MATEMÁTICAS COMERCIALES (1º CURSO) 20 de enero de 2020

SOLUCIONES

PROBLEMA 1 (2 puntos)
Un empresario acuerda hoy, 20 de enero de 2020, las dos operaciones siguientes:
a) Cancelar en los próximos días la deuda que tiene contraída con su proveedor. Para ello
pacta hoy con dicho proveedor sustituir los 2 pagos que tiene pendientes con él de 9.000 €
cada uno, con vencimientos dentro de 15 y 45 días respectivamente, por un único pago de
17.960 €. Calcular dentro de cuántos días hay que realizar ese único pago si se aplica un
tipo de descuento del 4,5 %. (Usar año natural)
(9.000 € , 15 días) + (9.000 € , 45 días) ~ (17.960 € , t)

15 45
9.000 · (1 − · 0,045) + 9.000 · (1 − · 0,045) = 17.960 · (1 − t · 0,045)
365 365

17.933,42466 = 17.960 – 808,2·t

t = 0,03288213619 años ⇒ t = 12 días

b) Ingresar hoy 6.000 euros a 4 años en una entidad financiera que abona los siguientes
intereses anuales pagaderos trimestralmente: 8 % el primer año y 10 % los tres años
siguientes. Calcular cuánto tendrá acumulado pasados los 4 años.

j(4) = 0,08 j(4) = 0,10

i4 = 0,02 i4 = 0,025

4 12
C’ = 6.000·(1,02) ·(1,025) = 8.734,51 €

PROBLEMA 2 (2 puntos)
Paco desea retirarse a vivir a una casa en la montaña en el momento de su jubilación, que
será exactamente dentro de 18 años. Él estima que en el mismo momento en el que se
jubile, podrá adquirir la vivienda por 300.000 €. Actualmente dispone de 70.000 € en una cuenta
bancaria y tiene previsto el siguiente calendario de aportaciones en la misma hasta el momento
de la jubilación:

• Durante los 8 primeros años, aportaciones al principio de cada trimestre de 2.000 €.

• Durante los 10 años restantes, aportaciones al final de cada semestre de 4.000 €.
Calcular cuánto dinero tendrá acumulado en el momento de la jubilación si el tipo de interés
efectivo trimestral pactado para los 18 años es del 1 % e indicar si tendrá suficiente para comprar
la vivienda.

1
 i4 = 0,01 ⇒ i2 = 0,0201

VS = 70.000·(1,01)72 + 2.000·(40/S̈32⌉0,01 ) + 4.000·S20⌉0,0201

32 20
(1,01) −1 (1,0201) −1
= 70.000·(1,01)72 + 2.000·(1,01)· ·(1,01)40 + 4.000·
0,01 0,0201
= 143.296,9518 + 112.763,5868 + 97.286,315 = 353.346,85 €,
por lo que sí podrá comprar la casa.

PROBLEMA 3 (2 puntos)

El señor García tiene hoy 60.000 € en una cuenta en la que se le aplica un interés del 6 %
efectivo anual. Si se plantea extraer 1.004,40 € cada mes y la primera extracción se realiza
dentro de 4 meses, calcular cuántas extracciones podrá realizar hasta gastar sus ahorros.

i = 0,06 ⇒ i12 = 0,004867551

Va = 60.000 = 1.004,40·(4/än⌉0,004867551 )
−4 1−(1,004867551)−n
60.000 = 1.004,40·(1,004867551) ·(1,004867551)· 0,004867551

(1,004867551) -n = 0,7049595758
n = 72 extracciones

PROBLEMA 4 (2 puntos)
Detallando todas las operaciones realizadas, construir el cuadro de amortización de un
préstamo de 75.000 € que se amortiza en 5 años mediante pagos anuales a un interés efectivo
anual del 4 %, sabiendo que:

• El primer año hay carencia total (no se paga nada).

• El segundo y tercer año sólo se pagan intereses.
• El cuarto y quinto año se amortiza la deuda con términos constantes.

2
 Periodo a Is As Ts Rs
0 - - - - 75.000
año 1 - - - - 78.000
año 2 3.120 3.120 - - 78.000
año 3 3.120 3.120 - - 78.000
año 4 41.355,29 3.120 38.235,29 38.235,29 39.764,71
año 5 41.355,29 1.590,59 39.764,70 77.999,99 0,01

i = 0,04 75.000·i = 3.000 € 78.000·i = 3.120 €

78.000 78.000
a= = = 41.355,29 €
a2⌉0,04 1,886094675

A4 = a - I4 = 41.355,29 - 3.120 = 38.235,29 € T4 = A4 = 38.235,29 €

R4 = 78.000 - 38.235,29 = 39.764,71 €
I5 = 39.764,71·i = 1.590,59 €
A5 = a - I5 =41.355,29 - 1.590,59 = 39.764,70 €
T5 = T4 + A5 = 38.235,29 + 39.764,70 = 79.999,99 €

PROBLEMA 5 (2 puntos)
Realizar la liquidación a 31 de diciembre de 2019 correspondiente a una línea de crédito
pactada el 17 de octubre en las siguientes condiciones: Límite = 45.000 €, ia = 1 %, id = 6 %,
ie = 20 %, IRC = 19 %, comisión de disponibilidad = 2 %, comisión de excedido = 4 %, y
cuyos movimientos desde la apertura se detallan a continuación:
Números comerciales
Fecha Valor Concepto Cuantía Saldo Días Deudores Excedidos Acreedores
17/10/19 Comisiones de apertura - 1.500 17

3/11/19 Salarios trabajadores - 50.000

18/11/19 Ingreso talón 54.000

5/12/19 Pago talón - 13.000

31/12/19 Liquidación de intereses

75 973.500

Números comerciales
Fecha
Concepto Cuantía Saldo Días Deudores Excedidos Acreedores
Valor
17/10/19 Comisiones de apertura - 1.500 -1.500 17 25.500

3/11/19 Salarios trabajadores - 50.000 -51.500 15 675.000 97.500

18/11/19 Ingreso talón 54.000 2.500 17 42.500

5/12/19 Pago talón - 13.000 -10.500 26 273.000

31/12/19 Liquidación de intereses
97.500 42.500
75 973.500

3
 973.500
SMD = = 12.980 €
75

SMND = 45.000 – 12.980 = 32.020 €

cd = 2 % de 32.020 = 640,40 €
ce = 4 % de 6.500 = 260 €
0,01
Ia = 42.500· = 1,16 €
365
IRC = 19 % de 1,16 = 0,22 €
0,06
Id = 973.500· = 160,03 €
365
0,20
Ie = 97.500· = 53,42 €
365
Nuevo saldo = –10.500 – 640,40 – 260 + 1,16 – 0,22 – 160,03 – 53,42 = –11.612,91 €

4
 MATEMÁTICAS COMERCIALES (1º CURSO) 6 de febrero de 2020
SOLUCIONES

PROBLEMA 1 (2 puntos)
Si tienes que pagar una deuda, ¿qué opción elegirías, sabiendo que rige un tipo de interés efectivo
anual del 8 % los 4 primeros años y el 6 % nominal pagadero trimestralmente a partir de entonces?
Justifica tu razonamiento.
a) Pagar 13.000 € dentro de 3 años
b) Pagar 19.000 € dentro de 10 años

Calcular el tanto medio correspondiente a la opción b).

i = 0,08 j(4) = 0,06  i4 = 0,015

C = 13.000ꞏ(1,08)-3 = 10.319,82 €
Por otra parte, C = 19.000ꞏ(1,015)-24ꞏ(1,08)-4 = 9.769,53 €
Como deudor, elegiría la opción b) porque el valor en 0 es inferior. Tanto medio del apartado b):
(1,015)24ꞏ(1,08)4 = (1 + imed)10 de donde
10
imed = √1,944822794 – 1 = 0,06877922555 = 6,8779 %

PROBLEMA 2 (2 puntos)
Un individuo viene realizando aportaciones mensuales pospagables de 1.000 euros en su plan de
jubilación los últimos 15 años (hoy, día de la última aportación cumple 62 años) y decide no
realizar ninguna aportación más hasta el día que se jubile a los 65 años.

Sabiendo que la rentabilidad obtenida en dicho plan ha sido del 3,6 % nominal pagadero
mensualmente los 10 primeros años y, a partir de entonces, del 2,55 % efectivo anual, calcular la
cantidad acumulada el día de su jubilación.

que dividimos en:

5
 VS = 1.000·(8 años/S120⌉0,003 ) + 1.000·(3 años/S60⌉0,002101 ) =

(1,003)120 −1 (1,002101)60 −1
= 1.000· · (1,0255)8 + 1.000· · (1,0255)3 =
0,003 0,002101
= 176.363,04 + 68.886,51 = 245.249,55 €

PROBLEMA 3 (2 puntos)

Para la compra de un piso se ofrecen las siguientes modalidades:

a) Pagar en el momento de la compra 12.000 € y además una renta semestral indefinida de 3.500 €,
venciendo el primer término a los 6 meses de la compra.

b) Pagar 20.000 € un año después de la compra y después 120 pagos mensuales de 1.500 €
venciendo el primer pago a los 2 años de la compra.

Si el tipo de interés aplicado es del 6 % efectivo anual ¿cuál de las dos modalidades es la mejor
para el comprador?

modalidad a): i = 0,06 por lo que i2 = 0,029563014

1
Va = 12.000 + 3.500ꞏ a∞⌉0,029563014 = 12.000 + 3.500ꞏ = 130.391,18 €
0,029563014

modalidad b): i = 0,06 de donde i12 = 0,00486755

Va = 20.000ꞏ(1,06)-1 + 1.500·(2 años/ä120⌉0,00486755) =

1−(1,00486755)−120
= 18.867,92 + 1.500·(1,06)-2·(1,00486755)· = 140.573,95 €
0,00486755

Para el comprador es mejor la opción a) porque su Va es inferior.

6
PROBLEMA 4 (2 puntos)
Un préstamo se amortiza en 10 años mediante pagos semestrales constantes de 4.765,71 € al
4,8 % de interés nominal.

a) Calcular el capital prestado.

b) Calcular el capital total amortizado al final del cuarto año.

En ese momento (transcurridos 4 años desde la apertura del préstamo), el banco nos comunica
una subida del tipo de interés pasando a ser del 6,6 % nominal.

c) Calcular el valor del nuevo pago semestral con el que se amortizará el préstamo a partir de ese
momento.

d) Calcular la cuota de interés de la primera de estas nuevas semestralidades.

0,048
j(2) = 0,048  i2 = = 0,024
2

1−(1,024)−20
a) C = 4.765,71·𝑎20⌉0,024 = 4.765,71· = 75.000,06 €
0,024
1−(1,024)−12
b) R8 = 4.765,71·𝑎12⌉0,024 = 4.765,71· = 49.182,84 €
0,024
T8 = 75.000,06 – 49.182,84 = 25.817,22 €

0,066
nuevo j(2) = 0,066  nuevo i2 = = 0,033
2
48.182,84 48.182,84 48.182,84
c) Nuevo término a’ = = 1−(1,033)−12
= = 5.029,91 €
𝑎12⌉0,033 9,778075858
0,033

d) I9 = R8·0,033 = 49.182,84·0,033 = 1.623,03 €

PROBLEMA 5 (2 puntos)
En el descuento de una letra de cambio se aplica un descuento simple comercial del 12 % y una
comisión del 0,5 % por cobro. Si la letra fue emitida para documentar una venta a pagar en 90 días
y el efectivo que entregó el banco fue de 1.158 €, calcular el importe de dicha venta (es decir, el
nominal N de la letra), el coste efectivo para el cliente y la TAE de la operación, sabiendo que el
timbre que se paga es de 17 € y que dicha operación se formaliza ante un notario que cobra al
tenedor de la letra 60 €.

90
1.158 = N·(1 − · 0,12) – max {0,005·N , 0} - 0
360

1.158 = 0.97ꞏN – 0,005ꞏN = 0,965ꞏN de donde el nominal N = 1.200 €

L = E – T = 1.158 – 17 = 1.141 € por lo que el coste efectivo para el cliente es del

365
1.200 90
id = ( ) - 1 = 0,5273619293 = 52,7362 %
1.141−60
365
1.200 90
y TAE = (1.158+0+0) - 1 = 0,1554478274 = 15,5448 %

7
8
 MATEMÁTICAS COMERCIALES (1º CURSO) 18 de enero de 2021

SOLUCIONES

PROBLEMA 1. (1,5 PUNTOS) Lucía tiene que abonar al banco 4.000 € dentro de un mes y
3.000 € dentro de 3 meses. Acude hoy a la entidad financiera para proponer el siguiente
cambio equivalente: abonar 2.000 € hoy, 3.500 € dentro de 15 días y un tercer pago dentro de
2 meses. Calcular la cuantía de este pago si la entidad le aplica un tanto de descuento
del 3 %.
(4.000 €, 1 mes) + (3.000 €, 3 meses) ~ (2.000 €, 0) + (3.500 €, 0,5 meses) + (X, 2 meses)
1 3 0,5 2
4.000 (1 - · 0,03) + 3.000 (1 - · 0,03) = 2.000 + 3.500 (1 - · 0,03) + X (1 - · 0,03)
12 12 12 12

 X = 1.479,27 €

PROBLEMA 2. (1,5 PUNTOS) Una entidad nos presta hoy 25.000 €, ¿cuánto tendremos que
devolver dentro de 3 años, si nos cobra un 1,2 % efectivo cuatrimestral el primer año y los
dos últimos un 3 % nominal pagadero semestralmente? Calcular el tanto medio.
0,03
primer año: i3 = 0,012 segundo y tercer año: j(2) = 0,03  i2 = = 0,015
2

C’ = 25.000·(1,012)3·(1,015)4 = 27.500,82 €

25.000·(1 + imed)3 = 27.500,82 o bien (1,012)3·(1,015)4 = (1 + imed)3

Tanto medio imed = 3,2290 %

PROBLEMA 3. (1,5 PUNTOS) El señor Pérez pide prestados a una entidad financiera
10.000 € con la que pacta, para su devolución, las siguientes condiciones:

- Tipo de interés del 5 % efectivo anual durante toda la vida del préstamo

- Pago de cuotas trimestrales por vencido los dos primeros años, y cuotas semestrales de
cuantía el doble que las anteriores, también pospagables, los tres años siguientes.

Hallar la cuantía de todas las cuotas.

SOLUCIÓN

i = 0,05  i4 = 0,012272 i2 = 0,024695

1−(1,012272)−8 1−(1,024695)−6
10.000 = X· + 2X·(1,05)- 2 
0,012272 0,024695

10.000 = X·7,575687833 + X·10,00226447 = X·17,5779523  X = 568,89 €

Pagará 568,89 € al trimestre los dos primeros años y 1.137,78 € al semestre los tres años
siguientes.

9
PROBLEMA 4. (1,5 PUNTOS) Un inversor deposita en un banco 1.200 € al principio de cada
mes durante 8 años. Con el capital constituido tras esos 8 años, desea recibir una cantidad
constante de manera indefinida al final de cada cuatrimestre. Si el tipo de interés aplicado
en toda la operación es del 3,6 % nominal capitalizable mensualmente:

a) Calcular la cuantía acumulada tras los 8 años de depósito.

b) Calcular la cantidad que recibirá cada cuatrimestre.

j(12) = 0,036  i12 = 0,003  i3 = 0,012054

1,003 96 −1
a) Valor final = 1.200·S̈96⌉0,003 = 1.200 · 1,003 · = 133.672,78 €
0,003

1
b) 133.672,78 = X·a∞⌉0,012054 = X·  X = 1.611,29 € recibirá el final de cada cuatrimestre
0,012054

PROBLEMA 5. (2 PUNTOS) Fernando solicitó hace 5 años un préstamo de 160.000 € para

amortizarlo en 8 años mediante pagos mensuales constantes al 7,2 % de interés nominal.
a) Calcular el total amortizado hoy.
b) Si hoy la entidad financiera modifica el tipo de interés del préstamo pasando a ser del
6 % TIN, calcular la nueva cuantía mensual que tendrá que abonar Fernando el tiempo
que le resta de amortización y las cuotas de interés y de amortización del primero de
estos nuevos pagos.

a) j(12) = 0,072  i12 = 0,006

160.000
a= = 2.197,35 €
a96⌉0,006

R60 = 2.197,35·a36⌉0,006 = 70.954,08 €  T60 = 160.000 – 70.954,08 = 89.045,92 €

70.954,08
b) Como R60 = 70.954,08 €  a’ = = 2.158,56 €
a36⌉0,005

Nuevo i12 = 0,005  I61 = R60·0,005 = 354,77 € A61 = 2.158,56 – 354,77 = 1.803,79 €

PROBLEMA 6. (2 PUNTOS) Completa la tabla y efectúa la liquidación de intereses de una

cuenta de crédito con los movimientos y datos indicados a continuación:
Límite disponible = 50.000 € Comisión de disponibilidad = 2 %
Comisión de excedido = 6 % Tipo de interés acreedor = 0,5 %
Tipo de interés deudor = 7 % Tipo de interés excedido = 12 % IRC = 19 %

10
 Números comerciales

Fecha
Valor Concepto Cuantía Saldo Días Deudores Excedido Acreedores

15/08 Saldo anterior -11.000 13 143.000

28/08 Pago Talón n.º 1 -49.000 -60.000 31 1.550.000 310.000

28/09 Ingreso en efectivo 124.000 64.000 12 768.000

10/10 Pago de atrasos -115.000 -51.000 20 1.000.000 20.000

30/10 Liquidación de intereses

76 2.693.000 330.000 768.000

2.693.000
SMD = = 35.434,21 € ; SMND = 50.000 – 35.434,21 = 14.565,79 €
76

Comisión de disponibilidad = 2 % de 14.565,79 = 291,32 €

Comisión de excedido = 6 % de max {10.000 , 1.000} = 0,06·10.000 = 600 €

0,005
Intereses acreedores = 768.000 · 365 = 10,52 € ; IRC = 19 % de 10,52 = 2 €

0,07
Intereses deudores = 2.693.000 · 365 = 516,47 €

0,12
Intereses de Excedido = 330.000· = 108,49 €
365

Nuevo saldo = -51.000 – 291,32 – 600 + 10,52 – 2 – 516,47 – 108,49 = -52.507,76 €

11
12
 MATEMÁTICAS COMERCIALES (1º CURSO) 2 de febrero de 2021

SOLUCIONES

PROBLEMA 1. (1,5 PUNTOS) Se tiene que hacer frente a dos pagos de 2.000 € y 6.000 €
dentro de 4 y 8 meses respectivamente y, en su lugar, se decide realizar un único pago de
8.000 €.
a) ¿En qué momento (en meses) hay que hacerlo si nos aplican un 6 % de interés efectivo
anual?
b) ¿Cuál sería el vencimiento medio? Razona la respuesta.

a) (2.000 € , 4 meses) + (6.000 € , 8 meses) ~ (8.000 € , t)

C´
i = 0,06 C=
1+t·i

2.000 6.000 8.000

+ =
4 8 1 + t · 0,06
1 + 12 · 0,06 1 + 12 · 0,06

t = 0,5821138211 años = 7 meses

b) Como 8.000 = 2.000 + 6.000, el vencimiento medio es t = 7 meses.

PROBLEMA 2. (1,5 PUNTOS) Hace 3 años María ingresó 10.000 euros en un banco al 4 % de
interés efectivo semestral. Hoy finaliza la operación y con los intereses obtenidos paga la
matrícula de un máster quedándole de nuevo los 10.000 euros que esta vez invierte en un
negocio que le asegura para los próximos 5 años una rentabilidad del 9,6 % nominal
capitalizable cuatrimestralmente. Calcular:
a) ¿Cuánto le ha costado hoy la matrícula del máster?
b) Cantidad que recogerá dentro de 5 años de su inversión en el negocio.
c) ¿Cuál es el tanto de interés efectivo anual equivalente de esta segunda inversión?

a) i2 = 0,04
C’ = 10.000·(1,04)6 = 12.653,19 €  I = C’ – C = 12.653,19 – 10.000 = 2.653,19 € ha pagado
por la matrícula del máster.
b) j(3) = 0,096  i3 = 0,032 C’ = 10.000·(1,032)15 = 16.039,67 €
c) 1 + i = (1,032)3 de donde i = 0,099104768 = 9,9105 %

PROBLEMA 3. (1,5 PUNTOS) La compra hoy de un coche, que tiene un precio al contado de
30.000 €, se financia de la siguiente forma: una entrada de 6.000 € en el momento de la
compra, otros 6.000 € dentro de 6 meses y 36 cuotas mensuales iguales (la primera de ellas
se hará efectiva un año después de la compra).
Calcular el importe de dichas cuotas mensuales si los tipos de interés en esta financiación
son el 4 % efectivo anual el primer año y el 6 % nominal los tres años siguientes.

13
 30.000 = 6.000 + 6.000·(1,04)-1/2 + X·(1 año/ä36 0,005 )
1−(1,005)−36
30.000 = 6.000 + 5.883,48 + X·(1,04)-1·(1,005)·
0,005

18.116,52 = X ·31,76478012  X = 570,33 €

PROBLEMA 4. (1,5 PUNTOS) La Sra. Ortiz desea retirarse a vivir a una casa de campo en el
momento de su jubilación, que ocurrirá exactamente dentro de 10 años. Ella estima que en
el mismo momento en el que se jubile podrá adquirir la vivienda por
300.000 €. Actualmente dispone de 100.000 € en una cuenta bancaria y tiene previsto el
siguiente calendario de aportaciones hasta el momento de la jubilación:
 Durante los 7 primeros años, 1.000 € al final de cada trimestre
 Durante los 3 años restantes, 6.200 € al final de cada semestre
En el momento de la jubilación ¿cuánto dinero le sobrará tras adquirir la vivienda si el tipo
de interés pactado es del 8,4 % nominal pagadero trimestralmente para los 10 años?

j(4) = 0,084 i4 = 0,021 i2 = 0,042441

VS = 100.000·(1,021)40 + 1.000·(3 años/S28 0,021) + 6.200·S6 0,042441 =

= 229.630,56 + 1.000·(1,021)12·S28 0,021 + 6.200·S6 0,042441 =

= 229.630,56 + 1.000·(1,021)12·37,59309463 + 6.200·6,67380607 = 319.249,23 €

En el momento de la jubilación le sobrarán: 319.249,23 - 300.000 = 19.249,23 €

14
PROBLEMA 5. (2 PUNTOS) Se concede un préstamo hipotecario de 120.000 € para ser
amortizado mediante el método francés al 6 % nominal, con pagos mensuales y plazo de
amortización de 20 años.

a) Calcula la fila del cuadro de amortización correspondiente al primer pago, detallando las
operaciones realizadas.

Transcurridos los cuatro primeros años, el tipo de interés aplicado al préstamo varía
pasando a ser del 5,4 % nominal. Calcular:

b) La nueva mensualidad.

c) El total amortizado una vez se ha efectuado el primero de los nuevos pagos.

j(12) = 0,06  i12 = 0,005 n = 240 mensualidades

120.000 120.000
a) a = = = 859,72 €
a240⌉0,005 139,5807717

I1 = Ro·i12 = 120.000·0,005 = 600 €

A1 = a - I1 = 859,72 – 600 = 259,72 €

T1 = A1 = 259,72 €

R1 = C - T1 = 120.000 – 259,72 = 119.740,28 €

b) R48 = 859,72·a(240−48)⌉0,005 = 105.950,20 €

105.950,20 105.950,20
Nuevo j(12) = 0,054  nuevo i12 = 0,0045  a’ = = = 825,29 €
a192⌉0,0045 128,3798888

c) T49 = T48 + A49

T48 = 120.000 – R48 = 120.000 – 105.950,20 = 14.049,80 €

I49 = 105.950,20·0,0045 = 476,78 €  A49 = 825,29 – 476,78 = 348,51 €

Por ello: T49 = 14.049,80 + 348,51 = 14.398,31 €

De otra forma: T49 = 120.000 – R’49

1−(1,0045)−191
R’49 = 825,29 ·a(240−49)⌉0,0045 = 825,29· = 105.602,13 de donde
0,0045

T49 = 120.000 – 105.602,13 = 14.397,87 € (44 céntimos menos debido a los redondeos
realizados)

15
PROBLEMA 6. (2 PUNTOS) Completa la tabla y efectúa la liquidación de intereses de una
cuenta de crédito con los movimientos y datos indicados a continuación:

Fecha
Valor Concepto Cuantía Deudores
01/05 Gastos de apertura
16/05 Pago Talón n.º 100 -29.500
14/06 Ingreso en efectivo 35.300
30/06 Liquidación de intereses
60 882.000

Límite disponible = 30.000 € Gastos de apertura = 800 €

Comisión de disponibilidad = 2 % Comisión de excedido = 4 %
Tipo de interés acreedor = 1 % Tipo de interés deudor = 6 %
Tipo de interés excedido = 18 % IRC = 19 %

Números comerciales
Fecha
Valor Concepto Cuantía Saldo Días Deudores Excedido Acreedores
01/05 Gastos de apertura -800 -800 15 12.000

16/05 Pago Talón n.º 100 -29.500 -30.300 29 870.000 8.700

14/06 Ingreso en efectivo 35.300 5.000 16 80.000

30/06 Liquidación de intereses

60 882.000 8.700 80.000

882.000
SMD = = 14.700 €
60
SMND = 30.000 – 14.700 = 15.300 €

 Comisión de disponibilidad = 2 % de 15.300 = 306 €

 Comisión de excedido = 4 % de 300 = 12 €
0,18
 Intereses de excedido = 8.700· = 4,29 €
365
0,01
 Intereses acreedores = 80.000· = 2,19 €
365
 IRC = 19 % de 2,19 = 0,42 €
0,06
 Intereses deudores = 882.000· = 144,99 €
365

Nuevo saldo = 5.000 – 306 – 12 – 4,29 + 2,19 – 0,42 – 144,99 = 4.534,49 €

16
 MATEMÁTICAS COMERCIALES (1.er CURSO) 18 de enero de 2022
EXAMEN FINAL (PRIMERA CONVOCATORIA)
SOLUCIONES

Problema 1 (1,5 puntos)

Una empresa de servicios posee deudas con sus proveedores que pretende cancelar con
un único pago dentro de 90 días. Las deudas consisten en un pago de 25.000 € dentro de
30 días, 12.000 € dentro de 120 días y 20.000 € dentro de 240 días. (Considerar año
comercial)

a) Calcular la cuantía de dicho pago si el tipo de interés simple pactado es del 6 %.

b) Calcular el vencimiento medio.

Solución

C 25.000 12.000 20.000

a) 90 = 30 + 120 + 240
1+ ·0,06 1+ ·0,06 1+ ·0,06 1+ ·0,06
360 360 360 360

C 25.000 12.000 20.000

= + +
1,015 1,005 1,02 1,04

C = 55.871,10·1,015 = 56.709,17 €
57.000 25.000 12.000 20.000
b) = 30 + 120 + 240
1 + t·0,06 1+ ·0,06 1+ ·0,06 1+ ·0,06
360 360 360

2º miembro igual que en apartado a) y despejar: t = 4 meses y 1 día

Problema 2 (1,5 puntos)

Una entidad financiera ofrece para una operación de ahorro a 7 años los siguientes tipos
de interés: los 3 primeros el 6 % de interés efectivo semestral, los 3 años siguientes el 3 %
efectivo trimestral y el último año el 1 % efectivo mensual.

Se invierte al inicio 50.000 € y transcurridos 2 años se extraerán 30.000 €. Calcular el

montante acumulado al finalizar los 7 años.

Solución

50.000·(1,06)4 = 63.123,85 €
63.123,85 – 30.000 = 33.123,85 €
33.123,85·(1,06)2·(1,03)12·(1,01)12 = 59.793,74 €
O bien:

50.000·(1,06)6·(1,03)12·(1,01)12 – 30.000·(1,06)2·(1,03)12·(1,01)12 = 113.948,44 - 54.154,70 =

= 59.793,74 €

17
Problema 3 (1 punto)
¿A partir de qué cuantía estaría dispuesto a vender hoy una casa por la que comienzo a
recibir una renta mensual de 500 € al principio de cada mes por tiempo indefinido? Aplicar
para la valoración un tipo de interés efectivo anual del 3 %.

Solución

1
Valor actual = 500·ä∞⌉0,00246627 = 500·(1,00246627)· = 203.235,30 €
0,00246627

La vendería, como mínimo, por 203.235,30 €

Problema 4 (2 puntos)
Miguel prevé jubilarse dentro de 20 años y suscribe hoy un plan de pensiones con el
siguiente plan de inversión:

- cuotas trimestrales pospagables de 400 € durante los próximos 8 años, con un interés
nominal del 4 %,
- y 800 € trimestrales pospagables los 12 años siguientes con un interés nominal del 2 %.

Calcular el capital que tendrá acumulado Miguel en el plan de pensiones en el momento de

su jubilación.

Solución

Valor final = 400·S32⌉0,01 ·(1,005)48 + 800·S48⌉0,005 =

(1,01)32 −1 (1,005)48 −1
400· ·(1,005)48 + 800· = 62.332,59 €
0,01 0,005

18
Problema 5 (2 puntos)
La señora Martín solicitó hace 6 años un préstamo hipotecario por un importe de 200.000
euros a pagar en 30 años mediante cuotas mensuales constantes a un TIN del 7,2 %.
Calcular:

a) La cantidad mensual que amortiza el préstamo.

b) Total amortizado y capital vivo hoy, una vez realizado el pago correspondiente.

Si en el momento actual se le revisa el tipo de interés que pasa a ser un TIN del 6 %:

c) Calcular la nueva mensualidad que amortizará el préstamo.

d) Calcular la cuota de interés del primer pago después del cambio producido en el tipo de
interés.
Solución
0,072
a) j(12) = 0,072 ⇒ i12 = = 0,006 n = 360 mensualidades
12

200.000 200.000
a= = = 1.357,58 € mensuales
a360⌉0,006 147,3213568

1−(1,006)−288
b) R72 = 1.357,58·𝑎(360−72)⌉0,006 = 1.357,58·𝑎288⌉0,006 = 1.357,58· = 185.862 €
0,006

T72 = 200.000 – 185.862 = 14.138 €

0,06
c) Nuevo j(12) = 0,06 ⇒ i12 = = 0,005
12

185.862 185.862
a’ = = = 1.219,21 € mensuales
a288⌉0,005 152,4441214

d) I73 = R72·0,005 = 185.862·0,005 = 929,31 €

Problema 6 (2 puntos)
Completa la tabla y realiza la liquidación de intereses a fecha 31 de diciembre de la
siguiente cuenta de crédito cuyos movimientos durante el trimestre correspondiente y
datos de la misma se indican a continuación: Límite = 50.000 €; tipo de interés deudor = 6,5
%; tipo de interés excedido = 22 %; tipo de interés acreedor = 0,8 %; comisión de
disponibilidad = 1 %; comisión de excedidos = 12 %; IRC = 20 %

Números Comerciales
Fecha Cuantía Saldo días Deudores Excedidos Acreedores
valor
Saldo anterior 30-sep -23.000 33
Pago nóminas 02-nov -30.000 27
Transferencia 54.000
29-nov 32
desde otra entidad
Liquidación de
31-dic
intereses
92

19
Solución

Números Comerciales
Fecha
Cuantía Saldo días Deudores Excedidos Acreedores
valor
Saldo anterior 30-sep -23.000 33 759.000
Pago nóminas 02-nov -30.000 -53.000 27 1.350.000 81.000
Transferencia
29-nov 54.000 1.000 32 32.000
desde otra entidad
Liquidación de
31-dic
intereses
92 2.109.000 81.000 32.000

2.109.000
SMD = = 22.923,91 €
92

SMND = 50.000 - 22.923,91 = 27.076,09 €

cd = 1 % de 27.076,09 = 270,76 €
ce = 12 % 3.000 = 360 €
0,008
Ia = 32.000· = 0,70 €
365

IRC = 20 % de 0,70 = 0,14 €

0,065
Id = 2.109.000· = 375,58 €
365
0,22
Ie = 81.000· = 48,82 €
365

Nuevo saldo = 1.000 + 0,70 – 270,76 – 360 – 0,14 – 375,58 – 48,82 = -54,60 €

20
 MATEMÁTICAS COMERCIALES (1.er CURSO) 4 de febrero de 2022
EXAMEN EXTRAORDINARIO
SOLUCIONES
Problema 1 (1,5 puntos)

Se invierte un capital de 25.000 € durante 8 años: los 3 primeros al 2,25 % de interés

efectivo semestral y los 5 años siguientes al 6 % nominal pagadero bimestralmente.
Calcular:

a) el montante obtenido
b) el tanto medio de la operación.

Solución
j(6) 0,06
i2 = 0,0225 los 3 primeros años e i6 = = = 0,01 los 5 años siguientes
6 6

a) Montante C’ = 25.000·(1,0225)6·(1,01)30 = 38.508,90 €

b) Tanto medio: 38.508,90 = 25.000·(1 + imed)8 o (1 + imed)8 = (1,0225)6·(1,01)30

imed = 5,5486 %

Problema 2 (1,5 puntos)

Mi empresa debe a un proveedor 3 capitales de 8.000 €, 2.000 € y 1.000 € que vencen a

30, 60 y 90 días respectivamente.

Hemos pedido al proveedor que los agrupe en un único pago dentro de 120 días porque
antes no tenemos liquidez. El proveedor acepta la propuesta si le pagamos
11.172 € en esa fecha. ¿Qué tipo de descuento nos está aplicando este proveedor? (Usar
año comercial)

Solución
(8.000 € , 30 días) + (2.000 € , 60 días) + (1.000 € , 90 días) ~ (11.290 € , 120 días)
30 60 90 120
8.000·(1 - 360·d) + 2.000·(1 - 360·d) + 1.000·(1 - 360·d) = 11.172·(1 - 360·d)

11.000 – 1.250·d = 11.172 – 3.724·d

2.474·d = 172 de donde d = 0,069523 = 6,9523 %

Problema 3 (1 punto)

¿Cuánto dinero debo ingresar al principio de cada mes en una cuenta en la que me abonan
un interés efectivo anual del 8 %, si quiero disponer de 10.000 € dentro de 5 años?

Solución

i = 0,08  i12 = 0,006434

(1,006434)60 −1
Valor final = 10.000 = X· S̈60⌉0,006434 = X· 1,006434· = X· 73,41390724
0,006434

 X = 136,21 €

21
Problema 4 (2 puntos)

Para comprar una vivienda, Eulalia necesita hoy 150.000 euros y los pide a un banco que le
ofrece las siguientes condiciones:

 Devolución con 60 pagos trimestrales iguales pospagables.

 Tipos de interés aplicados:
o 4 % efectivo anual los dos primeros años
o 5 % nominal el resto del tiempo

Calcular la cuantía de los pagos que tendría que efectuar Eulalia para saldar la deuda.

Solución

Valor actual = 150.000 = X·(a8⌉i4 ) + X·(2 años/a52⌉i´4 ) =

1−(1,009853)−8 1−(1,0125)−52
= X· + X·(1,04)-2· =
0,009853 0,0125

= X·7,656633441 + X·35,19576027 = 42,85239371·X

150.000
X= = 3.500,39 €
42,85239371

Problema 5 (2 puntos)

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 60.000 € que se amortiza en 5

semestres, mediante pagos semestrales, a un interés efectivo semestral del 3 %, sabiendo
que:
 los dos primeros semestres hay carencia total (no se paga nada)
 el tercer semestre solamente se pagan intereses (carencia parcial)
 el cuarto y quinto semestre se amortiza la deuda con términos constantes.

Detallar todas las operaciones realizadas.

Solución
i2 = 0,03
periodo a Is As Ts Rs
0 60.000
1 - - - - 61.800
2 - - - - 63.654
3 1.909,62 1.909,62 - - 63.654
4 33.266,27 1.909,62 31.356,65 31.356,65 32.297,35
5 33.266,27 968,92 32.297,35 63.654 0

22
Fila 1: I1 = 60.000·0,03 = 1.800 € R1 = 60.000 + 1.800 = 61.800 €
Fila 2: I2 = 61.800·0,03 = 1.854 € R2 = 61.800 + 1.854 = 63.654 €
Fila 3: I3 = 63.654·0,03 = 1.909,62 € a = I3 = 1.909,62 € R3 = 63.654 €
63.654 63.654
Fila 4: a= = = 33.266,27 €
a2⌉0,03 1,913469696
I4 = 63.654·0,03 = 1.909,62 €
A4 = a – I4 = 33.266,27 - 1.909,62 = 31.356,65 €
T4 = A4 = 31.356,65 €
R4 = 63.654 – T4 = 63.654 - 31.356,65 = 32.297,35 €

Fila 5: a = 33.266,27 €
I5 = 32.297,45·0,03 = 968,92 €
A5 = a – I5 = 33.266,27 – 968,92 = 32.297,35 €
T5 = T4 + A5 = 31.356,65 + 32.297,35 = 63.654 €
R5 = 0 €

Problema 6 (2 puntos)

A vende a B por 10.000 € a pagar a 90 días, documentando la operación en una letra de

cambio, la cual se lleva al banco para su descuento al 7 % de tasa anual. Existen unos
gastos de comisión de cobranza del 0,4 % sobre el nominal (mínimo 50 €) y otros gastos
con la entidad de 20 €. Supuesto un timbre T = 55 €, determinar:
a) Efectivo abonado por el banco
b) Coste efectivo del cliente
c) TAE de la operación
Solución
a) gN = 0,4 % de 10.000 = 40 € Gc = 0 €
90
E = 10.000·(1 − 360 · 0,07) − max {40 , 50} − 20 = 9.825 – 50 – 20 = 9.755 €

b) L = E – T = 9.755 – 55 = 9.700 €
365
10.000
− 1 = 0,131483 = 13,1483 %
90
id = (9.700−0)

365
10.000
c) TAE = (9.755+20+50) − 1 = 0,074226 = 7,4226 %
90

23