CÁLCULO FINANCIERO (19)

CÁLCULO FINANCIERO Y ACTUARIAL (307)

FCE de la UNRC - 2021
Prof. Responsable: Dra. Cecilia R. Ficco

UNIDAD 1
La teoría del interés
 Conceptos básicos: Las operaciones financieras

Una operación financiera (OF) es aquella en la que se intercambian

capitales no simultáneos en el tiempo, a título oneroso
Es decir, capitales disponibles en uno o más momentos
dados por otros disponibles en otros momentos distintos

Ejemplos: Hoy nos prestan $20.000 y convenimos con el

- Préstamos de dinero prestamista su devolución dentro de 30 días por un
importe igual a $22.000

Compramos una notebook que de contado cuesta

- Compras financiadas $54.999 y la pagamos en 18 cuotas mensuales de
$3.639,41, usando el plan “Ahora 18”

- Plazo fijo El 07/08/20 realizamos un plazo fijo en BNA por $150.000 por el
que recibiremos $154.211,75 el 07/09/20.

Habrás observado que en todas las OF hay un

“precio” convenido entre las partes
Las operaciones financieras: Ejemplos

Esta es una OPERACIÓN

SIMPLE, ya que se intercambia
un solo capital por otro capital
también único
 Las operaciones financieras: Ejemplos

Esta es una OPERACIÓN

COMPLEJA, ya que se intercambia
un capital por varios capitales
(conjunto de pagos o cuotas)
 Conceptos básicos: El principio de economicidad

En las operaciones financieras subyace el

principio de economicidad
Los capitales intercambiados tienen variaciones de valor en el
tiempo debido a que “valoramos en mayor medida un bien o
servicio cuanto más pronto podamos utilizarlo o consumirlo”

Si alguien presta $20.000, a cambio de la promesa de que se los

devolverán a los 30 días, pretenderá obtener un valor mayor a $20.000 al
cabo de ese plazo, porque si el prestamista dispone hoy de los $20.000
puede utilizarlos de inmediato (para el consumo o la inversión)

Existe un “valor tiempo del dinero”

La Matemática Financiera estudia las variaciones cuantitativas

que sufren los capitales en el tiempo, como consecuencia del
principio de economicidad (Gianneschi, 2005)*
* Gianneschi, M. (2005). Curso de Matemática Financiera. Ed. Macchi
 Conceptos básicos: Las operaciones financieras y sus
elementos
¿Cuáles son los elementos de una operación financiera?

- partes de la operación acreedor y deudor

- capitales objeto del intercambio capital inicial f(0) y monto f(n)
- precio interés (se calcula aplicando la “tasa de interés”)
- tiempo duración de la operación

f(0) f(n)
0 n

- capital inicial: es la suma de dinero prestada, el importe financiado de una venta a

plazo, la suma de dinero colocada a plazo fijo, etc.
- monto: es el capital futuro que se recibirá a cambio cuando se presta dinero, cuando se
vende a plazo o cuando se coloca dinero a plazo fijo
- interés: es la retribución recibida por el capital prestado, como compensación por la
privación de su uso en el tiempo; es la variación cuantitativa del capital en el tiempo
 Conceptos básicos: Las operaciones financieras y sus
elementos
¿Cómo se produce el crecimiento del capital en una operación
financiera?

Un capital colocado a Postulado fundamental dentro

interés crece continuamente de la teoría del interés

La función f (x) representa

Monto el capital en cualquier
capital f (t)
momento del tiempo y es
una función continua

Interés: f(t) – f(0)

El interés se va
f (0) produciendo en cada
Capital instante de tiempo y
inicial no en forma
0 t tiempo escalonada
 La tasa instantánea de interés

¿De qué depende la “intensidad” de crecimiento de la función

continua del monto?
De la tasa instantánea de interés (δ)
El devengamiento del
interés es continuo

d ln f t   Es la tasa instantánea de crecimiento

  de la función f(t)
dt  Mide la “fuerza” o “intensidad” de
crecimiento de dicha función
 Su valor depende del “interés”
estipulado en la operación
financiera
En las pp. 16-18 del libro de
Domínguez (2009) puedes
encontrar la demostración de
esta fórmula.
 El monto

El capital devenga intereses en forma continua a través del

tiempo. Por ello, a medida que transcurre el tiempo el capital
va modificando su valor

 Se llama MONTO al valor que asume el capital después de

transcurrido un cierto período de tiempo.
 Ese valor está constituido por el capital inicial más los intereses.
 En consecuencia, el monto es función del tiempo (t), del capital
inicial f(0) y de la fuerza de crecimiento del capital o tasa
instantánea de interés (δ).
 Así, la fórmula matemática del monto al final del período t es:

f t   f 0  e t En la p. 19 del libro de Domínguez

(2009) puedes encontrar la demostración
de esta fórmula.
 El monto

Trabajamos con un ejemplo:

Una persona coloca $50.000 a plazo fijo en un banco que paga una
tasa instantánea de interés del 0,04 para 30 días, ¿cuál es el monto que
obtiene la persona al cabo de 90 días?

f (t )  f (0) e . t

f (t )  50000 e 0,04. 3  50000 x 1,127496852  56374,84

t = 3 porque la tasa corresponde a 30 días y el

período (duración de la OF) es de 90 días
 Unidad de tiempo

El capital devenga intereses en forma continua a través del tiempo

pero, por razones prácticas, en las OF se fijan intervalos discretos de
tiempo para “medir” el crecimiento del capital, o sea, para “medir”
los intereses

 Se llama unidad de  En las OF existen dos formas

tiempo al período al básica para operar:
final del cual se - Interés simple: los intereses
“miden” los intereses se retiran (se pagan) al final
devengados, de cada unidad de tiempo
- para pagarlos o - Interés compuesto: los
intereses se “capitalizan” al
- para capitalizarlos
final de cada unidad de
tiempo, es decir, se suman al
capital para producir nuevos
intereses
 Operaciones financieras equivalentes

 Son aquellas que con capitales iniciales iguales producen el

mismo monto al cabo del mismo período de tiempo, pero
tienen unidades de tiempo diferentes.

Son
equivalentes

El gráfico anterior muestra un ejemplo de dos OF equivalentes:

Se colocó $1 en un banco a 1 año de plazo con capitalización mensual
(la unidad de tiempo es el mes) y se obtiene un monto al final del año
(el período de tiempo es el año) que es igual al monto que se obtiene
colocando ese mismo capital de $1 a 1 año de plazo con capitalización
cuatrimestral (la unidad de tiempo es el cuatrimestre)
 Las tasas instantáneas equivalentes

 Son aquellas que intervienen en operaciones financieras

equivalentes

En el ejemplo anterior se tienen dos tasas instantáneas que son

equivalentes:
la correspondiente al mes δ y

la correspondiente al cuatrimestre δ(m)

 Las tasas instantáneas equivalentes

 Las tasas instantáneas equivalentes son proporcionales a

las respectivas unidades de tiempo

Cuando trabajemos con una unidad de tiempo “m” veces menor

que otra, δ representará la tasa instantánea de la unidad de tiempo
menor y δ(m) representará la tasa instantánea de la unidad de
tiempo mayor.

O sea que:

 ( m)
 ( m)  m     
m
En las pp. 20 y 21 del libro de
Domínguez (2009) puedes encontrar la
demostración de esta relación.
 Las tasas instantáneas equivalentes

Trabajamos con otro ejemplo:

Una empresa compra insumos para la fabricación de sus productos por

$100.000 y el proveedor le financia la compra, por lo que debe pagar
$110.517,09 a los cuatro meses.
a- ¿cuál es la tasa instantánea de interés cuatrimestral de la OF?
b- ¿y la tasa instantánea de interés anual equivalente?

a- f (t )  f (0) e . t 110517,09  100000 e . 1

110517,09
despejando:   ln  0,10 cuatrimestral
100000

b-  m   m .   m   3 . 0,10  0,30 anual

m = 3 porque un cuatrimestre (u. de tiempo menor) está

contenido 3 veces en un año (u. de tiempo mayor)
 La tasa efectiva de interés

En la práctica, para capitalizar o pagar los intereses se utiliza la tasa

efectiva de interés (o simplemente tasa de interés).
Con ella se mide, al final de cada unidad de tiempo, el crecimiento
continuo del capital que resulta de la acción de la tasa instantánea δ

tasa
 La TASA EFECTIVA
DE INTERÉS es el
interés realmente
i = tasa de
interés
producido por la
unidad de moneda en
1
la unidad de tiempo.
En Argentina, la unidad de
0 1 tiempo moneda es el peso

Si i = 0,02 mensual ֜ $1 colocado a interés crece $0,02 en un mes

 La tasa efectiva de interés

¿Qué relación existe entre la tasa efectiva de interés y la tasa

instantánea de interés?


i  e 1 En la p. 23 del libro de
Domínguez (2009) puedes
encontrar la demostración

  ln (1  i )
de estas relaciones

Con base en estas relaciones, se puede escribir la fórmula del

monto en función de la tasa efectiva de interés:

f t   f 0  e t f t   f 0  (1  i ) t
 Las tasas efectivas equivalentes

 Las tasas efectivas equivalentes NO son proporcionales a

las respectivas unidades de tiempo

Cuando trabajemos con una unidad de tiempo “m” veces menor que
otra, i representará la tasa efectiva de interés de la unidad de
tiempo menor y j representará la tasa efectiva de interés de la
unidad de tiempo mayor.
Para que “i” y “j” sean equivalentes es necesario que entre ellas
exista la siguiente relación:
En la p. 24 del libro
de Domínguez (2009)
i  (1  j )1/ m  1 j  (1  i ) m  1 puedes encontrar la
demostración de estas
relaciones

m el número de veces que la unidad de tiempo menor está contenida

en la unidad de tiempo mayor
 Tasa efectiva de interés - Tasas efectivas equivalentes

Retomamos el primer ejemplo:

Una persona coloca $50.000 a plazo fijo en un banco que paga una
tasa instantánea de interés del 0,04 para 30 días,
a- ¿cuál es la tasa efectiva para 30 días de esta OF?
b- ¿y la tasa efectiva anual equivalente?

a- i  e  1 i30  e 30  1  e 0,04  1  0,04081077419

b- j  (1  i ) m  1

j anual  (1  0,04081....) 365 / 30  1  0,6268842242

m = 365/30 y representa la cantidad de veces que

un lapso de 30 días (u. de tiempo menor) está
contenido en un año (u. de tiempo mayor)
 La tasa nominal anual de interés (TNA)

 Surge porque, en la práctica, existe la costumbre de fijar una

tasa de interés anual (TNA) y efectuar la capitalización o los
pagos de los intereses en subperíodos de años con una tasa
proporcional.

De este modo, si simbolizamos a TNA con i (m):

i ( m)
i (m)  m  i i 
m
Al operar de esta forma se obtiene, al cabo del año, un rendimiento
mayor con respecto a la tasa de interés anual dada, que se calcula así:

j  (1  i ) m  1

Por lo tanto, esta costumbre de la práctica no solo modifica la unidad

de tiempo, sino que también modifica el rendimiento de la OF
 La tasa nominal anual de interés (TNA)

subperíodos del
año para
capitalización/pago
tasas anuales
 La tasa nominal anual de interés (TNA)

Por ejemplo:
 Se dice 33,06% (0,3306) anual con capitalización cada 30 días
(TNA) y se utiliza el 2,717260274% (33,06 / (365/30)) mensual
para realizar la OF con capitalización cada 30 días.
 En tal caso la verdadera tasa de interés es la que corresponde al
subperíodo (en este caso 30 días), que constituye la unidad de
tiempo de la OF.
 La tasa anual (0,3306) (proporcional a la tasa del subperíodo) no es
una tasa equivalente y NO rige la operación.
 Esto se debe a que el rendimiento que se obtiene, al cabo de un año,
al colocar un capital inicial de $1 a una tasa mensual del
0,02717260274, es superior a ella. Concretamente, es igual a:
janual  (1  0,02717260274) 365 / 30  1  0,385676 Ambas tasas rigen la OF:
i = 0,02717260274
30
j mi 0,385676 
365
 0,02717260274 j = 0,385676
anual
30
 La tasa nominal anual de interés (TNA)

Ingresando al SIMULADOR DE PLAZO FIJO puedes

comprobar esta forma de operar con la TNA:
https://www.bna.com.ar/SimuladorPlazoFijo/SubInterna/PlazoF
ijo?subInterna=SimuladorPlazoFijo&id=PFElectronico

Tasa aplicada en la OF para 30 días:

0,37 / (365/30)) = 0,0304110
 Relaciones entre tasas

Todas las tasas vistas se pueden calcular en función de las otras,

aplicando estas fórmulas:
 El interés compuesto y el interés simple

En las OF existen dos formas básicas para operar:

- Interés simple: los intereses se retiran (se pagan) al final de cada
unidad de tiempo
- Interés compuesto: los intereses se “capitalizan” al final de cada
unidad de tiempo, es decir, se suman al capital para producir nuevos
intereses. Y  f 0 e  .t  f (0)

Gráficamente: Interés compuesto


Y  f 0  et  1 
Interés

I  f 0 .i.n
Interés simple
f 0 .i f 0 .i f 0 .i f 0 .i
f 0 .i
0 1 2 3 4 t=n tiempo
 El interés compuesto y el interés simple

I  f (0)  i  n NO indica el VALOR de todos

los intereses al final de “n” unidades de tiempo,
sino la simple suma algebraica de los intereses
producidos por el capital inicial al final de cada
una de las “n” unidades de tiempo

es la suma de cantidades que desde el punto de vista

financiero no son homogéneas, por estar ubicadas
en distintos momentos de tiempo

Por ello, la expresión que se conoce como “monto a interés simple”,

en “n” unidades de tiempo, NO es correcta desde el punto de vista
financiero:
f ( n)  f (0)  f (0)  i  n  f (0)  (1  n  i )
 El interés compuesto y el interés simple

 Para obtener el “valor” de los intereses simples al final de las

“n” unidades de tiempo enteras hay que llevarlos a todos hasta
ese momento, y se llega a:
El valor de los intereses
simples es igual al de los
En las pp. 33 y 34 del intereses compuestos
libro de Domínguez
(2009) puedes n 1
encontrar la
demostración de esta  f (0)  i  e
t 0
t
 f (0)  (en  1)  Y
fórmula

Por ello, aunque existen los intereses simples (son aquellos que se
retiran al final de cada unidad de tiempo), financieramente no se
puede decir lo mismo con respecto al “monto a interés simple”

SOLAMENTE HAY UN MONTO Y ES EL MONTO A

INTERÉS COMPUESTO
 El interés compuesto y el interés simple

 Económicamente es lo mismo cobrar intereses simples o compuestos,

pero si al concertar una OF a interés simple se conviene que los
intereses se cobran “todos” al final de varias unidades de tiempo,
en realidad, es una OF a interés compuesto, con una tasa y un
rendimiento distintos a los mencionados.
 UNIDAD 1:
La teoría del interés

Después de esta presentación,

te invitamos a leer detenidamente
el capítulo I del libro:

Domínguez, C. (2009). Manual de Cálculo

Financiero. Villa María: Eduvim.

donde podrás encontrar un desarrollo completo de los

temas aquí presentados.
Te proponemos también leer y analizar los prácticos
comentados de ese capítulo y resolver los de la guía
correspondiente a la Unidad 1.