Numeros Reales

1.
Graficar en un cuadro el conjunto de números reales e investigue
las propiedades de adicción y multiplicación de los números reales,
y el concepto de valor absoluto.
Respuesta:
I: Números irracionales.
π √7
Números reales R.
√5
Q: Números Racionales.
4 −5
Z: Números enteros.
9 2
-98 -44 N: Números Naturales:
0 5 23
0,444. -22
99 1233
Propiedades de la adición y multiplicación de los números reales.
Adición:
 Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el
producto. Ejemplo:
34 + 54 = 54 + 34.
92 = 92
 Propiedad asociativa: Cuando se suman varios sumandos los
podemos agrupar de diferentes formas y nos dará el mismo
resultado. Ejemplo:
105 + (225+300) = (105 + 225) + 300.
105 + 525 = 330 + 300
630 = 630
 Elemento neutro de la adición: El cero es el elemento neutro de la
adición y cuando se suma con otro número natural se obtiene el
mismo número. Ejemplo:
0 + 1 = 1. 483 + 0 = 483.
Multiplicación:
 Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el
producto. Ejemplo:
325 x 15 = 15 x 325
4875 = 4875
 Propiedad asociativa: Los factores se pueden agrupar de distintas
maneras. Ejemplo:
(32 x 48) x 13 = 32 x (48 x 13)
1536 x 13 = 32 x 624
19968 = 19968
 Elemento neutro: el número 1 es el elemento neutro y al ser
multiplicado por otro se obtiene el mismo número. Ejemplo:
50 x 1 = 50
 Factor cero: Cualquier número multiplicado por cero da cero.
Ejemplo:
324 x 0 = 0
Adición y multiplicación:
 Propiedad distributiva: Consiste en que la multiplicación de un
número por una suma nos va a dar lo mismo que la suma de cada
uno de los sumandos multiplicados por ese número. Ejemplo:
13 x (44 + 22) = 13 x 44 + 13 x 22
13 x 66 = 572 + 285
858 = 858
Valor absoluto:
Según Guillermo Westreicher, (2021) “El valor absoluto de un
número real es la magnitud de este, independientemente del signo que

le preceda. En pocas palabras el valor absoluto de un número, es el
valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este”.
Ejemplo: |−5|=5.|3|=3
2. . Ordene los siguientes números de menor a mayor de acuerdo
con sus nociones sobre números reales:
−2 3 −4 −7 9 6
, , , , , .
5 10 10 5 6 1
Repuesta:
−7 −2 −4 3 9 6
5 5 10 10 6 1
Recta numérica.
−7 −2 −4 3 9 6
,
5 5 10 10 6 1
-1.4 -0.4 0 0.3 1.5 6
B. Con ayuda de una calculadora compare los números anteriores.

−2
 5
=−0.4
3
 10
=0.3
−4
 10
=−0.4
−7
 5
=−1,4
9
 6
=1.5
6
 1
=6
Comparación:
−2 −4
 5
=
10
3 −7
 ≻
10 5
9 6
 ≺
6 1
3. El punto sobre una recta coordenada corresponde a √𝟐, y se puede
hallar dibujando un triángulo rectángulo con lados de longitud uno (1).
Como se muestra en la figura. El estudiante deberá encontrar de la
misma manera en la recta los puntos que corresponden a √𝟑, √𝟓 y √𝟏𝟑
√3 2 2
h =a +b
2
2
h =¿ 1
2
h =2+ 1
2
h =3 √3
√2
h =√ 3
2
√5 2 2
h =a +b
2
2 1
h =¿
2
h =4+ 1
2
h =5
h =√ 5
2 √5
2
√ 13 2
h =a +b
2 2
2
h =¿
2
h =9+4
2
h =13
h =√ 13
2
2
2
1 2 3
4. Demostrar matemáticamente la siguiente proposición: A. Si 𝒂 𝒚 𝒃
∈ ℝ, demostrar que (−𝒂) (−𝒃) = 𝒂b.
(−𝒂) (−𝒃) = 𝒂b.
=(−a )(−b )=(−a )(−b ) +0
¿ (−a )(−b )+ a∗0 Propiedad modulativa.

¿ (−a )(−b )+ a [ b+(−a)] Propiedad invertida.
¿ (−a )(−b )+ a∗b+a (−b) Propiedad distributiva.
¿ (−a )(−b )+ a (−b ) + ab Propiedad conmutativa.
¿−b [ (−a)+ a ] +ab Propiedad distributiva.
¿−b(0)+ ab Propiedad invertida.
¿ 0+ ab Propiedad modulativa de producto.
¿ ab Propiedad modulativa de la suma.
5. Simplificar y efectuar las operaciones:
A. . 2 √
3
54−2 √128−3 √ 16
3 3
54 3 128 2 16 2
18 3 64 2 8 2
6 3 32 2 4 2
2 2 16 2 2 2
1 8 2 1
3
4 2 2 ∗2
3 3 3
3 ∗2 2 2 2 ∗2 ∗2
1
2 √ 54−2 √ 128−3 √ 16
3 3 3
2 √ 3 ∗2−2 √ 2 ∗2 ∗2−3 √ 2 ∗2
3 3 3 3 3 3 3
2∗3 √3 2−2∗2∗2 √3 2−3∗2 √3 2
6 √ 2−8 √ 2−6 √2
3 3 3
( 6−8−6 ) √3 2
−8 √3 2
B .3 √ 5(8 √ 20−3 √ 45+2 √5)
5 5 20 2 45 3
1 10 2 15 3
5 5 5 5
1 1
5 5∗22 5∗32
3 √ 5 ( 8 √20−3 √ 45+2 √ 5 )
3 √ 5(8 √ 5∗22 −3 √ 5∗32 +2 √5)
3 √ 5 ( 8∗2 √ 5−3∗3 √ 5+2 √5 )
3 √ 5 ( 16 √5−9 √5+ 2 √ 5 )
3 √ 5 ( 16−9+ 2 √ 5 )
3 √ 5 ( 9 √5 )
21 √ 5
Realiza una gráfica en la recta real de cada caso para representar los
siguientes conjuntos de números reales.
8. {𝑥|−3 < 𝑥 ≤ 8}
(-3,8]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9. {𝑥|𝑥 ≥ 5}
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Aplicación del método de Polya.
Una caja que contiene 150 tornillos pesa 2200 gramos,
sabiendo que la caja vacía pesa 120 gramos, ¿Cuál es el peso
aproximado de cada tornillo?
Paso 1.
Entender el problema:
 Incógnita:
¿Cuál es el peso aproximado de cada tornillo?
 Datos:
Caja llena pesa 2200 g.
Caja vacía pesa 120 g.
La caja contiene 150 tornillos.

Paso 2.
Elaborar un plan:
Restar el peso de la caja llena con el peso de la caja vacía y
dividir el resultado entre la cantidad de tornillos.
Paso 3.
Ejecutar el plan:
2200-120/ 150= X
2080/150=X
X=13,87.
Paso 4.
Examinar la solución.
Cada tornillo pesa aproximadamente 13,87 gramos.

A2= (80+2x) (x)
40m
A3= 40x
A4= 40x
80m
A1= (80+2x) (x)

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1.

Graficar en un cuadro el conjunto de números reales e investigue

las propiedades de adicción y multiplicación de los números reales,

y el concepto de valor absoluto.

Propiedades de la adición y multiplicación de los números reales.

 Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el

podemos agrupar de diferentes formas y nos dará el mismo

105 + (225+300) = (105 + 225) + 300.

105 + 525 = 330 + 300

 Elemento neutro de la adición: El cero es el elemento neutro de la

adición y cuando se suma con otro número natural se obtiene el

mismo número. Ejemplo:

 Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el

 Propiedad asociativa: Los factores se pueden agrupar de distintas

(32 x 48) x 13 = 32 x (48 x 13)

 Elemento neutro: el número 1 es el elemento neutro y al ser

multiplicado por otro se obtiene el mismo número. Ejemplo:

 Factor cero: Cualquier número multiplicado por cero da cero.

 Propiedad distributiva: Consiste en que la multiplicación de un

uno de los sumandos multiplicados por ese número. Ejemplo:

Según Guillermo Westreicher, (2021) “El valor absoluto de un

número real es la magnitud de este, independientemente del signo que

valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este”.

2. . Ordene los siguientes números de menor a mayor de acuerdo

con sus nociones sobre números reales:

-1.4 -0.4 0 0.3 1.5 6

B. Con ayuda de una calculadora compare los números anteriores.

hallar dibujando un triángulo rectángulo con lados de longitud uno (1).

Como se muestra en la figura. El estudiante deberá encontrar de la

misma manera en la recta los puntos que corresponden a √𝟑, √𝟓 y √𝟏𝟑

4. Demostrar matemáticamente la siguiente proposición: A. Si 𝒂 𝒚 𝒃

∈ ℝ, demostrar que (−𝒂) (−𝒃) = 𝒂b.

(−𝒂) (−𝒃) = 𝒂b.

=(−a )(−b )=(−a )(−b ) +0

¿ (−a )(−b )+ a∗0 Propiedad modulativa.

¿ (−a )(−b )+ a∗b+a (−b) Propiedad distributiva.

¿ (−a )(−b )+ a (−b ) + ab Propiedad conmutativa.

¿−b [ (−a)+ a ] +ab Propiedad distributiva.

¿−b(0)+ ab Propiedad invertida.

¿ 0+ ab Propiedad modulativa de producto.

¿ ab Propiedad modulativa de la suma.

5. Simplificar y efectuar las operaciones:

2∗3 √3 2−2∗2∗2 √3 2−3∗2 √3 2

B .3 √ 5(8 √ 20−3 √ 45+2 √5)

3 √ 5(8 √ 5∗22 −3 √ 5∗32 +2 √5)

3 √ 5 ( 8∗2 √ 5−3∗3 √ 5+2 √5 )

siguientes conjuntos de números reales.

Aplicación del método de Polya.

Una caja que contiene 150 tornillos pesa 2200 gramos,

sabiendo que la caja vacía pesa 120 gramos, ¿Cuál es el peso

aproximado de cada tornillo?

¿Cuál es el peso aproximado de cada tornillo?

Caja llena pesa 2200 g.

Caja vacía pesa 120 g.

La caja contiene 150 tornillos.

Restar el peso de la caja llena con el peso de la caja vacía y

dividir el resultado entre la cantidad de tornillos.

Cada tornillo pesa aproximadamente 13,87 gramos.