TEORÍA

2021-2

TRONCO DE PIRÁMIDE

16b
 TRONCO DE PIRÁMIDE
Definición.- Se denomina tronco de pirámide, al poliedro determinado por
una pirámide y un plano secante a todas las aristas laterales.
V

B
C ABCDE–ABCDE es un tronco
de pirámide
D
A
C E

B D

A E
TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS
Definición.- Es el tronco de pirámide cuyas bases están contenidas en
planos paralelos.

C
B P D
ABCDE–ABCDE es un tronco
A E de pirámide de bases paralelas

B D
H
A E
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Definición.- Se denomina tronco de pirámide regular al tronco de pirámide
de bases paralelas cuyas bases son regiones poligonales regulares y las
caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes.

C b D
b
B b O ABCDEF–ABCDEF es un
N E
tronco de pirámide de bases
A F
a a paralelas
a
a
a a MN: Apotema del tronco de
C b D
b b pirámide
a
B q E
O
b M
A b F
 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL
DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
A

F
F
D
C A A
FF
B E E
A F
A E
D B
A D
C D B C
B C
B E A C

A F B
A
Superficie lateral Superficie Total
Se denomina superficie lateral de Se denomina superficie total de un
un tronco pirámide a la unión de tronco de pirámide a la unión de la
todas las caras laterales del superficie lateral y las bases del
tronco de pirámide. tronco de pirámide.

El área lateral de un tronco de El área total de un tronco de

pirámide es el área de la superficie pirámide es el área de la superficie
lateral del pirámide y se denota total del tronco de pirámide y se
por SL. denota por ST.
 ÁREA LATERAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área lateral de un tronco de pirámide regular es igual al
producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la longitud del
apotema.
C D ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco de
B pirámide regular
S’ M E
A F

SL = (pS + pS’)ap
ap
C D SL: área lateral
pS: semiperímetro de la base inferior
B S E
N
pS’: semiperímetro de la base superior
A F ap: longitud del apotema del tronco
ÁREA TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Teorema.- El área total de un tronco de pirámide regular es igual a la suma
del área lateral y las áreas de las bases.

C D ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco
B de pirámide regular
S’ M E
A F
ST = SL + S + S’

C D
ST: área total
SL: área lateral
S E
B S: área de la base inferior
A
S’: área de la base superior
F
 VOLUMEN DEL SÓLIDO DETERMINADO POR UN TRONCO
DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS
Teorema.- El volumen del sólido determinado por un tronco de pirámide de
bases paralelas es igual un tercio del producto de la longitud de la altura y la
suma de las áreas de las bases con la media geométrica de las mismas.
C D ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco
B S’ E de pirámide regular
A F
h
V = (S + S’ + S.S’)
3
h
C D h: altura
B S E
S: área de la base inferior
S’: área de la base superior
A F
EJERCICIO 01
En un tronco de pirámide regular ABCD-EFGH, el centro de la base mayor
ABCD es O y AEO es un triángulo equilátero de perímetro 6 u. Calcule el
volumen (en u3) del solido determinado por el tronco de pirámide.

4 3 7 3 14 2
A) B) C)
3 3 3

14 3 14 5
D) E)
3 3
 En un tronco de pirámide regular ABCD-EFGH, el centro de la base
mayor ABCD es O y AEO es un triángulo equilátero de perímetro 6 u.
RESOLUCIÓN 01 Calcule el volumen (en u3) del solido determinado por el tronco de
pirámide.

• V es el volumen del solido determinado

por el tronco de pirámide: V = ?
F G
1Q • Se traza EP ꓕ base(ABCD), AP = PO = 1
E 1
H • DAPE es notable de 30 y 60, EP = 3
2 • PO = EQ = 1 y QF = 1 ⇒ EF = 2
2 3 B OD = 2 ⇒ AD = 2 2
C•
60 2 2
1 O 2
60 1 P 3( 2 2 + 2 +(2 2)( 2))
• Teorema: V =
D 3
A 2 2
14 3
• V=
3

Clave: D
EJERCICIO 02
En un tronco de pirámide regular ABCD-EFGH, el centro de la base mayor
ABCD es O. Si mEOG = 30, OE = k y AC = k 2 + 3, entonces el volumen
del sólido determinado por el tronco es

5k3 2+ 3 7k3 2+ 3 11k3 2+ 3

A) B) C)
12 12 12

5k3 2+ 3 5k3 2+ 3
D) E)
6 4
 En un tronco de pirámide regular ABCD-EFGH, el centro de la base
RESOLUCIÓN 02 mayor ABCD es O. Si mEOG = 30, OE = k y AC = k 2 + 3,
entonces el volumen del sólido determinado por el tronco es

Dato : AC = k 2 + 3
F G Por teorema:
Q
E h
V= (S + S2 + S1S2) … (I)
H 3 1
k
k k
h = OQ = 2+ 3
30 2
B
C (AC)2 k2
S1 = SABCD = = (2 + 3)
2 2
O
(EG)2 k2
D S2 = SEFGH = = (2 − 3)
A 2 2
Volumen del tronco, V = ? Reemplazando en I:

EOG: EG = l12 = k 2 − 3 5k3 2+ 3

V=
12
k
OQ = ap12 = 2+ 3
2 Clave: A
 TEORÍA
2021-2

PRISMOIDE

16b
 PRISMOIDE
Definición.- Es el poliedro que tiene sus vértices contenidos en dos planos
paralelos y su caras laterales puede ser regiones triangulares, trapeciales o
paralelográmica.
G H
F
Las regiones poligonales ABCDE y
I FGHI son paralelas, entonces
ABCDE-FGHI es un Prismoide.

Al prismoide también se le conoce

C D como prismatoide o antiprisma.

B E

A
 VOLUMEN DEL SÓLIDO DETERMINADO POR UN PRISMOIDE
Teorema.- El volumen del sólido determinado por un prismoide es igual un
sexto del producto de la longitud de la altura y la suma de las áreas de las
bases y del cuádruplo del área de la sección media.

G H ABCDE-FGHI es un prismoide
S2
F I
h
K L V = (S1 + S2 + 4SM)
6
h J SM M
N La sección media resulta de la
C D intersección de un prismoide y
P O
un plano que biseca a todas las
E aristas laterales.
B S1
JKLMNOP es la sección media
A
EJERCICIO 03
Las bases de un prismoide son regiones triangular y hexagonal, regulares,
S
de áreas y 6S, respectivamente; los lados de la base triangular son
4
paralelos a tres lados no consecutivos de la base hexagonal. Si la altura
mide h, entonces el volumen del sólido limitado por el prismoide es

31 45 17
A) Sh B) Sh C) Sh
12 4 4

37 29
D) Sh E) Sh
12 12
 Las bases de un prismoide son regiones triangular y hexagonal, regulares, de
S
RESOLUCIÓN 03 áreas y 6S, respectivamente; los lados de la base triangular son paralelos a
4
tres lados no consecutivos de la base hexagonal. Si la altura mide h, entonces
el volumen del sólido limitado por el prismoide es

a VABC-EFGPIJ = Vx
A C
S/4 ∆ABC ~ ∆EFO: S/4 (AB)2
a a = ⟹ EF = 2(AB)
B S (EF)2
Vx Ubicamos los puntos medios de las aristas
3a/2 laterales para trazar la sección media (Sm)
a L Ma
K Sm N h Base media en EAJ, FBG y ICP:
KL = ST = MN = a
S a T
Mediana en los trapecios ABFE, BCPG y ACIJ:
J 2a I
S 2a KS = NT = LM = 3a/2
2a S S h
E Vx = (B1 + B2 + 4(Sm))
S O S P 6
2a S 2a
F 2a G
 RESOLUCIÓN 03
∆WVU ~ ∆MNU:
A∆WVU 7a/2 2 49S
S/4
= a ⟹ A∆WVU =
16
Sm = A∆WVU – 3(A∆LWK)
a L 3a/2 M a U
W
S/4 a S/4 49S S 37S
a a a Sm = – 3( ) ⟹ Sm =
16 4 16
K Sm N
h
Vx = (B + B2 + 4(Sm))
a 6 1
S S/4 a T h S 37S
a Vx = (6S + + 4( ))
V 6 4 16

31
∴ Vx = SH
12

Clave: A