I.E.P. "Champagnat": Conjunto de Números Enteros

I.E.P.
“Champagnat” Algebra 5° Primaria
01 : CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
SESIÓN 01 : Extensión en N, comparación y valor absoluto.
I. COMPETENCIAS:
- Conoce la necesidad de extender los números naturales.
- Define un número entero.
- Representa números enteros en la recta numérica.
- Compra números enteros.
- Halla el valor absoluto de un numero entero,
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Sabemos que:
10 – 4 = 6
Pero:
4–6=?
Se hace necesario extender el conjunto de los números naturales para poder definir correctamente
la operación de sustracción.
b APRENDO
EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
En el transcurso de nuestras actividades diarias, es frecuente presenciar situaciones opuestas las cuales se
representan por números positivos (+) y números negativos tales como:
S/. 500,00 de ganancia y S/. 500,00 de pérdida, 2000 metros sobre el nivel del mar y 200 metros bajo el nivel del mar,
30º de temperatura sobre cero y 15º de temperatura bajo cero.
De allí la necesidad de extender el conjunto N con la introducción de un nuevo conjunto Z de los números enteros.
NÚMERO ENTERO
Un número entero queda determinado por la diferencia entre los elementos de un par ordenado de números naturales,
así se obtiene: los enteros positivos, cero y los enteros negativos.
En general, si (a, b) es un par ordenado de números naturales, tenemos: un enteros positivo si a > b, cero si a = b y un
entero negativo si a < b.
Creatividad, Perseverancia y Solidaridad 1

I.E.P.
Algebra 5to primaria “Champagnat”
El conjunto de los números enteros se puede expresar:

+¿ ¿ −¿¿
Además, si Z representa el conjunto de los enteros positivos y Z el conjunto de los enteros negativos. Se tiene:
Z={ … ,−2,−1 ,0 ,+1 ,+2 , … }

−¿¿
+¿ ∪ {0 }∪Z ¿
Z=Z
LA RECTA NUMÉRICA PARA LOS ENTEROS
Resulta de asociar los números enteros con puntos igualmente distanciados de una recta.
Las parejas +1 y –1; +2 y –2; +3 y –3, etc. se llaman números opuestos
.... -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ....
Los signos + y – ubicados a la izquierda y arriba de los numerales, indican la dirección más no la operación, por
lo que los números enteros también se llaman números dirigidos.
VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es
positivo o cero, y a – a si es negativo. Es decir:
 si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;

 si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de a expresa en la recta numérica la distancia siempre positiva del número a al origen 0
-4 0 +4
-4 +4
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Ejemplo:
Hallar: =3+5–2=6
¿CÓMO COMPARAMOS NÚMEROS ENTEROS?

Si tenemos dos números enteros, será MAYOR el que esté representado a la DERECHA del otro número en la RECTA
NUMÉRICA, así:
6 es mayo que 1 porque:
0 +1 +6
2 Creatividad, Perseverancia y
Solidaridad
I.E.P. “Champagnat” Algebra 5° Primaria
4 es mayo que 0 porque:
0 +4
C ACTIVIDAD DEL AULA
INSTRUCCIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios en su cuaderno de clase.

1. Escribe el número correspondiente a los siguientes pares ordenados:
a) (15, 8) =
b) (6, 14) =
c) (21, 26) =
d) (32, 32) =
2. Halla :
A={ x /x ∈ Z ∧−5< x <5 }
B= { x / x ∈−Z ∧−8< x <3 }
C={ x / x ∈+Z ∧−3< x <1 }
3. Halla el par ordenado que no representa a +3.

a) (6, 3) b) (3, 0) c) (7, 4)
d) (0, 3) e) (11, 8)
4. Halla el número entero opuesto que representa el par ordenado: (7, 4)

a) – 7 b) – 4 c) 7
d) 4 e) –3
5. Ubica en la recta numérica los siguientes números enteros

a) -2; -5; +6; 0; +3
b) -8; +13; 0; -11; +11; -5; -2
c) +5; -1; -9; +10; +1; 0; -12
d)
e) -7; +2; 0; -8; +1; -1; -6
6. Responde las siguientes preguntas
a) ¿Cuál es la razón por la que se extiende el conjunto de números naturales?
b) ¿Qué es un número entero?
c) ¿Cómo está formado el conjunto de números enteros?
7. Escribe >,< ó = según corresponda

I.E.P.
8. Halla los valores de “x” si
9. Resolver:
10. Resolver:
d ACTIVIDAD DE CASA

1. Halla el cardinal del siguiente conjunto.
A={ x+1 /x ∈ Z ∧−35< x <27 }
2. A partir de 0, se avanza +2, luego +3 y finalmente – 6?

a) +5 b) – 1 c) +1
d) –2 e) +2
3. A partir de –5, se avanza –2, luego +7, luego –4 y finalmente +5?

a) –1 b) 0 c) +2
d) –2 e) +1
4. Escribe el número correspondiente a los siguientes pares ordenados:

a) (17, 15) =
b) ( 9, 13 ) =
c) (18, 18) =
d) (31, 45) =
5. Ordena los números de mayor a menor:
a. -7; -10; +2; +8; +3

b. +2; -4; 0; -1; +6; –10
c. -5; +10; 1; -9; +3; -15; -1
d. +3; -1; -9; 0; +1; 11; -18
6. Ordena los números de menor a mayor:
a. -7; +6; 0; -1
b. -3; -1; 0; +6; -4
c. -7; +2; 0; -8; +1; -1; -6
d. +4; -6; -5; -7; +1; 0; -13
Solidaridad

SESIÓN 02
: Adición de números enteros
I.COMPETENCIAS:
- Define la operación de adición de números enteros.
- Comprende las propiedades de adición de números enteros.
- Resuelve ejercicios y problemas de adición de números enteros.
II.ACTIVIDADES
a MOTIVACION
Como en los negocios se dan situaciones de GANANCIAS Y PERDIDAS, podremos interpretar la Adición de números enteros,
asignando números positivos a las ganancias y números negativos a las pérdidas.
Veamos:
 En un negocio gano S/.5 y en otro gano S/. 8. ¿Cuánto gano en ambos negocios?....S/.10 ¿verdad?. Como se trata al final de una
ganancia, entonces: (+5) + (+8) = +13
 En un negocio pierdo S/.5 y en otro pierdo S/. 8. ¿Cuánto pierdo en ambos negocios?....S/.–13 ¿De acuerdo?.
 Como se trata al final de una pérdida, entonces: (–5) + (–8) = –13
 En un negocio gano S/.5 y en otro pierdo S/. 8. ¿Gano o pierdo al final y cuánto?
Como lo que pierdo es más de lo que gano, cuando saco mis cuentas salgo perdiendo ¿Cuánto?: S/2, es decir: entonces: (+5) + (–8) = –3
B APRENDO
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para a, b, números enteros, se define:

La operación de números enteros es una operación binaria que asigna a cada par ordenado (a, b) un tercer número
a+b
Regla de los signos:
Para sumar dos o más números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los
Creatividad,sumandos
Perseverancia
y a esta ysuma
Solidaridad
se le asigna el mismo signo. 5
Para sumas dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los sumandos y
I.E.P.
Ejemplos:
a) b)
c)
PROPIEDADES.
Propiedad Ejemplos
Clausura
Conmutativa
Propiedad Ejemplos
Asociativa
Del elemento neutro
Del inverso aditivo
Ejercicios Resueltos
1. Resuelve: -7 + +11 + -9 + +6 + -15 + +8
Solución:
-
7 + +11 + -9 + +6 + -15 + +8 = -31 + +25 = 6.
2. Si: A = -12 + +20 + -7 + +9
B = +13 + -31 + +6 + -4 + +2
Solución:
A = -19 + +29 = +10 A + B = +10 + -14
B = +21 + -35 = -14 A + B = -4
B ACTIVIDAD DEL AULA

1. Efectuar:
a.
b.
Solidaridad
c. ,
d.
e.
f.
2. Resolver:
a. Hallar la suma de los opuestos de: 2, –14, –7, –3, 6 y 10
b. Hallar la suma de los opuestos de: 16, –8, –13, 20, –30 y 11
c. La suma de 7 números enteros es –7. Si seis de ellos son opuestos dos a dos, el sétimo sumando es:
d. Un submarino navega a una profundidad de 92 m., asciende 28 m., luego se sumerge 41 m. y asciende 51 m.
¿A qué profundidad se encuentra?
e. Un depósito contiene 93 litros de agua. Luis saca 13 litros y Mario saca 27 litros. Si Carlos echa al depósito
15 litros, ¿cuántos litros de agua quedan finalmente en el depósito?
C ACTIVIDAD DEL CASA
1. Efectuar:
2. Si: P =
Q=
R=
Hallar el resultado de:
a. P+R
b. Q+R
c. Q+p
d. P+Q+R

I.E.P.
SESIÓN 03 : Sustracción de números enteros
I.COMPETENCIAS:
- Define la operación de sustracción de números enteros.
- Comprende las propiedades de sustracción de números enteros.
- Resuelve operaciones combinadas de adición y sustracción de números enteros.
II.ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Como resolver una diferencia de enteros: ?

Aprenderemos el desarrollo de estos ejercicios utilizando lo aprendido en la adición de números enteros y
además combinaremos ambas operaciones de adición y sustracción resolviendo problemas como:
Denominadas operaciones combinadas.
b APRENDO
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS
Para a, b, números enteros, se define:

La sustracción de números enteros es una operación binaria que asigna a cada par ordenado (a, b) un tercer número
a–b
Dados dos números enteros, hallamos su DIFERENCIA transformando la SUSTRACCIÓN en una

ADICIÓN del minuendo con el opuesto del sustraendo. a – b = a + (– b)
Solidaridad
Ejemplos:
1. Efectuar: (– 9) – (– 13)
Minuendo Sustraendo
 El opuesto del sustraendo: +13

 La SUSTRACCIÓN convertida en ADICIÓN: (– 9) + (+ 13) = +4
PROPIEDADES.
 La sustracción de números enteros tiene la propiedad de cerradura, o sea: a−b ∈ Z

 La sustracción de números enteros no es conmutativa ni asociativa, o sea:
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1. Efectuar:
 Transformamos las SUSTRACCIÓN en ADICIONES por el OPUESTO:
P=
 Escribimos los números ENTEROS POSITIVOS como números NATURALES:
P=
 Suprimimos los paréntesis:
P=
 Agrupamos los números positivos y los números negativos : P =
 Sumamos los positivos y negativos por separado:
P = +20 – 6 = +14
SIGNOS DE COLECCIÓN:
Son los que utilizamos al operar: paréntesis, corchetes y llaves.
Para suprimirlos procedemos así:
 Si hay unos dentro de otros, suprimimos primero los más internos.

 Para suprimir paréntesis, corchetes o llaves efectuamos las operaciones indicadas al interior, transformando en un
solo número.
 O también podemos suprimir paréntesis antes de operar el interior.
i. Si delante del paréntesis está el signo (+), suprimimos el paréntesis y los signos del interior no se alteran.
ii. Si delante del paréntesis está el signo (–), suprimimos el paréntesis pero los números del interior los
reemplazamos por sus opuestos.
Ejemplo:
Efectuar:

I.E.P.
E=
Solución:
 Suprimimos primero el paréntesis interior: F=

 Suprimimos el corchete:
F=
 Suprimimos la llave:
F=
 Cancelamos los números opuestos:
F = +4 – 6 + 7 – 3 – 8 + 2
 Operamos los positivos y negativos por separado
F=
F = +13 – 17
 Efectuamos la sustracción final: F=–4
B ACTIVIDAD DEL AULA
1. Resuelve:
a. De la suma de –5 y –9 restar la suma de –2 y 11.

b. De la diferencia de 11 y –3 restar el opuesto de la suma de –14 y 3.
c. El opuesto de un número menos –3 es –8. Este número es:
2. Completa el siguiente cuadro:
RESULTADO DE Signo del

a >ó< b
a+b resultado
– 15 +2
–7 –5
+5 – 18
– 13 +1
– 101 – 99
+17 +19
+15 – 23
–6 +19
– 10 – 12
– 16 –9
+7 – 15
+112 – 118
– 22 +14
+10 – 12
Solidaridad
3. Efectuar las siguientes operaciones combinadas
1. , es:
2. , es:
3. , es:
4.
5.
6.
7.
 
15  61 55   17   29  1 3   3
8.
9.
10.
1.
2. Si: P =
Q=
R=
Hallar el resultado de:
e. P+R
f. Q+R
g. P+Q+R
3.
4.
5. – 1 + 19 – 27 + 56 – 17 – 2

I.E.P.
6. – 62 + 57 – 13 + 2 – 99 + 56
7. – 225 – (48 – 22 – 15) + (– 17 + 2)
8. +5 + 7 – 1 + (– 62 – 4 + 68) – (– 17 + 1 – 6)
9.
10.
SESIÓN 04
: Multiplicación de números enteros
I.COMPETENCIAS:
- Define la multiplicación de números enteros.
- Resuelve operaciones con multiplicación de números enteros aplicando la ley de signos.
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Observemos:
Dicha adición se puede expresar como:
, notamos que la multiplicación de un entero positivo con un entero negativo es un entero

negativo
Solidaridad
B APRENDO
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
Es una operación que hace corresponder a cada par de números enteros “a” y “b” otro número entero “ ” llamado
PRODUCTO.
Ejemplo:
a)
b)
c)
LEY DE SIGNOS
a) Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo.
b) Si dos números tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo.
c) Si la cantidad de factores negativos es par, el producto es positivo. Así: (-) (-) (-) (-) = (+)
d) Si la cantidad de factores negativos es impar, el producto es negativo. Así: (-) (-) (-) (-) (-) = (-)
e) Si todos los factores son positivos el producto es positivo. Así: (+) (+) (+) (+) (+) = (+)
Ejemplos
1.
2. Halla:
Solución
3. Halla:
Solución:
OPERACIONES COMBINADAS
Se resuelven en el siguiente orden:

I.E.P.
 Primero las operaciones dentro de signos de agrupación, si hubiera.

 Luego, los productos.
 A continuación las sustracciones,
 Y finalmente las adiciones.
Ejemplos
01. Resuelve:
Solución:
02. Resolver:
Solución:
03. Resolver:
Solución:

1. Resolver:
2. Resolver:
Solidaridad
3. Resuelve:
4. Halla A x B, si:
5. Halla el valor de “M”
6. Halla “S”
7. Si:
Halla:
8. Resolver:
9. Si a lo multiplicas por , luego le sumas , multiplicando después al resultado por para luego restarle y
finalmente multiplicarlo por . ¿Qué número se obtiene finalmente?
10. Halla A x 3B, si:

1. Resolver:

I.E.P.
2. Halla el valor de “P”:
3. Resolver:
4. Halla A x B, si:
5. Resolver:
SESIÓN 05
: División de números enteros
I. COMPETENCIAS:
- Define la división de números enteros.

- Resuelve operaciones combinadas con multiplicación y división de números enteros aplicando la ley de signos.
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Solidaridad
Leo:
Sabemos que:
Sabías que la ley de signos empleada en la multiplicación de enteros se emplea también en la división.
Observemos:
En esta sesión estudiaremos esta operación.
b APRENDO
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Es una operación que hace corresponder a cada par de números enteros “a” y “b” otro número entero “ ”, llamado
COCIENTE (b  0).
Ejemplo:
a) c)
b)
LEY DE SIGNOS
a) Si dos números enteros tienen el mismo signo, su cociente tendrá signo positivo.
b) Si dos números tienen distinto signo, su cociente tendrá signo negativo.
Ejemplos
a) b)
OPERACIONES COMBINADAS
Se resuelven en el siguiente orden:
 Primero las operaciones dentro de signos de agrupación, si hubiera.

 Luego, los cocientes y productos.
 A continuación las sustracciones,
 Y finalmente las adiciones.
Ejemplos
04. Resuelve:
Solución:

I.E.P.
05. Resolver:
Solución:

1. Resolver:
2. Resolver:
3. Resuelve:
4. Halla A x B, si:
Solidaridad
5. Halla el valor de “M”
6. Halla “S”
7. Resolver:
8. Halla el valor de “M”:
M=
9. Resuelve:
10. Halla , si:
D ACTIVIDAD DEL CASA

1. Resolver:
2. Resolver:

I.E.P.
3. Halla el valor de “P”:
4. Resolver:
5. Halla A x B, si:
6. Resolver:
7. Halla el valor de “P”
8. Halla el valor de “K”:
9. Halla , si:
10. Resolver:
11. Halla el valor de “P”
12. Resolver:
13. Hallar:
Solidaridad
SESIÓN 04
: Potenciación y Radicación

I.E.P.
I. COMPETENCIAS:
- Define la potenciación y radicación de un número entero.
- Identifica las propiedades de la potenciación y la radicación.
- Resuelve ejercicios de potenciación y radicación.
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
¿Cómo hemos obtenido los siguientes resultados?
; ;
Aplicando la ley de signos de la potenciación.
En esta sesión estudiaremos la operación de potenciación y radicación.
B APRENDO
POTENCIA DE UN NÚMERO
Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado
exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia y se representa así:
REGLA DE SIGNOS EN Z
La potencia de una base con exponente par, siempre es positiva; pero la potencia de una base con exponente impar,
depende del signo de la base.
a) c)
b) d)
c)
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
I. PARA BASES IGUALES
a) Multiplicación:
Ejm. 3 5 . 33 = 38 ; a2 . a4 . a7 = a13
b) División ;
7
x
=x5
Ejm. x2 ; a n - 4 = an : a4
II. EXPONENTES ESPECIALES
Solidaridad
CUBOS PERFECTOS
Son los números que tienen raíz cúbica exacta.
RAÍZ ARITMÉTICA
Es el valor positivo de la raíz de índice par de un número positivo. Ejemplo: √+81 = 9 y 9; la raíz aritmética es 9.
+ – +
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
RAÍZ DE UN PRODUCTO
Es igual al producto de las raíces de los factores.
(Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación)
Ejemplo:
1.
2.
3.
RAÍZ DE UN COCIENTE
Es igual al cociente de las raíces del dividendo y de divisor. (Propiedad distributiva con respecto a la división)
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.

I.E.P.
RAÍZ DE UNA POTENCIA
Es igual a la base elevada a un exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente de la base y cuyo denominador es el
índice de la raíz. Así:
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
RAÍZ DE RAÍZ
Es igual a una raíz con el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces dadas. Ósea:
Ejemplos:
1.
2.
3.

Bloque I
1. Resolver:
Solidaridad
a) e)
b) f)
c) g)
3
d) h) √−343
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver:
5. Resuelve aplicando las propiedades.
a.
b.
c.
6. Resolver:
a)
b)
7. Resolver:
8. Halla el valor de “T”
9. Resolver:
10. Simplificar:

I.E.P.
11. Resolver:
12. Resolver:
d ACTIVIDAD DE CASA

1. Resolver:
a. =
b.
c.
2. Resolver:
3. Efectuar:
4. Resolver:
5. Resolver:
6. Resolver:
a) c)
Solidaridad
b) d)
7. Al efectuar: se obtiene:
8. Calcula el valor de: A =
9. Al efectuar: se obtiene:
10. Resolver:

I.E.P.
02 :
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
SESIÓN 01
:
Definición y clasificación
I. COMPETENCIAS:
- Define la potenciación y radicación de un número entero.
- Identifica las propiedades de la potenciación y la radicación.
- Resuelve ejercicios de potenciación y radicación.
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Entendemos que, Algebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general posible,
empleando constantes y variables y las operaciones que con ellas se realizan en los conjuntos numéricos.
B APRENDO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones
fundamentales suma, resta, multiplicación, división potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.
4y
√ 2 x−
3 2 2
Ejemplos: - 8 x y z ; x – x + 1 ; z
Nota:
Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.
Ejemplos: 2x + 5√ 3 + logx2 ; 1 + x + x2 + x3 + ......... ;
TERMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones
aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema.
Solidaridad
TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen la misma parte literal.

Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se
escriben la misma parte literal.
Ejemplos:
7xy2 ; - xy2 ; √2 xy2 son semejantes y se pueden reducir a:
(7 - √ 2 ) xy 2
= (6 + √ 2 ) xy 2
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.
Según la naturaleza del exponente ¿ ¿ ¿ ¿

¿
¿
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se
subclasifican en:
A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al numerador, sus
exponentes resultan ser enteros no negativos.
Ejemplos:
x+1
; √2 x + y 2
2
2x y ; 3
B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el
denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes entero negativo.
Ejemplos:
2 1 2x+1
; 3 xy + ;
x 3 x x−1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales de radicales o exponentes
fraccionarios.

I.E.P.
Ejemplos:
1
5 √ x −3 ; √ 6 xy ; 5 x y + √ x 2 y
4 2 3
Clasificación de acuerdo al número de términos
MONOMIO: Es la expresión algebraica racional entera que tiene un solo término.
Ejemplos: 5x2 y3; - a2
POLINOMIO: Es la expresión algebraica racional entera de dos o más términos.
Ejemplos: 2x2 - x; 3x2 – 2x + 1
BINOMIO: Es el polinomio de dos términos: a2 – b2
TRINOMIO:
Es el polinomio de tres términos: 2x 2 + 4x – 8
NOTACIÓN POLINÓMICA:
Un polinomio de variable "x" se denota así:P (x)
Un polinomio de variable “xy” se denota así: P(x,y)

I. INSTRUCCIÓN: Escribe a que clase pertenecen las expresiones algebraicas:
5
01. 3x2 + 3
xy + 7y2 _________________
02. 4 + 5xy – 3x2y2
x -1
_________________
03. √ xy - 5x3y2 + 7x4y3 _________________

3 xy
04. x2 + 2x2 +5x3y2 _________________
05. _________________
5 xy
3 x2 + + xy
06. 2 _________________
2 x 4 xy
+ +4 xy
07. y x+ y _________________
Solidaridad
08. _________________
09. _________________
10. _________________
11. _________________
II. INSTRUCCIÓN: Encierra con una circunferencia la respuesta correcta:
01. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es: Racional Entera?
a) 2x2 +
b) 4x2 + 5y3
c) 3x – 1+ 5xy2
d) 4x+ 5y +
e)
02. Indica cual de las siguientes expresiones algebraicas es un polinomio.
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
II. INSTRUCCIÓN: Indica la clase de expresión algebraica de acuerdo al número de términos.
a) _____________________
b) _____________________
c) _____________________
d) __________________
e) ___________________

D
I.E.P.
01. ¿Qué es un polinomio?
02. ¿Cuál es la diferencia entre expresión algebraica racional e irracional?
03. Escribe un término algebraico e indica sus elementos.
04. Escribe 5 expresiones algebraicas racionales enteras.
05. Escribe 5 expresiones algebraicas irracionales enteras.
06. Escribe 5 polinomios
02 : EXPRESIONES ALGEBRAICAS
SESIÓN 02 : Términos Iguales y Términos Semejantes
I.COMPETENCIAS:
1. Reconoce cuando dos términos algebraicos son iguales o semejantes.
II. ACTIVIDADES
A MOTIVACION
Observa cuidadosamente los siguientes pares de términos algebraicos:
7x2yz3 ; 7x2yz3  13xyz4 ; 15xyz4
Son dos términos iguales Son dos términos semejantes
B APRENDO
1. TÉRMINOS ALGEBRAICOS IGUALES: Decimos que dos o más términos son iguales
si tiene el mismo coeficiente y la misma parte literal afectadas de iguales exponentes.
Ejemplo:
Observa los términos: 12xy2z4 ; (3.4)y2xz4
Vemos claramente que ambos términos tiene el mismo coeficiente: 12 = (3.4), además tienen la misma
parte literal con iguales exponentes.
Solidaridad
2. TÉRMINOS ALGEBRAICOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si tienen la misma
parte literal afectadas de igual exponente.
Ejemplos:
a) 3xy3 es semejante a 12xy3, porque ambos términos tienen la misma parte literal xy3.
b) 9a2b es semejante a -23ba2 porque ambos términos tiene la misma parte literal a2b.
c) 8a3x2 no es semejante a 12a 2x4 porque las variables no tienen los mismos exponentes: a 3 ≠ a2  x2 ≠
x4
d) Así mismo 3xyz no es semejante a 3xyz4 porque el exponente de la variable “z” no es el mismo.
1) ¿Es 3a3b semejante con 3ba3, por qué?
2) ¿-45x es semejante con –45xy, por qué?
3) ¿Es 23ab semejante a 23ab, por qué?
4) ¿Son iguales los términos xy  1xy, Porqué?
5) ¿6x3  (2.3)x3 términos semejantes?¿Porquè?
6) Dados los monomios: -5x2 ; 7xy ; -14yx ; x 5 ; -12xy ; 9 ; 3yx ; 4 ; 2xy. Determinar los
términos semejantes.
7) Con los términos semejantes de la pregunta 7 forma un polinomio.
8) Identifica los términos semejantes en los siguientes polinomios:

a) 5ab2 -4xy2 + 9ab2 + 2xy4 b) 2mn + 3xy –5mn +8xy + 12
1) Escribe dos ejemplo de términos algebraicos semejantes

2) ¿7xy, es semejante a -7xy? ¿Por qué?
3) ¿Qué diferencia existe entre términos semejantes e iguales?
4) Escribe un polinomio con 4 términos semejantes que tengan como parte literal -x 2yz
5) Escribe un polinomio de 3 términos que no sean semejantes, pero que todos tengan las variables
x, y.
6) Escribe 2 términos semejantes entre sí, considerando las variables x, y.
7) Sean P(x,y) = 8x4 y b

; Q (x,y) = 12 xa+2 y 3
términos semejantes . Halla a + b
8) Encierra en un círculo los términos semejantes:
2x4y3 -3x2y4 4x3yz -5x4y3 -8x2y4

I.E.P.
2xy x 3xy 32x -x3yz
14x3yz -3xm -6abc 9x2y 8x4y3
10x 42xyz 8xyz 15x -9x2y4
SESIÓN 05 : Grado Relativo y Grado Absoluto
I. COMPETENCIAS:
1. Determina el grado relativo y absoluto de un monomio.
A MOTIVACION
Dado el siguiente monomio: 7a5 b3 c4
G.R. (a) = 5 G.R. (b) = 3 G.R. (c) = 4
Solidaridad
B APRENDO
A
1. GRADO DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO: Llamado también grado de un monomio, este puede ser de dos tipos:
a) Grado Relativo b) Grado Absoluto
a. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.) : El grado relativo de un monomio, con respecto a una de sus letras
o variables, está dado por el exponente de dicha variable.
Ejemplo:
1) Determina el grado relativo de cada variable en el monomio: 3x 4 y3 z5
Solución:
- Grado Relativo con respecto a la variable “x”, G.R. (x) es 4.
Entonces: G.R. (x) = 4
- Grado Relativo con respecto a la variable “y”, G.R. (y) es 3.
Entonces: G.R. (y) = 3
- Grado Relativo con respecto a la variable “z”, G.R. (z) es 5.
Entonces: G.R. (z) = 5
2) Determina el grado relativo en el monomio: 8a5 b3

Solución: G.R. (a) = 5
G.R. (b) = 3
b. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.) : El grado absoluto de un monomio, está dado por la suma de los
grados relativos de sus variables.
Ejemplo:
a) Halla el grado absoluto de: P (abc) = -6a5 b9 c4
Solución: G.R. (a) = 5
G.R. (b) = 9
G.R. (c) = 4 G.A. (P) = 18
b) Calcula el grado relativo y absoluto de: 25x6 y4 z3 x6 z5 y3
Solución: 25x6 y4 z3 x6 z5 y3 = 25x12 y7 z8

G.R. (x) = 12
G.R. (y) = 7 G.A. = 12 + 7 + 8
G.R. (z) = 8 G.A. = 27
c) Halla el valor de “a” para que el grado absoluto del monomio 4 x a + 2 y5 sea igual a 45
como el grado absoluto es la suma de los exponentes entonces:
a + 2 + 5 = 45
a + 7 = 45
a = 45 -7
a = 38
El valor de “a” es 38.

I.E.P.
Efectúa los siguientes planteamientos:
1. Determina el grado relativo y absoluto de los siguientes monomios.

a) 8a4b6 b) -2a3b2c c) 9a5b2c2
d) 6x7y4z8 e) 12x3y2x4y6 f) 23ab3a4c7b6
2. Determina el valor de “a” y “b” en el monomio 15x 5 ya zb, si el grado relativo con respecto a “y” es 8, y el grado
absoluto es 25.
3. Halla el grado absoluto de: 12ax+10 b5-x
n+5
4. Halla el valor de “n” para que el grado absoluto del monomio 7x y2 sea igual a 20
5. Halla el exponente de "y" .Si el grado absoluto del monomio 3 a 2 x4 y 3a-1
es 20.
m n m+n
6. Determina el grado absoluto del siguiente monomio: 3a b c
Si: G.R.(a) = 8 ; G.R.(b) = 6.
1) Determina el grado relativo y absoluto de los siguientes monomios.

a) 14a4 e) 12 x4 y7 z -2
b) 5x3y5 f) –9 x a+b
y a-b
c) –4 abc g) x8y6z4 : x3y5

d) -6 m5n6 h) a6b7c5 : a8b4
2) Halla los exponentes de “x”  “y” del siguiente monomio n2. xn+3 y5+2n . Si el grado absoluto es 16
a-b+4
3) El monomio x y2b-1 es de G.R.(x) = 9 ; G.R.(y) = 3. Halla el valor de “a”
4) En el monomio: 23x9ynz4 determine el valor de "n", si G.A = 25
5) Hallar el grado absoluto de:

a) 35x3 y5 z -2 b) 18ax+10 b7-x c) En el monomio: 72xa+5 y2a za , Si: G.R. (z) = 4
SESIÓN 07 : Valor Numérico
I. COMPETENCIAS:
1. Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas aplicando las técnicas operativas de los números enteros.
II.ACTIVIDADES
A MOTIVACION
Solidaridad
Si: 2x2 + 3xy - y ; x=2  y=3
Reemplazamos éstos valores y resolvemos las operaciones indicadas
2x2 + 3xy - y = 2 (2)2 + 3 (2)(3) - 3 = 8 + 18 – 3 = 23
Éste valor se denomina: VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
B APRENDO
A
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Se denomina valor numérico de una expresión
algebraica, al resultado que se obtiene cuando se reemplaza en dicha expresión los valores asignados a sus variables y se
resuelve la operación combinada.
Ejemplos:
a) Si: a = 2; b = 3 b) Halla el valor numérico de:

Halla el V.N de: 2a + b - 2 5x + 2x - x ; para x = 5
Solución Solución:
V.N. = 2a + b - 2 V.N. = 5x + 2x - x
V.N. = 2(2) + (3) - 2 V.N. = 5(5) + 2(5) - (5)
V.N. = 4 + 3 - 2 V.N. = 25 + 10 - 5
V.N. = 7 - 2 V.N. = 35 - 5
V.N. = 5 V.N. = 30
c) Halla el V.N de: M = 5x + 3y - z. Si: x = 2; y = 4; z = -2

Solución: Reemplazamos los valores de x, y, z en:
M = 5x + 3y - z
M = 5(2) + 2(4) - (-2)
M = 10 + 8 + 2
M = 20 Entonces el V.N de la expresión “M” es 20
d) Si P(x; y) = 3x + 2y - 5. Halla: P(1,2)
Solución: Reemplazamos los valores de “x” e “y” en:

P(x,y) = 3x + 2y - 5
P(1,2) = 3(1) + 2(2) - 5
P(1,2) = 3 + 4 - 5
P(1,2) = 7 - 5
P(1,2) = 2 V.N.: P(x,y) = 2

1) Efectúa los siguientes planteamientos:

I.E.P.
a) a + 3b para a = -5 ; b = 2
b) 3x + 5 para x = 6
c) 3a + 5b – 4 para a = 8; b = 2
d) Si P(a;b) = 2a + b – 4 Calcula P(3; 4)
e) Si P(a) = 3a + 2a – a Calcula P(8)
f) Si P(a) = 4a + 2 Halla P(6) + P(12)
g) Si P(x;y) = x + 4y – 3 Halla P(3;2)
h) Si R(x;y) = 4x + 2y – y Halla R(-4;2)
2) Hallar el valor nùmerico de:
a) 4ab – 3a2b3 si: a = -2; b = 4

b) 2xy2 – 4x2 si: x = 6; y = -4
c) 5abc + 4a2b si: a = -5; b = -6; c = 3
1) Efectúa los siguientes planteamientos:

a) Halla 3a + b Si: a = -3; b = -7
b) Halla: 4x + 3y + x – 2 Si: x = 4; y = 5
c) Si: P(x) = 2x + 4x – 6 Halla P (4)
d) Si: P(a;b) = 5a + 6b – 10 Halla P(2;3)
e) Halla a2 - b2 si a = 7 y b= 3
2
f) Si: P(x, y) = x + 6 y +32 Halla P(4;2) + P(4;3)
2) Si: x = -1; y = 4; z = -3; m = 2: a = - 4 . Halla el valor numérico de:

y
a) 2x2 – 5yz b) 5 √ y+3m−a c) ay – ym + zm d)m2- 2xy + y2
3) Si: P(x;y) = 5x2 + 6xy3 . Halla: P (-3;-2) + P(2;1)
4) Si: P(a) = 2aa + 3a – a Hallar: P (3): P (2)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
02 :
SESIÓN 02
: Reducción de términos semejantes
I. COMPETENCIAS:
Solidaridad
- Reconoce cuando dos términos algebraicos son iguales y cuando son semejantes.
- Aplica las reglas de adición y sustracción de números enteros en la reducción de términos semejantes.
-
II. ACTIVIDADES:
a MOTIVACION
Cuando se logra abstraer cantidades en variables, se está innovando el conocimiento matemático que da origen a la
formación del ÁLGEBRA, constituyéndose como un nuevo conocimiento matemático abstracto y generalizado.
En el álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan mediante letras (variables), las cuales
pueden representar todos los valores.
B APRENDO
CONCEPTOS PREVIOS
TERMINO ALGEBRAICO: Es la expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones
algebraicas entre sus bases a excepción de la adición y sustracción.
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO: El siguiente gráfico, nos muestra las partes de un término algebraico:
Parte Exponente
Literal
5
3 x
Coeficiente Variable
TÉRMINOS ALGEBRAICOS IGUALES
Decimos que dos o más términos son iguales si tiene el mismo coeficiente y la misma parte literal afectadas de iguales
exponentes.
Ejemplo:
Observa los términos: 16xy3z6 ; (4)2y3xz6
Vemos claramente que ambos términos tiene el mismo coeficiente: 16 = (4) 2, además tienen la misma parte literal con
iguales exponentes.
TÉRMINOS ALGEBRAICOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal afectadas de igual exponente.
Ejemplos:
a. 5xy2 es semejante a 23 xy2, porque ambos términos tienen la misma parte literal xy2.
b. 14 a3b es semejante a -18ba3 porque ambos términos tiene la misma parte literal a3b
.

I.E.P.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Reducir términos semejantes consiste en transformar varios términos semejantes en uno solo.
Para reducir términos semejantes, se suman algebraicamente sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte
literal.
Ejemplos:
2 2
1. Reducir: 8x + 5x
2
Como tienen la misma parte literal x 2, estos son términos semejantes, entonces podemos reducirlos así: 8x +
5x2 = (8 + 5) x2 = 13x2
2. Reducir: 5y4 – 3y4 – 6y4
(5 – 3 – 6) y4 = -4y4
3. Reducir: 3 a2b + -2 ab2
En primer lugar, ¿Son semejantes? No, porque no tienen la misma parte literal, entonces no podemos reducirlos.
4. Reducir: -6 a4 + 3b2 – 6b2 + 4 a4
En primer lugar agrupamos los términos semejantes:
(-6 a4 + 4 a4) + (3b2 – 6b2) luego:
(-6 + 4) a4 + (3 – 6)b2
-2 a4 – 3b2
5. Reducir: 4 ab2 + 2 ab – a2b + 3 ab + 5 ab2
Agrupamos términos semejantes:
(4 ab2 + 5 ab2) + (2 ab + 3 ab) – a2b
(4 + 5) ab2 + (2 + 3) ab – a2b
9 ab2 + 5 ab – a2b

1. 8a3b2 - 10a2b3 + a3b2 - a2b3
2. - a + b + 26 - 26 + 3a + 2c – b
Solidaridad
3. 81x + 19y - 3z + y + 80x – y
4. a+b-c-b+c–a
5. .Reduce:
6. Reduce: 15 m 2n 2+ 10 mn + 12m 2n 2 – 4 mn
7. Al reducir: 2x – {-7y + [-3x + 4y – (-x + 5y)]}
8. 71a3b - 84a4b2 + 5a3b + 8a4b2
9. xm+2 – am+3 – 7 + 10 – 3xm+2 + 5am+3 – 6 + xm+2 – 5am+3
10. +72ab + 98m – 104ab + 43m
11. x3 + y3 – (x3 + 2x2y2 + y3) + [-x3 + y3]
12. Si: A = 2xa+1y4 ; B = 7x5yb-3, son términos semejantes, halla: “a + b”
13. Reduce: – (x + 1 ) – 2 ( x – 5 ) + 4 x – 1
14. Reducir: - x – ( -x – y ) – ( - y + x ) – y
15. Si los términos 9x y3 b – 1 ; 5xy11 son semejantes, calcular el valor de “b”
16. Si: 8y2m + b ; - 5 y8 ; 24 yb + 6son términos semejantes halla “b + m “
17. Si: 7x2b + 4 ; 15 x b + 9 ; son semejantes. Halla el valor de “b”
18. Reduce: 2n - {−n−[−n−( 2 n−x )−x ] }
19. Al reducir: 2 a -
[−3 a−− a+7+2 a]
_____
+7

1. Reduce: 16x + ( - 8x + 9y ) – 10 x
2. Al reducir: 2x2y + 5xy2 + 7x2y – 4xy2 – xy2
3. Al reducir: a + b + c + d – (a + b – c – d) s
4. -2a - (3a + 2a - a) + 8a
5. -[3x - 2x + x] + 4x - x + (2x - x + 4x)

I.E.P.
3 4 4 3
6. -m + 3x - [3x + 8m ]
3 3 4 3 3 4 2 3
7. -4y - {7a + [-5x - (7y - 9a - 12x ) - 8m ] + y }
8. (-m + 3n) - {-n + 4m}
9. -3z - [-2z + 8z] + [8x - 5m + 9z] - 15x
2 3 2 3 2
10. 8a + {5a + 6p } - (4a - 8a) - [9p + 5a ]
11. - {[3a + 6x - (2m - 5x)] - [5z - 8m + 6a - (7x - 6m)]}
5 2 4 5 2 4
12. 2a - 8c + 3b - 6a + 8c + 5b
6 3 2 6 3 3 2 3
13. -6x - 9b y + 8x - 9z + 2b y + 9z
14. -12ax + 15ax - 18ax + 20ax - 6ax
3 3 3 3 3 3
15. y + 9y - 13y + 10y - 2y + 5y
Solidaridad

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I.E.P.

“Champagnat” Algebra 5° Primaria

01 : CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

SESIÓN 01 : Extensión en N, comparación y valor absoluto.

EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

Creatividad, Perseverancia y Solidaridad 1

El conjunto de los números enteros se puede expresar:

Z={ … ,−2,−1 ,0 ,+1 ,+2 , … }

LA RECTA NUMÉRICA PARA LOS ENTEROS

VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS

 si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

¿CÓMO COMPARAMOS NÚMEROS ENTEROS?

6 es mayo que 1 porque:

4 es mayo que 0 porque:

INSTRUCCIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios en su cuaderno de clase.

3. Halla el par ordenado que no representa a +3.

4. Halla el número entero opuesto que representa el par ordenado: (7, 4)

5. Ubica en la recta numérica los siguientes números enteros

Creatividad, Perseverancia y Solidaridad 3

8. Halla los valores de “x” si

INSTRUCCIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios en su cuaderno de clase.

2. A partir de 0, se avanza +2, luego +3 y finalmente – 6?

3. A partir de –5, se avanza –2, luego +7, luego –4 y finalmente +5?

4. Escribe el número correspondiente a los siguientes pares ordenados:

5. Ordena los números de mayor a menor:

a. -7; -10; +2; +8; +3

6. Ordena los números de menor a mayor:

01 : CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para a, b, números enteros, se define:

Regla de los signos:

Del elemento neutro

Del inverso aditivo

2. Si: A = -12 + +20 + -7 + +9

A = -19 + +29 = +10 A + B = +10 + -14

B = +21 + -35 = -14 A + B = -4

B ACTIVIDAD DEL AULA

C ACTIVIDAD DEL CASA

INSTRUCCIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios en su cuaderno de clase.

Hallar el resultado de:

Creatividad, Perseverancia y Solidaridad 7

01 : CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

SESIÓN 03 : Sustracción de números enteros

Como resolver una diferencia de enteros: ?

Denominadas operaciones combinadas.

Para a, b, números enteros, se define:

Dados dos números enteros, hallamos su DIFERENCIA transformando la SUSTRACCIÓN en una

 El opuesto del sustraendo: +13

 La sustracción de números enteros tiene la propiedad de cerradura, o sea: a−b ∈ Z

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

 Si hay unos dentro de otros, suprimimos primero los más internos.

Creatividad, Perseverancia y Solidaridad 9

 Suprimimos primero el paréntesis interior: F=

a. De la suma de –5 y –9 restar la suma de –2 y 11.

2. Completa el siguiente cuadro:

RESULTADO DE Signo del

3. Efectuar las siguientes operaciones combinadas