Escuela San Ignacio Calera de Tango

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y MATEMÁTICA

SÉPTIMO
Coordinador: Fernando Cortés .
Primer Semestre 2021

GUÍA – CONJUNTO NUMÉRICOS – NÚMEROS ENTEROS.

Nombre: Curso: 7° Fecha: / /

¿CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS?

El conjunto de los números enteros surge como una necesidad de llenar algunos vacíos que existían al
trabajar con los naturales: resolver sustracciones donde el minuendo es menor que el sustraendo, expresar la
pérdida de dinero en un negocio, señalar temperaturas bajo cero, indicar las profundidades bajo el nivel del
mar, entre otros.

El hombre visto en la imposibilidad de realizar algunas restas, crea el conjunto de los números negativos, los
que en su principio se conocían como <<números deudos>> o <<¡números imposibles!>>. Por otro lado, el
número 0 apareció en Mesopotamia hacia el siglo III AC, ubicándolo como un dígito sin contenido, una
referencia para diferenciar las cantidades positivas (a la derecha del cero) de las negativas (a la izquierda del
cero).

Es así que el conjunto de los números enteros por extensión puede escribirse como:

{… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

El conjunto de los números enteros se denota por la letra ℤ, el cual se conforma de la unión de tres
subconjuntos ℤ− 𝖴 {0} 𝖴 ℤ+. Además debemos tener presente que ℤ+ = ℕ.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA.

Los números negativos se consideran como los opuestos de sus simétricos positivos y viceversa. Es así que:

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Para ordenar los números enteros se pueden considerar las siguientes aseveraciones:

- Todo número entero a la derecha del cero en la recta numérica, es positivo.

- Todo número entero a la izquierda del cero en la recta numérica, es negativo.
- Todo número entero que esté a la derecha de otro en la recta numérica, es mayor que él.
- Todo número entero que esté a la izquierda de otro en la recta numérica, es menor que él.
- Todo número negativo es menor que cero.
- Todo número positivo es mayor que cero.
- Todo número negativo es menor que cualquier número positivo.

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ACTIVIDAD 1.
Escribe en el recuadro vacío la respuesta a cada ejercicio utilizando el símbolo < o > en cada caso.

a) Ordena en forma creciente los siguientes números.

6 ; −2 ; −10 ; −9 ; 5 ; 0 ; −1 ; 1

b) Ordena en forma creciente los siguientes números.

−63 ; 0 ; 78 ; −123 ; −29 ; 1 ; −1 ; −12 ; 65 ; −93 ; 17

c) Ordena en forma decreciente los siguientes números.

−978 ; −798 ; −576 ; −788 ; −654 ; 0

d) Ordena en forma creciente los siguientes números.

546 ; −756 ; −3.745 ; −36.574 ; 564 ; 3.754 ; −765 ; −36.457 ; −3.457 ; 0

e) Si 𝑎 ∈ ℤ, ordena de menor a mayor las siguientes expresiones.

𝑎 − 9 ; 𝑎 ; 𝑎 − 7 ; 𝑎 + 5 ; 𝑎 − 17 ; 𝑎 + 30 ; 𝑎 − 1

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VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de un número entero se define como la distancia en unidades de dicho número con respeto
al cero.

𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ
|𝑎| = { −𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ∈ ℤ

Ejemplos:
|7| = 7
|−7| = −(−7) = 7

Como se observa en el ejemplo, el valor absoluto corresponde a una distancia, por lo tanto siempre será
positivo.

ACTIVIDAD 2.
Completa las siguientes oraciones sobre los números enteros.

a) El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra _.

b) Los números negativos se encuentran a la del cero.

c) Los números positivos se encuentran a la del cero.

d) El número 2.345 es que el número –5.489.

e) El número 0 es que el número –267.

f) |−24| es |24|.

g) |−15| es 0.

h) El antecesor de –9 es _ el sucesor de –11.

i) El antecesor de –15 es el sucesor de –14.

j) |−15| es |−20|.

k) El conjunto de los enteros se forma por tres subconjuntos: .

l) El conjunto ℕ = .

m) El valor absoluto de un número es la entre dicho número y el cero. Por lo

tanto, el valor absoluto de cualquier entero es siempre .

OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS.

El conjunto de los números enteros se define bajo dos operaciones, las que definen la estructura de un Anillo
conmutativo.

Es decir (ℤ, +, ×) es un Anillo conmutativo:

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(ℤ, +) es un grupo abeliano.
(ℤ, ×) cumple con la clausura, asociatividad,elemento neutro y conmutatividad.
(ℤ, +, ×) cumple la distributividad de × sobre +.

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1. Adición: La adición de números enteros define cuatro casos posibles:

ℤ+ + ℤ+
ℤ+ + ℤ−
ℤ− + ℤ+
ℤ− + ℤ−

Para sumar dos números enteros se puede realizar por dos métodos:

a) Utilizando una recta numérica: tomando como referencia el cero, sabiendo que las cifras
positivas representan unidades a la derecha y las negativas a la izquierda, moverse tantos espacios
a la derecha o izquierda como indiquen los sumandos de la suma.
Ejemplos:
(−3) + 5 = +2

b) Utilizando el concepto de valor absoluto:

- Para sumar dos enteros con el mismo signo, hay que hallar la suma de sus valores absolutos,
acompañando la suma con el signo de los sumandos.
Ejemplo:
5 + 3 = +(|5| + |3|) = +8
(−5) + (−3) = −(|−5| + |−3|) = −8

- Para sumar dos enteros con diferente signo, hay que hallar la diferencia de los valores
absolutos (Mayor valor absoluto – Menor valor absoluto), acompañando el resultado con el
signo del entero que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo:
(−5) + 3 = −(|−5| − |3|) = −2
5 + (−3) = +(|5| + |−3|) = +2

Propiedades de la Adición de enteros.

Los enteros con la adición definen las propiedades de:

a) Clausura: La suma de dos enteros siempre es un

entero. Ejemplo:
(−5) ∈ ℤ , 2 ∈ ℤ ⟹ (−5) + 2 = −3 ∈ ℤ

b) Asociatividad: Si sumamos más de dos enteros, el orden de agrupar los sumandos no altera la
suma.
Ejemplo:
(−5) ∈ ℤ , 2 ∈ ℤ , (−3) ∈ ℤ ⟹ ((−5) + 2) + (−3) = (−5) + (2 + (−3))

c) Elemento Neutro Aditivo: para todo número entero, existe un único entero que sumado con
cualquiera de los números, da como resultado el mismo número entero. En el conjunto de los
números enteros, el Cero es el Elemento Neutro Aditivo.
Ejemplo:
(−7) ∈ ℤ , 0 ∈ ℤ ⟹ (−7) + 0 = 0 + (−7) = (−7)

d) Elemento Inverso Aditivo: Cuando se suman dos números con signos opuestos pero igual valor
absoluto el resultado es cero y se considera que uno es el inverso aditivo del otro.
Ejemplo:
10 ∈ ℤ , (−10) ∈ ℤ ⟹ 10 + (−10) = (−10) + 10 = 0

e) Conmutatividad: el orden de los sumandos no altera la suma.

Ejemplo:
10 ∈ ℤ , (−90) ∈ ℤ ⟹ 10 + (−90) = (−90) + 10
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ACTIVIDAD 3.
Resuelve la suma de enteros utilizando la recta numérica.

ACTIVIDAD 4.
Resuelve la suma de enteros utilizando el concepto de valor absoluto.

a) −5 + 12 =

b) −18 + 7 =

c) −9 + −9 =

d) 15 + 9 =

e) −12 + −7 =

f) 8 + −4 =

g) −14 + −23 =

h) −12 + −17 + 21 =

i) 34 + 45 + −18 + −32 =

j) 2 + 3 + 11 + −7 + −21 =

Observación:
La sustracción no es una operación binaria definida. Para realizar la resta de enteros se debe sumar el
minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplos:
8 ∈ ℤ , (−10) ∈ ℤ ⟹ 8 − (−10) = 8 + 10
(−9) ∈ ℤ , 5 ∈ ℤ ⟹ (−9) − 5 = (−9) + (−5)
7 ∈ ℤ , 10 ∈ ℤ ⟹ 7 − 10 = 7 + (−10)
(−18) ∈ ℤ , (−12) ∈ ℤ ⟹ (−18) − (−12) = (−18) + 12

- La resta de dos enteros resulta un número entero.

- La sustracción de enteros NO es conmutativa.
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ACTIVIDAD 5.
Resuelve cada ejercicio en forma ordenada.

a) |2| + |3| =

b) |−2| + |−3| =

c) 8 − |−3| =

d) |3| − 2 =

e) |−8| + 2 =

f) |−4| − |−5| =

g) Si 𝐴 = −32 + 73 + 94 y 𝐵 = −27 + 62 + 31 + 28 − 72, ¿Cuál es el valor

de 𝐴 + 𝐵?

h) Si 𝐴 = −2 − 35 + 24 + −37 y 𝐵 = −9 − 25 + 17 + −32, ¿Cuál es el valor

de 𝐴 − 𝐵?

i) Si el antecesor de 𝐴 es −95 y el sucesor de 𝐵 es −35. ¿Cuál es el valor de 𝐵

− 𝐴?
j) Un ascensor sube desde el primer piso al quinto piso, baja al segundo, sube al
octavo, vuelve al primer piso, sube al sexto y vuelve al primer piso. Si cada
piso tiene 3 metros de altura, ¿Cuántos metros recorrió el ascensor?

k) En un colegio hay 370 mujeres y 510 hombres. Si al final de año se cambian

de colegio 18 hombres y 13 mujeres, y se matricularon 12 hombres y 30
mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habrán el próximo año en el colegio?