragmento toca tierra, el suelo ejerce una fuerza normal sobre ese
método 1: Jx = ( g Fx)med(t2 - t1) = (2000 N)(10 s) = 20,000 N!s, por
25,000 N! s. iii. La velocidad final no se conoce, así que usamos el
fragmento. Por lo tanto, la fuerza neta sobre el sistema cambia, y la
trayectoria del centro de masa se modifica en respuesta a ello.

zón que en iii, empleamos el método 1: Jx = ( g Fx)med(t2 - t1) =

lo que la magnitud del impulso es 20,000 N !s. iv. Por la misma ra- 8.6 Respuestas: a) creciente, b) decreciente De acuerdo con las
ecuaciones (8.37) y (8.38), el empuje F es igual a m (dv!dt), donde
(-2000 N)(10 s) = -20,000 N!s, de manera que la magnitud del m es la masa del cohete y dv!dt es su aceleración. Como m disminuye
impulso es 20,000 N!s. v. La fuerza no se conoce, así que usamos con el tiempo, si el empuje F es constante, la aceleración deberá aumen-
el método 2: Jx = mv2x - mv1x = (1000 kg)(-25 m!s) - (1000 kg) tar con el tiempo (la misma fuerza actúa sobre una masa menor); si la
(25 m!s) = -50,000 kg ! m!s y la magnitud del impulso es 50,000 aceleración dv!dt es constante, el empuje deberá disminuir con el tiem-
kg! m!s = 50,000 N ! s. po (se requiere una fuerza menor para acelerar una masa más pequeña).
8.2 Respuestas: a) vC2x 7 0, vC2y 7 0, b) pieza C No hay fuerzas ho-
rizontales externas, así que las componentes x y y del momento lineal
total del sistema se conservan. Las dos componentes son cero antes de Problema práctico
soltarse el resorte, así que después deberán ser cero. Por lo tanto,
Respuestas: a) 1.00 m!s a la derecha b) Elástico
Px = 0 = m A vA2x + m B vB2x + m C vC2x c) 1.93 m!s a -30.4°
d) 2.31 kg ! m!s a 149.6° e) Inelástico
Py = 0 = m A vA2y + m B vB2y + m C vC2y
f) 1.67 m!s en dirección +x
Nos dicen que mA = mB = mC , vA2x 6 0, vA2y = 0, vB2x = 0 y
vB2y 6 0. Podemos resolver las ecuaciones anteriores para demostrar