Esp U1 A1 Masc

Universidad Abierta y a Distancia de México
División de Ciencias Sociales y Administrativas

Licenciatura en Seguridad Pública
Actividad 1. Modelos probabilísticos

Estadística para la Investigación en Seguridad Pública
Prof. Juan Antonio Gómez Aguilar
Mauricio Isaías Sánchez Chávez

ES1521218620
Modelos probabilísticos
Introducción
En el presente trabajo se describirán las características principales de las
distribuciones de probabilidad utilizadas en la investigación.
Exponiendo, en cada caso, detalladamente las características distintivas de las

distribuciones así como desarrollar sus propiedades generales.
Modelos probabilísticos
Al estudiar el comportamiento de una variable aleatoria, en muchas ocasiones
tienen un comportamiento peculiar, el cual, la probabilidad de los valores que
puedan tener dichas variables puede ser descrito mediante el uso de modelos
matemáticos mejor conocidos como modelos probabilísticos o distribuciones de
probabilidad. Existen distribuciones de probabilidad para variables discretas y
también para variables continuas.
Binomial
La distribución o modelo binomial, es una de las distribuciones discretas más
útiles. Sus áreas de aplicación incluyen inspecciones de calidad, ventas,
mercadotecnia, entre otras.
Como lo menciona Canavos (1988), imaginemos un experimento en el que el

resultado es la ocurrencia o la no ocurrenica de un evento; suponiendo que el
experimento se lleva a cabo n veces, y cada uno de éstos es independiente a todos
los demás, el interés recae en determinar la probabilidad de que el número de los
casos de éxito suceda durante las n veces que se lleva a cabo el experimento.
La distribución binomial realiza las siguientes supociones que hay que tomar en
cuenta:
La probabilidad de éxito permanece constante para cada ensayo.

Los ensayos son independientes entre sí.
Solo existen dos posibles resultados del evento (éxito o fracaso).
La variable aleatoria X se define como el número de éxitos dentro de un
número n fijo de ensayos.
Para describir esta distribución se utilizará el siguiente modelo matemático:

𝑛𝑛!
𝑃𝑃(𝑋𝑋) = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑥𝑥
(𝑛𝑛
𝑥𝑥! − 𝑥𝑥)!
Donde:
n es el número total de ensayos.
x es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito
q es la probabilidad de fracaso
Para la distribución binomial se tienen las siguientes definiciones:
La media está definida como 𝜇𝜇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛

La varianza está definida como =𝜎𝜎 2 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
La distribución estándar está definida como 𝜎𝜎 = �𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
Poisson
La distribución de Poisson, llamada así en honor de Siméon Denis Poisson,
probabilista francés, quien fue el primero en describirla, es una distribución
discreta de probabilidad en la que la variable aleatoria representa el número de
eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. Muchos eventos
aleatorios ocurren de manera independiente con una velocidad constante en el
tiempo o en el espacio.
La distribución de Poisson toma las siguientes consideraciones para su uso:
Los eventos ocurren en un continuo tiempo o espacio.

Los eventos ocurren de manera independiente.
Los eventos son “raros” (p ≤0.1 y np ≤ 5).
Para describir la siguiente distribución se utilizará el siguiente modelo matemático:

𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑃𝑃(𝑋𝑋) =
𝑥𝑥! 𝑒𝑒 𝜆𝜆
Donde:
λ es el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de

tiempo.
x es número de eventos aleatorios exitosos
e es el número de Euler.
Para la distribución de Poisson se tiene la siguiente especificación:
La media es igual a la varianza
𝜇𝜇 = 𝜎𝜎 2
Normal
La distribución normal es la más común entre todas las distribuciones de
probabilidad utilizadas en Estadística y tiene importantes aplicaciones. Esta
distribución es continua y simétrica, es decir con los valores observados.
La distribución normal es importante por las siguientes 3 razones:
Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma.

Se usan para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la
binomial y la de Poisson.
La distribución de probabilidad de la media y la proporción muestrales es
la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin
importar la distribución de la población origen.
Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema

central del límite que establece que cuando los resultados de un experimento sean
debidos a un conjunto de muy grande de causas independientes, que actúan
sumando sus efectos, siendo cada efecto individual de poca importancia respecto
al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal.
El modelo matemático que ayuda a describir el comportamiento de las variables

aleatorias en una distribución normal es:
1 (𝑥𝑥−𝜇𝜇)2
−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 2𝜎𝜎2
√2𝜋𝜋𝜎𝜎 2
Donde:
σ2 es la varianza
μ es la media
x es el valor de la variable aleatoria
Para evitar cálculos complicados, todas las distribuciones normales se transforman

a otra equivalente, denominada distribución normal estándar, cuyas principales
características son que μ=0 y σ=1.
Resumiendo lo anteriormente mencionado:
La distribución normal es simétrica respecto a la media.

Los datos de la distribución normal se agrupan alrededor de la media.
El rango de los datos no tiene límites, pero solo un pequeño porcentaje de
ellos, menos del 3%, se encuentra a más de tres desviaciones estándar de
la media.
Una distribución de probabilidad normal puede ser convertida en una distribución

de probabilidad normal estándar. Para esto cualquier valor de nuestra variable
aleatoria puede convertirse a su valor normal estándar z, mediante la siguiente
transformación:
𝑥𝑥 − 𝜇𝜇
𝑧𝑧 =
𝜎𝜎
Aproximación de la distribución normal
Cuando una muestra o número de experimentos es grande, distribución de
probabilidad binomial puede aproximarse a la distribución de probabilidad normal.
Hay que tener especial cuidado para realizar la aproximación correcta de la

distribución binomial usando la normal, ya que es necesario calcular los valores de
z, realizando el ajuste denominado corrección por continuidad.
Ejercicio
Suponga que un cierto rasgo (color de ojos, ser zurdo, etc.) se determina por un par
de genes, y que además d representa un gen dominante, y r un gen recesivo. Un
funcionario de seguridad pública con una pareja de genes (d, d) se dice que es
dominante puro y con la pareja de genes (r, r) se dice que es recesiva pura y con
una pareja (d, r) se dice que es hibrida. En apariencia, los dominantes puros y los
híbridos son similares. Los descendientes de cada progenitor y este gen pueden,
con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor
citado.
Determina e indica qué tipo de distribución puede usarse, explica claramente

tus argumentos.
Analizando el ejercicio anterior fácilmente podemos descartar la distribución de

Poisson, y la distribución, dado a que la distribución binomial es la más funcional de
acuerdo con las especificaciones del ejercicio.
No olvidemos que el modelo de Poisson requiere que el fenómeno ocurra de

manera continua en el tiempo o el espacio y que los eventos de éxito se consideren
raros (p ≤ 0.1), ambas características no son cumplidas por el ejercicio dado.
Por su lado la distribución normal también dista de ser el modelo probabilístico que
más se ajuste a las necesidades del problema, ya que la distribución normal es ideal
cuando el tamaño de la muestra es grande, por lo que también se descarta la
aproximación de la distribución normal a la binomial.
La distribución binomial es el modelo que se ajusta de mejor manera a las

necesidades del problema, ya que los eventos presentados son independientes,
solo existen dos posibles resultados y la probabilidad de éxito permanece
constante.
Conclusiones
Posterior de analizar cada uno de los modelos probabilísticos utilizados en el curso.
Ahora es mucho más fácil seleccionar un modelo de probabilidad, ya que de

acuerdo con las características del fenómeno que se busca describir.
Decidirse por una distribución de probabilidad que de acuerdo con sus

características no pueda apegar se al fenómeno que se desea describir, puede
generar que se tengan errores al momento de realizar aseveraciones sobre dicho
fenómeno.
Bibliografía
Canavos, G. (1988). Probabilidad y estadística. Aplicaciones y métodos. Virginia:
McGRAW-HILL.
Universidad de las Palmas de Gran Canaria. (2021). Distribuciones de probabilidad.

Islas Canarias: Universidad de las Palmas de Gran Canaria.

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Mauricio Isaías Sánchez Chávez

Exponiendo, en cada caso, detalladamente las características distintivas de las

Como lo menciona Canavos (1988), imaginemos un experimento en el que el

La probabilidad de éxito permanece constante para cada ensayo.

Para describir esta distribución se utilizará el siguiente modelo matemático:

Para la distribución binomial se tienen las siguientes definiciones:

La media está definida como 𝜇𝜇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛

La distribución de Poisson toma las siguientes consideraciones para su uso:

Los eventos ocurren en un continuo tiempo o espacio.

Para describir la siguiente distribución se utilizará el siguiente modelo matemático:

λ es el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de

Para la distribución de Poisson se tiene la siguiente especificación:

La media es igual a la varianza

Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma.

Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema

El modelo matemático que ayuda a describir el comportamiento de las variables

Para evitar cálculos complicados, todas las distribuciones normales se transforman

Resumiendo lo anteriormente mencionado:

La distribución normal es simétrica respecto a la media.

Una distribución de probabilidad normal puede ser convertida en una distribución

Hay que tener especial cuidado para realizar la aproximación correcta de la

Determina e indica qué tipo de distribución puede usarse, explica claramente

Analizando el ejercicio anterior fácilmente podemos descartar la distribución de

No olvidemos que el modelo de Poisson requiere que el fenómeno ocurra de

La distribución binomial es el modelo que se ajusta de mejor manera a las

Ahora es mucho más fácil seleccionar un modelo de probabilidad, ya que de

Decidirse por una distribución de probabilidad que de acuerdo con sus

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