Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
3.2. CONJUNCIÓN
LÓGICA PROPOSICIONAL
oración que señala alguna idea. Efrain está trabajandg y Mery prepara el almuerzo
Es toda frase u
azul
la proposición obicnidaes.lamada conjuntiva. y es verdadera (V) si ambas proposiciones
El cuaderno es son verdaderas, de lo contrario es falsa (F). Cuya tabla de valores de verdad es:
Qué hora es?
Regresa de inmediato pA
V
José y Rene son niños
2.2. PROPOSICIÓN
del cual se puede señalar si es
Es aquel enunciado aseverativo (que afirma algo)
la con respecto a una realidad.
verdadero o falso, pero no ambos a vez,
47
6
EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRA I
PY
F
F V
4. BARRA DE SHAFFER Y FLECHA DE NICOD
4.1. BARRA DE SHAFFER ()o NEGAcIÓN ALTERNA
Barra de Shaffer, de incompatibilidad o de negación alterna (l), para dos
la negación de p > q (doble implicación). proposiciones (P y 9) seiala que la primera es incompatible con la segunda, esto es si
NoTA: Es cierto que pVq equivale a las dos son verdaderas, la proposición negativa alterna es falsa. Se escribe plq (se lee
IMPLICACIÓN O CONDICIONAL "p es incompatible con 9").
3.4.
aquella operación
Es que toma dos proposiciones, llamando al primer Ejemplo:
antecedente(p) y a la segunda consecuente (q) uniéndolas
a través del conectivo "si..
Robert eshijodeRonny es incompatible con gue Ronny es menor que Robert
escribe p->q (se lee "si p, entonces q" o
entonces..."o expresiones equivalentes. Se
p implica a q").
lera. Proposición (p) C.Ld) 2da. Proposición (q)
ya la segunda (q), mediante el conectivo "ni ... ni .." Se escribe ptq (se lee "ni p ni
V F *).
LF Ejemplo:
F
Ni Juan trabaja, Julia estudia,
C.L. lera. Proposición (p) C.L. 2da. Pròposición (pP)
3.5. DOBLE IMPLICACIÓN o BICONDICIONAL o
La negación conjunta es la negación de la disyunción inclusiva: pq=-(pv q
Es aquella que vincula dos proposiciones (p y q) mediante el
conectivo "sy Cuya tabla de valores de verdad es:
STO expresiones equivalentes. Se escribe
p q (se lee "p si y solo s1 q)
F
Ejemplo:
A Mary se le dará un regalo si ysolo si barre Su cuarto F
V
lera. Proposición (p) C.L. 2da. Proposición (q) ambas
V
La proposición obtenida es llamada bicondicional y es verdadera a / s a .
ESQUEMAS
MOLECULARES
Se puede señalar de la tabla: ~(pvq)apes un esquema Contradictorio, la proposición es
DE
principal de la tabla de verdad
EVALUACIÓN
5. veritativos en la
matriz una Contradicción.
los valores
Según la distribución de 1 autologico, Contingente
o Contradictorio,
ser:
molecular, éste puede 6. ALGEBRA DE PROPOSICIONES
de un esquema
5.1. TAUTOLÓGIcO
verdaderos. Se representa por T 6.1. LEYES LOGICAS
admite únicamente valores
Es aquel cuya matriz principal Ley de idempotencia
Ejemplo: tabla de valores de verdad: a pAp=p_ b) pvpEp
formando su
(P>q) vp, Ley conmutativa
Sea la proposición:
a) PA =9p
(Pq)vp b) pv g qVP
V VV C) pe q= qep
Ley asociativa
V
V VV a)b) PA(qar) (pa)Ar
Pv(gvr)= (p v q) vr
V peqeD= (ptger
la proposición es una
la tabla: (p )vpes un esquema Tautológico, Ley distributiva
Se puede señalar de a)pa(qvr) = (pa q) v (par)
Tautologia. b)pvqr) = (pv q) a (pvr)
c ) p ( q vr) = ( p ) v(p>r)
CONTINGENTE
5.2.
por lo d)p >(qAr) (p-9)A(p>
cotiene menos una
También llamado consistente, aquel cuya matriz principal
| Leyes de D' Morgan
verdad y una falsedad. Se representa por Q. a) (pa g)=~pv q b)>(pvg)=pA~q
Ejemplo: 6 Ley deinvolución (doble negación)
tabla de valores de verdad: |b (p)=p
Sea la proposición: P(paq), formando su
VF a) pyq=(pvg)A-(pAg
5
50
EDWIN ONDORI CHUME
ÁLGEBRAAl ÁLGEBRA EDWIN CONDORI CHUME
8. INFERENCIA LOGICA
Si de una o más proposiciones llamadas premisas se deriva mediante la deducción otra P
proposición llamada conchusión, se ha formado una inferencia.
sS
c)MODUSTOLLENDOPONENS (MTP)
esta Esta
Si laconjunción de las premisas implica lógicamente a la conclusión a
regla de inferencia indica que negando (tollendo) un miembro de la disyunción
denomina inferencia lógica. inclusiva se afirma (ponens) el otro miembro.
Ejemplo: a) pvg b) pvg
Si hoy llueve, no juego -Premisas P
Hoy llueve d) LEY DE LA CONJUNCION (LC)
:. No juego FConclusión P
Lo que puede ser representado:
P1: Si hoy llueve, no juego PA
P2:Hoy lhueve e) LEY DE LA SIMPLIFICACIÓN (LS)
C: No juego a pAq
b) pAq
Un argumento es la proposición que se forma al unir mediante una condicionai
P
conjunción de las premisas (P) y la conclusión (C).
53
52
EDWIN CONDORI CHUME ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAAI
40. Indicar con VERDAD y FALsO la equivalencia entre conectivas primarias y
LEY DE LA
ADICION (LA) secundarias indicadas: (I/2011)
0
PV9
p (pvq) A(pA~4).V
HIPOTÉTICO (SH) pVq p A q)V (p A~ q).
SILOGISMO
g) LEY DEL
P9 pApA~q.
P ~pAq..
PI
DISYUNTIVO (SD)
pAq= (p/q)/(p/4).. F
SILOGISMO
h) LEY DEL 41. Marcar con V las proposiciones verdaderas y con F las proposiciones falsas. (
pvg /2009)
S
1.2. (peg)(p~9)algnp)
I V
No olvides
PROPOSICIONAL
1.4. pvlanr)l(pvg)a(pvr)
EJERCICIoS RESUELTOS
DE LOGICA
P9 pg)aqnp)p9)algap)=v
V F Son iguales
q={p>g)alq >p)
FV FF V
V FF V V F
F F F V v. F 1.4. pvlgnr)-(ovo)a(pvr)>
V F FF V V V F
v FF F V F F VF F VV vgpvr)pvgalpvr]
V V Son iguales
V F FF F V V F FF F V
8 1.6 -(pvg)»(pa-9)pr~g)»pA~q)=V
VVV F F Son iguales
VVV VVF F
F F ( p a g ) > p - p r g ) v p * - P v - g ) v p - p v p - q =V
V VV V V V V F F V F 1.8.
F F F VN
F VV F F V F F V
F V
F FF V F F V V F F. F F
Contingencia
55
54
OKI CHUME
ÁLGEBRA ÁLGEBRAAI EDWIN CONDORI CHUME
p(pag)--pv{prg)=(-pvp)alpvg)=Va(-pvg)
1.10.
define . F
4ngv-qnp) Distributividad
pvq
No se
Fv-qnp) Negación
42. Simplificar: (pvg)aq>p)l-(pa~a)
Identidad
Solución: 44. Simplificar: -(p>~gvlp>rh-(par)]
pvg)a(-4p>(pa~g)
Solución:
(pvg)n--gvp)>{pn
~
q) Implicación
-(p-g [p->rh-pa]
pvg)alav p)]>(pa~9) Negación
--pv-9v[-pvra-(par) Implicación
pvg)a(pve)>(pa- Conmutatividad
(pagv-pvr)al-pv-)) Negación
(-Papvgl-(pa-9) Distributividad
(pngv-pven--) Distributividad
qalgqvp) ldentidad
57
56
EDWIN CONDORI CHUME ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI
Absorción
p-vpar]a[- pv-rv-pvr)}n P
Negación
P
pavng Identidad
PA Identidad
p
9
58
EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI
q)]}...Absorcion,Conmutatividad
pa-pvI(~pvq)a (p V
pAf~pV[(~pAp)vq]3. Distributividad
51. Demuestre usando el álgebra de proposiciones que:
pAl~pV [FV q]3....Negacion
PApV q.
.
..Identidad (Pq)[(-q)-(-P)]esunatautologia.(W/2012)
Solución:
(pA~p)
v(pAq).. Distributividad
CPAq) Ar]v [(pAr)A~r]] v~qs(/2012) 52. Simplificar: ~q{[~rap)y~ q|n(p Y~ q)} (/2013)
Solución:
Solución: Antes no olvidar que: p Vq = (pA~ q) v (~pa q)
Disyunción exclusiva
Cp Ag) Arl v pa F]] V~as... Negación ~l-TA (pAq)]v [rV~p) A~ql}n l(png) v (-pA~ q))}De Morgan
- n ( p Aq)] v [trn~ q)v(-pA~ q)]}a [(p Ag) V (~pA~ q)}
[CPAg) Ar]vF]v«4-s..Absorción
Distributiva
(p Aq) Ar] v ~q] >s... Identidad
I(pAqar)V~q] > s... Asociatividad
v{lCrA~q)v(~pA~ q]A [(png) v (~pA~q)]}
Distributiva
(pV-) A(q V~q) a (rv ~q)] » s.. Distributividad
{ t r a (pag)n[(paq) v (~pA~q)]} v{lra9)a(prq)v(-p~ 9))}
(pV~q) AVA(rV~q)]>s... Negación
Distributiva, Conmutativa
Vs ... Negación
VVs...Implicación 61
60
EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI ALGEBRAI
EDWIN CONDOI I CHUME
Solución:
=p Z,=p
p-9nrs)-[par)->lans)
pA~q
-(-pvg)a-rvs)y-(parlvlan Z,-,
qAP - -pA-9)vlan- p)
pA-gv(a-s}]»[ pv-rvlgns)
54. Escribir la proposición que caracteriza al
siguiente circuito lógico, y simplificar.
pAg
p
Z,-Z,-Z, PA-4)v(an~p) =pAgpr~ g)vlgn-p)}
Solución: P
PAgpn-g)v (qn- p) P
Z,
P {pngyl-pr-a)vlan-P}}ap
pnal pr~g)v(gan-p)l}ap
62 63
Debemos simplificar
(pAgv-pav)}ap Negación
ldentidad
lpng-plnp
(pv-p)alqv-p)^p
Distributividad A B =AAB=(Z, vZ, vZ,)a{Z, vz, n(z, vZ,)]}
Negación
Valgv-P)p Reemplazando: =|(-pa~q)vpvgla{pvlan(-rv-p)l}
Identidad
(gv-p)np -Pvp)a-gvp)va}a {pvlan(-rv- p]}Distributividad,
Distributividad
(anp)v-pap)
Asociatividad
(qAp)VF Negación
al-qv p}va}alpvlan-r}vlqn-p)]} Negación, Distributividad
Identidad
qap
Va-avp)vg}a{lpv(gn- p}y(an-- Asociatividad,
55. Escribir la proposición que caracteriza al siguiente circuito lógico, y
Conmutatividad
simplificar.
P
-gvp)ygl{lpvg)a(pv-p)]y lan~r} Identidad,
P
Distributividad
S
Z,pA~4 qvavpl {l(pva)^vlv(ga-r)}} Conmutatividad,
Solución: Z, P Negación
A B
Z, 4 vpnlpvg)v(qn~)] Negación, ldentidad
Z=P
Valpvlav(an--)} Identidad,
Asociatividad
Z,4
'pvg Identidad, Absorción
Z, v Z
Z, con Z, (paralelo) =
Z, vZ, Z, con Z,
ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ALGEBRAI
EDWIN CONDORI CHUME
P
lav(pag)Vatgv-p) Identidad, Negación
qaqvp)
Absorción, ldentidad
qn-g)v(an~p Distributividad
Fv(gn-pP)
Solución: Negación
B Z,=qAr Identidad
Z, = pvr 57. Escribir la
Z proposición que caracteriza al siguiente circuito lógico, y
simplificar.
Z,
2,Z, Z, ZPA4
p
Z, =pnq
Z, =pA~ Solución:
A'
Z, pAr
Z, con Z Z, nZ
Z, pvg
Con Z , v(Z, nZ,) =
A=Z,v{Z, nZ,)
B: Z z,=rvp
B-,vZ,vZ, Z, = pvr
A B
=AnB=[Z, v(2, nZ,)}A(Z, vZ, v2,) Z, =rv~p
A= Z, nZz AZ, Z, =
B=Z, nZ,
-{lan~r)v[(pvr)^g]}^[pa-g)v(-png)v(-pa~) A
Man-r)vpagvrng}a{pn-gvEpa(qv-9) Distributividad,
B
Z
Asociatividad (4vB)nZ, =z, nz, ^z,)v{z, nz,)az,
rAgvrng)v(pag}n{pn~g)v(- paV} Asociatividad, Negación
66 67
ÁLGEBRAI EDWIN cONDORI CHUME
ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
(pvg)-pva) Identidad Elcircuito equivalente(alinicio) de {(p A~4) v(q A~p)V (pA~q)}v lg] es:
Distributividad
(PA P)vq
Complemento P
Identidad
68
EDWIN CONDORI CHUME ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRAI
pAl-Palrv -p)]v[(p>q)nlqvp)}(/2015) 1) 9 P
2) -t
Solución: 3) pvr
Para el circuito equivalente, se desarrolla la implicación.
4)-t
Solución:
pl-pa(rv-p)]v[(-pvg)a(qvp)
1) qPP
.
'
2) t 't/n6g;9'
3) pvr
P 4)9t
P ---------------
71
62. Demostrar: r
70
EDWIN CONDORI CHUME EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRA I ÁLGEBRAI
a) p con el cuñado del único hijo de la abuela materna del único hijo de Luisa
b) qV~r Hijo de Luisa
d) t r Hemano de Luisa
uc Luisa
Que relación de parentesco existe entre la madre del hermano de la esposa del padre del nieto
nieto de Luis8
hijo de Luisa
nuera de
convemo de Lusa
consucgra de Luisa
73
ÁLGEBRA DE BOOLE
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA DE BOOLE
matemático inglés autodidant
honor a George Boole (1815-1864),
Se denomina así en
fe
de un sistema logico. El álgebra de Boole
68. Aplicando las leyes de Boole simplificar y construir su circuito
definirla como parte
que fue el primero en
de la 1ógica lógico.
técnicas algebraicas para tratar expresiones
intento de utilizar las
un
En la actualidad, el álgebra
de Boole se aplica de forma generalizada el en
proposicional.
ámbito del diseño electrónico. Flxy,zu)-x+|07}-d)j+xu X, y,2,u E 0,1}
EQUIVALENTET
N Fx,y,z,u)= x+u+y+z: Identidad
CONTACTOS
Fx,y,z,u)=x+y+u+Z-u
Z-a+b
Idempotencia: a+a=a, a a a
74
EDWIN CONDORI CHUME ÁLGEBRAI EDWIN CONDORI CHUME
ÁLGEBRA
La grafica de la F(x,y,z,u)=x+y+u (A+B).C(A+B)(c+D)+ B Complemento
X+y+U
A-C+A C+B-C+B-C+B.C+A D+BD Conmutatividad
A-C+C)+B-C+B(C+)+(A+B).DDistributividad
A-1+B-C+B-1+(A+B) D Complemento
69. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las propiedades del A+B+(A+B).D+B.C Identidad
algebra de Boole.
A+B+B-C Absorción
a)A+B.C+A+B+C+D-C.B
A-(B+B)-(B+C) Distributividad
absorción