5to Mate

MINISTERIO
DE EDUCACIÓN
Primer Trimestre Matemática
CIENCIA TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN

Matemática
APLICACIÓN DE LAS PROGRESIONES

EN LA COTIDIANIDAD
¡INICIEMOS DESDE LA PRÁCTICA!
Depreciación
Dejando a un lado los casos en que un objeto adquiere valor pre-
cisamente a causa de su antigüedad y rareza, todo bien (vehículos,
casas, maquinarias, equipos de computación, etc.) va disminuyendo
de valor año a año debido al desgaste, la desactualización y el enve-
jecimiento. A este proceso se denomina “depreciación”. Al final de
su vida útil (el tiempo en que puede ser utilizado y aprovechado) un
bien tiene un valor que se conoce como “valor en libros”.
Actividad 1
1 Un bus de transporte interdepartamental es adquirido en $us 130 000. El ritmo de

depreciación es de 7% el primer año, 6,5% el segundo, 6% el tercero y así sucesivamente,
porcentajes calculados sobre el costo original del vehículo. ¿Cuál será su valor en libros al
cabo de sus 12 años de vida útil?
2 Construyamos la tabla en el cuaderno de ejercicios y completemos los datos faltantes:
Año 0 1 2 3 4 …
% de depreciación - 7% 6,5% 6%
Depreciación - 9 100 8 450 7 800
Valor al final de año 130 000 120 900 112 450 104 650
3 Respondemos las siguientes preguntas en el cuaderno de ejercicios:

1. ¿Qué porcentaje va depreciándose cada año?
2. ¿Qué precio tendrá el autobús al cabo de 10 años?
3. ¿Qué entiendes por la palabra sucesión?
¡CONTINUEMOS CON LA TEORÍA!
1. Progresiones y sucesiones
Una sucesión {an} es un conjunto ordenado de números: a₁,a2,a3,…,an donde a cada uno de ellos se los denomina como término de la sucesión.
En una sucesión a1, a2, a3,…, el subíndice indica la posición del término. Así, por ejemplo, a5 es el quinto término y an 121
es el término n-ésimo de la sucesión.
Formas de determinar una sucesión.
La fórmula directa (llamada también fórmula del término general) indica cómo hallar un término cualquiera de una
sucesión conociendo el lugar que el término ocupa.
Educación Secundaria Comunitaria Productiva
La fórmula recursiva indica cómo hallar un término a partir del término anterior.
Actividad 2: Nos familiaricemos con algunas sucesiones. Descubre el patrón de
cada sucesión y escribe al menos tres términos siguientes:
Ejemplo 1: Calculamos a) b)
Actividad
Desafío 3 los 5 primeros términos
Calculamos los primeros 5 de cada sucesión a partir
términos de cada sucesión, de la fórmula directa.
dada la fórmula directa.
La sucesión formada
es: La sucesión formada es:
1, 3, 5, 7, 9, …
Ejemplo 2. Encontramos la fórmula directa de las siguientes sucesiones:
Ejemplo 3. Encontramos la fórmula recursiva de las siguientes sucesiones:
Actividad 4 Sumatorias y sus propiedades

Desde el punto de vista de la matemática,
Calculamos los primeros 5 la sumatoria o sumatorio se emplea para
términos de cada sucesión,
representar la suma de varios o infinitos
dada la fórmula recurrente. : son los elementos del conjunto. elementos de un conjunto de números.
La expresión indica dónde Esta operación se representa por la letra
empieza la suma. griega Sigma (Mayúscula) "Σ" la cual
iremos detallando a continuación:
: el número de elementos a tomar en
cuenta, donde termina la sumatoria.
Ejemplos:
122 Tu turno:
a) b) c) d)
Propiedades de la sumatoria
Sumatoria de una Sumatoria de una constante de Sumatoria de una suma o de una
constante una sucesión diferencia
Progresiones aritméticas P.A.

Una progresión aritmética (P. A.) es aquella en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior
una cantidad constante d llamada diferencia.
Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3:

Determinamos
Determinar loslos elementosdedelalaP.P.A.:
elementos A.: Calcular eleltrigésimo
Calculamos trigésimo quinto
quinto Una P.A. tiene 85 términos. Si los tres
término de la P.A.: últimos términos son .
Calculamos el 1er
Calcula el 1er término.
término.
Utilizamos:
La diferencia es posible calcular
restando algún término de la P.A. con
su término anterior.
Utilizamos:
Para pensar un poco

El General Irahola decide formar su tropa en forma de
triángulo de tal manera que la primera fila tenga un soldado,
la segunda dos, la tercera tres, y así sucesivamente. Si hay
1 225 soldados, ¿cuántas filas puede formar?
Ejemplo 4: Ejemplo 5: 5:
Ejemplo Ejemplo 6:
Encuentra
Encontramos los cinco
los cinco primeros
primeros SI: si:
Halla
Halla si si
Hallamos ¿Cuántos términos tiene la
Calculamos la diferencia:
Calculamos la diferencia: sucesión?:
Calculamos los cinco primeros

términos de la sucesión: Encontramos el número de
Calculamos el término
Calculamos pedido:
el término pedido: términos:
123
Interpolación Aritmética
En una progresión aritmética, los términos que se encuentran entre los dos términos extremos dados, a1 y an, se llaman
medios aritméticos entre a1 y an; los términos a1 y an se denominan extremos.
Actividad 5. Resolvemos los Realizar una interpolación aritmética de p términos entre dos números dados significa
siguientes ejercicios: hallar p medios aritméticos entre a y b:
1. Determinar los elementos de la
P. A.:
Ejemplo 1: Ejemplo 2:
Interpola trestres
Interpolamos medios aritméticos
medios aritméticos Interpola seisseis
Interpolamos medios aritméticos
medios aritméticos
2. Calcular el décimo sexto término
de la P.A.:
entre 2 y 14. entre 3 y 38.
3. Una P.A. tiene 35 términos. Si los
tres últimos términos son
. Calcula el 1er Calculamos la diferencia:
término.
4. En la P.A. entre -10 y 5, ubicar 4

Interpolamos:
términos centrales. Interpolamos:
5. En una P.A. el 3er término es 5 y
el 7mo término es 3. Calcula el
10mo término.
6. En una P.A. .
Calcula: , para .
2, 5, 8, 11, 14
Suma de términos equidistantes

En toda sucesión aritmética finita se verifica que la suma de dos términos equidistantes
de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos .
Es decir, en la sucesión se verifica:
Suma de n términos de una sucesión aritmética

Sn=na1+an2 ó Sn=n2a1+n-1d2 Ejemplo 2: LUCHEMOS CONTRA LA VIOLENCIA
Ejemplo 1: Desde que Victoria decidió rehacer su vida después de haberse
En una P.A. de 7 términos, el término central es separado de su pareja por violencia intrafamiliar, abrió una cuenta
18 y el segundo 22. Calcula el 6to y 7mo de ahorros en un banco con , el 2do mes depositó y
términos y la suma para 10 términos. el 3er mes . ¿Cuánto ha ahorrado en un año y medio y
cuánto el último mes?
Calculamos el 6to y 7mo término. Calculamos el último término:
Para saber el monto ahorrado, calculamos la suma hasta
Calculamos la suma para . Calculamos
Respuesta. Victoria ahorró 545 dólares el último mes y 5985 dólares

Actividad 6. durante el año
durante el año yy medio,
medio que demostróque
demostrando quesesepuede
puedesalir
saliradelante.
adelante.
Resolvemos los siguientes ejercicios
1) Encontramos la suma indicada en la siguiente progresión aritmética:

2) Hallamos el número de términos para que 2+8+14+20+...=3640
3) Sobre una recta en el suelo hay una canasta y 30 manzanas distribuidas en la misma recta. La canasta está a
3m de la primera manzana y las manzanas están a 1,5m una de la otra. Una persona parte de la canasta, recoge
la primera manzana y regresa a ponerla en la canasta; hace la misma operación con la segunda manzana y así
124 sucesivamente.
a) ¿Qué distancia ha recorrido al recoger y colocar la vigésima manzana?
b)¿Qué distancia ha recorrido en total al recoger las 30 manzanas?
4) Un dentista arregla todas las piezas de un cliente, por el primer diente cobra Bs 80 y por cada diente después
del primero cobra Bs 7 más que el anterior. Si el cliente tiene la dentadura completa ¿Cuál será el honorario del
profesional y cuánto cobró por el último diente?
Progresiones geométricas P.G.

En una sucesión geométrica cada término (exceptuando el primero) se obtiene multiplicando el término anterior por una
cantidad fija r llamada razón geométrica. La fórmula directa (o término general) es:
Determinar los elementos
Determinamos de la de
los elementos la P.G.:
P. G.: Hallar el primer
Hallamos término
el primer dede
término unauna
progresión geométrica cuyo Ejemplo 3:
quinto término es 432 y su Hallamos
Hallar el número
el número de de términodedelalaP.G.
términos P.G.
razón es 6. donde
La razón es posible calcular dividiendo Utilizamos:

algún término de la P.G. con su
Utilizamos:
término anterior.
Actividad 7. Resolvemos los

siguientes ejercicios Ejemplo 5: Calculemos el término
Ejemplo 4: pedido en cada P.G.
En una progresión geométrica el
1.1. Determinamos
Determinar los los elementos
elementos de
de la P. G.: 2 término y el término
la P. G.: 2
, hallar .
2.2. Hallamos
Hallar de la
de la progresión: Para calcular la razón: Podemos trabajar con
progresión: que puede ocupar el espacio de y Calculamos el décimo término:
que funge como .
3. El 6º término de una
3. El 6º término de una
progresión geométrica es
progresión geométrica es
y la razón . Hallar
y la razón el primer
. Hallamos el Hallamos r con y
término.
primer término.
4.4. En
Enuna
unaprogresión
progresión geométrica, Halla la razón r de una sucesión
geométrica,
y . yHallar geométrica si:
. Hallamos la razón
la razón Hallamos :
5.5. Unhombre
Un hombre trabajó
trabajó durante
durante88
díasyycada
días cada día ganó
ganó de
delolo Hallamos
queganó
que ganó elel día
día anterior.
anterior.SiSiee
8ºdía
8º díaganó
ganó Bs.
Bs. 1.
1. ¿Cuánto
¿Cuánto
ganóel
ganó el primer
primer día?
día?
Ejemplo 2:
Interpolación geométrica Interpolamos
Interpolar 4 4medios
mediosgeométricos
geométricos entre
entre y .
Ejemplo 1:
Realizar una interpolación
Interpolar 3 3medios
Interpolamos geométricos
medios geométricos entre
entre 2 y 162.
2 y 162.
geométrica de p términos entre dos
términos extremos a y b significa Calculamos la razón:
Calculamos la razón:
hallar p términos, x1,x2,…,xp talles
que estos y los extremos formen una
sucesión geométrica. Los términos
interpolados se llaman medios Interpolamos:
Interpolamos:
geométricos.
125
:: 2, 6, 18, 54, 14
::
Suma de términos de una progresión geométrica

Ejemplo 1:
Una persona ahorró bs 128 en el mes de enero, y de ahí
en adelante solo ha podido ahorrar la mitad de lo que
ahorró el mes anterior. ¿Cuánto ha ahorrado en el mes de
octubre y cuánto es su ahorro total?
Calculamos el último término:
Calculamos la suma total:
Rpta. En octubre ahorró apenas 25 centavos y en total

ahorró 255.75 bs.
2. Resolución de problemas del contexto y la tecnología

Actividad 8. Resolvemos los siguientes ejercicios
1. Hallamos la suma de los 5 primeros términos de la progresión:
2. Hallamos la suma de los 10 primeros términos de la progresión:
3. El día lunes gané Bs 2 y cada día después gané el doble de lo que gané el día anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuánto
de lunes a sábado?
4. Si ; calculamos
La leyenda del ajedrez

Una leyenda acerca del origen del ajedrez en la India cuenta que Lhaur
Sessa, el inventor del juego, ante el ofrecimiento del rey Ladava pidió
que se le recompensara entregándole un grano de trigo por la primera
casilla del tablero de ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera
y así sucesivamente. El rey se sorprendió ante la aparentemente mísera
petición y ordenó calcular la cantidad de trigo. Los matemáticos, después
de mucho trabajo, le comunicaron que no estaba en condiciones de
cumplir el pedido de Sessa debido a la exorbitante cantidad de trigo que
se necesitaba. La historia cuenta que Sessa liberó al rey de su promesa y
se convirtió en su consejero. ¿Cuántos granos de trigo pidió Sessa?
Con los datos brindados en la lectura tenemos que: a1 = 1,r = 2,n = 64
Calculamos la suma .
¡Toda la producción de trigo de un siglo no sería suficiente!
Actividad 9. Analizamos y resolvemos el siguiente problema

Te ofrezco un trabajo por el que ganarías Bs 1 el primer día, Bs 2 el
segundo día, Bs 4 el tercero; es decir, cada día ganarías el doble de lo
que ganaste el día anterior, ¿Cuánto ganarías en 30 días de trabajo?,
¿te conviene?, ¿aceptarías el trabajo?
Actividad 10. Resolvamos el siguiente problema

126
Historia familiar
¿Cuántos antepasados tienes en 10 generaciones anteriores?
a1=2 (padres),a2=4 (abuelos),a3=8 (bisabuelos)
¡REALICEMOS LA VALORACIÓN!
Actividad 11. Respondamos las siguientes preguntas:

Formamos grupos sociocomunitarios de tres o cuatro personas para reflexionar y debatir los contenidos desarrollados,
en función a las siguientes preguntas:
− ¿En la leyenda del ajedrez, qué opinión te merece la decisión del rey al aceptar la forma de pago a Sessa?
− ¿En qué aspectos de la naturaleza se observan sucesiones numéricas? Mencionamos al menos tres.
− En el campo de la economía, ¿en qué circunstancias se aplican las sucesiones?
−Valoremos lo maravillosos que pueden ser los números y anotemos dos sucesiones que nos llamaron más la atención.
Formemos un círculo de reflexión para debatir en función al análisis efectuado en cada grupo sociocomunitario.
¡ES HORA DE LA PRODUCCIÓN!
Actividad 12. Elaboremos materiales:

− Elaboremos un cuadro didáctico de la sucesión de Fibonacci, analizando matemáticamente su conformación.
− Construimos un calendario de ahorro (30 días) y proponemos una progresión para llevar adelante el ahorro. (Según
nuestras posibilidades). Calculemos el total de dinero a recaudar al finalizar el mes.
− Socialicemos el calendario de ahorro en nuestras familias incentivandoles a cumplir el reto.
ANÁLISIS COMBINATORIO EN
SITUACIONES CONCRETAS
Actividad 13. Respondamos a las preguntas de acuerdo al caso

Isabel es una niña que nació en pleno confinamiento por la pandemia,
como las restricciones iniciales eran muy rígidas al inicio, su madre no
podía acudir a las tiendas cercanas para adquirir nueva ropa para su
hija. Sólo disponía de 5 poleras, 4 pantalones, 3 pares de calzados. En
equipos de trabajo, determinamos todas las posibles formas diferentes
de vestir a Isabel y respondemos las siguientes preguntas.
- ¿Cuántas son las posibles formas de vestir a Isabel?
- Asumiendo que, a Isabel la deben cambiar 2 veces al día. ¿Para
cuantos días abastece su ropa?
- ¿Cómo se llama el cálculo realizado para determinar todas las
posibles formas de vestir a Isabel?
- ¿En qué otras situaciones es necesario saber todas las posibles
formas de hacer algo?
1. Principios básicos de conteo

El principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa,
entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas. También se le conoce como el principio multiplicativo.
Expresado algebraicamente tenemos: p·q·r·…
Ejemplo: Actividad 14. Resolvamos
¿Cuántos números divisibles por 5 formados por 4 dígitos distintos se pueden formar el siguiente problema
con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, y 5?
Para ir de la ciudad A a
la ciudad B hay cuatro
caminos; para ir de B a C
hay 5 caminos; y para ir de
la ciudad C a la ciudad D hay
tres caminos. ¿Cuántas rutas 127
diferentes se pueden tomar
para ir de la ciudad A a la
ciudad D, pasando por las
Por consiguientes es posible formar 60 + 48 = 108 números. ciudades B y C?
2. Factorial de un número natural y sus propiedades
El producto de 5·4·3·2·1 se suele simbolizar 5! que se lee “cinco Ejemplos: Calculemos:
factorial”.
El factorial de un número natural n se representa por “n factorial” o

“factorial de n” y se define como:
n! = n · (n - 1) · (n - 2) · … · 3 · 2 · 1
Calcula cada una de las siguientes expresiones.
3. Permutaciones simples
Dado un conjunto n de elementos, se llama permutación simple de n
elementos a cualquier agrupamiento ordenado de esos n elementos,
de modo que dos agrupaciones se diferencien solo en el orden de
aquellos.
El número de permutaciones simples de n elementos está dado por:

Actividad 15. Resolvamos
los siguientes problemas Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) · … · 1
1.- ¿Cuántos números distintos
Ejemplos:
de 5 cifras se pueden formar 1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una banca?
con los dígitos 4, 5, 6, 7 y 8?
2.- ¿Cuántos anagramas se 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 maneras
pueden formar con las letras de
Beatriz? ¿Cuántos comienzan 2. Un equipo de futbol de salón tiene 6 jugadores, de los cuales el arquero y un delantero
con la letra Z? son inamovibles ¿de cuántas maneras se puede disponer de los jugadores del equipo?
3.- Orlando tiene un CD
de música de 8 pistas. ¿De
cuántas maneras distintas
podría escuchar su CD en el
modo de “Secuencia aleatoria”
(Random)?
4. Permutaciones con repetición
Si en un conjunto de n elementos uno de ellos se repite n_1 veces, otro se repite n_2
Actividad 16. Resolvemos veces y así sucesivamente, entonces el total de permutaciones está dado por:
los siguientes problemas
1.- Con los dígitos 1, 1, 2, 2, 2, Ejemplo:
3, 3, 3, y 3, ¿Cuántos números
distintos podemos escribir
Calculamos el número de anagramas que pueden formarse con las letras de la palabra
en el sistema de numeración MARA.El número de elementos es 4: n = 4
decimal? La letra A se repite dos veces: n1 = 2
2.- ¿Cuántas señales formadas
por 6 banderines pueden
formarse con un banderín rojo,
uno amarillo, uno verde y tres
azules?
5. Variaciones simples Ejemplos:
Si con las letras de la palabra AMOR construimos secuencias de 1.- ¿Cuántas variaciones se pueden obtener
3 letras (sin repetirlas), ¿Cuántas secuencias podríamos formar? con las letras a, b y c tomadas de 2 en 2?
- Comenzando por A: AMO, AMR, AOM, AOR, ARO y ARM
- Comenzando por M: MAO, MAR, MOA, MOR, MRA y MRO
- Comenzando por O: ……
- Comenzando por R: ……
Una variación sin repetición de n elementos tomados de k en k 2.- Diez personas esperan para subir a un
(donde k≤n) es un grupo ordenado de k elementos distintos que funicular que sólo tiene capacidad para 6. ¿de
cuantas maneras distintas se pueden sentar 6
se pueden formar a partir de los n elementos.
de esas personas en el funicular?
La cantidad de variaciones de n elementos se calcula mediante:
6. Variaciones con repetición

Si con las letras de la palabra AMOR formamos secuencias de 2 letras,
pero de tal manera que pueden repetirse las letras hasta dos veces,
¿Cuántas secuencias podríamos formar?
- Comenzando por A: AA,AM,AO,AR
128 - Comenzando por M: MA,MM,MO,MR, etc.
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k son los distintos grupos ordenados de k elementos,
repetidos o no, que se pueden formar con los n elementos dados.
La cantidad de variaciones con repetición de n elementos está dada por:
VRn,k=nk
Ejemplo:
¿Cuántos números formados por dos cifras podemos obtener con las cifras 1, 2, 3, 4, 5?
n=5
k=2 VRn,k = nk → VR5,2 = 52 = 25 números
7. Combinaciones simples
Se llama combinación de n elementos tomados de k en k a cada uno de los grupos de k elementos que se pueden formar,
sin tener en cuenta el orden en que se pongan los elementos.
El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (Cn,k) es igual al cociente del número de variaciones
(Vn,k) entre el número de permutaciones (Pk = k!). Entonces:
Actividad 17. Resolvemos

los siguientes problemas
Ejemplo:
De siete profesores y diez estudiantes se debe formar una comisión integrada por dos 1.- ¿Cuántos números de 3
dígitos se pueden formar con los
profesores y 4 estudiantes. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar? dígitos 3, 4, 5, 6, 7 si los mismos
Combinaciones de los profesores tomados de 2 en 2: pueden repetirse?
2.- Si se lanzó una moneda 3
veces consecutivas, ¿cuántos
son los resultados posibles?
3.- ¿Cuántos números de 4
cifras que además son múltiplos
Combinaciones de los estudiantes tomados de 4 en 4: de 5 existen?
4.- ¿Cuántas placas de
automóvil pueden fabricarse
utilizando sólo cifras pares?
5.- Sobre una circunferencia
Por el principio multiplicativo: se marcan 9 puntos distintos.
¿Cuántos triángulos se pueden
21 · 210 = 4 410 comisiones posibles construir haciendo que sus
vértices estén situados sobre
8. Números combinatorios esos 9 puntos?
El número de combinaciones (sin repetición) de n elementos tomados de k en k se llama
número combinatorio de n sobre k y se denota mediante
Actividad 18. Resolvamos el

siguiente problema:
Ejemplos:
1. Calculamos el número combinatorio de “7 Sobre 4”. 1.- Calculamos el valor de los siguientes
números combinatorios:
a) b) c)
2.- Desarrollamos las siguientes expresiones
por el Binomio de Newton con números
combinatorios:
2. Calculamos el número combinatorio de “11 sobre 2” a)
b)
c)
3.- Determinamos el 6º término del
9. Binomio de Newton desarrollo de y determina el
Analizando el desarrollo de (a+b)n podemos hacer la siguiente generalización: grado del término resultante.
Ejemplo 1: desarrollamos por el binomio de Newton. (a2+2b)5
Ejemplo 2: determinamos el 6º término del desarrollo de (3x-x^3 )^9 y determina el grado del término resultante.
129
Actividad 19. Realicemos el siguiente ejercicio:

1. En nuestro cuaderno de apuntes anotamos en qué se aplican las permutaciones, variaciones y combinaciones.
2. Anotemos en qué situaciones utilizamos consiente o inconscientemente el cálculo combinatorio.
Actividad 20. Realicemos la siguiente dinamica en aula:

− Formamos equipos de trabajo para plantear desafíos con ejercicios de permutaciones, variaciones y combinaciones.
− Intercambiamos desafíos con entre equipos de trabajo.
− Cada equipo resuelve los desafios asignados y los socializamos en plenaria.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA EN PROCESOS

PRODUCTIVOS Y FENÓMENOS SOCIALES
Actividad 21. Analicemos los siguientes datos e interpretemos la información
Estadísticas del cambio climático muestran que en 2020, la temperatura de la superficie de la tierra era alrededor de
0,98 grados Celsius más cálida que el promedio del siglo XX. En los últimos años, las temperaturas globales han estado
constantemente entre las más calientes registradas.
La anomalía global en la temperatura de la superficie podría ser la causa de

un aumento en el nivel del mar, una disminución del hielo ártico y el creciente
número de catástrofes relacionadas con el clima, incluidas tormentas,
inundaciones y sequías.
Emisiones globales de CO2 relacionadas con la energía, se situaron en

alrededor de 36,44 mil millones de toneladas métricas en 2019, un aumento
significativo desde la era preindustrial. Sin embargo, las proyecciones para
2020 y 2021 muestran una notable reducción de emisiones debido a los
impactos del COVID-19.
La actual tendencia de calentamiento es de particular importancia porque la mayor parte de ella (se estima que más de
un 95%) es el resultado de la actividad humana desde mediados del siglo XX y procediendo a un ritmo sin precedentes
a través de milenios.
La primera gráfica muestra las emisiones globales históricas de CO2 de

1758 – 2020.
• ¿Qué información nos puedes brindar a partir de la 1ra gráfica?
• ¿Qué información nos puedes brindar a partir de la 2da gráfica?
• ¿Qué conocimientos tienes sobre la estadística?
• Menciona en qué situaciones o lugares observas el uso de la
estadística.
1. Definiciones fundamentales de Estadística

La estadística es una rama de las matemáticas que te permite recopilar, organizar y analizar datos según la necesidad que
tengas, por ejemplo: obtener un resultado, comparar información, tomar mejores decisiones, entre muchas cosas más.
Recolección y organización de datos:
• La población de un estudio estadísticos el conjunto de objetos que tienen por lo menos una característica común.
130
• La muestra de un estudio estadístico es el subconjunto de la población sobre la que se realiza el estudio. Los
resultados de la muestra se trasladan a la población.
2. Tipos de variable: cuantitativa (discretas y continuas) y cualitativas
Las características que se estudian en una población se llaman variables. Las variables pueden tomar distintos valores.
Variable cualitativas, sus variables se expresan mediante atributos o cualidades.

Variable cuantitativas, los valores se expresan por números.
• Variable cuantitativa discreta: proviene del conteo, mediante números enteros.
• Variable cuantitativa continua: proviene de la medición, mediante números reales.
3. Tablas de frecuencias y gráficos estadísticos
La frecuencia absoluta de un valor es la cantidad de veces que ese valor es observado. La suma de las
frecuencias absolutas es igual al número total de datos.
La frecuencia relativa de un valor es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos
. La suma de frecuencias relativas es igual a la unidad.
La frecuencia relativa puede también expresarse en porcentaje y así se llama frecuencia relativa porcentual. La suma de
frecuencias relativas porcentuales es igual a 100%.
Ejemplo 1: En un curso de Administración de Empresas, los estudiantes son evaluados cualitativamente con los conceptos
A (el más alto), B, C, D y E (el más bajo). Las evaluaciones obtenidas son las siguientes:
a) Construye una tabla con las frecuencias relativa y absoluta

b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron la calificación A?
R.- �A=7, la obtuvieron 7 estudiantes.
c) Sabiendo que la calificación mínima de aprobación es la calificación C,
¿Cuántos estudiantes están reprobados?
R.- sumamos las frecuencias absolutas de D y E:
�D+�E=4+5=9
9 estudiantes están reprobados.
- Frecuencia absoluta acumulada (�i ) de un valor xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o
iguales que xi.
- Frecuencia relativa acumulada (Hi ) de un valor xi es la suma de las frecuencias porcentuales de los valores menores
o iguales que xi.
Ejemplo 2: De la actividad anterior construyamos la tabla de frecuencias:
Tabla 2
Distribución de frecuencias para datos agrupados

Cuando la variable es continua o cuando se recogen muchos datos distintos, es conveniente agrupar los distintos valores
que toma la variable en conjuntos de valores que se llaman intervalos o clases, usualmente de la misma amplitud.
Ejemplo 3: la tabla muestra los salarios semanales (en Bs.) de 40 estudiantes de un lugar de comida rápida. Elabora una
tabla de frecuencias con las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
Tabla 3 Tabla 4
131
Actividad 22. Los datos corresponden a los impuestos de vivienda (en Bs.) que
40 personas, elegidas al azar pagan anualmente.
a) Organiza los datos en orden decreciente:
b) Determina una amplitud de intervalo conveniente y agrupa los datos en
una distribución de frecuencias con intervalos.
c) ¿Cuál es el intervalo que contiene los montos más comunes de
contribuciones fiscales? ¿Cuál es su frecuencia relativa porcentual? ¿Y cuál
frecuencia relativa porcentual acumulada hasta ese intervalo?
Diagrama de barras, histograma y polígono de frecuencias

El diagrama de barras se utiliza para representar variables
cualitativas o cuantitativas discretas.
En el eje horizontal se indican los valores de la variable y,
esos puntos, se levantan barras verticales de altura igual a
las frecuencias que vamos a representar. Cada valor de la
variable x, y se frecuencia absoluta �i determinan un punto
(xi, �i ).
Si los puntos (xi, �i ) se unen mediante segmentos resulta
una línea poligonal que se llama polígono de frecuencias.
El histograma se utiliza para representar variables

cuantitativas continuas cuyos valores se agrupan en
intervalos.
Sobre el eje horizontal se indican los intervalos y se levantan rectángulos de base la amplitud del intervalo y la altura la
frecuencia. La línea poligonal que une los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo es el polígono de
frecuencias. Completando la curva poligonal aumentando un punto de frecuencia cero ubicado de manera equidistante en
cada extremo de la escala horizontal.
Para elaborar un histograma, trazamos los rangos en el eje

horizontal y graduamos hasta el valor máximo el eje vertical.
Trazamos las barras que indican el valor sin dejar espacios
entre barras.
Para trazar el Polígono de frecuencias se debe unir con línea
poligonal los puntos medios del borde superior de cada barra
del histograma.
1.- Música. Los datos corresponden a las preferencias musicales

que los jóvenes de una muestra manifestación en una encuesta
telefónica. Elabora un diagrama de barras y un polígono de
frecuencias.
a) Elaboramos una tabla de frecuencias.
b) Elabora un diagrama de barras de los datos mostrados.
2. - Educación. La siguiente tabla muestra las notas de 30 estudiantes

que obtuvieron en una evaluación sobre 60 puntos. La nota mínima
de aprobación es 30.
a) Elabora una tabla de frecuencias con datos agrupados en
intervalos. Usa una amplitud conveniente.
b) ¿Cuál es el porcentaje de aprobados? ¿Cuál el de reprobados?
c) Elabora un histograma y polígono de frecuencias.
Gráfico de sectores o gráfico circular

132 En estos gráficos se representa un conjunto de cantidades que sumadas correspondientes al 100% de una población o
una muestra.
Ejemplo: Representa mediante un gráfico circular o de sectores las frecuencias correspondientes a los votos válidos,
blancos y nulos del referéndum sobre la extensión máxima de la propiedad agraria, realizado en enero de 2009.
4. Medidas de tendencia central

En la mayoría de los casos, el conjunto de datos obtenidos, ya sea de una muestra o de una población, tienden a reunirse
alrededor de un valor central. De esta manera, es posible obtener un valor típico o representativo de todo el conjunto de
datos, el cual se denomina medida de tendencia central
Media aritmética: La media aritmética es la medida de tendencia central más utilizada y la de mayor representatividad
en los análisis estadísticos. Representa el promedio del conjunto de datos de la muestra. Su cálculo se realiza con la suma
de todos los valores de los datos, dividida entre el número de datos que componen la muestra.
Mediana: La mediana Me en un conjunto de datos es el valor que ocupa el lugar

central, de tal forma que aquel valor deja el 50% de las observaciones por debajo
de él y el otro 50% por encima de él
Moda: En la vida cotidiana se escucha la expresión “está de moda” cuando

algo se observa o se presenta repetidamente. En estadística, el concepto de
la moda no se aleja de esta apreciación y, efectivamente, se denomina moda
de un conjunto de datos al valor que más se presenta, es decir, el atributo
o el valor de mayor frecuencia. La moda se representa por Mo y puede ser
aplicada a las variables cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.
Actividad 23:
1.- Calculamos la media aritmética, mediana y moda de la siguiente serie de datos:
2.- La tabla muestra las temperaturas registradas en Trinidad durante las horas de sol de un cierto día.
Calcula la temperatura promedio del día durante las horas de sol, la mediana y moda.
3.- Las edades en cm, de 25 estudiantes son: 158, 160, 168, 156, 166, 158, 160, 168, 160, 168, 158, 156, 164, 162, 166,
164, 168, 160, 162, 162, 162, 158, 156, 166, 160.
Realiza un recuento de datos y construye una tabla de frecuencias. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda.
5. Cuartiles, deciles y percentiles

Cuartiles:
Los cuartiles (Qk) son valores que fraccionan la distribución de los datos en cuatro partes iguales. Existen tres cuartiles y
cada una de las partes representa un 25% de los datos.
El cálculo de los cuartiles se realiza mediante el siguiente procedimiento:
1. Ordenar los datos de forma ascendente.
2. Calcular la posición con la ecuación: Donde K es el número del cuartil (k = 1, 2, 3) y n
el número total de datos.
3. Si i no es un número entero, se debe redondear al entero siguiente y el valor que ocupa esta posición será el cuartil
requerido. Si i es un número entero, el cuartil es el promedio de los valores i,i+1.
Ejemplo: La talla de los neonatos prematuros nacidos en los partos durante una
133
noche en un hospital fueron: 40, 37, 29, 31, 32, 38, 38, 38 cm.; para el cálculo de los
cuartiles se empleará el procedimiento del ejemplo anterior, teniendo en cuenta el
resultado obtenido al calcular la posición.
-- Primer
Primerpaso:
paso:ordenamos
ordenar loslosdatos
datosendeforma
formaascendente:
ascendente: 29,
29, 31, 32, 37,
37, 38,
38,38,
38,38,
38,40.
40.
- Segundo paso: para el cuartil la posición sería:
- Tercer paso: dado que es un entero, el cuartil corresponde al promedio entre los valores ubicados en las
posiciones 2 y 3. . Su interpretación significa que el 25% de los neonatos prematuros
presentaron una talla máxima de 31,5cm.
- El cuartil , la posición sería: y sería el promedio entre los valores ubicados en las posiciones 4 y
5. Su interpretación significa que el 50% de los neonatos prematuros presentaron la talla
máxima de 37,5 cm, igual a la mediana.
- Para el , la posición será: y sería el promedio entre los valores ubicados en las posiciones 6 y 7.
Esto es, cm. Su interpretación significa que el 75% de los neonatos prematuros presentaron
una talla máxima de 37,5 cm.
Deciles:
Los deciles (Dk) son valores que fraccionan la distribución de los datos en diez partes iguales). En la distribución se
presentan nueve deciles: el D1 acumula el 10% del conjunto de datos, el D2 deja el 20%, y así sucesivamente hasta el D9,
que acumula el 90% de los datos. Para el cálculo de los deciles se usa un procedimiento similar al de los cuartiles:
Percentiles:
Los percentiles son los valores que dividen en 100 partes iguales (o aproximadamente iguales) un
conjunto de datos ordenado de manera ascendente.
Para calcular el valor percentil , calculamos el valor de .
- Si es un número entero, entonces:

- Si no es un número, su valor es redondeado hacia la mitad superior más cercana: .
Actividad 24: Las calificaciones (sobre 100) de 20

estudiantes en el área de Comunicación y Lenguajes
fueron las siguientes:
• Calcula la media aritmética, la moda y mediana.
• Determina los cuartiles y percentiles. Interpreta los
resultados.
Actividad 25: Se le consultó a un grupo de siete estudiantes sobre el número de horas semanal que dedican
para el repaso de los temas vistos en clase, obteniendo los siguientes resultados: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9 horas.
Calcula sus cuartiles.
6. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión indican cuán dispersos están los datos respecto de la media aritmética. Cuando un conjunto
de valores es muy disperso, la media aritmética no es representativa.
Rango: El rango o recorrido es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor.
Ejemplo: En una habitación hay tres hombres adultos, de 170cm, 180cm y 184cm de estatura, y tres bebés, de 61cm,
65cm y 72cm de estatura.
¿Cuál es el rango o recorrido de la información?
Rango=184-61= 123cm Este rango es alto e indica que los datos tienen alta dispersión. La
dispersión alta explica que la media no es muy representativa.
Actividad 26:
1.- Las calificaciones, sobre 100 puntos, de cuatro amigas en algunas
134 áreas durante en el primer trimestre fueron:
Juana: 70, 65, 80, 65, 57 Abi: 90, 85, 75, 60, 80
Luisa: 45, 72, 60, 65, 70 Olga: 65, 70, 75, 67, 70
¿las notas de qué estudiante tienen mayor dispersión?
Desviación media
El rango es simple de calcular, pero es severamente afectado por un valor atípico. Una manera de disminuir el efecto de
valores atípicos consiste en calcular la desviación media.
La desviación media DM es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de cada dato respecto del
promedio.
Ejemplo: Calculemos la desviación media y el rango de la siguiente tabla de datos.

Cantidad de viviendas en Chuquisaca por provincia: Fuente Censo 2012.
• La media de los datos es ; por tanto, la desviación media está dada por:
• El rango está dado por:

• Promedio: Esta función nos devuelve la media aritmética de
los números o del rango que está entre paréntesis o Ejemplo:
=promedio(4,5,6) nos devuelve el valor 5.
• Max: esta función nos devuelve el valor máximo de una
lista de números o de celdas. Por ejemplo: o Ejemplo:
=max(1,12,125) nos devuelve el valor 125.
• Min: esta función nos devuelve el valor mínimo de una lista de
números o de celdas. Por ejemplo: o Ejemplo: =min(1,12,125)
nos devuelve el valor 1.
• Moda: esta función nos devuelve el valor más repetido de
una lista de números o de celdas. o Ejemplo: =moda(1,2,2,3,4)
nos devuelve el valor 2 (el más repe).
Actividad 27.
1. Investigamos datos estadísticos sobre las siguientes temáticas.
- Violencia familiar
- Contaminación del aire
- Depresión juvenil
2. Analizamos reflexivamente para responder las siguientes preguntas:
- ¿Cuáles son los aspectos más relevantes que te llaman la atención de los datos encontrados?
- ¿En qué ámbitos de nuestro contexto puedes evidenciar el uso de la estadística?
- ¿Como aplicamos la estadística en procesos productivos de la comunidad?
Actividad 28.
Con la información anterior, elegimos una de las temáticas de violencia familiar, contaminación del aire o depresión 135
juvenil y elaboramos solo siguiente:
- Tabla de frecuencias con los datos encontrados.
- Gráficos estadísticos que representen la información encontrada.
Socializamos en una plenaria, interpretando la imagen gráfica.
TRIGONOMETRIA Y LA APLICACIÓN
EN LA TECNOLOGÍA
Analicemos la siguiente historia
En temporada de lluvia la familia Angulo, decidió

construir un techo para cubrirse de la lluvia y que la
ropa ya no se moje, entre ambos cuartos hay una
distancia de 4.46 metros, el cuarto que está ubicado a la
derecha tiene una altura de 2.44 metros y el cuarto de
la izquierda tiene una altura de 2.1 metros, así también
el cuarto de la derecha tiene una visera de 0.50 metros
y el de la izquierda 0.30 metros.
Calculemos de manera creativa todas las medidas de las

vigas y calaminas que se requerirá ya que de fondo tiene una
distancia de 8 metros, así también como las inclinaciones
que exista, tipos de madera y precios.
Actividad 29. A partir de la presente experiencia responde las

siguientes interrogantes:
1. ¿En otro proyecto es posible aplicar los conocimientos de la
trigonometría?
2. ¿De qué manera nos ayuda la trigonometría a dar soluciones a
un problema de tu contexto o comunidad?
Para abordar la unidad, tomemos en cuenta la siguiente información:
Ángulo. Es el espacio comprendido entre dos semirrectas Actividad 30. En el cuaderno de ejercicios
(lado inicial y lado terminal) que se cortan en un mismo graficamos los siguientes puntos:
punto llamado origen o vértice.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
136 g)
Segundo Trimestre Matemática
1.Definicion de trigonometria. La trigonométrica es una parte de la matemática que estudia las relaciones de los
lados y ángulos de un triangulo
2. Angulo trigonometrico y medida angular

Ángulo trigonométrico y ángulos en posición central o normal
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una
posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo
tanto, debemos considerar dos tipos de rotación:
Un ángulo está en posición central o normal si su vértice está en el origen del plano de coordenadas rectangulares y su
lado inicial coincide con el eje positivo “x”.
y y
Ángulo
Positivo
x
Ángulo
x Negativo
Ángulo trigonométrico Ángulo en posición central
- Un ángulo es positivo si la rotación se realiza en sentido antihorario (levógiro).

- Un ángulo es negativo si la rotación se realiza en sentido horario (dextrógiro).
Si el lado terminal de un ángulo en posición central o normal θ se localiza en un determinado cuadrante, se dice entonces
que θ está en, o que pertenece a dicho cuadrante.
Clasificación de los ángulos:
Ángulos coterminales: Dos o más ángulos son Ángulo central: El vértice se encuentra en el
coterminales cuando tienen el mismo lado inicial centro de una circunferencia; los lados vienen
y el mismo lado Terminal. a ser el radio de dicha circunferencia.
s = longitud del arco A a B
Ejemplo. - Un ángulo mide, y es un θ = ángulo central
ángulo normal. Hallar dos ángulos positivos y r = radio
negativos que sean coterminales con . O
O== centro
Centroo ovértice
vértice
1er. ángulo coterminal positivo:
2do. ángulo coterminal positivo:
1er. ángulo coterminal negativo:
2do. ángulo coterminal negativo:
780°
°
60° 137
420°
°
Ángulos complementarios: Dos ángulos son Ángulos suplementarios: Dos ángulos son
complementarios cuando sumados dan 90°. suplementarios cuando sumados dan 180°.
Los ángulos de la figura son complementarios Los ángulos de la figura son suplementarios
porque: porque:
Actividad 31. Realicemos los siguientes calculos y gráficos.
Medida angular y determinación de un punto en el círculo unitario

Círculo trigonométrico
Si logramos que el centro de una circunferencia coincida con el origen de coordenadas rectangulares y que esta
circunferencia tenga un radio cuya medida sea la unidad del sistema, entonces estamos hablando del llamado Círculo
Trigonométrico o Circunferencia Trigonométrica.
y B
Donde:
A : Origen de Arcos
A’ A
1 B : Origen de Complementos
A’ : Origen de Suplementos
x C.T. : Circunferencia Trigonométrica
C.T.
Angulo en Posición Normal

En el plano cartesiano el origen del ángulo en el centro y el lado inicial coincide con el eje x y el lado final con el
punto P(x,y).
Dónde: MP y MN son arcos en posición normal.
(Numéricamente)
θ = MP Es muy frecuente que
¡¡¡Recordar!!!
debido a esto igualdad la
medida del ángulo central
se coloque en el extremo
3. Sistemas de medicion de angulos final del arco en posición
138 Existen varios sistemas de medición de normal.
ángulos, pero los más utilizados son tres:
• Sistema Sexagesimal
• Sistema Centesimal
• Sistema Radial
Sistema Sexagesimal (S)

Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como
unidad a: Un Grado Sexagesimal → 1°
Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en Los transportadores
360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1° vienen en el sistema
por lo tanto: 1 vuelta = 360° sexagesimal.
Sus unidades:
1 minuto sexagesimal → 1’
1 segundo sexagesimal → 1”
Equivalencia: 1°=60’=>1^’=60”=> 1°=3600”
Sistema Centesimal (C)

Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a:
Un Grado Centesimal → 1g
Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 400
partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por lo tanto:
1 vuelta = 400g
Sus unidades:
1 minuto centesimal → 1m
1 segundo centesimal → 1s
Equivalencia:
1g=100m => 1m=100s
=> 1g=10000s
Sistema Radial
En este sistema la medida del ángulo central, es el
arco correspondiente a la longitud igual al radio de la
circunferencia, esta unidad de medida corresponde a
un radián.
1 vuelta = 2π rad
Sus unidades:
Radián: El ángulo descrito por la proyección de un
radio en una circunferencia.
½ vuelta = 3,1415… rad
4. Conversión de un ángulo de un sistema a otro
Para convertir los ángulos de un sistema a otro, consideramos la siguiente relación:
Relación Fundamental de conversión de ángulos

trigonométricos: Es la relación que existe entre los números de
Escanea el QR
grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número
de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el
gráfico tenemos:
139
Mira el siguiente video

Ejemplo
Ejemplo1:1:convertimos
Convertir 15°15
o
a radiantes
a radianes Ejemplo 2: Convertimos o grados sexa
Ejemplo 2: Convertir a grados sexagesimales
Datos: Datos:
S = 15° (ángulo en grados sexagesimales) R= (ángulo en Radianes)
R = ? (convertir a ángulo en Radianes) S=? (ángulo en Sexagesimales)

Recordemos: Recordemos:
Entonces:
Entonces:
(Relación a utilizar según datos)
(Relación a utilizar según datos o

(Despejando S)
par de la fórmula general)
(Sustituimos R= )
(Despejando R y sustituimos S= 15°)
(Simplificación)
(Simplificamos)
Actividad 32.
Completemos los datos en el cuaderno de ejercicios
Funciones trigonométricas
Si P(x,y) es un punto de la circunferencia unitaria con centro en el origen, forma un ángulo θ con el eje “x”, teniendo las
principales funciones trigonométricas, representadas como razón de segmentos, de la siguiente manera:
140
Signos de las Funciones Trigonométricas en los cuadrantes
Líneas trigonometrías
Actividad 33. Completamos la tabla con las funciones faltantes en el

cuaderno de ejercicios:
Actividad 34. Graficamos los ángulos

en el cuaderno de ejercicios:
1. En el plano Cartesiano
grafica los siguientes ángulos
e indica el cuadrante en que
pertenecen:
a)
b) rad
c)
d)
6. Gráfica de funciones trigonométricas y sus propiedades periódicas

Los fenómenos ondulatorios como la luz, el sonido entre otros, se representan por medio de las funciones trigonométricas. 141
Gráfica de la función Seno: y = sen x, donde - ∞ < x < ∞
Comenzamos por construir la tabla que se encuentra a la izquierda, para y = sen x, donde los valores de x están
determinados por: 0 ≤ x ≤ 2π, comenzando en el origen.
Conforme crece desde 0 a , el valor crece de 0 a -1. Así se va realizando un análisis de la gráfica, viendo si crece
o decrece. Si trazamos los puntos obtenidos en la tabla y lo unimos por medio de una curva suave, se obtiene el
siguiente gráfico, que se muestra a continuación:
Periodo. - Por sentido común ya se tiene una idea del concepto del periodo de una función. Por ejemplo, si un jueves se
le pregunta ¿Qué día de la semana será dentro de 15 días? Su respuesta será “viernes” porque se comprende que los días
de la semana se repiten cada 7 días y 15 días es 2 semanas más un día. Es decir, se repite el periodo de 7 días 2 veces.
Definición de función periódica: Una función f es periódica si existe un número real positivo k tal que: � (t + k) = f (t)
Para toda � en el dominio de�. Este número real positivo k mínimo si existe, es el periodo de �.
Gráfica de la función coseno: y=cos x, introducimos la función en el programa GeoGebra y saldrá la gráfica.
Curva Cosinusoide
1.- Su dominio es ℝ. 2.- Rango de intervalo ⦋-1, 1⦌.

3.- La función es continua en todo ℝ. 4.- La grafica corta al eje Y en .
5.- La función es periódica . 6.- La función es par.
Las funciones seno y coseno son funciones periódicas de periodo 2π y se comportan en forma uniforme en cada cuadrante
asumiendo valores entre -1 y +1.
(Introducimos la función en el programa GeoGebra y saldrá la gráfica)
Ejemplo: Utiliza el programa GeoGebra para graficar las funciones:
y=2 sen x y=3 cos x
142
Gráfica de la Función tangente: y=tan x
Curva Tangentoide 1) A diferencia de las gráficas anteriores esta

Cosinusoide función no es continua, esto se debe a las
interrupciones que presenta en los valores
excluidos de su dominio.
2) El dominio es .
3) La grafica corta al eje Y en (0,0).
4) Es una función periódica con periodo .
5) La función es impar, la gráfica es simétrica con
respecto al origen.
Función Cotangente: y=ctg (x)
1.- No es continua.
2.-Dominio= .
3.- Es una función periódica .
.
4.- No corta al eje Y.
5.- Es una función impar.

y=2 tg x y=2 ctg x
Función Secante y función Cosecante
143
1. No es continua. 1. No es continua.
2. Dominio = . 2. Dominio = .
3. Rango = . 3. Rango = .
4. Es periódica . 4, Es periódica .
y=2 sec x y=3 csec x
7. Problemas de Trigonometría aplicados al contexto y la tecnología

1. MODELACIÓN. Los cartógrafos usan una cuadrícula que
contiene círculos que van de polo a polo, llamados meridianos o
líneas de longitud.
Existen otros, paralelos al círculo ecuatorial, que reciben el
nombre de paralelas o líneas de latitud. Ambas líneas, meridianos
y paralelos, determinan la posición geográfica de una región.
Bolivia está situada en la zona central de América del Sur, entre los
meridianos 57º 26´ y 69º 38´ de longitud oeste del meridiano de
Greenwich y los paralelos 9º 38´ y 22º 53´ de latitud sud, expresar
cada dato en términos de grados, minutos y segundos.
RELÁMPAGOS. La mayoría de los destellos producidos por los rayos

va de nube a nube y sólo algunos van de nube a tierra. La causa
de esta diferencia parece estar relacionada con la latitud. Algunos
estudios empíricos de tormentas han mostrado que la razón de los
destellos nube a nube Nc y los destellos nube a tierra Nt está dada
aproximadamente por:
Donde ϕ es la (limitada a regiones no polares 0° ≤ ϕ ≤ 60°).

Grafica esta función para el rango de las latitudes mencionadas.
Actividad 35. Realicemos la siguiente investigación:

En nuestro cuaderno o carpeta de apuntes, investigamos sobre lo siguiente:
− ¿En qué se aplican los ángulos en nuestro contexto?
− ¿En qué se utilizan las funciones seno, coseno y tangente?
− Escribimos nuestro punto de vista frente a esta información.
Formamos un círculo de reflexión para debatir en función al análisis efectuado en cada grupo sociocomunitario.
Actividad 36. Ahora apliquemos nuestros conocimientos:

144
− En una hoja de papel milimétrico, trazamos las siguientes gráficas de funciones:
− Elaboramos un papelógrafo con la representación gráfica del sonido de: la voz humana, los latidos del corazón y el
sonido de un violín.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN EL
DESARROLLO DE LA CIENCIA
Y LA TECNOLOGÍA
Actividad 37. Analicemos el siguiente caso

Muchos han sido los matemáticos que han ideado técnicas para medir alturas todas ellas ingeniosas y muy prácticas.
Tales de Mileto fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VII a. C. se cuenta que en uno de sus viajes a
Egipto fue requerido para determinar la altura de la famosa pirámide de Keops. El problema no era sencillo, ya que el
punto de corte de la altura de la pirámide con el suelo era inaccesible. Existen varias versiones sobre cómo Tales resolvió
el problema. En ambas, este matemático utilizó los triángulos.
Una versión afirma que Tales consideró el hecho de que, en dos días del año, al mediodía, a altura de una vara y su sombra
tienen la misma longitud.
Tales esperó uno de esos días y, cuando llegó, midió la longitud de la sobra de la pirámide. A esa longitud le sumó la mitad
del lado de la pirámide y así obtuvo el valor de la altura.
• ¿Cuál crees que fue el razonamiento hecho por Tales para determinar la altura de la pirámide de Keops?
• ¿Escribamos una lista de objetos o lugares donde se observan los triángulos rectángulos?
• Busquemos un árbol cercano en nuestro contexto y determinemos una forma de calcular su altura, realicemos los
cálculos para dicho árbol y escribamos nuestro razonamiento.
1. Definición
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior que es recto, es
decir, mide 90°. La principal característica del triángulo es que, como ampliaremos
más adelante, tiene un lado de mayor longitud (llamado hipotenusa) y otros dos
denominados catetos cuya unión forma el ángulo recto.
• Vértices: A, B, C.
• Lados: AB, BC, AC, donde AC es la hipotenusa y AB y BC son los catetos.
• Ángulos interiores: 90°,β,γ. Los tres deben sumar 180°.
• Ángulos exteriores: 90°,δ,ε. 145
2. Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras indica que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotensa es igual a la suma de los cuadros de los catetos.
1. Calculamos
1. Calcular el el
lado
ladofaltante:
faltante:Establecemos
Establecemos el
el Teorema de 2.
Teorema de 2. Calculamos
Calcula el lado faltante:
el lado faltante:Establecemos
EstablecemoselelTeorema
Teorema de
Pitágoras:
Pitágoras: Pitágoras:
Pitágoras:
x
x
7 8
10
3. Una escalera de 65 decímetros se 4. Una letra “N” se ha construido con tres listones de
apoya en una pared vertical de modo madera; los listones verticales son 20 cm y están separado
que el pie de la escalera está a 25 15 cm. ¿Cuánto mide el listón diagonal?
decímetros de la pared. ¿Qué altura,
en decímetros alcanza la escalera?
Calculamos el cateto faltante: Calculamos la diagonal:
x?
25dm
R. El listón diagonal mide …………
R. La altura que alcanza es de 60dm.
3. Funciones trigonométricas (seno coseno y tangente)

Las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo en un triángulo rectángulo, se definen en relación a los catetos y
la hipotenusa de la siguiente manera.
Ejemplo 1: Dados el triángulo rectángulo, escribamos las razones trigonométricas de: seno, coseno, tangente, cosecante,
secante y cotangente del ángulo α.
Escribamos las razones trigonométricas en el cuaderno de ejercicios:
146
Ejemplo 2: Dados el triángulo:

Escribamos el valor de las siguientes razones trigonométricas en el
cuaderno de ejercicios:
Actividad:
Actividad 38 Si , determinar el valor de: (Te recomiendo hacer un dibujo guía)
Relaciones de las funciones trigonométricas para ángulos notables de un triángulo rectángulo

Los ángulos notables son aquellos que guardan una relación directa con los triángulos rectángulos, cuyas funciones
trigonométricas se pueden obtener de forma inmediata, es decir, sin tener que realizar ningún cálculo previo.
Partiendo de un cuadrado obtenemos los siguiente:
Triángulos aproximados
Hallamos las razones trigonométricas del ángulo de 60° y comprendemos como se forma la tabla de valores.
Tabla de Las Razones Trigonométricas de Ángulos Notables
Ahora se puede comprender los

valores que se observan en la
tabla de ángulos notables. Para
encontrar el valor en la tabla, se
busca la función, en las filas y el
ángulo en grados en las columnas
y obtienes sus valores que
también puedes encontrar con tu 147
calculadora.
Resolvemos los siguientes ejercicios con ángulos notables, dónde reemplazaremos los valores de la tabla trigonométrica
de ángulos notables:
1)
1)Calculamos:
Calcular: E = sen230° + tg37° 2) Evaluamos:
Evaluar:
Resolución
Resolución
Reemplazando valores:
Reemplazando:
2 2
1 3 1 3  2
E=  + ⇒ + ⇒ E=1   + 1 2 1
2
  4 4 4  2  2 +
  4 2 1
⇒ ⇒
2 2 2
Actividad 39: Resolvemos los ejercicios en el cuaderno de ejercicios:

I. Hallamos las razones trigonométricas de los ángulos de 45° y 30°, luego verifica las respuestas en la tabla de valores.
II. Calculamos los siguientes ejercicios utilizando la tabla de valores de ángulos notables.
1. Calculamos: 2. Hallamos el valor de E:
Resolución: ………………………………… Resolución: …………………………………
III. Calculamos los siguientes ejercicios y marca la opción correcta.

1. Calculamos: 4. Calculamos: “x”
a) 0 b) 1 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e) 4 f) ninguno. d) 4 e) 5 f) ninguno.
5. Calculamos: E = (tg60° + sec30° - sen60°)sec60° tg30º sec 60º − sen37 º cos 30º
6) 6) Calcular: E =
Calculamos:
a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 sen2 45º
d) 49/24 e) 7/18 f) ninguno a) 5 3 b)

11 3
c) 2 3 d) 3 e)
3 3
f) ninguno
3 5 5 5 5
8) 8)
DelDel
gráfico hallamos:
gráfico hallar: tgtgθθ
7. Calculamos: a) 0,1 45
b) 0,3 53
a) b) c) º
c) 0,4 º
d) e) f) ninguno d) 0,6
e) 0,8 θ
f) ninguno
4. Resolución gráfica y analítica de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo significa la longitud de cada lado y la medida de los tres ángulos: Para esto se requiere
al menos:
Ejemplo 1:
La longitud
de dos lados
La longitud
de un lado y
la medida
de uno de
sus ángulos
148 agudos
Ejemplo 3: En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=102,4 metros y el ángulo

B=55°. Resuelve el triángulo.
Por suma de ángulos interiores:
A = C- B
A = 90°-55°
A = 35°
Por relaciones trigonométricas
Ejemplo 4: Una torre de 50 m de altura proyecta Ejemplo 5: Una cometa está sujeta al suelo con una
una sombra de 20 m a cierta hora del día. Calcula cuerda de 80 m de largo y ésta forma con el suelo
el ángulo con el que se verá el extremo superior de un ángulo de 65°. Si la cuerda está recta, ¿a qué
la torre desde el extremo de la sombra. altura del suelo está la cometa?
Calculamos el ángulo :
Calculamos la altura :
HIP.
C.O.
50m C.O.
C.A.
20m
C.A.
R.- El ángulo de elevación es de 68,20° R.- Está a 72,5m de altura.
Ejemplo 6: Un topógrafo observa con un teodolito la Ejemplo 7: Calcula el valor de “x” de la siguiente figura.
cúspide de un edificio con un ángulo de elevación de Vamos a calcular por separado los valores de a y b
32°. Si el teodolito mide 1,40 m de altura y la distancia respectivamente:
desde el punto de observación hasta el pie del edificio
es de 50 m, ¿Cuál es la altura del edificio? Calculamos a: Calculamos b:
Primero hacemos un esquema para entender el
problema: Calculamos la distancia BC:
Ahora la altura del edificio

Para obtener el valor x debemos
será:
sumar las dos distancias:
149
Actividad 40. Calculamo los lados y ángulos de los siguientes triángulos rectángulos
1.- Resolver los

siguientes triángulos
rectángulos:
2.- Una persona que mide 1,72 cm proyecta una sombra de 2,25 cm. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol en ese
momento?
3.- Una cinta transportadora de sacos de cemento mide 350 m y se quiere que eleve el cemento a 75 m de altura. ¿Qué
ángulo de elevación debe llevar la cinta?
4.- Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿cuál era la altura del árbol si la parte
que ha caído hacia el suelo forma con este ángulo de 50 grados si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una
altura de 20 metros?
5.- El Monolito “Pachamama”, descubierto por Wendell Benett en 1932, proyecta una sombra de 15,44m cuando el sol
se encuentra a 25° sobre el horizonte. Halla la altura del monolito.
6.- Desde el punto más alto de una torre de electricidad de 25 m de altura se observa un camión en la llanura cuyo ángulo
de depresión es de 3°. ¿A qué distancia está el camión?
7.- En un círculo de radio 13cm se traza una cuerda cuyo ángulo central mide 20°. Halla la longitud de la cuerda.
5. Resolución de problemas aplicados al contexto y la tecnología

Muchas veces es imposible a la base de un árbol, de una edificación o de una montaña; en estos casos se usa otra técnica
para calcular la altura del objeto.
Ejemplo 1: Jhazmín y Rafael son dos topógrafos que deben medir la altura de una montaña. Desde un primer punto
observan la cima con un ángulo de elevación de 30°11'. Avanzan 500m en línea recta hacia la base de la montaña y desde
este otro punto vuelven a medir el ángulo de elevación que es de 32°51'. ¿Qué altura tiene la montaña?
Ejemplo 2: Dos aviones vuelan alineados; desde la torre de control del aeropuerto se toman los ángulos de elevación de
cada avión: 18° y 27°. Si los aviones están volando a una altura de 1500m, calcula la distancia entre ellos.
150
Actividad 41. Resolvamos los siguientes problemas:

1.- Juan y Marta están separados por una distancia de 32m entre sí en el mismo plano horizontal y ambos observan la
cima del “Cristo de la Concordia” de la ciudad de Cochabamba con un ángulo de elevación de 26° y 39° respectivamente.
Calcula la altura del 2do monumento de Cristo más grande del mundo.
2.- Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas un majestuoso cóndor, bajo ángulos de 45° y 60° respectivamente. La
distancia entre sus casas es de 126 m y el cóndor vuela situado entre sus casas. Halla la altura que vuela este hermoso
animal en peligro de extinción.
3.- Carla y René están separados por 30m y ambos observan, desde un mismo lado, la cima de un árbol con ángulos de
elevación de 25° y 36°, respectivamente. ¿Cuál es la altura del árbol?
4.- Antonio y Simón están separados por 170m. cada uno divisa un volador situado entre ellos. Luis lo ve con un ángulo
de elevación de 45° y Juan con uno de 30°. ¿A qué distancia está el volador?
Actividad 42. En nuestro cuaderno o carpeta de apuntes, investigamos sobre

lo siguiente:
− ¿Cuáles son los aportes más importantes hechos por el estudio de los
triángulos rectángulos?
− ¿En qué situaciones concretas de tu propio contexto, se verifica el uso de
los triángulos rectángulos?
− Escribimos nuestro punto de vista frente a esta información.
Actividad 43. Realizamos las siguientes actividades:

Construye un teodolito casero. Sobre una base de madera de 30cm x 30cm, dibuja una circunferencia graduada cada
5°. Al centro coloca un soporte de madera que pueda girar sobre la base. En la parte superiore de soporte acomoda un
transportador que pueda girar alrededor de su origen. Sobre el transportador coloca como mira un tubo de bolígrafo.
Este instrumento te permitirá medir ángulos verticales y horizontales.
a) Forma equipo de 3 compañeros y, utilizando la fórmula deducida, calcula las alturas de los edificios más importantes
de tu comunidad.
b) Necesitarás una cinta métrica; si no tienes una, te servirá un cordel que tenga un nudo cada metro.
c) Socializamos nuestras mediciones y cálculos con la clase.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS EN EL DESARROLLO

DE LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA
Actividad 44. Analicemos el siguiente problema:

Los problemas con triángulos no siempre se refieren a triángulos rectángulos, ni pueden reducirse a un problema sobre
triángulos rectángulos. Es necesario entonces desarrollar técnicas y buscar formas de resolver triángulos en general.
Un topógrafo desea medir la longitud de una laguna, el técnico mide el ángulo A respecto a un punto C de la otra orilla y
camina de A hacia B, también determina el ángulo B respecto de C. Conoce la longitud entre loa puntos AB ¿cómo calcula
la longitud entre los puntos CB? ¿Qué fórmulas o razones trigonométricas aplica al triángulo que construye, si éste es
diferente a un triángulo rectángulo?
Dibujamos la escena descrita, descubriendo el triángulo que describe la situación.

¿Qué tipos de triángulos conoces, además de los triángulos rectángulos? 151
¿El Teorema de Pitágoras es únicamente para triángulos rectángulos? Justifica tu respuesta.
¿Qué tipo de triángulo se formó en la situación descrita?
¿De qué manera crees que serán útil el estudio de este tipo de triángulos en esta situación?
En la resolución de triángulos oblicuángulos debemos recordar que la suma de los ángulos interiores en cualquier
triángulo es 180°.
1. Teorema de Seno
Actividad 45. En el cuaderno de ejercicios establecemos la ley de senos en los siguientes triángulos:
Ejemplo 1: Resolvamos el siguiente triángulo por la Ley de Senos.
152
Ejemplo 2: “Aura estito” -dijo el chapaco-: Sea el ∆DEF con (DE) ̅=100,(DEF) ̂=60°,(EDF) ̂=55°. Resolvamos el triángulo.
Calculamos con la propiedad de Con y calculamos :
los ángulos interiores del triángulo:
Establecemos la Ley de Senos:
Con y calculamos :
2. Teorema de Cosenos
Ejemplo 3: Resolvamos el siguiente triángulo por la Ley de Cosenos.
3. Resolucion de triangulos oblicuangulos
Ejemplo 4: Sea el triángulo ∆RST con (RS) ̅=20,(ST) ̅=25 y (RT) ̅=37. Resolver el triángulo.
¿Cómo saber cuándo utilizar la Ley de Senos y cuándo la Ley de Cosenos?
153
Actividad 46. Indicamos en el cuaderno de ejercicios por cuál de las leyes estudiadas se deben resolver los siguientes
triángulos:
Ejemplo 5: En el triángulo ABC si C=105˚ ;B=45˚ ;a=6 encontramos los datos faltantes
Cálculo del ángulo “A” Cálculo del ángulo “B” Cálculo del ángulo “C”
Actividad 47: Resolvemos los siguientes triángulos oblicuángulos:
4. Resolucion de problemas aplicados al contexto y la tecnologia

Ejemplo 6: Se ha medido dos lados de un terreno triangular y el ángulo entre ellos. Calcula la longitud del tercer lado.
Actividad 48
1.- Los lados de un triángulo miden 6,8 cm, 8,4 cm y 4,9 cm. Encontrar la medida del ángulo menor.
2.- Dos de los lados de un triángulo miden 400 m y 600 m respectivamente si el ángulo entre ellos mide 46,3°, hallar el
área y el perímetro del triángulo.
3.- Una persona sostiene dos volantines (cometas) que están volando. A uno de los cometas le ha soltado 1 00 m de pita
(hilo) y al otro 80 m. Si el ángulo que forman ambos hilos es aproximadamente
30°, ¿A qué distancia está un volantín de la otro?
4.- Un triángulo está inscrito en una circunferencia de radio 5cm y determina sobre ella tres arcos de 80°,140° y 140°.
154 Halla los lados del triángulo.
5.- Las diagonales de un paralelogramo miden 36m y 46m respectivamente y forman un ángulo de 108°30`, calcular los
lados del paralelogramo.
6.- ¿Qué ángulo forman dos fuerzas de 30kp y 22kp respectivamente cuya resultante es de 40kp?
7.- Calcula la altura del monumento; además calcula el valor de α.
Tercer Trimestre Matemática
8.- Halla la distancia
27m
Actividad 49. Reflexionamos y respondemos las siguientes preguntas

Responde reflexivamente las siguientes preguntas:
- ¿Por qué es importante aprender a resolver ¿Cómo la Trigonometría
triángulos oblicuángulos? podría ayudarte a resolver
- ¿Qué elementos de la trigonometría nos puede algunos problemas de tu
ayudar a resolver problemas de nuestra vida diaria?
Comunidad Educativa?
Actividad 50. Utilicemos nuestro teodolito casero

- En equipo de 3 integrantes, realizamos cálculos de distancias inaccesibles con la ayuda de nuestros teodolitos
construidos en la unidad anterior y las leyes de seno y coseno.
- Anotamos en nuestro cuaderno los cálculos y objetos medidos para socializar en una plenaria en clase.
- Elaboramos nuestros carteles con las leyes aprendidas y los apuntes más importantes para textuar el aula.
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Y

SU VALOR EN LA PRODUCTIVIDAD
Actividad 51. Analicemos la siguiente historia de Palmar Chico:

En la comunidad de “Palmar Chico” del municipio de Yacuiba, Región Autónoma del Gran Chaco de Tarija, en el mes
de septiembre se lleva adelante uno de los eventos etnológicos más importantes del Chaco sudamericano, donde se
comparten las tradiciones y se hacen diferentes demostraciones sobre las prácticas e identidad culturales de la región
como, corrida de toros, carreras cuadreras de caballos, doma de potros, el juego de la sortija, la marcada, la taba,
ambrosía y la mejor gastronomía del Chaco boliviano.
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué significa la palabra “identidad”?

2. ¿Qué es la identidad cultural?
3. ¿Cuál es tu identidad cultural?
4. Menciona tres ejemplos de identidad
……………………………………………………………………………………………………………………

155
Identidades y ecuaciones
Ecuación: Igualdad que se verifica sólo para algunos valores de sus variables.
Identidad: Igualdad que se verifica para todos los posibles valores de sus variables.
1. Identidades trigonométricas fundamentales

Es una igualdad establecida entre dos expresiones que involucran funciones trigonométricas de una o más variables (o
ángulos), las cuales se verifican para todo valor admisible de dichas variables.
Las identidades que indicaremos a continuación son fundamentales:
Relaciones Inversas
Para obtener las identidades inversas, haremos uso de las definiciones de las funciones trigonométricas.
En el triángulo rectángulo las funciones del ángulo α son:
Actividad 52
Construcción del seno de la
suma de dos ángulos con
GeoGebra Multiplicando una función directa por cada una de sus reciprocas se obtiene 1:
1) Dibuja un punto de origen
demostración y renómbralo con
“punto O”.
2) Traza tres semirrectas con el De esta manera se tiene las identidades Inversas o recíprocas:
punto de origen, considerando
que el segmento .
3) Dibuja tres ángulos, como se
muestran en la figura 1.
4) Traza un segmento Identidades del cociente
perpendicular con el punto A Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen
y la semirrecta como se la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas
muestra en la figura 2. seno y coseno.
5) Traza otra perpendicular del
punto A al segmento como Si realizamos el cociente de la función seno por la función coseno, se tiene la función
se muestra en la figura 2. tangente:
6) Luego, traza otras dos
líneas perpendiculares con y
ddd hasta obtener dos
triángulos (señalados con color
café), como se muestra en la Por tanto:
figura 2.
Relaciones Pitagóricas
Si aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo se tiene:
Dividimos ambos miembros entre

Figura 1
Aplicamos la propiedad de los exponentes
Los cocientes son equivalentes a las funciones sen α y cos α
Figura 2 Las demás identidades pitagóricas se obtienen de forma similar:
Demostración de identidades
Demostrar o verificar una identidad significa mostrar que es posible transformar un miembro de la identidad en el otro,
156 mediante procesos justificados. Algunas pautas útiles son las siguientes:
Transformar el miembro más complicado.
🤓
Expresar las funciones en términos de seno y coseno y simplificar.
😏
😄 Efectuar operaciones algebraicas y factorizaciones convenientes.
Ejemplo 1: Demostramos la siguiente identidad Sugerencias para demostrar

identidades
• Simplifica el miembro más
complicado.
• Anotamos en términos • Realiza las transformaciones
de seno y coseno. utilizando las identidades
básicas.
• Sumando con común
denominador. • A menudo es útil reescribir
una expresión en términos
• Identidad pitagórica. de seno y coseno.
• Separamos el coseno • Realiza las operaciones
algebraicas que consideres
necesarias.
• Si no te va bien desarrollando
un miembro, desarrolla el
Ejemplo 2: Demostramos la siguiente identidad otro, te puede dar algunas
ideas.
Variaciones de las identidades
fundamentales
• Anotamos en términos
de seno y coseno.
• Sumando con común
denominador.
• Identidad pitagórica.
• Identidad recíproca.
Ejemplo 3: Demostramos la siguiente identidad
• Anotamos en términos de
seno y coseno.
• Sumando con común Actividad 53
denominador.
Demostramos
Demostrar laslassiguientes
siguientes
• Disgregamos el término 2 identidades
cos2 t. identidades
1)
• Identidad pitagórica.
• Separamos los términos del 2)
numerador.
• Identidades recíprocas y del
cociente. 3)
2. Identidades de la suma y de la resta de dos ángulos 4)

En esta sección deduciremos identidades para la suma y la diferencia de dos ángulos
que reducen
Q 5)
T S
157
Por tanto:
O
P R
Del mismo modo: Para la tangente:
Por tanto:
Por tanto:
En base a estas deducciones y de similar modo,
podemos establecer las identidades para la
diferencia de ángulos:
Ejemplo 1: Calculemos el valor exacto de sen 105°. Ejemplo 2:

No tenemos forma de calcular sen 105° directamente, pero
podemos escribir el ángulo de 105° como la suma (o resta) Demostrar que:
Demostramos que
de ángulos notables:
Demostramos:
Ejemplo 3: Demostrar:
Actividad 54
Demostrar:
Demostramos:
3. Identidades trigonométricas de ángulos dobles
Ejemplo 1:
Demostramos que:
158
Demostramos que: Demostramos que:
Actividad 55
Demostramos las
Demostrar las siguientes
siguientes
identidades:identidades:
a)
b)
c)
4. Identidades trigonométricas de ángulos medios

Las identidades de ángulos medios son las siguientes:
Otras identidades de la tangente del ángulo medio son:

Actividad 56
Demostrar:
Ejemplo 1: Si β=22°30' calcula sin β,cos β en forma exacta.

Como β pertenece al primer cuadrante el signo de ambas funciones es positivo.
Hallamos el valor de E:
5. Transformacion de suma a producto y de producto a suma

De Productos a sumas De Sumas a Productos
159
Ejemplo 1: Expresamos las sumas y diferencias como Ejemplo 2: Demostramos:

productos.
Ejemplo 3: Expresamos los productos como sumas o

Actividad 57 diferencias.
Demostramos:
6. Ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas son ciertas ecuaciones que están afectadas de funciones trigonométricas. Las soluciones
(ángulo), se puede dar en uno y dos cuadrantes (soluciones principales) y además se repite en todas las vueltas (soluciones
generales).
Para resolver una ecuación trigonométrica no existe un método general, pero podemos clasificar los métodos de
resolución de acuerdo a las principales ecuaciones trigonométricas.
Método 1. Ecuación básica

Este tipo de ecuaciones trigonométricas se pueden resolver directamente despejando la función trigonométrica. Son las
más sencillas que podemos ver dentro de las ecuaciones trigonométricas.
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación: 1=2 cos x
Despejamos cos x
Actividad 58 Cos x =12
Resolvemos lasecuaciones:
Resuelve las ecuaciones: x= cos-112 Recordemos que para convertir 60° a
x1=60° radianes debemos utilizar la fórmula:
1)
Solución principal:
x= 360°-x1
2)
x= 360°-60°
x= 300°
3)
Solución general:
xG=360°k±60
4)
5)
160
Ejemplo 2: Resolvemos la ecuación:
Solución general:
Método 2. Ecuación de la forma m∙sin x = n ∙ cos x

Las ecuaciones trigonométricas que tiene la forma m ∙ sen x = n ∙ cos x, se debe
realizar las operaciones adecuadas para expresar en forma de cociente:
No olvides que se debe

tener una solución principal
y otra solución general.
¡No lo olvides!
Para resolver este tipo de
ejercicios se debe reemplazar
tanto en la solución
principal como en la solución
general y luego recién
despejar y simplificar.
Actividad 59
Un avión que va de La paz a
Santa Cruz tarda 1 hora a una
velocidad de 920Km/h
¿Cuánto tardara si se dirige a
una velocidad de 1500Km/h?
161
Método 3. Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

Este método consiste en transformar de manera que sea factorizada, usualmente se convierte en una ecuación
trigonométrica de segundo grado que se puede factorizar por aspa simple o por fórmula general, teniendo en cuenta
que la incógnita es la función trigonométrica.
Resolvemos
Resolver la ecuación:
la ecuación: Resolver la ecuación:
Resolvamos la ecuación:
Resolvemos la ecuación de
segundo grado por fórmula:
; ;
;
;
;
Solución general: ;
; ; 30°
;
Ejemplo 3:
Actividad 60 Determinamos las soluciones de cada ecuación en el intervalo
Resuelve las las

Resolvemos ecuaciones
ecuacionestrigonométricas:
trigonométricas:
1) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 + sen 𝛽𝛽 = −6
2
2) 8𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛽𝛽 − 11 sen 𝛽𝛽 + 3 = 0
3) 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼 − cos 𝛼𝛼 − 2 = 0
4) 2 cos 𝑥𝑥 = 1 − sen 𝑥𝑥
5) 4 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝛽𝛽 + 12 tan 𝛽𝛽 − 27 = 0
6) 8 + sen 𝑥𝑥 = 10 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥
7) 2 cos2 𝑥𝑥 = sen 𝑥𝑥 − 1
8) 8 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝛽𝛽 − 14 tan 𝛽𝛽 = −3
9) 2 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 − 3𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 1
Movimiento Parabólico. - En el movimiento de un proyectil en el vacío, la distancia máxima se calcula mediante la relación:
Expresa la fórmula de la distancia máxima en términos de una sola función trigonométrica:
Aeronáutica. - Cuando un avión se mueve más

rápido que el sonido, sus ondas sonoras forman
162 un cono. La fórmula que relaciona la velocidad
del avión, en unidades Mach
(1Mach=1368km/h), con el ángulo α del vértice
del cono de ondas es Si la velocidad
de un avión es Mach 2, determina el valor de α.
Actividad 61. Realizamos la valoración, analizando y respondiendo a las

siguientes preguntas:
1) ¿Cuál es el objetivo de una ecuación trigonométrica?
2) ¿Dónde se aplican las ecuaciones trigonométricas?
3) ¿Por qué es importante el conocer identidades trigonométricas?
Actividad 62. Trabajemos con nuestros materiales
- Realiza un formulario con todas las identidades trigonométricas.

- Realiza un mapa conceptual del tema y compártelo en tu clase.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

APLICADA AL CONTEXTO Y/O A LA TECNOLOGÍA
Actividad 63. Analicemos la historia

de algunos agricultores del área rural Actividad 64
que tienen diferentes estrategias para
ubicar puntos estratégicos: Realiza la comparación entre
En la comunidad de Vera Cruz, ubicado un sistema de coordenadas
en la provincia Linares a 90 km de la
ciudad de Potosí, una gran parte de la rectangulares y los puntos
población se dedica a la agricultura y a cardinales.
la crianza de animales como ser: vacas,
chivos, chanchos, ovejas y otros.
En relación al cuidado de los bueyes en esa región, los comunarios tienen la

costumbre de mantener durante varios meses a los bueyes en los cerros, cada
año en la temporada de cosecha los bueyes retornan a la comunidad hasta
que pase la misma, posteriormente los dueños trasladan a los animales rumbo
al cerro lugar donde viven la mayor parte del año y ahí es donde los pobladores
buscan una señal como un árbol o una roca visible que no sea fácil de modificarse
por las inclemencias de la naturaleza, ese punto es el punto de origen, que
les sirve como referencia para ubicar los puntos cardinales considerando la
orientación del sol, desde el punto de origen cuentan un numero de pasos
determinados hacia el Este, lo necesario, en la dirección de donde sale el sol
(para nosotros el eje x positivo). Posteriormente, continúan contando pasos
con dirección al norte que representa al eje y; de esa manera encuentran
diferentes puntos de ubicación o
las coordenadas que les sirve para
orientarse y retornar al mismo
lugar donde dejaron a los bueyes.
Es muy interesante la práctica de los pobladores de las comunidades del área

rural, analicemos la historia para responder las siguientes preguntas: 163
• ¿Utilizas los cuatro puntos cardinales para orientarte?
• ¿Qué comparación puedes hacer entre los puntos cardinales con un
sistema de coordenadas rectangulares?
• ¿Qué sistemas de referencia conoces?
Historia de la geometría
1. Sistemas de coordenadas rectan-
analítica
gulares y su relación con los saberes
El nacimiento de la
ancestrales
Un sistema de coordenadas rectangulares
geometría analítica se
también se denomina cartesiano en honor a
atribuye a Descartes, por
René Descartes. Consta de dos rectas llamadas
el apéndice La Geometría
ejes que se cortan perpendicularmente en
incluido en su Discurso
un punto llamado origen formando cuatro
del método, publicado en
cuadrantes. La recta horizontal se llama eje
1637, si bien se sabe que
de las abscisas o de las x, y la recta vertical se
Pierre de Fermat conocía
llama eje de las ordenadas o eje de las y.
y utilizaba el método
antes de su publicación
Está formado por dos ejes en el plano, siendo
por Descartes.
estos perpendiculares que se cortan en el
origen. Las coordenadas de un punto cualquiera serán dadas por las proyecciones en el
eje de las “x” así como en el eje de las “y”, como de la distancia entre el punto y el origen
sobre cada uno de los ejes.
Par ordenado
En matemáticas, un par ordenado es una
pareja de elementos, donde se distingue
un elemento de otro. El par ordenado
cuyo primer elemento es “x” y el segundo
elemento es “y” se denota por (x, y).
El Primer valor “x” pertenece al eje horizontal x o eje de las abscisas;

y el segundo elemento “y” pertenece al eje vertical y o eje de las
ordenadas; (x, y).
Ejemplo 1.
Graficamos los puntos en el plano cartesiano a través de los siguientes
pares ordenados A (3, 2); B (-4, -3) y C (5, 0). (Figura 1).
Ejemplo 2.
Graficamos las siguientes Figura 1 Pares ordenados Figura 1 Pares ordenados
figuras geométricas en el
plano cartesiano a través Triángulo A=(3,2);B=(5,0);C=(1,-1) A=(3,2);B=(3,-2);
Cuadrado
de los siguientes pares C=(-1,-2);D=(-1,2)
ordenados: A (3, 2); B (3,
-2); C (-1, -2) y D (-1, 2).
(Figura 2).
Actividad 65
Graficamos las figuras
geométricas mediante
los siguientes pares
ordenados. Pares ordenados:
1)
2)
164 3)
4)
Actividad 66: graficamos las siguientes figuras geométricas en el plano cartesiano a través de los siguientes pares
ordenados:
figura Pares Ordenados

Triángulo A=(2,2); B=(4,0); C=(0,-1)
Cuadrado A=(0,2); B=(2,2); C=(2,0); D=(0,0)
Rectángulo A=(-1,2); B=(2,2); C=(2,0); D=(-1,0)
Rombo A=(0,3); B=(1,0); C=(0,-3); D=(-1,0)
Geometría analítica, problemas fundamentales

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son: Dado el lugar geométrico de un sistema de coordenadas,
para obtener su ecuación y dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de
los puntos que verifican dicha ecuación.
2. Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus abscisas.
|x2 - x1 | = d
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje “y” o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus ordenadas.
|y2 - y1 | = d
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda determinada por la siguiente relación:
Dados dos puntos cualesquiera P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), definimos la distancia entre ellos, d(P1, P2 ) como la longitud del
segmento de recta que los separa.
Teniendo los puntos: P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
Trazamos por P1 y P2 paralelas a ambos ejes se forma el triángulo rectángulo.

Donde la hipotenusa es la distancia y los catetos las rectas P1D y P2D
P1D = x2 – x1 y P2D = y2 – y1
Por el teorema de Pitágoras:
Ejemplo 1.
Calculamos la distancia entre los siguientes pares de puntos.
A(-3,2) y B(2,3)
Ejemplo 2.
Determinemos el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A (-3,1), B(1,4) y C(5,0)
y
Cálculo de la distancia AC:
Calculamos el perímetro
Cálculo de la distancia AB: sumando los lados:
165
Cálculo de la distancia BC:
x
Actividad que debes realizar para fortalecer tus conocimientos.

Actividad 67
1) Calcula la distancia entre los puntos A(- 5,0) y B (0,-12)
1. Calculamos la distancia
entre los puntos
2) Calcula la distancia entre los puntos A (-7,1) y B (-1,-2)
y 3) Calcula la distancia entre los puntos y
2. Calculamos la distancia
entre los puntos 4) Calcula la distancia entre los puntos A (- 6,0) y B (0,-11)
y
3. Calculamos la distancia Punto Medio de un segmento
entre los puntos Las coordenadas del punto medio de un segmento están
dadas por las semisumas de las coordenadas de sus puntos
y extremos.
4. Calculamos la distancia Dados los puntos P1 (x1, y1 ) y P2 (x2, y2 ), las coordenadas
entre los puntos del punto medio están dadas por las siguientes expresiones:
y
Ejemplo 1:
Actividad 68
1. Calculamos el punto medio del segmento delimitado por los puntos: y

3. División de un segmento en una razón dada
Dividir un segmento P1 P2 en una relación dada “r” es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento P1
P2, de modo que las dos partes, P1 y P2, están en la relación r:
Donde P(x,y) es el punto P
Ejemplo 2:
¿Qué puntos intermedios P1 y P2 dividen al segmento de extremos
A (-1,-3) y B (5,6) en tres partes iguales?
Como el segmento se divide en tres partes iguales ubicaremos dos puntos:
Para P1 la razón es r = 2:
166
Con la razón r = 2 tenemos el punto P1 (3,3)

Para P2 la razón es Actividad 69

1) Demostramos que los puntos y
son los vértices de un triángulo
rectángulo.
2) Demostramos que los puntos y
son los vértices de un
triángulo isósceles.
Con la razón tenemos el punto 3) Demostramos que los puntos tres puntos siguientes
son colineales y
4. Área de un polígono
El área de un polígono de vértices:
A(x1,y1 ); B(x2, y2 )…N(xn, yn ) Glosario
está dado por:
Figura geométrica plana que
está limitada por tres o más
rectas y tiene tres o más
ángulos y vértices.
A
Ejemplo 3
Calculamos el área del triángulo delimitado por los puntos: A = (1,2), B = (5,2), y C = (5,4)
Las diagonales primarias llevan

signo positivo.
Las diagonales secundarias

llevan signo negativo.
Ejemplo 4
Calculamos el área del polígono delimitado por los puntos:
A(-2,-4); B(3,-2); C(5,-1); D(1,6) y E(-3,4)
Actividad 70: Resolvemos los siguientes ejercicios en el cuaderno:

1. Calcular el área del polígono delimitado por los puntos: y
167
5. Pendiente de una recta

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto
Actividad 71. Resolvamos los al eje de abscisas. Se denota con la letra m.
siguientes ejercicios
Si m > 0, la función es creciente y el ángulo que forma
Actividad para que lo realices la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
en tu casa y fortalecer tus
conocimientos. Si m < 0, la función es decreciente y el ángulo que forma
1. Calculamos el área del la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
polígono delimitado por
los puntos: La pendiente de una recta es la tangente del ángulo
que forma la recta con el semi eje positivo de las abscisas.
2. Hallamos el área del Deducimos la fórmula de la pendiente:
pentágono cuyos vértices Teniendo P1(x1 , y1) y P2 (x2 , y2) en la misma recta y el
son los puntos de ángulo α de inclinación. Se trazan paralelas desde ambos
coordenadas ; puntos hacia los ejes y queda expreso el triángulo P1DP2
Posteriormente deducimos:
3. Hallamos el área del

triángulo cuyas
coordenadas de los
Ejemplo 5
La pendiente de la recta que pasa por los
vértices son: ;
puntos A (2,1) y B (4,7) es:
Inclinación:
Actividad 72
Hallar laslas
Hallamos pendientes de de
pendientes las
rectas
las rectasque
quepasan
pasan por los
por los
puntos:
puntos:
1)
2) Actividad que debes realizar para fortalecer tus conocimientos.
3) 1) Calcular la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos

4)
2) Calcular si la recta que pasa por los puntos y es paralela o
5) perpendicular, a la recta que pasa por los puntos y
3) Determina si la recta que pasa por los puntos y es paralela o

perpendicular, a la recta que pasa por los puntos y
Ángulo entre dos rectas

El ángulo α medida entre las rectas L1 y L2 en sentido contrario a las manecillas
del reloj desde la recta L1 con pendiente m1 hacia la recta L2 con pendiente m2 es:
Ejemplo 6: Calculamos el ángulo comprendido entre las rectas L1 y L2 de pendientes
Aplicando la fórmula:
168 Reemplazando los valores:

− Calculamos el ángulo comprendido entre las rectas y , de pendientes y .

− Calculamos el ángulo comprendido entre las rectas y , de pendientes y
− Calculamos el ángulo comprendido entre las rectas y , de pendientes y
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Paralelismo
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Actividad 73
1) Demostramos que las rectas

Paralelismo que pasan por los puntos
Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si el producto son paralelos:
de sus pendientes es igual a 1 ósea
2) Demostramos que las rectas

que pasan por los puntos
son perpendiculares:
Actividad 74. Valoremos la utilidad de la geometría analítica en actividades como la distribución de parcelas, cálculo de
áreas de terrenos e inclinación de la pendiente de un techo u otras aplicaciones de la misma.
Para que reflexionemos y analicemos la necesidad e importancia de la geometría analítica en nuestra cotidianidad,
respondemos las siguientes preguntas:
- ¿Por qué es importante aprender a resolver problemas relacionados a geometría analítica?
- ¿Cómo podemos aplicar las coordenadas rectangulares para la ubicación de puntos determinados?
- ¿Cómo aplicamos la distancia entre dos puntos para realizar cálculos de distancias inaccesibles?
- En tu cotidianidad ¿aplicas la geometría analítica? Si no lo realizas ¿crees ahora que puedes resolver algunos
problemas de la comunidad a través de la aplicación de la geometría analítica?
Actividad 75. Construimos con un GEOPLANO que nos ayudara a demostrar de manera gráfica y física la aplicabilidad de
la geometría analítica. Para la construcción requerimos el siguiente material. En función a tu creatividad puede aplicar
otros materiales para la construcción del geoplano.
Material
- Plastoformo de 1m por 1m de 1cm de grosor.
- Cartón prensado de 1m por 1m.
- Papel lustre de color claro par forrar el cartón prensado.
- Pegamento.
- Chinches con cabeza de colores.
- Marcador grueso de color negro.
Construcción
- Forramos el cartón prensado con el papel lustre. 169
- Pegamos el cartón prensado con el plastoformo.
- Trazamos el sistema de coordenadas rectangulares en la cara forrada del cartón prensado.
- Insertamos los chinches de color en todos los puntos del cuadriculado.
LABORATORIO MATEMÁTICO
Actividad 76. Identifiquemos conocimientos previos sobre la aplicación y uso de las tecnologías en educación,
específicamente el celular y la computadora.
Los estudiantes actualmente conocen el uso del celular, pero en varios casos lo utilizan de manera inadecuada, por lo
tanto, es importante responder las siguientes preguntas problematizadoras:
- ¿Por qué es importante el uso de las tecnologías en el proceso de enseñanza y
aprendizaje?
- ¿Qué aplicación conoces, que sean útiles para fortalecer tus conocimientos en
el área de matemática?
- ¿Qué tecnologías de información y comunicación utilizas diariamente?
- ¿Qué conocimientos tienes sobre el computador?
- ¿Qué aplicaciones o softwares relacionados al área de las matemáticas conoces?
Menciona.
Descarga las siguientes aplicaciones en tu equipo celular y tu pc:
Gráfica de funciones trigonométricas con software especializado (GeoGebra, Microsoft Sabias qué...
Mathematics, Wolfram Mathematica, Matlab).
El creador de GeoGebra
Es la representación gráfica a través de un software educativo Markus Hohenwarter,
GeoGebra comenzó el proyecto en
GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas libre para todas las áreas de las el año 2001, como parte
matemáticas escolares, desde prebásica hasta educación superior. Su interfaz es bastante de su tesis de maestría,
en la Universidad de
intuitiva.
Salzburgo, lo continuó en
Para la representación gráfica en el software GeoGebra, inicialmente es importante y la Universidad Atlántica de
necesario conocer las herramientas de interfaz de GeoGebra que está organizado por Florida (2006-2008) y en la
vistas, componentes, menús y cuadro de diálogos. actualidad, en la Johannes
Vistas Kepler Universität, Austria.
Son los espacios donde se va creando la gráfica. Esta organizado por las siguientes vistas:
algebraicas, CAS gráfica, gráfica 3D y hoja de cálculo.
Componentes
Está compuesto por la barra de menú, barra de herramientas,
barra de entrada, menú contextual, barra de navegación y teclado
virtual.
Barra de menú
La Barra Lateral que permite seleccionar una de las Perspectivas,
puede homologarse a un menú más que, incluso, puede
denominarse Menú Apariencias
Barra de herramientas
Este compuesto por todas las herramientas que son más usuales y
en cada uno de los iconos hay otros sub iconos.
170
Gráficas de geometría analítica
Ejercicio 1: Lugar geométrico
Seleccionar el punto B que depende de otro punto A cuyo lugar geométrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse
clic luego de B. El punto B debe pertenecer a un objeto –ej.: una recta, un segmento, una
circunferencia-.
1. Anotar f(x) = x2 – 2 x – 1 en el Campo de entrada y pulsar la tecla Enter.
2. Ubicar un nuevo punto A en el eje x.
3. Crear un punto B = (x(A), f’(x(A))) que dependerá del punto A.
4. Clic derecho sobre el punto B, habilitar “mostrar rastro”.
5. Arrastrar con el mouse el punto A sobre el eje x para ver a B
desplazarse por el lugar geométrico.
Gráficas trigonométricas
Ejercicio 2: Construcción de la gráfica interactiva de la función seno.
1. Clic derecho sobre el eje x, graduar el eje en radianes.
2. En la barra de entrada presionar “1” y enter. (Esto agregará el
deslizador a).
3. Abrimos las propiedades del
deslizador para establecer sus
parámetros: Mín: 0, Máx: 6*pi,
Incremento: 0.01
4. Insertar un punto dependiente de a:
A=(a, sin(a)).
5. Clic derecho sobre el punto A y activar “mostrar rastro”.
6. Clic en el botón del deslizador para iniciar la animación.
Gráficas de estadística
Ejercicio 3: Según datos del Ministerio Público, durante el primer semestre
del 2021, se registraron 61 feminicidios. La gráfica muestra los datos por
departamento.
• Insertamos los nombres de cada departamento en la columna A.
• En la columna B, insertamos las cantidades según departamento de
acuerdo al gráfico.
• Seleccionamos los datos de ambas columnas. Con los datos seleccionados,
vamos a la pestaña INSERTAR.
• Seleccionamos insertar gráfico de barras.
Taller del pensamiento lógico matemático
El pensamiento lógico matemático es una de las habilidades más relevantes en la educación, pues ha venido adquiriendo
interés en relación con el crecimiento exponencial de la tecnología. 171
Hoy queremos compartir contigo las razones más importantes por las que debemos fortalecer el desarrollo del
pensamiento lógico matemático, así como algunas estrategias que podrás aplicar en el aula.
La vida es matemática, considera que todas nuestras acciones y decisiones diarias consisten en una “sutil configuración
de patrones matemáticos”, los cuales nos permiten explicar cómo se conduce el mundo a través de cálculos estadísticos,
probabilidades o leyes de la lógica que, sin que darnos cuenta, rigen nuestras decisiones diarias.
Técnicamente, utilizamos el razonamiento lógico matemático todo el día: cuando calculamos el tiempo para llegar al
colegio, o cuando hacemos cálculos para comprar algo; todo el día estamos razonando situaciones que requieren aplicar
las matemáticas.
Ajedrez V
El Ajedrez es sin duda el deporte ciencia que puede practicarse desde cualquier edad, con las experiencias cotidianas
que suceden, a veces es necesario realizar un análisis de cada situación para tomar las mejores decisiones, seguramente
encontraras un sin fin de opciones para practicar este deporte, te presentamos una página en la que podrás encontrar
todos los detalles para que seas un ajedrecista destacado.
Mate en 1
Ejercicios de razonamiento (combinaciones y mates)
En ajedrez es importante la resolución de ejercicios y

problemas de razonamiento , empezaremos resolviendo los
siguientes mates:
Escanea el QR Escanea el QR Escanea el QR
Ingresa al Qr para encontrar Ingresa al Qr para aprender

Ingresa al Qr para resolver
las respuestas a los ejercicios las nociones básicas de
problemas de razonamiento
de las diferentes actividades ajedrez
Actividad 77. Momento de reflexionar.

Es importante valorar la aplicabilidad de los programas de GeoGebra y Excel, para realizar la representación gráfica de
las funciones trigonométricas y la demostración gráfica de problemas matemáticos, como así también debemos realizar
un análisis y reflexión de la importancia del uso correcto de los celulares y computadoras para fortalecer la formación
integral y holística.
Por tanto, responsamos reflexivamente las siguientes interrogantes:
- ¿Cómo podemos aplicar GeoGebra y Excel, en otras áreas de saberes y conocimiento?
- ¿Qué gráficas te parecen más importantes e interesantes para crearlos en GeoGebra?
- ¿Consideras que es importante la aplicación y uso de los teléfonos inteligentes como los ordenadores en la
educación? ¿Por qué?
- ¿Cuánto tiempo por día utilizas tu celular para interactuar con otras personas a través de las redes sociales?
¿consideras que favorece a tu formación integral el tiempo exagerado en las redes sociales?
172 Actividad 78
- A través de GeoGebra graficamos el campo deportivo de la comunidad, con las medidas reglamentarias,
posteriormente analizamos la representación matemática o ecuaciones de cada uno de las figuras trazadas.
- En una hoja de cálculo, elabora un diagrama de barras con la cantidad de personas por domicilio de tu manzano,
zona o comunidad.

5to Mate

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

5to Mate

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

5to Mate

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

MINISTERIO

CIENCIA TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN

APLICACIÓN DE LAS PROGRESIONES

1 Un bus de transporte interdepartamental es adquirido en $us 130 000. El ritmo de

3 Respondemos las siguientes preguntas en el cuaderno de ejercicios:

2. ¿Qué precio tendrá el autobús al cabo de 10 años?

3. ¿Qué entiendes por la palabra sucesión?

¡CONTINUEMOS CON LA TEORÍA!

Ejemplo 2. Encontramos la fórmula directa de las siguientes sucesiones:

Ejemplo 3. Encontramos la fórmula recursiva de las siguientes sucesiones:

Actividad 4 Sumatorias y sus propiedades

Progresiones aritméticas P.A.

Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3:

Para pensar un poco

Calculamos los cinco primeros

4. En la P.A. entre -10 y 5, ubicar 4

Suma de términos equidistantes

Suma de n términos de una sucesión aritmética

Calculamos el 6to y 7mo término. Calculamos el último término:

Para saber el monto ahorrado, calculamos la suma hasta

Calculamos la suma para . Calculamos

Respuesta. Victoria ahorró 545 dólares el último mes y 5985 dólares

1) Encontramos la suma indicada en la siguiente progresión aritmética:

Progresiones geométricas P.G.

La razón es posible calcular dividiendo Utilizamos:

Actividad 7. Resolvemos los

Suma de términos de una progresión geométrica

Calculamos el último término:

Calculamos la suma total:

Rpta. En octubre ahorró apenas 25 centavos y en total

2. Resolución de problemas del contexto y la tecnología

La leyenda del ajedrez

¡Toda la producción de trigo de un siglo no sería suficiente!

Actividad 9. Analizamos y resolvemos el siguiente problema

Actividad 10. Resolvamos el siguiente problema

Actividad 11. Respondamos las siguientes preguntas:

¡ES HORA DE LA PRODUCCIÓN!

Actividad 12. Elaboremos materiales:

Actividad 13. Respondamos a las preguntas de acuerdo al caso

¡CONTINUEMOS CON LA TEORÍA!

1. Principios básicos de conteo

El factorial de un número natural n se representa por “n factorial” o

El número de permutaciones simples de n elementos está dado por:

6. Variaciones con repetición

Actividad 17. Resolvemos

Actividad 18. Resolvamos el

Ejemplo 1: desarrollamos por el binomio de Newton. (a2+2b)5

Actividad 19. Realicemos el siguiente ejercicio:

¡ES HORA DE LA PRODUCCIÓN!

Actividad 20. Realicemos la siguiente dinamica en aula:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA EN PROCESOS

Actividad 21. Analicemos los siguientes datos e interpretemos la información

La anomalía global en la temperatura de la superficie podría ser la causa de

Emisiones globales de CO2 relacionadas con la energía, se situaron en

La primera gráfica muestra las emisiones globales históricas de CO2 de

¡CONTINUEMOS CON LA TEORÍA!

1. Definiciones fundamentales de Estadística

Variable cualitativas, sus variables se expresan mediante atributos o cualidades.