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    Conceptos Básicos

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    Maria Rodriguez
    Este documento presenta conceptos básicos sobre derivación de funciones, incluyendo reglas para derivar funciones explícitas e implícitas utilizando la regla del producto, cociente, cadena y derivación implícita. Proporciona ejemplos de derivar funciones simples y compuestas aplicando estas reglas.

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    CONCEPTOS BÁSICOS

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    CONCEPTOS BÁSICOS, PROPIEDADES Y REGLAS DE DERIVACIÓN

    MARIA ESTELA RODRIGUEZ ERAZO

    UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER

    TECNOLOGIA EN CONTABILIDAD FINANCIERA

    FACULTAD DE CIENCIAS SOCIOECONOMICAS

    FEBRERO 2023
    TALLER 1

    1. Determine la derivada de las siguientes funciones:

    𝑎) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 5 − 3𝑥 3 + 4𝑥+5

    𝑓 ′ (𝑥) = 25𝑥 4 − 9𝑥 2 + 4

    𝑏) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −4 − 3𝑥 −3 + 4𝑥 −1 − 3𝑥

    𝑓 ′ (𝑥) = −12𝑥 −5 + 9𝑥 −4 − 4𝑥 −2 − 3

    3 2 3 7
    𝑐) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 7𝑥 5 + 4𝑥 −2 + 5𝑥 −2
    1
    9 14 −3 12 −5 35 −9
    𝑓 ′ (𝑥) = 4 𝑥 −4 + 5
    𝑥 5 − 2
    𝑥 2 − 2
    𝑥 2
    1
    9 14 −3 5
    35 −9
    𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 −4 + 𝑥 5 − 6𝑥 −2 − 𝑥 2
    4 5 2

    3 7 6 1
    𝑑) 𝑓(𝑥) = 5 √𝑥 − 5
    + − 𝑥
    𝑥 √𝑥 2
    1 −1
    1
    𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 − 7𝑥 −5 + 6𝑥 2 − 2 𝑥
    2 3
    5 6 1
    𝑓 ′ (𝑥) = 3 𝑥 −3 + 35𝑥 −6 − 2 𝑥 −2 − 2
    2 3
    5 1
    𝑓 ′ (𝑥) = 3 𝑥 −3 + 35𝑥 −6 − 3𝑥 −2 − 2

    5 5
    𝑒) 𝑓(𝑥) = 4 √𝑥 + 4𝑒 2𝑥 − ln (5𝑥 2 − 3𝑥)
    1 5
    𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 + 4𝑒 2𝑥 − ln(5𝑥 2 − 3𝑥)
    4
    4 5 10𝑥−3
    𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 −5 + 40𝑥 4 𝑒 2𝑥 −
    5 5𝑥 2 −3𝑥

    3
    𝑓) 𝑓(𝑥) = 4𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 6𝑒 𝑥 ln (𝑠𝑒𝑛𝑥)
    3 𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 18𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
    2. Utilice la regla del producto y cociente para derivar las siguientes funciones.

    𝑎) 𝑦 = 5𝑥 3 𝑡𝑎𝑛𝑥

    𝑦 ′ = 15𝑥 2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 5𝑥 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

    2 3
    𝑏) 𝑦 = 4𝑒 𝑥 ( √𝑥 )
    2 1
    𝑦 = 4𝑒 𝑥 (𝑥 3 )
    1 2
    2 4 2
    𝑦 ′ = 8𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 3 ) + 3 𝑒 𝑥 (𝑥 −3 )

    4𝑥 −5
    𝑐) 𝑦 =
    𝑠𝑒𝑛𝑥
    −20𝑥 −6 𝑠𝑒𝑛𝑥−4𝑥 −5 𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑦′ =
    𝑠𝑒𝑛2 𝑥

    5
    √𝑥
    𝑑) 𝑦 =
    𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑥
    1
    𝑥5
    𝑦=
    𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑥
    4 1
    1 −
    𝑥 5 𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑥 −𝑥 5 𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
    ′ 5
    𝑦 = 𝑒 2𝑡𝑎𝑛𝑥
    3. Utilice la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones.

    𝑎) 𝑦 = 4(5𝑥 3 + 3𝑥 −4 )−5

    𝑦 ′ = 4 (−5(5𝑥 3 − 3𝑥)−6 (15𝑥 2 − 212𝑥 −5 ))

    −5 12
    𝑦 ′ = 4 ((5𝑥3 +3𝑥−4 )6 ) (15𝑥 2 − 𝑥 5 )

    12
    −5(15𝑥 2 − 5 )
    𝑦′ = 4 ( 𝑥
    3 6
    )
    (5𝑥 3 + 4)
    𝑥

    15𝑥7 −12
    −5( )
    ′ 𝑥5
    𝑦 = 4( 7 6 )
    5𝑥 −3
    ( 4 )
    𝑥

    15𝑥7 −12
    ′ 𝑥5
    𝑦 = −20 ( 6 )
    (5𝑥7 −3)
    𝑥24

    𝑥 19 (15𝑥 7 −12)
    𝑦 ′ = −20 ( (5𝑥 7 −3)6
    )

    −20𝑥 19 (15𝑥 7 −12)


    𝑦′ = (5𝑥 7 −3)6

    3 3
    𝑏) 𝑦 = 7 √𝑥 4 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑒 𝑥
    1
    3
    𝑦 = 7(𝑥 4 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑒 𝑥 )3
    2
    1 −
    ′ 𝑥3 3
    𝑦 = 7 (3 (𝑥 4 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑒 ) 3
    ) (4𝑥 3 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 12𝑥 2 𝑒 𝑥 )

    3
    7(4𝑥 3 +𝑐𝑜𝑠𝑥−12𝑥 2 𝑒 𝑥 )
    ′
    𝑦 = 2
    3
    3(𝑥 4 +𝑠𝑒𝑛𝑥−4𝑒 𝑥 )3

    𝑐) 𝑦 = 5 tan4 𝑥

    𝑦 ′ = 20 tan3 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

    𝑑) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛5 (4𝑥 2 − 4𝑥)

    𝑦 ′ = 15(𝑠𝑒𝑛4 (4𝑥 2 − 4𝑥))(cos(4𝑥 2 − 4𝑥))(8𝑥 − 4)

    𝑦 ′ = 15𝑠𝑒𝑛4 (4𝑥 2 − 4𝑥)(8x − 4) cos(4x 2 − 4𝑥)


    𝑒) 𝑦 = 4(𝑥 2 tan 𝑥)3

    𝑦 = 4𝑥 6 tan3 𝑥

    𝑦 ′ = 4(6𝑥 5 tan3 𝑥 + 3𝑥 6 tan2 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)

    𝑦 ′ = 24𝑥 5 tan3 𝑥 + 12 tan2 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

    2 𝑥 −5
    𝑓) 𝑦 = √
    𝑠𝑒𝑛𝑥
    1
    𝑥 −5 2
    𝑦= (𝑠𝑒𝑛𝑥)
    1
    −
    1 𝑥 −5 2 −5𝑥 −6 𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥 −5 𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑦 ′ = 2 (𝑠𝑒𝑛𝑥) ( 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
    )
    −5𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑥 −6 ( )
    𝑠𝑒𝑛2 𝑥
    𝑦′ = −5
    𝑥
    2√
    𝑠𝑒𝑛𝑥

    −5𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑥6 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
    𝑦′ = 5 1
    − −
    2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
    −5 𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑦′ = 5 1
    (𝑥 6 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)(2𝑥 −2 −
    𝑠𝑒𝑛 2 𝑥)

    −5 𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
    𝑦′ = 7 3
    2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
    4. Derive implícitamente las siguientes igualdades para hallar y .

    𝑎) 4𝑥 5 − 3𝑦 3 = 2𝑥 −4 − 6𝑦 −5

    20𝑥 4 − 9𝑦 2 𝑦 ′ = −8𝑥 −5 + 30𝑦 −6 𝑦′

    20𝑥 4 + 8𝑥 −5 = 30𝑦 −6 𝑦 ′ + 9𝑦 2 𝑦 ′
    20𝑥 4 +8𝑥 −5
    30𝑦 −6 +9𝑦 2
    = 𝑦′

    5
    𝑏) 𝑒 𝑥 − 5𝑦 2 = 8𝑦 4 − 𝑡𝑎𝑛𝑦
    5
    𝑒 𝑥 = 8𝑦 4 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 5𝑦 2
    5
    5𝑥 4 𝑒 𝑥 = 32𝑦 3 𝑦 ′ − sec 2 𝑦 𝑦′ + 10𝑦𝑦′
    5
    5𝑥 4 𝑒 𝑥
    32𝑦 3 −sec2 𝑦+10𝑦
    = 𝑦′

    𝑐) 2𝑥 5 𝑦 3 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 3𝑥 4 − √𝑦
    𝑦′
    10𝑥 4 𝑦 3 + 6𝑥 5 𝑦 2 𝑦 ′ − 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦 ′ = 12𝑥 3 −
    2√𝑦

    𝑦′
    10𝑥 4 𝑦 3 − 12𝑥 3 = −6𝑥 5 𝑦 2 𝑦 ′ + 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦 ′ − 2
    √𝑦

    10𝑥 4 𝑦 3 −12𝑥 3
    1 = 𝑦′
    −6𝑥 5 𝑦 2 +𝑠𝑒𝑛𝑦−
    2√𝑦

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