Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022

para
Febrero 2022
Luis Alejandro Acuña Prado

La imagen de fondo de la portada fue obtenida en es.pngtree.com.
Índice general
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Lı́mite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Teoremas sobre lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Cálculo de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Estimación de lı́mites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Cálculo de lı́mites infinitos y lı́mites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1. Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Derivadas de funciones algebraicas, exponenciales y logarı́tmicas . . . . . . . . . . . 49
2.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Capı́tulo 3
Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1. Derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. La regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1. Las formas 0/0 e ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2. La forma 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3. La forma ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4. Las formas ∞0 , 1∞ y 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Índice general
3.3. Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Máximos y mı́nimos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1. El criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.2. El criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.3. (Opcional) Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5. Problemas de máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1. Problemas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2. Problemas de aumento/reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.3. Problemas sobre pedidos y lotes de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.4. Problemas que involucran geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6. Interés en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Capı́tulo 4
Cálculo con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4. Optimización con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5. Criterio de cuadrados mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6. Regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.1. Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.2. Problemas de regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Apéndice A
Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Apéndice B
Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C AP ÍTULO 1
Lı́mites y continuidad
de una función
A veces sucede que, aunque una función f no esté definida en un punto x = a, los valores
de y = f (x) se acercan a un lı́mite L conforme x se acerca a a. En ese caso se dice que L es
el lı́mite de f (x) cuando x tiende a a, y se escribe
lı́m f (x) = L
x→a
Otra forma de expresar lo mismo es diciendo que f (x) tiende a L cuando x tiende a a,
o en sı́mbolos, que f (x) → L cuando x → a.
En este capı́tulo veremos cómo estimar lı́mites a partir de gráficos o tablas de valores,
y cómo calcularlos formalmente.
1.1. Lı́mite de una función en un punto

Vamos a empezar por analizar el concepto de lı́mite, y ver su relación con el comporta-
miento numérico o gráfico de una función.
Ejemplo 1
x3 − 25x
Estimar el lı́mite de cuando x tiende a 5.
x−5
x3 − 25x
La función f (x) = no está definida en x = 5, pero para x cercano a 5
x−5
podemos observar los valores de la función conforme x se acerca a 5 desde la
izquierda o desde la derecha:
4 Capı́tulo 1. Lı́mites y continuidad de una función
→
x 4 4.5 4.9 4.999 5
( desde la izquierda de 5)
f (x) 36 42.75 48.51 49.985 6 ∃
→
←
x 5 5.001 5.1 5.5 6
(por la derecha de 5)
f (x) 6 ∃ 50.015 51.51 57.75 66
←
Gráficamente,
f (x)
Es claro, tanto en la tabla de valores como en el gráfico, que entre más se acerca
x a 5, más se acerca f (x) a 50, aunque f (5) no es 50. En sı́mbolos escribimos
que f (x) → 50 cuando x → 5, o bien, que lı́m f (x) = 50.
x→5
Como vimos en el ejemplo anterior, para hablar del lı́mite de una función en un punto no
es necesario que la función esté indefinida allı́.
Si la función f sı́ está definida en x = a, es usual que lı́m f (x) = f (a), como veremos en
x→a
el siguiente ejemplo. Pero más tarde en el ejemplo 3 veremos que ese no siempre es el caso.
1.1. Lı́mite de una función en un punto 5
Ejemplo 2
Estimar el lı́m t + 5.
t→3
La función h(t) = t + 5 sı́ está definida en t = 3 y, como vemos en la siguiente
tabla, su lı́mite allı́ es lı́m h(t) = 8 = h(3).
t→3
→ ←
t 2.5 2.9 2.999 3 3.001 3.1 3.5
h(t) 7.5 7.9 7.999 8 8.001 8.1 8.5
→ ←
Ocasionalmente, una función f puede tener un lı́mite distinto en cada lado (izquierdo y
derecho) del punto x = a. En ese caso se habla de lı́mites laterales, que se denotan
lı́m f (x) y lı́m f (x)
x→a− x→a+
y se llaman lı́mite por la izquierda y lı́mite por la derecha (o lı́mite cuando x tiende a a por
la izquierda y por la derecha), respectivamente.
El lı́mite general de la función (también llamado lı́mite bilateral) existe solamente si
ambos lı́mites laterales existen y son iguales.
Ejemplo 3
Calcular los lı́mites laterales de

x − x2 si x ≤ 2
b(x) = x
si x > 2
9 − x2

cuando x → 2.
Empecemos por ver el gráfico de b(x) para 0 ≤ x ≤ 3.
b(x)
x
En el gráfico vemos que hay dos lı́mites distintos cuando x tiende a 2 por la
izquierda y cuando x tiende a 2 por la derecha. Viniendo desde la izquierda de
x = 2 el gráfico se acerca al punto (2, −2), por lo que parece que el lı́mite por la
izquierda será −2. Y viniendo desde la derecha el gráfico se acerca a (2, 0.4), de
modo que el lı́mite por la derecha parece ser 0.4.
Confirmemos numéricamente esas dos estimaciones.
Para el lı́mite por la izquierda, lı́mx→2− b(x), usamos la fórmula
b(x) = x − x2 para x < 2.
No se necesita una tabla de valores para evaluar el lı́mite, ya que si x → 2

entonces claramente x − x2 → (2) − (2)2 = −2.
Entonces lı́mx→2− b(x) = −2.
Por la derecha, para calcular lı́mx→2+ b(x), vamos a usar la fórmula
x
b(x) = para x > 2.
9 − x2
También ahora podemos evaluar el lı́mite sustituyendo: si x → 2+ , entonces
x/(9 − x2 ) tiende a 2/(9 − 22 ) = 2/5. Entonces lı́mx→2+ b(x) = 2/5 = 0.4.
En resumen, los lı́mites laterales cuando x → 2 son −2 por la izquierda y 0.4 por
la derecha:
lı́m b(x) = −2 y lı́m b(x) = 0.4
x→2− x→2+
Como son distintos, no existe el lı́mite bilateral lı́m b(x).

x→2
El ejemplo anterior ilustra que, aunque una función esté definida en un punto, su lı́mite
en ese punto puede no ser igual al valor de la función. En efecto, en el ejemplo se tiene
b(2) = −2, pero lı́mx→2 b(x) no es −2 (de hecho, el lı́mite no existe). Vea la definición de
continuidad en la página 1.5.
1.1. Lı́mite de una función en un punto 7
Ejercicios
Estime a partir del gráfico
y = f (x)
1. lı́m f (x)
x→1
2. lı́m f (x) 2
x→0
3. lı́m f (x)
x→−1+ 1
4. lı́m f (x)
x→−1−
−1 1
5. lı́m g(t)
t→−3+
6. lı́m g(t)
t→−1− y = g(t)
7. lı́m g(t) 3
t→−1+
8. lı́m g(t)
t→1−
9. lı́m g(t)
t→1+
10. lı́m g(t)
t→2−
11. lı́m g(t) −3 3
t→2+
12. lı́m g(t)
t→3−
Complete la tabla de valores para estimar el lı́mite
2x2 − 6x + 4
13. lı́m
x→2 4 − x2
x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
f (x) −0.4962 −0.5004 −0.5366
t 2 − 25
14. lı́m
t→−5 t + 5
t −5.1 −5.01 −5.001 −4.999 −4.99 −4.9
f (t) −10.01 −9.9
√
w−2−1
15. lı́m
w→3 w−3
w 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1
f (w) 0.5132 0.5001 0.4881
√
2− 5+y
16. lı́m
y→−1 1+y
y −1.1 −1.01 −1.001 −0.999 −0.99 −0.9
f (y) −0.2502 −0.2498
sent
17. lı́m (con t en radianes)
t→0 t
t −0.1 −0.01 −0.001 0.001 0.01 0.1
f (t) 0.9983
1 − e4−y y 3.9 3.99 3.999 3.9999
18. lı́m
y→4− 4y − y2 f (y) −0.2519
t 0.0001 0.001 0.01 0.1
19. lı́m t lnt
t→0+ f (t) −0.0069
Haga una tabla de valores para estimar el lı́mite

ln y e−t
20. lı́m 23. lı́m
y→1 1 − y t→e 1 − lnt
x 24. lı́m(1 + t)2/t
21. lı́m t→0
x→0 1 − ex
2x − 1
22. lı́m x e1/x 25. lı́m
x→0− x→0 x
1.2. Teoremas sobre lı́mites

Teorema
Si f (x) es una combinación (suma, resta, producto, cociente o composición) de
polinomios
raı́ces
logaritmos
funciones exponenciales
funciones trigonométricas
entonces
lı́m f (x) = f (c)
x→c
siempre que f (c) esté definido.
1.2. Teoremas sobre lı́mites 9
Una implicación del teorema anterior es que para las funciones mencionadas el lı́mite se
puede calcular simplemente sustituyendo x = c, siempre que la función esté definida en c.
Ejemplo 4
√
z2 + 7
Calcular lı́m .
z→3 z − 1
Al sustituir z = 3 vemos que la función sı́ está definida1 :

√ √ √
z2 + 7 32 + 7 16
= = =2
z − 1 z=3 3−1 2
√
z2 + 7
Entonces lı́m = 2.
z→3 z − 1
Ejercicios
Calcule
26. lı́m t 2 + 3t h2
t→−2 31. lı́m
p h→4 h2 − 9
27. lı́m 1 + z3
z→3 2 + 10y
32. lı́m
y→1 y + 5
p
28. lı́m 2y 2y3 + 6
y→5
33. lı́m f (x), donde
29. lı́m 3e p−2 − 5p x→3 (
p→2
2x − 3 si x < 3
30. lı́m u2 − 5u + log2 (u + 1) f (x) =
u→3 4−x si x ≥ 3
1 La

notación f (x)x=a , o simplemente f (x)a se refiere a la función f (x) evaluada en x = a. Si la función
tiene un nombre, como f , es más sencillo escribir f (a). Pero en este ejemplo no tenemos una función con
nombre.
 2
x − 5 si x ≤ −1
Calcule para g(x) = 3x + 2 si −1 < x < 1
 2
4x + 2x si x ≥ 1
34. g(−1) 40. lı́m g(x)
x→1+
35. lı́m g(x) 41. lı́m g(x)
x→−1− x→1
36. lı́m g(x) 42. g(0)
x→−1+
37. lı́m g(x) 43. lı́m g(x)
x→−1 x→0−
38. g(1) 44. lı́m g(x)

x→0+
39. lı́m g(x) 45. lı́m g(x)
x→1− x→0
1.3. Cálculo de lı́mites

Si f (x) es una combinación de polinomios, raı́ces, logaritmos y funciones exponenciales
o trigonométricas, pero f (c) no está definido, entonces para calcular lı́mx→c f (x) a veces es
posible simplificar f (x) de modo que la forma simplificada se pueda evaluar en c.
Existen varios métodos para simplificar antes de evaluar. En el ejemplo 5 veremos cómo
simplificar factorizando, y en el ejemplo 6, racionalizando. Luego en la sección 3.2 veremos
un tercer método: derivando.
Ejemplo 5
w2 − 1
Calcular lı́m .
w→−1 w + 1
w2 − 1
Primero notemos que la función no está definida en −1:
w+1
w2 − 1

0
=
w + 1 w=−1 0

Pero podemos factorizar el numerador (diferencia de cuadrados) y simplificar

para aplicar el principio del ejemplo anterior.
w2 − 1 (w + 1)(w − 1)
lı́m = lı́m = lı́m w − 1
w→−1 w + 1 w→−1 w+1 w→−1
1.3. Cálculo de lı́mites 11
Esta última función, w − 1, sı́ está definida en w = −1, y entonces su lı́mite se

evalúa sustituyendo:
w2 − 1
lı́m = lı́m w − 1 = (−1) − 1 = −2
w→−1 w + 1 w→−1
En este ejemplo tenı́amos w → −1 y un factor w + 1 en el denominador. La fracción

estaba indefinida en w = −1 porque este es un cero del denominador. La solución fue encon-
trar un factor (w + 1) en el numerador para cancelar el factor idéntico en el denominador de
modo que ası́ funcionara el segundo intento de sustituir.
Compare con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6
√
y−3
Calcular lı́m .
y→9 y − 9
El factor y−9 hace imposible evaluar la fracción en y = 9. Si encontráramos otro

factor y − 9 en el numerador, los canceları́amos como en el ejemplo anterior.
Pero como no hay nada que factorizar, ahora vamos a racionalizar el numerador
y después de eso podremos simplificar.
√ √ √
y−3 y−3 y+3 y−9
lı́m = lı́m ·√ = lı́m √
y→9 y − 9 y→9 y − 9 y + 3 y→9 (y − 9)( y + 3)
1 1
= lı́m √ =
y→9 y + 3 6
Entonces el lı́mite vale 1/6.
Note que en el ejemplo anterior tenı́amos y → 9, y al simplificar cancelamos un factor

(y − 9) en cada parte de la fracción. Y en el ejemplo trasanterior era w → −1 y los factores
que cancelamos fueron (w + 1).
Por regla general, si una fracción de polinomios o raı́ces resulta en 0/0 cuando x → c, se
debe intentar conseguir un factor (x − c) en el numerador y otro en el denominador.
Ejercicios
Simplifique cada expresión y calcule su lı́mite
2t 2 − t − 3 55. lı́m ln(t 3 + 2t 2 ) − ln(3t + 6)
46. lı́m t→−2
t→−1 t +1
2x + x2 y−4
47. lı́m 56. lı́m √
x→−2 2 + x y→4 y − 2
y2 + 3y − 4 y − k2
48. lı́m 57. lı́m √ , con k > 0
y→1 y−1 y→k2 y − k
cw2 − 3c2 w
49. lı́m 3x − x2
w→3c w2 − 9c2 58. lı́m √
x→3 1 + 1 + x
2x2 − 5x − 3
50. lı́m 3 √
x→3 x + 5x − 3x2 − 15 4 − 2t + 11
59. lı́m
3h2 − 5h t→5/2 2t − 5
51. lı́m
h→0 4h √
2 y+6+y
u + 42 13u 60. lı́m
52. lı́m + y→−2 y+2
u→−6 u + 6 u+6 √ √
p2 − 3p 2 u+ a
53. lı́m p 61. lı́m
p→3 3e − pe p u→a 4u − a
52y − 1 p3 + p2 − 2
54. lı́m y 62. lı́m √
y→0 5 − 1 p→1 2 − p + 3
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos

En esta sección veremos dos tipos de lı́mites en los que alguna de las variables (indepen-
diente o dependiente) tiende a infinito.
Que una variable tienda a infinito significa que crece sin cota, tomando valores mayores
que cualquier número real. Un ejemplo muy sencillo es este: si n es una variable que toma
todos los valores enteros 1, 2, 3, . . . , sucesivamente, entonces n crece sin cota (porque even-
tualmente sobrepasará cualquier número real) y por lo tanto tiende a infinito. Eso se denota
n → ∞.
Una variable también puede tender a menos infinito. Por ejemplo, si n toma los valores
−1, −2, −3, . . . , entonces n → −∞.
Supongamos que f es una función y a es un número. Si f (x) crece sin cota (es decir,
tiende a infinito) cuando x → a, se dice que el lı́mite de f (x) cuando x → a es infinito:
lı́mx→a f (x) = ∞.
Si f (x) decrece sin cota cuando x → a, entonces lı́mx→a f (x) = −∞.
En cualquiera de los dos casos, esto es lo que se considera un lı́mite infinito.
1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos 13
1.4.1. Estimación de lı́mites infinitos y al infinito

Empecemos con el enfoque numérico para aclarar el concepto.
Ejemplo 7
5r
Calcular lı́m .
r→−4 r + 4
La tabla de valores es ası́:
→
r −4.5 −4.1 −4.001 −4.00001 −4
(por la izquierda)
f (r) 45 205 20005 2000005 6 ∃
→
←
r −4 −3.99999 −3.999 −3.9 −3.5
(por la derecha)
f (r) 6 ∃ −1999995 −19995 −195 −35
←
En ella vemos, y lo confirmamos de otra manera en el gráfico abajo, que cuando

r → −4 por la izquierda, f (r) crece sin cota, hacia ∞, y que cuando r → −4 por
la derecha, f (r) decrece sin cota, hacia −∞. Entonces
lı́m f (r) = ∞ y lı́m f (r) = −∞

r→−4− r→−4+
f (r)
Estos son dos ejemplos de lı́mites infinitos.

Cuando es x el que crece o decrece sin cota (en sı́mbolos, x → ∞ o x → −∞), entonces se
habla de un lı́mite al infinito.
Ejemplo 8
Con la misma función del ejemplo anterior, veamos qué sucede cuando r → ∞:
r 100 10000 1000000 → ∞
f (r) 4.8077 4.9980 4.99998 → 5
La tabla confirma lo que podemos ver también en el gráfico del ejemplo anterior:
5r
que lı́m = 5.
r→∞ r + 4
Ejercicios
Estime a partir del gráfico
63. lı́m f (v)

v→−∞ y = f (v)
64. lı́m f (v)
v→∞
65. lı́m f (v) 2
v→−2−
66. lı́m f (v)
v→−2+ −4 −2 2 4
67. lı́m f (v)
v→1− −2
68. lı́m f (v)
v→1+
69. lı́m g(x)

x→−∞
y = g(x)
70. lı́m g(x)
x→−2−
71. lı́m g(x)
x→−2+
72. lı́m g(x)
x→−1− 1
73. lı́m g(x)
x→−1+
74. lı́m g(x) −2 2
x→2−
75. lı́m g(x)
x→2+
76. lı́m g(x)
x→∞
Haga una tabla de valores para estimar el lı́mite

ln y lnt
77. lı́m 81. lı́m
1−y
y→0+ t→∞ t
θ u
78. lı́m 82. lı́m
θ →0 cos θ − 1 u→0 1 + u − eu
0.2 k

79. lı́m 1 + 83. lı́m x ex
k→∞ k x→∞
80. lı́m x e1/x 84. lı́m x ex

x→0+ x→−∞
1.4.2. Cálculo de lı́mites infinitos y lı́mites al infinito

f (x)
Si en el lı́mite de un cociente, lı́m , el numerador f (x) tiende a algún número y
x→c g(x)
el denominador g(x) tiende a infinito (positivo o negativo), entonces el lı́mite es cero. En
sı́mbolos, escribimos
a
=0 para cualquier a ∈ IR.
±∞
Si el denominador g(x) tiende a cero y el numerador f (x) tiende a otro número (distinto
de cero), entonces el lı́mite es infinito positivo o infinito negativo. En ese caso basta con
encontrar los signos de f (x) y g(x) para determinar el signo del resultado. Escribimos
a
= ±∞ para cualquier a ∈ IR − { 0 }.
0
Otras propiedades útiles acerca de lı́mites al infinito son

( (
∞ si n > 0 ∞ si b > 1
∞n = y b∞ =
0 si n < 0 0 si 0 ≤ b < 1
Para logaritmos:
( (
−∞ si b > 1 ∞ si b > 1
logb 0 = y logb ∞ =
∞ si 0 < b < 1 −∞ si 0 < b < 1
Ejemplo 9
1−y
Calcular lı́m .
y→2 2 − y
Aquı́ el denominador tiende a cero pero el numerador no: el lı́mite es de la forma
−1
= ±∞
0
Para determinar el signo necesitamos conocer los signos del numerador y del
denominador.
Cuando y → 2, el numerador 1 − y tiende a −1 y entonces es claramente negati-
vo. Pero el denominador 2−y tiende a 0 y entonces puede ser positivo o negativo
dependiendo de si y → 2 por la izquierda o por la derecha.
Entonces separamos los dos lı́mites laterales.
Por la izquierda, cuando y → 2− , el denominador 2−y tiende a 0 pero es positivo
(por ejemplo, con y = 1.999 se tiene 2−y = +0.001). Entonces la fracción entera
es negativa: numerador negativo y denominador positivo. Ası́ lo escribimos:
1 − y −1
lı́m = + = −∞
y→2− 2 − y 0
(donde 0+ denota una cantidad que tiende a cero pero es positiva).
Por la derecha, cuando y → 2+ , el denominador tiende a 0 pero es negativo (por
ejemplo, con y = 2.001 se da 2 − y = −0.001). Entonces
1 − y −1
lı́m = − = +∞
y→2+ 2 − y 0
Ejemplo 10
z
Calcular lı́m .
z→1 |1 − z|
En este lı́mite, como en el ejemplo anterior, tenemos un denominador que tiende
a cero y un numerador que tiende a otro número. Especı́ficamente, la forma de
este lı́mite es 01 .
Entonces el lı́mite será +∞ o −∞ dependiendo de los signos. El numerador es
positivo cuando z → 1, y el denominador, aunque tiende a cero, esta vez no tiene
ambigüedad de signo por el valor absoluto: el denominador es también positivo
siempre.
Por eso el lı́mite es 1/0+ = +∞ por ambos lados.
Cocientes de polinomios
Veamos un atajo para calcular el lı́mite al infinito de un cociente de polinomios. Si
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · y q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · ·
son dos polinomios de grados n y m respectivamente, entonces el lı́mite de su cociente cuan-
do x → ±∞ puede calcularse tomando solo los términos principales (con grado más alto) de
cada polinomio:
p(x) an xn
lı́m = lı́m
x→±∞ q(x) x→±∞ bm xm
Ejemplo 11
5 − 2t 2 1 − 4y + 3y2 2u5 + u2
Calcular lı́m , lı́m y lı́m .
t→∞ 6t 3 + t + 1 y→∞ 6y − 5y2 u→−∞ u2 − 4
5 − 2t 2 −2t 2 −1 −1
lı́m = lı́m = lı́m = =0
t→∞ 6t 3 + t + 1 t→∞ 6t 3 t→∞ 3t ∞
1 − 4y + 3y2 3y2 3 3
lı́m = lı́m = lı́m = −
y→∞ 6y − 5y2 y→∞ −5y2 y→∞ −5 5
2u5 + u2 2u5
lı́m 2
= lı́m 2
= lı́m 2u3 = 2(−∞)3 = 2(−∞) = −∞
u→−∞ u − 4 u→−∞ u u→−∞
Otros lı́mites al infinito

Para calcular otros lı́mites al infinito que involucran potencias de la variable, puede ser
útil factorizar la potencia más alta de la variable en cada parte de la expresión.
Ejemplo 12
p
Calcular lı́m v − 3v2 − 2.
v→∞
Este lı́mite tiene la forma indeterminada ∞ − ∞. Puede sacarse v2 como factor
común de la raı́z, y luego v como factor común de la diferencia:
p q
lı́m v − 3v2 − 2 = lı́m v − v2 (3 − 2v−2 )
v→∞ v→∞
p
= lı́m v − v 3 − 2v−2
v→∞
p
= lı́m v(1 − 3 − 2v−2 )
v→∞
√
= ∞(1 − 3 + 0) = −∞
la raı́z se debe a que 2v−2 = 2/v2 → 2/∞2 = 0, y el signo final
(el cero dentro de √
se debe a que 1 − 3 ≈ −0.732 es negativo).
Es importante recordar que para cualquier x ∈ IR,

(
√ x si x ≥ 0
x2 = |x| =
−x si x ≤ 0
√
√ anterior, como v → ∞ entonces
En el ejemplo v2 = v. Pero en el siguiente, donde x → −∞,
tendremos x2 = −x.
Ejemplo 13
√
5x2 + x
Calcular lı́m .
x→−∞ 2x + 3
Para esto se puede sacar x2 como factor común de la raı́z, y x como factor común
del denominador
√ (note que como ahora x → −∞, entonces x es negativo, por lo
2
que x = |x| = −x):
√ p
5x2 + x x2 (5 + x−1 )
lı́m = lı́m
x→−∞ 2x + 3 x→−∞ x(2 + 3x−1 )
√
−x 5 + x−1
= lı́m
x→−∞ x(2 + 3x−1 )
√
− 5 + x−1
= lı́m
x→−∞ 2 + 3x−1
√ √
− 5+0 − 5
= =
2+0 2
Ejemplo 14
3 + 0.7t
Calcular lı́m .
t→∞ 4 + 2−t
Encontremos primero los lı́mites de 0.7t y de 2−t . El primero es inmediato:
lı́m 0.7t = 0.7∞ = 0 (b∞ = 0 cuando 0 ≤ b < 1)

t→∞
Para el segundo tenemos dos opciones. Podemos decir que

t
−t 1
lı́m 2 = lı́m =0 (de nuevo b∞ con 0 ≤ b < 1)
t→∞ t→∞ 2
o que
1 1
lı́m 2−t = 2−∞ = = (b∞ = ∞ cuando b > 1)
t→∞ 2∞ ∞
que también es igual a 0.

3 + 0.7t 3+0 3
Estos cálculos nos llevan a que lı́m = = .
t→∞ 4 + 2−t 4+0 4
Ejemplo 15

2t + 1
Calcular lı́m ln 2 .
t→∞ t +4
Veamos primero cuánto es el lı́mite de la fracción dentro del logaritmo. Recor-
dando que para calcular un lı́mite al infinito de un cociente de polinomio basta
con tomar los términos principales, tenemos que
2t + 1 2t 2
lı́m = lı́m = lı́m =0
t→∞ t 2 + 4 t→∞ t 2 t→∞ t

2t + 1
Entonces lı́m ln 2 = ln(0) = −∞.
t→∞ t +4
Ejercicios
Calcule
x2 + 3x 1 2−y
85. lı́m 92. lı́m −
x→1 x − 1 y→5 y (5 − y)2
1−h p+2
86. lı́m 93. lı́m
h→0 h p→−1 ln(p + 2)
2 + x + x2 e−t
87. lı́m 94. lı́m
x→3 6 + x − x2 t→0 1 − e−t
√
2t − 1 1− p+3
88. lı́m 2 4 95. lı́m
t→0 t − t p→−2 (p + 2)2
r
1 4c
89. lı́m 2 96. lı́m
h→−3 h − 9 c→4+ c−4

t −6 t − 6
90. lı́m 97. lı́m
t→5 t − 5 t→5 t − 5
1−u |x − 2| − 3
91. lı́m 98. lı́m
u→3 6 − 2u x→5 1 − |4 − x|
t −1 h2 − 1
99. lı́m 116. lı́m √
t→−2 |t + 2| h→−∞ 3h + 5h4
1−u √
100. lı́m 1− t
u→3 |6 − 2u| 117. lı́m √
t→∞ 1 + t
3−u √
101. lı́m 2u − 5 + 1
u→∞ 2u − 1 118. lı́m √
u→∞ 1 + 3 2u
1−u
102. lı́m s
u→∞ 6 − 2u
4t 2 − 5
x+8 119. lı́m
103. lı́m t→∞ t + 9t 2
x→−∞ x2 − 5x + 1
2w − 3
3y − 5y2 120. lı́m √
104. lı́m w→−∞ w − 1 − w
y→−∞ 2y − 9 p
x2 − 4 121. lı́m y3 + 1 + y3 + y6
y→−∞
105. lı́m
x→−∞ x3 + 2x2 + x + 2
2−u
2w3 − 5w + 6 122. lı́m √
u→∞ 2 + u
106. lı́m
w→∞ 4 − w3 p
123. lı́m 2p − p2 + 1
2t 3 + 1 p→∞
107. lı́m 3 √
t→−∞ 7t + 2t + 8
r − r2 + 1
4z + z2 − z3 124. lı́m
108. lı́m r→∞ r+6
z→∞ 5 + 2z2 √
v+1 v2 + 4
y2 − 1 125. lı́m √ −
109. lı́m v→∞ v2 + 4 2v − 1
y→∞ 3y + 6y3
126. lı́m (2 + 1/h)h
4t 2 − 6t + 3 3t + 5 h→∞
110. lı́m +
t→−∞ 2t 2 + 1 5t − 3 127. lı́m 51/x
x→0
y − 2y + 1 y2 + 6
3
111. lı́m + 2 eq − e−q
y→−∞ y−5 y −y 128. lı́m
1 − r2 4r3 + r
q→∞ 2
112. lı́m − 2 2
r→∞ 2 + r 2r − 5r + 3 129. lı́m
3 u→2 4 − 2u
w 1 − 6w2
113. lı́m − 130. lı́m ln(t 2 − 4) − ln(4t 2 + 1)
w→−∞ 2 + w2 3w + 4 t→∞
2
x +1
114. lı́m −x 131. lı́m log0.5 (x − 5)
x→∞ x + 9 x→5+

3r + 2 10z − 3
115. lı́m √ 132. lı́m log
r→−∞ 4r 2 − r + 1 z→∞ z+8
1.5. Continuidad de una función 21
Resuelva
133. Cuando el precio unitario de un artı́culo es x, el proveedor ofrece una cantidad

105x2
S(x) = 2 de unidades por semana. ¿A cuánto se aproxima la oferta del
5x + 48
proveedor cuando el precio tiende a infinito?
134. Una escalera de 8 m de longitud está apoyada sobre una pared. La base de la
escalera se aleja de la pared a 1 m por segundo. Cuando la base está a x metros de la
pared, el extremo superior de la escalera se desliza hacia abajo por la pared a una
x
velocidad v = √ m/s. Calcule la velocidad a la que baja el extremo cuando
64 − x2
la distancia de la base a la pared es 7 m, 7.9 m y 7.99 m. ¿A cuánto tiende la
velocidad del extremo cuando este está a punto de tocar el piso?
135. Si el costo de producir q unidades de un producto es C(q) = 800 + 6q, y el costo
promedio por unidad es C̄(q) = C(q)/q, ¿a cuánto tiende el costo promedio por
unidad conforme el número de unidades tiende a infinito?
3t + 2
136. La velocidad de un avión t minutos después del despegue es v = 300
t +2
en km/h. ¿Cuál es la velocidad en el momento del despegue? ¿Cuál es la velocidad
10 min después? ¿A cuánto tiende la velocidad conforme pasa el tiempo?
137. Para una cierta pelı́cula, el ingreso total por taquilla n meses después del
95n2
lanzamiento está dado por la función I(n) = 2 , en millones de dólares.
n +3
¿Cuánto es el ingreso total después de dos meses? ¿Después de seis meses? ¿A
cuánto tiende el ingreso total al largo plazo?
138. Se estima que el tiempo necesario para completar la construcción de un edificio es
T (n) = 6/(1 − 0.95n ) en meses, donde n es el número de trabajadores en el sitio.
¿A cuánto tiende el tiempo de construcción conforme el número de trabajadores
tiende a infinito?
1.5. Continuidad de una función

El concepto de que una función sea continua suele plantearse en términos de que “se
puede trazar su gráfico sin levantar el lápiz”.
Pero lo anterior supone que se tiene acceso al gráfico de la función. Según esa idea,
¿cómo se sabrı́a, sin ver el gráfico, si una función es continua?
Lo correcto es que la continuidad de una función en un punto depende del lı́mite de la
función en el punto, como vemos en esta definición.
Definición (continuidad de una función en un punto)

Una función f es continua en un punto c ∈ IR si
lı́m f (x) = f (a)

x→c
Note que la igualdad en esta definición implica varias cosas: que existe el lı́mite por la
derecha, que existe el lı́mite por la izquierda, que la función está definida en c, y que los tres
valores son iguales. Es decir,
lı́m f (x) = lı́m f (x) = f (c)

x→c+ x→c−
Ejemplo 16
u−3
Determinar si la función g(u) = es continua en u = 3.
u2 + 2u − 15
Por un lado, el lı́mite lı́mu→3 g(u) es
u−3 u−3 1 1
lı́m = lı́m = lı́m =
u→3 u2 + 2u − 15 u→3 (u − 3)(u + 5) u→3 u + 5 8
Pero por otro lado, g(3) = 00 , que no está definido.

Entonces no; la función g(u) no es continua en u = 3.
Los polinomios, las raı́ces, las funciones exponenciales, las logarı́tmicas y las trigo-
nométricas son continuas en cada punto de su dominio. Y las combinaciones de funciones
continuas también son continuas como dice el siguiente teorema.
Teorema
Si f y g son continuas en a, entonces f + g, f − g y f · g también son continuas en a.
Si además g(a) 6= 0 entonces también f /g es continua en a.
Ejemplo 17
3x2 − 2x + 1
Encontrar los puntos donde la función f (x) = es continua.
x3 − 4x
En primer lugar, f es un cociente de polinomios, por lo que su numerador y su
denominador son continuos en todo IR. Por el teorema anterior, el cociente f (x)
es continuo siempre que su denominador sea distinto de 0.
Los únicos puntos de discontinuidad de f son entonces los puntos donde el de-
nominador es 0:
x3 − 4x = 0 ⇔ x(x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 0, 2 o −2
Entonces f es continua en IR − { 0, 2, −2 }.
Para funciones definidas en trozos no basta con aplicar el teorema anterior a polinomios,
exponenciales y otras funciones que se saben continuas. Eso es porque aunque una función
se defina en trozos a partir de funciones continuas, podrı́a haber una discontinuidad en los
puntos que separan los trozos. Vea el gráfico en el ejemplo 3: cada trozo es continuo pero
hay una discontinuidad en x = 2.
Por regla general, si f está definida en trozos entonces sus puntos de discontinuidad
son los puntos de discontinuidad de cada trozo, y posiblemente los puntos donde se unen o
separan los trozos.
Ejemplo 18
Encontrar los puntos de discontinuidad de

(
2t 2 − 2t + 2 si t ≤ 2
p(t) =
12 − t si t > 2.
Como p(t) está definida en trozos y cada trozo es continuo en su dominio, en-
tonces el único punto de posible discontinuidad es t = 2, el que divide los trozos.
En ese punto tendremos que recurrir a la definición de continuidad: la función p
será continua en t = 2 solo si los dos lı́mites laterales y el valor de la función en
ese punto son iguales.
Calculemos entonces:
p(2) = 2(2)2 − 2(2) + 2 = 6

lı́m p(t) = lı́m 2t 2 − 2t + 2 = 6
t→2− t→2−
lı́m p(t) = lı́m 12 − t = 10
t→2+ t→2+
Como los tres valores no son iguales, no se satisface que lı́mt→2 p(t) = p(2)
(especı́ficamente porque el lı́mite no existe), y concluimos que p es discontinua
en 2.
En el gráfico de p(t) confirmamos que cada trozo es continuo pero hay un salto en t = 2
(debido a lı́mites laterales distintos), lo que causa la discontinuidad.
p(t)
Ejemplo 19
Continuando con el ejemplo anterior, consideremos una función q(t) con la si-
guiente definición: (
2t 2 − 2t + 2 si t ≤ 2
q(t) =
a−t si t > 2.
donde a es alguna constante.
¿Cuál debe ser el valor de a para que q sea continua en todo IR?
Esta nueva función es casi idéntica a la función del ejemplo anterior excepto que
el trozo derecho tiene a − t en vez de 12 − t. Al igual que en el caso anterior de
p(t), como los dos trozos son continuos el requisito para que q sea continua en
IR se reduce a que sea continua en t = 2. Para eso se necesita que los siguientes
tres valores sean iguales:
q(2) = 2(2)2 − 2(2) + 2 = 6

lı́m q(t) = lı́m 2t 2 − 2t + 2 = 6
t→2− t→2−
lı́m q(t) = lı́m a − t = a − 2
t→2+ t→2+
Eso es fácil de resolver: la igualdad 6 = a − 2 es cierta cuando a = 8.

La respuesta entonces es que para que q sea continua en IR el valor de a debe
ser 8.
El gráfico de q(t) para a = 8, abajo, muestra la semejanza con p(t) y también la diferencia
principal: el trozo derecho está trasladado hacia abajo de modo ahora que los dos trozos
“empatan” y no hay salto en el gráfico.
q(t)
Ejercicios
Determine si la función es continua en el punto dado
4x − 8
139. f (x) = en x = 2
x2 − 4
6t 2 − 5t + 1
140. h(t) = en t = 3
3t 2 − 18
(
8x − 5 si x < −1
141. g(x) = en x = −1
10x − 2x2 si x ≥ −1

4 − r
 si r < −1
142. p(r) = 4 si r = −1 en r = −1

2r + 7 si r > −1

(
|4 − x| si x > −5
143. y(x) = en x = −5
|3x + 6| si x < −5
Determine los valores de la variable donde la función es discontinua

t −3
144. h(t) =
t2 − 9
y−1
145. g(y) = √
y−1
 1 − u si u 6= ±1

146. f (u) = 1 − u2
1/2 si u = ±1
 3u − 5 si u 6= −5

147. p(u) = u + 5
4 si u = −5
(
2x − 5 si x < 3
148. f (x) =
7−x si x ≥ 3

6 − t
 si t < −2
149. r(t) = 10 + t si −2 ≤ t < 1

5 + 6t si t > 1

 t
 si t < 0
150. q(t) = t −t 1
 si t > 0
t +1

 x+5 si x < −1
151. g(x) = x2 + 2x
x − 3 si x ≥ −1
 2
y −1
si y < −1


y−1



 1

152. h(y) = si −1 < y < 3

 y2 − 4
2y2 − 9y + 4


si y ≥ 3


 2
y − 3y − 4
Encuentre los valores de a y b para que la función sea continua en IR

(
p4 si p ≤ 3
153. f (p) =
ap2 si p > 3
(
v2 + 4v − 2b si v < −1
154. q(v) = 2
v si v ≥ −1
(
x2 − 1 si x < a
155. p(x) =
x+1 si x ≥ a

2
 si t ≤ −1
156. g(t) = at + b si −1 < t ≤ 3

−2 si t > 3


u + 1
 si u ≤ 0
157. r(u) = u2 + a si 0 < u ≤ b

7−u si u > b

C AP ÍTULO 2
Derivadas de funciones
de una variable
En este capı́tulo estudiaremos derivadas de funciones. En su forma más básica, la deriva-

da de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en
ese punto.
A pesar de que este concepto es fundamentalmente geométrico, veremos, especialmente
en el siguiente capı́tulo, que las derivadas tienen aplicaciones en las finanzas y otras áreas.
2.1. Derivada de una función en un punto

Definición (derivada de una función en un punto)
Sea f (x) una función definida en un intervalo alrededor de un número a.
La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto
(a, f (a)), y se calcula como
f (x) − f (a)
f 0 (a) = lı́m
x→a x−a
si el lı́mite existe.
Una fórmula alterna para la derivada de f en x es
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
Si f 0 (a) existe (el lı́mite existe) se dice que f es derivable en a.
De las dos fórmulas en la definición, generalmente la primera es preferible si se conoce

el valor de a. La segunda puede usarse para valores indeterminados de x. Vea los ejemplos
que siguen.
30 Capı́tulo 2. Derivadas de funciones de una variable
Notación
Si y = f (x), la derivada puede denotarse
dy d
y0 , f 0 (x), o f (x).
dx dx
La derivada de f en el punto a se puede denotar

d
f 0 (a), y0 (a), f 0 (x)x=a

o f (x)

dx x=a
Ejemplo 1
1
Calcular la derivada de f (x) = en x = 3.
1−x
Usaremos la primera fórmula en la definición porque sabemos en qué punto se
necesita la derivada.
f (x) − f (3)
h0 (3) = lı́m
x→3 x−3
1 2+(1−x)
− (− 12 )
1−x 2(1−x)
= lı́m = lı́m
x→3 x−3 x→3 x − 3
3−x+0 →0
= lı́m
x→3 2(1 − x)(x − 3) →0
−(x − 3)
= lı́m
x→3 2(1 − x)(x − 3)
−1 1
= lı́m =
x→3 2(1 − x) 4
Entonces f 0 (3) = 1/4.
El hecho de que durante el cálculo del lı́mite en el ejemplo anterior nos encontráramos la
forma 0/0 no debe sorprendernos. Eso será usual, porque al intentar calcular
f (x) − f (a)
lı́m
x−a x→a
sustituyendo x = a invariablemente tendremos1

f (a) − f (a) 0
=
a−a 0
1 Esto sucederá siempre que f sea continua en a, porque entonces lı́mx→a = f (a).
2.1. Derivada de una función en un punto 31
Ejemplo 2
√
Calcular la derivada de r(t) = 1 − 6 − 3t en t = −1.
De nuevo usamos la primera forma de la definición porque necesitamos la de-

rivada en un punto particular. Aquı́ usaremos la letra r en vez de f , y t en vez
de x.
r(t) − r(−1)
r0 (−1) = lı́m
t→−1 t − (−1)
√
1 − 6 − 3t − (−2) → 0
= lı́m
t→−1 t +1 →0
√ √
3 − 6 − 3t 3 + 6 − 3t
= lı́m · √ (racionalizar)
t→−1 t +1 3 + 6 − 3t
9 − (6 − 3t)
= lı́m √
t→−1 (t + 1)(3 + 6 − 3t)
3 (1 + t)
= lı́m √
t→−1 (t + 1)(3 + 6 − 3t)
3 3 1
= p = =
3 + 6 − 3(−1) 6 2
Entonces r0 (−1) = 12 .
Ejemplo 3
Calcular la derivada de h(x) = x2 − 3x para cualquier valor de x.
Ahora usamos la segunda fórmula en la definición de derivada porque no tene-

mos un valor especı́fico de x. También, como la función se llama h, usaremos
otra letra, digamos u, para la variable que tiende a 0.
h(x + u) − h(x)
h0 (x) = lı́m
u→0 u
[(x + u)2 − 3(x + u)] − [x2 − 3x]
= lı́m
u→0 u
[x + 2xu + u − 3x − 3u] − x2 + 3x
2 2
= lı́m
u→0 u
2
2xu + u − 3u → 0
= lı́m
u→0 u →0
u(2x + u − 3)
= lı́m
u→0 u
= lı́m 2x + u − 3
u→0
= 2x − 3
Ası́ es que la derivada de h(x) = x2 − 3x es h0 (x) = 2x − 3.
d
Es probable que su calculadora tenga una tecla dx , que se usa para calcular deri-
d/dx
vadas.
Para la derivada en el ejemplo 1, use esa tecla y escriba la fórmula de la función
y el punto donde se evaluará la derivada, de modo que la pantalla diga

d 1

dx 1 − X x=3
Al presionar la tecla =, la calculadora responderá con el valor 0.25, que es lo

que obtuvimos en ese ejemplo.
La función de derivar en la calculadora necesita que la variable se llame x. Para
la derivada en el ejemplo 2, escriba
d √
(1 − 6 − 3X)x=−1
dx
y la calculadora responderá con 0.5.
Esta función puede usarse para calcular la derivada de una función en un punto
especı́fico. No es útil para derivadas en general como en el ejemplo 3.
2.2. Derivada de una función 33
Ejercicios
Use la definición para calcular la derivada

1. 3r − 8 en r = −2 4 − 3x
12. en x = −1
2. 2 − 6(t + 1) en t = 3 2+x
3. u2 − 4u en u = 5 2t 2 − 5t
13. en t = 0
4. 1 − 3x + x2 en x = −6 t +3
5. 5(p − 3)2 + p − 3 en p = 3 10
14. 2
en u = −3
u −4
6. 2y3 − y en y = 1 √
7. 5q3 + 2q2 en q = −1 15. v + 3 en v = 1
1 √
8. en z = 2 16. 2 − 3 x en x = 25
1−z √
3 17. t + 1 − t en t = −2
9. en w = −2 p
2w + 5 18. 2y2 − 5 en y = 2
2 √
10. − 1 en y = −2 19. 1 − 1 − 2u en u = 0
y
2v + 3 1
11. en v = 3 20. √ en r = 1
v−4 1+ r
Use la definición para calcular la derivada, como función de

la variable. . .
21. . . . de las funciones en los ejercicios 1–13 impares.
22. . . . de las funciones en los ejercicios 2–14 pares.
2.2. Derivada de una función

En la práctica no es común calcular derivadas por definición. Existen reglas para derivar
sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones, ası́ como para funciones particu-
lares como potencias, logaritmos y otras. Empecemos por dos reglas básicas y una fórmula
de derivación.
Dos reglas de derivación
Regla del producto por constante: si f es una función derivable y c ∈ IR, entonces
(c f )0 = c f 0
Regla de la suma: Si f y g son funciones derivables, entonces
( f + g)0 = f 0 + g0
Derivada de una potencia

Si f (x) = xn con n constante, entonces
f 0 (x) = nxn−1
Note en particular que la derivada de x es
(x)0 = (x1 )0 = 1x1−1 = 1x0 = 1
y que la derivada de cualquier constante es
(c)0 = (cx0 )0 = c · 0x−1 = 0
Como consecuencia, la derivada de una función lineal y = mx + b es
(mx + b)0 = m(x)0 + (b)0 = m(1) + 0 = m
lo cual coincide (recordando que la derivada es la pendiente de la recta tangente) con lo que
siempre hemos sabido: la pendiente de una recta y = mx + b es igual a m.
Ejemplo 4
Usando las reglas anteriores, ası́ calculamos estas derivadas:
(5x3 )0 = 5(x3 )0 = 5 · 3x2 = 15x2
√
(2t 2 − 3t + t)0 = (2t 2 )0 − (3t)0 + (t 1/2 )0
1
= 2 · 2t 1 − 3 · 1t 0 + 21 t −1/2 = 4t − 3 + √
2 t
0
(3r + 2)(1 − r) = [−3r2 + r + 2]0

= −3 · 2r + 1t 0 = −6r + 1
0 0
2u3 + u 2u3

u
= + 2
3u2 3u2 3u
= ( 23 u + 13 u−1 )0 = 32 − 13 u−2
Cuando se usen reglas de derivación para calcular la derivada de una función en un punto
particular, por ejemplo f 0 (a), debe calcularse primero la derivada f 0 (x) en cualquier punto,
y luego evaluarla en x = a.
Ejemplo 5
√
Calcular q0 (2) para q(r) = 5r(r − 2r).
Como acabamos de decir, primero calcularemos q0 (r) y después la evaluaremos
en r = 2.
Pero antes de derivar llevemos la expresión q(r) a una forma en que podamos
aplicar las fórmulas vistas:
√ √ √
q(r) = 5r(r − 2r) = 5r(r − 2 r)
√
= 5r2 − 5 2 r3/2
Lo anterior fue solo preparar la expresión q(r). Ahora derivamos:

√
q0 (r) = (5r2 )0 − (5 2 r3/2 )0
√
= 5 · 2r − 5 2 · 32 r1/2
√
= 10r − 152 2r
Por último evaluamos en r = 2.
q0 (2) = 10(2) − 15
p
2 2(2) = 20 − 15
2 ·2 = 5
Tenemos entonces ya nuestra respuesta: q0 (2) = 5.

Ejercicios
Derive
23. x9 5w + 1 6w − 2
36. −
w w2
24. 5t 3 √ 1
25. 7 4 37. r r + 2 √
4u r r
26. 12y−3 38. (2u + 3)(3u2 − 1)
27. 6r1/3 39. x(3x2 − 7x + 7)

28. 13t 4 − 5t 2 + 6t 2
40. 3t t −
2
t
29. 12y3/2 − 6y1/2 − 3y−1
41. (s2 + s + 1)(s2 + 2)
30. −5x2 + 3x − 6
11q 9 √ 2 1
31. + 42. 2 y y −
4 5 y
2 1 43. (v2 + 2v)(v + 1) − 6v2 + 5
32. − u + 0.5u2
3 5 44. (6w − 4)2
5(y4 − 3) √ 3 √
33. 45. x(x − x + 1)
2 p √
√ 6 y5 − 9 y
8 46.
34.
p
x 5 3 y3
√
5t 2 − 3t + 1 40t 5 − t 3 t
35. 47. √
t2 5t 2 t
2.2.1. Interpretación geométrica

Recuerde que la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (x0 , y0 ) y que
tiene pendiente m es
y − y0 = m(x − x0 )
y que la forma pendiente-intersección (y = mx + b) puede conseguirse despejando y en la
ecuación punto-pendiente.
Ejemplo 6
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 − 5x en x = 1.
Como sabemos, para encontrar la ecuación de una recta en un plano se necesitan
un punto y una pendiente.
El punto (x, y) se encuentra tomando x = 1 y calculando y = (1)2 − 5(1) =

−4. Entonces el punto es (1, −4).
La pendiente de la recta tangente es m = f 0 (1).
Para calcular f 0 (1), como vimos, se debe calcular primero f 0 (x) y luego
evaluarla en x = 1:
f 0 (x) = (x2 − 5x)0 = 2x − 5 ⇒ f 0 (1) = 2(1) − 5 = −3
Teniendo ya el punto (1, −4) y la pendiente m = −3, escribimos la ecuación de

la recta:
y + 4 = −3(x − 1)
o bien y = −3x − 1.
En esta figura vemos el gráfico de la parábola y = x2 − 5x y su tangente en el
punto (1, −4), la recta y = −3x − 1.
y = x2 − 5x
y=−
3x −
1
Recuerde que dos rectas son normales (ortogonales, perpendiculares) entre sı́ cuando se
intersecan forman un ángulo recto. Esto sucede cuando el producto de sus pendientes es −1.
Especı́ficamente, si L1 y L2 son dos rectas con pendientes respectivas m1 y m2 , entonces
L1 y L2 son normales ⇔ m1 · m2 = −1
Definición (recta normal a un gráfico)

La recta normal al gráfico de y = f (x) en un punto x = a es la recta normal a la tangente
del gráfico en ese punto.
Como la recta tangente tiene pendiente m1 = f 0 (a), entonces la normal tiene pendiente
−1
m2 =
f 0 (a)
suponiendo que f 0 (a) 6= 0. Si fuera f 0 (a) = 0 entonces la tangente serı́a horizontal, y la
normal vertical.
Ejemplo 7
Sea g(x) = x + 6x−1 . Encontrar, para el gráfico de y = g(x):
a. La ecuación de la recta normal en x = −3.
b. Los puntos donde la recta normal es paralela a la recta y = 2x + 4
Para contestar cada una de esas preguntas necesitaremos conocer la derivada de
g(x), ası́ que empecemos por ahı́:
g0 (x) = 1 − 6x−2
a. Como siempre que busquemos la ecuación de una recta en el plano, nece-

sitaremos un punto y una pendiente.
Punto: para x = −3 el punto es (−3, g(−3)) = (−3, −5).
Pendiente: la pendiente de la recta tangente es m1 = g0 (−3) = 1/3.
Entonces la pendiente de la normal es m2 = −3.
Por último, la ecuación de la recta normal en x = −3 es y + 5 = −3(x + 3),
o bien y = −3x − 14.
b. Que la recta normal en un punto x sea paralela a la recta y = 2x +4 significa
que las dos rectas tienen la misma pendiente. Como la pendiente de y =
2x + 4 es m1 = 2, la pendiente de la normal debe ser m2 = 2, y entonces la
pendiente de la tangente será m3 = −1/2.
Como la pendiente de la tangente es la derivada, lo anterior nos lleva a la
ecuación g0 (x) = −1/2:
g0 (x) = 1 − 6x−2 = − 12
−6x−2 = − 32
x−2 = 1
4
x2 = 4
Y finalmente x = ±2. Encontramos ası́ que existen dos puntos donde la

recta normal es paralela a y = 2x + 4:
(2, g(2)) = (2, 5) y (−2, g(−2)) = (−2, −5)
Ejercicios
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado
48. y = 5x − x2 en x = 1 52. q = 1/p en p = −1

1−r
49. y = r3 + 3r2 − 1 en r = −2 53. y = en r = 2
r
1
50. z = −6t 2 + t 3 en t = 0 54. y = √3 2
en x = 8
x
√
51. y = 2r5 − 3r2 en r = −1 55. w = u − 2 en u = 0
Encuentre los puntos donde la recta tangente a. . .

56. . . . y = x3 − 12x es horizontal 58. . . . y = 4u2 − 5u + 6 es paralela a la
57. . . . y = 1 + t 1/3 es vertical recta y = 7u − 2
2.2.2. Razón de cambio

Recuerde que en una ecuación lineal y = mx + b la pendiente m es el incremento en y por
cada unidad de incremento en x. En otras palabras, m es la tasa de cambio de y con respecto
a x (la velocidad con la que cambia y conforme x varı́a). Esta tasa de cambio es constante en
una función lineal, porque la pendiente m es la misma en toda la recta.
Si y = f (x), donde f es alguna función lineal o no, entonces f 0 (x) es la tasa instantánea
de cambio (o velocidad instantánea) de y con respecto a x. Se le llama “instantánea” porque
aunque tiene el rol de la pendiente (ya que m = f 0 (a) es la pendiente de la tangente en x = a),
a diferencia de la pendiente de una recta, la derivada puede variar de un punto a otro en el
gráfico.
Si la tasa de cambio es positiva, se llama también tasa de aumento, crecimiento o incre-
mento. Si es negativa, tasa de disminución o decrecimiento.
Al igual que en la pendiente de una recta, la unidad de medida de y0 es la unidad de
medida de y dividida entre la unidad de medida de x.
Ejemplo 8
Si un monto de $5000 se invierte a una tasa de interés anual de 3 %, entonces su
valor a los t años será aproximadamente A(t) = 5000 + 148t + 2.15t 2 + 0.025t 3 ,
en dólares.
Calculemos la tasa de incremento anual del valor de la inversión a los tres años,
y a los siete años.
En cualquier momento t, la tasa de cambio de A(t) con respecto al tiempo es la

derivada:
A0 (t) = 148 + 2.15(2t) + 0.025(3t 2 ) = 148 + 4.3t + 0.075t 2
A los tres años la tasa de incremento es A0 (3) = 161.575. Como A está en dólares
y t en años, la derivada está en dólares por año: la tasa de incremento a los tres
años es 161.575 dólares por año.
A los siete años la tasa es A0 (7) = 181.775: la inversión crece a la tasa de 181.775
dólares por año.
Recuerde que f 0 es la tasa instantánea de cambio, y generalmente es variable. En el

ejemplo anterior, que A0 (7) sea igual a 181.775 no significa que el valor de la inversión
aumenta $181.775 cada año. Esa es la tasa instantánea de crecimiento, en el momento t = 7.
En t = 8 la tasa habrá cambiado. De hecho, para cuando t = 7.1 ya la tasa será otra.
Lo anterior marca una diferencia importante entre la tasa de cambio de una recta y la tasa
de cambio de otras funciones: las rectas se caracterizan porque su tasa de cambio es siempre
la misma, mientras que en otras funciones la tasa de cambio es variable.
Ejercicios
Resuelva
59. El valor de una maquinaria a los t años de comprada es V (t) = 120 000 − 8000t en
dólares. ¿Cuál es la tasa de depreciación (pérdida de valor) en el momento de ser
comprada? ¿Diez años después?
60. El valor de una maquinaria a los t años de comprada es V (t) = 350(t − 15)2 en
dólares. ¿Cuál es la tasa de depreciación (pérdida de valor) en el momento de ser
comprada? ¿A los cinco años? ¿A los diez años? ¿A los quince años?
61. Un proyectil se lanza hacia arriba, y su altura t segundos después es
h(t) = −4.9t 2 + 17t + 2 en metros. ¿Cuál es su velocidad al ser lanzado? ¿Después
de un segundo? ¿Después de tres segundos?
62. El salario mensual de una persona está dado por
S(m) = 800 000 + 21 320m − 75.9m2 + 3.7m3 , en millones de colones a los m meses
de su contratación. ¿Cuál es la tasa de aumento del salario mensual al año de la
contratación? ¿A los 2.5 años? ¿A los diez años?
2.3. Reglas de derivación 41
2.3. Reglas de derivación

En la sección anterior vimos las primeras dos reglas de derivación: la del producto por
constante y la de la suma.
En esta sección estudiaremos tres reglas más: para el producto, para el cociente y para la
composición de dos funciones.
2.3.1. Reglas del producto y del cociente

Al derivar productos o cocientes de funciones, pueden usarse las siguientes reglas para
dos funciones derivables u y v.
Regla del producto

Si u y v son funciones, la regla del producto dice que
(u · v)0 = u0 · v + u · v0
Regla del cociente

Si u y v son funciones, la regla del cociente dice que
u 0 u0 · v − u · v0
=
v v2
Ejemplo 9
La derivada del producto t 1/3 (t 2 − 3t) es2
h i0
t (t − 3t) = (t 1/3 )0 · (t 2 − 3t) + t 1/3 · (t 2 − 3t)0
1/3 2
= 13 t −2/3 · (t 2 − 3t) + t 1/3 · (2t − 3)
2 En este caso particular la regla del producto no es estrictamente necesaria, porque podrı́amos desarrollar
el producto para usar otras fórmulas más básicas: t 1/3 (t 2 − 3t) = t 7/3 − 3t 4/3 . Pero en la sección 2.4 veremos
casos en los que la regla del producto será inevitable.
Ejemplo 10
2y − 1
La derivada del cociente es
3y + 5
0
(2y − 1)0 · (3y + 5) − (2y − 1) · (3y + 5)0

2y − 1
=
3y + 5 (3y + 5)2
(2)(3y + 5) − (2y − 1)(3) 13
= =
(3y + 5)2 (3y + 5)2
Ejemplo 11
√
(x − 1)(1 − x)
Derivar y = .
x2 + 1
Esta función tiene un producto y un cociente, por lo que vamos a usar las reglas
del producto y del cociente.
Como lo “más grande” aquı́ es el cociente (porque el producto es parte del co-
ciente y no al revés), entonces se empieza por la regla del cociente. Luego, en el
momento de calcular la derivada del numerador le tocará el turno a la regla del
producto.
√ 0
0 (x − 1)(1 − x)
y =
x2 + 1
√ 0 √
(x − 1)(1 − x) · (x2 + 1) − (x − 1)(1 − x) · [x2 + 1]0

=
(x2 + 1)2
√ √ √
(x − 1)0 (1 − x) + (x − 1)(1 − x)0 (x2 + 1) − (x − 1)(1 − x)[2x]

=
(x2 + 1)2
√ √
1(1 − x) + (x − 1)(− 12 x−1/2 ) (x2 + 1) − 2(x2 − x)(1 − x)

=
(x2 + 1)2
√
(1 − 32 x1/2 + 12 x−1/2 )(x2 + 1) − (2x2 − 2x)(1 − x)
=
(x2 + 1)2
Ejemplo 12
3p + 1
Calcular la derivada de q = (1 − p2 ) .
5p − 2
Aquı́ tenemos, como en el ejemplo anterior, un producto y un cociente. Pero esta
vez el producto es lo “más grande” porque el cociente es parte del producto y no
al revés. Entonces empezamos por la regla del producto, y al derivar el segundo
factor usaremos la regla del cociente.
3p + 1 0

0 3p + 1
2 0 2
q = (1 − p ) · + (1 − p ) ·
5p − 2 5p − 2
" #
3p + 1 (3p + 1)0 (5p − 2) − (3p + 1)(5p − 2)0
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
3p + 1 3(5p − 2) − (3p + 1)(5)
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
3p + 1 −11
= −2p · + (1 − p2 ) ·
5p − 2 (5p − 2)2
Ejercicios
Derive
63. (x2 − 3x + 5)(4x3 + x − 7) u2 + 2
71.
u2 + u + 1
64. (s3 + s − 1)(s2 − 4)
√ ax + b
65. y2 (1 + y) 72. con respecto a x
cx + d
√ √
66. 3 t ( t + 3) y y−1
√ 73. −
67. (5w2 − 2)(2 w − 1/w) y+1 y+3
z4 + 5 2x − 1
68. 74. (3x + 1)
3+z 2x + 1
3x + 2 √ 1
69. 2 75. t 2 − 3 +
x − 5x + 3 3−t
t +1 (s + 1)(s2 + 1)
70. 2 76.
t + 2t + 2 s−2
x+1 1
77. (2x − 5) 4−
x+2 82. 1−t
78. (1 − 2p)(3p + 2)(p2 + 1) t −2
√
79. 6 u (u4 + u + 1)(2u − 3)
u + 1 u2 + 2
·

4 2 83.
80. w 1− u−1 5+u
w+1

2 3 (4r + 6)(2 + 3r)
81. 1− 84.
x+1 x+1 r(1 − 2r)
Calcule el valor numérico
85. ( f g)0 (2), dado que f (2) = −1, g(2) = 3, f 0 (2) = 1 y g0 (2) = −2
86. h0 (−1), dado que h(x) = x2 p(x), p(−1) = 4 y p0 (−1) = 2
87. ( f /g)0 (5), dado que f (5) = −2, g(5) = −1/2, f 0 (5) = 4 y g0 (5) = 2
√
88. q0 (4), dado que q(x) = f (x)/ x, f (4) = −3 y f 0 (4) = 0
Encuentre la ecuación de la recta. . .
89. . . . tangente a q = (p3 + 4)(p2 − 5) en p = −2

5
90. . . . tangente a w = en u = 9
4−u
t
91. . . . tangente a r = 2 en t = 0
t +1
√
92. . . . normal a y = w (6w − 3) en w = 1/4
√
1− x
93. . . . normal a y = √ en x = 4
1+ x
Resuelva
94. La velocidad de un avión t segundos después del despegue está dada por
180t + 2
v = 83 m/s. ¿Cuánto es la aceleración (la tasa de cambio de la velocidad)
60t + 2
10 s después del despegue?
95. Para una cierta pelı́cula, el ingreso total por taquilla n meses después del
95n2
lanzamiento está dado por la función I(n) = 2 , en millones de dólares. Calcule
n +3
I 0 (12) e interprete el resultado.
96. Se estima que el costo, en miles de dólares, de eliminar x % de los contaminantes

0.8x
en un pozo de agua es C(x) = . Calcule C0 (50) y C0 (90), e interprete los
100 − x
resultados.
400x
97. La utilidad mensual de una pastelerı́a es U(x) = − 2x − 300 en millones de
x+2
colones, donde x es el número de toneladas de pastel que producen. El punto más
alto en el gráfico de U es el punto donde la tangente es horizontal. Encuentre el
nivel de producción que maximiza la utilidad. ¿Cuál es la utilidad máxima?
2.3.2. Regla de la cadena

Para derivar una composición de funciones está la regla de la cadena.
Regla de la cadena
Si f y g son dos funciones derivables en IR, la regla de la cadena dice que
( f ◦ g)0 (x) = f 0 [g(x)] · g0 (x)
donde ( f ◦ g)(x) = f [g(x)].
Podemos decir entonces que la derivada de una composición es la derivada de la función

externa multiplicada por la derivada de la función interna.
Ejemplo 13
√
Calcular la derivada de y = x2 + 3x.
Esta es la composición de dos funciones: la externa es la raı́z cuadrada y la
interna el polinomio x2 + 3x.
√
Si pensamos en u = x2 + 3x (la función interna) entonces y = u (la función
externa). Por la regla de la cadena, la derivada de la composición es el producto
de la derivada de la raı́z cuadrada por la derivada del polinomio.
La derivada de la raı́z cuadrada es y0 = 12 u−1/2 , y la derivada del polinomio es
u0 = 2x + 3. Entonces, por la regla de la cadena,
1
y0 = u−1/2 · u0
2
= 12 (x2 + 3x)−1/2 · (2x + 3)
En los dos ejemplos siguientes tenemos una función consistente en un cociente y una
composición pero en distinto orden. Es importante aplicar las reglas de derivación “de afuera
hacia dentro”, derivando primero la operación más grande.
Ejemplo 14
3
t
La función u(t) = tiene un cociente (la función interna) dentro de
t +1
un cubo (la función externa). Aquı́ lo más grande es la composición porque el
cociente está dentro de la composición, y no al revés.
Usamos entonces primero la regla de la cadena: derivada del cubo por derivada
del cociente. Para la derivada del cociente usaremos después la regla del cocien-
te.
" 3 #0 2 0
0 t t t
u (t) = =3 ·
t +1 t +1 t +1
2
(t)0 (t + 1) − t(t + 1)0

t
=3 ·
t +1 (t + 1)2
2
3t 2

t 1
=3 =
t + 1 (t + 1)2 (t + 1)4
Ejemplo 15
x
En la función h(x) = √ hay, como en el ejemplo anterior, una composi-
1 − 2x
ción y un cociente, pero ahora el cociente es lo más grande porque contiene a la
composición (y no al revés).
Entonces aplicamos primero la regla del cociente, y en algún momento le llegará

el turno a la regla de la cadena.
√ √
0 · 1 − 2x − x · ( 1 − 2x)0
(x)
h0 (x) = √ 2
1 − 2x
√ h
1/2
i0
(1) · 1 − 2x − x · (1 − 2x)
=
1 − 2x
√ h i
1 − 2x − x 12 (1 − 2x)−1/2 · (1 − 2x)0
=
1 − 2x
√
1 − 2x − 21 (1 − 2x)−1/2 · (−2)
=
1 − 2x
√
1 − 2x + x(1 − 2x)−1/2
=
1 − 2x
Ejercicios
Derive
98. 3(5 − 6x)5 2t − 5
√ 108.
3 (t 3 − 4)2
99. 9t 2 + 5
1 109. (p2 − 5p)3 (2p + 1)5
100. √ √
(16u + 1)3 110. 3 3q + 1 · 5 5q − 1
p
101. 20 5 (y3 + 4y)2 (6r − 5)3
√ 111.
102. 105(4w2 − 7)3 − 1 − 5w (7r + 2)4
p
103. y 1 − y2 3t 4
√ 112. √
104. (5u + 1 − 3u)2 t 2 − 5t
p √ √
105. v+ v v3 − v
113.
x−7 3 (2v + 1)4

106.
x+2
p
114. 3w(4w + 2)3
r
3x 3 4
107. 115. 2 5
(y + 3) + 1 − 2
5−x
116. (p ◦ q)0 (6), dado que q(6) = 2, p0 (2) = −1 y q0 (6) = 4

117. g0 (−1), dado que g(x) = r(x2 ) donde r es alguna función con r0 (1) = 5
f (3 − t)
118. h0 (2), dado que h(t) = donde f es alguna función con f (1) = 3 y
t
0
f (1) = −1
119. . . . tangente a y = (x2 − 3x)2 en x = 1

√
120. . . . tangente a z = 3 + w en w = 6
1
121. . . . tangente a w = √ en u = −2
2u + 5
√
122. . . . tangente a u = t 2 2 + t en t = −1
2
3 u
123. . . . tangente a z = 2u − en u = 0
u+1
124. . . . normal a w = 2(v2 − 1)2 en v = 2
125. . . . normal a y = 3(r2 + 3r)4 en r = −1
√
7x + 2
126. . . . normal a y = en x = 2
x−1
127. . . . y = (6t − 1)4 es horizontal

p
128. . . . y = 3 p2 − p es vertical
2x
129. . . . y = es paralela a la recta 10x − y = 5
(3 − x)2
√
130. . . . y = 5 + 2x es perpendicular a la recta x + 2y = 1
2.4. Derivadas de funciones algebraicas, exponenciales y logarı́tmicas 49
2.4. Derivadas de funciones algebraicas,

exponenciales y logarı́tmicas
Para funciones exponenciales y logarı́tmicas tenemos estas fórmulas.
Derivadas de funciones exponencial y logarı́tmica naturales

Las derivadas de las funciones exponencial y logarı́tmica naturales son
1
(ex )0 = ex y (ln x)0 =
x
Derivadas de funciones exponenciales y logarı́tmicas generales

Las derivadas de las funciones exponenciales y logarı́tmicas en cualquier base b son
1
(bx )0 = bx ln b y (logb x)0 =
x ln b
Note que las fórmulas para cualquier base se aplican también para las funciones naturales,
porque si b = e entonces, según las fórmulas generales
(ex )0 = ex ln e = ex
y
1 1
(ln x)0 = (loge x)0 = =
x ln e x
en ambos casos porque ln e = 1.
Ejemplo 16
2 −5x
Encontrar la derivada de 23x .
Aquı́ tenemos una composición donde la función interna es 3x2 − 5x y la externa
es la función exponencial con base 2. Usando la regla de la cadena obtenemos
2 0 2 2
23x −5x = 23x −5x ln 2 · (3x2 − 5x)0 = 23x −5x (6x − 5) ln 2
Ejemplo 17

2x + 3
Derivar y = ln .
4 − 3x
Veamos dos métodos, primero derivando de inmediato y luego simplifcando el
logaritmo antes de derivar.
Para derivar directamente notamos que y es una composición donde la fun-

ción externa es ln, y la interna el cociente de polinomios. Entonces usamos
la regla de la cadena y la regla del cociente.
2x + 3 0
0
1 2x + 3
ln = 2x+3
4 − 3x

4−3x
4 − 3x
4 − 3x (2)(4 − 3x) − (2x + 3)(−3)
= ·
2x + 3 (4 − 3x)2
4 − 3x 17 17
= · =
2x + 3 (4 − 3x)2 (2x + 3)(4 − 3x)
Pero una manera más sencilla de calcular y0 es empezar por descomponer

y según las propiedades de los logaritmos, y luego derivar cada parte con
la regla de la cadena.

2x + 3
y = ln = ln(2x + 3) − ln(4 − 3x)
4 − 3x
1 1
⇒ y0 = (2x + 3)0 − (4 − 3x)0
2x + 3 4 − 3x
2 3
= +
2x + 3 4 − 3x
En general, cuando una función contiene logaritmos de productos, cocientes o potencias,

es mucho mejor descomponer los logaritmos en partes más sencillas antes de derivar.
Ejemplo 18
√ 3
5
4t + 1
Calcular la derivada de p(t) = ln t .
e (6t + 2)
Note que esta función contiene un logaritmo, una raı́z, una potencia, un producto
y un cociente. Serı́a mala idea derivarla usando la regla de la cadena tres veces
2.4. Derivadas de funciones algebraicas, exponenciales y logarı́tmicas 51
y también las reglas del producto y del cociente. Es mejor simplificar primero
usando propiedades de logaritmos.
√ 3

4t + 1
p(t) = 5 ln t
e (6t + 2)
h √ i
3 t
= 5 ln 4t + 1 − ln e (6t + 2)
= 5 31 ln(4t + 1) − ln et + ln(6t + 2)

= 5 13 ln(4t + 1) − t − ln(6t + 2)

= 53 ln(4t + 1) − 5t − 5 ln(6t + 2)
Hasta aquı́ no hemos derivado nada, pero gracias al esfuerzo por simplificar
primero, la derivada ahora es casi inmediata:
5 1 1
p0 (t) = · ·4−5−5· ·6
3 4t + 1 6t + 2
20 30
= −5−
12t + 3 6t + 2
Ejercicios
Derive
131. 2t + et 141. (w2 + 1)e3w
2
132. eu − e−u 142. e2x −5x+3
133. 3 · 5r − rer 3x2 e5−2x
143. 2
134. (1/2)x + 2x xe5−x
√ u
1 2y 4y
144. ue + u
135. 2 (e − 3e )
√ 145. (q − 3eq/3 )5
136. 3 ln t
ex − 1
137. ln x5 − 3 ln x2 146. x
e +1
3u ln(t + 1)
138. ln 2 147.
u −1 t +1
139. 8 log y 148. y102−5y
√ √
140. log2 5 x 149. ln(t t 2 + 1)
" 2
#
(p3 − 1)e−p 155. (q2 + q) ln(5q2 + 1)
150. ln √
1 − 5p
156. ww+1
151. log(3r2 − 5r)
√ 157. ln2 (ln(2z3 − 8z))
152. ln(s − s2 − 1)
√ √
153. 1 + ln z + ln(1 + z) 158. e3x g(ln2 x), donde g es una función
154. ln2 (2y + 6) derivable
159. q0 (1), dado que q(x) = f (ln x) y f 0 (0) = −3

q
0
160. h (0), dado que h(x) = f (ex −x ), f (1) = 4 y f 0 (1) = 6
2
161. . . . tangente a q = 5e2−2p en p = 1

162. . . . tangente a z = t 2 10t+3 en t = −2
2
163. . . . perpendicular a y = 3ex + x2 en x = 0
ln(2u + 7)
164. . . . perpendicular a w = en u = −3
u+6

2 +2u
165. . . . y = eu es horizontal
166. . . . y = t 2t−1 es paralela al eje T
167. . . . y = 2e4−6q + 3e3+4q es perpendicular al eje Y
168. . . . y = x ln x es paralela a y = 2x + 1
169. . . . y = (r + 4)[1 − ln(2r + 8)] es perpendicular a y + r = 6
2.5. Derivadas de orden superior

Todo lo que hemos hablado sobre derivadas hasta el momento se ha referido a la primera
derivada de una función. Pero una vez que se calcula la derivada de una función (como
función de la variable, no en un punto particular), esa derivada es en sı́ una función que
2.5. Derivadas de orden superior 53
puede ser derivada. Y esa “segunda” derivada será otra función que se puede derivar. Esas
derivadas de derivadas son lo que se llama derivadas de orden superior.
Definición (segunda derivada o derivada de segundo orden)

Si f (x) es una función y f 0 (x) es su derivada, entonces la segunda derivada de f (x), deno-
tada f 00 (x), es la derivada de f 0 (x):
0
f 00 (x) = f 0 (x)

De manera natural se definen las derivadas de orden superior. Por ejemplo, la tercera
derivada de f (x), también llamada derivada de orden 3 o de tercer orden, es
0
f 000 (x) = f 00 (x)

Para simplificar la notación se puede escribir también y(2) en vez de y00 , y(3) en vez de y000 ,
etc. (en esta notación, y(1) significa y0 y y(0) es simplemente y).
Con esa notación, las derivadas de orden superior se definen como sigue.
Definición (derivada de orden superior)

Si f (x) es una función y f (n) (x) es su derivada de orden n, para algún n = 1, 2, 3, . . .,
entonces la derivada de orden n + 1 de f (x) es
0
f (n+1) (x) = f (n) (x)

d2 y n
00 , y en general d y para y(n) .
Otra notación usual es para y
dx2 dxn
Ejemplo 19
Las tres primeras derivadas de w = 2t 3 − 5t − 6t −1 son
w0 = 6t 2 − 5 + 6t −2
w00 = 12t − 12t −3
w000 = 12 + 36t −4
Para la mayorı́a de las funciones usuales (polinomiales, radicales, exponenciales, etc.)

las derivadas no se acaban, aunque pueden “estancarse”. Vea el siguiente ejemplo.
Ejemplo 20
Las primeras derivas de y = ex son y0 = ex , y00 = ex , y000 = ex , etc. En general,
y(n) = ex para todo n = 1, 2, 3, . . ..
Las primeras derivadas de y = 3x2 − 7x + 4 son
y(1) = 6x − 7
y(2) = 6
y(3) = 0
y(4) = 0
Y en general, y(n) = 0 para todo n = 3, 4, 5, . . ..
Ejercicios
Calcule la derivada que se indica
170. (t 2 − 5e3t )00 177. d3 z/dq3 si z = e1−4q
√
171. ( x2 + 1)00 178. d5 q/dw5 si q = 4w2 − 6w − 9
000
1 − 2s

r
172. 179. d2 x/ds2 si x =
1−r 1 + 2s
√ 180. d2 y/dx2 en (−1, 4) si x2 − xy = 5
173. (u2 − 5u + u + u−1 )(4)
174. (ln p)(6) 181. d2 q/dp2 en (0, 2) si q + p ln q = 2

4
(2) 182. d2 r/dt 2 si r3 + t 3 = 1
175. √
1−s 183. d4 x/dt 4 si x + t + ex+t = 1
176. d2 y/dx2 si y = 3x5 − 4x2 + 3x + 1 184. d2 z/dw2 si z2 = ew+z
C AP ÍTULO 3
Aplicaciones de la derivada
Habiendo estudiado el cálculo de derivadas en el capı́tulo anterior, ahora veremos algunas

aplicaciones de la derivada en varias áreas.
3.1. Derivada como razón de cambio

Recuerde que en la sección 2.2.2 vimos que la derivada de una función puede interpre-
tarse como la razón de cambio (velocidad de crecimiento o decrecimiento) de la función
con respecto a su variable. Ahora veremos cómo aplicar ese concepto a funciones de costo,
ingreso y utilidad.
Definición (costo, ingreso y utilidad marginal)

Si C(q) es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces C0 (q) es el costo
marginal: el costo aproximado de producir una unidad adicional, la unidad número (q + 1).
Análogamente, si I(q) y U(q) son el ingreso y la utilidad, respectivamente, obtenidos al
producir q unidades, entonces I 0 (q) y U 0 (q) son el ingreso marginal y la utilidad marginal:
el ingreso aproximado y la utilidad aproximada al producir una unidad adicional.
Ya hemos encontrado antes el concepto de costo promedio,

C(q)
C̄(q) =
q
que es simplemente el costo total de producir q unidades dividido por el número de unidades
¯ = I(q)/q, y la utilidad
producidas. De manera análoga se definen el ingreso promedio, I(q)
promedio, Ū(q) = U(q)/q.
Ejemplo 1
Si el costo de producir q unidades de un artı́culo es C(q) = 1200 + 8q + 0.003q2 ,
entonces:
56 Capı́tulo 3. Aplicaciones de la derivada
El costo marginal es C0 (q) = 8 + 0.006q.

En particular, con q = 125 encontramos que el costo de la unidad número
q + 1, la número 126, es aproximadamente
C0 (125) = 8 + 0.75 = 8.75
El costo promedio al producir q unidades es
1200 + 8q + 0.003q2
C̄(q) = = 1200q−1 + 8 + 0.003q
q
Por ejemplo, al producir 50 unidades el costo promedio de cada una es
C̄(50) = 32.15. Al producir 100 unidades el costo promedio se reduce a
C̄(100) = 20.30 cada una1 .
El costo promedio marginal es C̄0 (q) = −1200q−2 + 0.003.
Por ejemplo, que
C̄0 (100) = −0.117
significa que al producir la unidad número 101 el costo promedio disminu-
ye aproximadamente en 0.117 por unidad.
Ejercicios
Calcule la función de costo marginal y el valor del costo marginal
para cada función de costo y cada nivel de producción
1. C = 640 + 3.2q; q = 29
2. C = 0.4q2 + 2.4q + 960; q = 2.8
3. C = −0.01q3 + 2.142q2 − 79q + 3207; q = 45
4. C = 0.02q3 − 0.5q2 + 4q + 7250; q = 30
Calcule la función de costo marginal y la de costo promedio marginal

para cada función de costo o costo promedio
5. C = 2q + 1000
1 Es
usual que entre mayor sea el número de cantidades producidas, menor sea el costo promedio de cada
una. A esto se refiere el concepto de economı́a de escala.
3.1. Derivada como razón de cambio 57
6. C = 0.1q2 + 3q + 2
7. C̄ = 0.02q + 9 + 800/q
8. C̄ = 120 + 2400/q
Calcule la función de utilidad marginal y la de utilidad promedio

marginal para cada función de costo y cada precio unitario
9. C = 380 + 2.5q; p = 4
10. C = 1.8q + 300; p = 3.7
11. C = 0.4q2 + 2.4q + 960; p = 50
12. C = 0.1q2 + 3q + 2; p = 5
13. C = 0.02q3 − 0.5q2 + 4q + 7250; p = 215
14. C = −0.01q3 + 2.142q2 − 79q − 3207; p = 72
Resuelva
15. El costo semanal, en dólares, de producir x refrigeradores es

C(x) = 8000 + 200x − 0.2x2 .
(a) Calcule la función de costo marginal y úsela para aproximar el costo de
producir el refrigerador número 183.
(b) Si los refrigeradores se venden a $260 cada uno, calcule la función de utilidad
y úsela para estimar la utilidad para el refrigerador número 212.
4000eq/400
16. Si C̄ = es el costo promedio de producir q unidades de un producto,
q
encuentre la función de costo marginal y úsela para aproximar el costo de la unidad
número 344.
17. La demanda mensual de cierto artı́culo es q = 375 000 − 2500 ln(0.01p), donde p
es el precio unitario en dólares. ¿A qué tasa disminuye la demanda por cada dólar
de aumento en el precio, cuando el precio es $40?
18. Si un tanque de agua contiene 5000 litros y tarda 30 minutos en vaciarse por el
fondo, entonces el volumen de agua aún en el tanque a los t minutos es
V = 5000(1 − t/30)2 (para 0 ≤ t ≤ 30). Calcule V 0 (12) e interprete. ¿Cuándo es
mayor el flujo de agua?
19. Si el precio unitario
p p de un producto y la cantidad vendida q están relacionados
2
por p = 100 − q + 20, encuentre la fórmula para el ingreso marginal como
función de q (el ingreso es I = pq).
20. En un grupo
√ de mil personas, el número de ellas que viven hasta los x años es
N(x) = 100 100 − x (para 0 ≤ x ≤ 100). Calcule N 0 (75) e interprete.
21. En la sección ?? veremos que si una cantidad P de dinero se invierte a una tasa de
interés anual r compuesta continuamente , entonces a los t años el valor de la
inversión será A = Pert . Compruebe que la tasa de cambio relativa del valor con
respecto al tiempo es r. (La tasa de cambio relativa de y es y0 /y.)
22. Según C. F. Richter, el número de terremotos de magnitud M o mayor, por unidad
de tiempo, es N = 10a−bM , donde a y b son constantes. ¿A qué tasa cambia el
número N de terremotos con respecto a la magnitud M?
23. En cierto paı́s se estima que la cantidad de petróleo necesaria para aumentar la
productividad, en número de barriles por cada $1000 de producción, es
f (t) = 1.5 + 0.18te−0.12t , donde t es el número de años transcurridos desde 1965.
Calcule f 0 (25) e interprete.
3.2. La regla de L’Hôpital

Algunos lı́mites en formas indeterminadas no pueden resolverse simplificando, factori-
zando, racionalizando ni usando ninguna de las técnicas que vimos en el capı́tulo 1. Consi-
dere, por ejemplo, los lı́mites

t ∞ 1
lı́m = y lı́m + ln z = ∞ − ∞
t→∞ et ∞ z→0+ z
Ambos son ideterminados, pero ningún procedimiento algebraico permite calcularlos.

Muchos de esos lı́mites algebraicamente indeterminados pueden calcularse usando la
regla de L’Hôpital, que involucra las derivadas de las funciones que aparecen en el lı́mite.
Teorema (regla de L’Hôpital)

Si
f (x) 0 f (x) ±∞
lı́m = o lı́m =
x→a g(x) 0 x→a g(x) ±∞
esto es, si f (x) → 0 y g(x) → 0 o bien f (x) → ±∞ y g(x) → ±∞, donde a puede ser
cualquier número real, ∞ o −∞, entonces
f (x) f 0 (x)
lı́m = lı́m 0
x→a g(x) x→a g (x)
3.2. La regla de L’Hôpital 59
Recuerde que en el capı́tulo 1 vimos varios métodos para simplificar el lı́mite de una
fracción en una de las formas 0/0 o ∞/∞. Pues ahora podemos agregar uno nuevo: la regla
de L’Hôpital.
Note con cuidado que esta regla se aplica solamente para las formas 0/0 e ∞/∞. Para
otras formas indeterminadas, veremos luego en esta sección cómo ellas se pueden transfor-
mar en una de estas dos que permiten usar la regla de L’Hôpital.
3.2.1. Las formas 0/0 e ∞/∞

Cuando un lı́mite tiene la forma 0/0 o la forma ∞/∞, puede aplicarse la regla de L’Hôpital
inmediatamente, como en los siguientes ejemplos.
L’H
Ocasionalmente usaremos el sı́mbolo = con el significado de “igual por la regla de
L’Hôpital”.
Ejemplo 2
lnt ∞
El lı́mite lı́m es de la forma , ası́ que
t→∞ t ∞
lnt L’H (lnt)0 1/t 0
lı́m = lı́m = lı́m = =0
t→∞ t t→∞ (t)0 t→∞ 1 1
Al aplicar la regla de L’Hôpital al lı́mite de una fracción tenga cuidado de no derivar la

fracción completa, sino derivar el numerador y derivar el denominador por separado.
Ejemplo 3
x + 1 − ex
Calcular el lı́mite L = lı́m .
x→0 x2
Al sustituir x = 0 obtenemos en el numerador 0+1− e0 = 0, y en el denominador
02 = 0, de modo que la forma de este lı́mite es 0/0.
Usamos la regla de L’Hôpital y encontramos
x + 1 − ex L’H (x + 1 − ex )0 1 − ex →0
lı́m = lı́m = lı́m
x→0 x2 x→0 (x2 )0 x→0 2x →0
¡Otra vez 0/0! ¿Entonces la regla de L’Hôpital no sirve en este caso?

No es eso; es cuestión de perseverancia, porque una segunda aplicación de la
regla resulta en
1 − ex L’H −ex −1
L = lı́m = lı́m =
x→0 2x x→0 2 2
Entonces L = −1/2.
3.2.2. La forma 0 · ∞
Para lı́mites de la forma 0 · ∞, el producto puede convertirse en un cociente con forma 00
u v
o con forma ∞ ∞ . Especı́ficamente, un producto u · v se reescribe como v−1 o como u−1 para
usar la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 4
El lı́mite lı́m y ln y es de la forma 0 · ∞ (en realidad ln y → −∞, pero el signo
y→0+
ln y
no afecta la forma). Entonces el producto y ln y puede escribirse como para
y−1
calcular el lı́mite de esta manera:
ln y → −∞
lı́m y ln y = lı́m −1
y→0+ y→0+ y →∞
(ln y)0 1/y
L’H
= lı́m −1 0 = lı́m = lı́m −y = 0
y→0+ (y ) y→0+ −y−2 y→0+
Dos observaciones sobre el ejemplo anterior.

La primera es que también pudimos haber empezado escribiendo
y →0
lı́m y ln y = lı́m
y→0+ y→0+ (ln y)−1 →0
pero al usar L’Hôpital
y L’H 1 →1
lı́m −1
= lı́m
y→0+ (ln y) y→0 −(ln y)−2 · 1
+ → 0·∞
y
nos complicamos porque esta última fracción es equivalente a −y(ln y)2 . ¡Peor que la
original!
En general, al transformar un producto u · v en una fracción u/v−1 o v/u−1 habrá una
buena elección y una mala elección. Elija la que lleve a derivadas más sencillas.
La segunda observación es que en la última lı́nea del ejemplo, después de derivar
pudimos haber continuado ası́:
1/y →0 L’H −y−2 →0 L’H 2y−3 →0
lı́m = lı́m = lı́m
y→0+ −y−2 →0 y→0+ 2y−3 →0 y→0+ −6y−4 →0
y nunca terminarı́amos.
Por el contrario, hay que saber hasta cuándo usar L’H’ôpital y cuándo regresar a lo
básico y aplicar una simplificación algebraica (en este caso, simplemente restar expo-
nentes tan pronto nos deshicimos del ln).
3.2.3. La forma ∞ − ∞
Para la forma ∞ − ∞, se puede separar uno de los términos como factor común para
∞
conseguir una fracción de la forma ∞ .
En general, la expresión u − v puede escribirse como u(1 − uv ) o como v( uv − 1). A dife-
rencia del caso anterior, en este caso ninguna de las dos posibilidades es más complicada de
la otra; cualquiera funciona.
Ejemplo 5
El lı́mite lı́m x − ex tiene la forma ∞ − ∞. Escribiendo x como factor común se

x→∞
obtiene !
ex
lı́m x − ex = lı́m x 1 −
x→∞ x→∞ x
ex ∞
Por aparte, la fracción tiende a , ası́ que su lı́mite es
x ∞
ex L’H (ex )0 ex ∞
lı́m = lı́m = lı́m = = ∞
x→∞ x x→∞ (x)0 x→∞ 1 1
Regresando al lı́mite original, tenemos entonces

!
ex
lı́m x − ex = lı́m x 1 − = ∞(1 − ∞ ) = −∞
x→∞ x→∞ x
Si en el ejemplo anterior hubiéramos factorizado de la otra forma, habrı́a sucedido lo

siguiente:
x
lı́m x − ex = lı́m ex x − 1
x→∞ x→∞ e
Por aparte,
x L’H 1 1
lı́m = lı́m = =0
x→∞ ex x→∞ ex ∞
y entonces
x
x
lı́m e − 1 = ∞(0 − 1) = −∞
x→∞ ex
Ası́ llegamos al mismo resultado por un camino un poco distinto pero no más ni menos
complicado.
3.2.4. Las formas ∞0, 1∞ y 00

Para las formas exponenciales indeterminadas ∞0 , 1∞ y 00 se puede calcular primero el
logaritmo del lı́mite, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6
El lı́mite lı́m (1 + h)1/h es de la forma 1∞ . Llamémoslo L y calculemos primero

h→0
su logaritmo natural:
ln L = ln lı́m (1 + h)1/h = lı́m ln(1 + h)1/h

h→0 h→0
1 ln(1 + h) →0
= lı́m ln(1 + h) = lı́m
h→0 h h→0 h →0
0
Ahora este es de la forma 0 y entonces aplicamos L’Hôpital.
0
ln(1 + h) L’H ln(1 + h) 1/(1 + h)
ln L = lı́m = lı́m 0
= lı́m =1
h→0 h h→0 (h) h→0 1
Ası́ es que ln L = 1, por lo que finalmente L = e1 = e.
En resumen, ası́ pueden abordarse las siete formas indeterminadas usando la regla de
L’Hôpital.
Para la(s) forma(s). . . Intente. . .

0 ∞
, Usar la regla de L’Hôpital
0 ∞
u v
0·∞ Escribir u · v como −1 o −1
v u
∞−∞ Escribir u − v como u(1 − u ) o v( uv − 1)
v
∞0 , 00 , 1∞ Calcular el lı́mite del logaritmo
Para terminar, una advertencia: la regla de L’Hôpital no siempre es la mejor forma de

calcular lı́mites en forma indeterminada.
Ya vimos un ejemplo de eso en el segundo comentario después del ejemplo 4. Como otro
ejemplo, para calcular
3x3 − 4x + 6 → ∞
lı́m
x→∞ 8 − x2 − 2x3 → −∞
podrı́a usarse la regla de L’Hôpital tres veces hasta llegar a una forma determinada, pero
es mucho mejor recordar lo que habı́amos dicho sobre lı́mites al infinito de cocientes de
polinomios, lo de tomar los términos principales (aquellos con mayor exponente):
3x3 − 4x + 6 3x3 3
lı́m = lı́m =
x→∞
8 − x2 −2x3 x→∞
−2x3 −2
Listo.
Ejercicios
Calcule
y3 − 2y2 − y + 2 es
24. lı́m 37. lı́m
y→1 y3 − 7y + 6 s→∞ ln s
2v + 1 e1/r
25. lı́m 2 38. lı́m
v→∞ 4v + v r→0+ ln r
√
p+1−2 1 − x + ln x
26. lı́m 39. lı́m 3
p→3 p−3 x→1 x − 3x + 2
e w t
27. lı́m 40. lı́m
t→∞ ln(1 + 2et )
w→∞ w5
e2x − 1 41. lı́m ln u ln(u − 1)
28. lı́m u→1
x→0 x 2
42. lı́m y e−y
e − e2t
t y→∞
29. lı́m
t→0 t 43. lı́m r4 e−1/r
r→0
ew − w − 1
30. lı́m 44. lı́m v2 ln v
w→0 w2 v→0+
r2 45. lı́m z ez
31. lı́m −r z→−∞
r→−∞ e
1 − 2t 46. lı́m e−v ln v
v→∞
32. lı́m √
t→0 t 47. lı́m x ln x
ln z x→0+
33. lı́m √
y

z→∞ 3 z
48. lı́m y ln
ln q y→∞ 1+y
34. lı́m r
49. lı́m (e − 1) ln r
q→∞ q
r→0+
ln u
35. lı́m 2 1/t 5
u→1 u − 1 50. lı́m t ln e −
t→∞ t
(ln w)3
36. lı́m 51. lı́m p − ln p
w→∞ w2 p→∞
√
52. lı́m te1/t − t 68. lı́m (x − 1) x−1
t→∞ x→1+
y y
53. lı́m 3 − 2
y→∞ 69. lı́m zln(1+z)
z→0
1
54. lı́m + ln z
z→0+ z 70. lı́m (10q + q)1/q
q→∞
55. lı́m s + e−s
s→−∞ 71. lı́m (ey + y)3/y
y→∞
1 5
56. lı́m − 2
x→3 x − 3 x −x−6 72. lı́m (ln r)1−r
r→1
1 1
57. lı́m √ − √
1 y

p→1 2(1 − p) 3(1 − 3 p) 73. lı́m 1 +
t 1 y→∞ y
58. lı́m −
t→1 t − 1 5 x

lnt
3 2 74. lı́m 1 −
59. lı́m −
x→∞ x
s→1 ln s s−1
1 1 75. lı́m (s−2 + 3s−1 + 1)s
s→∞
60. lı́m − q
q→0 q e −1 76. lı́m (u + 1)ln u
u→0+
61. lı́m y1/y
y→∞
1 − v ln v

62. lı́m r 1/(1−r) 77. lı́m
r→1 v→1− v
63. lı́m q3/(4+ln q)
t+1
q→0
1
78. lı́m
t→−1+ t + 1
64. lı́m(1 − t)1/t
t→0 y−1
y
65. lı́m (1 − 2w)1/w 79. lı́m
y→∞ y + 1
w→0
66. lı́m (1 + u2 )1/u

r nt
u→0 80. lı́m P 1 +
n→∞ n
67. lı́m (1/x)x con P, r y t constantes, t > 0
x→0+
3.3. Crecimiento y decrecimiento de funciones

Recuerde que las rectas con pendiente positiva son crecientes, y que las rectas con pen-
diente negativa son decrecientes. Como la derivada de una función es la pendiente de la recta
tangente al gráfico de la función, el siguiente teorema resulta natural.
3.3. Crecimiento y decrecimiento de funciones 65
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo I.
Si f 0 (x) ≥ 0 en I, entonces f es creciente en I.
Si f 0 (x) ≤ 0 en I, entonces f es decreciente en I.
A diferencia de las rectas, que son siempre crecientes o siempre decrecientes (o siempre
horizontales), las funciones en general pueden tener gráficos que son crecientes en algunos
intervalos y decrecientes en otros.
Para averiguar en cuáles intervalos una función es creciente o decreciente basta con saber
en cuáles intervalos su derivada es positiva o negativa. Para esto podemos hacer un mapa de
signos2 de f 0 como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7
Sea f (x) = x − 1 + x2 − x3 . Su derivada es
f 0 (x) = 1 + 2x − 3x2 = (3x + 1)(1 − x)
Los ceros de f 0 son −1/3 y 1, y sus signos son:
f 0: − 0 + 0 −
−1/3 1
Vemos que f 0 (x) ≥ 0 para x en el intervalo [−1/3, 1], y que f 0 (x) ≤ 0 para x en
los intervalos ]−∞, −1/3] y [1, ∞[.
Por el teorema anterior, concluimos que f es creciente en [−1/3, 1], y decrecien-
te en ]−∞, −1/3] y en [1, ∞[.
Parte de la importancia del análisis de los signos de y0 está en que no es necesario conocer
el gráfico de la función para averiguar dónde es creciente o decreciente ni dónde alcanza sus
extremos locales. Solo por referencia, veamos el gráfico de la función f del ejemplo anterior:
2 En la sección 4.5 de “Matemática para Administración” se estudió el método para construir el mapa de
signos de una función.
f (x)
En este ejemplo, note que f decrece en ]−∞, −1/3] y en [1, ∞[, pero no decrece en la
unión de esos intervalos. Aunque f 0 (x) ≤ 0 en ]−∞, −1/3] ∪ [1, ∞[, no podemos decir que
f sea decreciente allı́, porque ese conjunto no es un intervalo. Las propiedades “ f 0 (x) ≥ 0
en I ⇒ f crece en I” y “ f 0 (x) ≤ 0 en I ⇒ f decrece en I” son válidas solamente si I es un
intervalo.
Ejercicios
Encuentre los intervalos donde la función es creciente o decreciente
81. 1 − 4u − u2 v+1
91.
v2 + v + 1
82. y3 − 3y − 2
1
83. r2 (3 − r) 92.
3t − 4
84. s4 + 4s3 + 4s2 y
93. 2
85. 3w4 − 4w2 + 2 y +1
94. x ex
86. 8u3 − 18u2 − u4
95. z3 ez
87. 5z2/3 + z5/3 2
w2 − 5w 96. 6e4s−s
88. √ 3
w 97. ey + e−y
√
89. 5 r 98. x2 + x e−x + e−x
√
90. u u + 1 99. 5y2 − 2ey (y − 1)
3.4. Máximos y mı́nimos de una función 67
100. 2q2 − 2 ln q 102. (3r3 − 81r) ln r + 81r − r3

101. t 2 lnt
3.4. Máximos y mı́nimos de una función

Pasemos a investigar el problema de determinar los puntos donde una función alcanza su
valor máximo o su valor mı́nimo.
En esta sección hablaremos primero de los extremos locales (o relativos) de una función,
que son los valores máximos o mı́nimos locales.
En la subsección 3.4.3 nos ocuparemos de los extremos absolutos.
Definición (extremos locales)
Una función f alcanza un máximo local en un punto c si existe un intervalo I

alrededor de c tal que f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I.
Una función f alcanza un mı́nimo local en un punto c si existe un intervalo I

alrededor de c tal que f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ I.
Un extremo local de una función es un máximo local o un mı́nimo local.
Veamos algunas posibilidades en el siguiente gráfico.

f 0 (c) = 0
f0 > 0
f0 < 0
f 0 (b) = 0 f0 > 0
f0 > 0
a b c
En x = a, la derivada no existe3 , pero la función alcanza un mı́nimo en a porque venı́a

decreciendo “antes” de a y pasó a crecer “después” de a. Es decir, f 0 cambió de nega-
tiva a positiva en a.
En x = c la derivada es cero y la función alcanza un máximo en c, porque pasa de ser
creciente (derivada positiva) a ser decreciente (derivada negativa) en c.
En x = b la derivada es cero, pero f sigue creciendo a la derecha de b, de modo que
su gráfico no cambia de dirección (de creciente a decreciente ni viceversa). No hay
máximo ni mı́nimo en b.
Resulta que una función puede alcanzar un extremo (máximo o un mı́nimo) solamente
en los puntos donde su derivada sea cero o no exista. Esos puntos se llaman puntos crı́ticos
de la función.
Definición (puntos crı́ticos)

Los puntos crı́ticos de una función f son los puntos c en el dominio de f donde f 0 (c) = 0
o f 0 (c) no existe.
Por ejemplo, en el gráfico anterior los puntos crı́ticos son a, b y c, porque f 0 (a) no existe,
f 0 (b) = 0 y f 0 (c) = 0.
Teorema
Si una función alcanza un extremo local en el punto c, entonces c es un punto crı́tico de
la función.
Note que este teorema no dice que una función alcance extremos en todos sus puntos
crı́ticos. Lo que dice es que si se alcanza un extremo en c, entonces c debe ser un punto
crı́tico; es decir, todos los extremos se alcanzan en puntos crı́ticos.
En el gráfico que acabamos de ver, los extremos se alcanzan en a (mı́nimo) y en c (máxi-
mo), que en efecto son puntos crı́ticos. Pero también b es un punto crı́tico, y ahı́ no se alcanza
extremo. En resumen, todos los extremos se alcanzan en puntos crı́ticos, pero no todos los
puntos crı́ticos resultan en extremos.
3.4.1. El criterio de la primera derivada

Encontrar los puntos crı́ticos de una función f es relativamente fácil. Solo hay que calcu-
lar f 0 (x) y ver dónde es cero o no existe. Pero habiendo encontrado un punto crı́tico, ¿cómo
saber si allı́ se alcanza un máximo, se alcanza un mı́nimo o no hay extremo?
3 Recuerde que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Si la curva no tiene tangente o si la tangente es vertical (sin pendiente), la derivada no existe.
El criterio de la primera derivada es una forma segura de averiguarlo. Recuerde que

en el gráfico de la página 67 la función cambió de decreciente a creciente en a, y por eso
hubo un mı́nimo en a. Y la función cambió de creciente a decreciente en c, resultando en un
máximo en ese punto. En contraste, la función no cambió dirección en b y por eso no hubo
extremo ahı́.
Esa es la regla general.
Teorema (criterio de la primera derivada)

Si c es un punto crı́tico de f , entonces:
Si f 0 cambia de signo positivo a negativo en c, entonces f (c) es un máximo local.
Si f 0 cambia de negativo a positivo en c, entonces f (c) es un mı́nimo local.
Si f 0 no cambia de signo en c, entonces no hay extremo en c.
Ejemplo 8
Sea f (x) = x − 1 + x2 − x3 . Su derivada es
f 0 (x) = 1 + 2x − 3x2 = (3x + 1)(1 − x)
En el ejemplo anterior vimos el mapa de signos de f 0 .
f 0: − 0 + 0 −
−1/3 1
En él vemos que los puntos crı́ticos son x = −1/3 y x = 1.
Vemos también que en x = −1/3 la derivada f 0 cambia de signo − a signo +, lo
que implica que f alcanza un mı́nimo local en x = −1/3. El valor de ese mı́nimo
es f (−1/3) = −32/27, y el punto mı́nimo es (−1/3, −32/27).
Por otro lado, en el punto x = 1 el signo de f 0 cambia de + a −, por lo que f
alcanza un máximo local en x = 1. El valor de ese máximo es f (1) = 0, y el
punto máximo es (1, 0).
Ejercicios
Resuelva
103. Encuentre los extremos locales de las funciones en los ejercicios 81–102.
3.4.2. El criterio de la segunda derivada

Ya tenemos claro que los extremos locales de una función pueden alcanzarse solo en
puntos crı́ticos. Y encontrar los puntos crı́ticos de una función no es difı́cil.
El asunto es, una vez que encontramos un punto crı́tico, ¿cómo sabemos si en él se
alcanza un máximo o un mı́nimo, o si no se alcanza un extremo? El criterio de la primera
derivada nos dio una forma de averiguarlo, con el costo de encontrar los signos de la derivada
en los intervalos alrededor de cada punto crı́tico.
Una alternativa es el criterio de la segunda derivada, que tiene la ventaja de no necesitar
el mapa de signos de la derivada y la desventaja de que no siempre es concluyente.
Teorema (criterio de la segunda derivada)

Si c es un punto crı́tico de f , entonces:
Si f 00 (c) > 0, entonces f alcanza un mı́nimo local en c.
Si f 00 (c) < 0, entonces f alcanza un máximo local en c.
La razón por la que este criterio no siempre concluye es que no menciona qué pasa si
f 00 (c) = 0 o f 00 (c) no existe. En ese caso podrı́a suceder cualquiera de las tres cosas: que f
alcance un máximo en c, que alcance un mı́nimo en c, o que no tenga ningún extremo en c.
Ejemplo 9
Si g(t) = 2t 3 − 17t 2 + 40t − 3, entonces
g0 (t) = 6t 2 − 34t + 40 = 2(3t − 5)(t − 4)

g00 (t) = 12t − 34
Los puntos crı́ticos de g son t = 5/3 y t = 4.

En t = 5/3: g00 (t) = −14 < 0, ası́ que g(5/3) es un máximo local.
En t = 4: g00 (t) = 14 > 0, por lo que g(4) es un mı́nimo local.
Ejemplo 10
Para h(x) = x5 − 10x3 + 20x2 − 15x se tiene
h0 (x) = 5x4 − 30x2 + 40x − 15 = 5(x + 3)(x − 1)3

h00 (x) = 20x3 − 60x + 40
Los puntos crı́ticos son x = −3 y x = 1.

En x = −3: h00 (x) = −320 < 0, de modo que h alcanza un máximo en −3.
En x = 1: h00 (x) = 0, ası́ que el criterio de la segunda derivada no se aplica. Pero
podemos regresar al criterio de la primera derivada, y viendo el mapa de signos
de h0 alrededor de 1 (no nos interesa más a la izquierda de −3):
h0 : − 0 +
1
concluimos que h alcanza un mı́nimo en 1.
Ejercicios
Encuentre los extremos locales usando el criterio de
la segunda derivada
√
104. 2x3 + 3x2 − 12x − 7 110. s2 + 1
√
105. 3u4 − 4u3 + 1 111. 2r r + 3
106. 4z5 − 5z4 + 2 √
112. u − 3 3 u
u2
107. 113. v2 ev
u−1
2
p2 − 2p + 2 114. x2 + e4−x
108.
p−1
115. z − ln z
v2
109. 2 116. ln(t 2 + 5)
v +1
3.4.3. (Opcional) Extremos absolutos

Recuerde que la definición de máximo local (o relativo) dice que una función f alcanza
un máximo local en un punto c si existe un intervalo I alrededor de c tal que f (c) ≥ f (x)
para todo x ∈ I. Eso no significa que f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .
Lo último es lo que se conoce como máximo absoluto. Vea la diferencia en el siguiente
gráfico.
máximo local
y absoluto
máximo local
mı́nimo local
a b c
Suponiendo que este es el gráfico de una función f , vemos que f alcanza máximos locales
en a y en c, porque f (a) y f (c) son los valores más altos localmente (en algún intervalo
alrededor de cada punto), y que f alcanza un mı́nimo local en b porque f (b) es el más bajo
localmente.
Pero note lo siguiente:
f (c) no es un máximo absoluto porque hay otros puntos más altos en el gráfico.
f (a) sı́ es un máximo absoluto porque es el valor más alto de todo el gráfico.
f (b) no es mı́nimo absoluto porque en el gráfico hay otros puntos más bajos.
Las flechas en los extremos del gráfico indican que no existe un mı́nimo absoluto.
El siguiente teorema garantiza que las funciones continuas en intervalos cerrados y finitos
siempre tienen un máximo local y un mı́nimo local, y que estos se alcanzan en algún punto
crı́tico o algún borde (izquierdo o derecho) del intervalo.
Teorema
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un máximo
absoluto y un mı́nimo absoluto en ese intervalo.
Esos extremos absolutos se alcanzan en algún punto crı́tico, en a o en b.
Ejemplo 11
Encontrar los extremos absolutos de h(v) = v3 − 3v2 − 9v en [1, 5].
Los puntos crı́ticos se encuentran resolviendo
0 = h0 (v) = 3v2 − 6v − 9 = 3(v + 1)(v − 3)
y resultan ser v = −1 y v = 3, pero v = −1 está fuera del intervalo de interés.

Los extremos absolutos se pueden alcanzar entonces en v = 3 (por ser punto
crı́tico), v = 1 (por ser el punto inicial del intervalo) o v = 5 (por ser el punto
final del intervalo).
Sabiendo eso, es suficiente comparar los valores de h en esos tres puntos:
v 1 3 5
h(v) −11 −27 5
En la tabla es claro que el máximo es h(5) = 5 y que el mı́nimo es h(3) = −27.
Ejercicios
Encuentre los extremos absolutos de la función en el intervalo dado
117. 2z2 + 6z − 3 en [−2, 3] q+1
124. p en [−2, 2]
118. 2p3 + 3p2 − 12p + 1 en [−1, 5] q2 + 5
119. 2p3 + 3p2 − 12p + 1 en [−10, 12] 125. p4/5 en [−32, 1]
120. −3r4 + 4r3 + 72r2 en [−3, 2] 126. x e−x en [0, 1]

t 127. t 2 /et en [−1/2, 1]
121. 2 en [0, 2]
t +1 128. y ln y − 2y en [1, 4]
7x 129. t 2 (2 lnt − 3) en [1, 4]
122. en [3, 5]
x−2
√ ln(r + 1)
123. 9 − w2 en [−1, 2] 130. en [0, 5]
r+1
131. 2 ln u − u en [1, ∞[ 133. q4 − 2q3 − 2q2 en IR

r
132. r en [0, ∞[
e 134. z e−3z en IR
3.5. Problemas de máximos y mı́nimos

La optimización, en nuestro contexto, es el proceso de búsqueda del valor óptimo de una
función, que puede ser el máximo o el mı́nimo según la situación. Se acostumbra llamar
función objetivo a la función que se trata de optimizar (maximizar o minimizar).
Para resolver problemas aplicados de optimización pueden darse estos pasos:
a. Identificar las variables.
b. Plantear la función objetivo.
c. Plantear una o varias ecuaciones que relacionen las variables.
d. Escribir la función objetivo en términos de una sola variable.
e. Optimizar la función objetivo.
f. Responder la pregunta que se planteó.
3.5.1. Problemas generales

Ejemplo 12
Se dispone de 500 cm2 de material para construir una ca-
ja rectangular sin tapa y con base cuadrada. ¿Con cuáles
dimensiones se obtiene el volumen máximo, aprovechando y
todo el material disponible? x
x
a. Las variables son x = el lado de la base, que es cuadrada, y y = la altura de
la caja, ambos en cm.
b. El objetivo es maximizar el volumen, V = x2 y.
c. La superficie total debe ser 500 cm2 . Como la base mide x2 y cada uno de
los cuatro lados verticales mide xy, entonces la superficie es x2 +4xy = 500.
d. De la ecuación en el paso anterior despejamos y:
500 − x2
2
x + 4xy = 500 ⇒ y= = 125x−1 − 14 x
4x
Entonces la función objetivo es
V = x2 (125x−1 − 14 x) = 125x − 14 x3
3.5. Problemas de máximos y mı́nimos 75
e. Puntos crı́ticos:
3
V 0 = 125 − x2 = 0
p
⇒ x = ± 500/3
4
y como x es una longitud, debe ser positiva:

p
x= 500/3 ≈ 12.910
Para confirmar que se alcanza un máximo, calculamos
3
V 00 = − x V 00 ( 500/3) ≈ −19.4 < 0
p
⇒
2
Una segunda
p derivada negativa indica que el volumen sı́ alcanza un máxi-
mo en x = 500/3.
f. Como y = 125x−1 − 41 x, entonces x = 500/3 ⇒ y = 125/3 ≈ 6.455.
p p
La respuesta es que el lado de la base debe medir 12.910 cm y la altura

6.455 cm.
En el paso e, Optimizar, es importante tener en cuenta que no basta con encontrar los
puntos crı́ticos de la función objetivo. Ya vimos que los puntos crı́ticos a veces resultan
en un máximo, a veces en un mı́nimo, y a veces no resultan en ningún extremo. Por eso
es necesario ir más allá de encontrar los puntos crı́ticos y determinar dónde se alcanza el
extremo deseado. Para eso hay tres posibilidades.
Se puede usar el criterio de la segunda derivada como hicimos en el ejemplo anterior.

Ya sabemos que a veces este criterio puede fallar y será necesario aplicar el criterio de
la primera derivada.
Algunas veces se puede plantear la función objetivo dentro de un dominio cerrado y

finito, y allı́ buscar su extremo absoluto como en la sección 3.4.3. Vea el ejemplo 13
en esta sección.
A veces es posible, pero solamente si la función objetivo es cuadrática, usar lo que

sabemos sobre parábolas: que su valor extremo se encuentra en el vértice y que es un
máximo o un mı́nimo dependiendo de la concavidad. Vea el ejemplo 14 (página 78),
pero ya puede usar esa idea en algunos de los ejercicios de esta sección.
Ejemplo 13
Pudimos haber el ejemplo anterior de esta manera más sencilla.
√
Es claro que 0 ≤ x ≤ 500 (debe ser x ≥ 0 porque x es una longitud, y √
como el
material 2
disponible es 500 cm , no√se puede tener una base mayor que 500 ×
√
500). Entonces el dominio es [0, 500], y buscamos el máximo absoluto entre
los puntos crı́ticos y los bordes del dominio.
De los √dos puntos crı́ticos, x = ±12.91, solamente x = 12.91 pertenece al domi-
nio [0, 500] ≈ [0, 22.36]. Entonces el máximo absoluto se encuentra a partir de
la siguiente tabla: √
x 0 12.91 500
V (x) 0 1075.83 0
Ası́ confirmamos, por otro método, que el máximo se alcanza en x = 12.91.
Ejercicios
Resuelva
135. Encuentre dos números cuya suma sea 200 y cuyo producto sea máximo.
136. Encuentre dos números cuya diferencia sea 50 y cuyo producto sea mı́nimo.
137. Encuentre dos números positivos con producto 192 y con suma mı́nima.
138. Encuentre dos números en [1, 10] con producto 10 y con diferencia máxima.
139. Encuentre dos números en [−10, 10] con suma 0 y con producto mı́nimo.
140. El dueño de un automóvil determina que el costo en colones por kilómetro al
conducir su vehı́culo a una velocidad de v km/h es C = 0.015v2 − 2.5v + 120.
Encuentre la velocidad más económica.
141. El dueño de una fábrica de refrescos sabe que su ganancia (en miles de colones
semanales), como función del número x de cajas de refrescos vendidas, está dada
por la ecuación U = −0.01x2 + 9x − 1296. ¿Cuántas cajas debe vender
semanalmente para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima?
142. Un objeto es arrojado al aire de manera que su altura h (en metros) sobre el
terreno, t segundos después de lanzado, es h = 14t − 5t 2 . Encuentre la altura
máxima que alcanza.
143. La función de costo promedio de un fabricante está dada por
C̄ = 0.25q + 3 + 400q−1 , donde q es el número de unidades producidas. ¿A qué
nivel de producción es mı́nimo el costo promedio por unidad? ¿Cuál es ese costo
promedio mı́nimo?
144. La tasa de crecimiento de una población es C(t) = 2t 3 − 11t 2 + 12t + 5, donde t es

el número de meses desde el 10 de abril del 2000. ¿Aproximadamente en qué
fechas se alcanzaron las tasas de crecimiento máxima y mı́nima durante los
primeros dos meses (0 ≤ t ≤ 2)?
145. El costo administrativo de un pedido de n unidades de un producto es
2 10n
C= +
n2 10n + 3
en miles de dólares. ¿Cuál es el tamaño del pedido con el que se minimiza el costo
administrativo?
146. Un artı́culo tiene un costo de fabricación de $5 por unidad. Si el precio de venta
es p (en dólares), la demanda será q = 2 − 0.01p2 . Determine el precio que
maximiza las utilidades.
147. El costo de producir q unidades de un artı́culo es C = 0.5q3 + 100q + 500 y la
ecuación de demanda es p = 450 − 2q. ¿Cuántas unidades deben producirse para
maximizar las utilidades?
148. Un grupo de personas quiere alquilar un autobús para un viaje. Si viajan hasta 40
personas, la cuota de cada una será C || 3000. Por cada pasajero adicional a los
primeros 40, la cuota por pasajero se rebaja en C || 50 para cada uno (por ejemplo, si
|| 2900 para cada una de las 42 personas). La
viajan 42 personas, la cuota será C
capacidad del autobús es de 60 pasajeros. ¿Cuál número de pasajeros minimiza la
cuota por persona?
149. Suponga que la cantidad de dinero que el público deposita en un banco es
proporcional al cuadrado de la tasa de interés que el banco ofrece (P = kr2 para
alguna constante k, donde r es la tasa de interés y P es el monto invertido). El
dinero que el banco recibe lo coloca en préstamos por los que cobra un interés
de 24 %. ¿Qué tasa de interés debe ofrecer el banco para maximizar sus utilidades
durante un año? Use interés simple.
150. La función de costo total de un fabricante está dada por C = 0.25q2 + 3q + 400,
donde q es el número de unidades. ¿A qué nivel de producción es mı́nimo el costo
promedio por unidad (el costo promedio es C̄(q) = C(q)/q)? ¿Cuál es ese costo
promedio mı́nimo?
√
151. Para cierto producto la ecuación de demanda es p = 50/ q y la función de costo
√
promedio es C̄ = 0.5 − 1000/ q. Determine el precio y el nivel de producción que
maximizan las utilidades.
152. La ecuación de demanda de un producto es q = 450e−0.25p . ¿Qué precio debe
fijarse para maximizar los ingresos?
153. La ecuación de demanda para cierto producto es 3q + 100p − 1800 = 0, donde p
es el precio unitario y q el número de unidades vendidas. Determine el nivel de
producción que maximiza los ingresos del fabricante para este producto.
154. La ecuación de demanda para cierto producto es p = 35 (650 − q), donde p es el

precio unitario en dólares y q el número de unidades vendidas por semana. La
capacidad máxima de producción es de 300 unidades semanales y el costo de
producción es de $24 por unidad. ¿Qué cantidad debe producirse por semana para
maximizar la utilidad? ¿Cuánto es la utilidad semanal máxima?
155. Un camión consume 0.002x litros de gasolina por kilómetro cuando viaja a
x km/h, para 70 ≤ x ≤ 100. Suponga que la gasolina cuesta $1.20 por litro y que el
salario del conductor es $6 por hora. ¿Cuál velocidad, entre 70 y 100 km/h,
minimiza el costo total (gasolina más salario) de un viaje de 700 km? Recuerde que
la velocidad es igual a distancia/tiempo.
156. ¿Cuál es la distancia mı́nima entre la parábola P con ecuación
y = x2 y la recta R con ecuación y = x − 1?
(Compare con el ejercicio 63 del capı́tulo 4.)
157. Encuentre los valores de b y c para que f (x) = x2 + bx + c tenga un mı́nimo en
(1, 3).
3.5.2. Problemas de aumento/reducción

En algunos problemas se tiene que una cantidad aumenta mientras otra disminuye, y se
desea encontrar el equilibrio óptimo entre ambas. Un caso tı́pico puede ser que conforme
un precio aumenta, la cantidad vendida disminuye, o viceversa, y se quiere maximizar el
ingreso. En problemas ası́, puede ser útil plantear ambas cantidades en términos de una
tercera variable y definir la función objetivo también en términos de ella, como ya habı́amos
hecho en la sección 6.11.3 de “Matemática para Administración”.
Es común en estos problemas que la función objetivo resulte ser cuadrática, en cuyo caso
podemos encontrar su máximo o mı́nimo en el vértice, sin necesidad de derivar.
Ejemplo 14
Un agricultor estima que si cosecha papas ahora obtendrá 180 kg con valor de
|| 300 el kilo. Si espera, la cosecha se incrementará en 30 kg por semana, pero el
C
precio disminuirá en C || 20 por semana. ¿Cuándo debe cosechar para obtener el
máximo ingreso? ¿Cuánto es ese máximo ingreso?
a. Las dos variables principales son el número de kilogramos cosechados y el

precio por kilogramo, que denotaremos q y p.
Pero el problema se simplifica significativamente al añadir la variable n = el
número de semanas por esperar.
b. El objetivo es maximizar el ingreso: I = pq.
c. La cosecha aumenta en 30 kg por semana: q = 180 + 30n.

|| 20 por semana: p = 300 − 20n.
El precio disminuye en C
d. En términos de n, la función objetivo es
I = pq = (300 − 20n)(180 + 30n)

= −600n2 + 5400n + 54000
e. Como I es cuadrática y cóncava hacia abajo (porque a = −600, negativo),

su máximo se alcanza en el vértice:
−b −5400
nv = = = 4.5
2a −1200
f. Debe esperar 4.5 semanas. El ingreso será I(4.5) = 66 150 colones.
Ejercicios
Resuelva
158. Una revista vende 10 000 ejemplares a C || 1500 cada uno. Puede vender 100 más
|| 10 que disminuya el precio (por ejemplo, a C
por cada C || 1480 venderán 200 más).
Determine a qué precio se maximizará el ingreso.
159. Una compañı́a de televisión por cable da servicio actualmente a cinco mil
usuarios y cobra C|| 16 000 mensuales a cada uno. Un estudio de mercado indica que
por cada rebaja de C || 100 en la tarifa mensual, se suscribirán 40 nuevos clientes (por
ejemplo, si rebajan C || 300 se suscribirán 120 nuevos clientes). Determine la cuota
mensual que resulta en un ingreso mensual máximo.
160. Un agricultor calcula que si siembra 120 árboles por hectárea, entonces cada árbol
adulto dará 600 naranjas al año. Por cada árbol más que plante por hectárea, la
producción de cada árbol adulto disminuye en tres naranjas al año. ¿Cuántos
árboles debe plantar por hectárea para obtener el mayor número posible de naranjas
al año, por hectárea?
161. Una fábrica de computadoras ha estado vendiendo 1000 unidades de cierto
modelo por semana, a $600 cada una. Un estudio de mercado indica que podrı́an
vender 80 unidades más por semana por cada $10 de descuento en el precio.
(a) ¿Qué precio deben fijar para maximizar sus ingresos?
(b) Si el costo de producir x unidades es C(x) = 65000 + 200x, ¿qué precio
maximizará las utilidades?
162. Un fabricante vende su producto a C || 900 la unidad, mientras que el costo unitario
|| 600. Para favorecer los pedidos de más de 100 unidades, por
de producción es de C
cada unidad adicional a 100, el precio unitario se reduce en C|| 2 para todas las
unidades. ¿Cuál tamaño de pedido maximiza la utilidad? ¿Cuál es la utilidad
máxima?
163. La edición dominical de un periódico vende 150 000 ejemplares a C || 500 cada uno.
Se ha determinado que por cada rebaja de C || 10 en el precio, las ventas aumentarán
en 5000 ejemplares. Sin embargo, la capacidad de producción es de 180 000
ejemplares como máximo. ¿Qué precio deben fijar para maximizar el ingreso?
¿Cuánto es el ingreso máximo?
164. Una tienda de alquiler de videos cobra C || 1500 por pelı́cula si el cliente alquila
cinco videos o menos. Pero si el cliente alquila más de cinco, el precio de cada
|| 150 por cada video adicional. ¿Cuánto es el máximo
pelı́cula disminuye en C
ingreso que puede tener la empresa en un alquiler?
165. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es treinta o
menos, la empresa de transportes cobra $10 por persona. Por cada persona adicional
a las primeras treinta, se reduce el cobro en $0.40 por persona. ¿Cuál número de
turistas maximiza el ingreso de la empresa por viaje, si la capacidad del bus es de
sesenta pasajeros?
166. Una agencia de viajes está negociando con una aerolı́nea el alquiler de un avión.
El avión tiene capacidad para 320 pasajeros y la aerolı́nea pide a la agencia vender
un mı́nimo de 200 tiquetes. La aerolı́nea cobra a la agencia $250 por persona si la
agencia vende 200 tiquetes, pero rebajan en $1 el costo de cada tiquete por cada
persona adicional. ¿Cuántos tiquetes debe vender la agencia para minimizar su
costo total?
167. En una ciudad, el tren subterráneo tiene una tarifa de $1.80 y es usado por 5000
personas diariamente. Se está considerando un incremento en la tarifa y se ha
determinado que por cada $0.20 de incremento habrá mil pasajeros menos al dı́a.
¿Qué tarifa debe fijarse para maximizar los ingresos diarios?
3.5.3. Problemas sobre pedidos y lotes de producción

Los problemas acerca de pedidos e inventarios se refieren a un productor o distribuidor
de algún artı́culo, que necesita balancear tres factores: la demanda de ventas por satisfacer, el
costo de mantener un inventario (espacio fı́sico, costos financieros) y el costo fijo de hacer un
pedido (costos administrativos, gastos de envı́o). Pedidos grandes y poco frecuentes obligan
a mantener un gran inventario del artı́culo; pedidos pequeños y frecuentes incurren en altos
costos por los pedidos. El objetivo es encontrar el tamaño y la frecuencia de los pedidos que
minimizan los costos totales (inventario más pedidos).
En los problemas sobre lotes de producción hay un fabricante que produce un artı́culo
en lotes de tamaño variable. En vez del costo fijo de hacer un pedido hay un costo fijo de
iniciar un lote de producción, pero el resto del modelo es idéntico al de los problemas sobre
pedidos.
En todos estos problemas se supone que la demanda es uniforme en el tiempo, ası́ que el
nivel de inventario decrece a una tasa constante desde su máximo (cuando acaba de recibirse
un pedido) hasta su mı́nimo (cuando está por recibirse el siguiente pedido). Se deduce que
el nivel promedio de inventario es el promedio entre el máximo y el mı́nimo. Si el pedido
es por x unidades y el nuevo pedido llega justo cuando el inventario se agota4 , entonces el
máximo es x y el mı́nimo es 0, de modo que el nivel promedio de inventario es x/2.
Ejemplo 15
Una licorera vende 600 bolsas de hielo cada semana. El costo semanal de mante-
|| 7.80 por bolsa y el costo de hacer un pedido al proveedor
ner el inventario es de C
es de C|| 1200. ¿Cuántas bolsas deben pedir cada vez, y con qué frecuencia, para
satisfacer la demanda y minimizar el costo total de pedidos e inventarios?
a. Denotemos con x el número de bolsas por pedido y con n el número de
pedidos por semana.
b. El objetivo es minimizar el costo total: C = CI + CP, donde CI denota el
costo de mantener el inventario y CP denota el costo de los pedidos.
c. Para satisfacer la demanda se necesita que nx = 600. Por otra parte, como
el nivel promedio de inventario es x/2, entonces el costo promedio sema-
nal del inventario es CI = 7.80(x/2) = 3.9x. Y como cada pedido cuesta
|| 1200, el costo de los pedidos será CP = 1200n por semana.
C
d. La función objetivo es
C = CI +CP = 3.9x + 1200n

600
= 3.9x + 1200 = 3.9x + 720 000 x−1
x
e. C0 = 3.9 − 720 000 x−2 = 0 lleva a x = ±429.67, de donde escogemos la
solución positiva.
Como C00 = 1 440 000 x−3 > 0 si x = 429.67, ahı́ es donde se alcanza el
costo mı́nimo.
f. Para la frecuencia de los pedidos tenemos n = 600/x = 1.396 pedidos por
semana, o bien un pedido cada 7/1.396 = 5.01 dı́as. En resumen, deben
pedirse aproximadamente 430 bolsas cada cinco dı́as.
4 Esposible que el distribuidor quiera mantener un nivel mı́nimo de inventario, pero lo usual en estos casos
es que ese mı́nimo sea una constante que desaparecerá al derivar la función de costo, por lo que podemos
desestimarlo. Vea el ejercicio 181.
Ejercicios
Resuelva
168. Un distribuidor de bicicletas estima que la demanda para cierto modelo es de

12 000 bicicletas por año. El costo anual de inventario es de $25 por bicicleta y el
costo de cada pedido es de $500. ¿Cuál tamaño y cuál frecuencia de pedidos
minimizan el costo total?
169. Un distribuidor de motocicletas ha determinado que la demanda para cierto

modelo es de seis mil unidades por año. El costo de cada embarque es de $10 000 y
el costo anual de almacenamiento es de $200 por motocicleta. ¿De qué tamaño y
con qué frecuencia debe hacer los pedidos para satisfacer la demanda, mientras
minimiza los costos de embarques y almacenamiento?
170. La demanda de cierto tipo de llantas es de 3500 por mes. El costo de un pedido es
de $300 y el costo mensual de almacenamiento es de $0.90 por llanta. ¿Cuál
tamaño y cuál frecuencia de pedidos minimizan el costo total?
171. Un supermercado distribuye una marca de gaseosas para la cual se ha determinado

una demanda de 1800 botellas por semana. El costo de inventario es de C || 4 por
botella por semana y el costo de un pedido es de C|| 12 000. ¿Con cuál tamaño y cuál
frecuencia de pedidos se minimiza el costo total?
172. Un supermercado estima que la demanda de leche es de 4200 litros por semana. El
costo de inventario es de C || 3 por litro por semana y el costo de un pedido es de
|| 18 000. La leche debe venderse a lo sumo diez dı́as después de recibida. ¿Con
C
cuál tamaño y cuál frecuencia de pedidos se minimiza el costo total?
173. Un vivero consume 6000 litros de insecticida por año. El proveedor acepta
pedidos por un máximo de 3000 litros, con un costo de $25 por pedido. Al vivero le
cuesta $0.07 por año almacenar cada litro de insecticida. ¿Cuál tamaño y cuál
frecuencia de pedidos minimizan el costo total?
174. Una fábrica de galletas vende 100 000 cajas por año. Cada vez que se produce un
lote de galletas hay un costo inicial de $1000 y un costo unitario de $1 por caja. El
costo anual de almacenamiento es de $0.80 por caja. ¿De qué tamaño y con qué
frecuencia se deben producir los lotes de galletas para minimizar el costo total?
175. Un taller de alfarerı́a debe satisfacer una demanda de 2500 vasijas por mes. El
costo mensual de almacenamiento es de C || 100 por vasija. Al iniciar cada
||
producción hay un costo fijo de C 95 000 (preparar los moldes, encender los hornos,
etc.). ¿De qué tamaño deben ser los lotes de vasijas para minimizar el costo total?
176. Una fábrica de productos lácteos vende 17 250 cajas de helados cada semana.
|| 65 000, con una capacidad máxima de
Hacer un envı́o a sus distribuidores cuesta C
10 000 cajas por envı́o. El almacenamiento cuesta C || 23 por caja por semana. ¿De
qué tamaño deben ser los envı́os para minimizar el costo total?
177. Resuelva el ejercicio anterior pero con una capacidad máxima de seis mil cajas
por envı́o.
178. Se desea hornear 1200 vasijas con un mismo diseño. Construir cada molde para
una vasija cuesta C|| 16 000, pero el molde puede usarse repetidamente para hacer
varias vasijas. El horno tiene espacio para veinte moldes y consume C|| 3000 en
electricidad cada vez que se usa. ¿Cuántos moldes deben construirse para
minimizar el costo total (moldes más electricidad)?
179. Un fabricante debe elaborar anualmente mil unidades de cierto producto que se
vende a una tasa uniforme durante el año. El costo de producción es de $4.10 por
unidad y los costos de inventario son de 6 % del costo del inventario promedio. El
costo de preparación de cada lote de producción es de $55. ¿De qué tamaño deben
ser los lotes de producción para minimizar los costos totales anuales?
180. Suponga que un distribuidor debe suplir una demanda por D artı́culos por unidad
de tiempo (semana, mes, año), donde el costo fijo de cada pedido es CFP y el costo
unitario del inventario es CUI.
(a) Demuestre que, si no hay restricciones, el tamaño óptimo del pedido es
r
2 · CFP · D
x=
CUI
(b) Confirme las soluciones de los ejercicios pares de esta sección (excepto el 179
y el 181), en los que no haya restricciones, usando la fórmula en (a).
(c) Confirme las soluciones de los ejercicios impares de esta sección, en los que no
haya restricciones, usando la fórmula en (a).
181. Con referencia al ejercicio anterior, si se considera también el costo unitario del
pedido, CUP (de modo que el costo total de un pedido es CFP + CUP · x) y un nivel
mı́nimo de inventario NMI (tal que el nivel promedio de inventario es NMI + x/2),
demuestre que el tamaño óptimo del pedido sigue siendo
r
2 · CFP · D
x=
CUI
3.5.4. Problemas que involucran geometrı́a

Para los problemas que involucran figuras geométricas, recuerde las siguientes fórmulas:
a En un rectángulo con largo ` y ancho a,

` el área es A = ` · a y el perı́metro es P = 2` + 2a.
r En un cı́rculo con radio r, el área es A = πr2

y el perı́metro (circunferencia) es C = 2πr.
h En un triángulo con base b y altura h,
b el área es A = 21 bh.
c b En un triángulo rectángulo con catetos a y b,
a e hipotenusa c, se cumple c2 = a2 + b2 .
En un sólido recto (es decir, con lados perpendicula-
res a la base), el volumen es
V = [área de la base] × [altura]. En particular:
h El volumen de un prisma con lados `, a y h es

a
` V = ` · a · h.
r
h El volumen de un cilindro con radio basal r y
altura h es V = πr2 h.
Ejercicios
Resuelva
182. Se desea cercar una superficie de 60 000 m2 en forma rectangular,

para después dividirla en dos mitades con una cerca paralela a
uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el
rectángulo y en qué dirección debe ir la división para minimizar
el costo de la cerca?
183. Se dispone de 120 m de cerca para rodear un terreno rectangular.
Se usará un muro existente en uno de los lados del terreno y se
cercarán los otros tres lados. Calcule las dimensiones que encie-
rran un área máxima.
184. Se dispone de $300 para cercar una área rectangular contigua a una pared
existente (vea la figura del ejercicio anterior). El costo de la cerca paralela a la
pared es $15/m y el de los otros dos lados es $10/m. ¿Cuáles dimensiones del
rectángulo maximizan el área encerrada?
185. El diseñador gráfico en una imprenta decide que las páginas de

un libro tendrán márgenes superior e inferior de 3 cm, y derecho
e izquierdo de 2.5 cm. La hoja tendrá una superficie de 600 cm2 .
¿Cuáles dimensiones de la hoja maximizan el área impresa?
186. El diseñador gráfico en una imprenta decide que las páginas de un libro tendrán
márgenes superior e inferior de 3 cm, y derecho e izquierdo de 2.5 cm. El área
impresa debe medir 360 cm2 (vea la figura del ejercicio anterior). ¿Qué
dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel?
187. El interior de una pista de carreras de 800 metros consiste en un

rectángulo con semicı́rculos en dos de sus extremos opuestos (en
la figura, la pista es el perı́metro). Encuentre las dimensiones que
maximizan el área del rectángulo.
188. Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un semicı́rculo

arriba. Si el perı́metro debe medir 6 m, ¿cuáles dimensiones ma-
ximizan la superficie total de la ventana?
189. Una caja sin tapa y con base cuadrada debe tener un volumen de 32 dm3 (vea la
figura del ejemplo 12, página 74). Encuentre las dimensiones que minimizan la
cantidad de material.
190. Una caja se construye a partir de un cartón de 10 cm × 16 cm,

cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas. ¿Qué tamaño
de cuadrado da el máximo volumen?
191. Una lata cilı́ndrica con tapa debe contener 225 cm3 de lı́quido. El costo por cm2
de material es de 15 céntimos para el fondo y la tapa, y 10 céntimos para la pared
lateral5 . ¿Qué dimensiones de la lata minimizan el costo de los materiales? ¿Cuál es
el costo mı́nimo?
192. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que pue-
de inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
5 cm y 12 cm, si el rectángulo tiene un vértice en el ángulo recto
del triángulo y otro vértice en la hipotenusa del triángulo.
5 La superficie lateral de un cilindro es 2πrh, donde r es el radio de la base y h la altura.

193. Una persona está en el punto A en la orilla de un rı́o recto de 50 m

de ancho y quiere llegar al punto B, en la orilla opuesta y 75 m
A
rı́o abajo. Puede correr a 250 m/min por su lado del rı́o para luego
nadar a 30 m/min en lı́nea recta hasta llegar a B. Desestimando
la corriente del rı́o, ¿qué distancia debe correr antes de entrar al
B
agua y qué distancia debe nadar, de modo que minimice el tiempo
total? ¿Cuál es el tiempo mı́nimo? (Recuerde que la velocidad es
igual a distancia/tiempo.)
194. Un pozo petrolero marı́timo está bajo el mar a 1500 m de la costa. Ref
La refinerı́a está sobre la costa a 3 km del punto más cercano al
pozo. Instalar la tuberı́a cuesta en el mar el doble de lo que cuesta
en tierra. ¿Qué ruta debe seguir el oleoducto del pozo a la refinerı́a Pozo
para minimizar el costo total?
195. Un rectángulo tiene un vértice en (0, 0), un lado sobre el eje X y 12
otro lado sobre el eje Y. El vértice opuesto a (0, 0) está sobre el

segmento de la parábola y = 2x2 − 9x + 12 con 0 ≤ x ≤ 3. ¿Cuál
es el área máxima posible para el rectángulo?
3
3.6. Interés en tiempo continuo

Recuerde que en matemática financiera se acostumbra considerar que cada mes tiene 30
dı́as y cada año tiene 360 dı́as.
Cuando un monto P se invierte a una tasa anual de interés compuesto r, el monto acumu-
lado a los t años será
A = P(1 + r/n)nt
donde n es el número de veces al año que se compone el interés. Pero si el interés no se
compone mensualmente (n = 12) ni diariamente (n = 360), ni cada hora (n = 8640) ni cada
segundo, sino continuamente (es decir, cuando n → ∞), entonces el monto acumulado será
nt
A = lı́m P 1 + nr
n→∞
En el ejercicio 80 de este capı́tulo se pide calcular este lı́mite, cuyo valor es Pert . Enton-
ces tenemos la siguiente fórmula.
Interés compuesto continuamente

Si un monto P se invierte a una tasa de interés anual r, compuesto continuamente, al cabo
de t años el valor de la inversión será
A = Pert
De este monto, P es la inversión inicial y la diferencia I = A − P es el interés ganado.

3.6. Interés en tiempo continuo 87
Note que la fórmula de interés, I = A − P, se puede escribir también ası́:
I = A − P = Pert − P = P(ert − 1)
Ese factor (ert − 1) indica la proporción del monto P que se reciben en intereses. Al cabo de
un año (t = 1), ese factor vale er − 1, y se llama tasa efectiva anual.
Tasa efectiva anual

Para una tasa r de interés compuesto continuamente, la tasa efectiva anual es la tasa de
interés que gana una inversión en un año. La fórmula6 es er − 1 y el significado es que una
tasa r compuesta continuamente es equivalente a una tasa er − 1 compuesta anualmente.
Ejemplo 16
|| 500 000 se invierten a una tasa de 13 % anual, compuesta continuamente,
Si C
entonces a los dos años el monto acumulado será (con P = 500 000, r = 0.13 y
t = 2)
A = 500 000 e0.13×2 ≈ 648 465.04 colones.
De ese monto, los intereses son
|| 148 465.04
I = A−P = C
La tasa efectiva anual es e0.13 − 1 ≈ 0.1388, o 13.88 %. Esto significa que la

tasa de 13 % compuesta continuamente equivale a una de 13.88 % compuesta
anualmente.
Ejemplo 17
Si se invierten $20 000, ¿cuál debe ser la tasa de interés compuesto continua-
mente para que la inversión se duplique en diez años?
6 En la sección 7.6 de “Matemática para Administración”, en el contexto de funciones exponenciales,

habı́amos dicho que la tasa de crecimiento de una función f (x) = abx era b − 1. En el contexto actual de
interés compuesto continuamente, esto coincide con la tasa efectiva anual, ya que el valor de la inversión, como
función del tiempo, es
V (t) = Pert = P(er )t
Esto es V (t) = abt , donde se sustituyen a = P (el valor inicial) y b = er (el factor de crecimiento). Entonces la
tasa de crecimiento es b − 1 = er − 1, y la llamamos tasa efectiva anual.
La tasa de interés continuo, r, debe ser tal que (con P = 20 000, A = 40 000,
t = 10)
A = 40 000 = 20 000 er·10

2 = e10r
ln 2 = 10r
r = 0.1 ln 2 ≈ 0.06931
Entonces la tasa de interés es 6.931 %.
Ejemplo 18
Si $1000 se invierten al 2.5 % compuesto continuamente, entonces el interés
ganado en un año será
I = A − P = 1000 e0.025 − 1000 ≈ 25.32 dólares.
Ese monto es un 2.532 % de la inversión, y esa es la tasa efectiva anual (en

efecto, er − 1 = e0.025 − 1 = 0.02532 = 2.532 %).
Ejercicios
Resuelva (cada tasa de interés es anual, compuesta continuamente)
196. Si se depositan C || 500 000 a una tasa de 16 % (anual, compuesto continuamente),

¿cuánto valdrá la inversión dentro de tres años?
197. Si se depositan $22 500 al 3 %, ¿cuánto será el interés ganado dentro de cinco
años?
198. Durante cuánto tiempo debe mantenerse una inversión de $150 000 a 4.5 % para
que el monto acumulado llegue a $200 000?
|| 800 000 al 15 % para
199. Durante cuánto tiempo debe mantenerse una inversión de C
que el monto acumulado alcance un millón de colones?
200. ¿Cuánto debe invertirse hoy al 2.4 % para que dentro de 4.5 años el monto
acumulado sea de $60 000?
201. ¿Cuánto debe invertirse hoy al 14.8 % para que dentro de siete años el interés total
sea de un millón de colones?
3.6. Interés en tiempo continuo 89
202. ¿A qué tasa anual, compuesta continuamente, deben invertirse $50 000 para
obtener un interés de $4000 en dos años?
|| 1 400 000 en dos años y
203. Si una inversión de un millón de colones crece hasta C
medio, ¿cuál es la tasa de interés?
204. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de un 6 % compuesto continuamente?
205. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de un 15 % compuesto continuamente?
206. A una tasa de 12 % anual compuesto continuamente, ¿cuánto tiempo tardará una
inversión en duplicarse?
207. ¿Cuál opción deja más intereses al cabo de un año: una tasa de 20 % compuesta
continuamente o una de 21 % compuesta anualmente? ¿Una tasa de 20 % compuesta
continuamente o una de 21 % compuesta trimestralmente?
C AP ÍTULO 4
Cálculo con varias variables
4.1. Funciones de varias variables

En todo lo que hemos estudiado sobre funciones hasta el momento, nos hemos limitado
a funciones de una sola variable. Al hablar de funciones abstractas hemos trabajado con
funciones como f (x), g(t), que dependen de una variable x o t. Y en las aplicaciones hemos
hablado de costo como función del número de unidades, o de utilidad como función del
precio de venta.
En la realidad las funciones pueden depender de varias variables. Por ejemplo, las uti-
lidades de una fábrica de quesos son función del nivel de producción del queso tipo 1, el
nivel de producción del tipo 2, del precio del queso tipo 1, etcétera. Las ventas de un artı́culo
dependen no solo de su precio, sino del precio de sus competidores.
En este capı́tulo estudiaremos funciones de varias variables y sus derivadas, y luego nos
dedicaremos a aplicaciones de esos conceptos.
4.2. Derivadas parciales
Definición (derivada parcial de primer orden)

Si f es una función de varias variables, f (x1 , x2 , . . . , xn ), entonces la derivada parcial de f
con respecto a una de sus variables x j , denotada
∂f
, o bien fx j ,
∂xj
es el resultado de derivar f (x1 , . . . , xn ) considerando a x j como la única variable y a las

demás como constantes.
92 Capı́tulo 4. Cálculo con varias variables
Entonces una función de n variables tendrá n derivadas parciales de primer orden, una
con respecto a cada una de su variables.
Ejemplo 1
Calcular las derivadas parciales de primer orden de
f (u, v) = 3u2 v − 7e2u−5v
Para calcular la derivada parcial de f con respecto a u, consideramos que

u es la única función y que cualquier otra letra (especı́ficamente e y v) son
constantes.
Entonces el término 3u2 v es el producto de la constante 3v por la función
u2 , y su derivada con respecto a u es
2
3u v u = (3v)u2 ]u = (3v) · 2u = 6uv

Similarmente, la derivada del término e2u−5v es él mismo multiplicado por

la derivada del exponente. En el exponente 2u − 5v, el término 2u es la
variable y su derivada es 2, y el término 5v es una constante y su derivada
es 0. Entonces
2u−5v 0
e = e2u−5v (2 − 0) = 2e2v−5u
De todo lo anterior resulta que
∂f
= fu = 6uv − 14e2u−5v
∂u
Por otra parte, al derivar f (u, v) con respecto a v, consideramos que v es la

única variable. Ası́ el término 3u2 v es el producto de la constante 3u2 por
la variable u, y su derivada con respecto a v es la constante 3u2 .
Y al derivar el término e2u−5v resulta ahora que en el exponente 2u − 5v el
término 2u es constante y el término 5v es la variable. Entonces la derivada
del exponente es 0 − 5, y uniendo lo anterior llegamos a que
∂f
= fv = 3u2 + 35eu−v
∂v
Al igual que en el caso de funciones de una variable, las funciones de varias variables tie-
nen derivadas de órdenes superiores, pero ahora se puede derivar con respecto a una variable
y luego con respecto a otra.
4.2. Derivadas parciales 93
Definición (derivada parcial de segundo orden)

La derivada de segundo orden con respecto a x j y a xk , que se denota
∂2 f
, o bien fx j xk ,
∂ xk ∂ x j
es la derivada de fx j con respecto a xk .
Una propiedad importante de las derivadas parciales de segundo orden es que si son
continuas, el orden de las variables no influye: fx j xk = fxk x j .
Ejemplo 2
Continuando con el ejemplo anterior, calculemos las derivadas parciales de se-

gundo orden de la misma función
f (u, v) = 3u2 v − 7e2u−5v
Aunque f es función de dos variables y entonces tiene dos derivadas de primer

orden, el número de derivadas de segundo orden es cuatro1 : fuu , fuv , fvu y fvv .
fuu = ( fu )u = (6uv − 14e2u−5v )u = 6v · 1 − 14e2u−5v (2 − 0) = 6v − 28e2u−5v

fuv = ( fu )v = (6uv − 14e2u−5v )v = 6u · 1 − 14e2u−5v (0 − 5) = 6u + 70e2u−5v
fvu = ( fv )u = (3u2 + 35e2u−5v )u = 3 · 2u + 35e2u−5v (2 − 0) = 6u + 70e2u−5v
fvv = ( fv )v = (3u2 + 35eu−v )v = 0 + 35e2u−5v (0 − 5) = −175e2u−5v
Que fuv = fvu no es casualidad: ası́ será siempre que ambas sean continuas.
1 Una función de tres variables, g(x, y, z), tendrá nueve derivadas de segundo orden: g
xx , gxy , gxz , gyx , gyy , gyz ,
gzx , gzy y gzz . En general, una función de n variables tendrá n derivadas de primer orden, n2 de segundo orden,
n3 de tercer orden y ası́ sucesivamente.
Muchas de esas derivadas serán iguales. Por ejemplo, gyz = gzy y gyzy = gzyy .
Ejercicios
Derive con respecto a cada una de las variables
1. v = p3 q2 + 3q2 + (p − 1)2 s2 + st − t 2
10. q = √
2. y = rst + rs2 + st 2 + r2t 2s + t
3. w = x/(1 + y) 11. s = ex−y (x2 − 2y3 )
12. w = e p/q
p
4. r = p 1 + q2
5. g = xy 13. z = uev/w
6. z = s2 et 14. t = ln(u + v2 )
√
7. f = u3 + v2 15. p = 5v ln(5v − w2 )
√ s
8. u = r2 − s3 16. u =
√ ln(r − s)
2v − 3w
9. y = 17. s = (xy)z
v
Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden

18. Las funciones de los ejercicios 1–6 21. q = e−s/t
anteriores. p
22. v = x2 + y
19. z = 3p2 q − 5pq3
20. w = r2 − 4rs + 3s2t − rt 2 + 2s 23. w = ln(1 + xy2 z3 )
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales

En la sección 3.1 vimos que para una función f (x) y un punto x = c, la derivada f 0 (c)
puede interpretarse como el incremento aproximado en f (x) cuando x aumenta de c a c + 1.
Interpretaciones análogas pueden hacerse para las derivadas parciales.
Definición (costo marginal parcial)

Si el costo combinado de producir x unidades de un artı́culo y y unidades de otro es C(x, y),
entonces el costo marginal con respecto al primer artı́culo es Cx = ∂C/∂ x, y con respecto
al segundo, Cy = ∂C/∂ y.
El valor de Cx es una aproximación del incremento en el costo total cuando la producción

del primer artı́culo aumenta en una unidad mientras la del segundo artı́culo se mantiene
constante, y Cy es el incremento aproximado en el costo cuando la producción del segundo
aumenta en una unidad mientras la del primero se mantiene constante.
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales 95
Similarmente se definen el ingreso marginal, la utilidad marginal, etc, como las derivadas
parciales del ingreso, la utilidad, etc.
Definición (función de productividad)

Una función de productividad es q = f (`, k) que da la cantidad de un artı́culo que se puede
producir como función de `, el número de unidades de trabajo, y k, el número de unidades
de capital que se invierten en la producción2 .
Ejemplo 3
Suponga que la función de productividad de una empresa es q = 45`0.7 k0.3 , y que
actualmente en la producción se están invirtiendo 50 unidades de mano de obra
y 160 unidades de capital. Entonces las derivadas parciales de la productividad
con respecto a la mano de obra y al capital son, respectivamente,
q` = 31.5`−0.3 k0.3 y qk = 13.5`0.7 k−0.7
que al nivel actual de producción, ` = 50 y k = 160, valen q` = 44.65 y qk = 5.98.

Esto significa que una unidad adicional que se invierta en mano de obra cau-
sará un incremento de aproximadamente 44.65 unidades en la producción, y una
unidad adicional invertida en capital incrementará la producción en aproxima-
damente 5.98 unidades.
Se deduce que es más productivo invertir en mano de obra.
Dos artı́culos en el mercado son competitivos cuando un incremento en el precio de uno

resulta en un incremento en las ventas del otro (es decir, entre más costoso es uno, más se
vende el otro).
Un ejemplo de eso son marcas rivales de gaseosas. Si aumenta el precio de la marca 1
(y se mantiene constante el precio de la marca 2) entonces el público preferirá comprar la
marca 2. Eso provocará una baja en las ventas de la marca 1 y un aumento en las de la
marca 2. En sı́mbolos,
p1 % ⇒ q1 & ⇒ q2 %
(donde p denota precio y q denota cantidad vendida). En términos de derivadas,
∂ q2
>0
∂ p1
Formalmente, los artı́culos competitivos se definen de la siguiente manera.
2 Las letras ` y k vienen de las iniciales en alemán de “labor” (mano de obra) y “capital”.
Definición (artı́culos competitivos o sustitutos)

Dos artı́culos con precios respectivos p1 y p2 y niveles de ventas q1 y q2 son competitivos
o sustitutos si
∂ q1 ∂ q2
>0 y >0
∂ p2 ∂ p1
También, dos artı́culos son complementarios cuando un incremento en el precio de uno

causa una baja en las ventas del otro.
Como ejemplo podemos considerar las salchichas y el pan para perros calientes. Si au-
menta el precio de las salchichas, el público comprará menos salchichas y por ende menos
panes para perros calientes:
p1 % ⇒ q1 & ⇒ q2 &
En notación de derivadas,
∂ q2
<0
∂ p1
Definición (artı́culos complementarios)

Dos artı́culos con precios respectivos p1 y p2 y niveles de ventas q1 y q2 son complemen-
tarios si
∂ q1 ∂ q2
<0 y <0
∂ p2 ∂ p1
Ejemplo 4
Suponga que las marcas T y H de computadoras tienen precios unitarios respec-
tivos pT y pH , y demandas respectivas qT y qH dadas por las ecuaciones
√
84pH 120 pT
qT = y qH =
12 + pT 1 + p2H
Determinar si las computadoras de esas marcas son competitivas, complementa-
rias o ninguno de los dos.
Debemos calcular estas dos derivadas parciales:

∂ qT 84 84
= · pH =
∂ pH 12 + pT pH 12 + pT
y
∂ qH 120 √ 120 1 −1/2
= · pT = · p
∂ pT 1 + p2H pT 1 + p2H 2 T
4.3. Aplicaciones de las derivadas parciales 97
Sin necesidad de simplificar notamos que, en sus dominios naturales (recuerde

que los precios deben ser positivos), esas derivadas son ambas positivas.
Concluimos ası́ que los artı́culos son competitivos.
Note que para cualquier par de artı́culos en el mercado lo más probable es que no sean
competitivos ni complementarios. Para que lo sean, el requisito es fuerte: las derivadas par-
ciales en cuestión no pueden cambiar de signo, y deben tener ambas el mismo signo. Eso no
es frecuente.
Ejercicios
Resuelva
24. La estatura de un niño, en centı́metros, puede estimarse como
E = 6.13e + 0.431p + 0.388m − 57.81
donde e es su edad en años, p la estatura del padre en cm y m la estatura de la

madre en cm. Calcule las tres derivadas parciales de E para un niño de 9.5 años
cuyo padre mide 1.73 m y cuya madre mide 1.67 m.
25. Si el costo combinado de producir una cantidad q1 de un artı́culo y una cantidad
q2 de otro artı́culo es C = 0.04q21 + 38q1 + 54q2 + 900, encuentre los costos
marginales al nivel de producción q1 = 1200, q2 = 60. Interprete.
26. Si dos artı́culos cumplen las ecuaciones q1 = 1000 − 50p1 + 2p2 y
q2 = 500 + 4p1 − 20p2 (donde p1 y p2 son los precios unitarios respectivos, y q1 y
q2 las cantidades respectivas), determine si ellos son competitivos,
complementarios o ninguno.
27. Si dos artı́culos cumplen las ecuaciones
100 500
q1 = √ y q2 = √
p1 p2 p2 3 p1
(donde p1 y p2 son los precios unitarios respectivos, y q1 y q2 son las cantidades

respectivas) determine si ellos son competitivos, complementarios o ninguno.
28. Las ecuaciones de demanda de la mantequilla y la margarina son, respectivamente,
3p2 2p1
q1 = y q2 = √
1 + p21 1 + p2
(donde p1 y p2 son los precios unitarios respectivos, y q1 y q2 las cantidades

respectivas). Determine si son competitivas, complementarias o ninguna.
29. Sean p1 y p2 los precios unitarios de los reproductores de DVD y de los DVDs en
blanco, y sean q1 y q2 las demandas semanales de reproductores y de DVDs,
respectivamente. Si las ecuaciones de demanda son
q1 = 10 000 − 10p1 − e0.5p2 y q2 = 50 000 − 4000p2 − 10p1
determine si estos dos productos son competitivos, complementarios o ninguna de

las dos opciones.
30. La función de productividad de un paı́s es q = 90`1/3 k2/3 . ¿Cuáles son las
productividades marginales con respecto a la mano de obra y con respecto al
capital?
31. La función de productividad de una empresa es q = 20`3/4 k1/4 . Si se invierten
` = 256 unidades de mano de obra y k = 16 unidades de capital, ¿cuáles son las
productividades marginales con respecto a la mano de obra y al capital? ¿Es mejor
invertir en mano de obra o en capital?
32. Suponga que el rendimiento R de un automóvil, en kilómetros por litro, está dado
aproximadamente por
R = 16.64 + 0.00173 peso − 0.0642 potencia
donde el peso está en kgf y la potencia en HP. Calcule las derivadas parciales Rpeso
y Rpotencia para un automóvil que pesa 1600 kgf y tiene 120 HP de potencia.
Interprete.
33. En una tienda, la utilidad mensual depende del nivel x de inventario y de la
superficie y de piso destinada a la exhibición:
U = −0.02x2 − 15y2 + xy + 39x + 25y − 20000. Si el nivel de inventario es 4000 y
la superficie de exhibición es 15, encuentre la utilidad marginal con respecto a cada
variable. Interprete.
34. Se estima que una nueva bebida deportiva venderá q = 80 − 78e−0.01x−0.02y miles
de unidades por mes a los x meses desde su introducción si se invierten y millones
de colones mensuales en publicidad. Por seis meses se han invertido C || 45 millones
mensuales en publicidad. Use derivadas para estimar cuánto más estarı́an vendiendo
|| 1 millón más en publicidad al mes.
al mes si hubieran invertido C
47ab + 76a + 50b
35. La función S(a, b) = es una medida de la satisfacción que
3ab + 12b + 11a + 20
Fulana obtiene al dedicar a horas semanales a hacer aeróbicos y b horas semanales
a bailar. Si actualmente dedica 4 y 3 horas semanales a aeróbicos y baile
respectivamente, calcule las satisfacciones marginales con respecto a los aeróbicos
y al baile (Sa y Sb ). Si Fulana dispone de una hora adicional por semana, ¿le
conviene más, en términos de su satisfacción, dedicarla a aeróbicos o a bailar?
4.4. Optimización con dos variables 99
36. El tiempo que un ciclista tarda en un viaje es aproximadamente

t = 2.59 · 1.14 p d 1.03
donde p es la pendiente como porcentaje, d la distancia en kilómetros y t el tiempo
en minutos. Si un trayecto mide 12 km y tiene una pendiente de 4 %, calcule la
derivada parcial del tiempo con respecto a la distancia e interprete.
4.4. Optimización con dos variables

En la sección 3.5 estudiamos técnicas para encontrar los máximos o mı́nimos de funcio-
nes de una variable. Para varias variables se conservan muchos de los conceptos (extremos
locales, puntos crı́ticos), pero tendremos que ajustar los detalles.
Para empezar, un punto crı́tico de una función era (en el caso de una variable) un punto
donde la primera derivada era cero o estaba indefinida. Consideremos ahora solo los puntos
crı́ticos del primer tipo: donde la derivada vale cero. Pues para varias variables, se requiere
que cada derivada parcial sea cero.
Definición (punto crı́tico)

Si f es una función de x1 , x2 , . . . , xn , derivable en c = (c1 , c2 , . . . , cn ), entonces c es un
punto crı́tico de f si
fx1 (c) = fx2 (c) = · · · = fxn (c) = 0
Ejemplo 5
Encontrar los puntos crı́ticos de h(p, q) = p3 + 8q3 − 12pq.
Debemos resolver el sistema de ecuaciones
(
h p = 3p2 − 12q = 0
hq = 24q2 − 12p = 0
Se puede despejar q de la primera ecuación para sustituir en la segunda (o bien

despejar p de la segunda para sustituir en la primera):
3p2 1 2
q= = p (despejando de la primera)
12 4
1 2 2

24 4 p − 12p = 0 (sustituyendo en la segunda)
24 4
16 p − 12p = 0
12p 18 p3 − 1 = 0

De aquı́ resulta que p = 0 o p = 2. Como q = 41 p2 , los dos puntos crı́ticos co-

rrespondientes son (0, 0) y (2, 1).
En una variable, para determinar si un punto crı́tico resultaba en un máximo o un mı́nimo,

tenı́amos el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada. Para dos
variables vamos a concentrarnos en la generalización del criterio de la segunda derivada.
Teorema (criterio de la segunda derivada para dos variables)

Sea f (x, y) una función de dos variables, y sea c = (c1 , c2 ) un punto crı́tico de f .
Definamos el discriminante
∆ = fxx (c) · fyy (c) − fxy (c)2
Entonces:
Si ∆ > 0 y fxx (c) < 0, f alcanza un máximo en c.
Si ∆ > 0 y fxx (c) > 0, f alcanza un mı́nimo en c.
Si ∆ < 0, f no alcanza un máximo ni un mı́nimo en c.
Si ∆ = 0, el criterio no se aplica.
Ejemplo 6
Continuando con el ejemplo anterior, encontremos los extremos locales de la
misma función h(p, q) = p3 + 8q3 − 12pq.
Ya tenemos los puntos crı́ticos, que son (0, 0) y (2, 1). Ahora vamos a aplicar el
criterio de la segunda derivada a cada uno para investigar si él aporta un máximo,
un mı́nimo o ningún extremo.
Primero necesitamos calcular ∆. Para nuestra función, los análogos de fxx , fyy y
fxy son
h pp = 6p, hqq = 48q y h pq = −12,
y el discriminante ∆ es
∆ = h pp hqq − h2pq = (6p)(48q) − (−12)2 = 288pq − 144
Evaluándolo en cada punto crı́tico averiguamos lo siguiente:
En (0, 0): ∆ = −144 < 0, de modo que h(0, 0) no es un extremo relativo.

4.5. Criterio de cuadrados mı́nimos 101
En (2, 1): ∆ = 432 > 0, ası́ que h(2, 1) sı́ es un extremo. ¿Pero es máximo
o mı́nimo?
Como además h pp (2, 1) = 12 > 0, concluimos que h(2, 1) = −8 es un mı́ni-
mo relativo.
Ejercicios
Encuentre los puntos crı́ticos y para cada uno determine
si se alcanza un mı́nimo, un máximo o ninguno3
37. 2pq − p2 + 24q − 15p − 2q2 4 2
44. st + +
s t
38. x3 + y3 − xy x
39. s2 − 3t 2 + 1 45. 2 + xy
y
40. 2y2 + z2 − 4y + 6z − 7 2
46. ev − u2 + u
41. 2 + 6rs − r3 − s3 47. ea−b (a2 − 2b2 )
42. q2 − 9p2 + 2p3 − 4q + 12p + 5
48. ln(qr) + 2q2 − qr − 6q
1 1
43. uv − − 49. x3 + y3 − 3x2 − 12y2 − 24x + 45y
u v
4.5. Criterio de cuadrados mı́nimos

Una aplicación estadı́stica importante consiste en encontrar, dada una sucesión de puntos
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) en el plano, una recta que pase cerca de ellos. Al considerar una
posible recta y = a + bx, es necesario poder medir qué tan cerca de los puntos pasa ella. La
distancia entre esa recta y el punto (xi , yi ) (para cada i = 1, 2, . . . , n) se puede definir como la
diferencia entre el valor de y estimado por la ecuación, y = a + bxi , y el verdadero valor de y
en ese punto, que es yi ; ası́, el error4 i-ésimo se define como la diferencia
ei = a + bxi − yi
Una medida del error total es la suma de los cuadrados de los errores5 ,
n n
SCE = ∑ e2i = ∑ (a + bxi − yi )2
i=1 i=1
3 En las soluciones los puntos se dan con las variables ordenadas alfabéticamente. Por ejemplo, si las varia-
bles son r y s, el punto (3, 5) se refiere a r = 3 y s = 5.
4 En Estadı́stica, un “error” no es una equivocación; es simplemente la diferencia entre una estimación y
una medición.
5 Dados los valores t , t , . . . , t , la notación n t , a veces abreviada t, representa la suma de los valores
1 2 n ∑i=1 i ∑
de t: ∑ t = t1 + t2 + · · · + tn .
que es una función de a y b.

En el ejercicio 78 se analiza esta función f (a, b) = ∑(a + bxi − yi )2 y se pide encontrar
su punto crı́tico. El siguiente recuadro dice lo que ese ejercicio demuestra.
Teorema (criterio de cuadrados mı́nimos)

La mejor aproximación a los puntos (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) es la recta que minimiza la suma
de los cuadrados de los errores, y esa recta, llamada recta de cuadrados mı́nimos, tiene
ecuación y = a + bx, donde
n ∑ xy − ∑ x ∑ y ∑y−b∑x
b= y a=
n ∑ x2 − (∑ x)2 n
Los coeficientes a y b dados en el criterio anterior se llaman coeficientes de regresión

para y como función lineal de x.
4.6. Regresión lineal simple

La técnica de regresión lineal simple consiste en encontrar la recta que mejor aproxima
un conjunto de puntos en el plano. En este contexto, la palabra “lineal” significa que se busca
y como función lineal de x (y en la sección 4.8 veremos algunos casos de regresión no lineal).
Y la palabra “simple” se refiere a que y es función de una sola variable x (porque en regresión
lineal múltiple se trata de buscar una función y de varias variables).
Existen varios criterios para definir lo que significa la “mejor” aproximación a los puntos.
En esta sección estudiaremos el criterio de cuadrados mı́nimos, que describimos en la sección
anterior.
La recta de cuadrados mı́nimos también se llama a veces recta de regresión o recta de
mejor ajuste.
Ejemplo 7
Encontrar la recta de cuadrados mı́nimos y el coeficiente de regresión para los

siguientes datos.
x −9 −5 −2 3 6 8
y 82 31 27 33 −23 −8
4.6. Regresión lineal simple 103
Los valores que necesitamos para calcular los coeficientes a y b son
n=6 (el número de pares ordenados)

∑ x = (−9) + (−5) + (−2) + (3) + (6) + (8) =1
∑ y = (82) + (31) + (27) + (33) + (−23) + (−8) = 142
∑ xy = (−9)(82) + (−5)(31) + · · · + (8)(−8) = −1050
∑ x2 = (−9)2 + (−5)2 + · · · + (8)2 = 219
∑ y2 = (82)2 + (31)2 + · · · + (−8)2 = 10 096
Entonces
(6)(−1050) − (1)(142)
b= = −4.90632
(6)(219) − (1)2
y
(142) − (−4.90632)(1)
a= = 24.4844
6
por lo que la ecuación de la recta de cuadrados mı́nimos es
y = 24.4844 − 4.90632 x
En este gráfico vemos los seis puntos y la recta de regresión.
Muchas calculadoras permiten resolver problemas de regresión lineal. Veamos

a+bx
los pasos en general; tal vez usted necesite adaptarlos según el modelo particular
de su calculadora.
Empiece por ir al modo estadı́stico (probablemente 3:STAT o 6:Estadı́stica).

Para regresión lineal seleccione la opción y=a+bx y verá una tabla con dos co-
lumnas6 con encabezados x y y. Digite los valores que corresponden, y al termi-
nar presione la tecla AC para salir de la tabla.
Vaya al menú de funciones estadı́sticas, probablemente con SHIFT 1 u OPTN
(pero no entre al modo estadı́stico otra vez, porque eso borrarı́a los datos que
acaba de digitar) y escoja la opción de sumas, tal vez 3:Sum o 1:Sumatorios
[sic]. Allı́ verá las opciones para todas las sumas que requiere el cálculo de los
coeficientes de regresión. Puede calcular cualquiera de ellas digitando su número
y la tecla =.
Un atajo es ir al menú de funciones estadı́sticas y escoger la opción de regre-
sión (tal vez 5:Reg o 4:Regresión). Ahı́ encontrará opciones directas para los
coeficientes a y b.
Ejercicios
Para cada conjunto de pares (x, y):
(a) grafique los puntos en el plano,
(b) encuentre la ecuación de cuadrados mı́nimos,
(c) grafique la recta de cuadrados mı́nimos en el mismo gráfico y
(d) calcule el coeficiente de correlación
50. (−3, −15), (2, 0), (−6, −20), (2, −6)

51. (15, 40), (18, 43), (19, 14), (12, 32)
52. (17, 79), (0, 98), (62, 20), (35, 50), (80, −11)
53. (1, 2), (3, 0), (2, 4), (4, 4), (5, 2)
4.7. Problemas de aplicación de optimización

y regresión
Vamos a estudiar dos aplicaciones de las derivadas parciales, en problemas de optimiza-
ción y de regresión lineal.
6 Si
ve una tercera columna con encabezado Frec es porque la opción de frecuencia está activada. Si es ası́,
puede simplemente no hacerle caso, o si prefiere desactivarla vaya a la configuración de la calculadora (SETUP),
busque la opción de Estadı́stica y allı́ elija desactivar la frecuencia.
4.7. Problemas de aplicación de optimización y regresión 105
4.7.1. Problemas de optimización

Ya vimos en la sección 3.5 que algunos problemas de optimización (encontrar el máximo
o el mı́nimo de una función objetivo) pueden resolverse usando técnicas de cálculo. Aquı́
estudiaremos el caso en que la función objetivo depende de dos variables.
Los pasos que usamos en aquella sección siguen siendo aplicables a funciones de dos
variables. El único cambio se da en el paso (d), en el que ya no vamos a escribir la función
objetivo en términos de una sino de dos variables.
a. Identificar las variables.
b. Plantear la función objetivo.
c. Plantear una o varias ecuaciones que relacionen las variables.
d. Escribir la función objetivo en términos de dos variables.
e. Optimizar la función objetivo.
f. Responder la pregunta que se planteó.
Ejemplo 8
Un supermercado distribuye dos marcas de helados. Denotando con p1 y p2 los

precios de venta, y con q1 y q2 las cantidades vendidas semanalmente para las
marcas A y B, las ecuaciones de demanda son
q1 = 2000 − 150p1 + 100p2 y q2 = 1000 + 80p1 − 120p2
El supermercado tiene un costo unitario de 12 para la marca A y de 9 para la

marca B. Se desea determinar los precios de venta de A y de B que maximizan
las utilidades.
Siguiendo los pasos recomendados, tenemos:
a. Las variables son los precios de venta p1 y p2 , las cantidades vendidas q1

y q2 , el ingreso I y el costo C. Las incógnitas principales son p1 y p2 .
b. El objetivo es maximizar U = I −C.
c. Además de las ecuaciones dadas arriba para q1 y q2 , tenemos que el ingreso
es I = p1 q1 + p2 q2 y también que el costo es C = 12q1 + 9q2 .
d. En términos de las dos incógnitas p1 y p2 , la función objetivo es

U = I −C = (p1 q1 + p2 q2 ) − (12q1 + 9q2 )
= (p1 − 12)q1 + (p2 − 9)q2
= (p1 − 12)(2000 − 150p1 + 100p2 )
+ (p2 − 9)(1000 + 80p1 − 120p2 )
= 3080p1 + 880p2 − 150p21 − 120p22 − 33000 + 180p1 p2
e. Las derivadas parciales son

U p1 = 3080 − 300p1 + 180p2
U p2 = 880 + 180p1 − 240p2
y al igualar ambas a cero obtenemos p1 = 68/3 y p2 = 62/3. Entonces hay
un solo punto crı́tico, (p1 , p2 ) = (68/3, 62/3).
Falta confirmar que allı́ se obtiene un máximo:
∆ = U p1 ,p1 U p2 ,p2 −U p21 ,p2
= (−300)(−240) − (180)2 = 339600 > 0
Que sea ∆ > 0 significa que sı́ hay un extremo. Como además U p1 ,p1 =
−300 < 0, concluimos que en efecto U tiene un máximo en (68/3, 62/3),
o en decimales (22.6̄, 20.6̄).
f. Los precios que maximizan las utilidades son 22.67 para la marca A y
20.67 para la marca B.
Ejercicios
Resuelva
54. Si la función de productividad de una compañı́a es

q = 0.54`2 − 0.02`3 + 1.89k2 − 0.09k3
¿cuáles valores de ` y k maximizan la productividad?
55. Se estima que para satisfacer la demanda de cierto producto usando t trabajadores
y m máquinas el costo será
5 8
C = t 2 + m2 − 20t − 16m + 108
3 5
¿Con cuántos trabajadores y cuántas máquinas se minimiza el costo?
56. Un vivero tiene controles para la humedad y la temperatura. Si se fija una

humedad h (como porcentaje) y una temperatura t (en grados centı́grados), la
producción del vivero será
P(h,t) = −12.5h2 + 2950h − 162t 2 + 10440t − 45ht + 250000
Encuentre la humedad y la temperatura que maximizan la producción.
57. La utilidad para un productor de música depende del número de muestras que
envı́e a las radioemisoras y del número de agentes promotores que contrate. Si x es
el número de muestras y y el número de agentes, la utilidad es
U = −0.4x2 − 2.5y2 − 0.32xy + 220x + 146y
¿Cuántas muestras deberı́a enviar, y cuántos agentes contratar, para maximizar su
utilidad?
58. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 50 y su producto sea máximo.
59. Las ecuaciones de demanda para dos artı́culos son
q1 = 400(p2 − p1 ) y q2 = 400(9 + p1 − 2p2 )
El costo unitario del primer artı́culo es 2, y el del segundo, 3. ¿Qué precios p1 y p2
deben fijarse para maximizar la utilidad?
60. Las ecuaciones de demanda para dos artı́culos son
q1 = 1 − 2p1 + 4p2 y q2 = 11 + 2p1 − 6p2
El costo unitario del primer artı́culo es 4, y el del segundo, 1. ¿Qué cantidades q1 y
q2 deben producirse para maximizar la utilidad?
61. Una embotelladora distribuye dos marcas de gaseosa, A y B, con costos unitarios
de producción ca = 70 y cb = 90, respectivamente, en centavos de dólar. Si los
precios son pa y pb , en centavos de dólar, las demandas serán
qa = 400pb − 600pa y qb = 42000 + 500pa − 1000pb
¿Qué precios deben fijar para maximizar las utilidades?
62. Un distribuidor de computadores estima que sus ventas mensuales son
aproximadamente
400x 200y
q= +
5 + x 10 + y
computadores, donde x es la inversión mensual en publicidad por televisión y y la
inversión mensual en publicidad por periódico, ambas en cientos de dólares. El
precio de venta es US$125 por cada computador. ¿Cuánto deben invertir
mensualmente en publicidad por televisión y cuánto por periódico para maximizar
la utilidad (ingreso por ventas menos gastos por publicidad)?
63. ¿Cuál es la distancia mı́nima entre la parábola y = x2 y la recta y = x − 1?

(Compare con el Ejercicio 156 del Capı́tulo ??.)
64. Un contenedor de carga en forma de caja rectangular debe te-
ner una capacidad de 30 m3 . El material del frente (la puerta)
cuesta US$48/m2 , y el material para los otros cinco lados cues-
ta US$32/m2 . Encuentre las dimensiones que minimizan el costo
de los materiales.
65. Se necesita construir una caja rectangular sin tapa con un volumen de 6 dm3 . El
material del fondo cuesta C|| 3000 por dm2 , el del frente y atrás cuesta C
|| 1000 por
2
dm , y el de los lados izquierdo y derecho, C 2
|| 500 por dm . ¿De qué dimensiones
debe construirse la caja para minimizar el costo de los materiales?
66. Al construir una pecera rectangular, el material de la base cuesta tres veces más
que el material de los lados.
(a) Si el volumen debe ser 324 dm3 , ¿cuánto debe medir la pecera para minimizar
el costo?
(b) Si el costo debe ser 4500 y el material para los lados cuesta 5 por dm2 , ¿cuánto
debe medir la pecera para maximizar el volumen?
67. Se quiere construir una caja rectangular sin tapa con una división
paralela a dos de los lados. Si el volumen debe ser 20 250 cm3 ,
¿qué dimensiones de la caja minimizan la cantidad de material
requerido?
4.7.2. Problemas de regresión lineal

En las aplicaciones de regresión lineal tendremos un conjunto de puntos (x1 , y1 ), . . . ,
(xn , yn ) y buscaremos la recta de mejor ajuste, y = a + bx. Para interpretar los coeficientes de
regresión tenga en cuenta lo siguiente.
El coeficiente a en la ecuación y = a + bx es el valor de y cuando x = 0 (la intersección

con el eje Y ).
El coeficiente b es la pendiente de la recta: el incremento en y por cada unidad de

incremento en x.
Ejemplo 9
Se han registrado las edades y estaturas de un grupo de niños como se muestra
en el siguiente cuadro, en el que las edades están en años redondeados al décimo
más cercano y las estaturas en centı́metros redondeados al entero más cercano.
Edad 3.3 4.3 5.2 5.6 6.3

Estatura 94 112 115 123 117
Edad 7.0 8.1 8.6 9.3 10.1
Estatura 117 125 139 134 140
A partir de estos datos podremos contestar preguntas como:
¿Cuál es la estatura estimada para un niño de 7.5 años?
¿Cuál es la edad estimada para un niño de 120 cm de estatura?
¿Aproximadamente cuántos centı́metros por año crecen estos niños en pro-

medio?
Compare con el ejercicio 184 del capı́tulo 6, página 220 de “Matemática para
Administración”.
Denotando con x la edad y con y la estatura, tenemos n = 10 (el número de

puntos), (x1 , y1 ) = (3.3, 94) (el primer punto), (x2 , y2 ) = (4.3, 112), etc. En el
siguiente gráfico, que muestra los diez puntos, vemos que ellos son aproximada-
mente, aunque no exactamente, colineales. El gráfico muestra también una recta
que aproxima los puntos. Vamos a encontrar la ecuación de la recta de mı́nimos
cuadrados para contestar las tres preguntas recién planteadas.
Estatura
Edad
Aplicando las fórmulas de b y a, calculamos:
n ∑ xy − ∑ x ∑ y
b=
n ∑ x2 − (∑ x)2

10 (3.3)(94) + · · · + (10.1)(140)

− 3.3 + · · · + 10.1 · 94 + · · · + 140
= 2
10 3.32 + · · · + 10.12 − 3.3 + · · · + 10.1
10(8502.8) − (67.8)(1216)
= = 5.759
10(504.54) − (67.8)2
∑y−b∑x
a=
n
94 + · · · + 140 − 5.7589 3.3 + · · · + 10.1
=
10
1216 − 5.7589(67.8)
= = 82.555
10
Entonces la recta tiene ecuación y = 82.555 + 5.759x. Ahora podemos contestar

las tres preguntas:
Si un niño tiene 7.5 años entonces x = 7.5, de donde calculamos
y = 82.5548 + 5.7589(7.5) = 125.75
Su estatura será aproximadamente 125.75 centı́metros.

Si un niño mide 120 cm entonces se plantea la ecuación
120 = y = 82.5548 + 5.7589x
y se despeja x = 6.502: su edad es aproximadamente 6.5 años.

Como la pendiente de la recta, b = 5.759, es el incremento en y (la estatura)
debido a cada unidad de incremento en x (la edad), concluimos que los
niños crecen aproximadamente 5.759 cm cada año.
Ejercicios
Resuelva
68. El dueño de un teatro ha notado que la asistencia es aproximadamente lineal con

respecto al precio. Ha notado que si cobra C || 600 asistirán 300 personas, si cobra
C|| 650 asistirán 260 personas y si cobra C
|| 700 asistirán 225 personas (compare con
el ejemplo 28 del capı́tulo 6, página 218 de “Matemática para Administración”).
(a) Exprese la asistencia n como función del precio p.
|| 720.
(b) Estime cuántas personas asistirán si el precio es C
(c) ¿Qué precio debe cobrarse para que la asistencia esperada sea más de
450 personas?
(d) ¿Aproximadamente en cuánto disminuye la asistencia por cada colón adicional
en el precio?
69. Experiencias pasadas indican que la producción de huevos en una granja crece en
forma aproximadamente lineal con el tiempo. En 1990 fue de 70 000 cajas; en
1995, de 76 500 cajas; en el 2000, de 82 000 cajas, y en el 2005, de 87 000 cajas
(compare con el ejercicio 176 del capı́tulo 6, página 219 de “Matemática para
Administración”).
(a) Encuentre una fórmula que aproxime el número N de cajas producidas t años
después de 1990.
(b) Estime la producción en 1998.
(c) ¿Aproximadamente cuándo llegó la producción a alcanzar las 84 000 cajas
anuales?
(d) ¿Aproximadamente en cuánto aumenta la producción cada año?
70. En un centro de investigación médica se registraron las siguientes dosis y tiempos
de recuperación para pacientes a los que se administró un medicamento (compare
con el ejercicio 185 del capı́tulo 6, página 220 de “Matemática para
Administración”):
Dosis (gramos) 0.9 1.2 1.3 1.3 1.6

Recuperación (horas) 26 22 20 18 13
(a) Encuentre una ecuación de regresión para el tiempo de recuperación como

función de la dosis.
(b) ¿Cuánto es el tiempo esperado de recuperación si se aplica una dosis de 1.5 g?
(c) ¿Cuál debe ser la dosis para que el tiempo esperado de recuperación sea menor
que 20 horas?
71. En los últimos años la devaluación del colón con respecto al dólar ha sido
aproximadamente lineal. Los tipos de cambio para cinco eneros pasados, en colones
por dólar, fueron los siguientes (compare con el ejercicio 187 del capı́tulo 6,
página 220 de “Matemática para Administración”):
Año 2002 2003 2004 2005 2006

Tipo de cambio 343 380 420 460 498
(a) Encuentre una ecuación que estime el tipo de cambio T como función del
número a de años desde el 2000.
(b) ¿Aproximadamente cuál ha sido el aumento en el tipo de cambio por mes?
(c) Estime el tipo de cambio para abril 2006.
72. La siguiente tabla relaciona el número total de años de educación (primaria,
secundaria y técnica o universitaria) con el ingreso anual en dólares de varias
personas.
Años 4 6 8 8 10 12 14
Ingreso 10500 9200 12400 14700 15300 18300 19500
(a) Encuentre una fórmula de regresión para el ingreso anual en función de los
años de educación.
(b) ¿Aproximadamente en cuánto incrementa el ingreso por cada año adicional de
educación?
73. Un grupo de vendedores en una tienda recibe un sueldo base más un porcentaje
de comisión sobre las ventas. Los sueldos base y los porcentajes de comisión varı́an
levemente de un vendedor a otro. En cierto mes se registró los siguientes montos de
ventas y pagos (base más comisión) a seis de los vendedores, ambos en miles de
colones (compare con el ejercicio 186 del capı́tulo 6, página 220 de “Matemática
para Administración”):
Ventas 185 220 240 278 300 320

Pago 286 288 289 292 293 295
(a) Encuentre una ecuación que estime el pago recibido como función de las
ventas.
(b) Si en cierto mes un vendedor alcanza un nivel de ventas de C|| 350 000, ¿cuánto
puede esperar recibir como pago total?
(c) ¿De cuánto deben ser las ventas para que el pago esperado sea por lo menos de
|| 290 000?
C
(d) ¿Aproximadamente cuánto es el sueldo base promedio? ¿Aproximadamente
cuánto es el porcentaje de comisión promedio?
74. Una urbanizadora vende lotes con la casa ya construida. Todas las casas son
iguales y su costo es el mismo en cualquier lote. Los lotes varı́an en tamaño, pero el
precio del terreno por m2 es casi constante, excepto por pequeñas variaciones
debidas a la topografı́a de cada lote. Las áreas y los precios (incluyendo la casa) de
cinco de los lotes son:
Área (m2 ) 240 275 315 340 370
Precio ($1000’s) 71.4 73.0 75.9 76.8 79.6
(a) Encuentre una ecuación que aproxime el precio de la propiedad (lote y casa)
como función del área.
(b) Estime el precio de la casa (sin incluir el lote).
(c) Estime el precio promedio del terreno (sin la casa), en dólares por metro
cuadrado.
75. Algunas de las longitudes (en cm) ganadoras de medalla de oro olı́mpica en
lanzamiento de disco son:
Año (x) 1900 1920 1960 1980
Longitud (y) 3604 4468 5918 6665
(a) Encuentre una ecuación de regresión para la longitud como función del número
de año.
(b) Estime la longitud ganadora en las Olimpiadas del año 2000.
(c) ¿En cuántos centı́metros se incrementa la longitud ganadora en cada
Olimpiada?
76. Un atleta vive a cierta distancia de un sendero para correr. Acostumbra salir de su
casa, ir corriendo al inicio del sendero, dar varias vueltas al sendero y regresar
corriendo a su casa. En varias ocasiones ha registrado los siguientes tiempos (al
minuto más cercano):
Número de vueltas 1 2 2 4
Tiempo (min) 25 35 34 52
Suponga que la pérdida de velocidad por cansancio es despreciable, de modo que el

tiempo depende linealmente del número de vueltas.
(a) Encuentre una ecuación que prediga el tiempo como función del número de
vueltas.
(b) Estime el tiempo promedio para correr desde su casa hasta el inicio del
sendero, suponiendo que la ida tarda lo mismo que el regreso.
(c) Estime el tiempo promedio para dar una vuelta al sendero.
77. Un ciclista registra las siguientes pendientes y velocidades promedio en varios

viajes7 :
Pendiente ( %) −4.2 −1.9 −0.5 0.3 0.8 3.2 6.7

Velocidad (km/h) 43 29 26 20 21 15 9
(a) Encuentre una ecuación que aproxime la velocidad como función de la

pendiente.
(b) ¿Aproximadamente cuál es la velocidad promedio en un trayecto horizontal?
(c) Si en un viaje de 10 km el ciclista tarda 21 min, ¿cuánta altura se estima que
ganó?
78. Dados los puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ), considere la función que a cada par
de constantes a y b les asigna la suma de los cuadrados de las diferencias entre los
puntos y la aproximación lineal dada por y = a + bx:
f (a, b) = ∑(a + bxi − yi )2
(a) Calcule las derivadas parciales ∂ f /∂ a y ∂ f /∂ b, en términos de los x y los y.

(b) Compruebe que el único punto crı́tico de f tiene coordenadas
a = (∑ y − b ∑ x)/n y b = (n ∑ xy − ∑ x ∑ y)/(n ∑ x2 − (∑ x)2 ), como se planteó
en la página 102
(c) Compruebe que f alcanza un mı́nimo en su único punto crı́tico.
79. La siguiente tabla muestra el área (en miles de km2 ) y la población estimada para
1998 (en millones de habitantes) de tres paı́ses:
Paı́s Costa Rica Grecia Guatemala

Área 52.7 139.0 112.8
Población 3.0 10.1 9.2
Tomando x como el área y y como la población, se desea encontrar una ecuación de

regresión lineal y = a + bx.
(a) Explique por qué debe ser a = 0.
(b) Use el método de mı́nimos cuadrados para encontrar el valor de b en la
ecuación y = bx.
(c) ¿Cuál es la densidad promedio de población estimada por el método de
mı́nimos cuadrados?
(d) ¿Cuál es otra estimación de la densidad promedio de población?
7 La
pendiente es el porcentaje de la altura ganada con respecto a la distancia. Por ejemplo, si en un viaje de
15 km se ganan 300 m de altura, la pendiente es 300/15000 = 2 %.
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple 115
80. Para un automóvil se han registrado las siguientes distancias y consumos de

gasolina, en kilómetros y litros, respectivamente:
Distancia (km) 273 342 461 137

Gasolina (l) 29 35 37 14
Denote la distancia con x y el consumo de gasolina con y, y suponga que y depende

linealmente de x.
(a) Explique por qué en la ecuación y = a + bx debe ser a = 0.
(b) Use el método de mı́nimos cuadrados para encontrar el valor de b en la
ecuación y = bx.
(c) Dé una ecuación que prediga el consumo de combustible como función de la
distancia.
(d) En promedio, ¿cuántos kilómetros por litro recorre este automóvil?
(e) ¿Cuál es otra estimación del rendimiento (kilómetros por litro)?
4.8. (Opcional) Regresión no lineal simple

En algunos problemas se busca una función no lineal que aproxime los puntos (x1 , y1 ),
(x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ). Dos tipos comunes de función para estos problemas son la función
exponencial, y = abx , y la función potencial, y = axb . En estos dos casos se puede tomar
logaritmo de y para transformar la relación en una lineal y usar las fórmulas de la sección
anterior.
Ejemplo 10
Los siguientes datos son los precios de venta de una marca y modelo de au-
tomóviles usados:
Edad (años) 0 2 4 8 15
Precio (dólares) 11 500 8500 6000 3000 1000
Vamos a contestar las siguientes preguntas:
¿Cuál es una ecuación que permita estimar el precio como función de la

edad?
¿Cuál es el precio a los 10 años de edad?
¿Cuál es el porcentaje de devaluación anual de estos carros?
Denotando con x la edad y con y el precio, al graficar los puntos notamos que
y depende de x pero la dependencia no es lineal. Comparando con los gráficos
de funciones exponenciales que vimos en el capı́tulo 7 de “Matemática para
Administración”, podemos sospechar que la relación es exponencial: y = abx
para algunas constantes a y b por determinar.
Precio
Edad
Tomemos logaritmo en ambos lados de la ecuación:
y = abx
ln y = ln(abx ) = ln a + ln(bx ) = ln a + x ln b
o bien
y1 = a1 + b1 x1
donde y1 = ln y, a1 = ln a, b1 = ln b y x1 = x.
Entonces tenemos una relación lineal entre dos nuevas variables x1 y y1 . Para
calcular los coeficientes a1 y b1 con las fórmulas de la sección anterior, primero
escribimos la tabla de valores para las nuevas variables:
x1 = x 0 2 4 8 15
y1 = ln y ln 11500 ln 8500 ln 6000 ln 3000 ln 1000
o, en forma decimal,
x1 0 2 4 8 15
y1 9.3501 9.0478 8.6995 8.0064 6.9078
De ahı́ calculamos
n ∑ x1 y1 − ∑ x1 ∑ y1
b1 =
n ∑ x12 − (∑ x1 )2

5 (0)(9.3501) + · · · + (15)(6.9078)

− 0 + · · · + 15 · 9.3501 + · · · + 6.9078
= 2
5 02 + . . . 152 − 0 + · · · + 15
5(220.5610) − (29)(42.0116)
= = −0.164106
5(309) − (29)2
∑ y1 − b1 ∑ x1
a1 =
n
9.3501 + · · · + 6.9078 − (−0.1641) 0 + · · · + 15
=
5
42.0116 − (−0.164106)(29)
= = 9.354125
5
Recordando que a1 = ln a y b1 = ln b, regresamos a los coeficientes originales

despejándolos ası́:
ln a = a1 = 9.354125 ⇒ a = e9.354125 ≈ 11546.36

ln b = b1 = −0.164106 ⇒ b = e−0.164106 ≈ 0.848652
Ahora contestamos las tres preguntas.
El precio estimado y, en función de la edad x, es
y = 11546.36 · 0.848652x
A los diez años, x = 10, el precio estimado será y = 11546.36 · 0.84865210 ,

aproximadamente $2237.40.
La tasa de crecimiento (página 240 de “Matemática para Administración”)
es r = b − 1 ≈ −0.1513, ası́ que la devaluación anual es 15.13 %.
Para problemas en los que la relación es potencial, y = axb , también funciona tomar
logaritmo: ln y = ln(axb ) = ln a + b ln x. La ecuación transformada será y1 = a1 + b1 x1 , con
y1 = ln y, a1 = ln a, b1 = b y x1 = ln x.
Ejercicios
Resuelva
|| 500 000 a una tasa levemente variable de interés compuesto. Varios

81. Se invierten C
meses después, el valor de la inversión, en miles de colones, es
Meses 0 24 40 60
Valor 500 810 1100 1650
El valor depende exponencialmente del tiempo.

(a) Encuentre una ecuación que estime el valor de la inversión como función del
número de meses.
(b) Estime la tasa promedio de interés mensual.
(c) ¿Aproximadamente en cuántos meses llegará la inversión a valer dos millones
de colones?
82. Las siguientes son las poblaciones (en miles) de Costa Rica para cinco años
pasados (compare con el ejercicio 125 del capı́tulo 7, página 243 de “Matemática
para Administración”).
Año 1892 1927 1950 1973 2000

Población 243 489 859 1872 3810
Suponga que la población depende exponencialmente del tiempo y defina x como el

número de años desde 1800 (por ejemplo, x = 150 en 1950).
(a) Encuentre una ecuación que estime la población P como función de x.
(b) ¿Aproximadamente cuál ha sido la tasa de crecimiento anual de la población?
(c) ¿Aproximadamente en qué año llegó la población a los 2.5 millones de
habitantes?
83. Durante el perı́odo 1986–1995, el colón se devaluó con respecto al dólar en forma
aproximadamente exponencial. La siguiente tabla da los tipos de cambio en junio
de cada año indicado, en colones por dólar (compare con el ejercicio 124 del
capı́tulo 7, página 243 de “Matemática para Administración”).
Año 1986 1987 1988 1989 1990

Tipo de cambio 55.10 61.30 74.75 80.35 88.65
Año 1991 1992 1993 1994 1995
Tipo de cambio 121.65 126.02 139.13 154.94 178.4
Defina x como el número de años desde 1900 (por ejemplo, x = 86 en 1986) y y

como el tipo de cambio.
(a) Encuentre una fórmula exponencial para y como función de x.

(b) ¿Cuál fue el porcentaje promedio de devaluación anual?
(c) Si la misma tendencia exponencial se hubiera mantenido unos años más,
¿cuánto habrı́a sido el tipo de cambio en enero 2000? (El tipo de cambio en
enero 2000 fue aproximadamente C || 299/$.)
(d) ¿Aproximadamente en qué mes llegó el tipo de cambio a C || 120/$?
84. El ciclista del Ejercicio 77 (página 114) ha notado que en pendientes extremas su
velocidad varı́a en forma exponencial con la pendiente. La siguiente tabla incluye
las observaciones de entonces y otras adicionales.
Pendiente ( %) −4.2 −1.9 −0.5 0.3 0.8 3.2 6.7

Velocidad (km/h) 43 29 26 20 21 15 9
Pendiente ( %) −2.1 −1.0 −0.4 0.5 1.5 1.8 4.3
Velocidad (km/h) 26 23 20 18 20 15 13
Encuentre una ecuación que relacione la velocidad con la pendiente.

85. Para ocho llantas de automóvil se registran los kilómetros de uso y el porcentaje
de vida útil restante, de la siguiente manera:
Miles de km 2 5 10 15 25 40 60 80
% útil restante 95 85 75 60 40 25 10 5
Se supone que la vida útil restante es una función exponencial de los kilómetros de
uso.
(a) Encuentre una ecuación de regresión para la vida útil restante en función de la
distancia recorrida.
(b) ¿Cuál es la vida media de estas llantas? (La vida media es el número de km
que duran antes de llegar a 50 % de utilidad.)
86. Cuando un grupo de personas desarrolla un proyecto, el tiempo T requerido para
completarlo depende potencialmente del número n de participantes: T = anb donde
a y b son constantes. Para un trabajo que se realiza frecuentemente se han notado
los siguientes tiempos (en dı́as) y números de participantes:
Participantes 1 4 8 11 15
Tiempo 17 5 4 2 1
(a) Encuentre una fórmula que estime el tiempo como función del número de
participantes.
(b) ¿Cuánto tiempo deberı́an tardar siete personas desarrollando este proyecto?
(c) Si se necesita completar el proyecto en menos de cinco dı́as, ¿cuántas personas

deben asignársele?
87. La siguiente tabla relaciona la presión de agua y la descarga, en litros por segundo,
de una manguera de media pulgada de diámetro.
Presión 10 25 50 100 200

Descarga 1.49 2.35 3.33 4.72 6.68
(a) Suponiendo que es potencial, encuentre la ecuación de regresión para la

descarga como función de la presión.
(b) Estime la presión de agua necesaria para llenar un estañón de 1.25 m3 en
menos de 5 min (un m3 equivale a mil litros).
A P ÉNDICE A
Sugerencias
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función
55. Combine los dos logaritmos en el logaritmo de un cociente.
110. Calcule el lı́mite de cada fracción.
114. Tome denominador común.
121. Racionalice.
123. Racionalice.
127. Calcule los lı́mites laterales por aparte.
130. Combine los logaritmos en uno.
153. Los lı́mites laterales en 3 deben ser iguales.
156. Los lı́mites laterales en −1 deben ser iguales y en 3 también.
157. Los lı́mites laterales en 0 deben ser iguales y en b también. Si fuera b < 0 habrı́a una
contradicción entre las lı́neas primera y tercera.
122 Apéndice A. Sugerencias
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable
53. Separe la fracción como resta de dos fracciones.
55. La derivada es infinita, ası́ que la recta es vertical.
62. Recuerde convertir cada número de años en un número de meses. Por ejemplo, “al
año” significa con m = 12.
85. ( f g)0 (2) = f 0 (2)g(2) + f (2)g0 (2)
116. (p ◦ q)0 (6) = p0 (q(6)) · q0 (6)
117. g0 (x) = r0 (x2 ) · 2x
118. h0 (t) = [ f 0 (3 − t)(−1) · t − f (3 − t) · 1]/t 2
121. En vez de usar la regla del cociente, escriba w = (2u + 5)−1/2 .
136. Use la identidad ln(A p ) = p ln(A) para simplificar antes de derivar.
138. Use la identidad ln(A/B) = ln(A) − ln(B) para separar antes de derivar.
143. Puede evitar la regla del cociente si simplifica la fracción antes de derivar.
149. Use las reglas de descomposición de logaritmos para separar antes de derivar.
150. Use las reglas de descomposición de logaritmos para separar antes de derivar.
156. Recuerde que bx = ex ln b .
159. q0 (1) = f 0 (ln 1) · ln0 (1)

2 −x 2 −x 2 −x
160. h0 (x) = [ f (ex )]−1/2 f 0 (ex )ex (2x − 1)
180. y0 = (2x − y)/x, y vale 6 en (−1, 4).
181. q0 = −q ln q/(p + q), y vale − ln 2 en (0, 2).
182. r0 = −t 2 /r2
183. x0 = −1
184. z0 = ew+z /(2z − ew+z ) = z2 /(2z − z2 ) = z/(2 − z)

123
Capı́tulo 3
26. Puede ser mejor racionalizar.
49. Escriba ln r/(er − 1)−1 . Después de usar L’Hôpital, separe

lı́m(−1/er ) · lı́m[(er − 1)2 /r]; el primer factor es inmediato, y solo el segundo
necesita L’Hôpital.
50. Haga la sustitución u = 1/t.
73. Tome u = 1/y, y el lı́mite se convierte en lı́mu→0+ (1 + u)1/u .
74. Tome u = 1/x, y el lı́mite se convierte en lı́mu→0+ (1 − 5u)1/u .
75. Tome u = 1/s, y el lı́mite se convierte en lı́mu→0+ (u2 + 3u + 1)1/u .

t ln(1 + r/n)
80. Después de llegar a la expresión lı́m , tome u = 1/n.
n→∞ 1/n
100. El dominio es ]0, ∞[.
131. Encuentre los puntos crı́ticos y estime lı́mu→∞ y (con una tabla).
132. Encuentre los puntos crı́ticos y calcule lı́mr→∞ y.
133. Encuentre los puntos crı́ticos y calcule lı́mq→±∞ y.
134. Encuentre los puntos crı́ticos y calcule lı́mx→±∞ y.
135. Maximizar P = x(200 − x).
136. Minimizar P = x(x − 50).
137. Minimizar S = x + 192x−1 .
138. Maximizar D = x − 10x−1 en [1, 10].
139. Minimizar P = −x2 .
146. Maximizar U = −0.01p3 + 0.05p2 + 2p − 10.

147. Maximizar U = −0.5q3 − 2q2 + 350q − 500.
148. Minimizar p = 3000 − 50n en [0, 20], donde n = número de pasajeros adicionales.
149. Maximizar U = 0.24kr2 − kr3 en [0, 0.24], con k constante.
150. Minimizar C̄ = 0.25q + 3 + 400q−1 .

√
151. Maximizar U = 1050 q − 0.5q.
152. Maximizar I = 450pe−0.25p .
153. Maximizar I = (18 − 0.03q)q.
154. Maximizar U = 35 (650 − q)q − 24q en [0, 300].
155. El consumo de gasolina será 0.002x por km y el viaje es de 700 km. El viaje tardará
700/x horas y el conductor cuesta $6 por hora. Se debe minimizar
C = 1.68x + 4200x−1 en [70, 100].
156. La distancia mı́nima se alcanza entre dos puntos, uno en la recta R y otro en la
parábola P, tales que el segmento que los une es perpendicular a la recta y a la
parábola. Encuentre:
a. El punto p1 en la parábola P donde la tangente a la parábola es paralela a la

recta R.
b. La ecuación de la recta que pasa por p1 y es perpendicular a la recta R.
c. El punto p2 donde la perpendicular anterior interseca a la recta R.
d. La distancia entre p1 y p2 .
157. f (1) = 3 y f 0 (1) = 0.

|| 10, de modo que p = 1500 − 10n y
158. Tome n = número de disminuciones de C
q = 10000 + 100n. Maximizar I = −1000n2 + 50000n + 15000000.
|| 100, de modo que p = 16000 − 100n y
159. Tome n = número de disminuciones de C
2
q = 5000 + 40n. Maximizar I = −4000n + 140000n + 80000000.
160. Maximizar N = −3n2 + 240n + 72000, donde n = número de árboles adicionales.
161. Maximizar (a) I = −800n2 + 38000n + 600000 y

(b) U = −800n2 + 22000n + 335000, donde n = número de descuentos de $10.
162. Maximizar U = −2n2 + 100n + 30000, donde n = número de unidades adicionales.
163. Maximizar I = −50 000n2 + 1 000 000n + 75 000 000 en [0, 6], donde n = número de
|| 10.
rebajas de C
125
164. Maximizar I = −150n2 + 750n + 7500 donde n = número de videos por encima de
cinco. Note que n debe ser entero.
165. Maximizar I = −0.4n2 − 2n + 300 en [0, 30], donde n = número de pasajeros

adicionales.
166. Minimizar C = −n2 + 50n + 50000 en [0, 120], donde n = número de personas
adicionales.
167. Maximizar I = −200n2 − 800n + 9000, donde n = número de incrementos de $0.20.

Note que n no puede ser negativo (se está considerando un incremento, no una
reducción en la tarifa).
168. Minimizar C = 12.5x + 6 000 000x−1 .
169. Minimizar C = 100x + 60 000 000x−1 .
170. Minimizar C = 0.45x + 1 050 000x−1 .
171. Minimizar C = 2x + 21 600 000x−1 .
172. Minimizar C = 1.5x + 75 600 000x−1 en ]0, 6000] (porque se venden 600 litros por
dı́a y la leche dura solo 10 dı́as).
173. Minimizar C = 0.035x + 150 000x−1 en ]0, 3000].
174. Minimizar C = 0.4x + 100 000 + 100 000 000x−1 .
175. Minimizar C = 50x + 237 500 000x−1 .
176. Minimizar C = 11.5x + 1 121 250 000x−1 en ]0, 10 000].
177. Minimizar C = 11.5x + 1 121 250 000x−1 en ]0, 6000].
178. Minimizar C = 16 000x + 3 600 000x−1 en ]0, 20], donde x = número de moldes.
179. El costo de producción es 4.1x, el de inventario es 0.06(4.1x/2) y el de preparación

de lotes es 55n. El objetivo es minimizar C = 4.223x + 55000x−1 .
180. Minimizar C = CFP · D/x + CUI · x/2. Los problemas sobre la leche, el vivero, los
helados y los moldes tienen restricciones.
181. Minimizar C = (CFP + CUP · x)D/x + CUI(NMI + x/2).
182. Minimizar C = 3x + 120000x−1 , donde x = longitud del lado paralelo a la división.
183. Maximizar A = x(120 − 2x), donde x = longitud del lado perpendicular.
184. Maximizar A = x(20 − 4x/3), donde x = longitud del lado perpendicular.

185. Maximizar A = (b − 5)(600b−1 − 6), donde b = base de la hoja.
186. Minimizar b[6 + 360/(b − 5)], donde b = base de la hoja.
187. Maximizar A = 2r(400 − πr), donde r = radio de los semicı́rculos.
188. Maximizar A = 2r(3 − r − rπ/2) + πr2 /2, donde r = radio del semicı́rculo.
189. Minimizar M = x2 + 128x−1 , donde x = lado de la base.
190. Maximizar V = (10 − 2x)(16 − 2x)x en [0, 5], donde x = lado del cuadrado.
191. Minimizar C = 30πr2 + 4500r−1 , donde r = radio de la base.
192. El triángulo pequeño a la derecha del rectángulo y el triángulo pequeño encima del
rectángulo tienen sus lados proporcionales al triángulo grande. Se debe maximizar
A = x(12 − 12x/5) en [0, 5], donde x = lado del rectángulo sobre el lado de 5 cm.
p
193. Minimizar T = x/250 + 502 + (75 − x)2 /30 en [0, 75], donde x = distancia que
corre.
194. Sean k el costo por km de instalar en tierra (constante), 2k el costo de instalar en el

mar, y x la distancia
p en tierra, en km. Se debe minimizar
C = kx + 2k 1.5 + (3 − x)2 en [0, 3].
2
195. Maximizar A = x(2x2 − 9x + 12) en [0, 3].
201. Si la inversión es P y el interés total es un millón, entonces el monto acumulado será

A = P + 1 000 000.
206. Si la inversión es P, el monto acumulado será A = 2P.
207. Al 20 % compuesto continuamente, un monto P crece hasta Pe0.20, al 21 %

compuesto anualmente crece hasta P(1 + 0.21/1)1 y al 21 % compuesto
trimestralmente crece hasta P(1 + 0.21/4)4 .
Capı́tulo 4
58. Maximizar P = xy(50 − x − y).
59. Maximizar U = −400p21 − 800p22 − 400p1 + 5200p2 + 800p1 p2 − 10800.
60. Maximizar U = −2p21 − 6p22 + 6p1 p2 + 7p1 + p2 − 15; la solución es p1 = 15/2,

p2 = 23/6. Luego encuentre q1 y q2 .
127
61. Maximizar U = −600p2a − 1000p2b − 3000pa + 104000pb + 900pa pb − 3780000.
62. Maximizar U = 50000x/(5 + x) + 25000y/(10 + y) − 100x − 100y.
63. La distancia entre un punto (x1 , y1 ) en la parábola y un (x2 , y2 ) en la recta es

q q
(x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) = (x1 − x2 )2 + (x12 − (x2 − 1))2
2 2
Esa es la función por minimizar.
64. Si x es el frente, y el fondo y z la altura, todos en m, entonces z = 30/(xy), y el

objetivo es minimizar C = 64xy + 1920/x + 2400/y.
65. Si x es el frente, y el fondo y z la altura, todos en dm, entonces z = 6/(xy) y el objetivo

es minimizar C = 3xy + 12/y + 6/x.
66. (a) Si c es el costo por dm2 del material de los lados, entonces el material del fondo
cuesta 3c por dm2 y el volumen es xyz = 324. El objetivo es minimizar
C = 3cxy + 648c/y + 648c/x, con c constante. (b) 15xy + 10xz + 10yz = 4500, y el
objetivo es maximizar V = xyz.
67. V = xyz = 20250, y el objetivo es minimizar M = xy + 2xz + 3yz.
71. (b) La pendiente es el incremento anual. (c) a = 6 corresponde a enero 2006. Abril
2006 es 3 meses (1/4 de año) más tarde.
73. (d) En p = a + bv, a es el valor de p cuando v = 0 y b es el incremento en p por cada

unidad de incremento en v.
74. (b) El precio de la casa, sin lote, es lo que costarı́a la propiedad en un terreno de 0 m2 .
(c) La pendiente de la recta es el incremento en el costo debido a cada m 2 de
incremento en el área.
75. (c) Las Olimpiadas son cada cuatro años.
76. (b) Si no da ninguna vuelta, su tiempo es y(0). (c) La pendiente es el incremento en el

tiempo debido a cada vuelta adicional.
77. (b) En un trayecto horizontal la pendiente es 0 %. (c) A partir de la distancia y el

tiempo calcule la velocidad (en km/h), y luego la pendiente. Por último, con la
pendiente y la distancia calcule la altura.
78. (b) Despeje a en ∂ f /∂ a = 0 y sustituya en ∂ f /∂ b = 0.
79. (b) Defina f (b) = SCE = ∑3i=1 (bxi − yi )2 , y encuentre el valor de b que
minimiza f (b). (c) b es el incremento en población debido a cada km2 adicional de
área. (d) Calcule la suma de las poblaciones y la suma de las áreas.
80. (b) Defina f (b) = SCE = ∑4i=1 (bxi − yi )2 , y encuentre el valor de b que
minimiza f (b). (d) Para y = 1 (un litro), despeje x (cuántos kilómetros). (e) Calcule el
total de kilómetros y el total de litros.
82. (c) Plantee P = 2500; el año será x + 1800.
83. (c) x = 100 serı́a junio 2000; enero 2000 es 5 meses (5/12 de año) antes. (d) Al
plantear y = 120 y despejar x, la solución será el número de años después de
junio 1900; 91.83 años es aproximadamente 91 años y 10 meses.
87. (b) Son 1250 litros en 300 segundos: 4.16̄ litros por segundo.
A P ÉNDICE B
Soluciones
Capı́tulo 1
Lı́mites y continuidad de una función
1. 1 17. 1 33. No existe (3 izq, 1 der)
2. 0 18. −1/4 34. −4
3. 1 19. 0 35. −4
4. 2 20. −1 36. −1
37. No existe
5. 3 21. −1
38. 6
6. 2 22. 0
39. 5
7. 3 23. e ≈ 2.7183
40. 6
8. 1 24. e2 ≈ 7.3891
41. No existe
9. 2 25. ln 2 ≈ 0.6931
42. 2
10. 0 26. −2
√ 43. 2
11. 1 27. 28
44. 2
12. 2 28. 160
45. 2
13. −1/2 29. −7 46. −5
14. −10 30. −4 47. −2
15. 1/2 31. 16/7 48. 5
16. −1/4 32. 2 49. c/2
130 Apéndice B. Soluciones
50. 1/2 78. ∞ izq, −∞ der 106. −2

51. −5/4 79. e0.2 ≈ 1.2214 107. 2/7
52. 1 80. ∞ 108. −∞
53. −3/e3 81. 0 109. 0
54. 2 82. ∞ izq, −∞ der 110. 13/5
55. ln(4/3) 83. ∞ 111. ∞
56. 4 84. 0 112. −∞
57. 2k 85. −∞ izq, ∞ der 113. −∞
58. 0 86. −∞ izq, ∞ der 114. −9
59. −1/8 87. ∞ izq, −∞ der 115. −3/2
60. 5/4 88. −∞ √
116. 1/ 5
√
61. 1/ a 89. ∞ izq, −∞ der
117. −1
62. −20 90. ∞ izq, −∞ der
118. ∞
63. −1 91. −∞ izq, ∞ der
119. 2/3
64. 2 92. ∞
120. 2
65. ∞ 93. −∞ izq, ∞ der
121. −1/2
66. −∞ 94. −∞ izq, ∞ der
122. −∞
67. −∞ 95. ∞ izq, −∞ der
123. ∞
68. −∞ 96. ∞
124. 0
69. ∞ 97. ∞
125. 1/2
70. 1 98. −1
126. ∞
71. 1 99. −∞
127. 0 izq, ∞ der
72. ∞ 100. −∞
128. ∞
73. ∞ 101. −1/2
129. ∞ izq, −∞ der
74. −∞ 102. 1/2
130. − ln 4
75. ∞ 103. 0
131. ∞
76. 1 104. ∞
132. 1
77. −∞ 105. 0
131
133. A 21 145. y = 1
134. 1.8074, 6.2651, 19.98 m/s. A ∞ m/s. 146. u = −1

135. A 6. 147. u = −5
136. 300 km/h; 800 km/h; a 900 km/h 148. x = 3
137. US$54.286 millones; US$87.692 149. t = 1
millones;
a US$95 millones 150. t = 0
138. A seis meses 151. x = −2
139. No, f (2) no existe 152. y = −1, y = 2, y = 3, y = 4

140. Sı́ 153. a = 9
141. No, los lı́mites laterales son distintos 154. b = −2
142. No, p(−1) 6= lı́m p(r) 155. a = 2 o a = −1
r→−1
143. No, y(−5) no existe 156. a = −1, b = 1
144. t = 3 y t = −3 157. a = 1, b = 2
Capı́tulo 2
Derivadas de funciones de una variable
1. 3 8. 1 15. 1/4
2. −6 9. −6 16. −3/10
3. 6 10. −1/2 √
17. 1 − 3/6
4. −15 11. −11 √
18. 4/ 3
5. 1 12. −10
6. 5 13. −5/3 19. 1
7. 11 14. 12/5 20. −1/8
21. (1) 3. (3) 2u − 4. (5) 10p − 29. (7) 15q2 4q. (9) −6/(2w + 5)2 . (11) −11(v − 4)−2 .
(13) (2t 2 + 12t − 15)(t + 3)−2 .
22. (2) −6. (4) 2x − 3. (6) 6y2 − 1. (8) (1 − z)−2 . (10) −2y−2 . (12) −10/(2 + x)2 .
(14) −20u(u2 − 4)−2 .
23. 9x8 47. 20t 3/2 − 1/5
24. 15t 2 48. y − 4 = 3(x − 1)
25. 7u3 49. y = 3
26. −36y−4 50. z = 0
27. 2r−2/3 51. y + 5 = 16(r + 1)

28. 52t 3 − 10t + 6 52. q + 1 = −(p + 1)
29. 18y1/2 − 3y−1/2 + 3y−2 53. y + 21 = − 41 (r − 2)
30. −10x + 3 54. y − 14 = − 48
1
(x − 8)
31. 11/4 55. u = 0
32. −1/5 + u 56. (2, −16) y (−2, 16)
33. 10y3 57. (0, 1)
√
34. −5 8 x−6 58. (3/2, 15/2)
35. 3t −2 − 2t −3 59. Al ser comprada, $8000 por año.
Diez años después, $8000 por año.
36. 5w−2 − 4w−3
60. Al ser comprada, $10 500 por año.
37. 3 1/2
2r − 25 r−7/2
A los cinco años, $7000 por año.
38. 18u2 + 18u − 2 A los diez años, $3500 por año.
A los quince años, $0 por año.
39. 9x2 − 14x + 7
61. Al ser lanzado, 17 m/s.
40. 9t 2 Después de un segundo, 7.2 m/s.
Después de tres segundos, −12.4 m/s
41. 4s3 + 3s2 + 6s + 2 (12.4 m/s hacia abajo, por el signo
42. 5y3/2 + y−3/2 negativo).
43. 3v2 − 6v + 2 || 21 096.8 por mes.

62. Al año, C
A los 2.5 años, C|| 26 756 por mes.
44. 72w − 48 A los diez años, C || 162 944 por mes.
45. 7 5/2
2x − 1 + 21 x−1/2 63. 20x4 − 48x3 + 63x2 − 20x + 26
46. 2 + 3y−2 64. 5s4 − 9s2 − 2s − 4

133
65. 2y + 25 y3/2 80. (4w5 + 2w4 − 4w3 )/(w + 1)2

5 −1/6
66. 6t + t −2/3 81. (10 − 2x)/(x + 1)3
67. 25w3/2 − 5 − 2w−1/2 − 2w−2 82. [−4t 2 + 6t − 1]/[(1 − t)2 (t − 2)2 ]

68. (12z3 + 3z4 − 5)/(3 + z)2 83. [u4 + 8u3 − 13u2 − 14u − 18]/[(u −
1)2 (5 + u)2 ]
69. (19 − 4x − 3x2 )/(x2 − 5x + 3)2
70. −t(t + 2)/(t 2 + 2t + 2)2 84. [64r2 + 48r − 12]/[r2 (1 − 2r)2 ]
71. (u2 − 2u − 2)/(u2 + u + 1)2 85. 5
72. (ad − bc)/(cx + d)2 86. −6
73. 1/(y + 1)2 − 4/(y + 3)2 87. 8

74. (12x2 + 12x + 1)/(2x + 1)2 88. 3/16
75. 2t + 1/(3 − t)2 89. q − 4 = 4(p + 2)
76. (2s3 − 5s2 − 4s − 3)/(s − 2)2
90. w + 1 = 51 (u − 9)
77. (2x2 + 8x − 1)/(x + 2)2
91. r = t
78. −24p3 − 3p2 − 8p − 1
92. y + 34 = − 23 (w − 14 )
79. 66u9/2 − 81u7/2 + 30u3/2 − 9u1/2 −
9u−1/2 93. y + 13 = 18(x − 4)
94. 0.054966 m/s2

95. I 0 (12) ≈ 0.316535. Después de 12 meses, el ingreso adicional para el siguiente mes
será aproximadamente US$316 535.
96. 0.032, 0.8. Después de eliminar 50 %, el siguiente 1 % costará aproximadamente
US$32; después de 90 %, el siguiente 1 % costará aproximadamente US$800.
97. x = 18 toneladas; U(18) = 24 millones de colones
98. −90(5 − 6x)4
99. 6t(9t 2 + 5)−2/3
100. −48(16u + 1)−4
101. (24y2 + 32)(y3 + 4y)−3/5
102. 2520w(4w2 − 7)2 + 25 (1 − 5w)−1/2
p
103. (1 − 2y2 )/ 1 − y2
√
104. 2(5u + 1 − 3u)[5 − 23 (1 − 3u)−1/2 ]
1 1/2 )−1/2 (1 + 1 v−1/2 )
105. 2 (v + v 2
106. 27(x − 7)2 /(x + 2)4

15 −3/2 (3x)−1/2
107. 2 (5 − x)
108. (−10t 3 + 30t 2 − 8)/(t 3 − 4)3
109. 3(p2 − 5p)2 (2p + 1)5 (2p − 5) + 10(p2 − 5p)3 (2p + 1)4
110. 8q(3q + 1)−2/3 (5q − 1)−4/5
111. −2(6r − 5)2 (21r − 88)/(7r + 2)5

√ 3
112. (18t 5 − 105t 4 )/(2 t 2 − 5t )
113. (−5v3 + 32 v2 + 7v − 12 )(v3 − v)−1/2 (2v + 1)−5
114. [3w(4w + 2)3 ]−1/2 (4w + 2)2 (24w + 3)
115. 120(((y2 + 3)5 + 1)3 − 2)3 ((y2 + 3)5 + 1)2 (y2 + 3)4 y
116. −4
117. −10
118. −1/4
119. y − 4 = 4(x − 1)
120. z − 3 = 16 (w − 6)
121. w − 1 = −(u + 2)
122. u − 1 = − 32 (t + 1)
123. z = 0
1
124. w − 18 = − 48 (v − 2)
1
125. y − 48 = 96 (r + 1)
8
126. y − 4 = 25 (x − 2)
127. (1/6, 0)
135
128. (0, 0) y (1, 0)
129. (2, 4)
130. (−19/8, 1/2)
131. 2 + et
132. eu + e−u
133. 3 · 5r ln 5 − er − rer
134. (1/2)x ln(1/2) + 2x ln 2
135. e2y − 6e4y
136. 3/(2t)
137. −1/x
138. 1/u − 2u/(u2 − 1)
139. 8/(y ln 10)
140. 1/(5x ln 2)
141. e3w (3w2 + 2w + 3)

2 −5x+3
142. (4x − 5)e2x
2 −2x 2 −2x
143. 3ex + 3xex
(2x − 2)
√
144. (eu + ueu + 1)/(2 ueu + u)
145. 5(q − 3eq/3 )4 (1 − eq/3 )
146. 2ex /(ex + 1)2
147. (1 − ln(t + 1))/(t + 1)2
148. 102−5y − 5y102−5y ln 10
149. 1/t + t/(t 2 + 1)
150. 3p2 /(p3 − 1) − 2p + 5/(2 − 10p)
151. (6r − 5)/[(3r2 − 5r) ln 10]

√
152. (−1/ s2 − 1
1 −1 −1/2 + 1 z−1/2 (1 + √z)−1

153. 2 z (1 + ln z) 2
154. 2 ln(2y + 6)/(y + 3)
155. (2q + 1) ln(5q2 + 1) + 10(q3 + q2 )/(5q2 + 1)
156. ww+1 (ln w + 1 + w−1 )
157. 2 ln(ln(2z3 − 8z))(6z2 − 8) / [(2z3 − 8z) ln(2z3 − 8z)]
158. 3e3x g(ln2 x) + 2e3x g0 (ln2 x) ln x/x
159. −3
160. −3/2
161. q − 5 = −10(p − 1)
162. z − 40 = 40(ln 10 − 1)(t + 2)
163. x = 0
164. w = − 32 (u + 3)
165. (−1, e−1 )
166. (−1/ ln 2, −e−1 / ln 4)
167. (0.1, 5e3.4 )
168. (e, e)
169. (e−1 /2 − 4, e−1 )
170. 2 − 45e3t
171. (x2 + 1)−3/2
172. 6/(1 − r)4

15 −7/2
173. − 16 u + 24u−5
174. −120p−6
175. 3(1 − s)−5/2
176. 60x3 − 8
177. −64e1−4q
137
178. 0
179. 16(1 + 2s)−3
180. 10
181. ln 2
182. −2t(t 3 + r3 )/r5
183. 0
184. 2z/(2 − z)3
Capı́tulo 3
1. C0 = 3.2; 3.2
2. C0 = 0.8q + 2.4; 4.64
3. C0 = −0.03q2 + 4.284q − 79; 53.03
4. C0 = 0.06q2 − q + 4; 28
5. C0 = 2; C̄0 = −1000q−2
6. C0 = 0.2q + 3; C̄0 = 0.1 − 2q−2
7. C0 = 0.04q + 9; C̄0 = 0.02 − 800q−2
8. C0 = 120; C̄0 = −2400q−2
9. U 0 = 1.5; Ū 0 = 380q−2
10. U 0 = 1.9; Ū 0 = 300q−2
11. U 0 = 47.6 − 0.8q; Ū 0 = 960q−2 − 0.4
12. U 0 = 2 − 0.2q; Ū 0 = −0.1 + 2q−2
13. U 0 = −0.06q2 + q + 211; Ū 0 = 7250q−2 + 0.5 − 0.04q
14. U 0 = 0.03q2 − 4.284q + 151; Ū 0 = 0.02q − 2.142 − 3207q−2
15. (a) C0 (x) = 200 − 0.4x; el número 183 costará aprox. C0 (182) = 127.2 dólares.
(b) U(x) = 60x − 8000 + 0.2x2 ; la utilidad del número 212 será
aprox. U 0 (211) = 144.4 dólares.
16. C0 (q) = 10eq/400 ; C0 (343) ≈ 23.5726
17. q0 (40) = −62.5: cuando el precio es $40, la demanda disminuye en 62.5 unidades por
dólar de aumento
18. V 0 (12) = −200: a los 12 minutos el agua sale a 200 litros por minuto. El flujo es
mayor a los 0 minutos.
2q2 + 20
19. I 0 = 100 − p
q2 + 20
20. N 0 (75) = −10: de los 75 a los 76 años de edad el número de personas disminuye en
10.
21. A0 (t) = Prert ⇒ A0 /A = r
22. −10a−bM b ln 10
23. f 0 (25) = −0.36e−3 ≈ −0.01792: de 1990 a 1991 la cantidad de petróleo necesaria

para cada $1000 de producción disminuyó en 0.01792 barriles.
24. 1/2 38. −∞ 52. 1
25. 0 39. −1/6 53. ∞
26. 1/4 40. 1 54. ∞
27. ∞ 41. 0 55. ∞
28. 2 42. 0 56. 1/5
29. −1 43. ∞ izq, 0 der 57. 1/12
30. 1/2 44. 0 58. 1/2
31. 0 45. 0 59. −∞ izq, ∞ der
32. − ln 2 46. 0 60. 1/2
33. 0 47. 0 61. 1
34. 0 48. −1 62. e−1
35. 1/2 49. 0 63. e3
36. 0 50. −4 64. e−1
37. ∞ 51. ∞ 65. e−2

139
66. 1 71. e3 76. 1
67. 1 72. 1 77. 1
68. 1 73. e 78. 1
69. 1 74. e−5 79. e−1
70. 10 75. e3 80. Pert
81. Crece en ]−∞, −2]; decrece en [−2, ∞[
82. Crece en ]−∞, −1] y en [1, ∞[; decrece en [−1, 1]
83. Crece en [0, 2]; decrece en ]−∞, 0] y en [2, ∞[
84. Crece en [−2, −1] y en [0, ∞[; decrece en ]−∞, −2] y en [−1, 0]
√ √ √ √
85. Crece en [− 6/3, 0] y en [ 6/3, ∞[; decrece en ]−∞, − 6/3] y en [0, 6/3]
86. Crece en ]−∞, 0]; decrece en [0, ∞[
87. Crece en ]−∞, −2] y en [0, ∞[; decrece en [−2, 0]
88. Crece en ]−∞, 0[ y en [2, ∞[; decrece en ]0, 2]
89. Crece en IR
90. Crece en [−2/3, ∞[; decrece en [−1, −2/3]
91. Crece en [−2, 0]; decrece en ]−∞, −2] y en [0, ∞[
92. Decrece en ]−∞, 4/3[ y en ]4/3, ∞[
93. Crece en [−1, 1]; decrece en ]−∞, −1] y en [1, ∞[
94. Crece en [−1, ∞[; decrece en ]−∞, −1]
95. Crece en [−3, ∞[; decrece en ]−∞, −3]
96. Crece en ]−∞, 2]; decrece en [2, ∞[
97. Crece en [0, ∞[; decrece en ]−∞, 0]
98. Crece en ]−∞, − ln 2] y en [0, ∞[; decrece en [− ln 2, 0]
99. Crece en [0, ln 5]; decrece en ]−∞, 0] y en [ln 5, ∞[

√ √
100. Crece en [1/ 2, ∞[; decrece en ]0, 1/ 2]
101. Crece en [e−1/2 , ∞[; decrece en ]0, e−1/2 ]
102. Crece en ]0, 1] y en [3, ∞[; decrece en [1, 3]
103. 81. Máx en (−2, 5)

82. Máx en (−1, 0); mı́n en (1, −4)
83. Mı́n en (0,0); máx en (2,4)
84. Mı́n en (−2,
√ 0); máx en (−1, 1); mı́n en (0, 0) √
85. Mı́n en (− 6/3, 2/3); máx en (0, 2); mı́n en ( 6/3, 2/3)
86. Máx en (0, 0) √
87. Máx en (−2, 3 3√4); mı́n en (0, 0)
88. Mı́n en (2, −6/ 3 2)
89. No tiene extremos √
90. Máx en (−1, 0); mı́n en (−2/3, −2 3/9)
91. Mı́n en (−2, −1/3); máx en (0, 1)
92. No tiene extremos
93. Mı́n en (−1, −1/2); máx en (1, 1/2)
94. Mı́n en (−1, −e−1 )
95. Mı́n en (−3, −27e−3 )
96. Máx en (2, 6e4 )
97. Mı́n en (0, 2)
98. Máx en (− ln 2, 1.09416); mı́n en (0, 1)
99. Mı́n en (0, 2);
√máx en (ln 5, 6.85707)
100. Mı́n en (1/ 2, 1 + ln 2)
101. Mı́n en (e−1/2 , −1/(2e))
102. Máx en (1, 80), mı́n en (3, 38.0248)
104. Máx en (−2, 13); mı́n en (1, −14)
105. Mı́n en (1, 0) 114. Máx en (0, e4 ); mı́n en (−2, 5) y en

(2, 5)
106. Máx en (0, 2); mı́n en (1, 1)
115. Mı́n en (1, 1)
107. Máx en (0, 0); mı́n en (2, 4)
116. Mı́n en (0, ln 5)
108. Máx en (0, −2); mı́n en (2, 2)
117. Máx en (3, 33); mı́n en
109. Mı́n en (0, 0)
(−3/2, −15/2)
110. Mı́n en (0, 1)
118. Máx en (5, 266); mı́n en (1, −6)
111. Máx en (−3, 0); mı́n en (−2, −4)
119. Máx en (12, 3745); mı́n en
112. Máx en (−1, 2); mı́n en (1, −2) (−10, −1579)
113. Máx en (−2, 4e−2 ); mı́n en (0, 0) 120. Máx en (−3, 297); mı́n en (0, 0)
141
121. Máx en (1, 1/2); mı́n en (0, 0) 145. 13.91 unidades
122. Máx en (3, 21); mı́n en (5, 35/3) 146. $10

√
123. Máx en (0, 3); mı́n en (2, 5) 147. 14 unidades
124. Máx en (2, 1); mı́n en (−2, −1/3) 148. 60 pasajeros
125. Máx en (−32, 16); mı́n en (0, 0)
149. 16 %
126. Máx en (1, e−1 ); mı́n en (0, 0)
150. 40 unidades; C̄ = 23
127. Máx en (−1/2, 0.41218); mı́n en
(0, 0) 151. p = 0.0476, q = 1 102 500
128. Máx en (1, −2); mı́n en (e, −e) 152. p = 4
129. Máx en (1, −3); mı́n en (e, −e2 ) 153. 300 unidades
130. Máx en (e − 1, e−1 ); mı́n en (0, 0) 154. 300 unidades; $55 800
131. Máx en (2, ln 4 − 2) 155. 70 km/h
132. Mı́n en (0, 0); máx en (1, e−1 ) √
156. 3 2/8, entre (1/2, 1/4) y
133. Mı́n en (2, −8) (7/8, −1/8)
134. Máx en (1/3, e−1 /3) 157. b = −2, c = 4
135. 100 y 100 || 1250

158. C
136. 25 y −25 || 14 250

159. C
√ √
137. 8 3 y 8 3 160. 160 árboles
138. 10 y 1 161. (a) $362.50. (b) $462.50
139. 10 y −10 || 31 250
162. 125 unidades; C
140. 83.3̄ km/h
|| 440; C
163. C || 79 200 000
|| 729 000
141. 450 cajas; C
|| 8400
164. C
142. 9.8 m
165. 30 turistas
143. q = 40 unidades; C̄ = 23
166. 320 tiquetes
144. Máx el 30 de abril (t = 2/3); mı́n el 10
de junio (t = 2) 167. $1.80
168. Aprox. 693 bicicletas cada 21 dı́as

169. Aprox. 775 motocicletas cada 47 dı́as
170. Aprox. 1528 llantas cada 13 dı́as
171. Aprox. 3286 botellas cada 13 dı́as
172. 6000 litros cada 10 dı́as
173. Aprox. 2070 litros cada 126 dı́as
174. Aprox. 15 811 cajas cada 57.7 dı́as
175. Aprox. 2179 vasijas cada 26 dı́as
176. Aprox. 9874 cajas cada 4 dı́as
177. 6000 cajas aprox. cada 2.4 dı́as
178. 15 moldes
179. Aprox. 114 unidades por lote, cada 42 dı́as
182. 200 m × 300 m, con la división paralela al lado de 200 m
183. 30 m el lado perpendicular a la pared, 60 m el paralelo
184. 7.5 m el lado perpendicular a la pared, 10 m el paralelo
185. 22.36 cm de base y 26.83 cm de altura
186. 22.32 cm de base y 26.78 cm de altura
187. 63.66 m el radio de los semicı́rculos, 200 m los lados rectos
188. Rectángulo: 1.68 m de base y 0.84 m de altura; semicı́rculo: 0.84 m de radio
189. 4 dm el lado de la base, 2 dm la altura
190. 2 cm de lado
|| 23.44
191. 2.8794 cm el radio de la base, 8.6382 cm la altura; costo C
192. 2.5 cm × 6 cm
193. Correr 68.956 m, nadar 50.364 m; 1.955 min (aprox. 1 min 57.3 s)
194. 2133.97 m en tierra a lo largo de la costa y 1732.05 m en lı́nea recta hacia el pozo
bajo el mar
195. A = 9 cuando x = 3
143
|| 808 037.20
196. C 202. 3.848 %
197. $3641.27 203. 13.459 %
198. 6.393 años (6 años, 4 meses, 21 dı́as) 204. 6.184 %
199. 1.488 años (1 año, 5 meses, 26 dı́as) 205. 16.183 %
200. $53 857.66 206. 5.776 años (5 años, 9 meses, 9 dı́as)

|| 550 078.38
201. C 207. La primera. La segunda.
Capı́tulo 4
1. v p = 3p2 q2 + 2p − 2, vq = 2p3 q + 6q
2. yr = st + s2 + 2rt, ys = rt + 2rs + t 2 , yt = rs + 2st + r2
3. wx = 1/(1 + y), wy = −x/(1 + y)2

p p
4. r p = 1 + q2 , rq = pq/ 1 + q2
5. gx = xy−1 y, gy = xy ln x
6. zs = 2set , zt = s2 et
√ √
7. fu = 32 u2 / u3 + v2 , fv = v/ u3 + v2
√ √
8. ur = r/ r2 − s3 , us = − 23 s2 / r2 − s3
√ √
9. yv = (3w − v)/(v2 2v − 3w), yw = −3/(2v 2v − 3w)
10. qs = (3s2 + 3st + 2t 2 )(2s + t)−3/2 , qt = 12 (3s2 − 7st − 3t 2 )(2s + t)−3/2
11. sx = ex−y (x2 − 2y3 + 2x), sy = −ex−y (x2 − 2y3 + 6y2 )
12. w p = e p/q /q, wq = −pe p/q /q2
13. zu = ev/w , zv = uev/w /w, zw = −uvev/w /w2
14. tu = 1/(u + v2 ), tv = 2v/(u + v2 )
15. pv = 5 ln(5v − w2 ) + 25v/(5v − w2 ), pw = −10vw/(5v − w2 )
16. ur = −s(r − s)−1 ln−2 (r − s), us = [ln(r − s) + s(r − s)−1 ] ln−2 (r − s)

17. sx = xz−1 yz z, sy = xz yz−1 z, sz = (xy)z ln(xy)
18. (1) v pp = 6pq2 + 2, v pq = vqp = 6p2 q, vqq = 2p3 + 6.

(2) yrr = 2t, yrs = ysr = t + 2s, yrt = ytr = s + 2r, yss = 2r, yst = yts = r + 2t, ytt = 2s.
(3) wxx = 0, wxy = wyx = −(1 + y)−2 , wyy = 2x(1 + y)−3 .
(4) r pp = 0, r pq = rqp = q(1 + q2 )−1/2 , rqq = p(1 + q2 )−3/2 .
(5) gxx = xy−2 y(y − 1), gxy = gyx = xy−1 (y ln x + 1), gyy = xy ln2 x.
(6) zss = 2et , zst = zts = 2set , ztt = s2 et .
19. z pp = 6q, z pq = zqp = 6p − 15q2 , zqq = −30pq
20. wrr = 2, wrs = wsr = −4, wrt = wtr = −2t, wss = 6t, wst = wts = 6s, wtt = −2r
21. qss = t −2 e−s/t , qst = qts = (t − s)t −3 e−s/t , qtt = s(s − 2t)t −4 e−s/t
22. vxx = y(x2 + y)−3/2 , vxy = vyx = − 12 x(x2 + y)−3/2 , vyy = − 14 (x2 + y)−3/2
23. wxx = −y4 z6 (1 + xy2 z3 )−2 , wxy = wyx = 2yz3 (1 + xy2 z3 )−2 ,
wxz = wzx = 3y2 z2 (1 + xy2 z3 )−2 , wyy = 2xz3 (1 − xy2 z3 )(1 + xy2 z3 )−2 ,
wyz = wzy = 6xyz2 (1 + xy2 z3 )−2 , wzz = 3xy2 z(2 − xy2 z3 )(1 + xy2 z3 )−2
24. Ee = 6.13, E p = 0.431, Em = 0.388
25. ∂C/∂ q1 = 134 y ∂C/∂ q2 = 54. Si se mantiene q2 = 60, el costo de aumentar q1 de

1200 a 1201 es aproximadamente 134; si se mantiene q1 = 1200, el costo de
aumentar q2 de 60 a 61 es aproximadamente 54
26. Competitivos
27. Complementarios
28. Competitivas
29. Complementarios
30. q` = 30`−2/3 k2/3 , qk = 60`1/3 k−1/3
31. q` (256, 16) = 15/2, qk (256, 16) = 40; mejor invertir en capital
32. Rpeso = 0.00173 y Rpotencia = −0.0642. Si el peso aumenta en 1 kgf, el rendimiento

aumenta en 0.00173 km/l, y si la potencia aumenta en 1 HP, el rendimiento disminuye
en 0.0642 km/l
33. Ux (4000, 15) = −106, Uy (4000, 15) = 3575. Si el nivel de inventario aumenta en una
unidad, la utilidad disminuirá aproximadamente en 106 unidades; si la superficie de
exhibición aumenta en una unidad, la utilidad aumentará aproximadamente en 3575
unidades
145
34. qy (6, 45) = 1.56e−0.96 ≈ 0.597: habrı́an vendido aproximadamente 597 unidades más
al mes
35. Sa = 2(207b2 + 651b + 760)/(3ab + 12b + 11a + 20)2 ≈ 0.4948,

Sb = (289a2 + 578a + 1000)/(3ab + 12b + 11a + 20)2 ≈ 0.4291; le conviene más
dedicarla a hacer aeróbicos
36. ∂t/∂ d = 4.854. Si la distancia aumenta en 1 km, el tiempo aumentará

aproximadamente en 4.854 min
37. (−3, 9/2): máximo
38. (0, 0): ninguno; (1/3, 1/3): mı́nimo
39. (0, 0): ninguno
40. (1, −3): mı́nimo
41. (0, 0): ninguno; (2, 2): máximo
42. (1, 2): ninguno; (2, 2): mı́nimo
43. (−1, −1): mı́nimo
44. (2, 1): mı́nimo
45. (0, −1): ninguno
46. (1/2, 0): ninguno
47. (0, 0): ninguno; (−4, −2): máximo
48. (3/2, 2/3): ninguno
49. (−2, 3): máximo; (−2, 5): ninguno; (4, 3): ninguno; (4, 5): mı́nimo
50. (b) y = 2.1765x − 7.5294.

(d) r = 0.9591.
51. (b) y = −1.3333x + 53.583.

(d) r = −0.3237.
52. (b) y = −1.3482x − 99.509.

(d) r = 0.9976.
53. (b) y = 2.4.

(d) r = 0.
54. ` = 18, k = 14
55. 6 trabajadores y 5 máquinas
56. 80 % y 21.11 ◦ C
57. x ≈ 270.2, y ≈ 11.9: unas 270 muestras y unos 12 agentes
58. 50/3, 50/3 y 50/3
59. p1 = 5.5, p2 = 6
60. q1 = 4/3, q2 = 3
61. pa = 55.1 y pb = 76.8, en centavos
62. US$4 500 por televisión y US$4 000 por periódico

147
√
63. 3 2/8, entre (1/2, 1/4) y (7/8, −1/8)
64. 2.884 m de frente, 3.606 m de fondo y 2.884 m de alto
65. 1 dm de frente, 2 dm de fondo y 3 dm de alto
66. (a) 6 dm × 6 dm de base, 9 dm de altura. (b) 10 dm × 10 dm de base, 15 dm de altura.
67. 45 cm × 30 cm de base con la división paralela al lado corto, 15 cm de altura.

|| 398.89. (d) En 0.75
68. (a) n = 749.17 − 0.75p. (b) Aprox. 209 personas. (c) Menos de C
personas.
69. (a) N = 70400 + 1130t. (b) 79 440 cajas. (c) En el 2002. (d) En 1130 cajas.
70. (a) T = 43.5 − 18.81d. (b) 15.29 hrs. (c) Mayor que 1.249 g.
|| 3.25/$. (c) C
71. (a) T = 264.2 + 39a. (b) C || 507.95/$.
72. (a) I = 4925 + 1055.24a. (b) En $1055.24 anuales.

|| 296 626. (c) Al menos C
73. (a) p = 273.53 + 0.065988v. (b) C || 249 590. (d) C
|| 273 530;
6.6 %.
74. (a) P = 56.22 + 0.06208a. (b) $56 220. (c) $62.08/m2 .
75. (a) y = −68 284.65 + 37.86x. (b) 7435.35 cm. (c) En 151.44 cm.
76. (a) t = 16.3684 + 8.9474n. (b) 8.1842 min. (c) 8.9474 min.
77. (a) v = 25.14 − 2.95p. (b) 25.14 km/h. (c) Perdió 116.3 m.
78. (a) ∂ f /∂ a = 2an + 2b ∑ x − 2 ∑ y, ∂ f /∂ b = 2a ∑ x + 2b ∑ x2 − 2 ∑ xy.
79. (a) Porque si el área es cero la población debe ser cero. (b) b = 0.07466.
(c) 74.66 hab/km2 . (d) 73.23 hab/km2 .
80. (a) Porque si la distancia es cero el consumo debe ser cero. (b) b = 0.09192.
(c) y = 0.09192x. (d) 10.88 km/l. (e) 10.55 km/l.
81. (a) V = 500.485 · 1.02004m , en miles de colones. (b) 2.004 %. (c) En 69.8 meses.
82. (a) P = 19.948 · 1.02629x , en miles de habitantes. (b) 2.629 %. (c) En 1986.
83. (a) y = 0.00063203 · 1.14151x . (b) 14.151 %. (c) C

|| 334.69/$. (d) En abril 1992.
84. v = 21.6755 · 0.876536 p
85. (a) U = 105.74 · 0.96249d . (b) 19 593 km.

86. (a) T = 18.80n−0.9505 . (b) 2.96 dı́as. (c) Más de cuatro personas.
87. (a) D = 0.46915p0.501177 . (b) Mayor que 78.072.

Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Cálculo para Administración - Luis Acuña - Feb 2022

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

para

Luis Alejandro Acuña Prado

3.3. Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.1. Lı́mite de una función en un punto

Para el lı́mite por la izquierda, lı́mx→2− b(x), usamos la fórmula

b(x) = x − x2 para x < 2.

No se necesita una tabla de valores para evaluar el lı́mite, ya que si x → 2

Como son distintos, no existe el lı́mite bilateral lı́m b(x).

Complete la tabla de valores para estimar el lı́mite

Haga una tabla de valores para estimar el lı́mite

1.2. Teoremas sobre lı́mites

Al sustituir z = 3 vemos que la función sı́ está definida1 :

38. g(1) 44. lı́m g(x)

1.3. Cálculo de lı́mites

Pero podemos factorizar el numerador (diferencia de cuadrados) y simplificar

Esta última función, w − 1, sı́ está definida en w = −1, y entonces su lı́mite se

En este ejemplo tenı́amos w → −1 y un factor w + 1 en el denominador. La fracción

El factor y−9 hace imposible evaluar la fracción en y = 9. Si encontráramos otro

Entonces el lı́mite vale 1/6.

Note que en el ejemplo anterior tenı́amos y → 9, y al simplificar cancelamos un factor

1.4. Lı́mites al infinito y lı́mites infinitos

1.4.1. Estimación de lı́mites infinitos y al infinito

En ella vemos, y lo confirmamos de otra manera en el gráfico abajo, que cuando

lı́m f (r) = ∞ y lı́m f (r) = −∞

Estos son dos ejemplos de lı́mites infinitos.

63. lı́m f (v)

69. lı́m g(x)

Haga una tabla de valores para estimar el lı́mite

80. lı́m x e1/x 84. lı́m x ex

1.4.2. Cálculo de lı́mites infinitos y lı́mites al infinito

Otras propiedades útiles acerca de lı́mites al infinito son

Otros lı́mites al infinito

Es importante recordar que para cualquier x ∈ IR,

lı́m 0.7t = 0.7∞ = 0 (b∞ = 0 cuando 0 ≤ b < 1)

Para el segundo tenemos dos opciones. Podemos decir que

que también es igual a 0.

133. Cuando el precio unitario de un artı́culo es x, el proveedor ofrece una cantidad

1.5. Continuidad de una función

Definición (continuidad de una función en un punto)

lı́m f (x) = f (a)

lı́m f (x) = lı́m f (x) = f (c)

Pero por otro lado, g(3) = 00 , que no está definido.

Encontrar los puntos de discontinuidad de

p(2) = 2(2)2 − 2(2) + 2 = 6

q(2) = 2(2)2 − 2(2) + 2 = 6

Eso es fácil de resolver: la igualdad 6 = a − 2 es cierta cuando a = 8.

Determine si la función es continua en el punto dado

Determine los valores de la variable donde la función es discontinua

Encuentre los valores de a y b para que la función sea continua en IR

En este capı́tulo estudiaremos derivadas de funciones. En su forma más básica, la deriva-

2.1. Derivada de una función en un punto

De las dos fórmulas en la definición, generalmente la primera es preferible si se conoce

La derivada de f en el punto a se puede denotar

sustituyendo x = a invariablemente tendremos1

De nuevo usamos la primera forma de la definición porque necesitamos la de-

Calcular la derivada de h(x) = x2 − 3x para cualquier valor de x.

Ahora usamos la segunda fórmula en la definición de derivada porque no tene-

Ası́ es que la derivada de h(x) = x2 − 3x es h0 (x) = 2x − 3.

Al presionar la tecla =, la calculadora responderá con el valor 0.25, que es lo