Unidad 1 - 3ro Nat 2022 - Funcion Lineal

Funciones: Definición y características
Una función es una relación entre dos magnitudes (magnitud es cualquier fenómeno, situación u
objeto que se pueda medir o contar) llamadas variables en donde a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la segunda.
A estas variables, en general, las llamaremos x e y. Una será la variable independiente y la otra la variable
dependiente.
Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable
independiente en una función se suele representar por x. La variable independiente se
representa en el eje horizontal (de abscisas). Una variable dependiente es aquella cuyos valores
dependen de los que tomen otra variable. La variable dependiente en una función se suele
representar por y. La variable dependiente se representa en el eje vertical (de ordenadas). La
variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.
Recuerden que para que una relación sea función a cada valor de x le corresponde un único (sólo uno) valor de y.
Diferentes expresiones
Como hemos visto, las funciones se pueden expresar de diferentes maneras: con palabras, con una tabla, un
gráfico o una fórmula.
Para completar una tabla debemos reemplazar cada valor de “x” en la fórmula y resolver las operaciones. El
resultado es ese único valor de y para cada x.
Luego ubicamos cada par de valores (x e y), llamado par ordenado, en un sistema de ejes coordenados,
unimos esos puntos, si es posible y obtenemos el gráfico.
Ejemplo: Las siguientes funciones están expresadas de diferentes maneras:

Intervalos de crecimiento. Raíces. Máximos y mínimos de una función
FUNCIÓN LINEAL
Existen diferentes clases de funciones que se definen a partir de las operaciones que
acompañan a las variables. Vamos a trabajar con un tipo de función a la que denominamos
función lineal
Luego se unen los puntos marcados.
Actividad 1:
1°) Completen las tablas y grafiquen cada recta.
Cuando no aparece el número b, como en los ejercicios a) y b), se debe a que la ordenada
al origen es “cero”.
2°) Completen con los signos de la pendiente y la ordenada al origen de cada función anterior:
Resumiendo:
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES
Las funciones a menudo sirven para describir fenómenos cotidianos, físicos, económicos,
psicológicos, científicos, etc.
A través de su fórmula podemos predecir en cierta manera el comportamiento de esos
fenómenos.
Veamos un ejemplo de función lineal en la vida cotidiana:
Ejemplo: En cierta ciudad, por el alquiler de un coche cobran 100 € más 0.30 € por
kilómetro.
Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el costo total con el número de kilómetros y
elabora la gráfica.
Esta situación se trata de una función ya que aparecen en ella dos magnitudes, el costo
total del alquiler y los kilómetros recorridos, donde el costo total depende de los kilómetros.
Para expresarla a través de una fórmula, primero debemos definir las variables.
x: (variable independiente) kilómetros recorridos
y: ( variable dependiente) costo total del alquiler (que depende de lo recorrido).
Tendremos entonces que, el costo total del alquiler será el costo de 100 € más 0,30 € por la
cantidad de km recorridos.
En símbolos: y = 100 + 0,30 . x
y así queda armada nuestra función que es una función lineal.
Para elaborar su gráfica podemos hallar algunos puntos usando la fórmula:
Y trazar la gráfica.
Actividad 2
1°)
2°)
Gráfica con Pendiente y ordenada al origen
Ejemplo 1: y = 3x – 2 ► b = - 2 y m = 3, m en realidad es .
La pendiente siempre será una fracción que representa:

Para graficar usándolas:
1ro: ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2 (como es negativa, irá debajo del
eje x).
2do: Usamos el numerador de la pendiente: subimos 3 unidades porque la pendiente es

positiva (+)
3ro: Usamos el denominador de la pendiente (1): Nos corremos una unidad a la

derecha.
4to: unimos los dos puntos, el de la ordenada y el punto al que nos llevó la pendiente.
Ejemplo 2: y = - 2x + 4 ► m = - 2/1 y b= 4
1ro: ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4
2do: como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades
3ro: Nos corremos una unidad a la derecha
4to: unimos los dos puntos, el de la ordenada y el punto al que nos llevó la pendiente.
Ejemplo 3:
Actividad 3:
Representen las siguientes funciones lineales usando pendiente y ordenada al origen:
Determinar a partir de la gráfica si las funciones son crecientes o decrecientes.

Observar cada par de funciones representadas en un mismo sistema de coordenadas.
¿Cómo resultan las rectas en cada caso? ¿Qué características tienen las pendientes?
¿Qué conclusión puedes sacar?
Las rectas paralelas ( //) no se cortan, es decir que no tienen ningún punto en común y tienen la misma
dirección o inclinación, es decir, pendiente.
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos rectos.
Rectas secantes: son aquellas rectas que se cortan en un punto.
Pueden ver:
https://www.youtube.com/watch?v=tSufGpypY30 (Intercepto en y es lo mismo que ordenada al origen)
https://www.youtube.com/watch?v=Htb4qomYzNM (hasta 1:40 )
Actividad: (En clase)

1) Señalar rectas paralelas y perpendiculares.
2)Determinar qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o secantes.
a) y= 2x + 4 c) y= 2x -1 e) y = 3x -5
−1 1 −2
b) y = x+3 d) y = x -1 f) y = x+1
2 3 3
3) Armar dos ecuaciones paralelas, dos perpendiculares y dos secantes a las siguientes rectas:
Ecuación Paralelas Perpendiculares Secantes
y = 4/1x + 9
Y = -5x -1
y= 3/4x + 3
Trabajo práctico:
Actividad 1) Graficar las tres funciones en el mismo gráfico usando la pendiente y la ordenada al origen.
Actividad 2)
Actividad 3)
Actividad 4)
Actividad 5)
Escribir la ecuación de las siguientes rectas sabiendo que la recta a) tiene pendiente 2, es paralela a la
recta b) y perpendicular a c)
Actividad 6) Observa el gráfico y señala cuál de las fórmulas corresponde a cada función
Ecuaciones de la recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden representarse de manera adecuada por medio
de rectas. Una característica de las rectas es su “inclinación”. Para medir la inclinación de
una recta usamos la noción de pendiente. En la figura 1, conforme nos movemos a lo largo
de la recta L, de (1;3) a (3;7) (que son los puntos marcados), la coordenada y aumenta de 3
a 7. La tasa promedio de cambio de y con respecto a x es la razón:
Definición de Pendiente
https://www.youtube.com/watch?v=xeZElTAyMOk
https://www.youtube.com/watch?v=ULxjPNTiAZ8
La función lineal, se expresa simbólicamente a partir de una ecuación.

Existen diferentes formas de la ecuación de la recta de acuerdo a los elementos de los cuáles
surge o de la información que nos brinda.
Ecuación pendiente- ordenada al origen
Una ecuación lineal puede expresarse en la forma y = mx + b. En esta ecuación, x e y son

coordenadas de un punto, m es la pendiente y b es la ordenada al origen, es decir la
intersección en y. Ya que esta ecuación describe una recta en términos de su pendiente y su
ordenada, se dice que está en su forma pendiente-ordenada al origen.
Con ella hemos estado trabajando. También se la conoce como ecuación ordinaria o explícita de
la recta.
Ecuación punto - pendiente
En este caso conocemos la pendiente de la recta y un punto cualquiera que está en ella.
Usamos la siguiente fórmula para escribir la ecuación en su forma punto- pendiente.
m es la pendiente y p el punto
Ejemplo: Partimos de la fórmula y conocemos la pendiente y un punto.
m=½ p = (6, 2) y - y₁ = m.(x - x₁)
Y – 2 = 1/2 (x – 6) Reemplazamos y tenemos la Ecuación punto - pendiente
Y – 2 = 1/2x -1/2.6 aplicamos propiedad distributiva
Y -2 = 1/2x - 6/2 y -2 = 1/2x -3
y = 1/2x -3+2 el -2 pasa sumando

y = 1/2x -1 Ecuación pendiente-ordenada al origen
Ejemplo: m= 3 p(-1,6)
y - 6 = 3.(x- (-1)) y-6= 3.(x+1) Ec punto- pendiente
y - 6 = 3x + 3
y = 3x +3 +6 y = 3x + 9 Ec. Pendiente- ordenada al origen
Si conocemos un punto cualquiera que llamaremos de forma general y la pendiente m de

una recta, podemos encontrar una ecuación cuya gráfica sea esa recta.
Otros ejemplos: https://www.youtube.com/watch?v=fQT_v2p71aA

https://www.youtube.com/watch?v=7o7nT2nu1mk
Usaremos la ecuación llamada punto - punto:

Otro ejemplo : https://www.youtube.com/watch?v=pavmh_Dh8TI
RESUMIENDO:
Actividades:
Resolver los siguientes problemas: (tener en cuenta que los datos que se brindan, permiten obtener dos
puntos o un punto y pendiente para poder armar la ecuación).
2) 3 kilos de peras con han costado $210, y por 7 kilos, habríamos pagado $ 490.
a) Encuentra la ecuación de la recta que da el precio total y, en función de los kilos comprados x.
b) ¿Cuánto costarían 4,5 kilos de peras?
3) Un determinado día, Ana ha pagado $204 por 3 dólares, y Álvaro ha pagado $476 por 7 dólares.
a) Halla la ecuación de la recta que da el precio en pesos $: y, de x dólares.
b) Represéntala gráficamente.
c) ¿Cuánto habríamos pagado por 15 dólares?
4) Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $250 por la visita, más $ 150 por cada hora de
trabajo.
a) Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total: y, en función del
tiempo que esté trabajando x.
b) Representa gráficamente.
c) ¿Cuánto cobraría si estuviera trabajando 5 horas?

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Funciones: Definición y características

Ejemplo: Las siguientes funciones están expresadas de diferentes maneras:

Luego se unen los puntos marcados.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES

Gráfica con Pendiente y ordenada al origen

La pendiente siempre será una fracción que representa:

2do: Usamos el numerador de la pendiente: subimos 3 unidades porque la pendiente es

3ro: Usamos el denominador de la pendiente (1): Nos corremos una unidad a la

1ro: ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4

2do: como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades

3ro: Nos corremos una unidad a la derecha

Determinar a partir de la gráfica si las funciones son crecientes o decrecientes.

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos rectos.

Rectas secantes: son aquellas rectas que se cortan en un punto.

Actividad: (En clase)

La función lineal, se expresa simbólicamente a partir de una ecuación.

Ecuación pendiente- ordenada al origen

Una ecuación lineal puede expresarse en la forma y = mx + b. En esta ecuación, x e y son

Ecuación punto - pendiente

Ejemplo: Partimos de la fórmula y conocemos la pendiente y un punto.

m=½ p = (6, 2) y - y₁ = m.(x - x₁)

Y – 2 = 1/2 (x – 6) Reemplazamos y tenemos la Ecuación punto - pendiente

Y – 2 = 1/2x -1/2.6 aplicamos propiedad distributiva

Y -2 = 1/2x - 6/2 y -2 = 1/2x -3

y = 1/2x -3+2 el -2 pasa sumando

y - 6 = 3.(x- (-1)) y-6= 3.(x+1) Ec punto- pendiente

Si conocemos un punto cualquiera que llamaremos de forma general y la pendiente m de

Otros ejemplos: https://www.youtube.com/watch?v=fQT_v2p71aA

Usaremos la ecuación llamada punto - punto:

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