REPASO MATEMATICA FINANCIERA

Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando capitales, tasas y
tiempo. Ayuda a la toma de decisiones sobre inversiones y financiamiento.

Objeto de estudio: operaciones financieras.

OBJETIVOS:

• Comprender el postulado fundamental de la Matemática Financiera.

• Reconocer las operaciones financieras.

• Identificar y obtener la tasa de interés en una operación financiera.

• Valorar el concepto financiero del valor del capital en el tiempo y la importancia de la unidad de tiempo de la
operación.

OPERACIÓN FINANCIERA: “todo intercambio no simultáneo de capitales a título oneroso”

Condiciones necesarias:

• Dos o más partes con posiciones opuestas.

• Existencia de capitales (bienes o valores expresados en sumas de dinero).

• Intercambio no simultáneo (reemplazo de un capital por otro en un momento distinto en el tiempo).

• A título oneroso (que exista un precio).

Postulado fundamental de la Matemática Financiera: “El capital aplicado a una operación financiera crece con el
transcurso del tiempo”

Clasificación:

A) Según el sentido en que se aplica la ley financiera:

• De capitalización: sustituye el capital presente por otro futuro (ej. depósitos a plazo).

• De actualización o descuento: sustituye el capital futuro por otro presente (ej. descuento de documentos).

B) Según el número de capitales:

• Simples: Un solo capital en la prestación y en la contraprestación (préstamo a devolver en un pago).

• Complejas: Más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación (préstamo a devolver en cuotas).

C) Según su duración:

• Ciertas: Se conoce la fecha de inicio y finalización de la operación (bono del estado).

• Contingentes: inicio y/o finalización condicionados a un evento aleatorio (renta vitalicia por seguro de vida).

Componentes:
A) Capital F(t): Suma de dinero que colocada en una operación financiera variará en función del tiempo transcurrido.

• Capital inicial F(0): suma de dinero colocada al inicio de la operación financiera (momento 0). Siempre es mayor a
cero

• Capital final F(n): suma de dinero obtenida al final de la operación financiera (momento n posterior al momento 0)

F(n) >F(0)

F (t): valor que asume el capital a un momento “t” dado.

(Más allá de lo señalado, puede resultar posible –de acuerdo a la bibliografía consultada- se proponga el usa de otras
notaciones, como por ejemplo C(0), C(n) o C(t), para el capital inicial, final y en el momento “t”, respectivamente).

B) Interés I: Crecimiento operado en el capital a lo largo del tiempo; diferencia entre el capital final y el capital inicial.

I = F(n) - F(0)

Ejemplo:

1.000 = 11.000 – 10.000

2.000 = 12.000 – 10.000

C) Plazo y Unidad de tiempo: En las operaciones financieras el crecimiento del capital es continuo, pero a los fines de su
medición es necesario fijar intervalos al final de los cuales se realice la medición.

• Plazo: tiempo de duración total de una operación financiera (ej. un año, dos años)

• Unidad de tiempo: lapso de tiempo al final del cual se mide el capital y se determina el interés (I) obtenido en la
operación financiera.

• Número de unidades de tiempo (n): relación entre plazo y unidad de tiempo. Cantidad de unidades de tiempo
contenidas en el plazo de la operación.

plazo
n=
unidad de tiempo

D) Tasa de interés (i): Interés (I) obtenido “por cada unidad de capital inicial” y por cada unidad de tiempo.

interes de launidad de tiempo

Tasa de interés=
capital alinicio

1000
0,10 anual=
10000

i
i=
F(0)
La “tasa de interés” se compone de dos partes:

• Número: indica el interés “por cada peso invertido”.

• Período de tiempo: tiempo necesario para obtener ese interés.

Recordando que I = F(1) – F(0)

Calculados lo intereses al final de la unidad de tiempo pude suceder:

• Que los intereses se paguen, cobren o retiren. Operación a Interés Simple.

• Que los intereses se sumen al capital inicial para generar nuevos intereses. Operación a Interés Compuesto.

“Si bien está muy difundida la expresión de la tasa de interés como porcentaje (ej. 10% anual), lo correcto sería decir
que la tasa de interés es 0,10 anual y que el porcentaje de interés es del 10% anual”

OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS SIMPLE:

Aquellas en las que los intereses obtenidos al final de cada unidad de tiempo se retiran, se cobran o pagan. En cada
unidad de tiempo transcurrida se suma una cantidad proporcional al capital inicial, siendo la constante de
proporcionalidad la misma tasa de interés.

En este tipo de operaciones podremos identificar los siguientes elementos:

• F(0): capital inicial colocado en una operación a interés simple.

• i: tasa de interés para la unidad de tiempo.

• n: número de unidades de tiempo de la operación (contenidas en el plazo).

Siendo el interés simple luego de “n” unidades de tiempo:

I = F(0) . i .n

• Al inicio de la operación tendremos: F(0)

Al final de la primera unidad de tiempo se calculan los intereses: I1 = F(0) . i - y se obtiene el capital final: F(1) = F(0) + I1
= F(0) + F(0) . i - los intereses son retirados y volvemos a tener el capital inicial F(0) - al final de la segunda unidad de
tiempo: F(2) = F(0) + I2 = F(0) + F(0) . i

La fórmula para obtener el capital final de una operación a interés simple:

F(n) = F(0) . (1 + i . n)

(Si bien esto puede tener validez matemática, no es válido financieramente, pues estaríamos sumando valores que están
ubicados en distintos momentos del tiempo. Si los intereses son retirados ya no forman parte de esta operación, son
importes de libre disponibilidad para quien los ha obtenido y los puede utilizar para otra operación).

Ejemplo: imaginemos un F(0) de $ 100, colocado por 3 meses (n=3) a una tasa de interés simple mensual de 0,1 (10%):
I(1) = F(0) . i = I(1) = 100 . 0,1 = 10

I = F(0) . i . n = I = 100 . 0,1 . 3 = 30

F(n) = F(0) . (1 + 0,1 . 3) = F(n) = 100 . (1 + 0,1 . 3) = 130

Observe que es no es lo mismo obtener $130 a los tres meses que ir recibiendo $10 al final del primer mes, $10 al final
del segundo y $10 al final del tercero.

EJEMPLO: Un capital de $4.000 es depositado a una tasa de interés simple del 0,05 mensual (porcentaje de la tasa de
interés 5% mensual) durante dos meses.

Esto significa que el interés ganado será, en pesos, igual a:

I = F(0) . n . i

I = 4.000 . 2 . 0,05

I = 400, es decir de $400

Y que el capital final (al momento t=2) es:

F(2) = F(0) . (1 + i . n)

F(2) = 4.000 . (1 + 0,05 . 2)

F(2) = 4.400, es decir $4.400

Crecimiento aritmético: en cada etapa se suma (o resta) una “cantidad” constante.

Ejemplo:

meses 0 1 2 3 4 5
interés 50 50 50 50 50
capital 100 150 200 250 300 350

400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo: Una persona deposita $ 100 en un banco que garantiza un interés simple anual del 6%. ¿Qué importe recibe la
persona al cabo de tres años? ¿Y al cabo de 42 meses?
OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS COMPUESTO:

Aquellas en las cuales, el interés obtenido al final de cada unidad de tiempo no se retira, sino que se agrega al capital al
inicio de cada una de ellas, es decir “se capitalizan” y, por lo tanto, generan nuevos intereses.

En este tipo de operaciones podremos identificar los siguientes elementos:

• F(0): capital inicial colocado en una operación a interés compuesto.

• i: tasa de interés para la unidad de tiempo.

• n: número de unidades de tiempo de la operación (contenidas en el plazo).

Al inicio de la operación tendremos: F(0)

Al final de la primera unidad de tiempo se calculan los intereses: I1 = F(0) . i - y se obtiene el capital final: F(1) = F(0) +
I1 = F(0) + F(0) . i - extrayendo factor común F(0) obtenemos: F(1) = F(0) . (1 + i )

• Los intereses no se retiran y al inicio de la segunda unidad de tiempo tenemos: F(1)

Al final de la segunda unidad de tiempo se calculan los intereses: I2 = F(1) . i - y se obtiene el capital final: F(2) = F(1) +
I2 = F(1) + F(1) . i - extrayendo factor común F(1) obtenemos: F(2) = F(1) . (1 + i)

… ahora bien, siendo F(2) = F(1) . (1 + i) y reemplazando F(1) por la expresión F(1) = F(0) . (1 + i) podemos decir que:

F(2) = F(0) .(1+i). (1+i) y que F(2) = F(0) .(1+i)2

De la misma manera, para las unidades de tiempo siguientes y hasta la última (la enésima), tendremos:

F(n) = F(0) . (1+i)n

Donde I1 < I2 < I2 < I3 < …< In

Esta expresión llamada “fórmula de monto (o capital final) a interés compuesto” o directamente “fórmula de monto”,
es la que permite obtener el capital final de una operación financiera a interés compuesto.

Crecimiento geométrico: en cada etapa se multiplica por una cantidad constante mayor (o menor) que uno (crecimiento
exponencial).

Ejemplo [donde el factor de capitalización es (1+i) = (1+0,5)]:

meses 0 1 2 3 4 5
interés 50 75 112,5 168,8 253,1
capital 100,0 150,0 225,0 337,5 506,3 759,4
 800,0
700,0
600,0
500,0
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0
0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo: Una persona deposita $ 100 en un banco que garantiza un interés compuesto anual del 6%. ¿Qué importe
recibe la persona al cabo de tres años? ¿Y al cabo de 42 meses?

F(n) = F(0) . (1+i)n

F(3 años) = 100 . (1+0,06)3 = $119,10

Monto a interés compuesto: cuatro elementos que componen la fórmula.

CAPITALIZACIÓN: operación financiera que permite obtener el valor futuro de un capital ubicado en un momento
determinado del tiempo.

A partir de la fórmula de monto F(n) = F(0) . (1+i)n se puede trasladar un capital ubicado en el momento 0 a cualquier
momento t y hasta el momento n.

De este modo:

Siendo (1+i)t el “factor de capitalización” que, multiplicado por un capital, permite obtener su valor al momento t.
0 1 2 3 t n-1 n
F(0) F(t)

ACTUALIZACIÓN: operación financiera que permite obtener el valor actual de un capital futuro.

A partir de la fórmula de monto F(n) = F(0) . (1+i)n se puede calcular el capital al momento 0 partiendo de un capital
futuro al momento t:

Siendo (1+i)-t el “factor de actualización” que multiplicado por un capital ubicado en un momento (t) determinado en el
tiempo, permite obtener su valor actual.

0 1 2 3 t n-1 n
F(0) F(t)

EL USO DE LA VARIABLE TIEMPO:

En general, en las operaciones comerciales, se suele trabajar con un año equivalente a 360 días, un mes a 30 días, un
bimestre a 60, etc.

En cambio, en las operaciones que se realizan en el sistema financiero y en el mercado de capitales, se encuentra más
extendido el uso de la cantidad exacta de días del año (365 días).

OPERACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES:

• Las tasas de interés pueden expresarse en diferentes unidades de tiempo (mensuales, anuales, cada 30 días, etc.)

• A la hora de efectuar una operación financiera donde es posible optar por diferentes tasas, es importante saber
distinguir aquella más conveniente (la más alta en el caso de inversiones y la más baja en el caso operaciones de
financiamiento)

• Al analizar las posibilidades, no siempre se presenta la misma unidad de tiempo en la tasa de interés.

“Dos operaciones financieras son equivalentes cuando, a partir del mismo capital inicial, en un mismo plazo y con tasas
de interés diferentes, referidas a distintas unidades de tiempo, se obtiene el mismo capital final”

1 año 1 año
0 1 2 3 4 n0 1 2 n
F(0) F(4) F(0) F(2)

Tasa de interés nominal: tasa escrita de la operación, o tasa de contrato. Utilizada como referencia para el cálculo de la
tasa efectiva de la operación.
Notación: i(m) (o j(m)). Normalmente simbolizada como TNA (Tasa Nominal Anual).

Donde:

i(m) = tasa de interés nominal (generalmente expresada en forma anual)

m = cantidad de unidades de tiempo contenidas en el período

i = tasa de interés de la operación

Supone una capitalización por período. Sin embargo, en la práctica, muchas operaciones poseen capitalizaciones
intermedias, generando que la unidad de tiempo de la tasa nominal no coincida con la unidad de tiempo del subperíodo
de capitalización

De este modo….

Tasa de interés proporcional: resulta de la división de la tasa nominal periódica por la cantidad de subperíodos de
capitalización.

Notación:

Por ejemplo, un 12% nominal anual, capitalizable semestralmente, resulta igual al 6% semestral:

0,06 semestral = 0,12 anual / 2

De este modo, al “proporcionar” la tasa nominal, la estamos llevando al momento de capitalización, el momento donde
la tasa “trabaja”, siendo este el momento en el cual se agregan los intereses al capital. Tasa de interés para la unidad de
tiempo indicada.

En la capitalización subperiódica, al existir más de una capitalización de intereses, el monto (valor final obtenido en la
operación), resulta mayor que el que se obtendría con una capitalización periódica.

Así, surge el concepto de…

TASA EFECTIVA: representa el rendimiento “efectivamente” obtenido a través de una operación, en un período de
tiempo determinado, capitalizada una sola vez en el período, arroja el mismo monto que se obtendría capitalizando en
forma subperiódica con la tasa proporcional.

Normalmente expresada en forma anual TEA (Tasa Efectiva Anual)

(1+i) = (1 + i(m)/m)m

Y, para despejar la tasa efectiva:

i = (1+ i(m)/m) m – 1

Donde:

i = tasa efectiva
m = cantidad de subperíodos de capitalización contenidos en un período.

A los efectos de no generar confusión con respecto a “m” (cantidad de subperíodos de capitalización contenidos en un
período) resulta simplificador el uso de la siguiente fórmula estandarizada:

i = (1+ i(m)/(365/p))t/p – 1

Donde:

p = cantidad de días del subperíodo de capitalización (momento en que la tasa capitaliza)

t = cantidad de días de la operación (plazo expresado en días)

Ejemplo: determinemos la tasa efectiva anual (TEA) correspondiente a un depósito bancario a un año (365 días),
pactado a una tasa nominal anual (TNA) del 12%, con capitalización cada 180 días (p = 180; t = 365):

i = (1+ i(m)/(365/p))t/p – 1

i = (1+ 0,12/(365/180))365/180 – 1 = 0,1236 (o 12,36% anual)

Ahora bien, ¿cuál hubiera sido el rendimiento obtenido (TEA) con una mayor frecuencia de capitalización, por ejemplo,
cada 60 y cada 30 días?

i = (1+ 0,12/(365/60))365/60 – 1 = 0,1261 (o 12,61% anual)

i = (1+ 0,12/(365/30))365/30 – 1 = 0,1268 (o 12,68% anual)

Como puede observarse, a mayor frecuencia de capitalización, mayor tasa efectiva (TEA):

p (subperíodo
TNA de TEA
capitalización)

12% 180 días 12,36 %

12% 60 días 12,61 %

12% 30 días 12, 68 %

Por último, puede suceder que debamos calcular “tasas efectivas” para plazos diferentes al de la tasa nominal (por
ejemplo, la tasa efectiva para 180 días con capitalización cada 60):

i = (1+ i(m)/(365/p))t/p – 1

i = (1+ 0,12/(365/60))180/60 – 1 = 0,063 (o 6,36% para 180 días)

TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE: “la tasa equivalente facilita las comparaciones entre tasas de interés expresadas para
diferentes períodos de tiempo”

“Dos tasas de interés ia y ib se dicen equivalentes si el monto producido por un mismo capital, en un mismo plazo, es el
mismo para cada una de las tasas. Es decir, aquellas que, con capitalizaciones intermedias diferentes, arrojan el mismo
rendimiento efectivo en un período determinado”
Dado un mismo plazo, dos operaciones financieras (“A” y “B”) serán equivalentes si:

Donde:

a = unidad de tiempo de la operación “A”

b = unidad de tiempo de la operación “B”

“Cuando dos operaciones financieras son equivalentes, sus tasas de interés son equivalentes”

TASA DE INTERÉS REAL Y APARENTE: cálculo financiero en un contexto inflacionario.

En un contexto inflacionario, la tasa efectiva, tal cual cómo la hemos visto, no expresa el rendimiento real de una
operación.

La tasa real (ir) es aquella que expresa el verdadero poder adquisitivo de la tasa de interés al separar el componente
inflacionario (π) contenido en la tasa de interés aparente (ia).

Ecuación de arbitraje de Fisher:

OTRO EJEMPLO DE APLICACIÓN (ANÁLISIS HORIZONTAL): cuando realizamos un análisis horizontal comparando valores
(nominales) de un período, con otros de periodos anteriores, sin que estos se encuentren ajustados por inflación, el
índice de variación obtenido se encontrará “contaminado”, y por lo tanto será conveniente determinar el “índice real”
dividiendo la “variación aparente” por el componente inflacionario (1+ π).

En el siguiente ejemplo se determina el “índice real de variación” para una tasa de inflación interanual entre el
31/12/X1 y el 31/12/X2) del 40%:

EERR AL 31/12/X1 AL 31/12/X2 VARIAC. VARIAC. REAL

VENTAS 1.000,00 1.400,00 1,40 1,00

CMV -600,00 -840,00 1,40 1,00

UTILIDAD BRUTA 400,00 560,00 1,40 1,00

OTROS GASTOS OPERATIVOS -100,00 -200,00 2,00 1,43

RESULTADO OPERATIVO 300,00 360,00 1,20 0,86

TASA DE DESCUENTO (d):

• En una operación de capitalización, los rendimientos se calculan sobre el capital inicial y se expresan al vencimiento de
la operación (tasas vencidas).
• La operación de descuento permite, generalmente a través del uso de una tasa de descuento (d), obtener el valor
actual de un documento que vence en el futuro (y que quiere efectivizarse antes de su vencimiento).

• La operación de descuento es un tipo particular de operación de actualización.

• La tasa de descuento, o tasa adelantada, es aquella que se calcula sobre el valor final, originando que el verdadero
costo financiero sea superior.

“d” = “descuento de una unidad de capital final en una unidad de tiempo”

D=N-E

Donde:

N = Valor Nominal del documento

E = Valor Efectivo (o Valor Actual) del documento

D = Descuento.

Relación entre Tasa de descuento (d) y Tasa de interés (i):

Recordando E = N - D

Podemos afirmar que: I = F(n) – F(0) por lo tanto I = D

• Tasa de interés vencida equivalente a tasa de descuento:

ACTUALIZACIÓN CON TASA DE INTERÉS Y TASA DE DESCUENTO:

RENTAS: “Conjunto de capitales que corresponden a una operación financiera y que constituyen pagos, depósitos o
retiros que se realizan a lo largo de un período de tiempo”

En este tipo de operaciones podemos identificar los siguientes elementos:

• Cuota: es el depósito o pago realizado a lo largo del período de tiempo.

• Intervalo de pago: período de tiempo transcurrido entre dos depósitos (retiros o pagos) sucesivos (a su vez es la
“unidad de tiempo”).

• Plazo: tiempo transcurrido desde el inicio hasta la finalización de la renta.

Clasificación:

A) Según la duración de la renta:

• Renta temporaria: número finito de cuotas.

• Renta perpetua: número infinito de cuotas.

B) Según se conozca o no el plazo:

• Renta cierta: se conoce la fecha de inicio y finalización.

• Renta contingente: se desconoce la fecha de inicio y/o finalización.

C) Según el momento del pago o depósito:

• Pago vencido: el pago, retiro o depósito se realiza al final de la unidad de tiempo.

• Pago anticipado: el pago, retiro o depósito se realiza al inicio de la unidad de tiempo.

D) Según el momento en que comienzan los pagos o depósitos:

• Renta inmediata: el primer pago se realiza en la unidad de tiempo inmediata posterior a la concreción de la operación.

• Renta diferida: el primer pago no se realiza en la unidad de tiempo inmediata posterior a la concreción de la
operación.

E) Según el valor del pago o depósito:

• Pagos constantes: todos los pagos o depósitos son de igual importe.

• Pagos variables: no todos los pagos o depósitos son de igual importe.

F) Según el momento de valuación de la renta:

• Valor Final: valor de la renta al concluir el plazo.

• Valor Actual: valor de la renta al inicio del plazo.

A los efectos de satisfacer los intereses de la materia, en esta oportunidad centraremos nuestra atención en un tipo
particular de renta:

Rentas ciertas, temporarias, inmediatas, de pagos igualmente espaciados y constantes:

Valor Actual

Cuota vencida
c c c c c c c
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

Donde: “V” es la suma de los valores actuales de n cuotas constantes de $ c, igualmente espaciadas y vencidas, a la tasa
de interés i.

RENTA PERPETUA – VALOR ACTUAL

Renta perpetua: aquella que posee un número indefinido de pagos o depósitos que se prolongan en el tiempo.

SISTEMAS DE AMORTIACIÓN:

• Amortización de una deuda: operación mediante la cual el deudor se compromete a devolver, al acreedor, en un
momento posterior, el importe recibido en préstamo más los intereses correspondientes.

• Partes intervinientes (dos): deudor y acreedor

• Notación: llamaremos V (deuda) o S0 (saldo al inicio) a la suma de dinero que el acreedor entrega al deudor en el
momento cero.

• El deudor asume el compromiso de devolver el importe de V más los intereses correspondientes en un momento
posterior, ya sea en un importe único o en importes parciales.

• Más allá de la modalidad adoptada, para que la operación resulte “equitativa”, “el valor V de la deuda (al momento
cero) deberá ser igual a la obligación del acreedor , descontada a la tasa i de interés correspondiente”

Como fuera señalado, el deudor podrá cumplir su obligación mediante:

• Pago único: En este caso, y partiendo de la fórmula de “monto”, se obtiene:

• Pagos múltiples: En este caso, el importe a pagar por el deudor se encuentra fraccionado en “cuotas”, que se abonarán
en distintos momentos en el tiempo.

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
V C1 (1+i)-1 C2 (1+i)-2 C3 (1+i)-3 C4 (1+i)-4 Cn-2(1+i)-(n-2) Cn-1 (1+i)-(n-1) Cn(1+i)-n

SISTEMA DE AMORTIACIÓN FRANCÉS:

Características:

• Cada cuota está formada por dos componentes:

Ir: Interés. Representa el costo financiero de la deuda y se calcula sobre el saldo adeudado al inicio de la unidad de
tiempo.

tr:: Amortización. Representa la parte de la cuota destinada a la devolución del capital adeudado.

• Cuota total constante.

• Cuota de interés decreciente.

• Cuota de amortización creciente.

Fórmula:

n SI CT A I SF
1 1000,00 263,80 163,80 100,00 836,20
2 836,20 263,80 180,18 83,62 656,03
3 656,03 263,80 198,19 65,60 457,83
4 457,83 263,80 218,01 45,78 239,82
5 239,82 263,80 239,82 23,98 0,00
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN ALEMÁN:

Características:

• Cada cuota está formada por dos componentes:

Ir: Interés. Representa el costo financiero de la deuda y se calcula sobre el saldo adeudado al inicio de la unidad de
tiempo.

tr:: Amortización. Representa la parte de la cuota destinada a la devolución del capital adeudado.

• Cuota de amortización constante:

• Cuota de interés decreciente.

• Cuota total de decreciente.

n SI CT A I SF
1 1000,00 300,00 200,00 100,00 800,00
2 800,00 280,00 200,00 80,00 600,00
3 600,00 260,00 200,00 60,00 400,00
4 400,00 240,00 200,00 40,00 200,00
5 200,00 220,00 200,00 20,00 0,00

SISTEMA DE AMORTIZACIÓN AMERICANO:

Características:

• Cuota de amortización única al final del plazo.

• Cuota de interés constante.