Ley de Gauss

Prof. David Solano Solano

6 de junio de 2017

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Ley de Gauss
Consultas tras entrega del 2do examen parcial

Se hacen el asistente/revisor: José Alejandro Vega →

alejovq14@gmail.com
Viernes 2 de junio, Ingenierı́a Eléctrica (Cuidad de
Investigación), de 3 a 7 pm.
Por favor coordinar con el asistente para la cita.
De no poder asistir, envie email al asistente o deje mensaje
con examen en mi casillero F (en Escuela de Fı́sica).

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Ley de Gauss
Flujo Eléctrico

Para campo eléctrico uniforme y superficie plana: Φ ≡ E~ · A~

~ = An̂, con n̂ un vector normal (unitario) a la
El vector área A
superficie
En general: Φ ≡ S E~ · n~dA. S: una superficie. Esto se llama
R
integral de superficie
Unidades S.I.: 1 N · m2 /C
En superficies cerradas Φ ≡ E~ · n̂dA
H
S
Superficies cerradas: cubos, cajas (paralelepı́pedo), prismas,
pirámides, esferas, elipsoides, etc.

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Ejemplo sencillo: Flujo campo constante por un plano

Un campo eléctrico uniforme de 3000 N/C atraviesa la lámina

rectangular de 12cm × 24cm como muestra la figura.
El flujo eléctrico es entonces: Φ = EAcosθ = 61,1 N · m2 /C

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Ejemplo sencillo: Flujo campo constante por un plano

Figura: Un ejemplo sencillo.

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Caso de estudio #1: Flujo el Tetraedro

Encuentre el flujo eléctrico total que atraviesa el tetaedro con

caras de lado “a” con el campo eléctrico orientado según la figura.

Figura: Caso de estudio #4.

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Caso de estudio #1: Flujo el Tetraedro
Lo primero es encontrar el flujo en cada una de las 3 caras
laterales. Por simetrı́a, el flujo eléctrico en cada cara lateral debe
ser igual. Se debe encontrar el ángulo θ que forma el vector normal
a la cara con el campo eléctrico. Para eso debemos calcular el
parámetro “b” en la base y el alto de cada cara “a”

Figura: Vista de lado (parcial) del tetraedro donde se aprecian las

cantidades relevantes.

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Caso de estudio #1: Flujo el Tetraedro
Esto es lo que se obtiene con la geometrı́a de los triángulos
equiláteros:

Figura: Caso de estudio #4.

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Caso de estudio #1: Flujo el Tetraedro

Entonces el ángulo θ se obtiene por trigonometrı́a:

√a
b 2
√ 3 1
cosθ = h = 3a
= 3
2

El flujo eléctrico en una cara es: Φ1c = EAcosθ = 13 EA

El flujo eléctrico en las tres caras laterales es:
Φ3c = 3Φ1c = EA
El tetraedro es una superficie orientable. El vector normal de
la base apunta hacia abajo y el campo eléctrico hacia arriba
(son anti-paralelos). Entonces para la base:
ΦB = EAcos180o = −EA
Entonces el flujo eléctrico total (neto) es:
Φneto = Φ3c + ΦB = 0

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Ley de Gauss: Cargas encerradas en superficies cerradas

Figura: Una carga encerrada en una superficie arbitraria.

Independientemente de la forma de S, el flujo eléctrico siempre es
proporcional a la carga contenida dentro de ella.

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Ley de Gauss: Cargas encerradas en superficies cerradas
Sea S una superficie cerrada de forma arbitraria
El
H flujo electico total en dicha superficie se representa como:
~
S E · n̂dA
Frecuente, las superficie cerradas está compuestas por 2 o
más superficies: S E~ · n̂dA = i Φi
H P

Considere todas las cargas eléctricas contenidas en la

superficie cerrada S: qenc
E~ · n̂dA ∝ qenc
H
Estas dos cantidades son proporcionales: S
Ley de Gauss:
I
qenc
E~ · n̂dA =
S 0

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Ley de Coulomb consecuencia de la Ley de Gauss

Figura: Superficie gaussiana S: una esfera de radio R

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Ley de Coulomb consecuencia de la Ley de Gauss

S: superficie gaussiana esférica de radio R

Notar que: campo eléctrico de la carga ubicada en el centro
de S siempre apuntal en dirección radial (hacia afuera para las
cargas positivas, hacia adentro para las cargas negativas)
Para un pequeño elemento del área de S d A ~ = n̂dA siempre
apunta también radialmente hacia afuera:
dA~ k E~ ⇔ E~ · d A
~ = EdA
E~ · n̂dA = EdA
H H
El flujo en la esfera es:S S
Para un “R” fijo (en todos los puntos de la esfera S) por
simetrı́a
H el campo
H eléctrico es uniforme. Entonces:
S EdA = E S dA

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Ley de Coulomb consecuencia de la Ley de Gauss

La cantidad S dA es el área total de la esfera: S dA = 4πR 2

H H

La carga encerrada dentro de la esfera es: qenc = q

E~ · n̂dA = qenc ⇔ E (4πR 2 ) = q
H
Ley de Gauss: S 0 0
q
Finalmente: E = 4π0 R 2
Conclusión: La ley de Gauss es un resultado más general
que la Ley de Coulomb.

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Ley de Gauss y vara uniforme cargada infinita

Figura: Vara cargada uniformemente con densidad lineal λ. La simetrı́a

adecuada para el caso la cilı́ndrica.

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Ley de Gauss y vara uniforme cargada infinita

Figura: La superficie gaussiana es un cilindro imaginario de largo L y

radio r, se compone de tres superficies: 2 tapas planas y la parte curva

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Ley de Gauss y vara uniforme cargada infinita

S S
S = S1 S2 S3 : superficie gaussiana cilı́ndrica. S1 , S2 : las
tapas del cilindro, S3 : parte curva
Note que el campo eléctrico de la vara tiene dirección radial
(hacia afuera si la carga es positiva, hacia adentro si es
negativa)
E~ · n̂dA = Φ1 + Φ2 + Φ3
H
El flujo en el cilindro es:S
En las tapas, el campo eléctrico forma ángulo de 90o con sus
vectores normales: Φ1 = Φ2 = E~ · A ~=0
En la parte curva S3 : E~ k d A
~ ⇒ E~ · d A
~ = EdA
Entonces: Φ3 = S3 E~ · d A~=
R R
S3 EdA

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Ley de Gauss y vara uniforme cargada infinita

Para un “r” fijo (por ejemplo en la superficie S3 del cilindro)

por simetrı́a
R el campo
R eléctrico es uniforme. Entonces:
Φ3 = S3 EdA = E S3 dA
R
La cantidad S3 dA es simplemente el área total del parte
R
curva S3 , entonces: S3 dA = 2πLR
Por otro lado, la carga encerrada por todo el cilindro es:
qenc = λL
Finalmente al aplicar la Ley de Gauss:
~ · n̂dA = qenc ⇔ E (2πLR) = λL
H
S E 0 0
λ
Entonces: E = 2π0 r

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Ley de Gauss y lámina cargada uniformemente e infinita

Figura: La superficie gaussiana una caja (paralelepı́dedo) con seis caras.

La densidad superficial de la lámina es σ.

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Ley de Gauss y lámina cargada uniformemente e infinita
Densidad de carga superfial de la lámina: σ
S S S S S S
S = S1 S2 S3 S4 S4 S5 S6 : superficie gaussiana en
forma de caja.
El flujo H eléctrico P
en la caja S es la suma de los flujos en cada
cara: S E d A = i E~ · n̂i Ai
~ ~
El campo eléctrico de la lámina uniformente cargada tiene
dirección perpendicular a ella.
Las caras “1” y “2” forman ángulo de 90o con E~ . Por tanto
sus vectores normales son paralelos:
E~ k n̂1 , n̂2 ⇒ E~ · n̂1 A = E~ · n̂2 A = EA
En el resto de las caras de la caja, sus vectores normales son
perpendiculares con E~ :
E~ · n̂i Ai = 0, i = 3, 4, 5, 6

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Ley de Gauss y lámina cargada uniformemente e infinita

Sea A el área de las caras “1” y “2”

Entonces el flujo electrico total para toda la caja S es:
~dA ~ = 2EA
H
S E
Nótese que la parte de la carga de la lámina que encierra la
caja es: qenc = σA
E~ · n̂dA = qenc ⇔ 2EA = σA
H
Al aplicar la ley de Gauss: S 0 0
σ
Lo que lleva al resultado final: E = 20
Siempre se debe pensar que esta lámina cargada uniformente
es de tipo aislante

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Ley de Gauss y cascarón esférico uniforme aislante

Figura: Una cáscara esférica de material aislante (sin movilidad de

cargas) uniformemente cargado en toda su superficie. En (b) tenemos
una superficie gaussiana esférica exterior y en (c) la superficie gaussiana
es interior.

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Ley de Gauss y cascarón esférico uniforme aislante

Figura: Análisis dentro del cascarón con r < a.

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Ley de Gauss y cascarón esférico uniforme aislante

Consideremos un cascarón esférico aislante uniformente

cargado (densidad superficial σ). Vamos a aplicar la ley de
Gauss para encontrar el campo eléctrico tanto dentro como
fuera de este objeto. El radio de cascarón es a y su carga
total es q = σA = σ(4πa2 )
S1 : superficie gaussiana tipo esfera de radio r < a.
Aquı́ la carga contenida es exactamente 0 (no hay cargas
dentro de S1 ) qenc = 0
Por lo tanto, S1 E~ · d A
~ = 0. Como dA es definitivamente no
H

nulo, entonces el campo eléctrico debe ser nulo

E=0
S2 : superficie gaussiana esférica de radio r > a. Al igual que
en el caso de la carga puntual, E~ apunta en dirección radial.

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Ley de Gauss y cascarón esférico uniforme aislante

Figura: Análisis fuera del cascarón con r > a.

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Ley de Gauss y cascarón esférico uniforme aislante

Para el flujo eléctrico en S2 : S E~ · d A~=

H H
S2 EdA
En todos los puntos de la esfera S2 , por argumento de
Hsimetrı́a el campo
H eléctrico es igual. Entonces:
S2 EdA = E S2 dA
La
H cantidad es el área total de la superficie gaussiana:
dA = 4πr 2
S2
La carga contenida dentro de S2 es la totalidad del cascarón:
qenc = q
Ley de Gauss: S2 E~ · n̂dA = qenc ⇔ E = 4πq0 r 2
H
0
Finalmente:
E = 0(r < a),
E = 4πq0 r 2 (r > a)

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Ley de Gauss y esfera sólida uniforme y aislante

Figura: Esta es una esfera cargada uniformemente en donde se va a

aplicar la ley de Gauss con dos superficies: A2 una superficie interna y A1
una externa.

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Ley de Gauss y esfera sólida uniforme y aislante
Consideremos una esfera sólida aislante uniformente cargada
sin cavidades. Vamos a aplicar la ley de Gauss para encontrar
el campo eléctrico tanto dentro como fuera de este objeto. La
4πρ r 3
esfera tiene radio r0 y su carga total es qtotal = ρ0 V = 30 0
Su densidad de carga (constante en este caso) es: ρ0
En caso que la esfera no tuviera carga uniformente distribuida
el cambioR a hacer Res:
qtotal = ρdV = ρ(r )(4πr 2 dr )
Para A1 : una superficie gaussiana esférica de radio r > r0
(región exterior)
Aquı́ la carga contenida toda la esfera sólida es:
4πρ r 3
qenc = qtotal = 30 0
E~ · n̂dA = qenc ⇔
H
Ley de Gauss: A1 0
qenc ρ0 r03
E= 4π0 r 2
= 30 r 2

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Ley de Gauss y esfera sólida uniforme y aislante

A2 : superficie gaussiana esférica de radio r < r0 . (región

interior).
3
El volumen de que encierra esta superficie es: V 0 = 4πr 3 .
3
Aquı́ la carga contenida es: qenc = ρ0 V 0 = 4πρ30 r
Luego el flujo eléctrico: A2 E~ · d A
~ = E (4πr 2 ).
H

Al aplicar la ley de Gauss: A2 E~ · n̂dA = qenc

H
0
⇔
qenc ρ0 r
E = 4π0 r 2 = 30
Finalmente:
E = ρ30 0r (r < r0 ),
ρ0 r03
E= 30 r 2
(r > r0 )

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Ley de Gauss y esfera sólida uniforme y aislante

Figura: Representación gráfica de la solución del problema.

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Ley de Gauss y esfera hueca aislante uniforme

Figura: Aquı́ tenemos 3 regiones de interés en donde se construiran 3

superficie gaussianas esféricas.

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Ley de Gauss y esfera hueca aislante uniforme
Es una esfera sólida con radio Re con una cavidad concéntrica
de radio Ri . Su densidad ρ0 es uniforme
La carga total del objeto es: qtotal = 34 πρ0 (Re3 − Ri3 )
Hay tres regiones de interés:
A: la región de la cavidad (vacı́a)
B: la región interna llena de aislante
C: la región exterior
En A: usemos una superficie gaussiana S1 con radio r < Ri .
Aquı́ (ver cascarón esférico) E = 0
En B: se una una superficie gaussiana S2 con radio
Ri < r < Re . H
Flujo eléctrico: S2 E~ · d A
~ = E (4πr 2 )
Carga contenida en S2 : qenc = 43 πρ0 (r 3 − Ri3 )
qenc ρ0 (r 3 −Ri3 )
Ley de Gauss: E = 4π0 r 2
= 30 r 2

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Ley de Gauss y esfera hueca aislante uniforme

En C: la superficie gaussiana S3 tiene radio r > Re Flujo

eléctrico: S3 E~ · d A
~ = E (4πr 2 )
H

Carga contenida en S3 : qtotal = qenc = 43 πρ0 (Re3 − Ri3 )

qenc ρ0 (Re3 −Ri3 )
Ley de Gauss: E = 4π0 r 2
= 30 r 2

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Caso de Estudio # 1: Esfera con cavidad y carga puntual
en su centro

Figura: Una esfera con cavidad concéntrica y una carga puntual en su

centro.

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Caso de Estudio # 1: Esfera con cavidad y carga puntual
en su centro

Considere la esfera aislante con carga uniformemente distribuida

de +3, 00 µC /m3 con las dimensiones que se muestran en la
figura. En el centro geométrico de la esfera se ubica una carga de
-4,00 nC. Calcular: (a) el campo eléctrico total a 1,5 cm del
centro, (b) a 5,0 cm del centro y (c) a 10,0 cm del mismo punto.
Solución:
(a) Para r = 1,5 cm, se construye una esfera gaussiana S1 con
dicho radio. La carga contenida en dicha esfera es:
qenc = −4, 00 nC ⇒ Φ = S1 E~ · d A ~ = E (−4πr 2 ) = qenc
H
0
qenc −9×4
E = − 4π 0r
2 = − 0,0152 = 160000 N/C

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Caso de Estudio # 1: Esfera con cavidad y carga puntual
en su centro

(b) Para r = 5,0 cm, se construye una esfera gaussiana S2 con

el mismo radio. Aquı́ la carga contenida es:
4ρπ(r 3 −Ri3 )
qenc = 3 + q0 = −4, 0nC + 1, 23nC = −2, 77 nC
qenc
E = − 4π 0r
2 = 9972 N/C
(c) Para r = 10,0 cm, se construye una esfera gaussiana S3 de
10 cm radio. Aquı́ la carga contenida es la carga total de la
esfera y la carga:
4ρπ(Re3 −Ri3 )
qenc = 3 + q0 = −4, 0nC + 8, 82nC = +4,82 nC
qenc
E = 4π 0r
2 = 4338 N/C

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Ley de Gauss y Conductores Ideales

Aislante: material en donde las cargas eléctricas tienen poca

movilidad (nula) cuando se aplican campos eléctricos externos.
Conductor: material en donde las cargas se pueden mover
fácilmente con un mı́nimo de interacción.
Teorema de Blindaje Electrostático: ” Para una pieza de
material conductor de forma arbitraria que se encuentra
inmerso en un campo eléctrico externo, el campo eléctrico en
el interior es exactamente 0”.
Teorema de las Cargas Periféricas: ” En una pieza de
material conductor con forma arbitraria que tiene una carga
en exceso, las cargas se distribuyen en de manera uniforme en
la superficie externa de la muestra”.

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Ley de Gauss: Teorema de Blindaje Electrostático

Figura: En un conductor las cargas se mueven con facilidad acorde a las

dirección del campo eléctrico externo aplicado. Alinearse de esa forma, se
forma un campo interno Eint con la misma magnitud pero dirección
opuesta al campo externo Eext de tal manera que: Etotal = Eint + Eext = 0.

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Ley de Gauss: Teorema de las Cargas Periféricas

Figura: Si construimos una superficie gaussiana S que apenas contenga el

interior
H todo la muestra de material conductor cargado, se llega a que
Φ = S E~ · d A ~ = 0 como consecuencia del teorema de blindaje
electrostático. Entonces, ¿a dónde se fueron las cargas? Debido que
nuestra superficie S apenas esta hecha para contener el volumen del
conductor, necesariamente las cargas tienen que estar fuera de S, esto
es, en la superficie más exterior del conductor.

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Ley de Gauss y la lámina conductora infinita

Supongamos que una lámina infinita tiene densidad superficial

de carga σ
Al ver el detalle de la sección transversal de la lámina, las
cargas eléctricas migran a su superficie más externa (por el
teorema de las cargas periféricas).
Entonces, de esta forma un conductor equivale a 2 láminas
aislantes
Por ejemplo, en el lado derecho, el campo total es la suma
debida a las cargas sobre la superficie derecha más la
contribución de las cargas en la superficie izquierda
Por tanto: E = 2 × 2σ0 = σ0

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Ley de Gauss y la lámina conductora infinita

Figura: El campo eléctrico total se debe a la contribución del equivalente

a dos “láminas aislante” una de cada lado en la periferia del conductor.

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Ley de Gauss y esfera conductora cargada

Figura: Sea R el radio de la esfera. Si es r es una distancia desde el

centro, el campo eléctrico en el interior es E = 0 porque no hay cargas
encerradas dentro de una esfera gaussiana S de radio r < R. Para r¿R, el
campo varı́a acorde a la misma estructura de la carga puntual. Este
mismo resultado aplica exactamente igual para el cascarón
conductor cargado.

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Caso de estudio # 2: Esfera conductora hueca cargada

Figura: La esfera conductora tiene una cavidad concéntrica. En el centro

de la cavidad hay una carga de +5 nC. En la esfera conductora hay una
carga en reposo de -6 nC.

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Caso de estudio # 2: Esfera conductora hueca cargada
Considere la esfera conductora cargada con -6 nC mostrada en
esquemáticamente en el dibujo. En el centro de la cavidad hay una
carga puntual de 5 nC. El radio interno de la esfera es de 5 cm y el
externo de 10 cm. Calcule el campo eléctrico en la siguientes
distancias medidas desde el centro: (a) 3 cm, (b) 8 cm , (c) 20 cm.
(d) ¿Qué tanta carga eléctrica hay en la pared interna de la esfera?
(e) ¿Cuánta carga hay en la pared externa?

(a) En la superficie A de r = 3 cm,

qenc
qenc = +5 nC ⇒ E = 4π 0r
2 = 50000 N/C

(b) En r = 8 cm, se encuentra dentro del conductor, por el

teorema del blindaje: E = 0
(c) En la superficie C de r = 20 cm,
qenc
qenc = +5 nC − 6 nC = −1 nC ⇒ E = − 4π 0r
2 = 225 N/C

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Caso de estudio # 2: Esfera conductora hueca cargada

(d) Para que en la superficie gaussiana B con radio

r ∈ [5 cm, 10 cm] el campo sea E = 0, es necesario que en la
pared interna exista una carga qint = −5 nC de tal manera
que en B qenc = −5 nC + 5 nC y se cumpla el teorema de
blindaje.
(e) En la pared exterior tiene que haber una carga de
qext = −6 nC − (−5 nC ) = −1 nC de tal forma que la carga
total en el conductor sea
qcond = −6 nC = qint + qext = −5 nC + (−1 nC )

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Caso de estudio # 3: Cilindro aislante largo con densidad
no uniforme
Considere un aislante de forma cilı́ndrica de 10 m de largo y 3 cm
de radio con una densidad que varı́a en forma radial acorde a la
fórmula:
ρ(r ) = (45 mC /m6 )r 3
(a) Encuentre la carga total de la pieza. (b) Derive una expresión
para el campo eléctrico dentro del aislante para distancias r
medidas desde su eje de simetrı́a. (c) ¿Qué valor tiene el campo
eléctrico a una distancia de 20 cm de su eje de simetrı́a?
Notemos que el largo de L = 10m  r , en donde r puede ser
3 o 20 cm. Se puede usar la aproximación de la lı́nea / vara
infinita
RR
(a) Carga total Q = 0 ρ(r )dV . Para el cilindro:
RdVR
= Adr = 2πrLdr . Entonces, si RR = 0,03 m: Q =
3 )(2πrL)dr = 2827 mC /m5 · 0,03 r 4 dr = 13, 74 µC
0 (45r 0

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Caso de estudio # 3: Cilindro aislante largo con densidad
no uniforme
(b) Sea B una superficie gaussiana cilı́ndrica con radio r ¡ 0.03
m y largo L = 10 m. La carga contenida en B es:
Z r
qenc = (45r 3 )(2πrL)dr
0
qenc = (180π mC /m5 )r 5

El flujo eléctrico a través de B es (ver caso de la vara

cargada):
I
Φ= E~ · d A
~ = E (2πrL) = (20π m) · E · r
B

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Caso de estudio # 3: Cilindro aislante largo con densidad
no uniforme q enc
Entonces al aplicar la ley de Gauss: Φ = 0 se llega a:

(180π mC /m5 )r 5
E (r ) =
(20πm) · 0 · r

E (r ) = (1,017 × 109 N/C · m4 )r 4

(c) Tómese una superficie gaussiana A con radio r = 0,20 m
(> 0,03m). A contiene la carga total del cilindro encontrada
en (a): qenc = Q = 13, 74 µC
El flujo aquı́ es: Φ = E (2πrL) = (20π m) · E · r
Entonces al aplicar la ley de Gauss, Φ = qenc
0
se llega a:

13,74 µC
E= = 123547 N/C
20π m × 0 × 0,20 m

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