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Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022
Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022
Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022
Febrero 2022
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Lı́mite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Teoremas sobre lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Cálculo de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Estimación de lı́mites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Cálculo de lı́mites infinitos y lı́mites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1. Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Derivadas de funciones algebraicas, exponenciales y logarı́tmicas . . . . . . . . . . . 49
2.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Capı́tulo 3
Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1. Derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. La regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1. Las formas 0/0 e ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2. La forma 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3. La forma ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4. Las formas ∞0 , 1∞ y 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Índice general
Capı́tulo 4
Cálculo con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4. Optimización con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5. Criterio de cuadrados mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6. Regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.1. Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.2. Problemas de regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Apéndice A
Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Apéndice B
Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C AP ÍTULO 1
Lı́mites y continuidad
de una función
A veces sucede que, aunque una función f no esté definida en un punto x = a, los valores
de y = f (x) se acercan a un lı́mite L conforme x se acerca a a. En ese caso se dice que L es
el lı́mite de f (x) cuando x tiende a a, y se escribe
lı́m f (x) = L
x→a
Otra forma de expresar lo mismo es diciendo que f (x) tiende a L cuando x tiende a a,
o en sı́mbolos, que f (x) → L cuando x → a.
En este capı́tulo veremos cómo estimar lı́mites a partir de gráficos o tablas de valores,
y cómo calcularlos formalmente.
Ejemplo 1
x3 − 25x
Estimar el lı́mite de cuando x tiende a 5.
x−5
x3 − 25x
La función f (x) = no está definida en x = 5, pero para x cercano a 5
x−5
podemos observar los valores de la función conforme x se acerca a 5 desde la
izquierda o desde la derecha:
4 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
→
x 4 4.5 4.9 4.999 5
( desde la izquierda de 5)
f (x) 36 42.75 48.51 49.985 6 ∃
→
←
x 5 5.001 5.1 5.5 6
(por la derecha de 5)
f (x) 6 ∃ 50.015 51.51 57.75 66
←
Gráficamente,
f (x)
Es claro, tanto en la tabla de valores como en el gráfico, que entre más se acerca
x a 5, más se acerca f (x) a 50, aunque f (5) no es 50. En sı́mbolos escribimos
que f (x) → 50 cuando x → 5, o bien, que lı́m f (x) = 50.
x→5
Como vimos en el ejemplo anterior, para hablar del lı́mite de una función en un punto no
es necesario que la función esté indefinida allı́.
Si la función f sı́ está definida en x = a, es usual que lı́m f (x) = f (a), como veremos en
x→a
el siguiente ejemplo. Pero más tarde en el ejemplo 3 veremos que ese no siempre es el caso.
1.1. Lı́mite de una función en un punto 5
Ejemplo 2
Estimar el lı́m t + 5.
t→3
La función h(t) = t + 5 sı́ está definida en t = 3 y, como vemos en la siguiente
tabla, su lı́mite allı́ es lı́m h(t) = 8 = h(3).
t→3
→ ←
t 2.5 2.9 2.999 3 3.001 3.1 3.5
h(t) 7.5 7.9 7.999 8 8.001 8.1 8.5
→ ←
Ocasionalmente, una función f puede tener un lı́mite distinto en cada lado (izquierdo y
derecho) del punto x = a. En ese caso se habla de lı́mites laterales, que se denotan
lı́m f (x) y lı́m f (x)
x→a− x→a+
y se llaman lı́mite por la izquierda y lı́mite por la derecha (o lı́mite cuando x tiende a a por
la izquierda y por la derecha), respectivamente.
El lı́mite general de la función (también llamado lı́mite bilateral) existe solamente si
ambos lı́mites laterales existen y son iguales.
Ejemplo 3
Calcular los lı́mites laterales de
x − x2 si x ≤ 2
b(x) = x
si x > 2
9 − x2
cuando x → 2.
Empecemos por ver el gráfico de b(x) para 0 ≤ x ≤ 3.
b(x)
x
6 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
En el gráfico vemos que hay dos lı́mites distintos cuando x tiende a 2 por la
izquierda y cuando x tiende a 2 por la derecha. Viniendo desde la izquierda de
x = 2 el gráfico se acerca al punto (2, −2), por lo que parece que el lı́mite por la
izquierda será −2. Y viniendo desde la derecha el gráfico se acerca a (2, 0.4), de
modo que el lı́mite por la derecha parece ser 0.4.
Confirmemos numéricamente esas dos estimaciones.
En resumen, los lı́mites laterales cuando x → 2 son −2 por la izquierda y 0.4 por
la derecha:
lı́m b(x) = −2 y lı́m b(x) = 0.4
x→2− x→2+
El ejemplo anterior ilustra que, aunque una función esté definida en un punto, su lı́mite
en ese punto puede no ser igual al valor de la función. En efecto, en el ejemplo se tiene
b(2) = −2, pero lı́mx→2 b(x) no es −2 (de hecho, el lı́mite no existe). Vea la definición de
continuidad en la página 1.5.
1.1. Lı́mite de una función en un punto 7
Ejercicios
Estime a partir del gráfico
y = f (x)
1. lı́m f (x)
x→1
2. lı́m f (x) 2
x→0
3. lı́m f (x)
x→−1+ 1
4. lı́m f (x)
x→−1−
−1 1
5. lı́m g(t)
t→−3+
6. lı́m g(t)
t→−1− y = g(t)
7. lı́m g(t) 3
t→−1+
8. lı́m g(t)
t→1−
9. lı́m g(t)
t→1+
10. lı́m g(t)
t→2−
11. lı́m g(t) −3 3
t→2+
12. lı́m g(t)
t→3−
2x2 − 6x + 4
13. lı́m
x→2 4 − x2
x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
f (x) −0.4962 −0.5004 −0.5366
t 2 − 25
14. lı́m
t→−5 t + 5
t −5.1 −5.01 −5.001 −4.999 −4.99 −4.9
f (t) −10.01 −9.9
√
w−2−1
15. lı́m
w→3 w−3
w 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1
f (w) 0.5132 0.5001 0.4881
8 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
√
2− 5+y
16. lı́m
y→−1 1+y
y −1.1 −1.01 −1.001 −0.999 −0.99 −0.9
f (y) −0.2502 −0.2498
sent
17. lı́m (con t en radianes)
t→0 t
t −0.1 −0.01 −0.001 0.001 0.01 0.1
f (t) 0.9983
1 − e4−y y 3.9 3.99 3.999 3.9999
18. lı́m
y→4− 4y − y2 f (y) −0.2519
t 0.0001 0.001 0.01 0.1
19. lı́m t lnt
t→0+ f (t) −0.0069
polinomios
raı́ces
logaritmos
funciones exponenciales
funciones trigonométricas
entonces
lı́m f (x) = f (c)
x→c
siempre que f (c) esté definido.
1.2. Teoremas sobre lı́mites 9
Una implicación del teorema anterior es que para las funciones mencionadas el lı́mite se
puede calcular simplemente sustituyendo x = c, siempre que la función esté definida en c.
Ejemplo 4
√
z2 + 7
Calcular lı́m .
z→3 z − 1
Ejercicios
Calcule
26. lı́m t 2 + 3t h2
t→−2 31. lı́m
p h→4 h2 − 9
27. lı́m 1 + z3
z→3 2 + 10y
32. lı́m
y→1 y + 5
p
28. lı́m 2y 2y3 + 6
y→5
33. lı́m f (x), donde
29. lı́m 3e p−2 − 5p x→3 (
p→2
2x − 3 si x < 3
30. lı́m u2 − 5u + log2 (u + 1) f (x) =
u→3 4−x si x ≥ 3
1 La
notación f (x)x=a , o simplemente f (x)a se refiere a la función f (x) evaluada en x = a. Si la función
tiene un nombre, como f , es más sencillo escribir f (a). Pero en este ejemplo no tenemos una función con
nombre.
10 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
2
x − 5 si x ≤ −1
Calcule para g(x) = 3x + 2 si −1 < x < 1
2
4x + 2x si x ≥ 1
34. g(−1) 40. lı́m g(x)
x→1+
35. lı́m g(x) 41. lı́m g(x)
x→−1− x→1
36. lı́m g(x) 42. g(0)
x→−1+
37. lı́m g(x) 43. lı́m g(x)
x→−1 x→0−
Ejemplo 5
w2 − 1
Calcular lı́m .
w→−1 w + 1
w2 − 1
Primero notemos que la función no está definida en −1:
w+1
w2 − 1
0
=
w + 1 w=−1 0
w2 − 1 (w + 1)(w − 1)
lı́m = lı́m = lı́m w − 1
w→−1 w + 1 w→−1 w+1 w→−1
1.3. Cálculo de lı́mites 11
w2 − 1
lı́m = lı́m w − 1 = (−1) − 1 = −2
w→−1 w + 1 w→−1
Ejemplo 6
√
y−3
Calcular lı́m .
y→9 y − 9
Ejercicios
Simplifique cada expresión y calcule su lı́mite
2t 2 − t − 3 55. lı́m ln(t 3 + 2t 2 ) − ln(3t + 6)
46. lı́m t→−2
t→−1 t +1
2x + x2 y−4
47. lı́m 56. lı́m √
x→−2 2 + x y→4 y − 2
y2 + 3y − 4 y − k2
48. lı́m 57. lı́m √ , con k > 0
y→1 y−1 y→k2 y − k
cw2 − 3c2 w
49. lı́m 3x − x2
w→3c w2 − 9c2 58. lı́m √
x→3 1 + 1 + x
2x2 − 5x − 3
50. lı́m 3 √
x→3 x + 5x − 3x2 − 15 4 − 2t + 11
59. lı́m
3h2 − 5h t→5/2 2t − 5
51. lı́m
h→0 4h √
2 y+6+y
u + 42 13u 60. lı́m
52. lı́m + y→−2 y+2
u→−6 u + 6 u+6 √ √
p2 − 3p 2 u+ a
53. lı́m p 61. lı́m
p→3 3e − pe p u→a 4u − a
52y − 1 p3 + p2 − 2
54. lı́m y 62. lı́m √
y→0 5 − 1 p→1 2 − p + 3
Ejemplo 7
5r
Calcular lı́m .
r→−4 r + 4
La tabla de valores es ası́:
→
r −4.5 −4.1 −4.001 −4.00001 −4
(por la izquierda)
f (r) 45 205 20005 2000005 6 ∃
→
←
r −4 −3.99999 −3.999 −3.9 −3.5
(por la derecha)
f (r) 6 ∃ −1999995 −19995 −195 −35
←
f (r)
Cuando es x el que crece o decrece sin cota (en sı́mbolos, x → ∞ o x → −∞), entonces se
habla de un lı́mite al infinito.
Ejemplo 8
Con la misma función del ejemplo anterior, veamos qué sucede cuando r → ∞:
r 100 10000 1000000 → ∞
f (r) 4.8077 4.9980 4.99998 → 5
La tabla confirma lo que podemos ver también en el gráfico del ejemplo anterior:
5r
que lı́m = 5.
r→∞ r + 4
Ejercicios
Estime a partir del gráfico
Si el denominador g(x) tiende a cero y el numerador f (x) tiende a otro número (distinto
de cero), entonces el lı́mite es infinito positivo o infinito negativo. En ese caso basta con
encontrar los signos de f (x) y g(x) para determinar el signo del resultado. Escribimos
a
= ±∞ para cualquier a ∈ IR − { 0 }.
0
Para logaritmos:
( (
−∞ si b > 1 ∞ si b > 1
logb 0 = y logb ∞ =
∞ si 0 < b < 1 −∞ si 0 < b < 1
16 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
Ejemplo 9
1−y
Calcular lı́m .
y→2 2 − y
Aquı́ el denominador tiende a cero pero el numerador no: el lı́mite es de la forma
−1
= ±∞
0
Para determinar el signo necesitamos conocer los signos del numerador y del
denominador.
Cuando y → 2, el numerador 1 − y tiende a −1 y entonces es claramente negati-
vo. Pero el denominador 2−y tiende a 0 y entonces puede ser positivo o negativo
dependiendo de si y → 2 por la izquierda o por la derecha.
Entonces separamos los dos lı́mites laterales.
Por la izquierda, cuando y → 2− , el denominador 2−y tiende a 0 pero es positivo
(por ejemplo, con y = 1.999 se tiene 2−y = +0.001). Entonces la fracción entera
es negativa: numerador negativo y denominador positivo. Ası́ lo escribimos:
1 − y −1
lı́m = + = −∞
y→2− 2 − y 0
(donde 0+ denota una cantidad que tiende a cero pero es positiva).
Por la derecha, cuando y → 2+ , el denominador tiende a 0 pero es negativo (por
ejemplo, con y = 2.001 se da 2 − y = −0.001). Entonces
1 − y −1
lı́m = − = +∞
y→2+ 2 − y 0
Ejemplo 10
z
Calcular lı́m .
z→1 |1 − z|
En este lı́mite, como en el ejemplo anterior, tenemos un denominador que tiende
a cero y un numerador que tiende a otro número. Especı́ficamente, la forma de
este lı́mite es 01 .
Entonces el lı́mite será +∞ o −∞ dependiendo de los signos. El numerador es
positivo cuando z → 1, y el denominador, aunque tiende a cero, esta vez no tiene
ambigüedad de signo por el valor absoluto: el denominador es también positivo
siempre.
Por eso el lı́mite es 1/0+ = +∞ por ambos lados.
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos 17
Cocientes de polinomios
Veamos un atajo para calcular el lı́mite al infinito de un cociente de polinomios. Si
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · y q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · ·
son dos polinomios de grados n y m respectivamente, entonces el lı́mite de su cociente cuan-
do x → ±∞ puede calcularse tomando solo los términos principales (con grado más alto) de
cada polinomio:
p(x) an xn
lı́m = lı́m
x→±∞ q(x) x→±∞ bm xm
Ejemplo 11
5 − 2t 2 1 − 4y + 3y2 2u5 + u2
Calcular lı́m , lı́m y lı́m .
t→∞ 6t 3 + t + 1 y→∞ 6y − 5y2 u→−∞ u2 − 4
5 − 2t 2 −2t 2 −1 −1
lı́m = lı́m = lı́m = =0
t→∞ 6t 3 + t + 1 t→∞ 6t 3 t→∞ 3t ∞
1 − 4y + 3y2 3y2 3 3
lı́m = lı́m = lı́m = −
y→∞ 6y − 5y2 y→∞ −5y2 y→∞ −5 5
2u5 + u2 2u5
lı́m 2
= lı́m 2
= lı́m 2u3 = 2(−∞)3 = 2(−∞) = −∞
u→−∞ u − 4 u→−∞ u u→−∞
Ejemplo 12
p
Calcular lı́m v − 3v2 − 2.
v→∞
Este lı́mite tiene la forma indeterminada ∞ − ∞. Puede sacarse v2 como factor
común de la raı́z, y luego v como factor común de la diferencia:
p q
lı́m v − 3v2 − 2 = lı́m v − v2 (3 − 2v−2 )
v→∞ v→∞
p
= lı́m v − v 3 − 2v−2
v→∞
p
= lı́m v(1 − 3 − 2v−2 )
v→∞
√
= ∞(1 − 3 + 0) = −∞
la raı́z se debe a que 2v−2 = 2/v2 → 2/∞2 = 0, y el signo final
(el cero dentro de √
se debe a que 1 − 3 ≈ −0.732 es negativo).
18 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
Ejemplo 13
√
5x2 + x
Calcular lı́m .
x→−∞ 2x + 3
Para esto se puede sacar x2 como factor común de la raı́z, y x como factor común
del denominador
√ (note que como ahora x → −∞, entonces x es negativo, por lo
2
que x = |x| = −x):
√ p
5x2 + x x2 (5 + x−1 )
lı́m = lı́m
x→−∞ 2x + 3 x→−∞ x(2 + 3x−1 )
√
−x 5 + x−1
= lı́m
x→−∞ x(2 + 3x−1 )
√
− 5 + x−1
= lı́m
x→−∞ 2 + 3x−1
√ √
− 5+0 − 5
= =
2+0 2
Ejemplo 14
3 + 0.7t
Calcular lı́m .
t→∞ 4 + 2−t
Encontremos primero los lı́mites de 0.7t y de 2−t . El primero es inmediato:
o que
1 1
lı́m 2−t = 2−∞ = = (b∞ = ∞ cuando b > 1)
t→∞ 2∞ ∞
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos 19
Ejemplo 15
2t + 1
Calcular lı́m ln 2 .
t→∞ t +4
Veamos primero cuánto es el lı́mite de la fracción dentro del logaritmo. Recor-
dando que para calcular un lı́mite al infinito de un cociente de polinomio basta
con tomar los términos principales, tenemos que
2t + 1 2t 2
lı́m = lı́m = lı́m =0
t→∞ t 2 + 4 t→∞ t 2 t→∞ t
2t + 1
Entonces lı́m ln 2 = ln(0) = −∞.
t→∞ t +4
Ejercicios
Calcule
x2 + 3x 1 2−y
85. lı́m 92. lı́m −
x→1 x − 1 y→5 y (5 − y)2
1−h p+2
86. lı́m 93. lı́m
h→0 h p→−1 ln(p + 2)
2 + x + x2 e−t
87. lı́m 94. lı́m
x→3 6 + x − x2 t→0 1 − e−t
√
2t − 1 1− p+3
88. lı́m 2 4 95. lı́m
t→0 t − t p→−2 (p + 2)2
r
1 4c
89. lı́m 2 96. lı́m
h→−3 h − 9 c→4+ c−4
t −6 t − 6
90. lı́m 97. lı́m
t→5 t − 5 t→5 t − 5
1−u |x − 2| − 3
91. lı́m 98. lı́m
u→3 6 − 2u x→5 1 − |4 − x|
20 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
t −1 h2 − 1
99. lı́m 116. lı́m √
t→−2 |t + 2| h→−∞ 3h + 5h4
1−u √
100. lı́m 1− t
u→3 |6 − 2u| 117. lı́m √
t→∞ 1 + t
3−u √
101. lı́m 2u − 5 + 1
u→∞ 2u − 1 118. lı́m √
u→∞ 1 + 3 2u
1−u
102. lı́m s
u→∞ 6 − 2u
4t 2 − 5
x+8 119. lı́m
103. lı́m t→∞ t + 9t 2
x→−∞ x2 − 5x + 1
2w − 3
3y − 5y2 120. lı́m √
104. lı́m w→−∞ w − 1 − w
y→−∞ 2y − 9 p
x2 − 4 121. lı́m y3 + 1 + y3 + y6
y→−∞
105. lı́m
x→−∞ x3 + 2x2 + x + 2
2−u
2w3 − 5w + 6 122. lı́m √
u→∞ 2 + u
106. lı́m
w→∞ 4 − w3 p
123. lı́m 2p − p2 + 1
2t 3 + 1 p→∞
107. lı́m 3 √
t→−∞ 7t + 2t + 8
r − r2 + 1
4z + z2 − z3 124. lı́m
108. lı́m r→∞ r+6
z→∞ 5 + 2z2 √
v+1 v2 + 4
y2 − 1 125. lı́m √ −
109. lı́m v→∞ v2 + 4 2v − 1
y→∞ 3y + 6y3
126. lı́m (2 + 1/h)h
4t 2 − 6t + 3 3t + 5 h→∞
110. lı́m +
t→−∞ 2t 2 + 1 5t − 3 127. lı́m 51/x
x→0
y − 2y + 1 y2 + 6
3
111. lı́m + 2 eq − e−q
y→−∞ y−5 y −y 128. lı́m
1 − r2 4r3 + r
q→∞ 2
112. lı́m − 2 2
r→∞ 2 + r 2r − 5r + 3 129. lı́m
3 u→2 4 − 2u
w 1 − 6w2
113. lı́m − 130. lı́m ln(t 2 − 4) − ln(4t 2 + 1)
w→−∞ 2 + w2 3w + 4 t→∞
2
x +1
114. lı́m −x 131. lı́m log0.5 (x − 5)
x→∞ x + 9 x→5+
3r + 2 10z − 3
115. lı́m √ 132. lı́m log
r→−∞ 4r 2 − r + 1 z→∞ z+8
1.5. Continuidad de una función 21
Resuelva
Note que la igualdad en esta definición implica varias cosas: que existe el lı́mite por la
derecha, que existe el lı́mite por la izquierda, que la función está definida en c, y que los tres
valores son iguales. Es decir,
Ejemplo 16
u−3
Determinar si la función g(u) = es continua en u = 3.
u2 + 2u − 15
Por un lado, el lı́mite lı́mu→3 g(u) es
u−3 u−3 1 1
lı́m = lı́m = lı́m =
u→3 u2 + 2u − 15 u→3 (u − 3)(u + 5) u→3 u + 5 8
Los polinomios, las raı́ces, las funciones exponenciales, las logarı́tmicas y las trigo-
nométricas son continuas en cada punto de su dominio. Y las combinaciones de funciones
continuas también son continuas como dice el siguiente teorema.
Teorema
Si f y g son continuas en a, entonces f + g, f − g y f · g también son continuas en a.
Si además g(a) 6= 0 entonces también f /g es continua en a.
Ejemplo 17
3x2 − 2x + 1
Encontrar los puntos donde la función f (x) = es continua.
x3 − 4x
En primer lugar, f es un cociente de polinomios, por lo que su numerador y su
denominador son continuos en todo IR. Por el teorema anterior, el cociente f (x)
es continuo siempre que su denominador sea distinto de 0.
1.5. Continuidad de una función 23
Los únicos puntos de discontinuidad de f son entonces los puntos donde el de-
nominador es 0:
x3 − 4x = 0 ⇔ x(x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 0, 2 o −2
Entonces f es continua en IR − { 0, 2, −2 }.
Para funciones definidas en trozos no basta con aplicar el teorema anterior a polinomios,
exponenciales y otras funciones que se saben continuas. Eso es porque aunque una función
se defina en trozos a partir de funciones continuas, podrı́a haber una discontinuidad en los
puntos que separan los trozos. Vea el gráfico en el ejemplo 3: cada trozo es continuo pero
hay una discontinuidad en x = 2.
Por regla general, si f está definida en trozos entonces sus puntos de discontinuidad
son los puntos de discontinuidad de cada trozo, y posiblemente los puntos donde se unen o
separan los trozos.
Ejemplo 18
Como p(t) está definida en trozos y cada trozo es continuo en su dominio, en-
tonces el único punto de posible discontinuidad es t = 2, el que divide los trozos.
En ese punto tendremos que recurrir a la definición de continuidad: la función p
será continua en t = 2 solo si los dos lı́mites laterales y el valor de la función en
ese punto son iguales.
Calculemos entonces:
Como los tres valores no son iguales, no se satisface que lı́mt→2 p(t) = p(2)
(especı́ficamente porque el lı́mite no existe), y concluimos que p es discontinua
en 2.
24 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
En el gráfico de p(t) confirmamos que cada trozo es continuo pero hay un salto en t = 2
(debido a lı́mites laterales distintos), lo que causa la discontinuidad.
p(t)
Ejemplo 19
Continuando con el ejemplo anterior, consideremos una función q(t) con la si-
guiente definición: (
2t 2 − 2t + 2 si t ≤ 2
q(t) =
a−t si t > 2.
donde a es alguna constante.
¿Cuál debe ser el valor de a para que q sea continua en todo IR?
Esta nueva función es casi idéntica a la función del ejemplo anterior excepto que
el trozo derecho tiene a − t en vez de 12 − t. Al igual que en el caso anterior de
p(t), como los dos trozos son continuos el requisito para que q sea continua en
IR se reduce a que sea continua en t = 2. Para eso se necesita que los siguientes
tres valores sean iguales:
El gráfico de q(t) para a = 8, abajo, muestra la semejanza con p(t) y también la diferencia
principal: el trozo derecho está trasladado hacia abajo de modo ahora que los dos trozos
“empatan” y no hay salto en el gráfico.
q(t)
Ejercicios
4x − 8
139. f (x) = en x = 2
x2 − 4
6t 2 − 5t + 1
140. h(t) = en t = 3
3t 2 − 18
(
8x − 5 si x < −1
141. g(x) = en x = −1
10x − 2x2 si x ≥ −1
4 − r
si r < −1
142. p(r) = 4 si r = −1 en r = −1
2r + 7 si r > −1
(
|4 − x| si x > −5
143. y(x) = en x = −5
|3x + 6| si x < −5
26 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
146. f (u) = 1 − u2
1/2 si u = ±1
3u − 5 si u 6= −5
147. p(u) = u + 5
4 si u = −5
(
2x − 5 si x < 3
148. f (x) =
7−x si x ≥ 3
6 − t
si t < −2
149. r(t) = 10 + t si −2 ≤ t < 1
5 + 6t si t > 1
t
si t < 0
150. q(t) = t −t 1
si t > 0
t +1
x+5 si x < −1
151. g(x) = x2 + 2x
x − 3 si x ≥ −1
2
y −1
si y < −1
y−1
1
152. h(y) = si −1 < y < 3
y2 − 4
2y2 − 9y + 4
si y ≥ 3
2
y − 3y − 4
(
x2 − 1 si x < a
155. p(x) =
x+1 si x ≥ a
2
si t ≤ −1
156. g(t) = at + b si −1 < t ≤ 3
−2 si t > 3
u + 1
si u ≤ 0
157. r(u) = u2 + a si 0 < u ≤ b
7−u si u > b
C AP ÍTULO 2
Derivadas de funciones
de una variable
f (x) − f (a)
f 0 (a) = lı́m
x→a x−a
si el lı́mite existe.
Una fórmula alterna para la derivada de f en x es
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
Si f 0 (a) existe (el lı́mite existe) se dice que f es derivable en a.
Notación
Si y = f (x), la derivada puede denotarse
dy d
y0 , f 0 (x), o f (x).
dx dx
Ejemplo 1
1
Calcular la derivada de f (x) = en x = 3.
1−x
Usaremos la primera fórmula en la definición porque sabemos en qué punto se
necesita la derivada.
f (x) − f (3)
h0 (3) = lı́m
x→3 x−3
1 2+(1−x)
− (− 12 )
1−x 2(1−x)
= lı́m = lı́m
x→3 x−3 x→3 x − 3
3−x+0 →0
= lı́m
x→3 2(1 − x)(x − 3) →0
−(x − 3)
= lı́m
x→3 2(1 − x)(x − 3)
−1 1
= lı́m =
x→3 2(1 − x) 4
Entonces f 0 (3) = 1/4.
El hecho de que durante el cálculo del lı́mite en el ejemplo anterior nos encontráramos la
forma 0/0 no debe sorprendernos. Eso será usual, porque al intentar calcular
f (x) − f (a)
lı́m
x−a x→a
1 Esto sucederá siempre que f sea continua en a, porque entonces lı́mx→a = f (a).
2.1. Derivada de una función en un punto 31
Ejemplo 2
√
Calcular la derivada de r(t) = 1 − 6 − 3t en t = −1.
r(t) − r(−1)
r0 (−1) = lı́m
t→−1 t − (−1)
√
1 − 6 − 3t − (−2) → 0
= lı́m
t→−1 t +1 →0
√ √
3 − 6 − 3t 3 + 6 − 3t
= lı́m · √ (racionalizar)
t→−1 t +1 3 + 6 − 3t
9 − (6 − 3t)
= lı́m √
t→−1 (t + 1)(3 + 6 − 3t)
3 (1 + t)
= lı́m √
t→−1 (t + 1)(3 + 6 − 3t)
3 3 1
= p = =
3 + 6 − 3(−1) 6 2
Entonces r0 (−1) = 12 .
Ejemplo 3
h(x + u) − h(x)
h0 (x) = lı́m
u→0 u
[(x + u)2 − 3(x + u)] − [x2 − 3x]
= lı́m
u→0 u
[x + 2xu + u − 3x − 3u] − x2 + 3x
2 2
= lı́m
u→0 u
2
2xu + u − 3u → 0
= lı́m
u→0 u →0
u(2x + u − 3)
= lı́m
u→0 u
= lı́m 2x + u − 3
u→0
= 2x − 3
d
Es probable que su calculadora tenga una tecla dx , que se usa para calcular deri-
d/dx
vadas.
Para la derivada en el ejemplo 1, use esa tecla y escriba la fórmula de la función
y el punto donde se evaluará la derivada, de modo que la pantalla diga
d 1
dx 1 − X x=3
Ejercicios
Regla del producto por constante: si f es una función derivable y c ∈ IR, entonces
(c f )0 = c f 0
( f + g)0 = f 0 + g0
f 0 (x) = nxn−1
lo cual coincide (recordando que la derivada es la pendiente de la recta tangente) con lo que
siempre hemos sabido: la pendiente de una recta y = mx + b es igual a m.
Ejemplo 4
Usando las reglas anteriores, ası́ calculamos estas derivadas:
√
(2t 2 − 3t + t)0 = (2t 2 )0 − (3t)0 + (t 1/2 )0
1
= 2 · 2t 1 − 3 · 1t 0 + 21 t −1/2 = 4t − 3 + √
2 t
2.2. Derivada de una función 35
0
(3r + 2)(1 − r) = [−3r2 + r + 2]0
= −3 · 2r + 1t 0 = −6r + 1
0 0
2u3 + u 2u3
u
= + 2
3u2 3u2 3u
= ( 23 u + 13 u−1 )0 = 32 − 13 u−2
Cuando se usen reglas de derivación para calcular la derivada de una función en un punto
particular, por ejemplo f 0 (a), debe calcularse primero la derivada f 0 (x) en cualquier punto,
y luego evaluarla en x = a.
Ejemplo 5
√
Calcular q0 (2) para q(r) = 5r(r − 2r).
Como acabamos de decir, primero calcularemos q0 (r) y después la evaluaremos
en r = 2.
Pero antes de derivar llevemos la expresión q(r) a una forma en que podamos
aplicar las fórmulas vistas:
√ √ √
q(r) = 5r(r − 2r) = 5r(r − 2 r)
√
= 5r2 − 5 2 r3/2
q0 (2) = 10(2) − 15
p
2 2(2) = 20 − 15
2 ·2 = 5
Ejercicios
Derive
23. x9 5w + 1 6w − 2
36. −
w w2
24. 5t 3 √ 1
25. 7 4 37. r r + 2 √
4u r r
26. 12y−3 38. (2u + 3)(3u2 − 1)
27. 6r1/3 39. x(3x2 − 7x + 7)
28. 13t 4 − 5t 2 + 6t 2
40. 3t t −
2
t
29. 12y3/2 − 6y1/2 − 3y−1
41. (s2 + s + 1)(s2 + 2)
30. −5x2 + 3x − 6
11q 9 √ 2 1
31. + 42. 2 y y −
4 5 y
2 1 43. (v2 + 2v)(v + 1) − 6v2 + 5
32. − u + 0.5u2
3 5 44. (6w − 4)2
5(y4 − 3) √ 3 √
33. 45. x(x − x + 1)
2 p √
√ 6 y5 − 9 y
8 46.
34.
p
x 5 3 y3
√
5t 2 − 3t + 1 40t 5 − t 3 t
35. 47. √
t2 5t 2 t
Ejemplo 6
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 − 5x en x = 1.
Como sabemos, para encontrar la ecuación de una recta en un plano se necesitan
un punto y una pendiente.
2.2. Derivada de una función 37
y = x2 − 5x
y=−
3x −
1
Recuerde que dos rectas son normales (ortogonales, perpendiculares) entre sı́ cuando se
intersecan forman un ángulo recto. Esto sucede cuando el producto de sus pendientes es −1.
Especı́ficamente, si L1 y L2 son dos rectas con pendientes respectivas m1 y m2 , entonces
L1 y L2 son normales ⇔ m1 · m2 = −1
Como la recta tangente tiene pendiente m1 = f 0 (a), entonces la normal tiene pendiente
−1
m2 =
f 0 (a)
suponiendo que f 0 (a) 6= 0. Si fuera f 0 (a) = 0 entonces la tangente serı́a horizontal, y la
normal vertical.
Ejemplo 7
Sea g(x) = x + 6x−1 . Encontrar, para el gráfico de y = g(x):
a. La ecuación de la recta normal en x = −3.
b. Los puntos donde la recta normal es paralela a la recta y = 2x + 4
Para contestar cada una de esas preguntas necesitaremos conocer la derivada de
g(x), ası́ que empecemos por ahı́:
g0 (x) = 1 − 6x−2
Ejercicios
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado
Ejemplo 8
Si un monto de $5000 se invierte a una tasa de interés anual de 3 %, entonces su
valor a los t años será aproximadamente A(t) = 5000 + 148t + 2.15t 2 + 0.025t 3 ,
en dólares.
Calculemos la tasa de incremento anual del valor de la inversión a los tres años,
y a los siete años.
40 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
A los tres años la tasa de incremento es A0 (3) = 161.575. Como A está en dólares
y t en años, la derivada está en dólares por año: la tasa de incremento a los tres
años es 161.575 dólares por año.
A los siete años la tasa es A0 (7) = 181.775: la inversión crece a la tasa de 181.775
dólares por año.
Ejercicios
Resuelva
59. El valor de una maquinaria a los t años de comprada es V (t) = 120 000 − 8000t en
dólares. ¿Cuál es la tasa de depreciación (pérdida de valor) en el momento de ser
comprada? ¿Diez años después?
60. El valor de una maquinaria a los t años de comprada es V (t) = 350(t − 15)2 en
dólares. ¿Cuál es la tasa de depreciación (pérdida de valor) en el momento de ser
comprada? ¿A los cinco años? ¿A los diez años? ¿A los quince años?
61. Un proyectil se lanza hacia arriba, y su altura t segundos después es
h(t) = −4.9t 2 + 17t + 2 en metros. ¿Cuál es su velocidad al ser lanzado? ¿Después
de un segundo? ¿Después de tres segundos?
62. El salario mensual de una persona está dado por
S(m) = 800 000 + 21 320m − 75.9m2 + 3.7m3 , en millones de colones a los m meses
de su contratación. ¿Cuál es la tasa de aumento del salario mensual al año de la
contratación? ¿A los 2.5 años? ¿A los diez años?
2.3. Reglas de derivación 41
(u · v)0 = u0 · v + u · v0
Ejemplo 9
La derivada del producto t 1/3 (t 2 − 3t) es2
h i0
t (t − 3t) = (t 1/3 )0 · (t 2 − 3t) + t 1/3 · (t 2 − 3t)0
1/3 2
2 En este caso particular la regla del producto no es estrictamente necesaria, porque podrı́amos desarrollar
el producto para usar otras fórmulas más básicas: t 1/3 (t 2 − 3t) = t 7/3 − 3t 4/3 . Pero en la sección 2.4 veremos
casos en los que la regla del producto será inevitable.
42 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
Ejemplo 10
2y − 1
La derivada del cociente es
3y + 5
0
(2y − 1)0 · (3y + 5) − (2y − 1) · (3y + 5)0
2y − 1
=
3y + 5 (3y + 5)2
(2)(3y + 5) − (2y − 1)(3) 13
= =
(3y + 5)2 (3y + 5)2
Ejemplo 11
√
(x − 1)(1 − x)
Derivar y = .
x2 + 1
Esta función tiene un producto y un cociente, por lo que vamos a usar las reglas
del producto y del cociente.
Como lo “más grande” aquı́ es el cociente (porque el producto es parte del co-
ciente y no al revés), entonces se empieza por la regla del cociente. Luego, en el
momento de calcular la derivada del numerador le tocará el turno a la regla del
producto.
√ 0
0 (x − 1)(1 − x)
y =
x2 + 1
√ 0 √
(x − 1)(1 − x) · (x2 + 1) − (x − 1)(1 − x) · [x2 + 1]0
=
(x2 + 1)2
√ √ √
(x − 1)0 (1 − x) + (x − 1)(1 − x)0 (x2 + 1) − (x − 1)(1 − x)[2x]
=
(x2 + 1)2
√ √
1(1 − x) + (x − 1)(− 12 x−1/2 ) (x2 + 1) − 2(x2 − x)(1 − x)
=
(x2 + 1)2
√
(1 − 32 x1/2 + 12 x−1/2 )(x2 + 1) − (2x2 − 2x)(1 − x)
=
(x2 + 1)2
2.3. Reglas de derivación 43
Ejemplo 12
3p + 1
Calcular la derivada de q = (1 − p2 ) .
5p − 2
Aquı́ tenemos, como en el ejemplo anterior, un producto y un cociente. Pero esta
vez el producto es lo “más grande” porque el cociente es parte del producto y no
al revés. Entonces empezamos por la regla del producto, y al derivar el segundo
factor usaremos la regla del cociente.
3p + 1 0
0 3p + 1
2 0 2
q = (1 − p ) · + (1 − p ) ·
5p − 2 5p − 2
" #
3p + 1 (3p + 1)0 (5p − 2) − (3p + 1)(5p − 2)0
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
3p + 1 3(5p − 2) − (3p + 1)(5)
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
3p + 1 −11
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
Ejercicios
Derive
63. (x2 − 3x + 5)(4x3 + x − 7) u2 + 2
71.
u2 + u + 1
64. (s3 + s − 1)(s2 − 4)
√ ax + b
65. y2 (1 + y) 72. con respecto a x
cx + d
√ √
66. 3 t ( t + 3) y y−1
√ 73. −
67. (5w2 − 2)(2 w − 1/w) y+1 y+3
z4 + 5 2x − 1
68. 74. (3x + 1)
3+z 2x + 1
3x + 2 √ 1
69. 2 75. t 2 − 3 +
x − 5x + 3 3−t
t +1 (s + 1)(s2 + 1)
70. 2 76.
t + 2t + 2 s−2
44 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
x+1 1
77. (2x − 5) 4−
x+2 82. 1−t
78. (1 − 2p)(3p + 2)(p2 + 1) t −2
√
79. 6 u (u4 + u + 1)(2u − 3)
u + 1 u2 + 2
·
4 2 83.
80. w 1− u−1 5+u
w+1
2 3 (4r + 6)(2 + 3r)
81. 1− 84.
x+1 x+1 r(1 − 2r)
85. ( f g)0 (2), dado que f (2) = −1, g(2) = 3, f 0 (2) = 1 y g0 (2) = −2
86. h0 (−1), dado que h(x) = x2 p(x), p(−1) = 4 y p0 (−1) = 2
87. ( f /g)0 (5), dado que f (5) = −2, g(5) = −1/2, f 0 (5) = 4 y g0 (5) = 2
√
88. q0 (4), dado que q(x) = f (x)/ x, f (4) = −3 y f 0 (4) = 0
Resuelva
94. La velocidad de un avión t segundos después del despegue está dada por
180t + 2
v = 83 m/s. ¿Cuánto es la aceleración (la tasa de cambio de la velocidad)
60t + 2
10 s después del despegue?
95. Para una cierta pelı́cula, el ingreso total por taquilla n meses después del
95n2
lanzamiento está dado por la función I(n) = 2 , en millones de dólares. Calcule
n +3
I 0 (12) e interprete el resultado.
2.3. Reglas de derivación 45
Regla de la cadena
Si f y g son dos funciones derivables en IR, la regla de la cadena dice que
Ejemplo 13
√
Calcular la derivada de y = x2 + 3x.
Esta es la composición de dos funciones: la externa es la raı́z cuadrada y la
interna el polinomio x2 + 3x.
√
Si pensamos en u = x2 + 3x (la función interna) entonces y = u (la función
externa). Por la regla de la cadena, la derivada de la composición es el producto
de la derivada de la raı́z cuadrada por la derivada del polinomio.
La derivada de la raı́z cuadrada es y0 = 12 u−1/2 , y la derivada del polinomio es
u0 = 2x + 3. Entonces, por la regla de la cadena,
1
y0 = u−1/2 · u0
2
= 12 (x2 + 3x)−1/2 · (2x + 3)
46 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
En los dos ejemplos siguientes tenemos una función consistente en un cociente y una
composición pero en distinto orden. Es importante aplicar las reglas de derivación “de afuera
hacia dentro”, derivando primero la operación más grande.
Ejemplo 14
3
t
La función u(t) = tiene un cociente (la función interna) dentro de
t +1
un cubo (la función externa). Aquı́ lo más grande es la composición porque el
cociente está dentro de la composición, y no al revés.
Usamos entonces primero la regla de la cadena: derivada del cubo por derivada
del cociente. Para la derivada del cociente usaremos después la regla del cocien-
te.
" 3 #0 2 0
0 t t t
u (t) = =3 ·
t +1 t +1 t +1
2
(t)0 (t + 1) − t(t + 1)0
t
=3 ·
t +1 (t + 1)2
2
3t 2
t 1
=3 =
t + 1 (t + 1)2 (t + 1)4
Ejemplo 15
x
En la función h(x) = √ hay, como en el ejemplo anterior, una composi-
1 − 2x
ción y un cociente, pero ahora el cociente es lo más grande porque contiene a la
composición (y no al revés).
√ √
0 · 1 − 2x − x · ( 1 − 2x)0
(x)
h0 (x) = √ 2
1 − 2x
√ h
1/2
i0
(1) · 1 − 2x − x · (1 − 2x)
=
1 − 2x
√ h i
1 − 2x − x 12 (1 − 2x)−1/2 · (1 − 2x)0
=
1 − 2x
√
1 − 2x − 21 (1 − 2x)−1/2 · (−2)
=
1 − 2x
√
1 − 2x + x(1 − 2x)−1/2
=
1 − 2x
Ejercicios
Derive
98. 3(5 − 6x)5 2t − 5
√ 108.
3 (t 3 − 4)2
99. 9t 2 + 5
1 109. (p2 − 5p)3 (2p + 1)5
100. √ √
(16u + 1)3 110. 3 3q + 1 · 5 5q − 1
p
101. 20 5 (y3 + 4y)2 (6r − 5)3
√ 111.
102. 105(4w2 − 7)3 − 1 − 5w (7r + 2)4
p
103. y 1 − y2 3t 4
√ 112. √
104. (5u + 1 − 3u)2 t 2 − 5t
p √ √
105. v+ v v3 − v
113.
x−7 3 (2v + 1)4
106.
x+2
p
114. 3w(4w + 2)3
r
3x 3 4
107. 115. 2 5
(y + 3) + 1 − 2
5−x
48 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
Note que las fórmulas para cualquier base se aplican también para las funciones naturales,
porque si b = e entonces, según las fórmulas generales
(ex )0 = ex ln e = ex
y
1 1
(ln x)0 = (loge x)0 = =
x ln e x
en ambos casos porque ln e = 1.
Ejemplo 16
2 −5x
Encontrar la derivada de 23x .
Aquı́ tenemos una composición donde la función interna es 3x2 − 5x y la externa
es la función exponencial con base 2. Usando la regla de la cadena obtenemos
2 0 2 2
23x −5x = 23x −5x ln 2 · (3x2 − 5x)0 = 23x −5x (6x − 5) ln 2
50 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
Ejemplo 17
2x + 3
Derivar y = ln .
4 − 3x
Veamos dos métodos, primero derivando de inmediato y luego simplifcando el
logaritmo antes de derivar.
2x + 3 0
0
1 2x + 3
ln = 2x+3
4 − 3x
4−3x
4 − 3x
4 − 3x (2)(4 − 3x) − (2x + 3)(−3)
= ·
2x + 3 (4 − 3x)2
4 − 3x 17 17
= · =
2x + 3 (4 − 3x)2 (2x + 3)(4 − 3x)
2x + 3
y = ln = ln(2x + 3) − ln(4 − 3x)
4 − 3x
1 1
⇒ y0 = (2x + 3)0 − (4 − 3x)0
2x + 3 4 − 3x
2 3
= +
2x + 3 4 − 3x
Ejemplo 18
√ 3
5
4t + 1
Calcular la derivada de p(t) = ln t .
e (6t + 2)
Note que esta función contiene un logaritmo, una raı́z, una potencia, un producto
y un cociente. Serı́a mala idea derivarla usando la regla de la cadena tres veces
2.4. Derivadas de funciones algebraicas, exponenciales y logarı́tmicas 51
y también las reglas del producto y del cociente. Es mejor simplificar primero
usando propiedades de logaritmos.
√ 3
4t + 1
p(t) = 5 ln t
e (6t + 2)
h √ i
3 t
= 5 ln 4t + 1 − ln e (6t + 2)
= 5 31 ln(4t + 1) − ln et + ln(6t + 2)
= 5 13 ln(4t + 1) − t − ln(6t + 2)
= 53 ln(4t + 1) − 5t − 5 ln(6t + 2)
Hasta aquı́ no hemos derivado nada, pero gracias al esfuerzo por simplificar
primero, la derivada ahora es casi inmediata:
5 1 1
p0 (t) = · ·4−5−5· ·6
3 4t + 1 6t + 2
20 30
= −5−
12t + 3 6t + 2
Ejercicios
Derive
131. 2t + et 141. (w2 + 1)e3w
2
132. eu − e−u 142. e2x −5x+3
133. 3 · 5r − rer 3x2 e5−2x
143. 2
134. (1/2)x + 2x xe5−x
√ u
1 2y 4y
144. ue + u
135. 2 (e − 3e )
√ 145. (q − 3eq/3 )5
136. 3 ln t
ex − 1
137. ln x5 − 3 ln x2 146. x
e +1
3u ln(t + 1)
138. ln 2 147.
u −1 t +1
139. 8 log y 148. y102−5y
√ √
140. log2 5 x 149. ln(t t 2 + 1)
52 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
" 2
#
(p3 − 1)e−p 155. (q2 + q) ln(5q2 + 1)
150. ln √
1 − 5p
156. ww+1
151. log(3r2 − 5r)
√ 157. ln2 (ln(2z3 − 8z))
152. ln(s − s2 − 1)
√ √
153. 1 + ln z + ln(1 + z) 158. e3x g(ln2 x), donde g es una función
154. ln2 (2y + 6) derivable
puede ser derivada. Y esa “segunda” derivada será otra función que se puede derivar. Esas
derivadas de derivadas son lo que se llama derivadas de orden superior.
De manera natural se definen las derivadas de orden superior. Por ejemplo, la tercera
derivada de f (x), también llamada derivada de orden 3 o de tercer orden, es
0
f 000 (x) = f 00 (x)
Para simplificar la notación se puede escribir también y(2) en vez de y00 , y(3) en vez de y000 ,
etc. (en esta notación, y(1) significa y0 y y(0) es simplemente y).
Con esa notación, las derivadas de orden superior se definen como sigue.
d2 y n
00 , y en general d y para y(n) .
Otra notación usual es para y
dx2 dxn
Ejemplo 19
Las tres primeras derivadas de w = 2t 3 − 5t − 6t −1 son
w0 = 6t 2 − 5 + 6t −2
w00 = 12t − 12t −3
w000 = 12 + 36t −4
Ejemplo 20
Las primeras derivas de y = ex son y0 = ex , y00 = ex , y000 = ex , etc. En general,
y(n) = ex para todo n = 1, 2, 3, . . ..
Las primeras derivadas de y = 3x2 − 7x + 4 son
y(1) = 6x − 7
y(2) = 6
y(3) = 0
y(4) = 0
Ejercicios
Calcule la derivada que se indica
170. (t 2 − 5e3t )00 177. d3 z/dq3 si z = e1−4q
√
171. ( x2 + 1)00 178. d5 q/dw5 si q = 4w2 − 6w − 9
000
1 − 2s
r
172. 179. d2 x/ds2 si x =
1−r 1 + 2s
√ 180. d2 y/dx2 en (−1, 4) si x2 − xy = 5
173. (u2 − 5u + u + u−1 )(4)
174. (ln p)(6) 181. d2 q/dp2 en (0, 2) si q + p ln q = 2
4
(2) 182. d2 r/dt 2 si r3 + t 3 = 1
175. √
1−s 183. d4 x/dt 4 si x + t + ex+t = 1
176. d2 y/dx2 si y = 3x5 − 4x2 + 3x + 1 184. d2 z/dw2 si z2 = ew+z
C AP ÍTULO 3
Aplicaciones de la derivada
Ejemplo 1
Si el costo de producir q unidades de un artı́culo es C(q) = 1200 + 8q + 0.003q2 ,
entonces:
56 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
1200 + 8q + 0.003q2
C̄(q) = = 1200q−1 + 8 + 0.003q
q
Por ejemplo, al producir 50 unidades el costo promedio de cada una es
C̄(50) = 32.15. Al producir 100 unidades el costo promedio se reduce a
C̄(100) = 20.30 cada una1 .
El costo promedio marginal es C̄0 (q) = −1200q−2 + 0.003.
Por ejemplo, que
C̄0 (100) = −0.117
significa que al producir la unidad número 101 el costo promedio disminu-
ye aproximadamente en 0.117 por unidad.
Ejercicios
Calcule la función de costo marginal y el valor del costo marginal
para cada función de costo y cada nivel de producción
1. C = 640 + 3.2q; q = 29
2. C = 0.4q2 + 2.4q + 960; q = 2.8
3. C = −0.01q3 + 2.142q2 − 79q + 3207; q = 45
4. C = 0.02q3 − 0.5q2 + 4q + 7250; q = 30
5. C = 2q + 1000
1 Es
usual que entre mayor sea el número de cantidades producidas, menor sea el costo promedio de cada
una. A esto se refiere el concepto de economı́a de escala.
3.1. Derivada como razón de cambio 57
6. C = 0.1q2 + 3q + 2
7. C̄ = 0.02q + 9 + 800/q
8. C̄ = 120 + 2400/q
9. C = 380 + 2.5q; p = 4
10. C = 1.8q + 300; p = 3.7
11. C = 0.4q2 + 2.4q + 960; p = 50
12. C = 0.1q2 + 3q + 2; p = 5
13. C = 0.02q3 − 0.5q2 + 4q + 7250; p = 215
14. C = −0.01q3 + 2.142q2 − 79q − 3207; p = 72
Resuelva
20. En un grupo
√ de mil personas, el número de ellas que viven hasta los x años es
N(x) = 100 100 − x (para 0 ≤ x ≤ 100). Calcule N 0 (75) e interprete.
21. En la sección ?? veremos que si una cantidad P de dinero se invierte a una tasa de
interés anual r compuesta continuamente , entonces a los t años el valor de la
inversión será A = Pert . Compruebe que la tasa de cambio relativa del valor con
respecto al tiempo es r. (La tasa de cambio relativa de y es y0 /y.)
22. Según C. F. Richter, el número de terremotos de magnitud M o mayor, por unidad
de tiempo, es N = 10a−bM , donde a y b son constantes. ¿A qué tasa cambia el
número N de terremotos con respecto a la magnitud M?
23. En cierto paı́s se estima que la cantidad de petróleo necesaria para aumentar la
productividad, en número de barriles por cada $1000 de producción, es
f (t) = 1.5 + 0.18te−0.12t , donde t es el número de años transcurridos desde 1965.
Calcule f 0 (25) e interprete.
f (x) f 0 (x)
lı́m = lı́m 0
x→a g(x) x→a g (x)
3.2. La regla de L’Hôpital 59
Recuerde que en el capı́tulo 1 vimos varios métodos para simplificar el lı́mite de una
fracción en una de las formas 0/0 o ∞/∞. Pues ahora podemos agregar uno nuevo: la regla
de L’Hôpital.
Note con cuidado que esta regla se aplica solamente para las formas 0/0 e ∞/∞. Para
otras formas indeterminadas, veremos luego en esta sección cómo ellas se pueden transfor-
mar en una de estas dos que permiten usar la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 2
lnt ∞
El lı́mite lı́m es de la forma , ası́ que
t→∞ t ∞
lnt L’H (lnt)0 1/t 0
lı́m = lı́m = lı́m = =0
t→∞ t t→∞ (t)0 t→∞ 1 1
Ejemplo 3
x + 1 − ex
Calcular el lı́mite L = lı́m .
x→0 x2
Al sustituir x = 0 obtenemos en el numerador 0+1− e0 = 0, y en el denominador
02 = 0, de modo que la forma de este lı́mite es 0/0.
Usamos la regla de L’Hôpital y encontramos
x + 1 − ex L’H (x + 1 − ex )0 1 − ex →0
lı́m = lı́m = lı́m
x→0 x2 x→0 (x2 )0 x→0 2x →0
3.2.2. La forma 0 · ∞
Para lı́mites de la forma 0 · ∞, el producto puede convertirse en un cociente con forma 00
u v
o con forma ∞ ∞ . Especı́ficamente, un producto u · v se reescribe como v−1 o como u−1 para
usar la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 4
El lı́mite lı́m y ln y es de la forma 0 · ∞ (en realidad ln y → −∞, pero el signo
y→0+
ln y
no afecta la forma). Entonces el producto y ln y puede escribirse como para
y−1
calcular el lı́mite de esta manera:
ln y → −∞
lı́m y ln y = lı́m −1
y→0+ y→0+ y →∞
(ln y)0 1/y
L’H
= lı́m −1 0 = lı́m = lı́m −y = 0
y→0+ (y ) y→0+ −y−2 y→0+
nos complicamos porque esta última fracción es equivalente a −y(ln y)2 . ¡Peor que la
original!
En general, al transformar un producto u · v en una fracción u/v−1 o v/u−1 habrá una
buena elección y una mala elección. Elija la que lleve a derivadas más sencillas.
La segunda observación es que en la última lı́nea del ejemplo, después de derivar
pudimos haber continuado ası́:
1/y →0 L’H −y−2 →0 L’H 2y−3 →0
lı́m = lı́m = lı́m
y→0+ −y−2 →0 y→0+ 2y−3 →0 y→0+ −6y−4 →0
y nunca terminarı́amos.
Por el contrario, hay que saber hasta cuándo usar L’H’ôpital y cuándo regresar a lo
básico y aplicar una simplificación algebraica (en este caso, simplemente restar expo-
nentes tan pronto nos deshicimos del ln).
3.2. La regla de L’Hôpital 61
3.2.3. La forma ∞ − ∞
Para la forma ∞ − ∞, se puede separar uno de los términos como factor común para
∞
conseguir una fracción de la forma ∞ .
En general, la expresión u − v puede escribirse como u(1 − uv ) o como v( uv − 1). A dife-
rencia del caso anterior, en este caso ninguna de las dos posibilidades es más complicada de
la otra; cualquiera funciona.
Ejemplo 5
ex ∞
Por aparte, la fracción tiende a , ası́ que su lı́mite es
x ∞
ex L’H (ex )0 ex ∞
lı́m = lı́m = lı́m = = ∞
x→∞ x x→∞ (x)0 x→∞ 1 1
Ejemplo 6
0
Ahora este es de la forma 0 y entonces aplicamos L’Hôpital.
0
ln(1 + h) L’H ln(1 + h) 1/(1 + h)
ln L = lı́m = lı́m 0
= lı́m =1
h→0 h h→0 (h) h→0 1
En resumen, ası́ pueden abordarse las siete formas indeterminadas usando la regla de
L’Hôpital.
podrı́a usarse la regla de L’Hôpital tres veces hasta llegar a una forma determinada, pero
es mucho mejor recordar lo que habı́amos dicho sobre lı́mites al infinito de cocientes de
polinomios, lo de tomar los términos principales (aquellos con mayor exponente):
3x3 − 4x + 6 3x3 3
lı́m = lı́m =
x→∞
8 − x2 −2x3 x→∞
−2x3 −2
Listo.
Ejercicios
Calcule
y3 − 2y2 − y + 2 es
24. lı́m 37. lı́m
y→1 y3 − 7y + 6 s→∞ ln s
2v + 1 e1/r
25. lı́m 2 38. lı́m
v→∞ 4v + v r→0+ ln r
√
p+1−2 1 − x + ln x
26. lı́m 39. lı́m 3
p→3 p−3 x→1 x − 3x + 2
e w t
27. lı́m 40. lı́m
t→∞ ln(1 + 2et )
w→∞ w5
e2x − 1 41. lı́m ln u ln(u − 1)
28. lı́m u→1
x→0 x 2
42. lı́m y e−y
e − e2t
t y→∞
29. lı́m
t→0 t 43. lı́m r4 e−1/r
r→0
ew − w − 1
30. lı́m 44. lı́m v2 ln v
w→0 w2 v→0+
r2 45. lı́m z ez
31. lı́m −r z→−∞
r→−∞ e
1 − 2t 46. lı́m e−v ln v
v→∞
32. lı́m √
t→0 t 47. lı́m x ln x
ln z x→0+
33. lı́m √
y
z→∞ 3 z
48. lı́m y ln
ln q y→∞ 1+y
34. lı́m r
49. lı́m (e − 1) ln r
q→∞ q
r→0+
ln u
35. lı́m 2 1/t 5
u→1 u − 1 50. lı́m t ln e −
t→∞ t
(ln w)3
36. lı́m 51. lı́m p − ln p
w→∞ w2 p→∞
64 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
√
52. lı́m te1/t − t 68. lı́m (x − 1) x−1
t→∞ x→1+
y y
53. lı́m 3 − 2
y→∞ 69. lı́m zln(1+z)
z→0
1
54. lı́m + ln z
z→0+ z 70. lı́m (10q + q)1/q
q→∞
55. lı́m s + e−s
s→−∞ 71. lı́m (ey + y)3/y
y→∞
1 5
56. lı́m − 2
x→3 x − 3 x −x−6 72. lı́m (ln r)1−r
r→1
1 1
57. lı́m √ − √
1 y
p→1 2(1 − p) 3(1 − 3 p) 73. lı́m 1 +
t 1 y→∞ y
58. lı́m −
t→1 t − 1 5 x
lnt
3 2 74. lı́m 1 −
59. lı́m −
x→∞ x
s→1 ln s s−1
1 1 75. lı́m (s−2 + 3s−1 + 1)s
s→∞
60. lı́m − q
q→0 q e −1 76. lı́m (u + 1)ln u
u→0+
61. lı́m y1/y
y→∞
1 − v ln v
62. lı́m r 1/(1−r) 77. lı́m
r→1 v→1− v
63. lı́m q3/(4+ln q)
t+1
q→0
1
78. lı́m
t→−1+ t + 1
64. lı́m(1 − t)1/t
t→0 y−1
y
65. lı́m (1 − 2w)1/w 79. lı́m
y→∞ y + 1
w→0
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo I.
A diferencia de las rectas, que son siempre crecientes o siempre decrecientes (o siempre
horizontales), las funciones en general pueden tener gráficos que son crecientes en algunos
intervalos y decrecientes en otros.
Para averiguar en cuáles intervalos una función es creciente o decreciente basta con saber
en cuáles intervalos su derivada es positiva o negativa. Para esto podemos hacer un mapa de
signos2 de f 0 como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7
f 0: − 0 + 0 −
−1/3 1
Vemos que f 0 (x) ≥ 0 para x en el intervalo [−1/3, 1], y que f 0 (x) ≤ 0 para x en
los intervalos ]−∞, −1/3] y [1, ∞[.
Por el teorema anterior, concluimos que f es creciente en [−1/3, 1], y decrecien-
te en ]−∞, −1/3] y en [1, ∞[.
Parte de la importancia del análisis de los signos de y0 está en que no es necesario conocer
el gráfico de la función para averiguar dónde es creciente o decreciente ni dónde alcanza sus
extremos locales. Solo por referencia, veamos el gráfico de la función f del ejemplo anterior:
2 En la sección 4.5 de “Matemática para Administración” se estudió el método para construir el mapa de
signos de una función.
66 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
f (x)
En este ejemplo, note que f decrece en ]−∞, −1/3] y en [1, ∞[, pero no decrece en la
unión de esos intervalos. Aunque f 0 (x) ≤ 0 en ]−∞, −1/3] ∪ [1, ∞[, no podemos decir que
f sea decreciente allı́, porque ese conjunto no es un intervalo. Las propiedades “ f 0 (x) ≥ 0
en I ⇒ f crece en I” y “ f 0 (x) ≤ 0 en I ⇒ f decrece en I” son válidas solamente si I es un
intervalo.
Ejercicios
Encuentre los intervalos donde la función es creciente o decreciente
81. 1 − 4u − u2 v+1
91.
v2 + v + 1
82. y3 − 3y − 2
1
83. r2 (3 − r) 92.
3t − 4
84. s4 + 4s3 + 4s2 y
93. 2
85. 3w4 − 4w2 + 2 y +1
94. x ex
86. 8u3 − 18u2 − u4
95. z3 ez
87. 5z2/3 + z5/3 2
w2 − 5w 96. 6e4s−s
88. √ 3
w 97. ey + e−y
√
89. 5 r 98. x2 + x e−x + e−x
√
90. u u + 1 99. 5y2 − 2ey (y − 1)
3.4. Máximos y mı́nimos de una función 67
f0 > 0
f0 < 0
f 0 (b) = 0 f0 > 0
f0 > 0
a b c
68 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
Resulta que una función puede alcanzar un extremo (máximo o un mı́nimo) solamente
en los puntos donde su derivada sea cero o no exista. Esos puntos se llaman puntos crı́ticos
de la función.
Por ejemplo, en el gráfico anterior los puntos crı́ticos son a, b y c, porque f 0 (a) no existe,
f 0 (b) = 0 y f 0 (c) = 0.
Teorema
Si una función alcanza un extremo local en el punto c, entonces c es un punto crı́tico de
la función.
Note que este teorema no dice que una función alcance extremos en todos sus puntos
crı́ticos. Lo que dice es que si se alcanza un extremo en c, entonces c debe ser un punto
crı́tico; es decir, todos los extremos se alcanzan en puntos crı́ticos.
En el gráfico que acabamos de ver, los extremos se alcanzan en a (mı́nimo) y en c (máxi-
mo), que en efecto son puntos crı́ticos. Pero también b es un punto crı́tico, y ahı́ no se alcanza
extremo. En resumen, todos los extremos se alcanzan en puntos crı́ticos, pero no todos los
puntos crı́ticos resultan en extremos.
3 Recuerde que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Si la curva no tiene tangente o si la tangente es vertical (sin pendiente), la derivada no existe.
3.4. Máximos y mı́nimos de una función 69
Ejemplo 8
f 0: − 0 + 0 −
−1/3 1
En él vemos que los puntos crı́ticos son x = −1/3 y x = 1.
Vemos también que en x = −1/3 la derivada f 0 cambia de signo − a signo +, lo
que implica que f alcanza un mı́nimo local en x = −1/3. El valor de ese mı́nimo
es f (−1/3) = −32/27, y el punto mı́nimo es (−1/3, −32/27).
Por otro lado, en el punto x = 1 el signo de f 0 cambia de + a −, por lo que f
alcanza un máximo local en x = 1. El valor de ese máximo es f (1) = 0, y el
punto máximo es (1, 0).
70 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
Ejercicios
Resuelva
103. Encuentre los extremos locales de las funciones en los ejercicios 81–102.
La razón por la que este criterio no siempre concluye es que no menciona qué pasa si
f 00 (c) = 0 o f 00 (c) no existe. En ese caso podrı́a suceder cualquiera de las tres cosas: que f
alcance un máximo en c, que alcance un mı́nimo en c, o que no tenga ningún extremo en c.
Ejemplo 9
Si g(t) = 2t 3 − 17t 2 + 40t − 3, entonces
Ejemplo 10
h0 : − 0 +
1
concluimos que h alcanza un mı́nimo en 1.
Ejercicios
Encuentre los extremos locales usando el criterio de
la segunda derivada
√
104. 2x3 + 3x2 − 12x − 7 110. s2 + 1
√
105. 3u4 − 4u3 + 1 111. 2r r + 3
106. 4z5 − 5z4 + 2 √
112. u − 3 3 u
u2
107. 113. v2 ev
u−1
2
p2 − 2p + 2 114. x2 + e4−x
108.
p−1
115. z − ln z
v2
109. 2 116. ln(t 2 + 5)
v +1
72 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
máximo local
y absoluto
máximo local
mı́nimo local
a b c
Suponiendo que este es el gráfico de una función f , vemos que f alcanza máximos locales
en a y en c, porque f (a) y f (c) son los valores más altos localmente (en algún intervalo
alrededor de cada punto), y que f alcanza un mı́nimo local en b porque f (b) es el más bajo
localmente.
Pero note lo siguiente:
f (c) no es un máximo absoluto porque hay otros puntos más altos en el gráfico.
f (a) sı́ es un máximo absoluto porque es el valor más alto de todo el gráfico.
f (b) no es mı́nimo absoluto porque en el gráfico hay otros puntos más bajos.
Las flechas en los extremos del gráfico indican que no existe un mı́nimo absoluto.
El siguiente teorema garantiza que las funciones continuas en intervalos cerrados y finitos
siempre tienen un máximo local y un mı́nimo local, y que estos se alcanzan en algún punto
crı́tico o algún borde (izquierdo o derecho) del intervalo.
3.4. Máximos y mı́nimos de una función 73
Teorema
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un máximo
absoluto y un mı́nimo absoluto en ese intervalo.
Esos extremos absolutos se alcanzan en algún punto crı́tico, en a o en b.
Ejemplo 11
Encontrar los extremos absolutos de h(v) = v3 − 3v2 − 9v en [1, 5].
Los puntos crı́ticos se encuentran resolviendo
v 1 3 5
h(v) −11 −27 5
Ejercicios
Encuentre los extremos absolutos de la función en el intervalo dado
117. 2z2 + 6z − 3 en [−2, 3] q+1
124. p en [−2, 2]
118. 2p3 + 3p2 − 12p + 1 en [−1, 5] q2 + 5
e. Puntos crı́ticos:
3
V 0 = 125 − x2 = 0
p
⇒ x = ± 500/3
4
3
V 00 = − x V 00 ( 500/3) ≈ −19.4 < 0
p
⇒
2
Una segunda
p derivada negativa indica que el volumen sı́ alcanza un máxi-
mo en x = 500/3.
f. Como y = 125x−1 − 41 x, entonces x = 500/3 ⇒ y = 125/3 ≈ 6.455.
p p
En el paso e, Optimizar, es importante tener en cuenta que no basta con encontrar los
puntos crı́ticos de la función objetivo. Ya vimos que los puntos crı́ticos a veces resultan
en un máximo, a veces en un mı́nimo, y a veces no resultan en ningún extremo. Por eso
es necesario ir más allá de encontrar los puntos crı́ticos y determinar dónde se alcanza el
extremo deseado. Para eso hay tres posibilidades.
Ejemplo 13
Pudimos haber el ejemplo anterior de esta manera más sencilla.
√
Es claro que 0 ≤ x ≤ 500 (debe ser x ≥ 0 porque x es una longitud, y √
como el
material 2
disponible es 500 cm , no√se puede tener una base mayor que 500 ×
√
500). Entonces el dominio es [0, 500], y buscamos el máximo absoluto entre
los puntos crı́ticos y los bordes del dominio.
De los √dos puntos crı́ticos, x = ±12.91, solamente x = 12.91 pertenece al domi-
nio [0, 500] ≈ [0, 22.36]. Entonces el máximo absoluto se encuentra a partir de
la siguiente tabla: √
x 0 12.91 500
V (x) 0 1075.83 0
Ası́ confirmamos, por otro método, que el máximo se alcanza en x = 12.91.
Ejercicios
Resuelva
135. Encuentre dos números cuya suma sea 200 y cuyo producto sea máximo.
136. Encuentre dos números cuya diferencia sea 50 y cuyo producto sea mı́nimo.
137. Encuentre dos números positivos con producto 192 y con suma mı́nima.
138. Encuentre dos números en [1, 10] con producto 10 y con diferencia máxima.
139. Encuentre dos números en [−10, 10] con suma 0 y con producto mı́nimo.
140. El dueño de un automóvil determina que el costo en colones por kilómetro al
conducir su vehı́culo a una velocidad de v km/h es C = 0.015v2 − 2.5v + 120.
Encuentre la velocidad más económica.
141. El dueño de una fábrica de refrescos sabe que su ganancia (en miles de colones
semanales), como función del número x de cajas de refrescos vendidas, está dada
por la ecuación U = −0.01x2 + 9x − 1296. ¿Cuántas cajas debe vender
semanalmente para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima?
142. Un objeto es arrojado al aire de manera que su altura h (en metros) sobre el
terreno, t segundos después de lanzado, es h = 14t − 5t 2 . Encuentre la altura
máxima que alcanza.
143. La función de costo promedio de un fabricante está dada por
C̄ = 0.25q + 3 + 400q−1 , donde q es el número de unidades producidas. ¿A qué
nivel de producción es mı́nimo el costo promedio por unidad? ¿Cuál es ese costo
promedio mı́nimo?
3.5. Problemas de máximos y mı́nimos 77
Ejemplo 14
Un agricultor estima que si cosecha papas ahora obtendrá 180 kg con valor de
|| 300 el kilo. Si espera, la cosecha se incrementará en 30 kg por semana, pero el
C
precio disminuirá en C || 20 por semana. ¿Cuándo debe cosechar para obtener el
máximo ingreso? ¿Cuánto es ese máximo ingreso?
Ejercicios
Resuelva
158. Una revista vende 10 000 ejemplares a C || 1500 cada uno. Puede vender 100 más
|| 10 que disminuya el precio (por ejemplo, a C
por cada C || 1480 venderán 200 más).
Determine a qué precio se maximizará el ingreso.
159. Una compañı́a de televisión por cable da servicio actualmente a cinco mil
usuarios y cobra C|| 16 000 mensuales a cada uno. Un estudio de mercado indica que
por cada rebaja de C || 100 en la tarifa mensual, se suscribirán 40 nuevos clientes (por
ejemplo, si rebajan C || 300 se suscribirán 120 nuevos clientes). Determine la cuota
mensual que resulta en un ingreso mensual máximo.
160. Un agricultor calcula que si siembra 120 árboles por hectárea, entonces cada árbol
adulto dará 600 naranjas al año. Por cada árbol más que plante por hectárea, la
producción de cada árbol adulto disminuye en tres naranjas al año. ¿Cuántos
árboles debe plantar por hectárea para obtener el mayor número posible de naranjas
al año, por hectárea?
161. Una fábrica de computadoras ha estado vendiendo 1000 unidades de cierto
modelo por semana, a $600 cada una. Un estudio de mercado indica que podrı́an
vender 80 unidades más por semana por cada $10 de descuento en el precio.
(a) ¿Qué precio deben fijar para maximizar sus ingresos?
(b) Si el costo de producir x unidades es C(x) = 65000 + 200x, ¿qué precio
maximizará las utilidades?
80 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
162. Un fabricante vende su producto a C || 900 la unidad, mientras que el costo unitario
|| 600. Para favorecer los pedidos de más de 100 unidades, por
de producción es de C
cada unidad adicional a 100, el precio unitario se reduce en C|| 2 para todas las
unidades. ¿Cuál tamaño de pedido maximiza la utilidad? ¿Cuál es la utilidad
máxima?
163. La edición dominical de un periódico vende 150 000 ejemplares a C || 500 cada uno.
Se ha determinado que por cada rebaja de C || 10 en el precio, las ventas aumentarán
en 5000 ejemplares. Sin embargo, la capacidad de producción es de 180 000
ejemplares como máximo. ¿Qué precio deben fijar para maximizar el ingreso?
¿Cuánto es el ingreso máximo?
164. Una tienda de alquiler de videos cobra C || 1500 por pelı́cula si el cliente alquila
cinco videos o menos. Pero si el cliente alquila más de cinco, el precio de cada
|| 150 por cada video adicional. ¿Cuánto es el máximo
pelı́cula disminuye en C
ingreso que puede tener la empresa en un alquiler?
165. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es treinta o
menos, la empresa de transportes cobra $10 por persona. Por cada persona adicional
a las primeras treinta, se reduce el cobro en $0.40 por persona. ¿Cuál número de
turistas maximiza el ingreso de la empresa por viaje, si la capacidad del bus es de
sesenta pasajeros?
166. Una agencia de viajes está negociando con una aerolı́nea el alquiler de un avión.
El avión tiene capacidad para 320 pasajeros y la aerolı́nea pide a la agencia vender
un mı́nimo de 200 tiquetes. La aerolı́nea cobra a la agencia $250 por persona si la
agencia vende 200 tiquetes, pero rebajan en $1 el costo de cada tiquete por cada
persona adicional. ¿Cuántos tiquetes debe vender la agencia para minimizar su
costo total?
167. En una ciudad, el tren subterráneo tiene una tarifa de $1.80 y es usado por 5000
personas diariamente. Se está considerando un incremento en la tarifa y se ha
determinado que por cada $0.20 de incremento habrá mil pasajeros menos al dı́a.
¿Qué tarifa debe fijarse para maximizar los ingresos diarios?
En los problemas sobre lotes de producción hay un fabricante que produce un artı́culo
en lotes de tamaño variable. En vez del costo fijo de hacer un pedido hay un costo fijo de
iniciar un lote de producción, pero el resto del modelo es idéntico al de los problemas sobre
pedidos.
En todos estos problemas se supone que la demanda es uniforme en el tiempo, ası́ que el
nivel de inventario decrece a una tasa constante desde su máximo (cuando acaba de recibirse
un pedido) hasta su mı́nimo (cuando está por recibirse el siguiente pedido). Se deduce que
el nivel promedio de inventario es el promedio entre el máximo y el mı́nimo. Si el pedido
es por x unidades y el nuevo pedido llega justo cuando el inventario se agota4 , entonces el
máximo es x y el mı́nimo es 0, de modo que el nivel promedio de inventario es x/2.
Ejemplo 15
Una licorera vende 600 bolsas de hielo cada semana. El costo semanal de mante-
|| 7.80 por bolsa y el costo de hacer un pedido al proveedor
ner el inventario es de C
es de C|| 1200. ¿Cuántas bolsas deben pedir cada vez, y con qué frecuencia, para
satisfacer la demanda y minimizar el costo total de pedidos e inventarios?
a. Denotemos con x el número de bolsas por pedido y con n el número de
pedidos por semana.
b. El objetivo es minimizar el costo total: C = CI + CP, donde CI denota el
costo de mantener el inventario y CP denota el costo de los pedidos.
c. Para satisfacer la demanda se necesita que nx = 600. Por otra parte, como
el nivel promedio de inventario es x/2, entonces el costo promedio sema-
nal del inventario es CI = 7.80(x/2) = 3.9x. Y como cada pedido cuesta
|| 1200, el costo de los pedidos será CP = 1200n por semana.
C
d. La función objetivo es
C = CI +CP = 3.9x + 1200n
600
= 3.9x + 1200 = 3.9x + 720 000 x−1
x
e. C0 = 3.9 − 720 000 x−2 = 0 lleva a x = ±429.67, de donde escogemos la
solución positiva.
Como C00 = 1 440 000 x−3 > 0 si x = 429.67, ahı́ es donde se alcanza el
costo mı́nimo.
f. Para la frecuencia de los pedidos tenemos n = 600/x = 1.396 pedidos por
semana, o bien un pedido cada 7/1.396 = 5.01 dı́as. En resumen, deben
pedirse aproximadamente 430 bolsas cada cinco dı́as.
4 Esposible que el distribuidor quiera mantener un nivel mı́nimo de inventario, pero lo usual en estos casos
es que ese mı́nimo sea una constante que desaparecerá al derivar la función de costo, por lo que podemos
desestimarlo. Vea el ejercicio 181.
82 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
Ejercicios
Resuelva
170. La demanda de cierto tipo de llantas es de 3500 por mes. El costo de un pedido es
de $300 y el costo mensual de almacenamiento es de $0.90 por llanta. ¿Cuál
tamaño y cuál frecuencia de pedidos minimizan el costo total?
172. Un supermercado estima que la demanda de leche es de 4200 litros por semana. El
costo de inventario es de C || 3 por litro por semana y el costo de un pedido es de
|| 18 000. La leche debe venderse a lo sumo diez dı́as después de recibida. ¿Con
C
cuál tamaño y cuál frecuencia de pedidos se minimiza el costo total?
173. Un vivero consume 6000 litros de insecticida por año. El proveedor acepta
pedidos por un máximo de 3000 litros, con un costo de $25 por pedido. Al vivero le
cuesta $0.07 por año almacenar cada litro de insecticida. ¿Cuál tamaño y cuál
frecuencia de pedidos minimizan el costo total?
174. Una fábrica de galletas vende 100 000 cajas por año. Cada vez que se produce un
lote de galletas hay un costo inicial de $1000 y un costo unitario de $1 por caja. El
costo anual de almacenamiento es de $0.80 por caja. ¿De qué tamaño y con qué
frecuencia se deben producir los lotes de galletas para minimizar el costo total?
175. Un taller de alfarerı́a debe satisfacer una demanda de 2500 vasijas por mes. El
costo mensual de almacenamiento es de C || 100 por vasija. Al iniciar cada
||
producción hay un costo fijo de C 95 000 (preparar los moldes, encender los hornos,
etc.). ¿De qué tamaño deben ser los lotes de vasijas para minimizar el costo total?
3.5. Problemas de máximos y mı́nimos 83
176. Una fábrica de productos lácteos vende 17 250 cajas de helados cada semana.
|| 65 000, con una capacidad máxima de
Hacer un envı́o a sus distribuidores cuesta C
10 000 cajas por envı́o. El almacenamiento cuesta C || 23 por caja por semana. ¿De
qué tamaño deben ser los envı́os para minimizar el costo total?
177. Resuelva el ejercicio anterior pero con una capacidad máxima de seis mil cajas
por envı́o.
178. Se desea hornear 1200 vasijas con un mismo diseño. Construir cada molde para
una vasija cuesta C|| 16 000, pero el molde puede usarse repetidamente para hacer
varias vasijas. El horno tiene espacio para veinte moldes y consume C|| 3000 en
electricidad cada vez que se usa. ¿Cuántos moldes deben construirse para
minimizar el costo total (moldes más electricidad)?
179. Un fabricante debe elaborar anualmente mil unidades de cierto producto que se
vende a una tasa uniforme durante el año. El costo de producción es de $4.10 por
unidad y los costos de inventario son de 6 % del costo del inventario promedio. El
costo de preparación de cada lote de producción es de $55. ¿De qué tamaño deben
ser los lotes de producción para minimizar los costos totales anuales?
180. Suponga que un distribuidor debe suplir una demanda por D artı́culos por unidad
de tiempo (semana, mes, año), donde el costo fijo de cada pedido es CFP y el costo
unitario del inventario es CUI.
(a) Demuestre que, si no hay restricciones, el tamaño óptimo del pedido es
r
2 · CFP · D
x=
CUI
(b) Confirme las soluciones de los ejercicios pares de esta sección (excepto el 179
y el 181), en los que no haya restricciones, usando la fórmula en (a).
(c) Confirme las soluciones de los ejercicios impares de esta sección, en los que no
haya restricciones, usando la fórmula en (a).
181. Con referencia al ejercicio anterior, si se considera también el costo unitario del
pedido, CUP (de modo que el costo total de un pedido es CFP + CUP · x) y un nivel
mı́nimo de inventario NMI (tal que el nivel promedio de inventario es NMI + x/2),
demuestre que el tamaño óptimo del pedido sigue siendo
r
2 · CFP · D
x=
CUI
84 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
Ejercicios
Resuelva
pared es $15/m y el de los otros dos lados es $10/m. ¿Cuáles dimensiones del
rectángulo maximizan el área encerrada?
186. El diseñador gráfico en una imprenta decide que las páginas de un libro tendrán
márgenes superior e inferior de 3 cm, y derecho e izquierdo de 2.5 cm. El área
impresa debe medir 360 cm2 (vea la figura del ejercicio anterior). ¿Qué
dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel?
189. Una caja sin tapa y con base cuadrada debe tener un volumen de 32 dm3 (vea la
figura del ejemplo 12, página 74). Encuentre las dimensiones que minimizan la
cantidad de material.
191. Una lata cilı́ndrica con tapa debe contener 225 cm3 de lı́quido. El costo por cm2
de material es de 15 céntimos para el fondo y la tapa, y 10 céntimos para la pared
lateral5 . ¿Qué dimensiones de la lata minimizan el costo de los materiales? ¿Cuál es
el costo mı́nimo?
192. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que pue-
de inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
5 cm y 12 cm, si el rectángulo tiene un vértice en el ángulo recto
del triángulo y otro vértice en la hipotenusa del triángulo.
A = Pert
I = A − P = Pert − P = P(ert − 1)
Ese factor (ert − 1) indica la proporción del monto P que se reciben en intereses. Al cabo de
un año (t = 1), ese factor vale er − 1, y se llama tasa efectiva anual.
Ejemplo 16
|| 500 000 se invierten a una tasa de 13 % anual, compuesta continuamente,
Si C
entonces a los dos años el monto acumulado será (con P = 500 000, r = 0.13 y
t = 2)
A = 500 000 e0.13×2 ≈ 648 465.04 colones.
De ese monto, los intereses son
|| 148 465.04
I = A−P = C
Ejemplo 17
Si se invierten $20 000, ¿cuál debe ser la tasa de interés compuesto continua-
mente para que la inversión se duplique en diez años?
La tasa de interés continuo, r, debe ser tal que (con P = 20 000, A = 40 000,
t = 10)
Ejemplo 18
Si $1000 se invierten al 2.5 % compuesto continuamente, entonces el interés
ganado en un año será
Ejercicios
Resuelva (cada tasa de interés es anual, compuesta continuamente)
202. ¿A qué tasa anual, compuesta continuamente, deben invertirse $50 000 para
obtener un interés de $4000 en dos años?
|| 1 400 000 en dos años y
203. Si una inversión de un millón de colones crece hasta C
medio, ¿cuál es la tasa de interés?
204. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de un 6 % compuesto continuamente?
205. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de un 15 % compuesto continuamente?
206. A una tasa de 12 % anual compuesto continuamente, ¿cuánto tiempo tardará una
inversión en duplicarse?
207. ¿Cuál opción deja más intereses al cabo de un año: una tasa de 20 % compuesta
continuamente o una de 21 % compuesta anualmente? ¿Una tasa de 20 % compuesta
continuamente o una de 21 % compuesta trimestralmente?
C AP ÍTULO 4
Cálculo con varias variables
∂f
, o bien fx j ,
∂xj
Entonces una función de n variables tendrá n derivadas parciales de primer orden, una
con respecto a cada una de su variables.
Ejemplo 1
Calcular las derivadas parciales de primer orden de
∂f
= fu = 6uv − 14e2u−5v
∂u
∂f
= fv = 3u2 + 35eu−v
∂v
Al igual que en el caso de funciones de una variable, las funciones de varias variables tie-
nen derivadas de órdenes superiores, pero ahora se puede derivar con respecto a una variable
y luego con respecto a otra.
4.2. Derivadas parciales 93
∂2 f
, o bien fx j xk ,
∂ xk ∂ x j
Una propiedad importante de las derivadas parciales de segundo orden es que si son
continuas, el orden de las variables no influye: fx j xk = fxk x j .
Ejemplo 2
Que fuv = fvu no es casualidad: ası́ será siempre que ambas sean continuas.
1 Una función de tres variables, g(x, y, z), tendrá nueve derivadas de segundo orden: g
xx , gxy , gxz , gyx , gyy , gyz ,
gzx , gzy y gzz . En general, una función de n variables tendrá n derivadas de primer orden, n2 de segundo orden,
n3 de tercer orden y ası́ sucesivamente.
Muchas de esas derivadas serán iguales. Por ejemplo, gyz = gzy y gyzy = gzyy .
94 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Ejercicios
Derive con respecto a cada una de las variables
1. v = p3 q2 + 3q2 + (p − 1)2 s2 + st − t 2
10. q = √
2. y = rst + rs2 + st 2 + r2t 2s + t
3. w = x/(1 + y) 11. s = ex−y (x2 − 2y3 )
12. w = e p/q
p
4. r = p 1 + q2
5. g = xy 13. z = uev/w
6. z = s2 et 14. t = ln(u + v2 )
√
7. f = u3 + v2 15. p = 5v ln(5v − w2 )
√ s
8. u = r2 − s3 16. u =
√ ln(r − s)
2v − 3w
9. y = 17. s = (xy)z
v
Similarmente se definen el ingreso marginal, la utilidad marginal, etc, como las derivadas
parciales del ingreso, la utilidad, etc.
Ejemplo 3
Suponga que la función de productividad de una empresa es q = 45`0.7 k0.3 , y que
actualmente en la producción se están invirtiendo 50 unidades de mano de obra
y 160 unidades de capital. Entonces las derivadas parciales de la productividad
con respecto a la mano de obra y al capital son, respectivamente,
2 Las letras ` y k vienen de las iniciales en alemán de “labor” (mano de obra) y “capital”.
96 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Ejemplo 4
Suponga que las marcas T y H de computadoras tienen precios unitarios respec-
tivos pT y pH , y demandas respectivas qT y qH dadas por las ecuaciones
√
84pH 120 pT
qT = y qH =
12 + pT 1 + p2H
Determinar si las computadoras de esas marcas son competitivas, complementa-
rias o ninguno de los dos.
Debemos calcular estas dos derivadas parciales:
∂ qT 84 84
= · pH =
∂ pH 12 + pT pH 12 + pT
y
∂ qH 120 √ 120 1 −1/2
= · pT = · p
∂ pT 1 + p2H pT 1 + p2H 2 T
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales 97
Note que para cualquier par de artı́culos en el mercado lo más probable es que no sean
competitivos ni complementarios. Para que lo sean, el requisito es fuerte: las derivadas par-
ciales en cuestión no pueden cambiar de signo, y deben tener ambas el mismo signo. Eso no
es frecuente.
Ejercicios
Resuelva
29. Sean p1 y p2 los precios unitarios de los reproductores de DVD y de los DVDs en
blanco, y sean q1 y q2 las demandas semanales de reproductores y de DVDs,
respectivamente. Si las ecuaciones de demanda son
donde el peso está en kgf y la potencia en HP. Calcule las derivadas parciales Rpeso
y Rpotencia para un automóvil que pesa 1600 kgf y tiene 120 HP de potencia.
Interprete.
33. En una tienda, la utilidad mensual depende del nivel x de inventario y de la
superficie y de piso destinada a la exhibición:
U = −0.02x2 − 15y2 + xy + 39x + 25y − 20000. Si el nivel de inventario es 4000 y
la superficie de exhibición es 15, encuentre la utilidad marginal con respecto a cada
variable. Interprete.
34. Se estima que una nueva bebida deportiva venderá q = 80 − 78e−0.01x−0.02y miles
de unidades por mes a los x meses desde su introducción si se invierten y millones
de colones mensuales en publicidad. Por seis meses se han invertido C || 45 millones
mensuales en publicidad. Use derivadas para estimar cuánto más estarı́an vendiendo
|| 1 millón más en publicidad al mes.
al mes si hubieran invertido C
47ab + 76a + 50b
35. La función S(a, b) = es una medida de la satisfacción que
3ab + 12b + 11a + 20
Fulana obtiene al dedicar a horas semanales a hacer aeróbicos y b horas semanales
a bailar. Si actualmente dedica 4 y 3 horas semanales a aeróbicos y baile
respectivamente, calcule las satisfacciones marginales con respecto a los aeróbicos
y al baile (Sa y Sb ). Si Fulana dispone de una hora adicional por semana, ¿le
conviene más, en términos de su satisfacción, dedicarla a aeróbicos o a bailar?
4.4. Optimización con dos variables 99
Ejemplo 5
Encontrar los puntos crı́ticos de h(p, q) = p3 + 8q3 − 12pq.
Debemos resolver el sistema de ecuaciones
(
h p = 3p2 − 12q = 0
hq = 24q2 − 12p = 0
Entonces:
Si ∆ = 0, el criterio no se aplica.
Ejemplo 6
Continuando con el ejemplo anterior, encontremos los extremos locales de la
misma función h(p, q) = p3 + 8q3 − 12pq.
Ya tenemos los puntos crı́ticos, que son (0, 0) y (2, 1). Ahora vamos a aplicar el
criterio de la segunda derivada a cada uno para investigar si él aporta un máximo,
un mı́nimo o ningún extremo.
Primero necesitamos calcular ∆. Para nuestra función, los análogos de fxx , fyy y
fxy son
h pp = 6p, hqq = 48q y h pq = −12,
y el discriminante ∆ es
En (2, 1): ∆ = 432 > 0, ası́ que h(2, 1) sı́ es un extremo. ¿Pero es máximo
o mı́nimo?
Como además h pp (2, 1) = 12 > 0, concluimos que h(2, 1) = −8 es un mı́ni-
mo relativo.
Ejercicios
Encuentre los puntos crı́ticos y para cada uno determine
si se alcanza un mı́nimo, un máximo o ninguno3
37. 2pq − p2 + 24q − 15p − 2q2 4 2
44. st + +
s t
38. x3 + y3 − xy x
39. s2 − 3t 2 + 1 45. 2 + xy
y
40. 2y2 + z2 − 4y + 6z − 7 2
46. ev − u2 + u
41. 2 + 6rs − r3 − s3 47. ea−b (a2 − 2b2 )
42. q2 − 9p2 + 2p3 − 4q + 12p + 5
48. ln(qr) + 2q2 − qr − 6q
1 1
43. uv − − 49. x3 + y3 − 3x2 − 12y2 − 24x + 45y
u v
3 En las soluciones los puntos se dan con las variables ordenadas alfabéticamente. Por ejemplo, si las varia-
bles son r y s, el punto (3, 5) se refiere a r = 3 y s = 5.
4 En Estadı́stica, un “error” no es una equivocación; es simplemente la diferencia entre una estimación y
una medición.
5 Dados los valores t , t , . . . , t , la notación n t , a veces abreviada t, representa la suma de los valores
1 2 n ∑i=1 i ∑
de t: ∑ t = t1 + t2 + · · · + tn .
102 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Ejemplo 7
x −9 −5 −2 3 6 8
y 82 31 27 33 −23 −8
4.6. Regresión lineal simple 103
Entonces
(6)(−1050) − (1)(142)
b= = −4.90632
(6)(219) − (1)2
y
(142) − (−4.90632)(1)
a= = 24.4844
6
por lo que la ecuación de la recta de cuadrados mı́nimos es
y = 24.4844 − 4.90632 x
Ejercicios
Para cada conjunto de pares (x, y):
(a) grafique los puntos en el plano,
(b) encuentre la ecuación de cuadrados mı́nimos,
(c) grafique la recta de cuadrados mı́nimos en el mismo gráfico y
(d) calcule el coeficiente de correlación
6 Si
ve una tercera columna con encabezado Frec es porque la opción de frecuencia está activada. Si es ası́,
puede simplemente no hacerle caso, o si prefiere desactivarla vaya a la configuración de la calculadora (SETUP),
busque la opción de Estadı́stica y allı́ elija desactivar la frecuencia.
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión 105
Ejemplo 8
Que sea ∆ > 0 significa que sı́ hay un extremo. Como además U p1 ,p1 =
−300 < 0, concluimos que en efecto U tiene un máximo en (68/3, 62/3),
o en decimales (22.6̄, 20.6̄).
f. Los precios que maximizan las utilidades son 22.67 para la marca A y
20.67 para la marca B.
Ejercicios
Resuelva
Ejemplo 9
Se han registrado las edades y estaturas de un grupo de niños como se muestra
en el siguiente cuadro, en el que las edades están en años redondeados al décimo
más cercano y las estaturas en centı́metros redondeados al entero más cercano.
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión 109
Compare con el ejercicio 184 del capı́tulo 6, página 220 de “Matemática para
Administración”.
Estatura
Edad
110 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
n ∑ xy − ∑ x ∑ y
b=
n ∑ x2 − (∑ x)2
10 (3.3)(94) + · · · + (10.1)(140)
− 3.3 + · · · + 10.1 · 94 + · · · + 140
= 2
10 3.32 + · · · + 10.12 − 3.3 + · · · + 10.1
10(8502.8) − (67.8)(1216)
= = 5.759
10(504.54) − (67.8)2
∑y−b∑x
a=
n
94 + · · · + 140 − 5.7589 3.3 + · · · + 10.1
=
10
1216 − 5.7589(67.8)
= = 82.555
10
Ejercicios
Resuelva
71. En los últimos años la devaluación del colón con respecto al dólar ha sido
aproximadamente lineal. Los tipos de cambio para cinco eneros pasados, en colones
por dólar, fueron los siguientes (compare con el ejercicio 187 del capı́tulo 6,
página 220 de “Matemática para Administración”):
(a) Encuentre una ecuación que estime el tipo de cambio T como función del
número a de años desde el 2000.
(b) ¿Aproximadamente cuál ha sido el aumento en el tipo de cambio por mes?
(c) Estime el tipo de cambio para abril 2006.
72. La siguiente tabla relaciona el número total de años de educación (primaria,
secundaria y técnica o universitaria) con el ingreso anual en dólares de varias
personas.
Años 4 6 8 8 10 12 14
Ingreso 10500 9200 12400 14700 15300 18300 19500
(a) Encuentre una fórmula de regresión para el ingreso anual en función de los
años de educación.
(b) ¿Aproximadamente en cuánto incrementa el ingreso por cada año adicional de
educación?
73. Un grupo de vendedores en una tienda recibe un sueldo base más un porcentaje
de comisión sobre las ventas. Los sueldos base y los porcentajes de comisión varı́an
levemente de un vendedor a otro. En cierto mes se registró los siguientes montos de
ventas y pagos (base más comisión) a seis de los vendedores, ambos en miles de
colones (compare con el ejercicio 186 del capı́tulo 6, página 220 de “Matemática
para Administración”):
(a) Encuentre una ecuación que estime el pago recibido como función de las
ventas.
(b) Si en cierto mes un vendedor alcanza un nivel de ventas de C|| 350 000, ¿cuánto
puede esperar recibir como pago total?
(c) ¿De cuánto deben ser las ventas para que el pago esperado sea por lo menos de
|| 290 000?
C
(d) ¿Aproximadamente cuánto es el sueldo base promedio? ¿Aproximadamente
cuánto es el porcentaje de comisión promedio?
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión 113
74. Una urbanizadora vende lotes con la casa ya construida. Todas las casas son
iguales y su costo es el mismo en cualquier lote. Los lotes varı́an en tamaño, pero el
precio del terreno por m2 es casi constante, excepto por pequeñas variaciones
debidas a la topografı́a de cada lote. Las áreas y los precios (incluyendo la casa) de
cinco de los lotes son:
Área (m2 ) 240 275 315 340 370
Precio ($1000’s) 71.4 73.0 75.9 76.8 79.6
(a) Encuentre una ecuación que aproxime el precio de la propiedad (lote y casa)
como función del área.
(b) Estime el precio de la casa (sin incluir el lote).
(c) Estime el precio promedio del terreno (sin la casa), en dólares por metro
cuadrado.
75. Algunas de las longitudes (en cm) ganadoras de medalla de oro olı́mpica en
lanzamiento de disco son:
Año (x) 1900 1920 1960 1980
Longitud (y) 3604 4468 5918 6665
(a) Encuentre una ecuación de regresión para la longitud como función del número
de año.
(b) Estime la longitud ganadora en las Olimpiadas del año 2000.
(c) ¿En cuántos centı́metros se incrementa la longitud ganadora en cada
Olimpiada?
76. Un atleta vive a cierta distancia de un sendero para correr. Acostumbra salir de su
casa, ir corriendo al inicio del sendero, dar varias vueltas al sendero y regresar
corriendo a su casa. En varias ocasiones ha registrado los siguientes tiempos (al
minuto más cercano):
Número de vueltas 1 2 2 4
Tiempo (min) 25 35 34 52
7 La
pendiente es el porcentaje de la altura ganada con respecto a la distancia. Por ejemplo, si en un viaje de
15 km se ganan 300 m de altura, la pendiente es 300/15000 = 2 %.
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple 115
Ejemplo 10
Los siguientes datos son los precios de venta de una marca y modelo de au-
tomóviles usados:
Edad (años) 0 2 4 8 15
Precio (dólares) 11 500 8500 6000 3000 1000
Denotando con x la edad y con y el precio, al graficar los puntos notamos que
y depende de x pero la dependencia no es lineal. Comparando con los gráficos
de funciones exponenciales que vimos en el capı́tulo 7 de “Matemática para
Administración”, podemos sospechar que la relación es exponencial: y = abx
para algunas constantes a y b por determinar.
Precio
Edad
y = abx
ln y = ln(abx ) = ln a + ln(bx ) = ln a + x ln b
o bien
y1 = a1 + b1 x1
donde y1 = ln y, a1 = ln a, b1 = ln b y x1 = x.
Entonces tenemos una relación lineal entre dos nuevas variables x1 y y1 . Para
calcular los coeficientes a1 y b1 con las fórmulas de la sección anterior, primero
escribimos la tabla de valores para las nuevas variables:
x1 = x 0 2 4 8 15
y1 = ln y ln 11500 ln 8500 ln 6000 ln 3000 ln 1000
o, en forma decimal,
x1 0 2 4 8 15
y1 9.3501 9.0478 8.6995 8.0064 6.9078
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple 117
De ahı́ calculamos
n ∑ x1 y1 − ∑ x1 ∑ y1
b1 =
n ∑ x12 − (∑ x1 )2
5 (0)(9.3501) + · · · + (15)(6.9078)
− 0 + · · · + 15 · 9.3501 + · · · + 6.9078
= 2
5 02 + . . . 152 − 0 + · · · + 15
5(220.5610) − (29)(42.0116)
= = −0.164106
5(309) − (29)2
∑ y1 − b1 ∑ x1
a1 =
n
9.3501 + · · · + 6.9078 − (−0.1641) 0 + · · · + 15
=
5
42.0116 − (−0.164106)(29)
= = 9.354125
5
y = 11546.36 · 0.848652x
Para problemas en los que la relación es potencial, y = axb , también funciona tomar
logaritmo: ln y = ln(axb ) = ln a + b ln x. La ecuación transformada será y1 = a1 + b1 x1 , con
y1 = ln y, a1 = ln a, b1 = b y x1 = ln x.
118 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Ejercicios
Resuelva
Meses 0 24 40 60
Valor 500 810 1100 1650
84. El ciclista del Ejercicio 77 (página 114) ha notado que en pendientes extremas su
velocidad varı́a en forma exponencial con la pendiente. La siguiente tabla incluye
las observaciones de entonces y otras adicionales.
Miles de km 2 5 10 15 25 40 60 80
% útil restante 95 85 75 60 40 25 10 5
Se supone que la vida útil restante es una función exponencial de los kilómetros de
uso.
(a) Encuentre una ecuación de regresión para la vida útil restante en función de la
distancia recorrida.
(b) ¿Cuál es la vida media de estas llantas? (La vida media es el número de km
que duran antes de llegar a 50 % de utilidad.)
86. Cuando un grupo de personas desarrolla un proyecto, el tiempo T requerido para
completarlo depende potencialmente del número n de participantes: T = anb donde
a y b son constantes. Para un trabajo que se realiza frecuentemente se han notado
los siguientes tiempos (en dı́as) y números de participantes:
Participantes 1 4 8 11 15
Tiempo 17 5 4 2 1
(a) Encuentre una fórmula que estime el tiempo como función del número de
participantes.
(b) ¿Cuánto tiempo deberı́an tardar siete personas desarrollando este proyecto?
120 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función
55. Combine los dos logaritmos en el logaritmo de un cociente.
121. Racionalice.
123. Racionalice.
157. Los lı́mites laterales en 0 deben ser iguales y en b también. Si fuera b < 0 habrı́a una
contradicción entre las lı́neas primera y tercera.
122 Apéndice A. Sugerencias
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable
53. Separe la fracción como resta de dos fracciones.
62. Recuerde convertir cada número de años en un número de meses. Por ejemplo, “al
año” significa con m = 12.
138. Use la identidad ln(A/B) = ln(A) − ln(B) para separar antes de derivar.
143. Puede evitar la regla del cociente si simplifica la fracción antes de derivar.
149. Use las reglas de descomposición de logaritmos para separar antes de derivar.
150. Use las reglas de descomposición de logaritmos para separar antes de derivar.
182. r0 = −t 2 /r2
183. x0 = −1
Capı́tulo 3
Aplicaciones de la derivada
26. Puede ser mejor racionalizar.
131. Encuentre los puntos crı́ticos y estime lı́mu→∞ y (con una tabla).
148. Minimizar p = 3000 − 50n en [0, 20], donde n = número de pasajeros adicionales.
155. El consumo de gasolina será 0.002x por km y el viaje es de 700 km. El viaje tardará
700/x horas y el conductor cuesta $6 por hora. Se debe minimizar
C = 1.68x + 4200x−1 en [70, 100].
156. La distancia mı́nima se alcanza entre dos puntos, uno en la recta R y otro en la
parábola P, tales que el segmento que los une es perpendicular a la recta y a la
parábola. Encuentre:
163. Maximizar I = −50 000n2 + 1 000 000n + 75 000 000 en [0, 6], donde n = número de
|| 10.
rebajas de C
125
164. Maximizar I = −150n2 + 750n + 7500 donde n = número de videos por encima de
cinco. Note que n debe ser entero.
166. Minimizar C = −n2 + 50n + 50000 en [0, 120], donde n = número de personas
adicionales.
172. Minimizar C = 1.5x + 75 600 000x−1 en ]0, 6000] (porque se venden 600 litros por
dı́a y la leche dura solo 10 dı́as).
178. Minimizar C = 16 000x + 3 600 000x−1 en ]0, 20], donde x = número de moldes.
180. Minimizar C = CFP · D/x + CUI · x/2. Los problemas sobre la leche, el vivero, los
helados y los moldes tienen restricciones.
188. Maximizar A = 2r(3 − r − rπ/2) + πr2 /2, donde r = radio del semicı́rculo.
190. Maximizar V = (10 − 2x)(16 − 2x)x en [0, 5], donde x = lado del cuadrado.
192. El triángulo pequeño a la derecha del rectángulo y el triángulo pequeño encima del
rectángulo tienen sus lados proporcionales al triángulo grande. Se debe maximizar
A = x(12 − 12x/5) en [0, 5], donde x = lado del rectángulo sobre el lado de 5 cm.
p
193. Minimizar T = x/250 + 502 + (75 − x)2 /30 en [0, 75], donde x = distancia que
corre.
Capı́tulo 4
Cálculo con varias variables
58. Maximizar P = xy(50 − x − y).
66. (a) Si c es el costo por dm2 del material de los lados, entonces el material del fondo
cuesta 3c por dm2 y el volumen es xyz = 324. El objetivo es minimizar
C = 3cxy + 648c/y + 648c/x, con c constante. (b) 15xy + 10xz + 10yz = 4500, y el
objetivo es maximizar V = xyz.
71. (b) La pendiente es el incremento anual. (c) a = 6 corresponde a enero 2006. Abril
2006 es 3 meses (1/4 de año) más tarde.
74. (b) El precio de la casa, sin lote, es lo que costarı́a la propiedad en un terreno de 0 m2 .
(c) La pendiente de la recta es el incremento en el costo debido a cada m 2 de
incremento en el área.
79. (b) Defina f (b) = SCE = ∑3i=1 (bxi − yi )2 , y encuentre el valor de b que
minimiza f (b). (c) b es el incremento en población debido a cada km2 adicional de
área. (d) Calcule la suma de las poblaciones y la suma de las áreas.
128 Apéndice A. Sugerencias
80. (b) Defina f (b) = SCE = ∑4i=1 (bxi − yi )2 , y encuentre el valor de b que
minimiza f (b). (d) Para y = 1 (un litro), despeje x (cuántos kilómetros). (e) Calcule el
total de kilómetros y el total de litros.
83. (c) x = 100 serı́a junio 2000; enero 2000 es 5 meses (5/12 de año) antes. (d) Al
plantear y = 120 y despejar x, la solución será el número de años después de
junio 1900; 91.83 años es aproximadamente 91 años y 10 meses.
87. (b) Son 1250 litros en 300 segundos: 4.16̄ litros por segundo.
A P ÉNDICE B
Soluciones
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función
1. 1 17. 1 33. No existe (3 izq, 1 der)
3. 1 19. 0 35. −4
4. 2 20. −1 36. −1
37. No existe
5. 3 21. −1
38. 6
6. 2 22. 0
39. 5
7. 3 23. e ≈ 2.7183
40. 6
8. 1 24. e2 ≈ 7.3891
41. No existe
9. 2 25. ln 2 ≈ 0.6931
42. 2
10. 0 26. −2
√ 43. 2
11. 1 27. 28
44. 2
12. 2 28. 160
45. 2
13. −1/2 29. −7 46. −5
14. −10 30. −4 47. −2
15. 1/2 31. 16/7 48. 5
16. −1/4 32. 2 49. c/2
130 Apéndice B. Soluciones
133. A 21 145. y = 1
144. t = 3 y t = −3 157. a = 1, b = 2
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable
1. 3 8. 1 15. 1/4
2. −6 9. −6 16. −3/10
3. 6 10. −1/2 √
17. 1 − 3/6
4. −15 11. −11 √
18. 4/ 3
5. 1 12. −10
21. (1) 3. (3) 2u − 4. (5) 10p − 29. (7) 15q2 4q. (9) −6/(2w + 5)2 . (11) −11(v − 4)−2 .
(13) (2t 2 + 12t − 15)(t + 3)−2 .
132 Apéndice B. Soluciones
22. (2) −6. (4) 2x − 3. (6) 6y2 − 1. (8) (1 − z)−2 . (10) −2y−2 . (12) −10/(2 + x)2 .
(14) −20u(u2 − 4)−2 .
45. 7 5/2
2x − 1 + 21 x−1/2 63. 20x4 − 48x3 + 63x2 − 20x + 26
p
103. (1 − 2y2 )/ 1 − y2
√
104. 2(5u + 1 − 3u)[5 − 23 (1 − 3u)−1/2 ]
1 1/2 )−1/2 (1 + 1 v−1/2 )
105. 2 (v + v 2
109. 3(p2 − 5p)2 (2p + 1)5 (2p − 5) + 10(p2 − 5p)3 (2p + 1)4
115. 120(((y2 + 3)5 + 1)3 − 2)3 ((y2 + 3)5 + 1)2 (y2 + 3)4 y
116. −4
117. −10
118. −1/4
119. y − 4 = 4(x − 1)
120. z − 3 = 16 (w − 6)
121. w − 1 = −(u + 2)
122. u − 1 = − 32 (t + 1)
123. z = 0
1
124. w − 18 = − 48 (v − 2)
1
125. y − 48 = 96 (r + 1)
8
126. y − 4 = 25 (x − 2)
127. (1/6, 0)
135
129. (2, 4)
131. 2 + et
132. eu + e−u
133. 3 · 5r ln 5 − er − rer
136. 3/(2t)
137. −1/x
140. 1/(5x ln 2)
159. −3
160. −3/2
161. q − 5 = −10(p − 1)
163. x = 0
164. w = − 32 (u + 3)
168. (e, e)
170. 2 − 45e3t
174. −120p−6
176. 60x3 − 8
177. −64e1−4q
137
178. 0
179. 16(1 + 2s)−3
180. 10
181. ln 2
182. −2t(t 3 + r3 )/r5
183. 0
184. 2z/(2 − z)3
Capı́tulo 3
Aplicaciones de la derivada
1. C0 = 3.2; 3.2
2. C0 = 0.8q + 2.4; 4.64
3. C0 = −0.03q2 + 4.284q − 79; 53.03
4. C0 = 0.06q2 − q + 4; 28
5. C0 = 2; C̄0 = −1000q−2
6. C0 = 0.2q + 3; C̄0 = 0.1 − 2q−2
7. C0 = 0.04q + 9; C̄0 = 0.02 − 800q−2
8. C0 = 120; C̄0 = −2400q−2
9. U 0 = 1.5; Ū 0 = 380q−2
10. U 0 = 1.9; Ū 0 = 300q−2
11. U 0 = 47.6 − 0.8q; Ū 0 = 960q−2 − 0.4
12. U 0 = 2 − 0.2q; Ū 0 = −0.1 + 2q−2
13. U 0 = −0.06q2 + q + 211; Ū 0 = 7250q−2 + 0.5 − 0.04q
14. U 0 = 0.03q2 − 4.284q + 151; Ū 0 = 0.02q − 2.142 − 3207q−2
15. (a) C0 (x) = 200 − 0.4x; el número 183 costará aprox. C0 (182) = 127.2 dólares.
(b) U(x) = 60x − 8000 + 0.2x2 ; la utilidad del número 212 será
aprox. U 0 (211) = 144.4 dólares.
138 Apéndice B. Soluciones
17. q0 (40) = −62.5: cuando el precio es $40, la demanda disminuye en 62.5 unidades por
dólar de aumento
18. V 0 (12) = −200: a los 12 minutos el agua sale a 200 litros por minuto. El flujo es
mayor a los 0 minutos.
2q2 + 20
19. I 0 = 100 − p
q2 + 20
20. N 0 (75) = −10: de los 75 a los 76 años de edad el número de personas disminuye en
10.
22. −10a−bM b ln 10
84. Crece en [−2, −1] y en [0, ∞[; decrece en ]−∞, −2] y en [−1, 0]
√ √ √ √
85. Crece en [− 6/3, 0] y en [ 6/3, ∞[; decrece en ]−∞, − 6/3] y en [0, 6/3]
89. Crece en IR
113. Máx en (−2, 4e−2 ); mı́n en (0, 0) 120. Máx en (−3, 297); mı́n en (0, 0)
141
129. Máx en (1, −3); mı́n en (e, −e2 ) 153. 300 unidades
130. Máx en (e − 1, e−1 ); mı́n en (0, 0) 154. 300 unidades; $55 800
131. Máx en (2, ln 4 − 2) 155. 70 km/h
132. Mı́n en (0, 0); máx en (1, e−1 ) √
156. 3 2/8, entre (1/2, 1/4) y
133. Mı́n en (2, −8) (7/8, −1/8)
|| 808 037.20
196. C 202. 3.848 %
Capı́tulo 4
Cálculo con varias variables
1. v p = 3p2 q2 + 2p − 2, vq = 2p3 q + 6q
5. gx = xy−1 y, gy = xy ln x
6. zs = 2set , zt = s2 et
√ √
7. fu = 32 u2 / u3 + v2 , fv = v/ u3 + v2
√ √
8. ur = r/ r2 − s3 , us = − 23 s2 / r2 − s3
√ √
9. yv = (3w − v)/(v2 2v − 3w), yw = −3/(2v 2v − 3w)
20. wrr = 2, wrs = wsr = −4, wrt = wtr = −2t, wss = 6t, wst = wts = 6s, wtt = −2r
21. qss = t −2 e−s/t , qst = qts = (t − s)t −3 e−s/t , qtt = s(s − 2t)t −4 e−s/t
22. vxx = y(x2 + y)−3/2 , vxy = vyx = − 12 x(x2 + y)−3/2 , vyy = − 14 (x2 + y)−3/2
23. wxx = −y4 z6 (1 + xy2 z3 )−2 , wxy = wyx = 2yz3 (1 + xy2 z3 )−2 ,
wxz = wzx = 3y2 z2 (1 + xy2 z3 )−2 , wyy = 2xz3 (1 − xy2 z3 )(1 + xy2 z3 )−2 ,
wyz = wzy = 6xyz2 (1 + xy2 z3 )−2 , wzz = 3xy2 z(2 − xy2 z3 )(1 + xy2 z3 )−2
26. Competitivos
27. Complementarios
28. Competitivas
29. Complementarios
31. q` (256, 16) = 15/2, qk (256, 16) = 40; mejor invertir en capital
33. Ux (4000, 15) = −106, Uy (4000, 15) = 3575. Si el nivel de inventario aumenta en una
unidad, la utilidad disminuirá aproximadamente en 106 unidades; si la superficie de
exhibición aumenta en una unidad, la utilidad aumentará aproximadamente en 3575
unidades
145
34. qy (6, 45) = 1.56e−0.96 ≈ 0.597: habrı́an vendido aproximadamente 597 unidades más
al mes
49. (−2, 3): máximo; (−2, 5): ninguno; (4, 3): ninguno; (4, 5): mı́nimo
54. ` = 18, k = 14
56. 80 % y 21.11 ◦ C
59. p1 = 5.5, p2 = 6
60. q1 = 4/3, q2 = 3
√
63. 3 2/8, entre (1/2, 1/4) y (7/8, −1/8)
69. (a) N = 70400 + 1130t. (b) 79 440 cajas. (c) En el 2002. (d) En 1130 cajas.
70. (a) T = 43.5 − 18.81d. (b) 15.29 hrs. (c) Mayor que 1.249 g.
|| 3.25/$. (c) C
71. (a) T = 264.2 + 39a. (b) C || 507.95/$.
75. (a) y = −68 284.65 + 37.86x. (b) 7435.35 cm. (c) En 151.44 cm.
76. (a) t = 16.3684 + 8.9474n. (b) 8.1842 min. (c) 8.9474 min.
77. (a) v = 25.14 − 2.95p. (b) 25.14 km/h. (c) Perdió 116.3 m.
79. (a) Porque si el área es cero la población debe ser cero. (b) b = 0.07466.
(c) 74.66 hab/km2 . (d) 73.23 hab/km2 .
80. (a) Porque si la distancia es cero el consumo debe ser cero. (b) b = 0.09192.
(c) y = 0.09192x. (d) 10.88 km/l. (e) 10.55 km/l.
81. (a) V = 500.485 · 1.02004m , en miles de colones. (b) 2.004 %. (c) En 69.8 meses.
82. (a) P = 19.948 · 1.02629x , en miles de habitantes. (b) 2.629 %. (c) En 1986.
86. (a) T = 18.80n−0.9505 . (b) 2.96 dı́as. (c) Más de cuatro personas.