MATEMÁTICA

Matemática Semana 1

La función cuadrática y la forma canónica de su fórmula

En esta semana, vamos a trabajar con funciones cuadráticas. En años anteriores, seguramente
estudiaste este tipo de funciones. Ahora te proponemos algunas actividades para repasar sus
características principales.

Actividad 1
Graficá las siguientes funciones cuadráticas:
a. y=(x–2)2–9 b. y=–x2–5x+6 c. y=2(x+4)(x–1)

G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

Pistas para resolver la Actividad 1
Te sugerimos que trates de resolver el problema y, en caso de que te surjan dudas, leas
las siguientes pistas.

y
5

3 Eje de simetría
x=2
2

1
x1 x2

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
–1

–2

–3
y=(x–2)2–9
Te recordamos que los gráficos de las
–4
funciones cuadráticas son parábolas.
–5
Las parábolas tienen un eje de simetría
–6 y un vértice. Es conveniente usarlos para
–7 representarlas. En este caso, el eje de
–8 simetría es la recta de ecuación x=2 y el
–9 vértice es el punto V=(2;–9). Además, esta
V=(2;–9)=(xV;yV)
–10 función tiene dos raíces reales: x1=–1 y x2=5.
La ordenada al origen es –5.

Actividad 2
Dada la función y=(x-3)2-5, buscá si existe en cada caso:
a. Otro valor de x que tenga la misma imagen que x=0. ¿Cuántos hay?
b. Otro valor de x que tenga la misma imagen que x= -1. ¿Cuántos hay?
c. Otro valor de x que tenga la misma imagen que x=1. ¿Cuántos hay?
2
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.
 Semana 1 Introducción
Matemática

Pistas para resolver la Actividad 2

Te sugerimos que trates de resolver el problema y, en caso de que te surjan dudas, leas
las siguientes pistas.

• Una posible estrategia consiste en utilizar la fórmula de la función. En la pregun-

ta a., por ejemplo, podemos buscar primero cuál es la imagen de x=0 y obtener:
y=(0–3)2–5=(–3)2–5=9–5=4.
Ahora tenemos que buscar otro valor de x, además de x=0, de manera tal que:
(x-3)2–5=4. O, lo que es lo mismo: (x–3)2=4+5 —> (x–3)2=9.
Para resolver esta ecuación podemos pensar cuántos números elevados al cuadrado
dan 9.
G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

Esto quiere decir que x–3 puede ser igual a –3 o a 3.

Si x–3=–3 entonces x=0. ¡Este es el valor de x que está en el enunciado de la consigna a.!
En cambio, si x–3=3 entonces x=6.
Esto quiere decir que hay un solo valor que tiene la misma imagen que x=0 y es x=6.
Para los dos valores de x la imagen es y=4.

y
• O
tra posible estrategia consiste en utilizar 6
el gráfico de la función. 5
Tenemos que buscar es si existe otro valor
4
de x de manera tal que y también sea 4. Si
3
representamos la recta y=4 en el mismo
2
gráfico para ver dónde esa recta corta a la
1
parábola, encontraremos otro valor de x.
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
–1
Si x=6 también sucede que y=4. Es decir, a
partir del gráfico de la parábola, se puede –2

encontrar otro valor de x que tienen la mis- –3

ma imagen que x=0, en este caso, x=6. –4

–5

Te dejamos las respuestas que faltan:

b. Hay solo un valor de x que tiene la misma imagen que x=–1 y es x=7. Para los dos va-
lores de x la imagen es y=11.
c. Hay solo un valor de x que tiene la misma imagen que x=1 y es x=5. Para ambos, la
imagen es y=–1.

3
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.
 Matemática Semana 2

La función cuadrática y la forma canónica de su fórmula

En esta semana, seguimos trabajando con la función cuadrática, en particular, vamos a repasar
cómo se puede leer y analizar su gráfico para estudiar la simetría de la parábola.

Actividad
Para las siguientes parábolas, completá las coordenadas que faltan en los puntos marcados.

y y
40
225
(–6;35) ( ; )

G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

200

175 30

150

125 (0;20)
20 ( ; )
100

75
( ; ) (24;56) 10
50

25
( ; ) (30;0)

–15 x 0 12 x

Pistas para resolver la Actividad

Te sugerimos que trates de resolver el problema y, en caso de que te surjan dudas, leas
las siguientes pistas.

• Podemos analizar las coordenadas de los puntos marcados a partir225 del gráfico de la
200
función.
En el primer gráfico, hay tres puntos señalados: (–15;225) —que es175el vértice de la
150
parábola—, (30;0) —que es una de las raíces, es decir, donde la parábola corta el eje
125
x— y (24;56). Además, el gráfico tiene dibujada una línea punteada vertical: esta línea
100
representa el eje de simetría de la parábola. A partir del eje de simetría es posible en-
75
contrar puntos simétricos de la parábola.
( ; ) (24;56)
50
Por ejemplo: el punto (30;0) está a 45 unida-
25
des del eje de simetría (ubicado en x=–15). Si (–60;0) (30;0)
nos “movemos” desde este eje 45 unidades –15
hacia “la izquierda”, podemos determinar las 45 45

coordenadas del punto simétrico: (–60;0).

4
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.
 200

Semana 2 175 Introducción

Matemática
150

125

Con la misma estrategia podemos encontrar el punto simétrico

100 del (24;56). En
este caso, buscamos un punto cuyo va- 75
(–54;56) 39 39 (24;56)
lor de y sea 56. La distancia que hay
entre este punto y el eje de simetría 25

x=–15 es de: 24+15=39 unidades. Luego, el

–15
simétrico es (–54; 56) tal como se muestra
en el gráfico.

• O
tro procedimiento posible es usar las coordenadas de los puntos, buscar una fórmula
de la función y usarla para encontrar los puntos simétricos.
G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

Si observamos el primer gráfico, tenemos como dato el vértice de la parábo-

la: (–15;225). Por lo tanto, podemos escribir la forma canónica de su fórmula:
y=a(x+15)2+225. En este caso, nos falta conocer el valor de a. Pero también tenemos
como dato el punto (30;0). Si lo reemplazamos en la fórmula, podemos encontrar el
valor de a:

0=a (30+15)2+225 —
> 0=a · 2025+225

–225 1
Entonces — > –—
2025 =a — 9 =a

1
La fórmula de la función cuadrática representada es: y=–— 9 (x+15) +225.
2

1
Para buscar el simétrico de (30; 0), planteamos que: 0=–—9 (x+15) +225.
2

Al resolver la ecuación, obtenemos que x=30 (es el valor que conocíamos del gráfi-
co) o x=–60. Es decir: (–60;0) y (30;0) son puntos simétricos.
De manera similar, podemos reemplazar y=56 a partir del punto (24;56) del gráfico
y, nuevamente, despejar x para encontrar qué otro valor —además de 24— verifica
1
la ecuación: 56=–— 9 (x+15) +225. Al resolverla, obtenemos dos valores: x=24 o x=–54.
2

Por lo tanto: el punto simétrico de (24;56) es el punto (–54;56).

Utilizando cualquiera de los dos procedimientos, es posible encontrar los puntos

simétricos de la segunda parábola:
• (30;35) es el simétrico de (–6;35).
• (24;20) es el simétrico de (0;20).

Para recordar

Todas las parábolas tienen un eje de simetría, que es una recta vertical que pasa
por el vértice. Todos los puntos de la parábola, a excepción del vértice, tienen un
simétrico con respecto a este eje.

5
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.
 Matemática Semana 3

Retomamos lo trabajado en las dos semanas anteriores

En esta semana, retomamos el trabajo con la función cuadrática y el estudio de la simetría de
la parábola, a partir de situaciones en las que no se ofrecen ni la fórmula ni el gráfico como datos.

Actividad
Respondé las siguientes preguntas y justificá tu respuesta en cada caso.
a. ¿Es posible que una parábola pase por los puntos (100;1) y (–100;1) y que su vértice sea
(0;2)? ¿Podría ser el vértice el punto (0;1)?
b. ¿Cuál puede ser el vértice de una parábola que pasa por los puntos (0;2), (10;2)?
c. ¿Es posible que una parábola pase por los puntos (–126;8) y (124;8) y su vértice sea (2;1)?

G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

d. ¿Cuáles pueden ser las coordenadas del vértice de una parábola que pasa por los puntos
(–235;15) y (242;15)?
e. ¿Es posible que una parábola con vértice en el punto V = (0;–3) pase por los puntos (4;2)
y (–4;–2)?

Pistas para resolver la Actividad

Te sugerimos que trates de resolver el problema y, en caso de que te surjan dudas, leas
las siguientes pistas.

ista para la consigna a.:

• P
Podemos representar los puntos (–100;1),(100;1) y (0;2). Como podemos observar, los
puntos (–100;1) y (100;1) están a la misma
distancia de la recta x=0 que contiene al (0,2)
2
punto (0;2) (en este caso, es el eje y). Esto (100,1)
(–100,1)
1
quiere decir que el punto (0;2) puede ser el
vértice de una parábola. –100 100

En el caso del punto (0;1), no puede ser el

vértice porque los tres puntos quedan ali- 2
(0,1)
neados. Como se muestra en el gráfico, no (–100,1)
1
(100,1)

es posible trazar una parábola que pase

–100 100
por esos puntos.

6
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.
 Semana 3 Introducción
Matemática

ista para la consigna b.:

• P
En este caso, los datos vienen dados por dos puntos simétricos: (0;2) y (10;2) (ambos
tienen ordenada 2). Por lo tanto, lo que debemos encontrar es “por dónde pasa” el
eje de simetría. Esto lo podemos averiguar de manera gráfica: el eje de simetría debe
estar “en el medio”: x=5.

(0;2) (10;2)
2
x=5
1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
G.C.A.B.A. | Ministerio de Educación | Dirección General de Planeamiento Educativo | GOC | GOLE

Luego, la respuesta es: el vértice puede ser un punto de la forma (5;yV) donde yV puede
ser un número real cualquiera que no sea 2.
Otra forma de resolverlo es la siguiente: sabemos que el eje de simetría debe estar “en
el medio” de los puntos dados y pasar por el vértice. Entonces para encontrar el valor
de xV, podemos calcular el promedio entre los valores de x de cada uno de los puntos
(0;2) y (10;2):

0+10 10
xV=—
2 —
> xV=—
2 —
> xV=5

Y llegamos a la misma respuesta.

ista para la consigna c.:

• P
En este caso, sabemos que (–126;8) y (124;8) pueden ser puntos simétricos de una pa-
rábola porque tienen la misma ordenada (8). Luego, podemos calcular el eje de simetría
como el promedio entre los valores de x de dichos puntos:

–126+124 –2
xV= —
2 —
> xV=—
2 —
> xV=–1

Por lo tanto, si el eje de simetría es la recta x=–1, no es posible que el punto (2;1) sea el
vértice de la parábola (porque no pertenece a esta recta).

• Las respuestas de las consignas d. y e. son:

d. El vértice es un punto de la forma — (7 )

2 ;yV , siendo yV un número real cualquiera que no
sea 15.
e. No es posible que una parábola de vértice (0;–3) pase por los puntos (4;2) y (–4;–2)
porque, si bien están a igual distancia del eje de simetría (la recta de ecuación x=0),
los puntos no tienen la misma ordenada.

7
Estudiar y aprender en casa. 5.º año. Fascículo 1.