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Manual de Asignatura - Funciones Matemáticas
Manual de Asignatura - Funciones Matemáticas
Manual de Asignatura - Funciones Matemáticas
FUNCIONES MATEMÁTICAS
ELABORADO POR:
MEBC.; LEM. VALENTINA TORRES RODRÍGUEZ
MANUAL DE ASIGNATURA
INTRODUCCIÓN
pág. 1
MANUAL DE ASIGNATURA
INDICE
pág. 2
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 3
MANUAL DE ASIGNATURA
Encuadre de la asignatura
Competencia:
Objetivo de aprendizaje:
Unidades:
I. Geometría y trigonometría
II. Geometría analítica
III. Funciones
IV. Álgebra vectorial
pág. 1
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 2
MANUAL DE ASIGNATURA
Identificar las
propiedades de ángulos
que se forman entre
líneas paralelas y
transversales:
- Opuestos por el
vértice
- Complementarios
- Suplementarios
- Correspondientes
- Alternos internos
- Alternos externos
- Colaterales
Definir el concepto de
triángulo.
Demostrar identidades
trigonométricas.
pág. 3
MANUAL DE ASIGNATURA
1.1. Perímetro
𝐏𝐞𝐫í𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 = 10 𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 + 10 𝑐𝑚 + 5 𝑐𝑚 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎
1.2. Áreas
pág. 4
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 5
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑫𝒙𝒅
À𝐫𝐞𝐚 =
𝟐
5.4𝑚 × 3 𝑚
𝐀= = 𝟖. 𝟏 𝒎𝟐
2
pág. 6
MANUAL DE ASIGNATURA
2 cm
16 cm
𝑏×ℎ
𝐴=𝑏×ℎ 𝐴=
𝑏×ℎ 2
𝐴= 𝐴 = 26 × 2 16 × 2
2 𝐴 = 𝟓𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝐴=
10 × 6 2
𝐴= 𝐴 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
2
𝐴 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎𝟐
1.3. Volumen
pág. 7
MANUAL DE ASIGNATURA
Formulario de volumen
pág. 8
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplo
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 8 × 8 = 64
𝑉 = 64 × 16 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟑
Ejercicios propuestos
10 cm
c) Calcular la superficie de la siguiente figura:
pág. 9
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 10
MANUAL DE ASIGNATURA
2.1. Ángulos
Notación
Grados sexagesimales
pág. 11
MANUAL DE ASIGNATURA
Radianes
pág. 12
MANUAL DE ASIGNATURA
21º
Paso 3. Tomar la parte decimal del caso anterior y multiplicarla por 60, eso
correspondera a los segundos.
0.6 × 60 = 𝟑𝟔′′
12 ÷ 60 = 𝟎. 𝟐°
36 ÷ 3600 = 𝟎. 𝟎𝟏°
pág. 13
MANUAL DE ASIGNATURA
Paso 3. Sumar a los grados iniciales, los grados obtenidos en los pasos anteriores
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 → 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔
180° → 𝜋𝑟𝑎𝑑
140° → 𝑥
140° × 𝜋𝑟𝑎𝑑 𝟕
𝑥= = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
180° 𝟗
Ejercicios propuestos
pág. 14
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 15
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
pág. 16
MANUAL DE ASIGNATURA
2.2. Triángulos
Ejemplos y aplicaciones
140 + 𝑥 = 180
𝑥 = 180 − 140
𝒙 = 𝟒𝟎
105 + 𝑧 = 180
𝑧 = 180 − 105
𝒛 = 𝟕𝟓
pág. 18
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 = 180
6𝑥 = 180
𝒙 = 𝟑𝟎
Ejercicios propuestos
pág. 19
MANUAL DE ASIGNATURA
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Una casa tiene 10 m de ancho y el caballete del tejado es 4 m más alto
que las paredes laterales. Si las vigas r, se extienden 0.5 m más allá de los costados
de la casa, ¿cuál es la longitud de las vigas?
pág. 20
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑐 = √41 ≈ 𝟔. 𝟒
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los
tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de
sus tres lados a, b y c.
Tabla de razones trigonométricas
5
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
4
−1
5
𝛼 = 𝑇𝑎𝑛 ( )
4
𝛼 = 51.34°
pág. 21
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
Instrucciones:
pág. 22
MANUAL DE ASIGNATURA
Relación a emplear
𝑠𝑒𝑛 50° × 6
𝑠𝑒𝑛 𝛾 =
5
𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 0.9193
pág. 23
MANUAL DE ASIGNATURA
𝛼 = 180 − 50 − 66.82
𝛼 = 𝟔𝟑. 𝟏𝟖
Paso 2. Encontrar el valor de 𝑎 aplicando la ley de senos
𝑠𝑒𝑛 63.18° × 5
𝑎=
𝑠𝑒𝑛 50°
𝑎 = 𝟓. 𝟖
Se utiliza cuando:
a) Se conoce LAL (La medida de dos lados y el
valor del ángulo comprendido entre ellos)
b) Se conoce LLL (el valor de los tres lados del
triángulo)
Fórmulas
pág. 24
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝛽
𝑆𝑒𝑛 𝑎 = 0.9889
𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 −1 (0.9889)
𝑎 = 𝟖𝟏. 𝟒𝟔°
Paso 3. Calcular el valor del último ángulo (𝛾) empleando la propiedad de los
ángulos interiores de un triángulo.
𝛾 + 26 + 81.46 = 180°
𝛾 = 180 − 26 − 81.46
𝛾 = 𝟕𝟐. 𝟓𝟒°
pág. 25
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
Instrucciones: resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos (calcular la medida
de todos los lados y e todos los ángulos), según la información proporcionada,
emplea la ley de senos o de cosenos, según sea el caso.
pág. 26
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 27
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 28
MANUAL DE ASIGNATURA
1.1. Pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la
dirección positiva del eje de abscisas.
𝑦2 − 𝑦1
𝑚 = tan (𝜃) =
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( )
𝑥2 − 𝑥1
Ordenada al origen
pág. 29
MANUAL DE ASIGNATURA
obtendremos una gráfica de una recta inclinada hacia a izquiera cabe mencionar
que b representa el valor de la ordenada (y), donde la recta intersecta al eje y .
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Punto pendiente
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona
la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella.
La ecuación esta dada por la siguiente fórmula.
(𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene
pendiente m= -4.
(𝑦 − (−5)) = −4(𝑥 − 2)
𝑦 + 5 = −4(𝑥 − 2)
𝑦 + 5 = −4𝑥 + 8
𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟑
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 4) y B(8,-2)
pág. 30
MANUAL DE ASIGNATURA
−2 − 4
𝑚=
8−3
−6
𝑚=
5
6
(𝑦 − 4) = − (𝑥 − 3)
5
6 18
𝑦−4=− 𝑥+
5 5
𝟔 𝟑𝟖
𝒚=− 𝒙+
𝟓 𝟓
m = tan( 𝜃)
m = tan(60°)
𝑚 = 1.73
(𝑦 − 4) = −1.73(𝑥 − 3)
𝑦 − 4 = −1.73𝑥 + 5.19
𝒚 = −𝟏. 𝟕𝟑𝒙 + 𝟗. 𝟏𝟗
pág. 31
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
TEMA 2. LA CIRCUNFERENCIA
2.1. Ecuaciones
Ecuación canónica
Caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el origen (0,0).
𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑟2
Ecuación ordinaria
Caso particular de circunferencia, que tiene su centro en una coordenada
diferente al origen.
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
Ecuación general
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
pág. 32
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplos
(𝑥 − (−2))2 + (𝑦 − 3)2 = 42
(𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 16
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑 = 𝟎
pág. 33
MANUAL DE ASIGNATURA
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 2)2 = 85
Elementos
(ℎ, 𝑘) = 𝐶(5, −2)
𝑟 = √85
Paso 1. Hallar el radio usando la fórmula analítica de distancia entre dos puntos
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
𝑑 = √9 + 16
pág. 34
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑑 = √25 = 𝟓
Por lo tanto 𝑟 = 5
Datos
𝐶(0,0)
𝑟=5
𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑟2
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
Ejercicios propuestos
a) x2 +y2 −6y=0
b) x2 +y2 +8x−9=0
c) x2 +y2 −10x+4y+13=0
pág. 35
MANUAL DE ASIGNATURA
TEMA 3. LA PARÁBOLA
pág. 36
MANUAL DE ASIGNATURA
(𝑥 − ℎ)2 = ± 4𝑎(𝑦 − 𝑘)
Consideraciones
• Si la parábola es horizontal y el foco se encuentra a la derecha significa que
la parábola abre hacia la derecha y el signo de 4𝑎 es positivo.
• Si la parábola es horizontal y el foco se encuentra a la izquiera significa que
la parábola abre hacia la izquierda y el signo de 4𝑎 es negativo.
• Si la parábola es vertical y el foco se encuentra hacia arriba significa que la
parábola abre hacia arriba y el signo de 4𝑎 es positivo.
• Si la parábola es vertical y el foco se encuentra hacia abajo significa que la
parábola abre hacia abajo y el signo de 4𝑎 es negativo.
pág. 37
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplos
Ejemplo 1. Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola con vértice (3,2) y
foco (5,2).
Paso 1. Bosquejar los puntos para identificar de qué tipo de parábola se trata.
pág. 38
MANUAL DE ASIGNATURA
(𝑦 − 1)2 = 20(𝑥 − 2)
Datos
ℎ=2
𝑘=1
𝑓(ℎ + 𝑝, 𝑘)
𝑓(2 + 5, 1) = 𝑓(7,1)
El foco es 𝑓(7,1)
pág. 39
MANUAL DE ASIGNATURA
(𝑦 − 2)2 = −6𝑥 + 12
pág. 40
MANUAL DE ASIGNATURA
Tipo de parábola= la parábola es horizontal que abre hacia la izquierda, por el signo
negativo en la ecuación que acompaña a 4𝑎.
4𝑎 = |−6|
6 3
𝑎 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙) = = = 1.5
4 2
𝑓(ℎ − 𝑝, 𝑘)
𝑓(2 − 1.5, 2) = 𝑓(0.5,2)
El foco es 𝑓(0.5, 2)
• El lado recto es igual a |4𝑎| = 6
• Longitud del lado recto
𝐿𝑅 = |4𝑝| = |−6| = 𝟔
• La ecuación de la directriz, en este caso, como es una parábola horizontal que abre
hacia la izquierda se obtiene con la fórmula 𝑥 = ℎ + 𝑝 (lo contrario al vértice.
𝑥 = 2 + 1.5
𝑥 = 3.5
pág. 41
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
pág. 42
MANUAL DE ASIGNATURA
Reconocer la notación
de intervalos.
pág. 43
MANUAL DE ASIGNATURA
pág. 44
MANUAL DE ASIGNATURA
Dominio
Rango
1
1
1
2 5
3 6
Rango
4 9
5 a
Dominio
Contradominio
pág. 45
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplo
1.2. Notación
Función explícita
Ejemplo: 𝑦 = 5𝑥 3 + 2𝑥 + 1
Función implícita
Ejemplo: 5𝑦 = 3𝑥 3 + 2𝑥
• Expresión analítica.
• Tabular
• Gráfica
pág. 46
MANUAL DE ASIGNATURA
Representación analítica
Ejemplo: 𝑦 = 5𝑥 3 + 2𝑥 + 1
Representación tabular
x y=f(x)
Una función también se puede expresar mediante una tabla de
-3 9
valores donde aparecen algunos valores de la variable
-2 4
independiente x y sus correspondientes valores de la variable -1 1
dependiente y. 0 0
1 1
2 4
3 9
Representación gráfica
Ejercicios propuestos
pág. 47
MANUAL DE ASIGNATURA
a) Función constante
a
y=a
R
Es una función en donde 𝑓(𝑥) siempre toma el valor a que es una constante,
se representa por: 𝑦 = 𝑎. Su dominio son todos los números reales.
pág. 48
MANUAL DE ASIGNATURA
b) Funciones potencia
y=x y = x2 y = x3 y = x4
c) Función polinomial
f ( x) = x 4 - 3x 2 + x
Donde 𝑎0, 𝑎1,𝑎2,𝑎3..𝑎𝑛 son números reales y los exponentes son números
naturales. El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números
reales.
d) Función racional
2x4 - x2 +1
f ( x) =
x2 - 4
pág. 49
MANUAL DE ASIGNATURA
e) Función radical
f) Función exponencial
g) Función logarítmica
D: (0,∞)
pág. 50
MANUAL DE ASIGNATURA
h) Funciones trigonométricas
Función Tangente
Las funciones trigonométricas son aquellas que están asociadas a una razón
trigonométrica (𝑠𝑒𝑛 (𝑥), cos(𝑥) , tan(𝑥)).
Función racional
pág. 51
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑃(𝑥)
Por lo tanto, sea 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥) la regla a utilizar para calcular el dominio es
𝑄(𝑥) ≠ 0.
Ejemplo
2𝑥 4 − 𝑥 2 + 1
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥2 − 4 ≠ 0
𝑥2 ≠ 4
𝑥 ≠ √4
𝑥 ≠ ±2
𝐷𝑓 = ℝ − {−2,2}
El dominio de una función raíz cuadrada consiste de los valores que hagan
cero o positivo el radicando.
Por lo tanto, sea 𝑓(𝑥) = √𝑝(𝑥) la regla a utilizar para calcular el dominio es
𝑃(𝑥) ≥ 0.
Ejemplo
𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 6
2𝑥 + 6 ≥ 0
2𝑥 ≥ −6
pág. 52
MANUAL DE ASIGNATURA
𝑥 ≥ −3
𝐷𝑓 = [−3, ∞)
𝑥≤2
(−∞, 2]
Función logarítmo
El dominio de una función radical consiste en los valores que cumplan con
ser mayores de cero.
Por lo tanto, sea 𝑓(𝑥) = log (𝑃(𝑥)) la regla a utilizar para calcular el dominio
es 𝑃(𝑥) > 0.
Ejemplo
4𝑥 + 8 > 0
4𝑥 > −8
𝑥 > −2
𝐷𝑓 = (−2, ∞)
𝑥<6
𝐷𝑓 = (−∞, 6)
pág. 53
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejercicios propuestos
g)
c)
h)
i)
d)
j)
e)
f)
pág. 54
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplo
Ejercicios propuestos
Instrucciones: Dadas las funciones f y g, determina las siguientes funciones
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟓; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
b) 𝒇(𝒙) = √𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏; 𝒈(𝒙) = 𝒙+𝟐
d) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏; 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐
pág. 55
MANUAL DE ASIGNATURA
Ejemplo. Una compañía productora de cereales para desayuno fabrica cajas para
envasar sus productos. Por razones estéticas, la caja debe tener las siguientes
proporciones: su ancho es el triple de su profundidad, y su altura es 5 veces su
profundidad. Encuentre una función que modele el volumen de la caja en términos
de su profundidad. 3x
5x
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 × 𝑎𝑙𝑡𝑜
pág. 56
MANUAL DE ASIGNATURA
2. Escoger la variable
Hay tres cantidades que varían: ancho, profundidad y altura. Como la función
que buscamos depende de la profundidad, hacemos x= profundidad de la caja
3. Establecer el modelo
𝑣 = 𝑥 ∙ 3𝑥 ∙ 5𝑥
𝒗 = 𝟏𝟓𝒙𝟑
Tipo de función: función potencia
Dominio: ℝ
Rango: ℝ
4. Usar el modelo
1.4. Encuentre el volumen de la caja si su profundidad es 1.5 in.
𝑣 = 15𝑥 3
𝑣 = 15(1.5)3
𝑣 = 50.625 𝑖𝑛3
pág. 57
MANUAL DE ASIGNATURA
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Baldor, J. (1998). Geometría plana y del espacio con trigonometría. México Cultural
Larson. (2006) Cálculo y Geometría Analítica Vol. 1. Mc Graw Hill
Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Harla
Silvia, Juan Manuel. (2008). Fundamentos de matemáticas: álgebra, geometría y
trigonometría. Limusa S.A. de C.V.
Swokowki, E. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica.
Cengage Learning
pág. 58