Resumen del tema algebra booleana.

matemáticas discretas.
Kevin Alejandro Chapula Alcaraz.
 Resumen:
Leyes de Morgan:

Las leyes de Morgan nos permiten reordenar o simplificar expresiones booleanas, así como la
conversión entre compuertas AND y OR.

Primera ley de Morgan

El complemento de un producto de “n” variables es igual a la suma de los complementos de “n”

variables. En otras palabras, el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la
operación AND es equivalente a aplicar la operación OR.

X·Y=X+Y

Ejemplo primera ley

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

A·B·C·D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0.

Aplicando la primera ley de Morgan:

A·B·C·D=A+B+C+D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1·0·1·0=1+0+1+0

Al realizar la multiplicación del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “0” negado.

0=1+0+1+0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

1=0+1+0+1

Ahora bien, al sumar los números lógicos tenemos que 1 + 1 = 1 por lo tanto:

1=1

Segunda ley de Morgan

El complemento de una suma de “n” variables es igual al producto de los complementos de “n”
variables. En otras palabras, el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la
operación OR es equivalente a aplicar la operación AND.

X+Y=X·Y

Ejemplo segunda ley

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

 A+B+C+D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0

Aplicando el segundo teorema de Morgan:

A+B+C+D=A·B·C·D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1+0+1+0=1·0·1·0

Al realizar la suma del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “1” negado, recordemos que 1 + 1
= 1.

1=1·0·1·0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

0=0·1·0·1

Ahora bien, al multiplicar el lado derecho de la ecuación obtenemos:

0=0

Ejemplos de sensores:

Sensor de temperatura:

Los sensores de temperatura se utilizan en diversas aplicaciones tales como aplicaciones para la
elaboración de alimentos, climatización para control ambiental, dispositivos médicos,
manipulación de productos químicos y control de dispositivos en el sector automotriz

Sensor de movimiento:

uno de los sensores de movimiento más empleados es el sensor pasivo PIR, ya que se trata del que
utilizan el común de las alarmas domésticas. Este sensor funciona a través de lectores infrarrojos
que detectan el movimiento gracias a los cambios bruscos de temperatura.

Sensor de distancia:

Un ejemplo de sensor de distancia es el infrarrojo, basado en un sistema de emisión y recepción

de radiación. También encontramos, como ejemplo de sensor de distancia, el sensor ultrasónico,
que envía pulsos haciendo que las ondas reboten en la superficie.

Sensor de luz:

El sensor de luz más común es el LDR, es básicamente un resistor, cambia su resistencia cuando
cambia la intensidad de la luz. Existen tres tipos de sensores fotoeléctricos, los sensores por
barrera de luz, reflexión sobre espejo o reflexión sobre objetos.

Sensor de sonido:
 El sensor de sonido es un módulo que convierte las ondas acústicas en señales eléctricas. En
términos muy sencillos, los detectores de sonido funcionan en base a los cambios de capacitancia
causados por la vibración de las ondas sonoras.

sensores de proximidad:

Son módulos que se utilizan para detectar la presencia de objetos cercanos sin necesidad de
contacto físico. Se utilizan en muchas aplicaciones, tales como sistemas de transporte, pantallas
táctiles, sensores de aparcamiento, sistemas de advertencia y dispositivos móviles.

Sensor de presión:

Miden la presión a partir de los cambios en la conductividad térmica de un gas que se producen
como resultado de variaciones en la densidad. Un ejemplo típico de este tipo de sensores es el
vacuómetro Pirani.

Sensor de campo magnético:

Son sensores que efectúan una conmutación electrónica mediante la presencia de un campo
magnético externo, próximo y dentro del área sensible. Estos sensores pueden ser sensibles a los
polos del imán, o solamente a un polo.

El sensor de humedad:

Se usa por ejemplo junto con un regulador para obtener una humedad constante en un
laboratorio. El sensor de humedad se usa cada vez más en el sector de la técnica de calefacción,
ventilación y climatización, así como en los procesos de producción que requieren un control de la
humedad.

Funciones booleanas:

En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas
por los valores binarios 0 o 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo condominio son
ambos valores 0 y 1.

Formalmente, son las funciones de la forma ƒ: Bn → B, donde B = {0,1} y n un entero no negativo

correspondiente a la aridad de la función.

Compuertas lógicas:

es un dispositivo electrónico con una función de tipo booleano u otros tipos, como sumar o restar,
incluir o excluir según sus propiedades lógicas. Se pueden aplicar a tecnología electrónica,
eléctrica, mecánica, hidráulica y neumática. Componen los circuitos de conmutación integrados en
un chip. Experimentada con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las
condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba
interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de estos que tuviera la condición «abierto», la
salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O (OR),
la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.
 Aplicaciones de algebra booleana:

La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.

Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados
en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc.).

Existen tres operaciones básicas: OR, AND Y NOT.

Compuerta OR

La salida es Verdadera si al menos una de las Entradas es Verdadera.

La expresión booleana para la operación OR:

La operación OR produce un resultado (salida) de 1 cuando cualquier entrada se un 1. De otra

manera la salida será 0.

Una compuerta OR es un circuito lógico que realiza una operación OR en las entradas del circuito.

La expresión x= A + B se lee “x es igual a A OR B”.

Compuerta AND

La salida es Verdadera si y solamente si todas las entradas son Verdaderas.

La expresión booleana para la operación es:

X= A * B

x= A * B * C = ABC
 La operación AND se realiza igual que la multiplicación de unos y cero.

La compuerta AND es un circuito lógico que realiza la operación AND en las entradas del circuito.

La salida de una compuerta AND será 1 sólo para el caso en que todas las entradas sean 1; para
todos los otros casos será 0.

La expresión x = AB se lee “x es igual a A y B”.

Compuerta NOT

Su función es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos a ceros y
ceros a unos.

x=A