PROBABILIDAD Y

ESTADISTICA DESCRPTIVA
MAESTRO: JUAN FERNANDO CAHUICH

EQUIPO:
-SAGUILAN ARELLANES ANDREA
-SANCHEZ OLAN VANESSA

UNIDAD 3
TEMA: TIPOS DE DISTRIBUCIONES
ALEATORIAS DISCRETAS Y
CONTINUAS.
 Introducción

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico, al resultado de un
experimento aleatorio. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Las variables
aleatorias discretas son aquellas que presentan un número contable de valores; por ejemplo,
el número de personas que viven en una casa (pueden ser 3, 5 o 9). Las variables aleatorias
continuas son aquellas que presentan un número incontable de valores; por ejemplo, el peso
de las vacas en una granja (una vaca puede pesar 632,12 kg, otra puede pesar 583,12312 kg,
otros 253,12012 kg, otra 198,0876 kg y nunca terminaríamos de enumerar todos los posibles
valores).

Las distribuciones de dichas variables nos describen el comportamientos de estas variables

Una forma usual de describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es
mediante la denominada función de densidad en el caso de variables continuas y función de
masa de probabilidad en el caso de variables discretas, en tanto que lo que se conoce como
función de distribución representa las probabilidades acumuladas Una de las preocupaciones
de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones de probabilidad que pudieran
representar el comportamiento teórico de diferentes fenómenos aleatorios que aparecían en
el mundo real. La pretensión de modelar lo observable ha constituido siempre una necesidad
básica para el científico empírico, dado que a través de esas construcciones teóricas, los
modelos, podía experimentar sobre aquello que la realidad no le permitía; cabe recalcar que
con el paso de los años estas distribuciones tenían muchos fallos por lo que científicos y
matemáticos se dieron a la tarea de proponer los diferentes tipos de distribuciones que se
verán a continuación siendo tres de ellas para variables continuas y tres de ellas para variables
discretas con el fin de conocer como funcionan cada una y cual es la aplicación de cada una
de ellas.
 UNIDAD 3: TIPOS DE DISTRIBUCIONES ALEATORIAS
DISCRETAS Y CONTINUAS.

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental
del espacio muestral. también podemos decir, aunque de forma menos rigurosa, que una
variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado de
un experimento aleatorio. notaremos con las letras mayúsculas X, Y,… la variable aleatoria
y con las letras minúsculas, x, y,… sus valores. la variable aleatoria puede tomar un número
numerable o no numerable de valores posibles; dando lugar a dos tipos principales de
variables aleatorias: discretas y continuas.

3.1 Distribución binomial

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el

número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable
aleatoria. Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser
caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una
moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la
moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de
probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que
cumplir las siguientes propiedades:

• En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o
fracaso).
• La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p.
La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante
dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar
cara son constantes.
 • La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la
letra q = 1-p. Es importante fijarse que, mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo
q, podemos obtener la que nos falte.
• El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto,
lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
• Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo
tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda
salga cara y cruz al mismo tiempo.
• Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de
ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha
de salir cruz.
• La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como
X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad
de éxito.

El término de la distribución binomial se utiliza para designar situaciones en las que los
resultados de una variable discreta se pueden agrupar en dos categorías. Las categorías deben
ser mutuamente excluyentes, por lo que no es posible obtener ningún otro resultado, es decir
las respuestas sólo deben contener dos respuestas el éxito y el fracaso.

3.1.1. Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar.

La media la representamos mediante μ y es igual al valor esperado E(X). No hay que olvidar
que la media es una medida de tendencia central. La fórmula es la siguiente:

μ=E(X)=npμ=E(X)=np

La varianza es una medida de dispersión que nos indica qué tan lejos se encuentran los
cuadrados de la desviación de la media. Se calcula con la fórmula:
Donde:

n es el número de ensayos

p es la probabilidad de éxito

q es la probabilidad de fracaso

La desviación estándar la representamos mediante σ y es la raíz cuadrada de la varianza.

La distribución binomial fue planteada por el matemático suizo Jakob I. Bernoulli (1654-
1705), es la más sencilla de todas las distribuciones, pues sólo estudia procesos en las cuales
los resultados posibles son sólo dos: tienen probabilidades constantes, y son independientes
entre sí.

En donde: P(x) es la probabilidad de que sucedan exactamente x éxitos, en un total de n

intentos; x es el número de éxitos deseado; n es el número de veces que se realiza la
operación; p es la probabilidad de obtener un éxito; q es la probabilidad de obtener un fracaso.

Media y Desviación Estándar de la Distribución Binomial, para una Población Infinita.

La media y la desviación de una distribución binomial son dos medidas de gran utilidad,
sobre todo si se considera que una aplicación típica de la distribución binomial puede
resolverse por medio de otra distribución más general; “La distribución normal”. Las
fórmulas que se utilizan, cuando la muestra proviene de una población infinita o cuando la
muestra no excede del 5% de la población total, son:
Media y Desviación Estándar de la Distribución Binomial, para una Población Finita.

Cuando el tamaño de la muestra excede del 5% de la población total. La media y la desviación

estándar son:

3.1.2 Grafica
La distribución binomial constituye un modelo de probabilidad teórico al que se adaptan
multitud de situaciones y problemas de la vida real. Conviene por tanto profundizar en este
modelo teórico para así poder transferir los resultados a las distintas situaciones concretas.
En este sentido se pueden deducir la función de probabilidad asociada a una distribución
binomial. Si consideramos una distribución B(n,p). En la que denominamos:

La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un resultado à es q, con q=

1-p, en todas las pruebas. Esto implica que las pruebas se
realizan exactamente en las mismas condiciones y son ,
por tanto ,independientes en sus resultados. Si se trata de
extracciones, (muestreo), las extracciones deberán ser con
devolución (reemplazamiento) , o bien población grande
(M.A.S). A este respecto hagamos una consideración: si el
proceso consiste en extraer individuos de una población y observar si poseen cierta
característica: el parámetro n será el número de extracciones (tamaño muestral) y el
parámetro p la proporción de individuos de la población que poseen la característica en
cuestión.
 3.2 Poisson.

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus
principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos
interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo
de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas.

Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un

gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña (convergencia
Binomial / Poisson ) Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de
observación en el que tengamos las siguientes características:

• Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo

o a lo largo de un espacio de observación
• Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria; pueden producirse o no de una
manera no determinística.
• La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de
amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)
• La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente
proporcional a la amplitud del intervalo.
• La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es
un infinitésimo de orden superior a dos. En consecuencia, en un intervalo infinitésimo
podrán producirse 0 ó 1 hecho, pero nunca más de uno
• Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X
signifique o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo
o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro 

El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la

probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro
de intensidad, aunque se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que
se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con
la varianza de la distribución. Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y
que el campo de variación de la variable será el conjunto de los número naturales, incluido
el cero: x{0,1,2,3,…}

3.3 Propiedades media varianza y desviación estándar

3.4 Grafica

La gráfica de Poisson muestra el número

observado de defectos con respecto al
número esperado de defectos. La línea
diagonal muestra dónde se ubicarían los
datos si siguieran perfectamente
la distribución de Poisson.

3.5 hipergeométrica

Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las que se
realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en
cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se
mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello
implicaba la reposición de cada extracción o selección, o bien la consideración de una
población muy grande. Sin embargo, si la población es pequeña y las extracciones no se
remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes. En ese caso las distribuciones
anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica
viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades no
constantes (sin reemplazamiento) .
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se
extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído
o sin retornar a la situación experimental inicial.

Modeliza, de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de veces una
prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad
de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución. fundamental en
el estudio de muestras pequeñas de poblaciones. pequeñas y en el cálculo de probabilidades
de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos
experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.

La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de

Bernouilli con las siguientes características:

• El proceso consta de n pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de N

pruebas posibles.
• Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente
excluyentes: A y no A.
• En la primera prueba las probabilidades son :P(A)= p y P(A)= q ;con p+q=l.

Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A varían en las

sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores.

• Derivación de la distribución. Si estas circunstancias a aleatorizamos de forma que la

variable aleatoria X sea el número de resultados A obtenidos en n pruebas la
distribución de X será una Hipergeométrica de parámetros N,n,p así

3.6 Propiedades de media, varianza y desviación estándar

Si se calcula la E(X) cuando X tiene distribución hipergeométrica, se verá que:

Si se calcula la varianza V(X) se verá que:

Tanto la distribución binomial como la distribución hipergeométrica persiguen un mismo

objetivo: el número de éxitos en una muestra que contiene n observaciones. Lo que establece
una diferencia entre estas dos distribuciones de probabilidad discreta es la forma en que se
obtiene la información. Para el caso de la distribución binomial la información de la muestra
se toma con reposición de una muestra finita, o sin reposición de una población infinita. Para
el modelo hipergeométrico la información de la muestra se toma sin reposición de una
población finita. Por lo tanto, la probabilidad de éxito, p, es constante a lo largo de todas las
observaciones de un experimento binomial, en cambio, en una distribución hipergeométrica
el resultado de una observación afecta el resultado de las observaciones previas.

3.8 NORMAL Y LOGARITMICO-NORMAL

Uno de los más importantes ejemplos de una probabilidad continua es la distribución o curva
normales. En estadística es la más importante de las distribuciones de frecuencias, ya que la
mayoría de los procedimientos estadísticos se basan en ella.

El estudio formal de la curva normal y de la tabla de áreas corresponde a un nivel superior,

pero a nosotros nos es posible dar una explicación conceptual y lograr que podamos manejar
la tabla de áreas para calcular la probabilidad de un suceso. Debido a la intervención del
matemático karl Gauss (1777-1855), en el estudio de ella, algunos autores la llaman
distribución gaussiana aún cuando esta denominación es cada vez menos utilizada.

La distribución normal se da con la relación: donde:

σ = desviación estándar: π = 3.1416; e= 2.71828...

Z = variable normalizada (calificación estándar Z)

A la relación citada para obtener la distribución normal se le conoce como forma tipificada
y se dice que Z se distribuye normalmente con la media cero y varianza uno.

El área total limitada por la curva y el eje de las x es uno, de ahi que el área bajo la curva
entre dos ordenadas x= a y x= b, donde a

A) Algunas propiedades de la distribución normal por la relación antes citadas son:

La media es µ

La varianza es σ²

La desviación típica es σ

Desviación media σ √2/π= 0.7979 σ

Si en el histograma de distribución de frecuencias:

Se aumenta la cantidad de observaciones, entonces los intervalos de clase se hacen más

"angostos" y el polígono de frecuencias se transforma en una curva suave:

B) Propiedades de la curva normal

1) Es simétrica y tiene forma de campana.

2) La media aritmética está a la mitad y divide el área en dos mitades.

3) Teóricamente la curva se extiende en ambas direcciones y tiende gradualmente a unirse

con la recta horizontal hasta el infinito sin tocarla nunca, es asíntota.

3.9 PROPIRDADES MEDIA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

Media o valor esperado de una variable aleatoria binomial

La media la representamos mediante μ y es igual al valor esperado E(X). La fórmula es la

siguiente:

μ=E(X)=np
No hay que olvidar que la media es una medida de tendencia central. Su interpretación es
interesante y algo enredada, te sugiero ver el video que viene líneas abajo.

Varianza de una variable aleatoria binomial

La varianza la representamos mediante σ2 o V(X) y la calculamos con la siguiente fórmula.

σ2=V(X)=np(1−p)

Desviación estándar de una variable aleatoria binomial

La desviación estándar la representamos mediante σ y es la raíz cuadrada de la varianza.

σ=σ2−−√=np(1−p) −−−−−−−−√

Recuerda que la varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión.

3.10 GRAFICA

APROXIMACION DE LA NORMAL A LA BINOMIAL

Distribución binomial, Dos resultados posibles: Éxito y fracaso. n: Tamaño de muestra. p:

Probabilidad de éxito. q: Probabilidad de fracaso. q= 1-p Distribución normal : Media de
la población : Desviación estándar de la población
=np

=√(npq)
En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma
muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n y p = p(éxito)
no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto
es,

Donde: x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros np = media de la distribución
Binomial= desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy

parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la
Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida. En resumen, se utiliza la
aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano
a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores
pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuándo
puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos,
np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Si X es una variable aleatoria binomial con media μ=np y desviación estándar σ= √(npq),
entonces la forma limitante de la distribución de 𝑧=
𝑋− σ
Conforme n--> ∞, es la distribución normal estándar. Permitirá utilizar áreas bajo la curva
normal para aproximar propiedades binomiales cuando n es suficientemente grande.
Estadístico Z  Mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en
las unidades de la desviación estándar.  Al determinar el valor Z, se puede encontrar el área
de probabilidad bajo cualquier curva normal Antes de empezar a resolver problemas con la
aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a
una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es
la Normal
Referencias:

Hernández de la Rosa, F. A. (2006). La prueba de la razón de verosimilitudes para la

distribución poisson contra binomial negativa o binomial.. Red Agrociencia.
https://elibro.net/es/lc/iteschamvirtual/titulos/19061

Leer más: https://probabilidad-y-estadistica83.webnode.es/oferta-educativa/programas-

educativos-/probabilidad-y-estadistica/unidad-2/distribucion-normal-y-logaritmico-normal/

Paula Rodó (2020). Distribución de poisson. Recuperado de:

https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

Marco SanJuán Javier (2017). Distribución binomial. Recuperado de:

https://economipedia.com/definiciones/distribucion-binomial.html

Cañas Escamilla Juan (2021). Distribución hipergeométrica. Recuperada de:

https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInf
erencia/VAdiscreta/4_1DistribucionHipergeometrica/index.html

Martín-Pliego J, Ruiz-Maya L. Estadística I: probabilidad. 2ª ed. Madrid: Thomson; 2004.

https://hopelchen.tecnm.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r129615.PDF