ASIGNATURA:

Fı́sica Matemática III

SESIÓN: 004

TEMA: Funciones de Green

Aplicaciones

Docente: Dr. Richard Toribio Saavedra

Departamento Académico de Fı́sica Del Estado
Sólido(DAFES)
Universidad Nacional Mayor de San Marcos

15 de junio de 2022
 Polinomios de Legendre 1

Introducción

Los polinomios de Legendre se define a

través de la función generadora

∞
g(x, t) = (1 − 2xt + t2)−1/2 = Pn(x)tn
X

n=0
(1)
∞
[1 − (2xt − t2)]−1/2 = Pn(x)tn
X

n=0

hacemos (1 − 2xt + t2) = [1 − (2xt − t2)] =

(1 − ξ). Sea
∞
ξn
f (ξ) = (1 − ξ)−1/2 = 1 +
X
Cn (2)
n=1 n!

1
f 0(ξ) = (1 − ξ)−3/2
2
1 3
f 00(ξ) = · (1 − ξ)−5/2
2 2
 Polinomios de Legendre 1-a

1 3 5
f 000(ξ) = · · (1 − ξ)−7/2
|2 {z
2 2}
1·3·5·2·4·6
=⇒Cn
2·2·2·2·4·6
donde se obtiene
(2n)!
Cn = 2n (3)
2 n!
Reemplazando (2) en (1)
∞
X (2n)! ξ n
f (ξ) = 2n 2
(4)
n=0 2 (n!) .
Por lo tanto,
∞
X (2`)! ` (2x − t)` .
g(x, t) = t
`=0
22`(`!)2 | {z }

∞ `
X (2`)! ` X `! m (−t)`−m
= 2` (`!)2
t (2x)
`=0
2 m=0 m!(` − m)!
ordenando dicha ecuación resulta
 Polinomios de Legendre 1-b

∞ X `
X (−1)`−m xm t2`−m(2`)!
g(x, t) =
`=0 m=0
22`−mm!(` − m)! `!
(5)
haciendo µ = ` − m, y

De acuerdo con la ecuación

X p
∞ X ∞ [r/2]
X X
aq,p−q = as,r−2s
p=0 q=0 r=0 s=0
Igualando las dos series de potencias término
por término, se tiene:
 Polinomios de Legendre 1-c

[`/2]
(2` − 2s)!
(−1)s ` x`−2s
X
P`(x) =
s=0 2 (` − s)!(` − 2s)! s!
1.5

P0
1
P2 P1
0.5

0
Pl(x)

-0.5

-1

-1.5 P3

-2
-1 -0.5 0 0.5 1
x
 Polinomios de Legendre 1-d

Ejemplo: Demuestre la relación de comple-

titud.

De la definición de la serie de Fourier–Legendre

∞
X
f (x) = C` P`(x)
`=0
Z +1 ∞
Z 1 X ∞
f (x0)Pm(x0) dx0 = C` P`(x0)Pm(x0)dx0 =
X
−1 −1 `=0 `=

2` + 1 +1
Z
C` = f (x0)Pm(x0) dx0
2 −1
∞
Z +1 X
2` + 1
f (x) = P`(x0) P`(x)] f (x0) dx0
−1 `=0 2
| {z }
δ(x−x0 )
 Polinomios de Legendre 1-e

se obtiene la relación de completitud

∞
2` + 1
δ(x − x0) = P`(x) P`(x0)
X
(6)
`=0
2

Ejemplo: Demuestre
Z 1
2
P`(x)P`0 (x) dx = δ``0 (7)
−1 2` + 1
donde δ``0 es la delta de Kronecker.

Utilizar la siguiente ecuación

∞
1+x 1
x2k−1 [x2 < 1]
X
ln =2
1−x k=1
2k − 1
(8)
 Polinomios de Legendre 1-f

Al multiplicar dos veces la función genera-

triz e integrando en su dominio resulta
1 X
`
X
m
X
`+m
= P ` t Pm t = P ` Pm t
1 − 2xt + t2 ` m `,m

∞
t2`
Z 1
1 1 1+t X 
2
dx = ln =2 .
−1 1 − 2xt + t t 1−t `=0
2` + 1
usando (8)
Z 1
t`+m
X
P`(x)Pm(x) dx ⇒
`,m −1

∞ ∞
2 t2`
Z 1
t2` [P`(x)]2dx =
X X

`=0 −1 `=0
2` + 1
 Fórmula de Rodrigues 2

Introducción Otra fórmula, aunque no una

relación de recurrencia, puede generar poli-
nomios de Legendre por diferenciación. La
fórmula de Rodrigues para estos polinomios
es
1 d` 2 `.
P`(x) = ` (x − 1) ` = 0, 1, 2, · · ·
2 `! dx`
(9)
Prueba: La forma de serie de los polinomios
de Legendre, se puede transformar como
sigue. Sea fk (x) = xk .

fk0 = kxk−1

fk00 = k(k − 1)xk−2

diferenciando p veces
(p)
fk (x) = k(k−1)(k−2)(k−3) · · · (k−[p−1])xk−p; k>
(10)
(k) (p>k)
Observación: fk (x) = k!, fk (x) = 0
.
 Fórmula de Rodrigues 2-a

La Ec.(10) queda
(p) k!
fk (x) = xk−p. (11)
(k − p)!
Haciendo k = 2` − 2s y p = ` la Ec.(11)
resulta
d` 2`−2s (2` − 2s)! `−2s
`
x = x (12)
dx (` − 2s)!
al sustituir (2) en la Ec.(....)
[`/2]
X (−1)s d` 2`−2s
P`(x) = ` (` − s)!s! dx`
x (13)
s=0 2

`
1 d` X (−1)s`! 2`−2s
P`(x) = ` `
x (14)
2 `! dx s=0 (` − s)!s!
| {z }

desarrollar
 Ejercicios 2-b

Función de Green 2D:

Ejemplos.
 Ejercicios 2-c

utilizar el teorema de Gauss:

cuando :
 Ejercicios 2-d

función Hankel
Ejercicios 2-e
 Ejercicios 2-f

sistema 3D:
 Ejercicios 2-g

En 3D:

Ω0
Z
e[i ~k.(R ~ m )]
~ ` −R
G`,m(z) = d~k ,
(2π)d 1ZB z − E(k) ~
(15)
donde la integración se restringe a la pri-
mera zona de Brillouin, cuyo volumen v =
(2π)d/Ω0; Ω0 = Ω/N es el volumen de la
celda primitiva de la red de dimensión d.
Ejercicios 2-h
Ejercicios 2-i
Ejercicios 2-j
 Perturbación 3

Función de Green perturbada

Cuando un sistema es perturbado por una

partı́cula, se tendrá un nuevo hamiltoniano
del sistema, este hamiltoniano se puede se-
parar en un hamiltoniano no perturbado
(H0) y un hamiltoniano perturbado (H1),
es decir:
H = H0 + H 1 (16)
Esto implica que H0 tiene sus autovalores y
autofunciones ya vistas anteriormente pa-
ra una red homog’enea. Por lo tanto, se
requiere expresar la funci’on de Green G
asociado al hamiltoniano del sistema per-
turbado (H) en t’erminos de la funci’on de
Green del sistema homog’eneo (G0) y H1.

Las funciones de Green G0(z) y G(z) que

corresponden a H0 y H1 respectivamente
son:
G0(z) = (z − H0)−1 , (17)
 Perturbación 3-a

y
G(z) = (z − H)−1 (18)
Usando (1....) podemos escribir la ecua-
ci’on (1....) de la siguiente forma:

G(z) = (z − H0 − H1)−1
io−1
−1
n h
= (z − H0) 1 − (z − H0) H1
i−1
−1 (z − H0)−1
h
= 1 − (z − H0) H1
= [1 − G0(z)H1]−1 G0(z) (19)
Expandiendo el operador (1 − G0(z)H1)−1
en series de potencia, se obtiene:

G = G0 + G0 H 1 G0 + G0 H 1 G0 H 1 G0 + · · ·
(20)
La ecuación (1.....) puede ser escrito en
una forma mas compacta

G = G0+G0H1(G0+G0H1G0+· · · ) = G0+G0H1G
(21)
ó

G = G0+(G0+G0H1G0+)H1(G0 = G0+GH1G0
(22)
 Perturbación 3-b

En la representación de coordenadas

r, r~0; z) = G0(~
G(~ r, r~0; z)
Z
+ r, r~1; z)H1(r~1, r~2)G(r~2, r~0; z)dr~1
G0(~
(23)

H1(r~1, r~2) tiene la forma δ(r~1 − r~2)t(r~1); en-

tonces (23):

Z
r, r~0; z) = G0(~
G(~ r, r~0; z)+ r, r~1; z)t(r~1)G(r~1, r~0; z)d
G0(~
(24)
Usando la ecuación (1....), y aplicando el
bra y ket, tenemos:

G = G0 + G0 H 1 G
hn | G | mi = hn | G0 | mi + hn | G0H1G | mi
X
G(n, m; E) = G0(n, m; E) + hn | G0 | lihm | H1G |
l,m
X
G(n, m; E) = G0(n, m; E) + hn | G0 | lihm | H1G |
l,m
donde H1 =| liεl hl |
X
G(n, m; E) = G0(n, m; E) + G0(n, l; E)hm | liεl hl | G
l,m
 Perturbación 3-c

donde hemos aplicado la ecuación (1....),

entonces

G(n, m; E) = G0(n, m; E)
X
+ G0(n, l; E)εl G(l, m; E)
l
escribiendo con una nueva notación la ecua-
ción (1...), obtenemos la ecuación de Dy-
son

Gnm = G0 G0
X
nm + nl εl Gl.m (25)
l

Se sustituye una impureza no magnética en

la red unidimensional, originando una per-
turbación en el sistema. utilizando la ecua-
ción (1....) y aplicando el bra y el ket tene-
mos:

hn | G | mi = hn | G0 | mi + hn | G0H1G | mi
(26)
 Perturbación 3-d

El primer término es para el caso no pertur-

bado, el segundo término se resuelve reem-
plazando la ecuación (1....), y expresando
en su forma exponencial:

hn | G0H1G | mi =

π H1( z−E1 )
a eıka(n−m)
Z
a k
= −π
× H1
dk
(2π) a z − Ek 1 − ( z−E )
k
π
a H1 × eıka(n−m)
Z
a
= −π
dk
(2π) a (z − Ek ) (z − Ek − H1)

π
aH1 eıka(n−m)
Z
a
= −π
(2π) a [z − ε0 − 2tcos(ka)][z − ε0 − 2tcos(ka) − H

H1 π eıφ(n−m)
Z
= dφ
(2π) −π (2t)2 [ z−ε0 − cos(φ)][ z−ε0−H1 − cos(φ)]
2t 2t

H1 π eıφ(n−m)
Z
= 2
dφ
(2π)(2t) −π [x − cos(φ)][y − cos(φ)]
Se ha realizado el siguiente cambio de va-
riable x = z−ε 0 , y = z−ε0 −H1 .
2t 2t
 Perturbación 3-e

Haciendo otro cambio de variable para uti-

lizar la variable compleja ya discutida para
el caso no perturbado, tenemos:

hn | G0H1G | mi =

H1 wı(n−m) dw
Z
= 1 1
(2π)(2t)2 w+ w w+ w ıw
[x − 2 ][y − 2 ]

4H1 wı(n−m+1)
Z
= dw
ı(2π)(2t)2 2 2
(w − 2xw + 1)(w − 2yw + 1)
 Perturbación 3-f

Por el teorema de Cauchy obtendremos las

soluciones:
q
w1,2 = x ± x2 − 1 (27)
q
w3,4 = y ± y2 − 1 (28)
Elegimos los segundos polos, con lo cual
la ecuación (1....) mediante la integración
por el método de residuos tendrá la forma:

hn | G0H1G | mi =

 
(n−m+1)
4H1  w2 
= 2πı +
(2πı)(2t)2  (w2 − w1)(w2 − w3)(w2 − w4) 
 
(n−m+1)
4H1  w4 
+ 2πı (2
(2πı)(2t)2  (w4 − w1)(w4 − w2)(w4 − w3) 

Reemplazando en la ecuación (1....) y para

n=m, teniendo presente la ecuación (1....)
para el caso no perturbado; obtenemos:

hn | G | ni = hn | G0 | ni + hn | G0H1G | ni
 ( )
−ı 4H1 w2
=q + 2
+
1 − E2 W (w2 − w1)(w2 − w3)(w2 − w4)
( )
4H w4
+ 21
W (w4 − w1)(w4 − w3)(w4 − w3)
 Perturbación 3-g

Reemplazando sus valores correspondien-

tes, la notación (1....) y dando los siguien-
tes valores; ε0 = 0, z=E, W = 2 | t |= 1.
Tendremos:

G(n, n; Z) =
 q
−ı 4H1  E − E2 − 1

=q + 2
q q
1 − E2 W  (−4H E 2 − 1)(E − E

1
 q
4H1  (E − H1) − (E − H1)2

+ 2 q
W  (−4H (E − H )2 − 1)((E − H ) −

1 1 1

−ı ı ı
=q +q −q
1 − E2 1 − E2 1 − (E − H1)2
−ı
=q
1 − (E − H1)2
 Referencias 4

Bibliografı́a

1. Mathematical Methods for Physicists.

Sixth Edition. Hans J. Weber y George
B. Arfken. Elsevier Academic Press Pu-
blication. Impreso en USA. 2005.

2. Matemáticas para Fı́sicos. J. Mat-

hews, R.L. Walker. Editorial Reverté,
S.A., Impreso en España. 1979.

3. Mathematical Methods in the Phy-

sical Sciences, Mary L. Boas. Tercera
edición. John Wiley and Sons, Inc. Im-
preso en USA. 2006.

4. Table of Integrals, Series, and Pro-

ducts. I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik. Se-
venth edition. Academic Press. Impreso
en USA. 2007.