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    Transformada Zeta, Solución de Ecuaciones en Diferencias (Kevin Batista)

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    Kevin A Batista Sanchez
    El documento resume dos temas: 1) la solución de ecuaciones en diferencias mediante la transformada Z, incluyendo un ejemplo. 2) La transformada Zeta, que mapea una secuencia discreta en el dominio de la frecuencia compleja de manera análoga a la transformada de Laplace. Se define la transformada Zeta y se explica su región de convergencia para secuencias causales con un ejemplo numérico.

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    Transformada Zeta, Solución de Ecuaciones en Diferencias (Kevin Batista)

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     Solución de ecuaciones en Diferencias (3 de octubre del año 2019)

    Sistema discreto

    𝑦𝑘+𝑛 = 𝑈𝑘 ± 𝑎𝑦𝑘+(𝑛−1) ± 𝑏𝑦𝑘+(𝑛−2) ± ⋯ ± n𝑦𝑘


    Ejemplo:
    Obtenga la secuencia yk de la ecuación

    𝑦𝑘+2 − 5𝑦𝑘+1 + 6𝑦𝑘 = 5 con y0 = 0, y1 = 1; 𝑍{𝑦𝑘 } = 𝑌(𝑧) Uk = 5

    1) Transformar toda la ecuación

    ℤ{𝑦𝑘+2 − 5𝑦𝑘+1 + 6𝑦𝑘 = 5}

    ℤ{𝑦𝑘+2 } − 5ℤ{𝑦𝑘+1 } + 6ℤ{𝑦𝑘 } = 𝑍{5}


    1
    5𝑧
    [𝑧 𝑌(𝑧) − ∑ 𝑦𝑝 𝑧 2−𝑝 ] − 5[𝑧𝑌(𝑧) − 𝑧𝑦0 ] + 6𝑌(𝑧) =
    2
    𝑧−1
    𝑃=0

    5𝑧
    [𝑧 2 𝑌(𝑧) − 𝑧 2 𝑦0 − 𝑧𝑦1 ] − 5[𝑧𝑌(𝑧) − 𝑧𝑦0 ] + 6𝑌(𝑧) =
    𝑧−1

    2) Aplicar condiciones de borde


    5𝑧
    𝑧 2 𝑌(𝑧) − 𝑧 − 5𝑧𝑌(𝑧) + 6𝑌(𝑧) =
    𝑧−1
    3) Encontrar la transformada Y(z)
    5𝑧 𝑧
    𝑌(𝑧) = +
    𝑧 − 1(𝑧 2 + 5𝑧 + 6) 𝑧 2 + 5𝑧 + 6

    4) Calcular yk con transformada inversa ℤ -1{Y(z)}


    𝑌(𝑧) 5 1
    = 2
    + 2
    𝑧 𝑧 − 1(𝑧 + 5𝑧 + 6) 𝑧 + 5𝑧 + 6
    𝑌(𝑧) 5 1
    = 2
    + 2
    𝑧 𝑧 − 1(𝑧 + 5𝑧 + 6) 𝑧 + 5𝑧 + 6

    Resolviendo por fracciones parciales

    𝑌(𝑧) 5/2 5/2 5 1 1


    = + − + −
    𝑧 𝑧−1 𝑧−3 𝑧−2 𝑧−3 𝑧−2
    5 𝑧 7 𝑧 6
    𝑌(𝑧) = . + . −
    2 𝑧−1 2 𝑧−3 𝑧−2
    5 𝑧 7 𝑧 6
    𝑦𝑘 = ℤ−1 { . + . − }
    2 𝑧−1 2 𝑧−3 𝑧−2
    5 7
    𝑦𝑘 = 1𝑘 + (3)𝑘 − 3 ∙ 2(2)𝑘
    2 2
    5 7
    𝑦𝑘 = + (3)𝑘 − 3(2)𝑘+1
    2 2
     Transformada Zeta (24 de septiembre del año 2019)
    Esta transformada es la “contraparte” discreta de la transformada de Laplace.
    Se aplica sobre una secuencia de números en el dominio del tiempo para cambiar el
    dominio de la compleja frecuencia.
    Se denomina por X(z) y está definida como una serie infinita:
    𝑋𝑘
    ℤ{𝑋𝑘 } = ∑∞
    −∞ 𝑍𝑘

    Donde z es el parámetro complejo de la Transformada zeta, xk la secuencia y ℤ el


    operador de transformada Zeta
    Para secuencias causales
    ∞
    𝑋𝑘
    𝑘 >0, ℤ{𝑋𝑘 } = ∑ = 𝑋 (𝑧 ), 𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 = 𝛼 + 𝜔𝑖
    𝑍𝑘
    𝑘=0

    Serie geométrica
    ∞

    𝑆𝑔 = ∑ 𝑎𝑛 𝑟𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎2 𝑟 2 + 𝑎3 𝑟 3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑟 𝑛
    𝑛=0

    1 − 𝑟𝑛
    lim 𝑆𝑛 = 𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 |𝑟| < 1
    𝑛→∞ 1−𝑟

    Ejemplo:
    2 2 2 2 2
    𝑆𝑖 𝑋𝑘 = 𝑋 [𝑘 ] = {2, , , , …} =
    3 9 27 81 3𝑘

    2
    ∞ ∞
    𝑘) ( 1 1
    3
    ℤ{𝑥𝑘 } = ∑ 𝑘 = 2 ∑( )𝑘 , 𝑟=
    𝑍 3𝑍 3𝑍
    𝑘=0 𝑘=0

    1
    X(z) = 2 ( )
    1
    1−
    3𝑧
    3𝑧 1 1
    X(z) = 2 ( ), | | < 1; |𝑧| > ← 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
    3𝑧 − 1 3𝑧 3

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