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MINISTERIO DE EDUCACION SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004
Primera Fase – Nivel 2

21 de agosto de 2004
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba
para realizar tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Simplifica la siguiente expresión:

⎛ x2 − 9 ⎞
E =⎜ ⎟ − x + 2 ; x ≠ -3
⎝ x+3 ⎠
A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2
2. El director de un colegio salió de vacaciones a la ciudad de Arequipa. Durante sus días de

vacaciones se cumplió lo siguiente:
- Llovió siete veces en la mañana o en la tarde.
- Cuando llovió en la tarde estuvo clara la mañana.
- Hubo cinco tardes claras y seis mañanas claras.
¿Cuántos días estuvo de vacaciones el director?
A) 8 B) 9 C) 15 D) 10 E) 30
3. La siguiente tabla muestra los valores hallados para la función f ( x ) = x − p , donde m es

m
un entero positivo.
x 0 1 2 3 4
f ( x) -5 -4 -1 4 a
Halla el valor de a − m .
A) 5 B) 7 C) 2 D) 9 E) 11
4. Sea la función f ( x) = 2 x + 2 x − 10 cuyo dominio es el conjunto {2; 4;6} . Determina el rango

2
de f .
A) {2;16; 24} C) {2;30;74}
B) {5; 25;75} D) {8;16;32}
E) {3;12; 25}
5. La suma de dos números es 41. Si se disminuye en 6 unidades el primero y se aumenta en 5
unidades el segundo, el producto de tales números aumenta en 10 unidades, ¿cuál es la
diferencia entre el mayor y el menor de los números iniciales?
A) 9 B) 12 C) 8 D) 6 E) 11
6. En el conjunto R de los números reales, E es el complemento del intervalo <2;9] , halla

E∪<6;9] .
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2 1

A) <-∞;2> ∪<6;+∞ > B) <-∞;2]∪<6;+∞ > C) <-∞,9]
D) <6;+∞ > E) <-∞;2> ∪ [6;+∞ >
7. Halla el valor numérico de R:

23 ( xy + 10 ) y + 2 29
R= +
x+ y x
Cuando x = 23 + 29 e y = 23 − 29
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5
8. Carlos tiene 52 años. Esta edad es el doble de la edad que tenía Héctor cuando Carlos
tenía la edad que tiene Héctor. ¿Qué edad tiene Héctor?
A) 49 años B) 37 años C) 38 años D) 29 años E) 39 años
9. Si x 2 = y 2 + z 2 , simplifica la siguiente expresión:

⎛ x + y + z ⎞⎛ x + y + z ⎞⎛ x + y + z ⎞⎛ x + y + z ⎞
⎜ ⎟⎜ − x⎟⎜ − y ⎟⎜ − z⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
x( y + z) x2 x yz yz
A) B) C) y + z D) E)
4 2 2 2
10. Se tienen 48 naranjas divididas en tres grupos. Del primer grupo se pasan al segundo
tantas naranjas como hay en este. Luego, del segundo grupo se pasan al tercero tantas
naranjas como hay en este último. Finalmente, del tercer grupo se pasan al primero tantas
naranjas como hay ahora en el primero. Si cada grupo resulta con igual cantidad de
naranjas, ¿cuántas naranjas tenía inicialmente el primer grupo?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 22 E) 28
11. El polinomio x 2 − mx − 2 es divisible por x − 1 y el polinomio x 2 − nx + 2 es divisible por

x + 1 . Entonces el valor de m − n es:
A) -2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
12. Si m, n, p y k ( k >1) son cuatro números tales que se cumplen las siguientes igualdades:
21 + m 100 + n
= =k ; m + n +1 = k 2
21 − m 100 − n
Calcula k 3 + 1 .
A) 1 008 B) 1 001 C) 8 001 D) 513 E) 730
13. Observa que 9 − 2 14 = 7 − 2 , porque 7 + 2 = 9 y 7 × 2 = 14 . Usa este tipo de

simplificación para hallar el valor de:

3 4
+
7 − 2 10 8 + 2 12
A) 5− 6 B) 1 C) 6− 5 D) 5+ 6 E) 11
14. Un camión que transporta cierta cantidad de bolsas de cemento de igual peso tarda 16 horas
en hacer su recorrido. Si transportara igual número de bolsas pero teniendo cada bolsa 2
kilogramos más, se demoraría 17 horas. Si cada bolsa tuviera 8 kilogramos menos que las
iniciales y la cantidad de bolsas se aumenta en 5, el camión tardaría 15 horas en hacer su
recorrido. Calcula el número inicial de bolsas transportadas, considerando que el tiempo de
recorrido es proporcional a la carga.
A) 15 B) 20 C) 25 D) 28 E) 30
15. Se llaman números crecientes a aquellos números naturales que tienen sus dígitos ordenados
en forma creciente de izquierda a derecha. Por ejemplo, 1 478 es un número creciente pero 2
669, 7 541 y 2 548 no son crecientes. ¿Cuántos números crecientes existen entre 2 300 y 2
600?
A) 25 B) 27 C) 31 D) 42 E) 46
16. Simplifica
3
1 − 27 3 26 + 9 3 262 + 3 26 .
A) 3 B) 2 3 26 C) 3
26 D) 1 E) 3
26 + 1
17. Considera el conjunto A = {1; 2;3;...; 2003} . ¿Cuántos subconjuntos tiene A tales que la suma
de sus elementos sea 2 007 000?
n ( n + 1)
Nota: Recuerda que 1 + 2 + 3 + ... + n = .
2
A) Ninguno B) 3 C) 4 D) 1 002 E) 2 003
18. Sean x, y números que satisfacen:

x + 6 13 4 − y
+ = ; x≠0, y≠0
y xy x
¿Cuál es el valor de x + y ?
A) –2 B) -1 C) 0
D) 2 E) No se puede determinar

19. Un cuadrado antimágico es un tablero de 4 × 4 en el que se ubican los

números del 1 al 16 de tal modo que al sumar los elementos de cada y 14
fila, de cada columna y de cada diagonal principal se obtienen 10 x 9 3 7
números consecutivos. El diagrama muestra un cuadrado antimágico
12 13 5
incompleto. Halla el valor de x + 2 y .
10 11 6 4
A) 48 B) 47 C) 46 D) 45 E) 50
20. Un entero positivo n se dice que es curioso si al leerlo de izquierda a derecha se cumple
que cada par de sus dígitos ubicados en forma consecutiva es un cuadrado perfecto. Por
ejemplo, el número 3649 es curioso puesto que 36, 64 y 49 son cuadrados perfectos.
¿Cuántos enteros n mayores que 100 (incluyendo al número del ejemplo) son curiosos?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

Segunda Fase – Nivel 2

11 de setiembre de 2004

- Utiliza los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para
realizar tus cálculos.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Rolando leyó ayer la quinta parte de las páginas de un libro; hoy leyó la mitad de lo que le
quedaba por leer y todavía le faltan 80 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
2. Una delegación de 36 estudiantes viajará representando a su colegio en una competencia

deportiva. Cada estudiante representa a su colegio solo en una disciplina: fútbol, básquet o
tenis. Se sabe que la mitad del número de futbolistas más la tercera parte de basquetbolistas
es igual a 14. Además, el número de basquetbolistas más el doble del número de tenistas es
igual al número de futbolistas. ¿Cuántos tenistas conforman la delegación?
3. Calcula la suma de todos los números que satisfacen la siguiente ecuación:
3 x − 2 − 18 = x
4. Factoriza el siguiente polinomio, en el conjunto de polinomios con coeficientes enteros,

P ( x) = x 4 + 6 x 2 + 25
Indica como respuesta el número de factores primos.
5. Sea f una función definida en los números reales tal que:

f (0) = 2
f ( x + 1) = f ( x) + 2 x + 4 , para todo valor de x
Calcula el valor de f (1) + f (−1) .
6. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza la recta L paralela al lado AC. La bisectriz
interior del ángulo A corta a L en el punto M y la bisectriz exterior del ángulo C corta a la
recta L en el punto N. Si AB = 24 y BC = 36, calcula MN.
7. Santiago intercambió los dígitos de un número de tres cifras de modo que ningún dígito
quedó en su posición original y obtuvo así otro número de tres cifras. Después restó el
primer número menos el segundo y obtuvo como resultado un número cuadrado perfecto
de dos dígitos. ¿Cuántos posibles valores tiene este número cuadrado perfecto?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2 1

8. Encuentra la cantidad de números capicúas de 5 cifras que sean múltiplos de 37.
Nota: Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda
a derecha. Por ejemplo, 171, 2002 y 45054.
9. En un lejano país existen solamente tres tipos de monedas, cada una con un valor entero
de soles. Juan tiene cuatro monedas en su bolsillo derecho por un total de 28 soles y tiene
cinco monedas en su bolsillo izquierdo por un total de 21 soles, pero en cada bolsillo tiene
al menos una moneda de cada tipo. Calcula la suma de los valores de los tres tipos de
monedas.
10. Un tablero de 2 x 5, como el mostrado en la figura, debe cubrirse completamente con fichas de
colores de los tipos A, B y C mostradas. Las fichas del tipo A son azules, las del tipo B son
rojas y las del tipo C son verdes.
Halla el número de todas las formas posibles de cubrir el tablero. Ten presente que la ficha de
tipo B puede usarse tanto en forma horizontal como vertical y que no es obligatorio utilizar los
tres tipos de fichas en cada cubrimiento.

Tercera Fase – Nivel 2

16 de octubre de 2004
- Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado
con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las
respuestas.
1. Tengo cierto número de monedas, algunas en la mano derecha y otras en la izquierda. Si

pasara una moneda de la mano derecha a la izquierda, tendría igual número de monedas
en cada mano. Si en lugar de ello pasara una moneda de la izquierda a la derecha,
tendría en la mano izquierda la mitad de monedas que en la otra. ¿Cuántas monedas
tengo en total?
2. Doce árboles se encuentran alineados separados cada 5 metros. Un pozo de agua se

encuentra alineado con los árboles. El árbol más cercano al pozo se encuentra a 10
metros de éste. Un jardinero se encuentra junto al pozo y dispone solo de un balde con el
que lleva un balde de agua al primer árbol, luego regresa por más agua y lleva un balde
de agua al segundo árbol y vuelve al pozo. Continúa de esa manera llevando un balde de
agua a cada uno de los otros árboles hasta llevar agua al último árbol y volver al pozo.
¿Cuántos metros recorrió el jardinero en total?
3. Sean a y b dos números enteros positivos cuya suma es menor que 50 y tales que
⎛ 9 ⎞
10 ⎜⎜ 3 ⎟=
⎟ (a
a+b )b
⎝ 10 ⎠
3
Halla ab .
4. Calcula la suma de todas las cifras del resultado obtenido al operar:
1424 3 − 888...888
444...444 1424 3
100 dígitos 50 dígitos
5. Los polinomios P ( x ) = x 4 + ax 3 − bx 2 + cx + 2 , Q( x ) = x 4 + cx 3 − bx 2 + ax + 2 son distintos

y tienen solo dos raíces en común. Encuentra el valor de b.
6. Sea f un funcion definida en el conjunto de los números enteros positivos tal que:
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 1002
para todos los x e y enteros positivos. Si f (2004) = 1002 , encuentra f (5555) .
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 2 1

7. Halla el mayor valor de x que satisface la siguiente ecuacion en los números reales:
5x − 6 − x2
4 − x 4 − ( x − 2 ) 1 + ( x − 5 )( x − 7 ) =
2
8. La fracción f satisface la siguiente desigualdad:

52 16
< f <
303 91
Halla el menor valor positivo posible del denominador de f .
9. Halla el máximo valor que puede tomar x + y + z , sabiendo que x, y , z son números
enteros y que x 2 + y 2 + z 2 < xy + 3 y + 2 z .
10. En cierto país se desea emitir monedas cuyos valores sean tres cantidades enteras
positivas distintas, de tal manera que una persona que lleva k monedas convenientemente
elegidas, pueda pagar exactamente cualquier cantidad entera desde 1 hasta 99 (sin
recibir vuelto). ¿Cuál es el menor valor que puede tener k?

Cuarta Fase – Nivel 2

13 de noviembre de 2004
- Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN
1. Sean a y b números enteros tales que la ecuación en x
( ax − b ) + ( bx − a ) =x
2 2
tiene solo una raíz entera. Encuentra los valores de a , b y las correspondientes raíces de la
ecuación. Da todas las respuestas.
2. En una pizarra se escriben 20 números enteros consecutivos de dos cifras. Luego, se

borran, en primer lugar, los que terminan en 7 y en segundo lugar los múltiplos de 7. Si la
suma de los números que quedan es 660, ¿cuál es el menor número que se escribió en la
pizarra?
3. Sean m y n números enteros tales que m ≥ n ≥ 0 . Encuentra todos los pares ( m ; n ) que
satisfacen:
m 3 + n 3 + 99 mn = 33 3
4. En el siguiente tablero de 2 filas y 10 columnas:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
las casillas de la primera fila se llenan con los dígitos del 0 al 9. En cada casilla de la segunda
fila se escribe un número de tal manera que, en cada columna, el número de la segunda fila
sea igual a la cantidad de veces que el dígito de la primera fila aparece en todo el tablero.
Diremos entonces que el tablero se ha llenado correctamente.
Por ejemplo, el siguiente tablero de 2 filas y 4 columnas se encuentra correctamente lleno:
1 2 3 4
3 1 3 1
pues el 1 aparece 3 veces en el tablero, el 2 aparece 1 vez en el tablero, el 3 aparece 3 veces

en el tablero y el 4 aparece 1 vez en el tablero.
Sólo existen dos formas de llenar correctamente el tablero dado de 2 filas y 10 columnas.
Encuentra dichas formas.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 2 1


15 de julio de 2005
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
1. Ocho camisas y un pantalón cuestan S/. 125. Además, ocho pantalones y una camisa
cuestan S/. 370. ¿Cuál es el precio de un pantalón?
A) S/. 15
B) S/. 20
C) S/. 30
D) S/. 45
E) S/. 10
2. Para conocer el peso de un bebé recién nacido se hicieron las siguientes pesadas:
- El bebé y la madre pesaron a kilogramos.
- El bebé y el padre pesaron b kilogramos.
- El padre y la madre pesaron c kilogramos.
¿Cuántos kilogramos pesa el bebé?
a+b−c
A)
2
a+b+c
B)
2
a −b+c
C)
2
b+c−a
D)
2
a + b − 2c
E)
2
3. Una señora compró carne por un valor de S/. 3 y pagó con un billete de S/. 10. El
carnicero, que no tenía cambio, cruzó la calzada rumbo hacia la botica, cambió el billete
en dos monedas de S/. 5, cruzó nuevamente la calzada y cambió en la panadería una de
las monedas de S/. 5 en 5 monedas de S/. 1, con lo cual consiguió dar el vuelto a la
señora. Luego de algunos minutos el boticario devolvió al carnicero el billete de S/. 10
pues ¡oh, sorpresa! era falso. El carnicero apenado le entregó un billete de S/. 10
verdadero. ¿Cuánto perdió el carnicero?
A) S/. 20
B) S/. 17
C) S/. 13
D) S/. 10
E) S/. 5
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2 1

4. En un salón de clases hay una cierta cantidad de alumnos. Si al triple de dicha cantidad se le
aumenta en 5, resulta una cantidad no menor que 93. En cambio, si al doble de la cantidad de
alumnos se le disminuye 1, se obtiene una cantidad menor que 61. ¿Cuántos alumnos hay en
dicho salón de clases?
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
E) 35
5. Simplifica la siguiente expresión:
2 n +1 + 2 n + 2 + 2 n + 3 + 2 n + 4
2 n −1 + 2 n − 2 + 2 n −3 + 2 n − 4 .
A) 64
n
B) 2
C) 1
D) 32
E) 16
6. Simplifica la siguiente proposición:
~ [~ ( p ∧ q ) ⇒ ~ q] ∨ p .
A) p∨q
B) p∧q
C) p
D) p⇒q
E) q

7. En la figura se tiene que AB = BC , DC = DE y ∠DFB = 105° . Halla la medida de ∠FDA .

B
D C
A
A) 15°
B) 10°
C) 20°
D) 5°
E) 30°
8. Utilizando al mismo tiempo dos máquinas A y B se puede terminar un trabajo en 18 horas. Se

sabe que si se utiliza sólo la máquina A se demorará 27 horas más que utilizando sólo la
máquina B para concluir dicho trabajo. ¿Cuántas horas se necesitará para terminar el trabajo
utilizando sólo la máquina A?
A) 54
B) 53
C) 45
D) 35
E) 50
9. Calcula el producto de raíces de la ecuación: 2x + 5 = x + 4 5 .
A) 3 5
B) 25
C) − 25
D) 15
E) − 15
4
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
4
xy 3
10. Se sabe que: = . Calcula el valor de D = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ .
x2 + y2 6 ⎝ y⎠ ⎝ x⎠
A) 62
B) 98
C) 142
D) 167
E) 1 154

11. Si M = ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) − 7( x + 2) + 2 , halla el valor de:

4 3 2
M
.
( x + 1)( x 2 + 3 x + 6)
A) x
B) x −1
C) x+2
D) x−2
E) x +1
x3 + 1 6
12. ¿Cuántos valores reales de x satisfacen la siguiente ecuación = x + ?
x2 −1 x
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13. En la figura, calcula x.

b
a
b
a
100°
d c
3c x 3d
A) 100°
B) 120°
C) 135°
D) 145°
E) 150°
14. Sobre una recta se consideran cinco puntos consecutivos: L, I, S, E y D, que satisfacen
las siguientes condiciones:
• 8 LE=5 LD + 3 LS
• 5 ID+3 IS=64
Calcula la longitud IE del segmento cuyos extremos son los puntos I y E.
A) 25
B) 13
C) 11
D) 8
E) 5

15. En la siguiente multiplicación de un número de tres dígitos por un número de dos dígitos,
cada representa un dígito oculto. Calcula la suma de las cifras del producto.
×
3
0
4
1 5
A) 7
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
16. Halla los valores enteros de x e y que cumplen la ecuación:
2 x + 3 y = 3 y + 2 − 2 x +1 .
Da como respuesta el valor de x + y .
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
17. Cuando el polinomio x 4 + ax 3 − 7 x 2 + bx − 49 se divide por x − 3 el resto es

53 , y cuando se divide por x + 2 el resto es − 87 . Calcula ab .
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
18. La sucesión infinita 1234567891011121314151617181920212223... es obtenida escribiendo

los enteros positivos en orden. ¿Cuál es el 2005-ésimo dígito en esta sucesión?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

19. Una bandera consiste de una cruz blanca sobre un fondo negro. Tanto la franja vertical como
la franja horizontal son del mismo ancho. Las medidas de la bandera son 48 cm x 24 cm. Si el
área de la cruz blanca es igual al área de la parte negra de la bandera, ¿cuál es el ancho de la
cruz?
A) 4 cm
B) 8 cm
(
C) 36 − 12 5 cm)
D) (18 − 6 5 ) cm
E) (9 − 3 5 ) cm
20. Alicia y Bruno comparan la cantidad de monedas que tienen. Alicia dice “Si tú me dieras
un cierto número de monedas, entonces yo tendría seis veces la cantidad de monedas
que a ti te quedarían, pero si yo te diera ese mismo número de monedas, tú tendrías la
tercera parte de las monedas que a mi quedarían”. ¿Cuál es la menor cantidad de
monedas que Alicia puede tener?
A) 48
B) 45
C) 36
D) 24
E) 21


1. La suma de dos números es 41. Si se disminuye en 6 unidades el primero y se aumenta en 5

unidades el segundo, el producto de estos nuevos números aumenta en 10 unidades con
respecto al producto de los números iniciales. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor
de tales números iniciales?
2. Sea x un número real mayor que 1 que satisface la siguiente igualdad:
1
4
3 x
n
x ⎛1⎞
= 3 4 ⎜ ⎟
x ⎝ x⎠
1
Halla el valor de (n + 3) .
4
3. Ayer recibiste una cierta cantidad de problemas y sólo pudiste resolver 70, quedándote
más de la mitad sin resolver. Hoy recibiste 6 nuevos problemas y resolviste 36,
quedándote sin resolver, en total, menos de 42 problemas. ¿Cuántos problemas recibiste
ayer?
4. En la siguiente figura las rectas L1 y L2 son paralelas. Si x º + y º = 230º , calcula el valor de

a.
L1
150°
x°
y°
(150+a)°
L2

5. El siguiente triángulo numérico está formado por el -1 y todos los números impares positivos
en forma correlativa. Calcula la suma de todos los números ubicados en la fila 20.
Fila 1 -1
Fila 2 1 3
Fila 3 5 7 9
Fila 4 11 13 15 17
M N O
6. Sean x , y , z números reales positivos tales que xyz = 1 . ¿Cuántos valores enteros
puede tomar la expresión:
1 1 1
+ + ?
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
7. Juan debe escribir en la pizarra varios números enteros positivos distintos entre sí, de
modo que se cumplan las siguientes condiciones:
• El máximo común divisor de dos números cualesquiera tiene que ser mayor que 1.
• El máximo común divisor de tres números cualesquiera tiene que ser igual a 1.
• Cada número escrito tiene que ser menor que 5005.
¿Cuántos números, como máximo, podrá escribir Juan?
9 9 9 9
8. Sea f (n) el entero mas cercano a n . Calcula + + + ... + .
f (1) f (2) f (3) f (2005)
9. En un tablero cuadriculado de 123 × 123 casillas, cada casilla es pintada de rojo o azul de
acuerdo a las siguientes condiciones:
• Cada casilla pintada de rojo que no esté en el borde del tablero tiene exactamente 5
casillas azules entre sus 8 casillas vecinas.
• Cada casilla pintada de azul que no esté en el borde del tablero tiene exactamente 4
casillas rojas entre sus 8 casillas vecinas.
Halla el número de casillas pintadas de rojo en el tablero.
Nota.- Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice común.
10. Sea n un número entero positivo de tres dígitos. Se multiplican sus dígitos para obtener otro
número como resultado. Se multiplican los dígitos de este nuevo número para obtener un
tercer número. Después de repetir este proceso cierta cantidad de veces se obtiene como
resultado el número 4. Entre todos los valores que puede tomar n , ¿cuál es el segundo
mayor?


- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
- La respuesta de cada problema es un número entero.
1. En el triángulo ABC, los puntos D y M se encuentran sobre los lados AC y BC,

respectivamente. Se sabe que AB = BD , ∠DBC = 48 y ∠ABD = ∠MAC = ∠BCA .
o
Halla, en grados sexagesimales, el menor ángulo que forman los segmentos AM y BD.
2. En el centro de un terreno rectangular de 60m × 80m se construirá una piscina rectangular

de modo que el espacio restante constituya un sendero de ancho uniforme que rodeará a
1
la piscina. El área que ocupará la piscina es del área del terreno. ¿Cuántos metros
6
mide el ancho del sendero?
3. ¿Cuántos números enteros positivos de tres cifras tienen algún 7 en su escritura?
4. Si x es un número real mayor que 1, simplifica
x −1
3x −1 + 4 x −1 + 6 x −1
41− x + 61− x + 81− x
5 p 7
5. Si p y q son números enteros positivos tales que < < ¿cuál es el menor valor de p
8 q 8
si se debe cumplir que p + q = 2005?
6. Sean x e y números enteros tales que 4x + 5y = 7. Halla el mínimo valor de 5|x| - 3|y|.
7. Dado el siguiente polinomio:

P ( n ) = n 3 − n 2 − 5n + 2
Halla la suma de los valores absolutos de los enteros n , de modo que P 2 (n) sea el
cuadrado de un número primo.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Tercera Fase – Nivel 2 1

8. Las fichas de dominó son rectángulos cada uno de los cuales está formado por dos
cuadrados. Cada uno de estos cuadrados tiene un número de puntos entre 0 y 6,
inclusive. El siguiente gráfico muestra las 28 fichas de dominó existentes.
Se coloca en cierto orden las 28 fichas de dominó en un rectángulo de 7×8. En el diagrama se

muestra la cantidad de puntos existentes en cada posición.
6 0 4 2 2 3 3 6
4 4 2 1 5 3 5 1
0 4 6 5 6 1 5 2
0 5 1 1 1 0 2 4
1 4 2 3 0 2 1 0
4 5 2 0 6 6 3 5
3 6 6 3 4 5 3 0
¿Cuál es el número de fichas que se encuentran completamente incluídas en la zona

sombreada del rectángulo?
(a − b)(b − c)(c − a ) 19 ⎛ a b c ⎞
9. Si = , calcula E = 99⎜ + + ⎟.
(a + b)(b + c)(c + a ) 99 ⎝a+b b+c c+a⎠

10. En un tablero de ajedrez, de 8×8 casillas, un rey se encuentra en la casilla R. Cada

movimiento del rey es el desplazamiento de una casilla, horizontalmente, verticalmente o
en diagonal.
¿De cuántas formas puede ir el rey de la casilla R a la casilla S en exactamente 8

movimientos?

¡NO OLVIDES GRABAR TUS RESPUESTAS!



- No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Cada problema bien resuelto y debidamente justificado se calificará con 25 puntos.
- Entrega sólo tu cuadernillo de soluciones.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TU DESARROLLO
1. Las familias Pérez, Vásquez y Robles crían ovejas. Entre las tres familias tienen 162 ovejas.
Además se sabe que los Pérez tienen el doble de ovejas que los Vásquez, mientras que los
Robles tienen las tres cuartas partes de ovejas que los Pérez. Halla el número de ovejas que
tiene cada familia.
2. En el tablero cuadriculado que se muestra, se coloca una ficha en cada casilla blanca.
Una jugada consiste en elegir tres casillas del tablero, que formen una “escuadra” en
cualquiera de las formas que se muestran a continuación,
y añadir una ficha en cada una de estas tres casillas. Explica cómo realizar varias jugadas,
para conseguir que las 25 casillas tengan la misma cantidad de fichas.
3. Encuentra todos los números naturales de cuatro cifras que coinciden con la suma de las
potencias quintas de sus cifras.
4. En una lista infinita de enteros no negativos se cumple que, a partir del tercer término, cada
uno de ellos es igual al valor absoluto de la diferencia entre los dos términos inmediatamente
anteriores. Demuestra que en esta lista hay infinitos términos iguales a cero.
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 - Cuarta Fase - Nivel 2


09 de junio de 2006
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar notas o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus cálculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
1. ¿Cuántos números enteros n satisfacen la siguiente desigualdad?

3 n 9
< <
8 6 5
A) 10 B) 12 C) 8 D) 94 E) 7
2. ¿Cuántos números enteros mayores que 1 cumplen con la siguiente condición: la tercera
parte del número más 15 es mayor que su mitad más 1?
A) 14 B) 82 C) 28 D) 83 E) 42
1 1
3. Si = 4 entonces es
2k + 5 2k + 7
4 4 5 2
A) B) C) 6 D) E)
9 5 4 9
4. Tres números enteros positivos distintos suman 84, ¿cuántos valores distintos puede
tomar el segundo mayor?
A) 40 B) 82 C) 28 D) 42 E) 84
5. ¿Cuántos números primos de dos dígitos cumplen que la suma de sus cifras es 11?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5
6. En un triángulo LOT, la medida del ángulo exterior en el vértice O es 620 , las

mediatrices de LO y OT cortan al lado LT en M y N respectivamente. ¿Cuál es la medida
del ángulo MON?
A) 31 B) 62 C) 124 D) 56 E) 26

7. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, FC es bisectriz del ángulo EFD. Calcula el valor
de x.
A) 950 B)1000 C) 1050 D) 1100 E) 1200
8. En la siguiente tabla se muestran los valores hallados para la función f ( x) = x m − p ,
x 0 1 2 3 4
f(x) -5 -4 -1 4 a
Halla a-m
A) 4 B) -4 C) 1 D) 8 E) 9
9. Al escribir el número 3 a la derecha del número R que tiene dos cifras, se obtiene otro
número que es igual a R aumentado en 246 unidades. El producto de las cifras de R es:
A) 14 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
10. Al aumentar 6 m al largo y ancho de un terreno rectangular, su área queda aumentada

en 168 m2. Halla el perímetro del terreno.
A) 44 m B) 22 m C) 48 m D) 52 m E) 56 m
11. La expresión x#y sólo es válida si x=2 mn , y=3 nm , donde m y n son enteros positivos
con n≠ 1. Si se define x#y= m 2 + n 2 , halla el máximo valor que puede tomar la
expresión 128 # y.
A) 5 B) 2 17 C) 2 10 D) 4097 E) 768
12. Al sumar el cuadrado de la suma de las cifras de un número de 2 cifras con dicho
número se obtiene el número original con las cifras invertidas. Calcula la suma de
valores que puede tomar dicho número.
A) 72 B) 37 C) 63 D) 36 E) 27
13. Calcula el mínimo valor de f ( x) = 32 − 8 x + x 2
A) 4 B) 0 C) 2 D) 4 2 E) 17

14. Un padre brasileño, emocionado por el mundial, decide darle una propina a su hijo. Por
el total de goles que meta cada jugador de la selección brasileña le dará en dólares el
equivalente al cuadrado de esos números. Si se sabe que solo metieron goles
Ronaldhino, Ronaldo y Kaká, que anotaron en total 13 goles y que su hijo recibió 57
dólares en total. ¿Cuántos goles anotó Ronaldhino, si fue el que más goles anotó?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
15. Calcula a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , si abcd = a.( ab − 3).( dc − 1) , donde cada factor mostrado de

abcd es primo y además d es par.
A) 101 B) 40 C) 30 D) 61 E) 130
16. Se tienen k números enteros positivos no necesariamente diferentes cuya suma de sus
potencias cuartas es 370. Calcula el menor valor de k.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
17. Jorge escribe en la pizarra los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, … obteniendo cada uno de ellos
como la suma de los dos anteriores, excepto el primero y el segundo. Si x e y son los
números que ocupan las posiciones 2004 y 2006 respectivamente. Calcula el máximo
común divisor de x e y.
A) 2 B) 1 C) 2006 D) 2004 E) 2005
18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos tienen la propiedad que la suma de sus dígitos es
mayor que 33?
A) 11 B)13 C) 15 D) 18 E) 20
19. Andrea escribe un número de dos cifras, luego, Beatriz suma los cuadrados de las cifras
del número escrito por Andrea y finalmente, Camila suma los cuadrados de las cifras del
número escrito por Beatriz. ¿Cuál es el mayor valor que puede obtener Camila?
A) 41 B) 130 C) 145 D) 157 E) 162
20. Sea ABCD un cuadrilátero tal que AC=BC+CD. Si la medida del ángulo BCD es 1200 y CA es su
bisectriz y además AB=5cm, el valor de BD es:
A) 2,5 B) 5 3 C) 10 D) 5 E) 7,5


EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1. ¿Para cuántos valores enteros de k el siguiente sistema de ecuaciones tiene

solución única?
x 2 + y 2 = 2k 2
kx − y = 2k
2. Un número entero positivo es “simpático” si es múltiplo del producto de sus cifras.

Por ejemplo 312 es simpático porque 312=52 (3x1x2). ¿Cuántos números
simpáticos de dos cifras existen?
3. Para cada entero positivo n se define f(n) como el cuadrado de la suma de las
cifras de n. Encuentra f(f(f( …f(2)… ))), donde f se aplica 2006 veces .
x3 + 2 x 2 + 9
4. ¿Cuántos números enteros x cumplen que es un entero?
x2 + 4x + 5
5. En el lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto P de manera que AB + BP =

PC. Sea R el punto medio de AC. Si la medida del ángulo RPC es 43°, halla la
medida del ángulo ABC.
6. La siguiente lista infinita 149162536... , se ha formado escribiendo los cuadrados

de todos los números enteros positivos, uno a continuación del otro, en orden
creciente. ¿Qué dígito ocupa la posición 1000 en esta lista?
7. Si x 2 − x − 1 es un factor del polinomio ax 7 + bx 6 + 1 , donde a y b son números

enteros, encuentra b − a .
8. Encuentra el mayor entero positivo n para el cual existe un único entero k tal
que
8 n 7
< < .
15 n + k 13

9. Halla el menor valor entero que puede tomar la expresión

a b c
12( + + )
a+b b+c c+a
siendo a , b y c números reales no negativos para los cuales tengan
sentido las fracciones consideradas.
10. Se tiene el siguiente tablero de 2 x 6
Halla de cuántas maneras se puede ir desde el punto A hasta el punto

B desplazándose por los segmentos del tablero respetando las
siguientes reglas:
- No se puede pasar dos veces por un mismo punto.
- Sólo se pueden hacer tres tipos de movimientos desplazándose por los
segmentos: hacia la derecha,
hacia arriba,
hacia abajo.
- Se tiene que pasar por el punto C.



- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y
graba tus respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última
grabación de tus respuestas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA CORRECTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
1. Rosa y Susana tienen ciertas cantidades de dinero. Si Rosa le diera a Susana la tercera parte de lo que tiene,
Susana tendría S/. 90 más que Rosa, pero si Susana le diera a Rosa la tercera parte de lo que tiene, Rosa
tendría S/. 50 más que Susana. ¿Qué cantidad de dinero tienen Rosa y Susana juntas?
2. Para dos números enteros positivos a y b llamamos MCD(a ,b) = d y MCM(a ,b) = m
Si se cumple que:
• a>b
• a no es múltiplo de b
• m . d = 60
• m 2 – d 2 = 896
halla a – b
3. ¿Cuántos números capicúas de 7 dígitos son múltiplos de 4? (El número no puede comenzar con 0.)
4. ¿Para cuántos números enteros x se cumple que x2 + 3x + 5 es un cuadrado perfecto?
5. Sea f la función que asigna a cada número natural n la suma de los cubos de sus dígitos.
Calcula f( f(...f( 80 )...)) (Aplica 2006 veces f )
6. Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros, tal que P(1) = 3, P(2) = 7. Calcula el residuo de dividir
P(2006) entre 15.
7. (a, b, c, d, e, f) es una permutación de (1, 2, 3, 4, 5, 6). Si M es el producto de a, b y c; y N es el producto

de d, e y f, halla el menor valor que puede tomar M + N.
8. Halla el valor absoluto del coeficiente de x2 en el polinomio

P ( x) = (1 − x)(1 + 2 x)(1 − 3x)(1 + 4 x)...(1 − 9 x)(1 + 10 x) .
9. ¿De cuántas maneras se puede pintar un tablero rectangular de 4 filas y 5 columnas siguiendo las siguientes
reglas?
a) Cada casilla del tablero se debe pintar de rojo o de blanco
b) En cada columna la cantidad de casillas rojas debe ser igual a la cantidad de casillas blancas.
c) No debe haber 4 casillas del mismo color cuyos centros formen un rectángulo con lados paralelos a
los del tablero.
10. ¿Cuántos polinomios p(x) de grado mayor o igual que 1 y de coeficientes enteros cumplen la condición
16 p( x 2 ) = [ p(2 x)] 2 , para todo número real x ?



- Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los
pasos.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de los problemas.
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TUS SOLUCIONES
1. Sea x un entero positivo tal que los números 6x + 1, 7x + 4 y 8x + 9 son todos

cuadrados perfectos. Prueba que x es múltiplo de 20.
2. Halla todos los polinomios no nulos P(x) y Q(x) tales que P(Q(x))=P(x)⋅ Q(x), para todo
número real x.
3. Encuentra todos los pares de enteros positivos (a, b) tales que a2 + a + 2b y

b2 + b + 2a sean cuadrados perfectos.
4. En una secuencia de 900 términos, donde cada uno vale 1, 2 ó 3, se cumple que en 5
términos consecutivos cualesquiera hay por lo menos un 1, en 4 términos consecutivos
cualesquiera hay por lo menos un 2 y en 3 términos consecutivos cualesquiera hay por
lo menos un 3. ¿Cuál es la mayor cantidad de unos que puede tener la secuencia?
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Carta Fase – Nivel 2 1

Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA Sociedad Matemática
de Educación (ONEM 2007) Peruana
Primera Fase - Nivel 2
13 de julio del 2007
- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.
- No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
tus cálculos.
prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.

1. Un padre le dice a su hijo: “ahora tienes treinta años menos que yo. Si salgo bien de la
operación de mi corazón, podrı́a verte hasta cuando tengas mi edad actual, y mi edad
serı́a entonces cinco veces la edad que tienes ahora”. ¿Cuál es la edad actual del padre?
A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60
2. Un taller de confecciones de polos invierte S/.4514 en comprar remalladoras. Si cada
polo producido tiene un costo de S/.11,20 por el material y la mano de obra, y se
puede vender a S/.19,40, ¿cuántos polos deberá confeccionarse para obtener S/.10 000
de ganancia?
A) 515 B) 550 C) 1065 D) 1219 E) 1770
3. Un ropero tiene tres cajones, cada cajón contiene dos cajas rojas y una blanca. Cada
caja roja contiene un polo rojo y dos polos blancos, cada caja blanca contiene dos polos
rojos y un polo blanco. ¿Cuántos polos rojos hay en total?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
4. Halla el valor de A + B + C, sabiendo que
√ √
2A + B + C = 8, A + 2B + C = 6 + 3, A + B + 2C = 10 − 3
√ √
A) 6 B) 8 C) 4 3 D) 12 E) 8 3
5. Juan escribe ordenadamente 40 enteros consecutivos. La suma de los 20 primeros es
110. Calcula la suma de los otros 20 enteros consecutivos.
A) 550 B) 510 C) 440 D) 220 E) 500
1
6. Resuelve la ecuación 22x+1 = 4x + 64.

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 3
7. El triángulo ABC es equilátero y las rectas L1 y L2 son paralelas. Halla el valor de x.
A) 30o B) 40o C) 45o D) 50o E) 60o

8. En un salón de clases, el promedio de las calificaciones de un examen de matemática
fue 15,6875. Si las notas se asignan usando números enteros no negativos, ¿cuál es el
número mı́nimo de alumnos con el cual es posible obtener este promedio?
A) 8 B) 10 C) 16 D) 32 E) 40
9. La secuencia de números t1 , t2 , t3 , . . . está definida por

tn − 1
t1 = 2, tn+1 = ,
tn + 1
para cada entero positivo n. Halla t2007 .
1 1
A) -3 B) − C) D) 2 E) 3
2 3
10. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior CD con D en el lado AB, luego se
ubica el punto E en AC tal que m∠CDE = 90o . Sabiendo que m∠B − m∠A = 50o ,
calcula la medida m∠ADE.
A) 25o B) 30o C) 40o D) 45o E) 50o
2
11. Completa el siguiente tablero 7 × 7 con números de tal forma que la suma de los
números escritos en tres casillas consecutivas (en la misma fila o en la misma columna)
sea siempre 20:
6
4
Halla el valor de x.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 9 E) 11
12. Si la ecuación cuadrática
x2 − 2n x + n + 3 = 0
b a
tiene conjunto solución { + 1, + 1}, calcula n2 .
a b
A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9
13. En el interior de un triángulo ABC se toma el punto E tal que AE = BE y AB = EC.
Si ∠ABE = x = ∠ECA ; ∠EAC = 2x y ∠EBC = 5x, calcula el valor de x.
A) 10o B) 12o C) 15o D) 18o E) 20o
p
14. Una fracción , con p y q enteros positivos se denomina irreductible si el máximo
q
1 2 3 71
común divisor de p y q es 1. ¿Cuántas de las 71 fracciones , , , ..., son
72 72 72 72
irreductibles?
A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 36
15. La moneda nacional de un lejano paı́s es el dorado. Las monedas de 1 dorado tienen
el 45 % de oro y pesan 10 gramos, las monedas de 2 dorados tienen el 55 % de oro y
pesan 20 gramos, y las monedas de 5 dorados tienen el 65 % de oro y pesan 30 gramos.
Se funden x monedas de 1 dorado, 3 de 2 dorados y 4 de 5 dorados para hacer una
medalla. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la medalla tenga el 50 % de oro?
A) 40 B) 42 C) 45 D) 48 E) 50
3
16. En una competición escolar de gimnasia rı́tmica, las participantes son evaluadas por
siete jueces que asignan puntajes enteros del 1 al 10, inclusive. El puntaje total de cada
participante se obtiene de la siguiente manera:
Se eliminan el puntaje más alto y el puntaje más bajo, asignado por los jueces.
Se suman los cinco puntajes restantes.
Después de la actuación de Urpi, los puntajes que asignaron cinco de los jueces fueron
7, 9, 7, 8 y 8. Si el puntaje total de Urpi fue 40, ¿cuál es el menor de los puntajes dados
por los otros dos jueces?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
17. Una familia compuesta por un papá, una mamá y 6 hijos va al cine ¿De cuántas formas
se pueden ubicar en una fila de 8 asientos si entre los dos padres debe haber una
cantidad par de hijos?
Nota.- Ten en cuenta que el cero es número par.
A) 11520 B) 12960 C) 17280 D) 23040 E) 40320
18. El profesor de matemática escribe doce números naturales consecutivos en la pizarra,
luego un alumno borra uno de los números y calcula la suma de los once números que
quedaron. Si el resultado de esa suma es 2007, ¿cuál es la suma de las cifras del número
que borró?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
19. Encontrar el menor entero positivo de cuatro cifras N = abcd tal que abcd es igual al
producto de ab por cd . Da como respuesta la suma de las cifras de N .
A) 18 B) 19 C) 20 D) 24 E) 27
20. Un conjunto de números enteros positivos consecutivos se denomina monce si la suma
de las cifras de cada uno de sus elementos no es divisible por 11. Por ejemplo, el conjunto
{98, 99, 100, 101} es monce y el conjunto {82, 83, 84} no lo es. ¿Cuál es el mayor número
de elementos que puede tener un conjunto monce?
A) 25 B) 28 C) 35 D) 38 E) 39
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
4
Segunda Fase - Nivel 2
14 de septiembre del 2007
tus cálculos.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.

EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. ¿Cuál es el menor número natural múltiplo de 5 tal que la suma de sus dı́gitos es 26?
2. En un triángulo isósceles de ángulos agudos, uno de sus ángulos es el doble del otro.
Halla la medida del ángulo que es distinto de los otros dos.
3. Dos amigas, Cristina y Diana, se dan cuenta de algunas curiosidades cuando caminan.
En cada paso Cristina avanza 70 cm, mientras que Diana avanza 50 cm en cada paso.
Además, por cada cuatro pasos que da Cristina, Diana da cinco pasos. Cristina y Diana
están a 106 m de distancia entre ellas y van a encontrarse avanzando en lı́nea recta.
¿Cuántos pasos habrá dado Diana hasta encontrase con Cristina?
4. Una función definida en los números reales tiene las siguientes propiedades:
i) f (1) = 1
ii) f (2x) = 4f (x) + 6 ; ∀x ∈ R
iii) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 ; ∀x ∈ R
Calcula f (5) + 6f ( 32 )
1
14 de septiembre del 2007
5. ¿Cuántas fichas de la forma
se pueden colocar como máximo en la siguiente cuadrı́cula
sin superposiciones y estando permitido rotar las fichas? (Los cuadraditos de las fichas
y de la cuadrı́cula son del mismo tamaño).
6. Halla el mayor número natural N para el cual existen tres números naturales cuya
suma es 120 y su producto es divisible por 3N .
7. ¿Cuántos números naturales de 13 dı́gitos son múltiplos de 128 y cumplen que cada
uno de sus dı́gitos es 2 ó 7?
8. Sea n un número natural de 8 divisores y p un número primo. Si p2 + n2 = r2 y r es

un número natural, halla p + r.
9. En cada casilla de un tablero de 4 × 4 se escribe el número 1 ó el número 2, de tal modo

que haya ocho de cada uno. En el tablero, a cada cuadrado de 2 × 2 casillas se le asigna
un número que es igual al producto de los números escritos en cada una de sus casi-
llas. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los nueve productos obtenidos?
1 1 1 1
10. Si a, b, c, d son las raı́ces de la ecuación x4 − 3x3 + 1 = 0, calcula + + +
a6 b6 c6 d6
2
Tercera fase - Nivel 2
19 de octubre del 2007
tus cálculos.
- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus
respuestas. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de la última grabación de tus
respuestas.
EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.

1. Sea N un número de dos cifras y múltiplo de 9. Si se invierte el orden de las cifras de
N se obtiene otro número que al sumarle 4 es un múltiplo de 7. Halla N .
2. En una universidad se hizo una encuesta acerca de la aceptación de una nueva ley y los
resultados fueron:
a) El 50 % de los encuestados está a favor.
b) El 40 % de los hombres encuestados está a favor.
c) El 30 % de las mujeres encuestadas está en contra.
¿De las personas que están en contra, qué porcentaje son mujeres?
3. En la siguiente gráfica se muestran dos figuras en forma de zig-zag hechas con cuadra-
ditos de 1 cm de lado. La primera tiene cinco cuadraditos y su perı́metro es 12 cm, la
segunda tiene 9 cuadraditos y su perı́metro es 20 cm. ¿Cuál es el perı́metro de la figura
en forma de zig-zag que tiene 37 cuadraditos?
4. Al dividir el polinomio P (x) entre el polinomio x3 − 3x +2 se obtiene como resto 2x2 + 5

y al dividir P (x) entre el polinomio x2 + x − 2 se obtiene como resto mx + n. Calcula
m + 2n.
Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2007
1
5. En un triángulo ABC, se ubica el punto D en el lado AC de tal forma que AC = BD

y 4 ∠BAC = 3 ∠BCA = 6 ∠CBD. Halla la medida del ángulo ABD.
6. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros números natu-
rales. B es un subconjunto de A que tiene las siguientes propiedades:
La suma de dos elementos cualesquiera de B nunca es 2008.

La diferencia de dos elementos cualesquiera de B nunca es 1.
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener B?

7. Se dice que un número de tres cifras es isósceles si sus dı́gitos representan los lados de
un triángulo isósceles. Por ejemplo 331 es isósceles pero 229 no lo es. ¿Cuántos números
isósceles de tres cifras hay?
8. Sean x, y, z números reales tales que:
x2 − yz = 6
y 2 − zx = 8
z 2 − xy = 10
z−x
Halla .
y
9. En la pizarra se han escrito tres números de cuatro cifras. Si en estos números se
reemplazara cada dı́gito 2 por el dı́gito 3, la suma de los nuevos números serı́a 10985;
pero si en vez de cambiar cada dı́gito 2 se cambia cada dı́gito 4 por el dı́gito 7, la suma
de los nuevos números serı́a 11667. ¿Cuál es la suma de los números originales?
10. En una reunión de 20 personas, cada una tiene exactamente dos amigos en la reunión.
A la medianoche cada persona debe colocarse un polo de una determinada marca, de
tal manera que si dos personas tienen un amigo en común, cada una de ellas debe tener
puesto un polo de la misma marca. ¿Cuál es la mayor cantidad de marcas de polos que
se puede usar?
2
Cuarta fase - Nivel 2

02 de diciembre del 2007
Problema 1.- Encuentra todos los números primos m y n tales que m < n y los números
2m + n, m + 2n y m + n − 18 sean también primos.
Problema 2.- Daniel dispone de fichas cuadradas de lado 1, con las cuales forma polı́gonos.
Decimos que uno de los polı́gonos formados es incaico si todos sus lados tienen longitud
1. Por ejemplo
el polı́gono (A) es incaico y el polı́gono (B) no lo es. Demuestra que para todo entero
N ≥ 11, Daniel puede construir un polı́gono incaico formado con N fichas.
Problema 3.- Halla todos los números enteros r para los cuales es posible encontrar una
función f : Z+ −→ Z que cumple la siguiente condición:
la sucesión
f (1) × f (3); f (2) × f (4); f (3) × f (5); · · · ; f (n) × f (n + 2); · · ·
es una progresión aritmética de razón r.
Nota.- Z+ es el conjunto de los números enteros positivos, {1, 2, 3, 4, · · · }.
Problema 4.- Enrique dibujó 2n rectas en el plano, donde n es un entero positivo, y se dio
cuenta de que no habı́an tres rectas concurrentes (tres rectas con un punto común).
Luego pintó de rojo cada punto de intersección y contó la cantidad de puntos rojos de
cada recta. Si de estas 2n cantidades, la mitad de ellas valen 2007 y la otra mitad valen
2008, ¿Cuántas rectas dibujó Enrique?

1
20 de junio del 2008

tus cálculos.

1. En la siguiente figura se muestran un cuadrado, un triángulo equilátero y los ángulos
x, y, z.
Halla x + y + z.
A) 240◦ B) 270◦ C) 300◦ D) 330◦ E) 360◦
2. Halla el menor número capicúa mayor que 2008. Da como respuesta la suma de los
cuadrados de las cifras de dicho número.
Nota.- Un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda
se denomina capicúa, por ejemplo 14441, 2002 y 25452 son capicúas.
A) 8 B) 10 C) 16 D) 12 E) 20
3. En un salón de clase, el profesor escribe 30 números en la pizarra y le pide a Israel que
calcule el promedio de los 30 números, a John el promedio de los 20 primeros y a Daniel
el promedio de los 10 últimos. Si John le dictó al profesor el número 10 y Daniel, el
número 40, ¿qué número dijo Israel?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
4. Calcula (12 − 22 − 32 + 42 ) + (52 − 62 − 72 + 82 ) + · · · + (20052 − 20062 − 20072 + 20082 ).
A) 502 B) 1004 C) 2008 D) 0 E) −2008
1
5. Sea A la cantidad de dı́gitos de 168 × 530 y B la suma de dı́gitos de 168 × 530 . Halla
A + B.
A) 4 B) 30 C) 31 D) 35 E) 34
6. Ana, Bertha, Carla y Diana tienen juntas 200 nuevos soles y juegan con su dinero del
siguiente modo: Ana le da la mitad de lo que tiene a Bertha, luego Bertha le da la
mitad de lo que tiene a Carla y en seguida Carla le da la mitad de lo que tiene a Diana,
quien finalmente le da 10 nuevos soles a Ana. Si al final del juego todas tienen igual
cantidad de dinero, ¿cuántos nuevos soles tenı́a Ana al comenzar el juego?
A) 10 B) 40 C) 50 D) 60 E) 80
7. Si 64x + 64−x = 1022, entonces 8x + 8−x es igual a:
A) 16 B) 30 C) 32 D) 64 E) 128
8. Un libro de 100 páginas tiene numeradas sus páginas desde el 1 hasta el 100. ¿Cuántas
de estas páginas tienen algún dı́gito 5 en su numeración?
A) 10 B) 15 C) 19 D) 20 E) 18
9. Dante prestó 750 nuevos soles a cada uno de sus amigos Andrés, Bruno y Cristóbal, con
la condición de que cada uno le devuelva 810 nuevos soles. Actualmente la deuda de
Andrés es igual al triple de la deuda de Bruno, e igual al doble de la deuda de Cristóbal.
Si lo que ya pagó Andrés es a lo que ya pagó Cristóbal como 3 es a 4, ¿cuánto debe
Bruno?
A) 675 B) 54 C) 108 D) 324 E) 216
10. Sea P uno de los vértices de un decágono regular, ¿cuántas diagonales de dicho decágono
no pasan por P ?
A) 7 B) 14 C) 28 D) 32 E) 35
11. Se escribe en orden creciente los números enteros positivos que son múltiplos de 2 o
múltiplos de 3 pero no de ambos, ¿cuál es el número que ocupa la posición 2008?
A) 4014 B) 4016 C) 6021 D) 6020 E) 4017
12. P (x) es un polinomio que cumple P (2x + 3) = 4x2 + 2x − 1, para todo x real. Si
a4 + a3
P (a + 3) = 0, calcula .
a−1
A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
13. En un triángulo ABC, la altura y la mediana relativas a A dividen al ángulo A en tres
partes iguales. Halla la diferencia entre el mayor y el menor de los ángulos del triángulo
ABC.
A) 30◦ B) 60◦ C) 90◦ D) 120◦ E) 0◦
2
14. Resuelve, en el conjunto de los números reales, el siguiente sistema
x(y + z) = 35
y(x + z) = 27
z(x + y) = 32.
Da como respuesta el valor de |x + y + z|.

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
15. En la pizarra están escritos los números
1, 2, 3, 4, . . . , 108, 109, 110.
Si se borran todos los números que son iguales al triple del producto de sus cifras,
¿cuántos números quedan?
A) 110 B) 109 C) 108 D) 107 E) 106
16. Sean a, b y c números reales tales que las raı́ces de la ecuación x2 + ax + b = 0 son r1
r1 r2 a2
y r2 y las raı́ces de la ecuación x2 + 3x + 3c = 0 son y . Calcula .
r2 r1 bc
1 1
A) − B) −3 C) D) 3 E) 1
3 3
17. ¿Cuántos números de tres cifras son iguales a 37 veces la suma de sus cifras?
A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
18. En la figura se muestra 4 cuadraditos de 1 cm de lado, en los que se han marcado los
10 vértices (algunos vértices pertenecen a varios cuadraditos). Se desea pintar dichos
vértices de rojo, verde o azul, de tal forma que si la distancia entre dos vértices es 2 cm,
entonces esos vértices se pintan del mismo color. ¿De cuántas formas se puede hacer
esto?
Nota.- No necesariamente se usan los tres colores.

A) 27 B) 54 C) 81 D) 9 E) 36
3
19. Las raı́ces de la ecuación x3 + ax + a = 0 son x1 , x2 y x3 . Si se cumple que
(x1 − 1)3 + (x2 − 3)3 + (x3 + 4)3 = 0,
halla la cantidad de valores que puede tomar a.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Más de 3
20. Sea B un subconjunto del conjunto {1, 2, 3, · · · , 20}, tal que si a y b pertenecen a B,
entonces a + b es un número compuesto. Halla el mayor número de elementos que puede
tener B.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
4
19 de agosto del 2008
tus cálculos.

1. Tres hermanas casadas visitan a sus padres cada 2, 3 y 5 dı́as, respectivamente. Si las
tres hermanas se encontraron en su visita el primer dı́a del año. ¿Cuántas veces en total
coincidirán las tres hermanas en sus visitas a sus padres en ese año?
2. Un cuadrado 3 × 3 debe ser rellenado, sin superposiciones ni extremos sobrantes usando
solo rectángulos de 3 × 1 y de 2 × 1 como los de las figuras. ¿De cuántas maneras se
puede hacer el rellenado?
Aclaración.- No es necesario que en todos los casos se usen los dos tipos de rectángulos.
3. Al dividir el polinomio P (x) = ax5 + 3x4 + 5x + 6 entre el polinomio (x − 2) se obtiene
128 de residuo. Calcula la suma de los coeficientes del polinomio Q(x) definido por
Q(x) ≡ P (x + 2).
4. Sean a y b números reales tales que a3 + b3 = 13 y a9 + b9 = 1144. Halla el valor de ab.
1
19 de agosto del 2008
5. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de

ecuaciones?
½ x+y
x = y3
y x+y = x6 y 3
6. Encuentra el menor número de 3 dı́gitos tal que el triple de este número tiene todos
sus dı́gitos pares.
Aclaración.- Recuerda que el 0 es par.
7. ¿Cuál es el máximo común divisor de los siguientes 20 números?
212 (212 − 1), 222 (222 − 1), 232 (232 − 1), 242 (242 − 1), ..., 402 (402 − 1)
8. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Se ubican los puntos D y E sobre los
lados BC y AC, respectivamente, tales que 2 · ED + AD = 2 · AB, el ángulo ∠EDA
mide el doble que ∠DAB, y ∠CED es recto. Halla la medida del ángulo ∠BCA, en
grados sexagesimales.
9. Sean x, y dos números reales que satisfacen la condición |x + y| + |x − y| = 2. Halla el
máximo valor de
x2 + y 2 − 12(x + y).
10. Algunas casillas de un tablero de 7×7 deben pintarse de tal modo que en cada rectángulo
2 × 3 ó 3 × 2 haya al menos una casilla pintada. ¿Cuál es la mı́nima cantidad de casillas
pintadas que puede tener el tablero?
2
Tercera Fase - Nivel 2
2 deoctubre del 2008

tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En
caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.

1. Si 4n + 4n + 4n + 4n = 22008 , halla n.
2. El pasaje de Lima a Huacho normalmente cuesta 8 nuevos soles normalmente, el de
Huacho a Barranca cuesta 3 nuevos soles y el de Lima a Barranca 9 nuevos soles.
Cincuenta jóvenes que viven en Lima decidieron ir a Barranca, pero algunos optaron por
bajar en Huacho para conocer la ciudad y después fueron a Barranca. En la ida gastaron
en total 512 nuevos soles. Al regreso, los que habı́an bajado en Huacho decidieron ir de
frente a Lima y los otros optaron por bajar en Huacho antes de ir a Lima, pero todos
los pasajes se habı́an incrementado en 1 nuevo sol. ¿Cuánto gastaron en total en su
regreso a Lima?
3. Halla el área del cuadrilátero ABCD.
C
A 3 D
4. Sea N un número natural tal que N 2 tiene 7 dı́gitos y es de la forma:

N 2 = x030y06x.
Calcula N .
1
x2 5
5. ¿Cuántas parejas de números enteros (x, y) satisfacen la relación + = 7?
2 y
6. En un torneo de fútbol participaron 22 equipos y al final de la primera fecha se ha-
bı́an jugado 11 partidos y se anotaron 9 goles en total. Si por cada partido ganado se
obtiene 3 puntos, por cada partido empatado se obtiene 1 punto y por cada partido per-
dido se obtiene 0 puntos. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son necesariamente
verdaderas?
Al menos uno de los partidos quedó empatado.
Es posible que todos los equipos tengan el mismo puntaje.
Algún equipo obtuvo 3 puntos.
Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 1 punto cada uno.
Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 3 puntos cada uno.
7. ¿Cuántos números de 5 cifras de la forma 37abc existen tales que 37abc, 37bca y 37cab
sean todos múltiplos de 37?
8. Hallar |a − b| al resolver el sistema
√ √
a a + b b = 183
√ √
a b + b a = 182
9. ¿Cuántas parejas (a, b) de enteros positivos cumplen las siguientes tres condiciones a la
vez:
a > b.
a − b es múltiplo de 3.
a y b son divisores de 68 ?
10. Los números enteros del 1 al 25 son distribuidos en un tablero de 5 × 5 casillas, uno
en cada casilla, de tal modo que dos números consecutivos siempre están ubicados en
casillas vecinas, como por ejemplo:
13 14 15 16 25
12 1 2 17 24
11 10 3 18 23
8 9 4 19 22
7 6 5 20 21
¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los elementos de una diagonal (de
5 casillas)?
2
02 de diciembre del 2008
Problema 1.- Un profesor de matemáticas escribe el número 1 en la pizarra y le dice a su

Alumno Gomito:
“Puedes cambiar el numero escrito en la pizarra por el número que resulta al multiplicarlo
por 2 o por 3 y luego sumarle 1. Puedes hacer este cambio cuantas veces quieras.
a) ¿Es posible que Gomito obtenga el número 2008?
b) ¿Es posible que Gomito obtenga el número 2009?
Problema 2.- Iván marca algunos puntos de una recta de tal modo que se cumple la siguiente
propiedad: “Siempre que Iván escoge tres puntos marcados, hay dos de ellos cuya distancia es
menor que 3 y hay dos de ellos cuya distancia es mayor que 3”. ¿Cuál es la mayor cantidad de
números que puede marcar Iván?
Problema 3.- En cada casilla de un tablero de 4 × 4, se escriben los números 1, 2, 3 o 4, de tal

modo que no haya dos números iguales en la misma fila o columna. Decimos que un subtablero
de 2 × 2 es bacán si contiene a todos los números del 1 al 4. ¿Cuál es el mayor número de
subtableros bacanes que puede tener el tablero?
Problema 4.- Sean 𝛼 < 𝛽 < 𝜃 las raíces reales de la ecuación 3𝑥 3 − 3𝑥 + 1 = 0. Si definimos;
𝛼 𝛽 𝜃 𝛽 𝜃 𝛼
𝑀= + + , 𝑁= + +
𝛽 𝜃 𝛼 𝛼 𝛽 𝜃
Halla 𝑀 + 𝑁, 𝑀𝑁 y 𝑀 − 𝑁
Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2008
1

26 de junio de 2009

tus cálculos.

1. En un salón de clases de 50 alumnos, 24 no trajeron el libro de comunicación y 28 no
trajeron el libro de matemática. Si 14 estudiantes no trajeron el libro de matemática
ni el de comunicación, ¿cuántos estudiantes trajeron solamente un libro?
A) 14 B) 28 C) 24 D) 30 E) 20
2. Raúl reparte su herencia entre sus tres hijas de tal forma que a la primera le toca los
4 3
del total, a la segunda los y a la tercera S/. 1800. ¿Cuál fue el total de la herencia?
15 5
A) S/. 13500 B) S/. 750 C) S/. 3000 D) S/. 9000 E) S/. 15000
3. Si m y n son números enteros tales que m + n = 5, entonces 2m − n no puede ser igual
a
A) −5 B) 1 C) −2 D) 2 E) 7
4. Omar tiene cierto número de rosas y quiere regalarlas a sus amigas. Si regala 8 rosas
a cada una le sobran 15, pero si quisiera regalar 11 rosas a cada una le faltarı́an 3.
¿Cuántas rosas tiene Omar?
A) 63 B) 61 C) 69 D) 78 E) 55
5. Dos números son tales que el triple del mayor excede a un tercio del menor en 176; y
cinco veces el menor excede a tres octavos del mayor en 216. Halla la diferencia positiva
de los números.
A) 36 B) 64 C) 16 D) 24 E) 48
6. Sea P (x) un polinomio tal que
x · P (x + 1) = P (x2 + 1).
Si P (3) = 2, halla el valor de P (5).
A) 6 B) 5 C) −1 D) 0 E) 4
1
26 de junio de 2009
7. En la siguiente figura calcula el valor de x+y.
A) 140◦ B) 144◦ C) 148◦ D) 152◦ E) 156◦

1 1 1 1
8. Sean =2 , =3 , = 6. Halla .
a+1 b+2 c+3 a+b+c
1 1 2 13 2
A) B) − C) D) − E) −
10 5 5 6 9
9. Halla el coeficiente del término de mayor grado del polinomio
P (x, y) = (x2 + y)3 − (x2 − y)3 .
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10. Los segmentos L1 y L2 son paralelos entre sı́, y los segmentos L3 y L4 también son
paralelos entre sı́. Halla el valor de x+y.
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
2
26 de junio de 2009
11. Si p y q son números primos tales que p + q 2 = 102, halla p + q.

A) 82 B) 60 C) 62 D) 96 E) 94
12. Simplifica r
7 46 × 69 × 94
99 × 66 × 44
3 4 2
A) 2 B) C) D) E) 1
2 3 3
13. La suma de 42 enteros consecutivos siempre es
A) Múltiplo de 42
B) Múltiplo de 6.
C) Múltiplo de 7, pero no de 3.
D) Múltiplo de 43
E) Múltiplo de 21, pero no de 2
14. Juan es un comerciante que viaja exactamente dos veces por semana; él puede escoger
los dı́as en los que va a viajar. Si Juan viaja un lunes ya no viaja el martes, y además,
por cuestiones personales, nunca viaja un sábado. ¿De cuántas formas puede escoger
sus dı́as de viaje en una semana determinada?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 14 E) 18
15. Halla la suma de todos los valores reales que puede tomar x en la siguiente ecuación:
x3 + x2 33 + 32
=
x+1 3+1
A) 1 B) 3 C) −1 D) 0 E) 6
16. Se dan dos números naturales a y b de modo que ninguno de ellos es múltiplo de 10. Si
el producto de a y b es una potencia de 10 y a > b, entonces el último dı́gito de a − b
no puede ser
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
17. La moneda de un paı́s lejano es el peso y hay monedas de 4 pesos, 1 peso y medio peso.
Marı́a lleva al banco 54 monedas que hacen un total de 200 pesos. ¿Cuánto dinero llevó
Marı́a al banco en monedas de cuatro pesos?
A) 156 B) 200 C) 188 D) 192 E) 196
3
26 de junio de 2009
18. En el tablero mostrado se continúan colocando enteros positivos según la siguiente

regla: Si en una fila están escritos los números (a, b, c) entonces en la siguiente fila se
escribe los números (b + 1, c + 1, a + 1). En la primera fila están escritos los números
(1, 2, 3) y para las otras filas se aplica la regla
fila 1 → 1 2 3
fila 2 → 3 4 2
fila 3 → 5 3 4
.. .. .. ..
. . . .
¿Cuál es el número que se ubica en el centro de la fila 2009?

A) 2009 B) 2010 C) 2011 D) 2012 E) 2013
19. En cada una de las casillas del siguiente tablero de 3 × 3 se escribe un número real. Se
sabe que el producto de los tres números de cualquier fila o de cualquier columna es
igual a 4. Además, el producto de los cuatro números de cualquier subtablero de 2 × 2
es igual a 8. Calcula la suma de los 9 números escritos en el tablero.
25 25
A) 16 B) 18 C) 10 D) E)
2 4
a b c
20. Los números reales a, b y c son tales que a + b + c = 6 y + + = 1.
a+b b+c c+a
bc ca ab
Halla + + .
a+b b+c c+a
1
A) 0 B) 1 C) 6 D) 36 E)
6
4
tus cálculos.

1. En la figura halla el valor de x si ABCD es un cuadrado.
2. Sea x un elemento del conjunto {−4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4} que satisface la desigualdad
1 1
< . ¿Cuántos valores puede tomar x?
x 2
3. Susana, Teresa y Andrea son tres atletas que cuando hacen carreras de 100 metros
planos se asignan puntajes de la siguiente manera: la que queda en primer lugar obtiene
tres puntos, la que queda en segundo lugar obtiene un punto, y la que queda en tercer
lugar no obtiene punto alguno (no hay empates). Durante sus entrenamientos han hecho
cuatro de tales carreras y al final de elllas Susana obtuvo en total cuatro puntos y Teresa
tres puntos. ¿En cuántas carreras Andrea quedó en primer lugar?
³x´ 7
4. Sea f una función para la cual se cumple que f = x2 −x− , para todo número real
2 9 ³a´
x. Halla el producto de todos los valores que puede tomar a en la ecuación f = −1.
6
ONEM PERÚ 2009
1
5. Un experto artesano tarda 80 minutos en hacer un sombrero. Su hijo, que le ayuda en

la tarea, aún tiene mucho que aprender y tarda 2 horas en hacer un sombrero igual
a los que hace su padre. Si trabajan juntos para hacer 10 sombreros, ¿cuántas horas
tardarán?
6. Al dividir el polinomio (x − 1)5 entre (x + 1) se obtuvo como cociente el polinomio P (x)
y como residuo el número R. Si S es la suma de los coeficientes de P (x), halla S − R.
7. Los boletos de una rifa son enumerados desde el 2000 hasta el 9999. Un profesor compró
todos los boletos en los que el 5 aparece exactamente 3 veces; luego de haber comprado
estos boletos regaló a su alumno todos los boletos que contenı́an algún dı́gito 0. ¿Con
cuántos boletos se quedó el profesor?
8. Un número es llamado perfectamente multiplicativo si es igual al producto de sus divi-
sores propios. ¿Cuántos números perfectamente multiplicativos hay entre 2 y 50?
Aclaración: Los divisores propios de n son los divisores positivos de n que son menores
que n. Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3.
9. En cada casilla, de la siguiente figura, se colocan enteros positivos distintos tales que la
suma de dos números de casillas vecinas es un número primo. ¿Cuál es la menor suma
posible de todos los números escritos?
Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
10. Si suprimimos algunos dı́gitos del número 2001009 podemos obtener el número 201
(20/010//0/9 → 201). También podemos obtener el número 19 (2//0/010 //09 → 19) y podemos
obtener otros números más, pero hay algunos números que no se puede obtener, por
ejemplo, el número 92.
Alex encontró el menor número natural tal que, al suprimir algunos de sus dı́gitos es
posible obtener todos los números naturales menores que 2009. Si el número de Alex
tiene A dı́gitos, y la suma de los tres dı́gitos que están en el extremo de la izquierda es
B, calcula A + 3 B.
ONEM PERÚ 2009
2
tus cálculos.
prueba. En caso de empate, se tomará en cuenta la hora de entrega.

1. Sea M un número de dos dı́gitos que tiene la siguiente propiedad: “El máximo común
divisor de M y 2009 es un número compuesto”. ¿Cuántos valores puede tomar M ?
2. En la ferreteria tornillo clavado se vende el kilo de clavos a 15 nuevos soles y el kilo

de tornillos a 20 nuevos soles. Cada clavo pesa 2,5 gramos y cada tornillo pesa 4 gra-
mos. Don Manuel, el carpintero, gastó 120 nuevos soles en comprar tornillos y clavos
y observó que el número de clavos excedı́a al de tornillos en 850. ¿Cuánto gastó don
Manuel en la compra de los clavos?
3. Las raı́ces de la ecuacion cuadrática x2 + ax + b = 0 son tales que una de ellas es dos
unidades mayor que la otra. Si a + b = 98 y a > 0, halla el valor de b − a .
4. Un profesor escribe en la pizarra los números 1, 2, 3, ....., 100 y le pide a Gerardo que
borre n números consecutivos; luego Beatriz calcula la suma de los números restantes
y obtiene 3041. Halla la suma de todos los valores enteros que puede tomar n.
5. ¿Cuántos enteros positivos n cumplen exactamente dos de las siguientes propiedades?
• n + 16 es un cuadrado perfecto.
• n + 1 es un cuadrado perfecto.
• n es un número primo.
ONEM PERÚ 2009
1
6. En cada casilla de un tablero de 3×3, se escribe un número entero de tal manera que,
para cada casilla, la suma de los números escritos en sus casillas vecinas sea siempre la
misma. ¿Cuántos números distintos, como máximo, se puede escribir en el tablero?
Observación. Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.
7. ABC es un triángulo rectángulo en B con AB = BC. Sean M y N puntos de los lados

AB y BC, respectivamente, tales que BM = BN . Las rectas perpendiculares a AN
trazadas desde M y B cortan al lado AC en los puntos P y Q, respectivamente. Si
AP = 6 y P Q = 5, halla QC.
8. Se llaman tetraminós en forma de T, a las figuras o fichas que tienen las siguientes
formas:
Un tablero de 5 × 5 es cubierto con un cuadrado de 2 × 2 y 5 tetraminós en forma de T,

quedando una casilla sin cubrir. ¿Cuántas ubicaciones diferentes puede tomar la casilla
sin cubrir?
9. Un número natural de dos o más cifras es llamado aburrido si para dos dı́gitos vecinos
cualesquiera se cumple que el de la derecha menos el de la izquierda es mayor o igual
que 2. ¿Cuántos números aburridos existen?
Por ejemplo, 146 y 1368 son aburridos, pero 1568 no lo es.
10. A continuación se tiene 15 trinomios de segundo orden
x2 − p1 x + q1 , x2 − p2 x + q2 , . . . , x2 − p15 x + q15
tales que el conjunto {p1 , q1 , p2 , q2 , . . . , p15 , q15 } es igual al conjunto {1, 2, 3, . . . , 29, 30}.
Decimos que una raı́z de uno de estos trinomios es buena, si esa raı́z es mayor que 20.
¿Cuántas raı́ces buenas, como máximo, pueden tener estos 15 trinomios en total?

ONEM PERÚ 2009
2
29 de noviembre del 2009
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
Problema 1. Sean a, b, c y d cuatro números enteros cuya suma es cero. Definimos
M = (bc − ad)(ac − bd)(ab − cd)
Demuestre que existe un número entero P tal que P 2 = M .
Problema 2. Un triángulo equilátero de lado 6 es dividido en 36 triangulitos equiláteros

de lado 1. Dicho tablero es cubierto con m fichas del tipo A y n fichas del tipo B,
sin superposiciones ni huecos, donde las fichas A están formadas por 2 triangulitos
equiláteros de lado 1 y las fichas B por 3 triangulitos, como se muestra en la siguiente
figura
Determine todos los valores de m.
√
Problema 3. Para cada entero positivo n tomamos el mayor divisor d de n tal que d ≤ n
n
y definimos an = − d. Demuestre que en la sucesión a1 , a2 , a3 , . . ., cualquier entero k
d
no negativo aparece infinitas veces.
1
Problema 4. Se marcan N puntos sobre una circunferencia (N ≥ 5) de modo que los

N arcos formados tienen la misma longitud. Se colocan N fichas sobre los N puntos
marcados (una ficha por cada punto). Dos jugadores, Ricardo y Tomás juegan retirando
las fichas colocadas, de acuerdo con las siguientes reglas:
Los turnos de juego son intercalados.

Empieza Ricardo.
Si en el turno de un jugador hay tres fichas tales que los correspondientes puntos
marcados forman un triángulo no obtusángulo, el jugador debe retirar una de esas
fichas.
Pierde el jugador que no puede retirar ficha alguna en su turno.
¿Algún jugador tiene estrategia ganadora? En caso afirmativo, ¿en qué consiste tal
estrategia?
2
Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática Sociedad Matemática
17 de junio de 2010
tus cálculos.
1. Si a, b y c son números enteros positivos distintos tales que a + b = 5 y b + c = 8, hallar el

menor valor que puede tomar a + b + c.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
2. Cuando a un barril le falta un 25 ciento para llenarse, contiene 25 litros más que cuando está
lleno al 25 por ciento. ¿Cuál es la capacidad del barril?
A) 25 B) 30 C) 50 D) 75 E) 100
3. Si los polı́gonos mostrados son regulares, hallar x.
A) 117 B) 108 C) 135 D) 105 E) 132
4. A un Seminario de Ciencias asistieron 320 personas, entre quı́micos y biólogos. La séptima

parte de los quı́micos también son biólogos, y la décima parte de los biólogos también son
quı́micos. ¿Cuántos asistentes son quı́micos y biólogos a la vez?
A) 20 B) 10 C) 32 D) 16 E) 24
1
Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matemática
de Educación Peruana
5. Jesús le sumó a un cuadrado perfecto de dos dı́gitos el doble de la suma de sus dı́gitos y
obtuvo un múltiplo de 25. Hallar la suma de los dı́gitos de dicho cuadrado perfecto.
A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
6. ¿Cuál de los siguientes números es mayor?

A) 93 × 54 × 16 B) 47 × 53 × 32 C) 91 × 9 × 96 D) 94 × 27 × 32 E) 94 × 99 × 8
7. Un rectángulo tiene 30 m de perı́metro, ¿en cuánto aumenta su área, si el largo y el ancho

aumentan 1 m cada uno?
A) 15 m2 B) 31 m2 C) 30 m2 D) 20 m2 E) 16 m2
8. Hallar la suma de las raı́ces de la siguiente ecuación de variable x:
(2k + 2)x2 + (4 − 2k)x + (k − 2) = 0,
sabiendo que el producto de sus raı́ces es 1.

A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
9. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determinar el menor entero positivo n tal que cualquier
subconjunto de X con n elementos tiene al menos dos números primos (recordar que 1 no es
un número primo).
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
10. Sean x y y números reales tales que
x2 = y + 2, y 2 = x3 − 1.
Calcular el valor de
y2 + 2
+ (x − y).
x+1
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
11. Usando 9 palitos de longitud 1 se puede formar un triángulo equilátero de lado 2 (como
muestra la figura). ¿Cuántos palitos de longitud 1 se necesitan para formar un triángulo
equilátero de lado 9?
A) 108 B) 135 C) 144 D) 165 E) 243
2
12. ¿Cuántas raı́ces enteras tiene la ecuación
x2 − 2 |x| = 2?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
13. Tomás tiene un cilindro de 90 litros de capacidad máxima, el cual tiene agua pero hay menos
de la mitad de la capacidad máxima. Tomás trata de llenar el cilindro usando un recipiente
de 7 litros y llena el cilindro de 7 en 7 hasta que ya no se puede más. Tomás se sorprendió
cuando observó que faltan x litros para que se llene el cilindro, pues x es el número de veces
que usó el recipiente de 7 litros. Hallar x.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
14. Una hormiga comienza a caminar en lı́nea recta y se desvı́a 60◦ a la derecha después de
caminar 1 m, 2 m, 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, para finalmente recorrer 6 m. ¿Cuál es
la distancia entre la posición inicial y final de la hormiga?
√ √
A) 3 3 B) 6 C) 6 3 D) 12 E) 18
15. Sean a, b, c números reales tales que a + b 6= 0, b + c 6= 0, c + a 6= 0 y a + b + c = 0. Hallar
(a + b)2 (b + c)2 (c + a)2

+ +
(b + c)(a + c) (c + a)(b + a) (a + b)(c + b)
A) 3abc B) −1 C) 2 D) 3 E) 1
16. Una hoja de papel rectangular de 4m × 8m se dobla haciendo coincidir dos de sus vértices
opuestos, formándose ası́ un pentágono. Encontrar el área de ese pentágono, en m2 .
A) 16 B) 32 C) 12 D) 24 E) 22
17. Un grupo de soldados marcha formando una fila de 42 m, a rapidez constante de 5 m/s.
Un entrenador que se encuentra unos metros más adelante que el grupo, marcha a rapidez
constante de 1 m/s, pero en dirección contraria a la del grupo. Cada vez que un soldado
se encuentra con el entrenador, dicho soldado da la vuelta y sigue marchando en dirección
contraria pero con la misma rapidez. Después de que todo el grupo dió la vuelta, ¿cuál será
la nueva longitud de la fila?
A) 21 B) 28 C) 30 D) 35 E) 36
3
18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B, y además la suma de los dı́gitos de A es igual a la suma de los dı́gitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y además 1+2 = 3+0+0.
¿Cuántos hijos tiene el número 110000?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
19. En el Tablero 1 se han pintado 11 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en común con algún cuadradito
negro”. ¿Cuál es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2
para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 1 Tablero 2
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
20. Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: el producto de los elementos de cualquier
subconjunto de S = {1, 2, . . . , 2010}, con n elementos, es múltiplo de 2010. ¿Cuál es el menor
valor que puede tomar n?
A) 1980 B) 1981 C) 1982 D) 1983 E) 1984
4
tus cálculos.

1. Andrés, Daniel, Luis y José son postulantes a la Magistratura. Cada uno de ellos nació en
una provincia distinta: Oxapampa, Callao, Lima o Trujillo. Sus edades son distintas: 52, 55,
58 y 61 años. Daniel es de Oxapampa y nació 3 años antes que Andrés, quien tiene 52 años.
José no tiene 58 años y no es de Lima ni del Callao. El que tiene 58 años es de Lima. ¿Cuál
es la edad del que nació en el Callao?
a2 + b
2. Si a ∇ b = . Calcula el mayor valor que puede tomar x en la siguiente ecuación:
2
1 ∇ 2 + 2 ∇ 3 + 3 ∇ 4 = 2 ∇ (x ∇ 2).
3. Sea S(n) la suma de todos los dı́gitos de n, y P (n) el producto de todos los dı́gitos de n. Por
ejemplo, S(124) = 7 y P (35) = 15. Encuentra todos los números n de dos dı́gitos, tales que
P (n) + S(n) = n. Escribe como respuesta la suma de todos esos números n .
4. En la siguiente figura se muestran los cuadrados ABCD y AEF G tales que AB = AG. Si
∠EAB = 50◦ , calcula la medida de ∠F CD + ∠DGA (en grados sexagesimales).
F
C D
E
G
50°
B A
1
Ministerio Segunda Fase - Nivel 2 Sociedad Matemática
5. Sea N = 9 + 99 + 999 + 9999 + · · · + |999 {z

. . . 99}. ¿Cuántas veces aparecerá el dı́gito 1 en el
2009 veces
número N ?
6. Determina el menor entero positivo M que cumple las siguientes condiciones a la vez:
M > 2010.
Todos los dı́gitos de M son mayores que cero y diferentes entre sı́.
M es múltiplo de 12.
7. En cada una de las caras (anverso y reverso) de dos tarjetas de cartón se ha escrito un número,
de tal forma que los cuatro números son distintos. Zoila lanzó las tarjetas al aire y cuando
cayeron a la mesa, notó que la suma de los números que quedaron visibles fue 36, luego, sus
amigas Lucı́a, Camila y Marı́a repitieron el mismo proceso pero obtuvieron los resultados: 41,
50 y 55, respectivamente. Si los números que vió Marı́a fueron:
25 30
Calcula la diferencia de los números que vió Lucı́a.
8. Tengo diez tarjetas, en cada una está escrito uno de los siguientes números (sin repetir):
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55.
Si las diez tarjetas se introducen en una bolsa negra, ¿cuál es el mı́nimo número de tarjetas
que debo sacar, sin ver, para tener la seguridad de que entre las tarjetas que saqué hay dos
cuya suma sea un cuadrado perfecto?
9. Consideremos todos los polinomios P (x) de grado 2 con coeficientes en el conjunto {−2, −1, 1, 2}.
¿Cuántos de estos polinomios satisfacen la desigualdad:
P (x + y) ≥ P (x) + P (y),
para todos los números reales positivos x, y?
√ √
10. Sean a y b números reales positivos tales que : a3 − 3ab2 = 36 2 y b3 − 3ba2 = −52 2. Halla
el valor de a2 + b2 .
2
tus cálculos.

1. El siguiente arreglo está formado por 20 filas. ¿Cuántas veces se puede leer la palabra ONEM
en dicho arreglo, ya sea de manera vertical u horizontal?
O
O N
O N E
O N E M
O N E M O
O N E M O N
O N E M O N E
O N E M O N E M
. .. ..
.. . .
2. Si los números de dos dı́gitos ab y ba son raı́ces de la ecuación x2 − 66x + k = 0, ¿cuál es la

suma de todos los valores que puede tomar k?
3. Simplifica: p p
22010 + 21006 + 1 − 22010 − 21006 + 1.
1
4. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Olimpia, en el que se muestra las 8 regiones
en las que está dividida:
Olimpia
mar
mar
Cada región debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir,
si tienen frontera en común) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cuántos colores
como mı́nimo se necesita?
5. En la siguiente figura, el hexágono más grande es regular y tiene área 810:
Calcula el área del hexágono pequeño sombreado.
6. Una profesora le pide a sus alumnos que calculen el resto de dividir el número N = 987654321
enre 11. Sin embargo, cuando José escribe el número N en su cuaderno, no escribió uno de
los dı́gitos de N . Si la respuesta de José sólo se diferenció en 1 de la respuesta que dió la
profesora, ¿cuántos valores puede tomar el dı́gito que José dejó de escribir?
Aclaración. Se asume que los cálculos de la profesora y de José son correctos.
2
7. En la siguiente división exacta, cada ∗ representa un dı́gito mayor que 0 y menor que 8:
∗ 0 ∗ 0 ∗ 5
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ 0
∗ 0
- -
Encuentra el valor del cociente, sabiendo que está formado por 3 dı́gitos distintos.
8. En una pizarra están escritos los números desde el 1 hasta el 999999 de manera consecutiva,
como se muestra:
123456789101112 . . . 999998999999.
¿Cuántas veces aparece el bloque 2010 en esta lista escrita en la pizarra?
9. Halla la cantidad de parejas (m, n) de números enteros que cumplen las siguientes dos condi-
ciones a la vez:
m es raı́z de la ecuación x3 + mx − 2n = 0.
n es raı́z de la ecuación x3 − nx − 2m = 0.
10. Para cada conjunto no vacı́o A de números enteros positivos, definimos el conjunto A+ como
el conjunto que se obtiene al sumar 1 a cada elemento de A. Por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 7}
entonces A+ = {2, 4, 5, 8}; y si B = {6} entonces B + = {7}.
¿Cuántos subconjuntos A de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} cumplen que A y A+ son conjuntos
disjuntos entre sı́?
3
Problema 1. En Duendelandia, cada duende es veraz o mentiroso. Un duende veraz siempre

dice la verdad y uno mentiroso siempre miente. En cierta ocasión 10 duendes estaban
formando una ronda (de esta forma cada uno tiene dos vecinos: el de la derecha y el de
la izquierda) y cada duende dijo ((Ninguno de mis vecinos es veraz)). ¿Cuál es la mayor
cantidad de duendes mentirosos que puede haber en la ronda?
Problema 2. Los enteros positivos a < b < c son tales que los números a + b, a + c y b + c
son cuadrados perfectos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar c?
Problema 3. En cada cuadradito de la siguiente expresión se escribe uno de los números

2, 4, 5, 6, 7 en algún orden y sin repetir para obtener una ecuación de cuarto grado:
x4 + x3 + x2 + x + = 2010.
Se sabe que, en cualquier orden en que se escriban esos números, la ecuación resultante
tiene exactamente una raı́z positiva.
a) ¿En qué orden deben escribirse los coeficientes para que la raı́z correspondiente
sea máxima?
b) ¿Es posible escribir los coeficientes en algún orden para que la raı́z correspondi-
ente sea un número entero?
1
Problema 4. Sea n un entero positivo. Un hexágono regular de lado n es dividido en 3n2
rombos formados por dos triángulos equiláteros de lado 1, como el que se muestra a
continuación:
1 1
1 1
Demuestra que siempre es posible encontrar 3 de estos rombos que formen un hexágono
regular de lado 1.
Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un hexágono regular de lado 2 que ha sido
cubierto con 12 rombos, y los 3 rombos sombreados forman un hexágono regular de
lado 1.
2
Ministerio VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática Sociedad Matemática
30 de junio de 2011
tus cálculos.
3 4
(xy)2 x y
1. Simplifica la siguiente expresión: 8
(x2 y)2 y
A) x2 y 4 B) xy 4 C) x4 y 2 D) x3 y E) (xy)4
2. Entre seis personas deben pagar un total de 144 soles en partes iguales. Algunas de ellas no
pagaron y el resto tuvo que pagar 12 soles más, ¿cuántas no pagaron?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Si el lado de un cuadrado es a + b y el lado de otro cuadrado es a − b, calcula la diferencia

entre las áreas de los cuadrados.
A) a2 − b2 B) 2a2 C) 2ab D) 4ab E) 2b2
4. En una reunión de profesores de matemática se observó que el 70 % trabaja en el turno

mañana, 180 trabaja en el turno tarde y el 15 % en ambos turnos. ¿Cuántos profesores habı́a
en la reunión, si ninguno trabaja en el turno noche?
A) 400 B) 350 C) 300 D) 280 E) 210
√
5. Dada la igualdad 16n + 16n + 16n = 6 × 22011 , encuentra el valor de 3
n + 9.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
1
6. La gráfica de la función cuadrática f (x) = x2 + mx + b se muestra a continuación:
m 1 x
Determina el valor de f (2).

3 5
A) 1 B) C) b + 2 D) 2 E)
2 2
7. Un comerciante desea llevar las carteras que fabricó a una feria con el siguiente pensamiento:
”si vendo mis carteras a 20 dólares cada una, podré comprar una motocicleta y tener 90 dólares
de sobra, pero si las vendo a 18 dólares cada una, comprando la motocicleta me sobrarı́a 6
dólares”. ¿Cuánto suman el precio de la motocicleta y la cantidad de carteras que tiene el
comerciante?
A) 750 B) 792 C) 834 D) 855 E) 902
8. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, determina el valor de x.
L1
110°
L2
130°
x
A) 50◦ B) 60◦ C) 80◦ D) 70◦ E) 65◦
9. Si el siguiente sistema:
3ax + 2by = 16
x + 2y = 8
3a + b
tiene infinitas soluciones en las variables x, y. Determina el valor de .
2
3 4 8
A) 2 B) C) 1 D) E)
2 3 3
2
10. Hay un anillo escondido en alguna de las tres cajas cerradas que tienen colores diferentes y
están etiquetadas con los siguientes enunciados:
Caja ploma: El anillo no está aquı́
Caja negra: El anillo no está en la caja marrón
Caja marrón: El anillo está aquı́
Si sólo uno de los enunciados es verdadero, entonces podemos asegurar que:
A) El anillo está en la caja marrón
B) El anillo está en la caja ploma
C) El anillo está en la caja negra
D) El anillo puede estar en cualquiera de las tres cajas.
E) Ninguna de la anteriores.
11. Sea N el número de obreros que pueden hacer un obra en 3N/4 dı́as, trabajando N/3 horas
diarias. Si la cantidad de obreros se duplica, terminarı́an la misma obra en 72 horas de trabajo.
Halla N .
A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32
2011
12. Sea n un número entero y p un número tal que 2 < p < 3. Si n + p = , calcule el valor
5
de n.
A) 398 B) 399 C) 400 D) 401 E) 402
13. Aumentando la base de un triángulo en 6 metros y la altura en 4 metros, el área aumenta
en 120 m2 . En cambio, si aumentamos la base en 2 metros y la altura en 9 metros, el área
aumenta en 160 m2 . Determina el área de dicho triángulo, en m2 .
A) 240 B) 280 C) 320 D) 360 E) 480
14. Si al cuadrado de la edad de Diego se le resta 224 veces el cuadrado de su inversa se obtiene
121
, ¿cuál será la edad de Diego dentro de cinco años?
2
A) 9 B) 8 C) 13 D) 10 E) 12
15. Un número abcd de cuatro dı́gitos es llamado equilibrado si a + b = c + d. Por ejemplo, el
número 2011 es equilibrado porque 2 + 0 = 1 + 1. Decida cuántos de los siguientes enunciados
son verdaderos:
El mayor número equilibrado de 4 dı́gitos distintos es 9687.
El menor número equilibrado de 4 dı́gitos distintos es 1230
El mayor número equilibrado múltiplo de 4 es 9898.
Todo número equilibrado mayor que 2000 se puede expresar como la suma de dos números
equilibrados.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
3
16. Sea D un punto sobre el lado BC y E un punto sobre el lado AC de un triángulo ABC,
tales que AB = AD = BE. Sea P el punto de intersección de los segmentos AD y BE. Si
∠AP B = α y ∠ACB = β, encuentra la relación correcta:
A) α = 2β B) α + 2β = 180◦ C) α + β = 180◦ D) α = 90◦ + β E) α = 3β
17. Para cada entero positivo n sea S(n) la suma de sus dı́gitos. Por ejemplo, S(102) = 3 y
S(55) = 10. ¿Para cuántos enteros positivos m se cumple que m + S(m) = 2011?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
18. Detrás de algunas casillas de un tablero de 6 × 6 se encuentra escondida una moneda (cada
casilla tiene escondida como máximo una moneda). Los números escritos en cada casilla
representan la cantidad de casillas vecinas que tienen una moneda escondida.
1 1 2 1 1 1
1 3 2 2 3 1
1 2 2 3 1 2
1 2 2 1 2 1
2 2 2 2 2 1
1 2 2 1 2 1
Determina la cantidad de monedas escondidas en todo el tablero.

Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
19. Cinco equipos juegan un torneo de fútbol, cada equipo se enfrentó a otro exactamente una
vez. En cada juego se da 3 puntos al ganador, 0 al perdedor, y en caso de empate se da 1
punto a cada equipo. Si al final del torneo los puntajes de todos los equipos son distintos,
halla el menor puntaje que pudo obtener el campeón del torneo.
A) 8 B) 5 C) 6 D)4 E) 7
20. Los números reales a, b y c son distintos entre sı́ y satisfacen:
√
3
a = 1 − 4b − 4c
√
b = 3 1 − 4c − 4a
√
3
c = 1 − 4a − 4b
1 1 1
Halla el valor de + + .
a b c
A) 0 B) −8 C) 4 D) 8 E) −4
4
tus cálculos.

1. En un molino habı́a cierta cantidad de toneladas de harina y de éstas se vendió la cuarta

parte. Luego, se vendió la tercera parte del resto, quedando por vender 24 toneladas. ¿Cuán-
tas toneladas de harina habı́a inicialmente?
2. Un grupo de amigos desea entrar al cine y el monto total a pagar por las entradas (que tienen
el mismo valor), es 200 nuevos soles. Al momento de pagar, cinco de ellos no tienen dinero
para la entrada, por lo cual todos los demás deben aportar 2 nuevos soles más de lo previsto.
¿Cuánto cuesta la entrada al cine?
√ √
3. Sea x la solución real de la ecuación: 2 1 − x − 8 − 2x = 0. Halla x2 .
4. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos AED y CF D son equiláteros. Halla el

valor de x + y.
B C
E y°
x°
F
A D
1
5. Se arrojan tres dados. El resultado del primer dado se multiplica por 7, luego se suma al
resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último, se suma el resultado del
tercer dado, obteniéndose 136. ¿Cuál es la suma de los resultados de los tres dados?
6. En cada casilla del siguiente tablero está escrito un número (algunos están ocultos), de tal
forma que la suma de los números escritos en 3 casillas consecutivas (en la misma fila o en la
misma columna) siempre es 6. Halla la suma de los números escritos en todas las casillas del
tablero.
7. Sea a1 , a2 , . . . , a100 , una secuencia de 100 términos donde a1 = 1, a2 = 1 y a3 = 2 y en la cual

se cumple que la suma de cuatro términos consecutivos es igual a su producto. Halla la suma
de todos los términos de la secuencia.
8. M y N son dos enteros positivos de 6 dı́gitos o menos. La suma de los dı́gitos de M y N son 31 y
37, respectivamente. ¿Cuántos valores distintos puede tomar la suma de los dı́gitos de M +N ?
9. Doce caballeros están sentados alrededor de una mesa redonda. Cada caballero desconfı́a de
los dos que están sentados a sus lados, pero no de los otros nueve. Se debe formar un grupo de
tres caballeros para ir a rescatar a una princesa, de tal modo que ninguno de ellos desconfı́e
de alguno de los otros dos. ¿De cuántas maneras se puede formar el grupo?
10. La suma de m + n enteros positivos distintos es 2011, m de ellos son pares y los otros n son
impares. Halla el mayor valor que puede tomar 3m + 4n.
2
tus cálculos.

1. Un ómnibus, que cobra 8 soles como pasaje único, salió de Lima a Cerro Azul. En cada pa-
radero siempre bajaban dos pasajeros y luego subı́an tres. Además se sabe que a Cerro Azul
llegaron 44 pasajeros y que se recaudó 560 soles. ¿Cuántos pasajeros partieron de Lima?
2. Una compañı́a de juguetes vendió 5000 unidades el año pasado, de las cuales el 10 % fueron
peluches. Este año, han vendido 1000 unidades más que el año anterior, donde los peluches
representaron el 12 % del total. En qué porcentaje, respecto del año anterior, se incrementó
la cantidad de peluches vendidos?
3. Un padre y su hijo caminan en lı́nea recta y en la misma dirección. Tres pasos consecutivos del
padre cubren una distancia igual a la que cubren cinco pasos consecutivos del hijo; sin embar-
go, mientras que el padre da seis pasos, el hijo da siete pasos. El padre empieza a caminar luego
de que su hijo dio 30 pasos. ¿Después de cuantos pasos del padre, éste logra alcanzar a su hijo?
4. Halla el área del triángulo ABC sabiendo que todos los cuadraditos son de lado 1.
B
1
Ministerio Tercera Fase - Nivel 2 Sociedad Matemática
5. El polinomio x4 + 2x3 − 7x2 + px + q es igual al producto de los dos polinomios siguientes:

x2 + ax + b, x2 − bx + a, donde a 6= −1. Halla a + b + p + q.
6. Un entero positivo es divisible por todos los enteros del 1 al 20 excepto por dos de ellos, los
cuales son consecutivos. Halla la suma de esos dos números.
7. Un número natural de cuatro dı́gitos es llamado elegante si no es múltiplo de 10 y al ser

sumado con el número que resulta al invertir el orden de sus dı́gitos se obtiene un número
de cuatro dı́gitos que es capicúa. Por ejemplo, 2011 es elegante pues no es múltiplo de 10 y
además 2011 + 1102 = 3113 es un número capicúa de cuatro dı́gitos. ¿Cuántos números de
cuatro dı́gitos son elegantes?
8. Si f es una función real de variable real tal que f (2f (x)) = x, para todo número real x,
determina el valor de f (f (6) + 6f (3)).
9. La bóveda de un banco tiene N cerraduras de modo que para abrir la bóveda se deben abrir
todas las N cerraduras simultáneamente. Cinco ejecutivos trabajan en el banco y cada uno
de ellos tiene algunas de las llaves de las cerraduras, de tal modo que tres cualesquiera de
ellos pueden abrir la bóveda, pero ningún par de ellos puede hacerlo. Halla el menor valor de N .
10. Sea M un conjunto finito de puntos en el plano. Para cada i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, existe una
circunferencia que pasa por exactamente i puntos de M . ¿Cuál es la menor cantidad de ele-
mentos que puede tener M ?
2
Cuarta Fase - Nivel 2
Problema 1. Considera la siguiente igualdad:
MAC HU + P I C C HU = 100AN
e OS
donde letras distintas representan dı́gitos distintos.
a) Determina el valor de C.
b) Prueba que H ≥ 6.
c) Determina el valor de A.
Problema 2. Encuentra todas las soluciones de la ecuación:
(xyz)2 = 12(x − 1)(2y − 1)(2z − 3),

1 3
donde x, y y z son números reales tales que x ≥ 1, y ≥ y z≥ .
2 2
Problema 3. Javier y Paul juegan por turnos de la siguiente manera: En el turno 1, Javier escribe
1 ó 2 en la pizarra; en el turno 2, Paul escribe 2 ó 3; en el turno 3, Javier escribe 3 ó 4, y ası́
sucesivamente hasta el turno n y finaliza el juego. Javier gana si la suma de todos los números
escritos es mútiplo de 3, en cualquier otro caso gana Paul.
Determina quién de los dos tiene estrategia ganadora, en cada uno de los siguientes casos:
a) Cuando n es par.
b) Cuando n = 2011.
1
Ministerio Cuarta Fase - Nivel 2 Sociedad Matemática
Problema 4.
a) Demuestra que existe un polinomio P (x) de coeficientes racionales tal que, para todo entero
positivo n, se cumple que:
1100 + 2100 + 3100 + · · · + n100 = P (n).
b) Para dicho polinomio P (x), calcula los valores numéricos de P (0), P (−1) y P (−2).
2
Sociedad Matemática Peruana
IX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2012)
tus cálculos.
1. Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, ¿dentro de cuántos años la

edad del padre será el doble de la del hijo?
A) 11 B) 24 C) 12 D) 35 E) 13
a 1 b 1 a−b
2. Si = y = , calcular .
b 2 c 4 b−c
1 1 1 1
A) 0 B) C) D) E)
3 6 4 2
3. En una tienda cada caramelo cuesta 10 céntimos y por la compra de cinco caramelos regalan
un caramelo más. Si un niño recibió 32 caramelos, ¿Cuánto gastó en total?
A) S/. 2,5 B) S/. 2,7 C) S/. 3 D) S/. 3,2 E) S/. 3,8
4. En un salón de clase hay 10 niñas más que niños. Un dı́a faltaron 3 niñas y 2 niños, y se contó
en total 31 alumnos. ¿Cuántos niños asistieron ese dı́a?
A) 10 B) 11 C) 13 D) 20 E) 23
5. Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el tiempo dedicado a
los videojuegos semanalmente estaba dividida en 4 categorı́as: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8
horas y más de 8 horas. Si el 50 % juega de 0 a 2 horas, el 44 % juega de 2 a 8 horas y el 9 %
juega de 6 horas a más, ¿qué porcentaje juega de 2 a 6 horas?
A) 41 % B) 47 % C) 44 % D) 46 % E) 40 %
1
6. El profesor le pidió a Pedrito escribir en la pizarra un número de tres dı́gitos que sea múltiplo
de 3 pero no de 4, ¿cuál de los siguientes números pudo haber escrito Pedrito?
A) 216 B) 254 C) 228 D) 240 E) 222
7. En la figura ABCD es un cuadrado y las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Halla la medida

del ángulo x.
A B
40°
x
L1 L2
D C
A) 40◦ B) 45◦ C) 50◦ D) 60◦ E) 70◦
8. Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se recorta el cubo en
pequeños cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en la figura. ¿Cuántos de estos cubos de
arista 1 cm tienen exactamente dos caras pintadas de rojo?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24
9. Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C es aceptable si la secuen-

cia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el anagrama CBABCA es aceptable pero
ACBACB no lo es. ¿Cuántos anagramas aceptables formados con dichas letras existen?
A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26
2 3
10. Si a, b, c, d son dı́gitos tales que ab2 = cd , calcula el valor de a + b + c + d.
A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
2
11. Marı́a debe comprar pastelitos para 7 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de
pastelitos. En la tienda solo venden pastelitos en cajas de 8 ó 15 unidades. ¿Cuántos cajas
debe comprar Marı́a como mı́nimo?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
12. Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul, rojo o verde. Si hay al menos
10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son rojas y 40 canicas que no son verdes,
¿cuántas canicas como mı́nimo tengo en la bolsa?
A) 35 B) 42 C) 36 D) 41 E) 37
13. La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esos números es igual a la
suma de los otros dos. La diferencia entre los dos números menores es 4. ¿Cuál es la diferencia
de los cubos de los dos números menores?
A) 320 B) 360 C) 400 D) 480 E) 640
14. ¿Qué elemento se debe eliminar del conjunto {42, 44, 45, 60, 80} para que el mı́nimo común
múltiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor posible?
A) 42 B) 44 C) 45 D) 60 E) 80
15. Decimos que un número de 4 dı́gitos es apocalı́ptico si tiene al menos un 0, un 1 y un 2

entre sus dı́gitos. Por ejemplo el 2012 es apocalı́ptico. Determina cuántas de las siguientes
proposiciones son verdaderas
9210 es el mayor número apocalı́ptico.

1012 es el menor número apocalı́ptico.
No existe número apocalı́ptico que sea múltiplo de 101.
Ningún número apocalı́ptico se puede expresar como la suma de dos números apocalı́p-
ticos.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
16. Los números reales a, b, c, d son no nulos y tienen suma 0, además

1 1 1 1 1
+ + + + = 0.
a b c d abcd
Halla (ab − cd)(c + d).
A) 0 B) 1 C) −1 D) 2 E) −2
3
17. Determinar cuántos números de 4 dı́gitos son tales que al borrar cualquier dı́gito el número
de 3 dı́gitos resultante sea un divisor del número original.
A) 14 B) 9 C) 13 D) 10 E) 15
18. En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operación: se elige dos números adyacentes
y se le suma la misma cantidad entera a ambos. ¿Cuántas operaciones se necesitan como
mı́nimo para que los siete números sean iguales?
1
7 2
6 3
5 4
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
19. En un tablero de 5 × 5 fueron pintadas N casillas de tal modo que cada subtablero de 2 × 2
contiene exactamente 2 casillas pintadas y cada subtablero de 3 × 3 contiene 4 ó 5 casillas
pintadas. ¿Cuántos valores puede tomar N ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. Halla el coeficiente de x2012 al desarrollar el siguiente producto:
(1 + x)2 (1 + x3 )2 (1 + x9 )2 (1 + x27 )2 (1 + x81 )2 (1 + x243 )2 (1 + x729 )2 .
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8
4

Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas
junto con la hoja de respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, ası́ nos ayu-
darás a que la olimpiada se realize de la mejor forma posible.
IMPORTANTE: ESTA PRUEBA TIENE VALIDEZ SOLAMENTE SI SE TOMA EL

DÍA 28 DE SETIEMBRE.

1. Saúl ha recibido como herencia un terreno como el que se muestra a continuación, en él
se cumple que dos lados consecutivos son siempre perpendiculares. Determine cuántos m2
(metros cuadrados) mide el área de dicho terreno, si las longitudes mostradas en la figura
están expresadas todas en metros.
6
3
4
2
2
3
3
3
4 3
3
4
1
2. Una empresa tiene cierta cantidad de trabajadores, y cada uno recibió S/ 650.00 de grati-
ficación. Fernando, que le debı́a dinero a todos su compañeros, gastó toda su gratificación
pagando sus deudas, de esta forma todos sus compañeros tienen ahora S/ 800.00, a excepción
de uno de ellos que tiene S/ 850.00. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa, incluyendo a
Fernando?
3. Un dı́a los alumnos le pidieron a su profesor información sobre su edad. Él les respondió de la
siguiente manera: Mi edad actual es un múltiplo de 5, hace 2 años fue un múltiplo de 11 y el
siguiente año será un cuadrado perfecto menor que 100. ¿Cuál es la edad actual del profesor?
4. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ¿Cuántos números debo borrar

como mı́nimo para que el producto de los números que queden en la pizarra sea 630 ?
5. Se tiene un polinomio cuadrático P (x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica se muestra a continuación:
x
-2
Si la suma de las raı́ces de P (x) es 5, determina P (5).
6. Si a y b son números reales tales que
a4 + a2 b2 + b4 = 900
a2 + ab + b2 = 45.
Calcula el valor de (2a − 2b)2 .
7. En el bolsillo izquierdo tengo 5 canicas rojas y 6 azules, todas ellas tienen 1 cm de diámetro.
En el bolsillo derecho tengo 3 canicas rojas y 4 canicas azules, todas ellas tienen 2 cm de
diámetro. Debo sacar, sin ver, n canicas del bolsillo izquierdo y n canicas del bolsillo derecho.
Determine el menor valor posible de n para el cual tengo la seguridad de encontrar entre
todas las canicas que saqué dos canicas del mismo color pero de tamaños diferentes.
2
8. Los padres de Juanito le regalaron a su hijo un terreno dividido en 16 parcelas cuadradas,

algunas eran de su mamá (las marcadas con la letra M ) y las otras de su papá (las marcadas
con la letra P )
P P M M
P P M M
M M P P
M M P P
Juanito quiere construir su casa, usando algunas parcelas, de tal modo que su base sea un
rectángulo. ¿De cuántas formas puede escoger la base de su casa si ésta debe contener al
menos una parcela de su papá (P) y al menos una de su mamá (M)?
Aclaración: Considere que los cuadrados también son rectángulos, es decir, la base de la casa
también puede ser un cuadrado.
9. Determine cuántos enteros positivos N cumplen las siguientes condiciones a la vez:

300 ≤ N ≤ 500.
Los tres menores divisores positivos de N son 1, 3 y 9.
10. Una ficha de dominó está formada por dos cuadraditos unitarios pegados, es decir, es un
rectángulo de 1 × 2 o de 2 × 1. El siguiente tablero es cubierto con 8 fichas de dominó, luego,
se multiplican los dos números que son cubiertos por la misma ficha y se suman estos ocho
productos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta suma final?
7 15 6 11
16 8 14 3
5 12 2 10
13 4 9 1
3
apuntes o libros.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA

EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un número natural tiene todos sus dı́gitos distintos y el producto de ellos es n. ¿Cuántos
elementos del conjunto {126, 128, 130, 132, 135} son posibles valores de n ?
2. En una reunión se observa que la sexta parte del total de personas están paradas, mientras
que la séptima parte del total de sillas están desocupadas. Si todas las personas quisieran
sentarse, harı́an falta 2 sillas más. ¿Cuántas personas hay en la reunión?
3. Andrea y Paola son dos amigas que están hospedadas en un hotel que tiene muchos pisos.
En el piso 1 del hotel no hay habitaciones, en el piso 2 del hotel están las habitaciones del 1
al 10, en el piso 3 están las habitaciones del 11 al 20, en el piso 4 están las habitaciones del
21 al 30, etc. El número de piso en el que Andrea está hospedada coincide con el número de
habitación en la que Paola está hospedada. Si sumamos el número de habitación de Andrea
con el número de habitación de Paola obtenemos 115. ¿Cuál es el número de la habitación en
la que está hospedada Andrea?
1
4. Si los polı́gonos mostrados son regulares, y O es el centro del hexágono regular, halle la medida
del ángulo ∠F OI (expresada en grados sexagesimales)
D
E
C
O F
B G
A
I H
5. Determine cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación:
(2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (2x + 4x − 6)3
6. En la figura se muestra un heptágono ABCDEF G que tiene todos sus lados de longitud 2.
Se cumple que ∠DEF = 120◦ , ∠BCD = ∠F GA = 90◦ y, además:
∠GAB = ∠ABC = ∠CDE = ∠EF G.
Si el área del heptágono es S, determine el número entero n tal que n ≤ S < n + 1.
A B
G C
F D
7. Encuentre el menor entero positivo N que cumple las siguientes propiedades (a la vez):
N no es múltiplo de 5.
Si multiplicamos N por 2012, y borramos los dı́gitos 0 del resultado (si los hubiera)
obtenemos un número que tiene todos sus dı́gitos distintos.
2
8. En cada casilla de un tablero de 7 × 7 se tiene que escribir un 1 o un 2 de tal forma que cada
rectángulo de 1 × 4 o de 4 × 1 contenga siempre cuatro números cuya suma es par. Halle el
número de formas en que se puede hacer esto.
9. ¿Cuántos enteros positivos abcd, de 4 dı́gitos no nulos, satisfacen la siguiente igualdad?
(2a − 1)(2b − 1)(2c − 1)(2d − 1) = 2abcd − 1
10. Las siguientes fichas, formadas por 5 cuadraditos cada una, son llamadas C-pentominós:
Algunas casillas de un tablero de 10 × 10 son pintadas de negro, de tal modo que cualquier
C-pentominó incluido en el tablero contenga al menos una casilla pintada de negro. Determine
la menor cantidad de casillas que se pueden pintar para que esto ocurra.
3
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas dudas en los
enunciados de los problemas.
- Cada problema vale 25 puntos.
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se ha trazado su circunferencia inscrita, la cual

es tangente al lado AB en D, al lado BC en E y al lado AC en F . Si ∠F DC = 2∠DCB,
demuestre que AF = BC.
B
D
E
A C
F
2. Encuentre todas las parejas (a, b) de números reales tales que:

√ √ √ √
a + b + a + b − 4 = ab + 2.
3. En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Una operación consiste

en elegir dos números a y b, y cambiar uno de ellos por a + b y el otro por |2a − b| ó |2b − a|.
a) Demuestre que después de realizar algunas operaciones es posible obtener 10 números

iguales.
1
b) Si después de realizar algunas operaciones se consigue 10 números iguales a k, determine

el menor valor que puede tomar k.
Aclaración: |x| denota el valor absoluto de x, por ejemplo, |4| = 4 y | − 3| = 3.
4. Una potencia es un número que se puede expresar de la forma ab , donde a y b son enteros
mayores que 1.
¿Existe un conjunto X de 25 enteros positivos impares, menores que 21000, de tal modo que
para cualquier subconjunto {x1 , x2 , . . . , xk } de X , con 6 ≤ k ≤ 10, y cualesquiera números
a1 , a2 , . . . , ak , con ai ∈ {1, 2} y a1 + a2 + · · · + ak = 10, la suma a1 x1 + a2 x2 + · · · + ak xk sea
siempre una potencia?
2
X Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2013)


tus cálculos.

1. Una empresa que se dedica al remate de propiedades y automóviles publicó en el periódico un
anuncio de remate de un automóvil a un precio base de $ 3270. Al momento del remate, como
el precio base no interesó mucho al público, se tuvo que reducir en $ 350. El primer postor
ofreció $ 50 más del precio base, el segundo postor ofreció $ 20 más que el primer postor, el
tercero $ 30 más que el segundo postor, y finalmente se adjudica el remate un cuarto postor
que paga un total de $ 3170. ¿Cuánto más que el tercer postor ofreció pagar el cuarto postor?
A) $ 150 B) $ 90 C) $ 210 D) $ 130 E) 200
2. Pedro tiene 85 billetes entre billetes de S/. 50 y S/. 20 nuevos soles, si en total Pedro tiene
S/. 2300 nuevos soles. ¿Cuántos billetes hay más de un tipo que del otro?
A) 10 B) 20 C) 45 D) 65 E) 40
3. La cuarta parte de una cuadrilla de obreros puede realizar la sexta parte de una obra en 4
dı́as. ¿Cuántos dı́as le tomarı́a a la cuadrilla completa realizar dicha obra?
A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
4. Carlitos estudia en el Instituto de Matemática. La nota final del curso de Álgebra es el
promedio de las siguientes tres notas: el examen parcial, el examen final y el promedio de
prácticas. Carlitos obtuvo 13 en el examen parcial y 12 como promedio de prácticas. Sabiendo
que en el Instituto de Matemática se aprueba con nota mı́nima 14, ¿cuántos puntos como
mı́nimo debe obtener Carlitos en el examen final para poder aprobar este curso?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
5. Sean m y n números enteros positivos, con m > n, para los cuales definimos los polinomios:
P (x) = xm + 2xn + 1,
Q(x) = xm+n − xm + 1.
Si al sumar los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 7, y al multiplicar
los polinomios P (x) y Q(x) obtenemos un polinomio de grado 12, halla m2 + n2 .
A) 17 B) 29 C) 34 D) 13 E) 20
1
1 1
6. Si x y t son números reales positivos tales que − = 42, determine el valor de:
x t
x(60t + 1) − t
.
t(3x + 1) − x
3 3 1 2 2
A) B) C) D) E)
5 4 5 3 5
7. Cuando se deja caer un objeto, la relación entre la distancia d que recorre el objeto y el tiempo
transcurrido t viene dada por
d = 4,9 · t2 ,
donde d está expresada en metros y t en segundos. Javier dejó caer una pelota desde un
malecón. La pelota tardó 1,1 segundos en llegar al agua. ¿Cuántos metros viajó la pelota?
Redondea tu respuesta al entero más cercano.
9. Cuando se deja caer un cuerpo, la relación entre la distancia que cae el cuerpo y el
A) 5 m tiempo que tarda en B) 6 mdada por: d= 4,9 . t2 C) 7 m
caer viene D) 8 m E) 9 m
Javier dejó caer una pelota desde un malecón. La pelota tardo 1,1 segundos en pegar
8. En un colegio de 200 alumnos el 60 % son varones. En una encuesta se reveló que el 78 %
con el agua. ¿Cuántos metros viajó la pelota?. Redondear su respuesta al entero más
del total cercano.
de alumnos recibe ayuda para hacer sus tareas y el resto no, además, el número de
A) 5m
mujeres queB) 6m
recibe ayuda para hacer sus tareas es igual a 4 veces el número de varones que
no lo hacen. ¿Qué porcentaje de las mujeres hacen solas su tarea?
C) 7m
D) 8m
A) 36 % E) 9m B) 40 % C) 44 % D) 48 % E) 60 %
9. El nutricionista ha puesto a Ricardo a un régimen de adelgazamiento y ha hecho esta gráfica

18. El médico ha puesto a Ricardo a un régimen de adelgazamiento y ha hecho esta gráfica para explicarle lo que espera
para explicarle lolasque
conseguir en espera
12 semanas conseguir
que dure la dieta. en las 12 semanas que dure la dieta.
Hallar la expresión analítica de la función de: ¿Cuánto adelgazará Ricardo en la primera etapa (6 semanas) del régimen?
¿Cuál de las siguientes alternativas expresa el peso P de Ricardo en función del número x de
a) y= - 5/3 x + 80
semanas, si consideramos
b) y= - 5/6 x + 80solamente la primera etapa del régimen (6 semanas)?
c) y= 5/3 x + 80
A) P = − 5x
3 + 80
d) y= - 12/3 x + 80
e) y= - 5/3 x + 70
B) P = − 5x
6 + 80
5x
C) P = 3 + 80
D) P = 70 + 5x
3
E) P = 70 − 5x
3
2
10. Si p y q son dos números primos tales que p + q + 4 y pq − 12 también son números primos.
Halla p + q.
A) 7 B) 10 C) 8 D) 12 E) 9
11. Dos números naturales consecutivos cumplen que la diferencia positiva de sus raı́ces cuadradas
1
es menor que . Halla el menor valor que puede tomar la suma de esos dos números naturales.
10
A) 11 B) 49 C) 51 D) 99 E) 101
12. Sean M un número de 4 dı́gitos y N el número de 3 dı́gitos que resulta al eliminar el dı́gito
de las unidades de M . Si M + N = 2013, halla la suma de los dı́gitos de N .
A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11
13. Sean a y b dos reales positivos. Al dividir 2x4 − 3x3 + (4b + 1)x2 − (a + 4b)x + 2b2 entre
x2 − x − a se obtiene 72 de resto. Halla a + b.
A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
14. En cada casilla del siguiente tablero está escrito uno de los números 1, 2, 3 ó 4, pero sólo se
muestran cuatro. Además, en cada subtablero de 2 × 2 todos los números que aparecen son
distintos. ¿Determinar qué números pueden estar en la casilla marcada con una x?
x
1
4
3
2
A) 1 ó 4 B) sólo 2 C) sólo 4 D) 2 ó 4 E) 1, 2 ó 4
15. En la figura mostrada ABC es un triángulo equilátero y P es un punto exterior al triángulo

tal que ∠AP C = 80◦ y el triángulo AP C es isósceles. Determine la medida del ángulo ∠AP B.
A C
A) 60◦ B) 80◦ C) 75◦ D) 85◦ E) 70◦
3
16. Sean A > B > C tres divisores del número P = 2013 × 2014 tales que A + B + C es un
A+B
múltiplo de P . Halla .
C
9
A) 5 B) C) 4 D) 3 E) 2
2
17. Cinco cuadrados pequeños están en el interior de un cuadrado mayor, como muestra la figura.
Si el área de cada cuadrado pequeño es 5, determina el área del cuadrado mayor.
A) 25 B) 45 C) 49 D) 50 E) 64
18. Un número de cuatro dı́gitos es llamado conjeturable si todos sus dı́gitos son distintos y uno
de ellos es igual a la suma de los otros tres. Por ejemplo, el 2013 es conjeturable. ¿Cuántas
de las siguientes afirmaciones son correctas?
El menor número conjeturable es el 1203.

El mayor número conjeturable es el 9810.
Existe un entero positivo N tal que N y 5N sean conjeturables.
Existe un número conjeturable que es múltiplo de 11.
Hay menos de 1800 números conjeturables.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
19. Sean a, b, c tres números reales, cada uno de ellos distinto de 0, tales que:
a c b b a 3c c b a
+ = , + = y + =N· ,
c b 2a a c b b a c
halla el valor de N .
A) 5 B) 6 C) 11 D) 12 E) 15
4
20. Un torneo de tenis se realiza de la siguiente forma: En cada ronda,si el número de participantes
es par se forman parejas con los participantes. En cambio, si el número de participantes es
impar, se hace un sorteo y uno de los participantes pasa directamente a la siguiente ronda,
luego, se forman parejas con los participantes. Los participantes de cada pareja se enfrentan, y
el ganador de cada partido pasa a la siguiente ronda. El torneo acaba cuando hay un ganador
absoluto (recuerde que en el tenis no hay empates). Sea f (n) el número de rondas que habrá
en un torneo de n participantes. Por ejemplo, f (3) = 2 y f (5) = 3. Determine la suma de los
dı́gitos del menor entero positivo m que satisface la igualdad f (m) = f (2013).
A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5
Importante:
No publicar está prueba en internet, u otro medio, hasta el dı́a 22 de
setiembre.
Para los encargados de tomar el examen: Recordar que los alumnos

no se pueden llevar los enunciados.
1
apuntes o libros.
de entrega.

1. En un evento deportivo hay 150 personas. Se sabe que hay 50 personas que no usan polo
blanco y que todas las mujeres usan polo blanco. Si el número de hombres es mayor en 10
que el número de mujeres, ¿cuántos hombres usan polo blanco?
a2 − b2 5 a
2. Sean a > b > 0 números enteros tales que 2
= . Halla el valor de .
(a − b) 3 b
3. Pablo tiene que recorrer una distancia de 6 kilómetros para llegar a su escuela, para ello
cuenta con una bicicleta que en algunas ocasiones deja en la casa de su tı́a antes de llegar a
la escuela. Se sabe que la casa de la tı́a de Pablo está a 15 minutos en bicicleta de la escuela.
Si Pablo viaja en bicicleta todo el camino de su casa a la escuela, se demora 60 minutos, en
cambio si lo hace a pie, se demora 120 minutos. ¿Cuántos minutos se demoró Pablo en llegar
a su escuela, si se sabe que empezó su recorrido en bicicleta, la cual dejó en la casa de su tı́a,
para luego continuar a pie?
2
4. En la figura mostrada, las rectas L1 y L2 son paralelas, y también las rectas L3 y L4 son
paralelas. El cuadrilátero sombreado tiene un ángulo interior de medida 92◦ , y además cumple
que su menor ángulo interior es igual a la mitad de su mayor ángulo interior, determina la
medida del ángulo x en grados sexagesimales.
L3 L4
x L1
92°
L2
5. Sea N el menor entero positivo que es múltiplo de 72 y en cuya escritura sólo se usan los
dı́gitos 8 y 9, con al menos uno de cada uno. Halla la suma de los cuatro últimos dı́gitos de
N , es decir, la suma de los cuatro dı́gitos de la derecha.
6. En un cuadrilátero ABCD, en donde AD y BC son paralelos y además AD > BC, se cumple

que ∠ABC = 2∠ADC. Si BC = 7, CD = 17 y AD = 20, determina la longitud del perı́metro
del cuadrilátero ABCD.
7. Sean a, b, c números enteros diferentes entre sı́, tales que el polinomio P (x) = x3 + ax2 + bx + c
cumple que P (a) = a3 y P (b) = b3 . Halla el valor de P (1).
8. Se hace una lista en orden creciente, de todos los números de 7 dı́gitos no divisibles por 5,
que usan exactamente una vez cada uno de los dı́gitos 1,2,3,4,5,6,7 en su escritura. Halla el
número que ocupa la posición 2013 en esa lista y da como respuesta el resto de dividir dicho
número entre 1000.
9. Sean a, b, c números primos tales que a < b < c < 100 y además a + 1, b + 1, c + 1 forman una
progresión geométrica. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar a + b + c?
3
10. Las siguientes figuras son llamadas L-tetrominós, donde cada una está formada por cuatro
cuadraditos.
Cada cuadradito de un tablero de 8×8 se ha pintado de un color, de tal forma que si escogemos
cuatro cuadraditos cualesquiera que forman un L-tetrominó entonces esos cuatro cuadraditos
tienen colores diferentes. Determina el menor número de colores que se pudieron haber usado
en total para que esta situación sea posible.
4
apuntes o libros.
ESCRIBE LA RESPUESTA DE CADA PROBLEMA

EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE.
LA RESPUESTA SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En cierta universidad se hizo un estudio estadı́stico, el cual nos brindó la siguiente información:
El número de estudiantes varones y el número de estudiantes mujeres están en la relación de 7
a 9. El número de estudiantes varones que usan la biblioteca y el número de los que no la usan
están en la relación de 2 a 3. Con esta información se obtiene que el número de estudiantes
varones que usan la biblioteca y el número total de estudiantes de la universidad están en la
relación de m a n, donde m y n son enteros positivos primos entre sı́. Halla el valor de m + n.
Aclaración: Dos números son primos entre sı́ si su máximo común divisor es 1.
2. Para cada entero positivo n definimos S(n) como la suma de los dı́gitos de n, por ejemplo
S(2013) = 2 + 0 + 1 + 3 = 6.
Si a y b son dı́gitos tales que los tres números S(a + b), a + b, ab forman una progresión
aritmética estrictamente creciente, halla el valor de 20a + 13b.
1
3. En un triángulo isósceles ABC, donde AB = BC, se ubica el punto E en la prolongación del

lado AC (C está entre A y E) y en el segmento BE se ubica el punto F , de tal modo que
AC = CF = F E y ∠BAF = 3∠F AE. Halla la medida del ángulo ∠F AE.
4. Pedro tiene una bolsa con 13 tarjetas numeradas del 1 al 13. ¿Cuál es la mı́nima cantidad
de tarjetas que Pedro debe sacar de la bolsa, sin ver, para tener la certeza de que tres de las
tarjetas extraı́das tienen numeración consecutiva?
5. El número de tres dı́gitos ABC es un cuadrado perfecto y el número de dos dı́gitos BC es

primo, determina el mayor valor posible de A + B + C.
6. Un número de 9 dı́gitos que se obtiene al reordenar los dı́gitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 es llamado

colorido si los dı́gitos 0, 1, 2, 3 y 4 aparecen en ese orden de izquierda a derecha y los dı́gitos
8, 7, 6 y 5 también aparecen en ese orden de izquierda a derecha. Por ejemplo, 870612534 es
un número colorido. Determina cuántos números coloridos hay en total.
Aclaración: Tenga en cuenta que el dı́gito 0 no puede aparecer a la izquierda de un número.
√ √
3
3
a+ b+1
8x3 − 3x2 − 3x − 1
7. La raı́z real de la ecuación = 0 se puede escribir de la forma ,
c
donde a, b, c son enteros positivos. Encuentra el valor de a + b + c.
8. En una reunión hay 15 polı́ticos. Cada polı́tico debe votar por k de los otros polı́ticos. Halla
el menor valor de k para el cual se tiene la seguridad de que habrá dos polı́ticos A y B, tales
que A votó por B y B votó por A.
9. Doce enteros positivos son ubicados alrededor de un cı́rculo de tal manera que cada uno de
ellos es igual a 2 más el máximo común divisor de sus dos vecinos, el de su izquierda y el de
su derecha. Halla el mayor valor que puede tomar la suma de los doce enteros positivos.
2
10. Los polinomios P (x) y Q(x) cumplen que todos sus coeficientes son reales no negativos y
además:
P (x) · Q(x) = x12 · (x3 + x2 + x + 1)3 ,

P (x) · P (x3 ) = 2P (x2 ) · Q(x) − [Q(x)]2 .
Halla el valor de P (2).
3
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te
recomendamos tener en consideración lo siguiente:
- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de ese tiempo no se recibirá más preguntas.
- Cada problema tiene un valor máximo de 25 puntos.
1. En un juego hay 3 cajas cerradas, cada una de las cajas contiene 20 bolitas, pero no se sabe
con exactitud el contenido de cada caja. Solo sabemos que una de las cajas contiene 10 bolitas
blancas y 10 bolitas rojas; otra de las cajas contiene 10 bolitas rojas y 10 bolitas azules; y en
la otra caja hay 10 bolitas azules y 10 bolitas blancas. Emilio, en cada jugada, debe retirar
una bolita de alguna de las cajas. Muestra una manera de jugar con la que Emilio pueda
obtener con certeza una bolita blanca, como máximo en 13 jugadas.
Aclaración: Emilio puede cambiar de caja luego de una jugada si lo desea.
2. Para cada entero positivo n sea P (n) el producto de los dı́gitos de n. Por ejemplo, P (10) = 0
y P (216) = 12. Halla el menor entero positivo m que cumple las siguientes dos condiciones:
P (m) − P (m + 2) = 990,
m es múltiplo de 11.
1
3. a) Prueba que para todo entero positivo par n ≥ 4, existe un polı́gono convexo de n lados
de tal modo que el número de triángulos isósceles que se pueden formar con 3 de sus
vértices es mayor o igual que
(n − 2)(3n − 4)
.
4
b) Si se pintan de rojo 25 puntos de una circunferencia, de tal forma que cualesquiera dos
segmentos que tienen sus extremos en puntos rojos no sean perpendiculares, ¿como má-
ximo, cuántos triángulos isósceles tienen sus vértices en tres puntos rojos?
4. Si x, y, z son números reales tales que x2 + y 2 + z 2 ≤ 100, determina el menor valor posible y
el mayor valor posible de la siguiente expresión
2xy + 2yz + 7xz.
2
XI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2014)
10 de julio de 2014
tus cálculos.
1. En el siguiente gráfico se indica la cantidad de estudiantes varones y mujeres que hay en cada
grado de secundaria de un colegio, desde 1◦ hasta 5◦ . Las barras negras indican el número
de varones y las barras grises indican el número de mujeres. ¿Cuál es la diferencia entre el
número de varones y el de mujeres en el grado que tiene más estudiantes?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1
2. En el gráfico mostrado, las rectas L1 y L2 son paralelas y el segmento AB es perpendicular

a L2 . Determine el valor de x.
C
L1
x
B
6x
L2
A
A) 36◦ B) 15◦ C) 30◦ D) 45◦ E) 18◦
a
3. Si a y b son números reales no nulos tales que 25a2 − 20ab + 4b2 = 0, determine el valor de .
b
2 3 4 5 1
A) B) C) D) E) −
5 2 3 2 2
4. José y Mario trabajan en la misma oficina y tienen el mismo sueldo básico. Además, a cada
uno le pagan la misma cantidad por cada hora adicional de trabajo. En el mes de marzo José
trabajó 6 horas adicionales y su sueldo fue S/. 2570, mientras que Mario trabajó 11 horas
adicionales y su sueldo fue S/. 2670. ¿Cuál fue el sueldo de José en el mes de abril, si en ese
mes trabajó 3 horas adicionales?
A) S/. 2510 B) S/. 2520 C) S/. 2530 D) S/. 2570 E) S/. 2550
5. En la final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática participaron estudiantes de dos

categorı́as: 160 en la categorı́a Alfa y 130 en la categorı́a Beta. Se sabe que el número de
varones en la categorı́a Alfa fue el doble del número de mujeres de la categorı́a Beta; además,
el número de mujeres en la categorı́a Alfa fue igual al número de varones en la categorı́a Beta.
¿Cuántas mujeres participaron en la categorı́a Alfa?
A) 30 B) 60 C) 50 D) 100 E) 110
1
6. ¿Cuál de los siguientes números está más cerca del número en la recta numérica?
2
2 2 3
1 7 1 11 5
A) B) C) D) E)
3 10 2 21 7
2
7. Si n es un número entero negativo, determine cuáles de las siguientes afirmaciones son

siempre verdaderas:
I. 2n < n2 .
II. 2n < n.
III. n2 < −n.
A) Ninguna B) Solo I C) Solo I y II D) Solo I y III E) Todas
8. Al dividir el polinomio x4 entre el polinomio q(x) se obtuvo como resto el polinomio x. ¿Cuál
de los siguientes polinomios puede ser q(x)?
A) x − 1 B) x3 C) x2 − x + 1 D) x E) x2 + x + 1
9. Juanito quiere cubrir su piso de 5 × 5 con cerámicos cuadrados y rectangulares sin que éstos
se superpongan ni salgan del borde. Si Juanito solo posee cerámicos de 2 × 2 y de 1 × 3, como
se muestra en la figura. ¿Cuántos cerámicos debe usar como mı́nimo?
cerámico cerámico
de 2x2 de 1x3
piso de Juanito
Aclaración: El cerámico de 1 × 3 puede ubicarse en posición horizontal o vertical.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
10. En cada lado de un triángulo equilátero se pintan de rojo dos puntos que dividen a ese lado
en 3 segmentos de igual longitud. Si estos 6 puntos rojos se unen formando un hexágono de
área 12 cm2 , halla el área del triángulo equilátero original.
A) 15 cm2 B) 16 cm2 C) 18 cm2 D) 20 cm2 E) 24 cm2
11. Por ocasión del mundial del fútbol un profesor dejó el siguiente desafı́o a sus alumnos: Los
dı́gitos B, R, A, S, I, L son distintos y satisfacen la ecuación
BRAS + IL = 2014,
donde BRAS es un número de 4 dı́gitos e IL es un número de 2 dı́gitos. Si A + S = 15, ¿cuál

es el valor de B + R + A + S + I + L?
A) 32 B) 28 C) 38 D) 24 E) 34
3
12. La señora Marı́a salió de su casa a las 10:00 a.m. y caminó a la Municipalidad en lı́nea recta,
se quedó cierto tiempo en la Municipalidad y después regresó a su casa, también caminando
en lı́nea recta. El siguiente gráfico representa la distancia que hay entre la señora Marı́a
y su casa, en función de la hora. Por ejemplo, a las 10:08 am la distancia que hubo entre la
señora Marı́a y su casa fue de 400 metros. ¿Cuántos minutos se demoró en la Municipalidad?
distancia
(metros)
800
400
0
10:00 10:08 10:16 10:35 10:40 hora
A) 40 B) 20 C) 19 D) 16 E) 24
13. En un salón hay 32 alumnos. Se sabe que 11 alumnos no aprobaron Historia y 19 alumnos no
aprobaron Lenguaje. ¿Cuál es la diferencia entre el número de alumnos que aprobaron ambos
cursos y el número de alumnos que no aprobaron ninguno de esos cursos?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. Los lados de un triángulo rectángulo miden 10, n y n + 2. Halle la suma de todos los posibles
valores de n.
A) 32 B) 28 C) 38 D) 24 E) 30
15. En el triángulo acutángulo ABC se ha trazado la bisectriz interior BD (D es un punto del

lado AC). Si los triángulos ABD y CBD son isósceles, halle la medida del menor ángulo del
triángulo ABC.
A) 15◦ B) 20◦ C) 30◦ D) 36◦ E) 45◦
16. Carlos tiene seis monedas: dos de 10 céntimos, dos de 20 céntimos y dos de 50 céntimos. Él
va a escoger 3 monedas para colocarlas en una fila. ¿Cuántas filas diferentes puede obtener?
Aclaración: Las tres monedas de 10 céntimos son idénticas entre sı́ y lo mismo sucede para
los otros tipos de monedas.
A) 24 B) 20 C) 32 D) 27 E) 26
4
17. Un número es llamado mundialista si tiene 4 dı́gitos, todos sus dı́gitos son distintos y la suma
de los dos mayores es igual a 6 veces la suma de los dos menores. Por ejemplo, el número 2014
es mundialista ya que todos sus dı́gitos son distintos y 4 + 2 = 6 × (1 + 0). Determine cuántos
de los siguientes enunciados son verdaderos:
El 1024 es el menor número mundialista.
El 9320 es el mayor número mundialista.
Existe un número mundialista múltiplo de 3.
Existe un número mundialista múltiplo de 11.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
18. En cada uno de los cı́rculos de la siguiente figura se debe escribir un entero positivo, de tal
forma que si dos cı́rculos están unidos por un segmento entonces estos cı́rculos contienen
números diferentes.
¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los 6 números escritos?
A) 15 B) 16 C) 12 D) 13 E) 14
19. ¿Cuántos subconjuntos no vacı́os de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} cumplen que el producto de sus ele-
mentos es un múltiplo de 8 ?
Aclaración: A modo de ejemplo, vea que el subconjunto {3, 4, 6} cumple que el producto de
sus elementos es un múltiplo de 8.
A) 160 B) 176 C) 128 D) 192 E) 144
20. Determine la suma de los dı́gitos del menor entero positivo n que tiene la siguiente propiedad:
El intervalo cerrado [n, n + 2014] contiene exactamente 22 cuadrados perfectos.
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma k 2 , donde k es un número entero.
A) 11 B) 9 C) 12 D) 10 E) 13
5
apuntes o libros.
de entrega.
- Te recalcamos que no puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados ni tampoco
publicar o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se
realize de la mejor forma posible.

1. En la figura, ABC es un triángulo equilátero y BCDE es un rombo. Además, los ángulos

∠BAE y ∠BCD miden x◦ (en grados sexagesimales). Determine el valor de x.
B D
x°
x°
A
C
Aclaración: Un rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales.
1
2. Se muestra una parte del plano de una ciudad donde los rectángulos representan las manzanas,
además, todos los rectángulos son iguales. Para ir desde el cruce A hasta el cruce B el mı́nimo
recorrido es de 390 metros; y para ir desde el cruce A hasta el cruce C el mı́nimo recorrido
es de 430 metros. ¿De cuántos metros es el mı́nimo recorrido para ir desde el cruce A hasta
el D ?
B
C
A
3. ¿Cuántos elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} son divisores del número
20142 − 1 ?
√ √ √ 5 √
5
4. Sea x1 = 5 5, x2 = ( 5 5) 5 y en general xn = (xn−1 ) 5 , para cualquier n ≥ 2. Es decir,
la sucesión x1 , x2 , x3 , √
. . . cumple que cada término, a partir del segundo, es igual al anterior
elevado al exponente 5 5. Determine el menor entero positivo n para el cual xn es un número
entero múltiplo de 5.
5. En la figura, ABCD y AM N P son dos rectángulos cuyas áreas miden 30 cm2 y 16 cm2 ,
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero M BDP , en cm2 .
M
A B
P N
D C
6. En el plano cartesiano considere los 12 puntos que tienen coordenadas (0,0), (0,1), (0,2), (0,3)
(1,0), (1,3), (2,0), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3). ¿De cuántas formas se puede escoger 3 de
esos 12 puntos de tal forma que esos 3 puntos sean los vértices de un triángulo rectángulo?
2
7. Decimos que un número de 4 dı́gitos abcd es osado si ab y cd son números de 2 dı́gitos tales
que ab + cd es un divisor de abcd. Por ejemplo, el número 2013 es osado, pues 20 + 13 = 33 es
un divisor de 2013. Si abcd es un número osado, determine el mayor valor que puede tomar
la expresión:
abcd
.
ab + cd
Aclaración: Como ab y cd son números de 2 dı́gitos, entonces a y c son mayores que 0.
8. En una fiesta los asistentes bailan en parejas formadas por un hombre y una mujer, pero en
un momento dado no es necesario que todos los asistentes estén bailando. Durante la prime-
ra hora, se observó que cada mujer bailó exactamente con 4 hombres y cada hombre bailó
exactamente con 5 mujeres. Luego, se fueron 9 mujeres y en la siguiente hora se observó que
cada mujer bailó con exactamente 5 hombres y cada hombre bailó con exactamente 4 mujeres.
¿Cuántos asistentes habı́a al inicio de la fiesta?
9. Un entero positivo N es llamado super-cuadrado si tiene la siguiente propiedad: si sumamos

todos los dı́gitos de N , luego a esta suma le restamos uno de los dı́gitos de N (elegido conve-
nientemente) y finalmente el resultado es elevado al cuadrado, obtenemos el mismo número
N . Determine el mayor super-cuadrado.
10. Sean x, y, z números reales tales que

(
x2 + y 2 + z 2 = 144,
x + y + z = 6.
√
Si el mayor valor posible de |x| + |y| + |z| se expresa como m + n, donde m y n son enteros
positivos. Determine el valor de m + n.
3
Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
apuntes o libros.
- Recuerda que las respuestas correctas se calificarán con diez (10) puntos; y las no respondidas
o mal respondidas se calificarán con cero (0) puntos.
de entrega.

1. Santiago estaba viendo el canal del tiempo y se percató de lo siguiente: la temperatura en

Pucallpa era 4◦ C más que en Chiclayo, la temperatura en Chiclayo era 2◦ C más que en
Lima, la temperatura en Lima era 2◦ C más que en Tacna, la temperatura en Tacna era 4◦ C
más que en Puno y la temperatura en Puno era, en grados celsius, la mitad que en Pucallpa.
¿Cuál era la temperatura en Tacna?
2. Un trapecio isósceles tiene bases paralelas de longitudes 8 cm y 20 cm, y los lados no paralelos
miden 10 cm cada uno. ¿Cuál es el área de dicho trapecio, en cm2 ?
1
3. En una compañı́a de autos vendieron 500 autos el año pasado. Se sabe que cada mes de dicho
año, a partir de febrero, vendieron un auto más que el mes anterior, excepto en uno de los
meses en el que vendieron dos autos más que el mes anterior. ¿Cuántos autos vendieron en el
mes de octubre de dicho año?
4. En un restaurante, cada mesa tiene exactamente n sillas. En cierto momento no hay nin-
guna mesa vacı́a y las cantidades de mesas que tienen 1, 2, 3, . . . , n personas son iguales a
1, 2, 3, . . . , n, respectivamente. Determine la cantidad de mesas, sabiendo que esta cantidad
es igual a la cantidad de sillas desocupadas que hay en el restaurante.
n(n+1)(2n+1)
Nota: Puedes usar la siguiente igualdad 12 + 22 + · · · + n2 = 6 .
5. La profesora Gabriela va a repartir 30 caramelos entre sus 8 alumnos, de tal forma que cada
alumno reciba al menos 1 caramelo y algún alumno reciba más de 4 caramelos. Además, de
los 8 alumnos, al menos 4 alumnos van a recibir más de 1 caramelo. ¿Como máximo cuántos
caramelos puede recibir uno de sus alumnos?
6. Si a y b son reales positivos tales que

1
a2 + = 7,
b
1
b2 + = 3,
a
determine el valor de
2ab + 10
a2 b2 + .
a+b
7. ¿Cuántos enteros positivos n menores que 2014 cumplen que n es igual a la suma de los dı́gitos
de 3n + 920 ?
8. Sea Q+ el conjunto de los números racionales positivos. Sea f : Q+ → Q+ una función que
cumple las siguientes propiedades:
f (1) = 1,
f x1 = f (x), para todo x ∈ Q+ ,

(x + 1) · f (x) = x · f (x + 1), para todo x ∈ Q+ .
Determine el valor de f 20

14 .
2
9. ¿Cuántos números de 5 dı́gitos cumplen que cada uno de sus dı́gitos es mayor que 4, y además
la suma de sus 5 dı́gitos es impar?
10. Decimos que dos enteros positivos son amigos si uno de esos números es múltiplo del otro.
Por ejemplo, los números 9 y 3 son amigos; mientras que los números 6 y 9 no son amigos. En
cada cı́rculo de la siguiente figura tiene que escribirse un entero positivo (los números 2 y 2014
ya están escritos) de tal forma que si dos números están unidos por un segmento entonces son
amigos, y si dos números no están unidos por un segmento entonces no son amigos. Determine
el menor valor que puede tomar la suma de los ocho números.
2 2014
3
1. Sean a, b, m, n enteros positivos tales que:
m+n=a+b
mn + 1 = ab.
a) Pruebe que m 6= n.
b) Pruebe que a = b.
2. Determine todos los números reales c para los cuales existen números reales no nulos x, y, z
tales que
x y z y z x
+ + = + + = c.
y z x x y z
3. Se tiene un tablero de 5 × 5. Inicialmente hay un número 1 en cada casilla del tablero. Un

movimiento consiste en elegir un subtablero de 2 × 2, borrar los números de las casillas que
ocupa y escribir en su lugar los números 1, 2, 3 y 4 en algún orden. ¿Cuál es el mayor valor
que puede tomar la suma de los 25 números del tablero después de un número finito de mo-
vimientos?
1
4. Dado un cuadrilátero ABCD tal que AB = AD, ∠CBD + ∠ABC = ∠ADB + ∠ADC = 180◦
y ∠BAD > 60◦ . Sea M cualquier punto del segmento AB (M 6= A y M 6= B).
a) Pruebe que existe un punto N en el segmento CD tal que BM = DN y un punto X en

el segmento BC tal que M X = XN .
b) Pruebe que la medida del ángulo ∠XAN es siempre la misma sin importar cuál sea el
punto M .
2
XII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2015)
19 de junio de 2015
tus cálculos.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohi-
bido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 28 de junio.
A partir del 29 de junio las pruebas estarán publicadas en la página web del
Ministerio de Educación.
1. Si P, E, R, U son dı́gitos tales que P E × RU = 2015, calcule el valor de P + E + R + U .

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
2. En una carrera participan cinco amigos Aldo, Beto, Carlos, Daniel y Eduardo. Se sabe que
Aldo llegó a la meta antes que Beto, Carlos llegó antes que Daniel y Daniel llegó antes que
Eduardo y que Aldo. Si Beto no llegó en último lugar, ¿cuál de los amigos llegó en tercer
lugar?
A) Aldo B) Beto C) Carlos D) Daniel E) Eduardo
3. Sean a, b, m, n números reales positivos tales que a + b = 2mn y m + n = 3ab. Halle el valor
de la expresión
1 1 1 1
+ · + .
a b m n
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
4. El número 0,2015 está entre . . .

1 1 1 1 1 1 1 1 1
A) y 1 B) y C) y D) y E) y
2 3 2 4 3 5 4 6 5
1
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
John Cuya
5. En el gráfico se indica la cantidad de dı́as festivos que tiene cierta ciudad entre los meses de
1. problema
marzo y junio.5 Halle la cantidad de dı́as festivos que tiene dicha ciudad en el mes de junio.
3n − 5
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
2n
n+5 John Cuya
3n − 8
marzo abril mayo junio

1. problema 5
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
6. Roberto hace 85 años tenı́a la mitad de la edad actual que tiene Sandro, su hermano mayor.
2. problema
Si dentro de 5 años la edad de Sandro será un3n − 5 perfecto menor que 40, determine la
cuadrado
A
L
edad actual de Roberto.2 2n
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un númeronde
+ la
5 forma k2 , donde k es un número entero.
3n − 8
A) 7 x◦ B)15 C) 4 D) 12 E) 20
L1
7. Un grupo de trabajadores puede realizar una obra en 100 dı́as. Otro grupo de trabajadores
80◦
puede realizar la misma obra en 150 dı́as. Se decide contratar a ambos grupos, los cuales
trabajarán
B la misma cantidad deC dı́as, pero por separado (en los primeros dı́as trabajarán el
primer grupo y en los últimos dı́as, el segundo grupo). ¿Cuántos dı́as tardarán en completar
marzo abril mayo junio
la 3.obra?
problema 11
A) 120 B) 125 C) 130 D) 135 E) 140
8. En el siguiente gráfico, ABC es un triángulo equilátero y las rectas L1 y L2 son perpendicu-

lares. Determine el valor2.deproblema
x. 8
A
L2
x◦ L1
80◦
B C
1
A) 40 B)3.45problema 11 C) 50 D) 55 E) 60
2
John Cuya
9. Un entero positivo es llamado cuatrero si cumple las siguientes condiciones a la vez:
Cada uno de sus dı́gitos pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4},

1. problema 5
Cualesquiera tres dı́gitos ubicados en posiciones seguidas son distintos entre sı́.
Por ejemplo, 12314 y 23412 son cuatreros. ¿Cuántos números cuatreros de cinco dı́gitos (in-
cluyendo a los del ejemplo) hay en total? 3n − 5
A) 32 B) 48 2n
C) 64 D) 72 E) 96
n+5
3n − 8
10. Sean m y n enteros positivos tales que m + n = 2015, m es múltiplo de 3 y n es múltiplo de

7. Halle el resto de dividir 3m + 7n entre 21.
A) 9 B) 6 C) 2 D) 11 mayo
E) 18
marzo abril junio
11. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

2. problema 8
A) 2100 B) 480 C) 660 D) 840 E) 1020
A
L2
12. ¿Cuál es el menor entero positivo que se puede escribir como la suma de 2, 3, 4, ó 5 números
primos distintos? x◦ L1
A) 28 B) 30 C) 26 D) 38 E) 20
80◦
B C
13. Un cuadrado grande está dividido en cuatro rectángulos y un cuadrado pequeño, como muestra
3. problema 11
la figura:
Si los perı́metros de los cuatro rectángulos son (en algún orden) 10 cm, 15 cm, 18 cm y 23
cm, determine el perı́metro del cuadrado grande.
A) 25 cm B) 28 cm C) 33 cm D) 38 cm E) 41 cm
1
3
14. Anita va a lanzar tres veces un dado sobre la mesa, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los números que va a obtener sea múltiplo de 3?
1 1 1 2 1
A) B) C) D) E)
2 3 6 3 4
15. Determine el valor de

1 1 1 1
2000 1 − 2 1− 2 1 − 2 ··· 1 − .
2 3 4 1002
A) 1010 B) 1000 C) 1200 D) 505 E) 1111
16. En una reunión hay ocho mujeres. Se sabe que una de ellas es amiga de todas las demás,
cinco tienen dos amigas en la reunión, una tiene una amiga en la reunión y la última tiene x
amigas en la reunión. Halle la suma de todos los valores que puede tomar x.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
17. Decimos que un número de cuatro dı́gitos distintos abcd es luminoso si 5a + b = 5c + d.

Por ejemplo, 2015 es luminoso ya que todos sus dı́gitos son distintos y 5 × 2 + 0 = 5 × 1 + 5.
¿Cuál es el menor número luminoso? Dé como respuesta la suma de sus dı́gitos.
A) 13 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
18. Halle el coeficiente de x2 al expandir el producto
(1 + x)(1 + 3x)(1 + 5x)(1 + 7x) · · · (1 + 19x).
A) 3690 B) 4335 C) 5655 D) 6310 E) 6975
19. Sea P un punto en el interior de un triángulo ABC tal que AP = P C, ∠ABP = 20◦ ,
∠P BC = 30◦ y ∠P CB = 70◦ . Determine el valor de ∠P AB.
A) 50◦ B) 35◦ C) 40◦ D) 20◦ E) 30◦
4
1. problema 20
6 ×problema
20. Se tiene un tablero de 2. 6, como20,
se tablero
muestradeen
6 xla6 figura:
John Cuya
Algunas casillas se van a pintar de negro de tal forma que no haya tres casillas negras consecu-
tivas en horizontal, vertical o diagonal, es decir, no debe haber tres casillas negras dispuestas
1. las
de alguna de problema 20 formas:
siguientes
¿Cuántas casillas negras puede haber como máximo?

2. problema 20, tablero de 6 x 6
A) 18 B) 20 C) 17 D) 19 E) 16
5
17 de julio de 2015
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte estas hojas que contienen los enunciados, pero no puedes publicar o discutir
los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realize de la mejor forma
posible.

1. La mamá de Ana puso sobre la mesa una jarra llena con jugo de naranja cuyo peso total era
2000 gramos. Ana tomó la tercera parte del jugo y su hermana, la tercera parte de lo que
quedó. Si la jarra pesa ahora 1400 gramos, ¿cuántos gramos pesa la jarra vacı́a?
2. Abel, Bruno y César recogieron manzanas. César recogió 7 manzanas menos que los otros dos
juntos. Abel recogió 9 manzanas menos que los otros dos juntos. Bruno recogió 11 manzanas
menos que los otros dos juntos. ¿Cuántas manzanas recogió Abel?
1
John Cuya
3. Compré 16 regalos, de los cuales 8 son para varones y 8 son para mujeres. Mi amigo me ayudó
a colocar cada regalo en una cajita y envolverlas con papel aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
de regalo deJohn
manera que parezcan
Cuya
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
idénticas. Él los acomodó en pilas de la siguiente manera:
John Cuya
Según me dijo, cada pila1. contiene regalos para el mismo sexo, pero no me dijo cuáles corres-
ponden a varones y cuáles a mujeres. ¿Cuántas cajitas debo abrir como mı́nimo para saber
con seguridad el tipo de regalo
1. de cada cajita?
4. Un trapecio isósceles es un cuadrilátero

1. que tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos
lados iguales pero no paralelos. Por ejemplo, en la siguiente figura:
2.
3. pinches ejemplos de trapecios

2.

2.
algunos de los trapecios isósceles que aparecen son:
Determine la cantidad total de trapecios isósceles que hay en la figura

B inicial.
B tal que
5. Sea x un número real tal que 4x − 4x−1 = 24 y sea m un número entero
m < (2x)x < m + 1.

A B
Calcule el valor de m.
4.
A
6. Dado un triángulo ABC con ◦
4. ∠BAC = 105 , sea P un punto interior y D un punto del lado
BC. Si AP = P C = P D = DB y AB = BP , halla la medida del ángulo agudo que forman
los segmentos AD y BP . A
4.
1
1.
7. En la pizarra están escritos los números naturales del 1 al 32:

2.
1, 2, 3, 4, 5, . . . , 30, 31, 32
Una operación consiste en borrar dos o más números de la pizarra cuya suma sea un cuadrado
perfecto. ¿Cuál es la mayor cantidad de operaciones que se puede realizar para borrar todos
los números de la pizarra?
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma k 2 , donde k es un entero positivo.
8. Al dividir el entero positivo n entre cada uno de los números 29, 39 y 59 se obtuvo tres restos
distintos de cero cuya suma es n. Determine el valor de n.
9. En la siguiente figura, cada cuadradito tiene 1 cm de lado.
A
4. movimiento consiste en avanzar 1 cm a la derecha o 1cm hacia arriba. ¿De cuántas ma-
Un
neras se puede ir de A hacia B, usando las lı́neas de la cuadrı́cula, si no se puede avanzar en
la misma dirección tres veces seguidas?
10. Sean a, b, c, d reales positivos tales que a > b y además:
a2 + ab + b2 = c2 − cd + d2 = 1
2
ac + bd = √ .
3
Calcule el valor de 24(a2 + b2 + c2 + d2 ).

1
3
apuntes o libros.
de entrega.

1. Ana, Beatriz y Cecilia se matricularon en un curso de computación que consiste de 28 clases.

En cada clase asistieron al menos dos de ellas. Si Ana no asistió a 7 clases, Beatriz no asistió
a 5 clases y Cecilia no asistió a 8 clases, ¿en cuántas clases estuvieron presentes las tres
alumnas?
2. En cierta ciudad el control de las vacunas de un recién nacido es el siguiente: Las primeras
4 vacunas son cada mes después de nacido, las siguientes 4 vacunas son cada tres meses, las
siguientes 4 vacunas son cada cinco meses, las siguientes 4 vacunas son cada siete meses, y ası́
sucesivamente. Si Antonio, que siguió estrictamente el control de vacunas, recibió su última
vacuna cuando tenı́a 15 años, ¿Cuántas vacunas recibió Antonio en total?
1
3. Encuentre el mayor entero positivo N de cuatro dı́gitos (no necesariamente distintos), menor
que 1777, que tiene la siguiente propiedad: Al multiplicar los cuatro dı́gitos de N obtenemos
un divisor de N .
Aclaración: Tenga en cuenta que 0 no es divisor de ningún entero positivo.
4. Un caballo del ajedrez se mueve en unaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

tablero, como el de John Cuya
la figura, de tal modo que pasa
por cada casilla exactamente una vez. El caballo empieza su recorrido en la casilla que tiene
el número 1, luego se dirige a la casilla que tieneaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
el número 2, luego a John
la queCuya
tiene el número
3, y ası́ sucesivamente, hasta que llega a la casilla que tiene el número 12. Se sabe cuáles son
las casillas 3, 7 y 9, como muestra la figura. Determine elaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
valor de x + y.
x 9
3 y 7
x 9
3 y 7
Aclaración: En el ajedrez, el movimiento de un caballo equivale a avanzar dos casillas en una
dirección (horizontal o vertical) y luego una casilla en la otra dirección.
B
5. Al dividir el polinomio P (x) entre (x − 1)2 y (x + 1)2 se obtienen los restos 1 + 2x y 1 − 2x,
M B
respectivamente. Sea R(x) el resto que se obtiene al dividir P (x) entre (x2 − 1)2 . Calcule el
valor de R(12).
M
A D C
6. Algunas casillas de un tablero de 6 × 6 contienen una ficha en su interior (cada casilla puede
contener como máximo una ficha), deAtal modo en que cada fila D y en cada columna
C haya
exactamente dos fichas. Sea N la cantidad de fichas que hay en el cuadrado de 4 × 4 central,
como el que está sombreado en la figura. Halle la suma de todos los valores que puede tomar N .
2
x 9
3 y 7
7. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Sea M el punto medio del segmento AB y D
un punto de la hipotenusa AC tal que AD = 12 y DC = 8. Si ∠BDM = 90◦ , calcule el área
del triángulo BDM .
A D C
8. En cada casilla de un tablero de 3 × 3 está escrito un número real, de tal modo que se cumple
la siguiente propiedad: Si escogemos tres casillas cualesquiera que estén en filas diferentes y
columnas diferentes, la suma de los números que están en esas casillas es siempre negativa.
Consideremos la suma de los números de cada fila y la suma de los números de cada columna,
de esta forma tenemos 6 sumas, ¿como máximo cuántas de estas sumas son positivas?
9. Si el número abcdef es múltiplo de 97 y

abcdef + 1 = ab + 1 cd + 1 ef + 1 ,
calcule el valor de a + b + c + d + e + f .
10. Sea D el conjunto de todos los divisores positivos del número
216 × 38 × 54 × 72 .
C es un subconjunto de D que tiene la siguiente propiedad: Si a y b son elementos cualesquiera

de C, con a 6= b, se cumple que el mı́nimo común múltiplo de a y b no pertenece a C. Determine
cuántos elementos como máximo puede tener C.
3
1. a) Sean x, y, z números reales, demuestre la desigualdad
(x + y + z)2
x2 + y 2 + z 2 ≥ .
3
b) Si a y b son números reales, determine el menor valor posible de la expresión
(a + b − 5)2 + (a − 3)2 + (b − 4)2 .
2. El producto de algunos enteros positivos (no necesariamente distintos) es una potencia de 21.
A cada número se le resta 1 y se multiplica todos los números. ¿Es posible que ese nuevo
producto sea una potencia de 42 ?
1
6
9
dominó vertical dominó horizontal
3. Sea ABCD un trapecio de lados paralelos AD y BC, circunscrito a una circunferencia de

centro O, la cual es tangente a BC en el punto E. Pruebe que si AD = 2BC , entonces O es
el ortocentro del triángulo AED.
B E C
A D
Aclaración: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.
4. Sobre una mesa hay n ≥ 3 monedas colocadas en fila. Cada moneda tiene un sello de un lado
y cara en el lado opuesto. Una operación consiste en voltear una moneda y todas las mone-
das adyacentes a ella. ¿Para qué valores de n siempre es posible conseguir, luego de algunas
operaciones, que todas las monedas muestren el sello, sin importar la configuración inicial de
las monedas?
2
XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016)
14 de julio de 2016
tus cálculos.
- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohi-
bido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el dı́a 26 de julio.
1. En una tienda compré arroz por un valor de 7 soles y pagué con un billete de 50 soles. Me
dieron de vuelto solamente monedas de 2 y 5 soles. Si recibı́ 4 monedas de 2 soles, ¿cuántas
monedas de 5 soles recibı́?
A) 11 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
2. En el siguiente gráfico circular se muestra el porcentaje de estudiantes peruanos matriculados

en la modalidad de Educación Básica Regular durante el año 2015:
Inicial
Primaria
45 %
Secundaria
Si el porcentaje de estudiantes de Inicial es al porcentaje de alumnos de Secundaria como 2

es a 3, determina el porcentaje de alumnos de Secundaria.
A) 18 % B) 22 % C) 27 % D) 30 % E) 33 %
1
3. José tiene dos hermanos llamados David y Carmen. David tiene 4 años más que José y Carmen
tiene 3 años menos que José. Resulta que la suma de edades de los tres hermanos es igual a
la edad de su padre que tiene 43 años. ¿Cuál es la edad de José?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
4. Marı́a debe comprar 15 kilos de arroz para una fiesta. La bolsa de 750 gramos cuesta S/. 3,90
y la bolsa de 5 kilos cuesta S/. 25,00 ¿Cuántos soles ahorrará Marı́a si en vez de comprar
únicamente bolsas de 750 gramos compra únicamente bolsas de 5 kilos?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. Se dibujan dos triángulos, uno acutángulo y el otro obtusángulo. Ambos triángulos son isós-
celes y cada uno tiene al menos un ángulo de 20◦ .
Indique la alternativa correcta:
A) El mayor ángulo del triángulo acutángulo es 60◦
B) El menor ángulo del triángulo acutángulo es 40◦
C) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 140◦
D) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 160◦
E) El menor ángulo del triángulo obtusángulo es 100◦
6. En un torneo de fútbol el equipo Los Guacamayos resultó campeón. Raúl el goleador de este
equipo, anotó 11 goles en los primeros seis partidos. Si en total se jugaron 7 partidos, ¿cuántos
goles anotó Raúl en el último partido para que su promedio de goles haya sido 2 ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Juana y Rosa fueron a la misma tienda a hacer sus compras. Juana compró 2 litros de leche
y 1 kilo de azúcar; Rosa compró 3 litros de leche y 4 kilos de azúcar. Si Juana gastó 10 soles
y Rosa gastó 22 soles, ¿cuántos soles cuesta el litro de leche en dicha tienda?
A) 1,8 B) 2,4 C) 3,6 D) 4,8 E) 6
8. Un artesano fabricó cierta cantidad de joyas iguales. Si vende cada joya a 12 soles recaudarı́a
menos de 250 soles, pero si vende cada joya a 13 soles recaudarı́a más de 250 soles. ¿Cuántas
joyas fabricó el artesano?
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
2
9. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de estudiantes de 5◦ de secundaria del colegio

Mariscal Castilla, que han decidido estudiar Matemática, influenciados por la ONEM. Los
datos corresponden a los años 2012 al 2015.
20
10
2012 2013 2014 2015
Se sabe que la cantidad de estudiantes en el 2015 fue el doble que en el 2013 y el triple que
en el 2012. Además, hubo 4 estudiantes más el año 2014 que el año 2013. ¿Cuánto fue el
incremento de estudiantes desde el año 2014 al año 2015?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Antonio quiere comprar un electrodoméstico. En la tienda A dicho electrodoméstico cuesta

1200 soles y le ofrecieron un descuento del 10 %. En la tienda B dicho electrodoméstico
cuesta algo más, pero le ofrecieron un descuento del 20 %. Antonio se dio cuenta que al final
el precio del electrodoméstico en ambas tiendas era el mismo. ¿Cuánto costaba inicialmente
el electrodoméstico en la tienda B?
A) 1300 B) 1350 C) 1400 D) 1450 E) 1500
11. Sonia tiene N ovejas, donde N es un número entero mayor que 35 y menor que 65. Ella puede
separar sus ovejas en grupos, con 5 ovejas en cada grupo, pero no puede hacer lo mismo con
2 ovejas en cada grupo ni con 3 ovejas en cada grupo. Determina el número de ovejas N .
A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60
12. Van a construir una pista circular alrededor de un estadio para los entrenamientos de los
maratonistas. ¿Cuál debe ser el diámetro aproximado de la pista si un corredor debe cubrir
un recorrido total de 42 km al dar 25 vueltas completas a la pista?
Nota: Considere la aproximación π = 3, 14.
A) 311,9 m B) 267,5 m C) 475,8 m D) 623,8 m E) 535 m
3
13. Para ser miembro de un club, se tiene que pagar por única vez 150 soles por cuota de ingreso
y una mensualidad de 60 soles. Sin embargo, si se paga por adelantado el costo por un tiempo
determinado, el club ofrece un 10 % de descuento al monto total. Ramiro quiere ser miembro
del club durante n meses, para lo cual debe pagar por adelantado el monto total M . Determine
M , en función de n.
A) M = 60n + 150
B) M = 54n + 145
C) M = 135n + 60
D) M = 54n + 135
E) M = 45n + 150
14. Un tanque que almacena gasolina está completamente lleno. Debido a un desperfecto, cada
semana se evapora la quinta parte de la gasolina que hay en el tanque. Después de 3 semanas
se evaporó 122 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina habı́a inicialmente en el tanque?
A) 250 B) 200 C) 300 D) 244 E) 350
15. ¿Cuál es el mayor divisor de 2016 cuyo cuadrado también es divisor de 2016?
A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
16. Sea ABC un triángulo equilátero y sea D un punto del lado AB. Sean E y F los pies de las
perpendiculares trazadas desde D hacia los lados BC y AC, respectivamente. Si CE = 8 y
CF = 7, determina el perı́metro del triángulo ABC.
B
E
D
A F C
A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 30
B C
4
17. Un juego consiste en girar dos ruletas. La ruleta A tiene los números del 1 al 5 y la ruleta B
tiene los números del 1 al 6.
1 2 1 2
6 3
5 3
4 5 4
ruleta A ruleta B
Para ganar un premio el número que apunte la flecha de la ruleta A debe ser mayor que el
número que apunte la flecha de la ruleta B. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio?
1 1 2 1 3
A) B) C) D) E)
4 3 5 2 10
18. Los números reales positivos x, y, z satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones
xy + x + y = 2,
yz + y + z = 5,
zx + z + x = 7.
Determina el valor de x + y + z.
7 9 15
A) B) 4 C) D) 7 E)
2 2 2
19. La maestra Jimena escribió en la pizarra los números 1, 7, 13, 19, 25, 31, y luego los alumnos
hallaron todos los números primos que se pueden obtener al sumar dos o más números de la
pizarra. ¿Cuántos números primos hallaron los alumnos?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5
20. Se tiene una fila de 14 cuadraditos enumerados de la siguiente forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Al inicio se coloca una piedra sobre uno de los cuadraditos. La piedra realiza una secuencia
de movimientos de la siguiente forma: si la piedra está en el cuadradito n, en el siguiente paso
se puede mover al cuadradito n − 2 o al cuadradito 2n (sin salirse de la fila). Está permitido
que la piedra visite a un cuadradito más de una vez.
¿Como máximo cuántos cuadraditos diferentes puede visitar la piedra en una secuencia de
movimientos si podemos escoger libremente la posición inicial de la piedra?
A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
6
apuntes o libros.
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados, ni tampoco publicar
o discutir los problemas en internet, ası́ nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la
mejor forma posible. Las pruebas se publicarán en la página web del Ministerio de Educación,
Concursos Educativos - ONEM, a partir del 19 de agosto.

1. En los exámenes del primer bimestre Paola obtuvo 13 como nota promedio de los cursos de
Historia, Inglés, Comunicación y Matemática. En el segundo bimestre ella aumentó 1 punto
en Historia, 2 puntos en Inglés, 2 puntos en Comunicación y 3 puntos en Matemática, con
respecto al bimestre anterior. ¿Cuál fue la nota promedio de Paola de estos cuatro cursos en
el segundo bimestre?
2. Un fabricante de perfume decidió reducir en 10 ml la cantidad de perfume de cada frasco. Al

hacer esto, resulta que el contenido de 25 frascos equivale al contenido de 20 frascos antes de
la reducción. ¿Cuántos ml de perfume contenı́a cada frasco al inicio?
1
3. Sean M, N, P, Q puntos de los lados DA, AB, BC, CD de un rectángulo ABCD, respectiva-
mente, tales que M N, N P, P Q forman ángulos de 45◦ con los lados del rectángulo. Si M D = 2
y BN = 4, determine la longitud del segmento QD.
B P C
N
Q
A M D
B C
4. ¿Cuál es el menor número entero positivo, múltiplo de 3, tal que el producto de sus dı́gitos es
2016 ?
5. Los asientos de un auditorio están distribuidos en m filas y n columnas. Durante un seminario

se observó que en cada fila habı́a dos asientos vacı́os y en cada columna habı́a un asiento vacı́o.
Halle el número total de asientos del auditorio si se sabe que este número es mayor que 350 y
menor que 400.
A D
6. Sea ABCD un cuadrado de lado 8. Si AM = AQ = 4 cm y BN = CP = 2 cm, halle la
diferencia de las áreas de los cuadriláteros P DQX y M BN X, en cm2 .
B N C
P
X
M
A Q D
2
B P C
B
Segunda P - Nivel 2 C
Fase
7. Sean x y z números reales tales que N

N
Q
x2 + 5xz + z 2 = 7, Q
x2 z + xz 2 = 2.
Si x + z 6= 2, determina el valor de (6xz)2 .

A M D
A M D
8. Se tiene 57 palitos que están distribuidos de la siguiente manera
Un movimiento consiste en quitar 3 palitos que formen alguna de las siguientes figuras:
¿Cuál es la mayor cantidad de movimientos seguidos que se puede realizar?
9. Sean a, b, c, d números enteros positivos tales que a > b > c > d y además
mcd(a, b) + mcd(a, c) + mcd(a, d) = 105.
Halla el menor valor posible de a.

Aclaración: mcd(r, s) denota al máximo común divisor de los números enteros positivos r y s.
10. Determina el menor valor que puede tomar la expresión

ab(a + b − 28)
,
(a − 1)(b − 27)
donde a y b son números reales positivos tales que a > 1 y b > 27.
3
apuntes o libros.
de entrega.

1. Alex tiene en su jardı́n un árbol que crece exactamente medio metro al año. La altura del
árbol es igual a cinco veces la altura de Alex. Hace 12 años Alex medı́a 21 centı́metros menos
y su árbol medı́a la mitad de lo que él medı́a en ese momento. ¿Cuántos centı́metros mide
actualmente el árbol de Alex?
2. Héctor trabaja entregando botellas de gaseosa. En su camión todas las cajas están llenas de
botellas (12 en cada caja) y aparte hay menos de 12 botellas sueltas. Si la cantidad de botellas
más la cantidad de cajas es 216. ¿Cuántas cajas hay en el camión de Héctor?
2015 2016
ab

1 1
3. Definimos los números a = 1 + y b= 1+ . Calcule el valor de .
2015 2015 ba
1
4. Sea ABCDE un pentágono que tiene ángulos rectos en los vértices A, C y E, tal que AB = 18
cm, CD = 6 cm y DE = 24 cm. Calcule el perı́metro del pentágono ABCDE (en cm) si su
área es 480 cm2 .
C
D
A E
5. Favio tiene tres bolsas de caramelos. Una bolsa tiene tres caramelos amarillos y tres caramelos
rojos, otra bolsa tiene 3 caramelos rojos y 3 caramelos verdes y la última bolsa tiene 3 cara-
melos verdes y 3 caramelos amarillos. Favio va a sacar, al azar, un caramelo de cada bolsa.
La probabilidad de que Favio saque tres caramelos de colores distintos es del n %. Determine
el valor de n.
6. Un número entero positivo de cuatro dı́gitos puede expresarse como el producto ab × da,
donde a, b, d son dı́gitos no nulos, distintos entre sı́, tales que da > ab. Halle el menor valor
posible de da − ab.
7. Roberto tiene 101 monedas, ubicadas en una fila. Cada moneda es de 10, 20 ó 50 céntimos.
Se sabe que no hay un grupo de monedas consecutivas cuya suma sea 60 céntimos. ¿Cuál es
la menor cantidad de monedas de 50 céntimos que puede tener Roberto?
8. Sean a y b enteros positivos tales que a2 + b2 = 300a. Determine la suma de todos los valores
distintos que puede tomar a.
2
9. Sea ABC un triángulo equilátero de lado 48 y Q un punto del lado AB tal que BQ = 26.
Si P es un punto en el interior del triángulo ABC tal que P A2 + P C 2 = P B 2 , determine el
menor valor entero que puede tomar la longitud del segmento P Q.
10. Joaquı́n está de viaje en un paı́s extraño donde hay billetes de valor n para cada entero po-
sitivo n menor o igual que 50, es decir, hay billetes de valor 1, de valor 2, ..., de valor 50.
Joaquı́n tiene exactamente 7 billetes de valores n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 < n7 , y con
ellos puede pagar cualquier objeto cuyo valor sea un número entre 1 y 60, inclusive, sin recibir
vuelto. Determine el menor valor posible de n7 .
3
1. Un conjunto C está formado por 1siete

2 3 1 2 2 1 3
enteros positivos diferentes. Se sabe que exactamente
2 3 1 2 2 1
tres elementos de C son múltiplos de 3 y exactamente cuatro 1 de
3 elementos de C son múltiplos
3 1de 2la suma
de 4. Calcule el menor valor posible 3 de los1 siete
1 1elementos
2 de C.
1 2 3 1 3 3 2 2
Tablero 1 Tablero 2
2. Se tiene el siguiente tablero de 4 × 4, formado por cuadrados de lado 1;
Algunos de los segmentos de longitud 1 (que son lados de los cuadrados) se pintan de rojo y
dentro de cada cuadrado se escribe la cantidad de lados rojos que tiene ese cuadrado. Si los
números que aparecieron en el tablero son, en algún orden: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3,
3, 3 y 3. Determine la menor cantidad de segmentos rojos de longitud 1 que puede haber en
el tablero.
dominós
1
3. Sea P un punto interior de un triángulo ABC tal que ∠P AB = ∠P CA = ∠P BC − 60◦ y

AB
P C = BC = √ . Halle la medida del ángulo ∠P AB.
2
4. Encuentre el mayor entero positivo n para el cual existe un polinomio P (x) de coeficientes
reales, de grado 100 y n números reales a1 , a2 , . . . , an en progresión aritmética de razón dife-
rente de cero, tal que los números P (a1 ), P (a2 ), . . . , P (an ) formen una progresión geométrica
(en ese orden).
2
XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2017)
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres que has
terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Importante: Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudian-

tes la no difusión de esta prueba por ningún medio. La pruebas serán colgadas
en la web de la ONEM.
1. Antes de una pelea de box, los organizadores pactaron repartir cierto monto de la siguiente
forma: la quinta parte para el perdedor y el resto para el ganador. Si el perdedor obtuvo 1000
soles, ¿cuánto obtuvo el ganador?
A) 4000 soles B) 5000 soles C) 6000 soles D) 3000 soles E) 4500 soles
2. Un sastre tiene que hacer cuatro pantalones iguales el dı́a de hoy. Él empezó a trabajar a
las 7:30 am y terminó el primer pantalón a las 9:00 am. ¿A qué hora terminará los cuatro
pantalones?
A) 12:30 pm B) 1:30 pm C) 2:00 pm D) 1:00 pm E) 1:15 pm
3. Juan y Alberto tienen que recaudar cada uno 300 soles para su viaje de promoción. En cierto
momento se dio la siguiente conversación:
Juan dijo: “Me falta recaudar el 60 % del total.”

Alberto respondió: “Entonces yo he recaudado el doble que tú”
¿Cuánto le falta recaudar a Alberto?

1
4. Martha quiere determinar qué porcentaje de la superficie de un plato circular ocupa el huevo
frito que ella se preparó para el desayuno. Si el radio del plato es 14 cm, y se asume que la
forma del huevo frito corresponde a un cı́rculo de radio igual a 0,8 veces el radio del plato,
calcule el porcentaje requerido.
A) 36 % B) 50 % C) 14 % D) 64 % E) 72 %
1
5. Hace 6 años la edad de Adriana era mayor que de su edad actual y dentro de 7 años la edad
2
3
de Adriana será mayor que de su edad actual. ¿Dentro de cuántos años Adriana tendrá 18
2
años?
A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
6. Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo:
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
27 54 108 216
Exprese el resultado mediante una multiplicación.

A) 15 × 40 B) 40 × 21 C) 10 × 45 D) 21 × 35 E) 16 × 35
7. En un bus hay 50 asientos y uno lo ocupa el chofer. En los otros asientos están viajando
alumnos de dos colegios A y B, aunque hay algunos asientos vacı́os. La tercera parte de los
alumnos del colegio A está durmiendo y la quinta parte está leyendo. La tercera parte de
los alumnos del colegio B está leyendo y la octava parte está durmiendo. ¿Cuántos asientos
vacı́os hay?
A) 12 B) 10 C) 11 D) 13 E) 17
8. Un carpintero hizo dos prismas de madera. Las bases del primer prisma son triángulos equi-
láteros de 8 cm de lado y sus caras laterales son cuadrados. Las bases del segundo prisma
son hexágonos regulares de 8 cm de lado y sus caras laterales también son cuadrados. Por lo
tanto, el volumen del primer prisma es al volumen del segundo prisma como . . .
A) 1 es a 3 B) 2 es a 3 C) 1 es a 6 D) 1 es a 4 E) 2 es a 9
2
9. En una ciudad, cada número telefónico es de la forma abcde (es decir, tiene 5 dı́gitos) y para
que sea considerado válido se debe cumplir que 3a + b + 3c + d + 3e es múltiplo de 10. Por
ejemplo, 23289 es un número válido porque 3×2+1×3+3×2+1×8+3×9 = 50 es múltiplo de
10. Por otro lado, 11111 no es un número válido porque 3×1+1×1+3×1+1×1+3×1 = 11
no es múltiplo de 10.
Esta forma de asignar los números telefónicos tiene varios beneficios, uno de ellos es que
si se intercambian de lugar dos dı́gitos adyacentes casi siempre se puede deducir cuál era
el número inicial, sin tener la información de cuáles fueron los dı́gitos intercambiados. Por
ejemplo, mientras Andrea dictaba su número telefónico a una amiga, por error intercambió
dos dı́gitos adyacentes y su amiga escribió 24765. ¿Cuál es el número telefónico de Andrea?
A) No se puede determinar B) 42765 C) 27465 D) 24675 E) 24756
10. El Reglamento municipal de edificaciones de cierta ciudad consta de tres normas:
El primer piso de una edificación debe tener como mı́nimo 3 metros de altura.
Cualquier otro piso superior al primero debe tener como mı́nimo 2,6 metros de altura.
La edificación debe tener como máximo 25 metros de altura.
¿Cuántos pisos como máximo puede tener una edificación en dicha ciudad?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
11. Felipe dibujó en su cuaderno un cuadrilátero y midió con un transportador sus ángulos in-
teriores. Resultó que las medidas de los ángulos están en progresión aritmética y que dos de
ellos son 45◦ y 105◦ . ¿Cuál es la medida del mayor ángulo interior del cuadrilátero?
A) 120◦ B) 145◦ C) 110◦ D) 105◦ E) 135◦
12. Pedro dibujo un rectángulo cuya diagonal mide 19 cm. Si la base y altura del rectángulo de
Pedro aumentan en 3 cm, entonces la diagonal aumenta en 4 cm. Calcule el perı́metro del
rectángulo inicial.
19 23
rectángulo inicial
rectángulo final
A) 38 cm B) 52 cm C) 50 cm D) 54 cm E) 48 cm
3
13. La mediana de una cantidad par de números se determina de la siguiente forma: se ordena
los números de menor a mayor, y la mediana se define como la media de los números que
aparecen en las posiciones centrales. Por ejemplo, la mediana de los números 6, 2, 5, 2, 1, 4 es
3 porque al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1, 2, 2, 4, 5, 6 y la media de
los números que aparecen en las posiciones centrales es 2+4
2 = 3.
Un niño hizo una encuesta a 6 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántas personas
viven en tu casa? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes:
3, 3, 7, 9, n, 3.
Luego, el niño calculó la mediana de los 6 números. ¿Cuál de las siguientes alternativas no
es un posible valor de la mediana?
A) 3,5 B) 4 C) 4,5 D) 5 E) 5,5
14. Una zapaterı́a usa la siguiente fórmula para determinar la longitud L de un zapato según la
talla t:
L(t) = at + b,
donde a y b son constantes. Se sabe que la talla 34 corresponde a una longitud de 21,5 cm
y la talla 44 corresponde a una longitud de 27,5 cm, es decir, se cumple que L(34) = 21, 5 y
L(44) = 27, 5, respectivamente. ¿Qué longitud corresponde a la talla 38?
A) 23,7 cm B) 24,2 cm C) 25,1 cm D) 24,3 cm E) 23,9 cm
15. Luego de una encuesta a los alumnos de educación secundaria de un colegio acerca de su
deporte favorito se obtuvo la siguiente información:
Número de alumnos Porcentaje

Fútbol 100 ∗
Vóley 60 ∗
Básquet ∗ 20 %
Tenis ∗ 16 %
Los asteriscos denotan información oculta. ¿Para cuántos alumnos su deporte favorito es el
básquet?
A) 50 B) 40 C) 65 D) 62 E) 55
4
16. En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene
longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos que tienen longitud 7 cm.
7
2
7
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

√ √
A) 11 cm B) 10 cm C) 14 cm D) 7 2 cm E) 6 2 cm
17. Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente
manera: en su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o
derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer
salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos saltos,
como mı́nimo, debe realizar la rana para llegar al punto 11?
-5 0 5 10 15
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
18. En cada casilla del siguiente tablero se va a escribir un número entero positivo (algunas casillas
ya tienen escrito un número) de tal forma que cada número que no está en la fila inferior sea
igual al producto de los dos números que están debajo de él. Si los 10 números que se van a
usar son distintos entre sı́, determine el mayor valor posible de b + 2d.
4320
a b c d
A) 11 B) 13 C) 15 D) 12 E) 10
5
19. Cada una de las cuatro circunferencias mostradas tiene radio 1 cm y es tangente a uno o
dos lados del triángulo. Además, tres circunferencias son tangentes entre sı́ y una de las
circunferencias es tangente a las otras tres. Calcule el área del triángulo.
√ √ √ √
A) 12 3 cm2 B) 9 + 6 3 cm2 C) 18 cm2 D) 15 + 3 3 cm2 E) 12 + 9 3 cm2
20. Determine de cuántas formas se pueden ordenar los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en las

casillas de la siguiente fila, de tal forma que la suma de cualesquiera dos números adyacentes
sea mayor o igual que 11.
A) 12 B) 6 C) 3 D) 2 E) 1
6
apuntes o libros.
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no

difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.

1. Cierto juguete cuesta 80 soles. Se sabe que por fiestas de fin de año, el precio subirá 25 % y
una vez que éstas hayan pasado, el precio baja 20 %. ¿Cuál es el precio final de dicho juguete
(en soles)?
2. Sea ABCD un cuadrado cuya diagonal AC mide x cm. Si el área de ABCD es (x + 12) cm2 ,
calcule el valor de x.
3. Sea f (x) = ax2 + bx + c una función cuadrática tal que f (1) = 2, f (2) = 3 y f (3) = 1. Calcule
el valor de c2 .
1
4. Inés y Tania están trotando a lo largo de una pista circular que tiene una longitud de 400
metros. Las velocidades de Inés y Tania son 110 metros por minuto y 90 metros por minuto,
respectivamente. Si Inés y Tania partieron del mismo punto P y ambas están recorriendo
la pista en sentido horario, ¿dentro de cuántos minutos ocurrirá por primera vez que ambas
están en el punto Q (diametralmente opuesto a P )?
P Q
a+b _
5. Sean a y b dı́gitos mayores que 0 tales que = 0, b a . Calcule el producto ab.
15
_
Nota: Tenga en cuenta que 0, b a = 0, baaa . . ., es decir, el dı́gito a se repite infinitas veces.
6. Un tablero de 7 × 7 puede ser cubierto completamente con m fichas de 2 × 2 y n fichas de

1 × 3, sin que las fichas se superpongan. Determine el mayor valor posible de m.
Nota: Las fichas se pueden girar.
7. Sea R1 la región interior al paralelogramo que tiene vértices (1, 0), (0, 6), (4, 9) y (5, 3). Sea
R2 la región que se obtiene al trasladar R1 tres unidades a la derecha. Calcule el área de la
intersección de las regiones R1 y R2 .
8. Decimos que dos enteros positivos son amigos si su diferencia es un divisor de su suma. Por
ejemplo, los números 3 y 5 son amigos porque 2 es un divisor de 8.
Se tiene cinco enteros positivos distintos tales que cualesquiera dos de ellos son amigos. ¿Cuál
es el menor valor que puede tomar la suma de esos cinco números?
2
9. Sea M el mayor número real tal que la desigualdad:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca + M (a − b)2
se cumple para todos los números reales a, b y c. Calcule el valor de 120M .
10. Determine de cuántas formas se puede dividir un tablero de 8 × 8 en 5 rectángulos (formados

por uno o más cuadraditos del tablero) de tal forma que haya exactamente un rectángulo
que tenga sus 4 lados completamente dentro del tablero. Tenga en cuenta que un cuadrado
también es un rectángulo.
Ejemplo: A continuación se muestra una forma de dividir del tablero que cumple la condición
requerida.
3
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matemáticos
que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas.
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de estas hojas y
asegúrate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate
se tomará en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema.

1. Al inicio del dı́a un tanque tenı́a 8000 litros de agua. Con el 60 % del contenido del tanque
se pudo regar el 75 % de la superficie de un campo de cultivo. Luego de haber regado toda la
superficie del campo de cultivo, ¿cuántos litros de agua quedan en el tanque?
2. ¿Cuál es el menor entero positivo tal que la suma de los cuadrados de sus dı́gitos es 23 ?
1
3. Sea k un número real positivo. La gráfica de la función f (x) = 2x2 − kx + 16 intersecta a los
ejes cartesianos en los puntos A, B y C. Determine el valor de k, si se sabe que el área del
triángulo ABC es 16.
Aclaración: los ejes cartesianos también son conocidos como eje x (horizontal) y eje y (verti-
cal).
4. En una bolsa negra hay 9 tarjetas que tienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¿Cuántas
tarjetas como mı́nimo hay que sacar al azar y sin ver, para tener la seguridad de que el pro-
ducto de los números de las tarjetas que sacamos es múltiplo de 6 ?
5. En un cuadrilátero ABCD se cumple que ∠BAD = 60◦ , ∠ABC = 100◦ , AB = BC y

AD = BC + CD. Calcule la medida del ángulo ∠ACD.
6. Halle el menor valor posible de la expresión

1 81
x+ · x+ ,
x x
donde x es un número real positivo.
7. Un dominó es un rectángulo de 1 × 2 o de 2 × 1. En un tablero de 6 × 7 se han ubicado

4 dominós (de color gris), como se muestra en la figura. ¿Como máximo cuántos dominós
adicionales se pueden ubicar, si los dominós no se pueden superponer ni salir del tablero?
2
8. Halle el menor entero positivo N para el cual existen al menos dos pares ordenados (x, y) de
números enteros que satisfacen la condición 1 < x ≤ y, y además
(x2 − 1)(y 2 − 1) = N.
9. Consideremos el conjunto de todos los cuadriláteros convexos ABCD que satisfacen la con-
dición AB + BC + CD = 20. Se sabe que en ese conjunto hay al menos un cuadrilátero de
área máxima y dicha área vale S. Encuentre el número entero m para el cual se cumple que
m ≤ S < m + 1.
10. Trescientos estudiantes participaron en una olimpiada matemática. Cualesquiera dos estu-
diantes se conocen o no se conocen, y además, no hay tres estudiantes que se conozcan entre
sı́. Cada estudiante conoce como máximo a otros n estudiantes y para cada m (con 1 ≤ m ≤ n)
existe al menos un estudiante que conoce a exactamente otros m estudiantes. Determine el
mayor valor de n para el cual esto es posible.
3
1. Un P -pentaminó es una ficha formada por 5 casillas de alguna de las siguientes formas:
Un tablero de 6 × 6 fue cubierto con siete P -pentaminós y quedó una casilla vacı́a en una de
las diagonales. ¿En cuántas posiciones distintas puede quedar dicha casilla vacı́a?
Aclaración: Está permitido rotar las fichas.
2. Sea N0 el conjunto de los enteros no negativos, es decir N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}. Sea f : N0 → N0

una función tal que
f (f (x)) + f (xf (y)) = yf (x) + x,
para todo los enteros no negativos x, y.
a) Pruebe que f (0) = 0 y f (1) = 1.

b) Pruebe que f (2017) es un número primo.
Aclaración: 2017 es un número primo.
1
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, M es el punto medio del lado AC. Sea C1 la
circunferencia exinscrita del triángulo ABM , opuesta al vértice B. Sea C2 la circunferencia
exinscrita del triángulo M BC, opuesta al vértice B. Pruebe que existe una recta perpendicular
a AC que es tangente a C1 y a C2 .
A M C
C2
C1
4. Christian tiene n tarjetas y n cajas dispuestas en fila. En cada tarjeta Christian escribió un
número entero entre 2 y 1000000 (los números no necesariamente son diferentes), luego, colocó
una tarjeta en cada caja, sin que Raúl vea los números. Hay dos tipos de operaciones que
puede hacer Raúl:
i) Raúl escoge un número primo p, luego, Christian señala con el dedo ı́ndice las cajas que
contienen un número múltiplo de p y mayor que p.
ii) Raúl escoge un número entero d > 2 y selecciona un subconjunto de las n cajas, luego,
Christian le dice a Raúl en cuántas de estas cajas seleccionadas hay un número que posee
exactamente d divisores positivos.
¿Es cierto que Raúl siempre puede determinar con seguridad cuántos de los n números de las
tarjetas son primos, realizando menos de 20 operaciones?
2
XV Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2018)
11 de julio de 2018
tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres

que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Escribe tus datos (nombre, grado, etc) y la hora de entrega con lapicero. Te recomendamos
que marques tus respuestas con lápiz.

tes la no difusión de esta prueba por ningún medio.
1. El resultado final de un partido de fútbol fue 3:2. ¿Cuál de los siguientes resultados no pudo
haber sido el resultado al final del primer tiempo?
A) 3:0 B) 0:2 C) 2:1 D) 2:2 E) 2:3
2. En la carrera en la que Usain Bolt consiguió el record mundial de los 100 metros planos,
Tyson Gay quedó en segundo lugar y Asafa Powell, en tercero. Usain Bolt llegó a la meta 13
centésimas de segundo antes que Tyson Gay y éste también llegó 13 centésimas de segundo
antes que Asafa Powell. Si la marca de Asafa Powell fue 9,84 s, ¿cuál fue la marca de Usain
Bolt?
A) 9,64 s B) 10,10 s C) 9,38 s D) 9,58 s E) 9,62 s
3. El sistema de calificación de un examen de admisión, que consta de 50 preguntas, es el

siguiente:
Respuesta Correcta Respuesta Incorrecta En blanco

+5 puntos −1 punto 0 puntos
Si un alumno tuvo x respuestas incorrectas y dejó en blanco 7 preguntas, la expresión de su

puntaje fue:
A) 215 − 6x B) 250 − 12x C) 250 − 7x D) 205 − 14x E) 215 − 12x
1
4. ¿Cuántas caras (incluyendo las bases) tiene un prisma que tiene exactamente 21 aristas?
A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
5. Se sabe que seis manzanas cuestan igual que siete naranjas. Complete la siguiente frase para
que sea verdadera: “Siete manzanas cuestan que ocho naranjas”.
A) el doble B) la mitad C) más D) menos E) igual
6. En una reunión familiar, han servido una fuente de alfajores. Se sabe que: si cada uno come
4 alfajores, sobrarı́an 8; pero si cada uno quisiera comer 5 alfajores, faltarı́an 4. ¿Cuántas
personas se han reunido?
A) 24 B) 32 C) 12 D) 16 E) 10
7. Cierto dı́a en la ciudad de Huánuco llovió desde las 1:10 p.m. hasta las 3:34 p.m. ¿Qué
porcentaje del dı́a llovió?
A) 8 % B) 25 % C) 15 % D) 10 % E) 20 %
8. ¿Cuál de los siguientes intervalos cerrados contiene la mayor cantidad de números enteros?
Aclaración: [a, b] denota al intervalo cerrado cuyos extremos son a y b.
√ √ √
A) [2, 5] B) [−1, π] C) [−1, 2] D) [0, 5] E) [− 2, 2]
9. Amelia dibujó un triángulo rectángulo ABC, recto en A. Luego, ubicó los puntos P y Q,
como se muestra en la figura, de tal forma que AP = QC = 2 y AQ = BP = 3.
A Q C
¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC representa el área de la región sombreada?
A) 76 % B) 78 % C) 58 % D) 62 % E) 38 %
2
10. Ernesto tiene 5 datos: 11, 2, 1, 6 y 7. Él escogió uno de los números y lo duplicó, al hacer esto
consiguió que la mediana de los cinco datos cambie. ¿Qué número escogió Ernesto?
A) 11 B) 2 C) 1 D) 6 E) 7
11. Sofı́a escribió un número de dos dı́gitos y luego insertó un dı́gito d en la parte central, con lo
cual obtuvo un número de tres dı́gitos. Si al hacer esto el número original aumentó en 340,
determine el valor de d.
A) 9 B) 3 C) 7 D) 4 E) 0
12. Los puntos (2; −2) y (5; 7) pertenecen a una recta L en el plano cartesiano. ¿Cuáles de los
siguientes puntos también pertenecen a la recta L?
P (−1; −10) Q(7; 13) R(3; 0) S(0; −8)
A) P , Q y R B) Q, R y S C) P y R D) Q y S E) R y S
13. Los gastos de Josué durante el mes de mayo fueron los siguientes:
Gasto (S/)
Alimentación 650
Transporte 100
Préstamo bancario 560
Luz 60
Agua 40
Teléfono e internet 90
En el mes de junio sus gastos se modificaron de la siguiente forma (con respecto al mes
anterior): alimentación se incrementó en 10 %; transporte, luz y agua se incrementaron en
5 %; y los otros gastos no se modificaron. ¿En qué porcentaje se incrementó el gasto total de
Josué?
A) 7, 5 % B) 3, 75 % C) 6, 5 % D) 5 % E) 8 %
3
14. En la siguiente figura se muestra un cuadrado AM BO y un hexágono regular T U M BES.

Determine el valor de n para el cual los puntos U , M , A (en ese orden) son vértices consecutivos
de un polı́gono regular de n lados.
T S
U E
M B
A O
A) 10 B) 12 C) 20 D) 16 E) 24
15. Un número natural N es llamado cuasi-divisible si al sumar 1 a cualquiera de sus dı́gitos

obtenemos un divisor de N . Por ejemplo, 102 es cuasi-divisible porque 1 + 1, 0 + 1 y 2 + 1
son divisores de 102. Determine el mayor número cuasi-divisible que consta de cuatro dı́gitos
distintos y dé como respuesta la suma de los cuadrados de sus dı́gitos.
A) 146 B) 98 C) 155 D) 243 E) 162
16. En la siguiente figura se muestra un cubo de madera, donde P , Q y R son puntos medios de
las aristas correspondientes. Un plano que pasa por los puntos P , Q y R divide al cubo de
madera en dos partes (una de las cuales es un tetraedro). ¿En qué relación están los volúmenes
de esas dos partes?
R
P
A) de 1 a 15 B) de 2 a 25 C) de 1 a 47 D) de 1 a 24 E) de 1 a 53
4
17. En la pizarra están escritos 9 números naturales que forman una progresión aritmética. Se
sabe que exactamente N de esos números son pares. ¿Cuál de los siguientes números no es
un posible valor de N ?
A) 0 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9
18. ¿A qué hora entre las 2:00 p.m. y las 2:30 p.m. se cumple que el ángulo que forman el horario
y el minutero de un reloj es exactamente 94◦ ?
11 12 1 11 12 1
10 2 10 2
9 3 9 3
8 4 8 4
7 6 5 7 6 5
2:00 p.m. 2:30 p.m.
A) 2:26 p.m. B) 2:29 p.m. C) 2:28 p.m. D) 2:21 p.m. E) 2:25 p.m.
19. Luis escogió algunos elementos del conjunto {2, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 27} y Edinson se quedó con
los números que sobraron. Se sabe que el producto de los números de Luis es igual al producto
de los números de Edinson y, además, Luis no escogió el número 8. Calcule la suma de los
números de Edinson.
A) 34 B) 35 C) 38 D) 39 E) 42
20. Franco escribió un número que consta de 10 dı́gitos distintos. Luego, subrayó cada dı́gito que
es igual a la suma de sus dos dı́gitos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). ¿Cuántos
dı́gitos como máximo puede subrayar Franco?
A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
5
apuntes o libros.

forma posible.

4
1. La operación A consiste en restar 10 y la operación B consiste en multiplicar por . A un
5
número se le aplicó la operación A y luego la operación B, de esta forma el resultado final
fue 24. ¿Cuál hubiese sido el resultado final si las operaciones se realizan en el otro orden
(primero B y luego A)?
2. Según los datos del año 2017, la producción de papa del Perú representó el 1, 8 % de la pro-
ducción mundial y a la vez representó el 60 % de la producción de Sudamérica. Si se sabe que
la producción de papa de Sudamérica representó el n % de la producción mundial, determine
el valor de n.
1
3. La primera etapa de una olimpiada matemática consta de una prueba de 8 problemas. En

la siguiente tabla, para cada k entre 0 y 8 (inclusive), se indica cuántos alumnos resolvieron
exactamente k problemas. Por ejemplo, 6 alumnos resolvieron exactamente 1 problema y 22
alumnos resolvieron exactamente 4 problemas.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
N◦ de alumnos que resolvieron k problemas 5 6 8 10 22 13 7 5 2
Para determinar los alumnos que clasificarán a la siguiente etapa, se escoge un número natural
n y se hace clasificar a todos los alumnos que resolvieron al menos n problemas. ¿Para qué
valor de n se cumple que el número de alumnos clasificados está entre la tercera parte y la
mitad del número total de alumnos?
4. En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero de perı́metro 90 cm. Además, los

segmentos P Q y AC son paralelos. Calcule la suma de los perı́metros de los polı́gonos P BQ
y AP QC (en cm), si se sabe que estos números están en la relación de 3 a 14.
P Q
A C
5. Sean a y b números reales tales que 8a · 3b = 78 y 2a · 9b = 76 . Calcule el valor de 2a .
6. Determine el menor número natural N que satisface todas las siguientes condiciones:
Existen dos dı́gitos adyacentes de N cuyo producto es 2.

Aclaración: dos dı́gitos son adyacentes si se encuentran uno al lado de otro.
2
7. Se muestran dos hexágonos regulares, uno dentro del otro. Si los puntos A, B y C pertenecen
a una misma recta y el perı́metro del hexágono mayor es 120 cm, determine el perı́metro del
hexágono menor (en cm).
C
B
8. Se escogen al azar dos aristas distintas de un cubo. Se sabe que la probabilidad de que esas
a
dos aristas tengan un extremo en común se puede expresar como , donde a y b son enteros
b
positivos coprimos. Determine el valor de a + b.
Aclaración: Considere que todas las aristas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
9. Cada casilla de un tablero de 10 × 10 se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que
cada subtablero de 3 × 3 tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas
casillas rojas puede haber como máximo?
10. Determine cuántos enteros positivos a cumplen que a ≤ 8575 y además:

mcd(a, 8575) = mcd(a + 1, 8575) = 1.
Aclaración: mcd(r, s) denota al máximo común divisor de los enteros positivos r y s.
3
apuntes o libros.

1. Una empresa produjo cierto número de unidades en enero del 2017 y cada mes a partir de
febrero produjo 800 unidades menos que el mes anterior. Si durante los 7 últimos meses de
dicho año la empresa produjo 4500 unidades en promedio, ¿cuántas unidades en promedio
produjo la empresa durante los primeros 5 meses de ese mismo año?
2. Determine el mayor número de cuatro dı́gitos abcd que es múltiplo de 12 y satisface la con-
dición a < b < c < d.
3. Calcule el valor de:

3 3 3 3
1+ × 1+ × 1+ × ··· × 1 + .
4 5 6 57
1
4. El Gran Hotel tiene 6 pisos, los cuales están enumerados del 1 al 6. Se sabe que hay la misma
cantidad de habitaciones en cada piso. Cierta noche ocurrió que la cantidad de habitaciones
ocupadas en cada piso es inversamente proporcional al número del piso. Determine cuántas
habitaciones puede tener el Gran Hotel como mı́nimo.
5. Sea ABCD un cuadrado. Se escoge el punto E en el lado BC tal que ∠BAE = 32◦ y se
escoge el punto F en el lado CD tal que ∠EF C = 26◦ . Determine la medida de ∠AF D.
6. En un torneo de vóley participaron k equipos (k ≥ 2) y cada equipo se enfrentó a cada uno

de los otros exactamente una vez. Al final del torneo se notó que exactamente el 95 % de los
equipos ganó al menos 1 partido. Determine cuántos valores puede tomar k.
Aclaración: Considere que en el vóley un partido no puede quedar en empate.
7. Considere el siguiente polinomio de grado 2047:
P (x) = (x + 1)(x2 + 2)(x4 + 4) · · · (x1024 + 1024).
Calcule el coeficiente de x2018 al desarrollar dicho polinomio.
8. El siguiente arreglo de números es conocido como el Triángulo de Pascal. Se cumple que todos
los números de los bordes izquierdo y derecho son iguales a 1, además, cualquier otro número
es igual a la suma de los dos números que están sobre él.
fila 0 −→ 1
fila 1 −→ 1 1
fila 2 −→ 1 2 1
fila 3 −→ 1 3 3 1
fila 4 −→ 1 4 6 4 1
. . .. ..
.. .. . .
Determine cuántos números pares hay en la fila 262 del Triángulo de Pascal.
2
9. Sea ω una semicircunferencia fija de diámetro AB = 16. Sea P un punto variable del diáme-
tro AB y Q el punto sobre ω tal que QP es perpendicular a AB. Sea M el punto medio del
segmento P Q. La recta que pasa por M y es perpendicular a P Q corta a los arcos AQ y QB
en los puntos C y D, respectivamente (C y D están sobre ω). ¿Cuál es el mayor valor posible
de la diferencia de las áreas de los cuadriláteros P M DB y P M CA?
10. Sea t1 , t2 , t3 , . . . una sucesión infinita formada por enteros positivos tal que, para todo entero
positivo k, los números t1 , t2 , . . . , tk dejan restos distintos al ser divididos entre k. Determine
el mayor valor posible de |t20 − t18 |.
Aclaración: Si n y q son enteros positivos, al dividir n entre q el resto puede ser uno de los
números 0, 1, . . . , q − 1.
3
1. Sea ABC un triángulo y sean D, E y F puntos de los lados BC, CA y AB, respectiva-
mente, tales que DE es perpendicular a AC y ∠BAC = 2∠BF D. Si AE = EC + BD y
CD = DB + AF , pruebe que el triángulo ABC es equilátero.
2. Se tiene un tablero de 5 × 5 que al inicio tiene escrito el número 0 en cada casilla. Hay dos
operaciones disponibles:
Escoger dos casillas que están en la misma fila y sumar 1 a los números de esas casillas.
Escoger dos casillas que están en la misma columna y sumar 2 a los números de esas
casillas.
Determine cuántas operaciones como mı́nimo son necesarias para conseguir que todos los
números del tablero sean iguales y positivos.
1
3. Sean a y b números reales que pertenecen al intervalo cerrado [2, 3]. Determine el mayor valor
posible de la expresión
a b
+ ,
1+b 1+a
y encuentre todas las parejas (a, b) para las cuales se consigue ese mayor valor.
4. Determine el menor número entero k ≥ 3 que tiene la siguiente propiedad: Si a, b, c, d, n son

cualesquiera enteros positivos tales que a + b + c + d y a2 + b2 + c2 + d2 son múltiplos de n,
entonces ak + bk + ck + dk también es múltiplo de n.
2
XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)

10 de julio de 2019

tus cálculos.
- Entrega tu hoja de respuestas y el cuadernillo de preguntas tan pronto consideres
que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Escribe tus datos (nombre, grado, etc) y la hora de entrega con lapicero. Te recomendamos
que marques tus respuestas con lápiz.
tes la no difusión de esta prueba por ningún medio.

1. Ramiro y Sofı́a tienen juntos 24 juguetes. Determine cuál de las siguientes situaciones no
puede ocurrir:
A) Ramiro y Sofı́a tienen la misma cantidad de juguetes.
B) Ramiro tiene el triple del número de juguetes que Sofı́a.
C) Ramiro tiene 9 juguetes más que Sofı́a.
D) Ramiro tiene 4 juguetes más que Sofı́a.
E) Ramiro tiene el doble del número de juguetes que Sofı́a.
2. Omar tiene 6 soles en monedas de 10 y 20 céntimos. Si él tiene la misma cantidad de monedas
de 10 céntimos que de 20 céntimos, ¿cuántas monedas tiene en total?
A) 50 B) 24 C) 20 D) 36 E) 40
3. El segmento AB ha rotado 38◦ en sentido antihorario hasta ocupar la posición del segmento
AC. Calcule la medida del ángulo agudo que forman las rectas BC y `.
C
B
48◦
`
A
A) 23◦ B) 24◦ C) 29◦ D) 27◦ E) 10◦
1
4. El pelo de alpaca es un producto que el Perú exporta. En el siguiente cuadro se indica el

porcentaje de kilos de pelo de alpaca que el Perú exportó el año 2018, dividido por paı́ses:
Paı́s Porcentaje
China 43 %
Italia 39 %
Inglaterra 6%
Japón 5%
Australia 4%
Otros paı́ses 3%
Con respecto a la cantidad de kilos de pelo de alpaca que cada paı́s recibió por parte del Perú,
indique la alternativa falsa:
A) China recibió más de la tercera parte del total.
B) China recibió menos que Italia y Japón juntos.
C) Corea del Sur recibió menos del 4 % del total.
D) Japón y Australia recibieron más de la décima parte del total.
E) China recibió menos de la mitad del total.
5. Una fábrica produce tubos de metal de forma cilı́ndrica. El precio de venta de un tubo es
proporcional a la superficie lateral del cilindro correspondiente. Si un tubo de metal de 6 cm
de diámetro y 1,2 m de largo cuesta 24 soles, ¿cuánto cuesta un tubo de metal de 8 cm de
diámetro y 1,5 m de largo?
6. Rodrigo fue a la tienda y compró 3 bolsas de azúcar y 5 tarros de leche. Llegando a casa se
dio cuenta que se habı́a confundido, ası́ que regresó a la tienda, devolvió todo lo que habı́a
comprado y pidió que le den 5 bolsas de azúcar y 3 tarros de leche. Debido a este error, le
tuvieron que devolver 1 sol y 20 céntimos. Con esta información podemos deducir que:
A) Un tarro de leche cuesta 50 céntimos más que una bolsa de azúcar.
B) Un tarro de leche cuesta 60 céntimos más que una bolsa de azúcar.
C) Un tarro de leche cuesta 40 céntimos más que una bolsa de azúcar.
D) Un tarro de leche cuesta 50 céntimos menos que una bolsa de azúcar.
E) Un tarro de leche cuesta 60 céntimos menos que una bolsa de azúcar.
2
7. Se hizo un estudio del número de habitantes por casa que hay un centro poblado, los resultados
fueron los siguientes:
N◦ de hab. por casa Frecuencia

1 7
2 8
3 12
4 15
5 19
6 26
7 6
Por ejemplo, este cuadro nos dice que 19 casas tienen 5 habitantes. ¿Cuál es la mediana del
número de habitantes por casa?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
8. Se muestran dos rectas numéricas que tienen diferentes escalas y han sido dispuestas en
paralelo. Determine qué fracción corresponde al punto marcado con un signo de interrogación.
2 3 4 7 11
3 4 5 ? 15
29 31 49 19 20
A) B) C) D) E)
3 3 5 2 3
9. Se lanzó al aire un objeto y su altura (expresada en metros) viene dada por la fórmula
49t − 4, 9t2 + 15, donde t es la cantidad de segundos que el objeto lleva en el aire. En cierto
momento el objeto está por primera vez a una altura de 117,9 metros, ¿dentro de cuántos
segundos el objeto volverá a estar a la misma altura?
A) 7 B) 2,5 C) 4 D) 5 E) 3,5
10. En un colegio, cada alumno de primaria recibió como regalo 2 cuadernos, 3 lápices y 1 borra-
dor; y cada alumno de secundaria recibió 3 cuadernos, 4 lápices y 2 borradores. Si la cantidad
de lápices más la cantidad de borradores recibidos es 320, ¿cuántos cuadernos recibieron en
total?
A) 180 B) 160 C) 175 D) 144 E) 140
3
11. Tres ecuatorianos y cuatro peruanos están trabajando en un proyecto de investigación. Sus
edades ordenadas de menor a mayor son: 21, 22, 25, 26, 27, 28, 30. Si el promedio de edad
de los peruanos es mayor en 4,5 años que el promedio de edad de los ecuatorianos. ¿Cuántos
años tiene el peruano de menor edad?
A) 21 B) 22 C) 25 D) 26 E) 27
12. Los cuadrados mostrados tienen áreas 4 cm2 , 16 cm2 y 1 cm2 (de izquierda a derecha). Calcule
el área del triángulo ABC.
A C
175 98 364 112 35
A) cm2 B) cm2 C) cm2 D) cm2 E) cm2
6 3 6 3 2
13. Un juego consiste en lanzar dardos al siguiente tablero que consta de tres circunferencias
concéntricas de radios 10 cm, 20 cm y 30 cm.
R3
R2
R1
Como se observa, las circunferencias determinan tres regiones R1 , R2 y R3 (R1 es un cı́rculo y

las otras dos regiones son anillos circulares). Al lanzar un dardo, la probabilidad de que caiga
fuera del tablero es 0,1 y las probabilidades de que caiga en cada una de las regiones R1 , R2 ,
R3 son proporcionales a las áreas de estas regiones. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo
caiga en la región R2 ?
A) 0,15 B) 0,25 C) 0,257 D) 0,3 E) 0,2
4
14. En la figura mostrada ABCDE y AF GHI son pentágonos regulares y ABF es un triángulo
equilátero. Halle la medida del ángulo ∠F CH.
B F
C G
A
D H
E I
A) 22◦ B) 24◦ C) 20◦ D) 25◦ E) 27◦
15. Alejandro escogió cuatro números distintos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y Samuel se quedó
con los otros tres números. Luego, Alejandro multiplicó sus cuatro números y Samuel mul-
tiplicó sus tres números. Se sabe que al sumar el resultado de Alejandro con el resultado de
Samuel se obtiene un número primo, calcule la suma de los dı́gitos de dicho número primo.
A) 19 B) 8 C) 10 D) 17 E) 22
16. Sean a, b, c y d números reales no nulos. Determine como máximo cuántos números negativos
puede haber entre los siguientes ocho números reales:
a, b, c, d, ab, bc, cd, da.
Aclaración: ab es el producto de los números a y b. Análogamente, bc, cd y da también denotan

productos.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
17. La carretera que une las ciudades A y B consta de cuatro tramos. Debido a diversos motivos
un tramo puede estar bloqueado. Si escogemos cualquier tramo, la probabilidad de que esté
1
bloqueado es 10 .
A B
Indique a qué intervalo pertenece la probabilidad de que sea posible ir de A a B, es decir, la

probabilidad de que ningún tramo esté bloqueado.
12 13
B) 13 14
14 15
D) 15 16
E) 16 17

A) 20 , 20 20 , 20 C) 20 , 20 20 , 20 20 , 20
5
18. Determine el menor número capicúa que es múltiplo de 32 y dé como respuesta la suma de
sus dı́gitos.
Aclaración: Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha
a izquierda. Por ejemplo, 11, 606 y 3773 son números capicúas.
A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6
19. Las circunferencias mostradas son tangentes y sus radios son 4 y 2. Si AB = BC = CD,
calcule AD.
A
B
C
D
√ √ √ √ √
A) 6 2 B) 3 7 C) 69 D) 6 3 E) 5 3

ab
20. Supongamos que el mı́nimo valor posible de la expresión − 3, donde a y b son dı́gitos

ba
no nulos, es q. Si q se puede expresar como m
n donde m y n son enteros positivos coprimos,
calcule el valor de m + n.
A) 21 B) 4 C) 19 D) 34 E) 15
6
apuntes o libros.

forma posible.

1. Un kg de papaya cuesta 2 soles más que un kg de sandı́a. Ana compró una papaya de 1,5
kg y una sandı́a de 2,5 kg, por lo que pagó 13 soles. ¿Cuántos soles costarı́a una sandı́a de 4 kg?
2. Se tiene 70 números enteros consecutivos. Si la mediana del conjunto formado por los 27 nú-
meros mayores es 123, calcule la mediana del conjunto formado por todos los otros números.
3. Se van a repartir 18000 botellas de gaseosa entre cierta cantidad de supermercados, de forma
equitativa. Resultó que dos supermercados no pudieron recibir el pedido por falta de espacio,
ası́ que se tuvo que repartir las 18000 botellas entre los otros supermercados, también de
forma equitativa. De esta forma cada supermercado recibió 100 botellas más de lo que estaba
previsto inicialmente, ¿cuántas botellas iba a recibir cada supermercado inicialmente?
1
4. Se tiene 7 números enteros positivos que forman una progresión aritmética de razón r, de tal
forma que cada uno consta de dos dı́gitos. Los dos primeros números empiezan con 4 y los
dos últimos empiezan con 8. Determine el valor de r.
5. En el lado AC de un triángulo ABC se ubica el punto D tal que ∠ABD = 60◦ y ∠DBC = 30◦ .
n
Si AD = 11, DC = 5 y AB = , calcule el valor de n.
7
6. Los enteros positivos a y b cumplen que el mı́nimo común múltiplo de (10 + a) y (28 + b) es
igual al mı́nimo común múltiplo de 10 y 28. Determine el menor valor posible de a + b.
7. Dos puntos A y B se están moviendo en un plano, con velocidades de 2 m/s y 4 m/s, res-
pectivamente. En cierto instante la distancia entre ellos es 700 m y las direcciones son las
mostradas a continuación:
700 m
120◦
Si los puntos mantienen su velocidad (incluyendo su dirección), determine después de cuán-

tos segundos a partir del instante mostrado la distancia entre los puntos será la menor posible.
8. Isaı́as tiene 3 monedas de 1 sol, 4 monedas de 2 soles y 5 monedas de 50 céntimos en el

bolsillo derecho. En el bolsillo izquierdo tiene 2 monedas de 1 sol, 3 monedas de 50 céntimos y
n monedas de 20 céntimos. Si Isaı́as saca al azar una moneda de cada bolsillo, la probabilidad
7
de que sean de distinto valor es exactamente , calcule el valor de n.
8
Aclaración: Considere que en cada bolsillo todas las monedas tienen igual probabilidad de ser
sacadas.
2
9. Sea n un entero positivo que tiene exactamente 6 divisores positivos, los cuales son:
1 = d1 < d2 < d3 < d4 < d5 < d6 = n.
Si d5 − d4 = 10, determine la suma de todos los posibles valores de n.
10. Regina tiene 75 varillas de metal cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm, 3 cm, . . ., 74 cm y 75
cm. Ella escogió k de esas varillas de tal manera que se puede construir un triángulo con
cualesquiera tres varillas escogidas, determine el mayor valor de k para el cual esta situación
es posible.
3
apuntes o libros.

1. Hugo y Sandro salieron a la misma hora, cada uno con su automóvil, desde Trujillo con
dirección a Chiclayo. Los primeros 30 minutos la rapidez de Hugo fue 56 km/h, luego, de-
cidió bajar su rapidez a 32 km/h. Después de 15 minutos de reducir su rapidez, Hugo fue
alcanzado por Sandro. Si desde el inicio la rapidez de Sandro fue v km/h. Calcule el valor de v.
2. Para cada entero positivo k, sea P (k) la siguiente proposición: “Si la suma de los dı́gitos de
un entero positivo de tres dı́gitos es k, entonces al menos dos de sus dı́gitos son iguales”. De
las veintisiete proposiciones P (1), P (2), . . . , P (27), ¿cuántas son verdaderas?
3. Definimos las funciones f (x) = 2x3 y g(x) = 128x6 . Si r es un número real positivo tal que
f (f (f (r))) = g(g(r)),
calcule el valor de 128r.
1
4. Determine cuántos enteros positivos n, con n ≤ 1000, cumplen que n(n + 1)(n + 2) es múltiplo
de 9999.
5. En la figura se muestra dos cuadrados y una recta que pasa por sus centros. Si AB = 8 y
CD = 18, calcule la longitud de BC.
A B C D
N
6. Sea N = 25 × 57 × 79 . Determine cuántos enteros positivos d cumplen que d + es un número
d
entero impar.
7. Determine la cantidad de números de dos dı́gitos ab, con a 6= b, para los cuales se cumple que
aabb es múltiplo de ab.
8. Sea ω una circunferencia de radio 20 y P un punto cuya distancia al centro de ω es 18.

Determine cuántas cuerdas de ω pasan por P y tienen longitud entera.
Aclaración: Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una circunferencia.
9. Roxana tiene cinco tarjetas de colores distintos en una bolsa. Cada uno de los dı́as lunes,
martes y miércoles ella realizó el siguiente procedimiento: extrajo al azar tres tarjetas y las
devolvió a la bolsa. Si la probabilidad de que cada tarjeta haya sido extraı́da al menos una
m
vez (considerando los tres dı́as) es , donde m y n son enteros positivos coprimos, calcule el
n
valor de m + n.
10. Un conjunto finito A de números reales es llamado interesante si para cualquier elemento
x ∈ A se verifica la condición x(x − 1) ∈ A. Sea U la unión de todos los conjuntos intere-
santes que tienen exactamente 12 elementos. Determine cuántos elementos tiene el conjunto U.
2
1. Sea ABCDEF un hexágono regular, C1 la circunferencia de diámetro AF y C2 la circunfe-

rencia de centro E y radio EF . Las circunferencias C1 y C2 se intersectan en los puntos F y
P y, además, AP interseca a ED en Q. Determine en qué relación están las longitudes de los
segmentos DQ y QE.
2. Alejandro tiene 60 caramelos y los divide en cuatro grupos de al menos un caramelo cada
uno. Luego, Carlos elige uno de los grupos. Después, de los tres grupos que quedan, Alejandro
elige dos. Finalmente, Carlos se queda con el grupo restante. Determine cuántos caramelos,
como máximo, Alejandro puede asegurar obtener.
3. Para cada entero positivo n, encuentre todas las soluciones reales del siguiente sistema:
2xn = y(x2 + 1),

2y n = z(y 2 + 1),
2z n = x(z 2 + 1).
1
4. Se escogen 5000 números del conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , 10000} tales que entre los números es-
cogidos no hay uno que divida a otro. Determine el menor valor que puede tomar uno de los
números escogidos.
2
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EXÁMENES ONEM NIVEL 2

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004

Primera Fase – Nivel 2

1. Simplifica la siguiente expresión:

2. El director de un colegio salió de vacaciones a la ciudad de Arequipa. Durante sus días de

3. La siguiente tabla muestra los valores hallados para la función f ( x ) = x − p , donde m es

4. Sea la función f ( x) = 2 x + 2 x − 10 cuyo dominio es el conjunto {2; 4;6} . Determina el rango

6. En el conjunto R de los números reales, E es el complemento del intervalo <2;9] , halla

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2 1

A) <-∞;2> ∪<6;+∞ > B) <-∞;2]∪<6;+∞ > C) <-∞,9]

D) <6;+∞ > E) <-∞;2> ∪ [6;+∞ >

7. Halla el valor numérico de R:

A) 49 años B) 37 años C) 38 años D) 29 años E) 39 años

9. Si x 2 = y 2 + z 2 , simplifica la siguiente expresión:

11. El polinomio x 2 − mx − 2 es divisible por x − 1 y el polinomio x 2 − nx + 2 es divisible por

A) 1 008 B) 1 001 C) 8 001 D) 513 E) 730

13. Observa que 9 − 2 14 = 7 − 2 , porque 7 + 2 = 9 y 7 × 2 = 14 . Usa este tipo de

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2 2

18. Sean x, y números que satisfacen:

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2 3

19. Un cuadrado antimágico es un tablero de 4 × 4 en el que se ubican los

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Fase – Nivel 2 4

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004

Segunda Fase – Nivel 2

- La prueba tiene una duración máxima de 2 horas.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

2. Una delegación de 36 estudiantes viajará representando a su colegio en una competencia

3. Calcula la suma de todos los números que satisfacen la siguiente ecuación:

4. Factoriza el siguiente polinomio, en el conjunto de polinomios con coeficientes enteros,

5. Sea f una función definida en los números reales tal que:

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2 1

8. Encuentra la cantidad de números capicúas de 5 cifras que sean múltiplos de 37.

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 2 2

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004

Tercera Fase – Nivel 2

1. Tengo cierto número de monedas, algunas en la mano derecha y otras en la izquierda. Si

2. Doce árboles se encuentran alineados separados cada 5 metros. Un pozo de agua se

4. Calcula la suma de todas las cifras del resultado obtenido al operar:

5. Los polinomios P ( x ) = x 4 + ax 3 − bx 2 + cx + 2 , Q( x ) = x 4 + cx 3 − bx 2 + ax + 2 son distintos

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 2 1

8. La fracción f satisface la siguiente desigualdad:

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 2 2

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004

Cuarta Fase – Nivel 2

JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN

1. Sean a y b números enteros tales que la ecuación en x

2. En una pizarra se escriben 20 números enteros consecutivos de dos cifras. Luego, se

4. En el siguiente tablero de 2 filas y 10 columnas:

Por ejemplo, el siguiente tablero de 2 filas y 4 columnas se encuentra correctamente lleno:

pues el 1 aparece 3 veces en el tablero, el 2 aparece 1 vez en el tablero, el 3 aparece 3 veces

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 2 1

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005

Primera Fase – Nivel 2

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Primera Etapa – Nivel 2 1

5. Simplifica la siguiente expresión: