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Ev2 527148 2018 tr1 Pauta
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Pauta Evaluación N◦ 2
Cálculo II (527148)
Solución: Al rotar en torno al eje x la región triangular de vértices (0, 0), (h, 0)
y (h, r) se genera el volumen que se pide calcular. Como la recta que pasa por el
rx
origen y por el punto (h, r) tiene ecuación y = f (x) := (4 puntos), se tiene
h
Z h Z h 2 2
2 r x πr2 h
V =π [f (x)] dx = π dx = . (8 puntos)
0 0 h2 3
1 − cos x x
Indicación: Puede considerarse la identidad = sin2 .
2 2
Solución: La distancia recorrida por el imán cuando la rueda da una vuelta co-
rresponde a la longitud de arco de la curva C(t) = (x(t), y(t)), donde t ∈ [0, 2π],
determinada por la integral
Z 2π q
L = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt (4 puntos)
0
Z 2π p
= 2a2 (1 − cos t) dt
0
s
Z 2π
t 2
= a 4 sin dt
0 2
Z 2π
t
= 2a sin dt
0 2
= 8a. (8 puntos)
1
3. Calcular el área de la región interior a la circunferencia r = 5 cos θ y exterior al
limaçon r = 2 + cos θ.
π
Solución: Como las curvas se intersectan cuando θ = ± y dada la simetrı́a de los
3
gráficos, el área de la región
8π √
= + 3. (8 puntos)
3
2
Solución:
1
a) Como cos(nπ) = (−1)n y la sucesión √ es positiva, decreciente y converge a
n
+∞
X cos (nπ)
cero, por el criterio de Leibniz se tiene que √ converge. (4 puntos)
n=1
n
∞ +∞
X cos (nπ) X 1
Por otra parte, como √n = √ es una serie p divergente (pues
n=1
nn=1
p = 1/2), se tiene que la serie original no converge absolutamente. (3 puntos)
+∞
X cos (nπ)
De lo anterior, la serie √ converge condicionalmente y la afirmación
n=1
n
es verdadera. (3 puntos)
(x − 3)n+1
n
Para x 6= 3, definiendo L = lı́m = |x−3|, por el criterio
n→+∞ n + 1 (x − 3)n
del cuociente se tiene que la serie converge si
+∞
X (−1)n
Si x = 2, se tiene la serie alternada , la cual converge, pues la suce-
n=1
n
1
sión es positiva, decreciente y converge a cero. (3 puntos)
n
Si x = 4, se tiene la serie armónica, la cual es divergente. (3 puntos)
28 de Mayo de 2018
EBC/EGG/GCA/egg