Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S.

Castilla

1. EJERCICIO A1 (MODELO 0)

( )
Mm
P0 =G

( ) ( )
R 2T P 0 R T +h 2 R T + h 2 P0 RT
⇒ = ⇒ = ⇒ h= −R T
P h=G
Mm Ph RT RT 0,95 P0 √ 0,95
2
( R T+ h )

h=R T
( √ 0,95
1
)
−1 ⇒ h=6,37⋅10
( √0,95
1
−1
)
6
 h=165482 m ≃ 165,5 km

2. EJERCICIO A2 (MODELO 0)

Para verlo sobre el mismo punto de la Tierra el periodo del satélite ha de ser igual al
periodo de rotación del planeta, 24 horas.

( )
Mm v2

√
Fg =m⋅a n ⇒ G =m
r2 r M 4π 2 r 2 3 GMT
2
⇒ G = 2 ⇒ r=
2πr r T 4 π2
v=
T

√ ( ) =42,25⋅10 m
2
3 24⋅3600
r= 6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024 6
2π

h=r −R T =42,25⋅106 −6,37⋅106 =35,88⋅106 m  h=35,88 km

La energía que hay que suministrar (energía cinética), teniendo en cuenta el principio de conservación de la
energía ya que sólo se consideran fuerzas conservativas (no se tiene en cuenta el rozamiento):

( )
E=E órbita−Esup erficie terrestre
Mm v2 M
( )
2
Fg =m⋅a n ⇒ G =m ⇒ v =G GMm GMm 1 1
r 2 r r ⇒ E=− + =GMm −
2r RT RT 2 r
1 2 Mm 1 GMm GMm GMm
E órbita= mv −G = − =−
2 r 2 r r 2r

E=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅750⋅
( 1
6,37⋅10 6
−
1
2⋅42,25⋅106 )
 E=4,3⋅1010 J

3. EJERCICIO B1 (MODELO 0)
Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho
de tener masa. Cualquier masa situada en esa región del espacio interacciona con el campo y experimenta una
fuerza gravitatoria. Es un campo vectorial de fuerzas conservativas y central.

Las líneas de campo son radiales con sentido hacia la masa y las
superficies equipotenciales son superficies esféricas concéntricas con la
masa.
4. EJERCICIO A1 (Junio 16)
a) Es la velocidad mínima que debe adquirir un cuerpo (m) para escapar de la atracción gravitatoria de otro de
masa M. Esto sucede cuando la Ep = 0 (distancia → ∞) y v = 0 (Ec = 0), es decir, Emecánica =0 .
Al tratarse de una fuerza conservativa, la energía mecánica en la superficie también ha de ser 0.
1 2
2
mv e −G
Mm
R R √
=0⇒ v e= 2 GM , donde R es el radio del planera de masa M.

( )
Mm v2
F g=m⋅a n ⇒G =m 4π 2 r 3J 4π 2 (6,075⋅109 )3
r2 r M 4π 2 r 3
b) ⇒ G = 2 ⇒ M S= =
2πr r T G⋅T 2
6,67⋅10−11 (5,368⋅24⋅3600 )2
v= J
T
M S=6,17⋅10 29 kg

5. EJERCICIO B1 (Junio 16)

a) La interacción gravitatoria es la que mantiene en órbita a la Luna y produce sobre
ella una aceleración centrípeta.
Suponiendo una órbita circular, la velocidad en la órbita:
8
2π r 2 π⋅3,84⋅10 −1
v= = → v=1020 m s
T 27,32⋅24⋅3600
La aceleración que tiene la Luna es una aceleración centrípeta que es precisamente
la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura, por tanto se puede
calcular de dos maneras:
2 2 2 8
MT v 4π r 4 π ⋅3,84⋅10 −3 −2
a= g=G 2 o a=an = = 2 = a=2,72⋅10 m s
r r T (27,32⋅24⋅3600)2

b) La única fuerza que actúa es la gravitatoria que es conservativa, luego la energía mecánica con
la que abandona 1 debe ser la que tenga cuando llegue a 2 (donde se parará)
1 Mm Mm 1 2 M M
m v 21−G =−G → v −G =−G (*)
2 R R +h 2 1 R R+ h
La velocidad de escape de la Tierra:
1 2
2
mv e −G
Mm
R
=0 ⇒ v e=

1 1 2 GM GM −G M
2 GM y como
R
1 4
√ 4
v 1 2 GM
v 1= e =
2 2
3 4
R
R+h 4
√
y sustituyendo en (*):

h 4 h 1
⋅ − = → − =− → = → = → 1+ = → =
2 4 R R R+h R R R+h R R+h R 3 R 3 R 3
R
h= =2120 km
3
6. EJERCICIO A1 (Septiembre 16)
2
M g0 R 3,7⋅(3,4⋅10 6)2
a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie: g0 =G → M= =
R
2
G 6,67⋅10 11
23
M=6,4⋅10 kg
La velocidad de escape (explicada en ejercicios anteriores):
1 2
2
mv e −G
Mm
R
=0 ⇒ v e=
2 GM
R
→ v e=
R √
2 g 0 R2
√
→ v e=√2 g 0 R=√2⋅3,7⋅3,4⋅106 → v e =5,02 km s−1

b) La intensidad del campo a esa altura (h) actúa de aceleración centrípeta:

4 π 2 ( R+h)2 GM
√
2
v GM GM T 2
ac=g → R+h = → 2 = R+h → R+h=
3
→
(R +h)2 T 4 π2

√ √
2 2 6 2 2
3 g0 R T 3,7⋅(3,4⋅10 ) (24,6⋅3600)
h= −R → h=
3
−3,4⋅10 6 → h=17000 km
4 π2 4 π2
Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S. Castilla

7. EJERCICIO B1 (Septiembre 16)

a) El peso de un cuerpo m en la superficie de un planeta, supuesto esférico, de masa M, radio R, densidad ρ:
4 3
Mm G ρ 3 π R m 4
P=G 2 = = 3 π G mρ R
R R2
Entre los dos planetas la única diferencia es el radio, luego si el planeta 1 tiene un radio mayor, también el peso
del cuerpo será mayor en él ( en concreto, el triple).

b) Será nulo en el punto medio entre las masas. En ese punto los vectores campo de ambas masas son vectores
opuestos y sus módulos son iguales ya que g depende de la masa M y la distancia.

8. Ejercicio A1 (Junio 17)

Mm 5,97⋅10 24⋅100
a) E P =−G =6,67⋅10−11 → E P =5,4⋅109 J
r 7,37⋅10 6

6 8
b) E P =mgh=100⋅9,8⋅10 =9,8⋅10 J → Esta expresión sólo es una simplificación en el caso de que h sea
mucho menor que Rtierra (de orden no comparable) y utilizarla aquí supondría que g no varía a lo largo de esos
1000 km sobre la superficie.

9. Ejercicio B1 (Junio 17)

24
M m 5,97⋅10 350
a) P=Fg=G T2 =6,67⋅10−11 → P=2950 N
r (6,87⋅106)2

b) La única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa, luego la energía mecánica a 500 km de altura
será igual que la que tenga al llegar a la superficie.
1 Mm Mm 1 M M
m v 20−G =−G + mv2 → v 02−2 G + 2 G =v 2 →
2 r R 2 r R

√
v = v 02+2GM ( R1 − 1r )=√15 +2⋅6,67⋅10
2 −11
⋅5,97⋅10 24
(6,37⋅10
1
6
−
6,87⋅10 )
1
6
→ v=3,02⋅103 m s−1

10. Ejercicio A1 (Septiembre 17)

a) Órbita areoestacionaria es aquella en la que un satélite siempre está sobre la

misma vertical sobre la superficie de Marte, para ello ha de ser ecuatorial y el periodo
igual al de rotación de Marte.
La intensidad del campo a esa altura actúa de aceleración centrípeta:
2 7 3
v 2 GM 4 π 2 r 2 GM 4 π 2 r 3 4 π (2,0425⋅10 )
ac = g → = 2 → = → M = 2
= 2
r r T2 r GT G (24,6229⋅3600)
v=6,42⋅1023 m s −1

b) La velocidad de escape (explicada en ejercicios anteriores):

1 2 Mm 2 GM 2⋅6,67⋅10−11⋅6,42⋅10 23
mv e −G =0 ⇒ R= 2 = → R=3,39⋅106 m=3390 km
2 R ve 3 2
(5,027⋅10 )
11. Ejercicio B1 (Septiembre 17)
GM GM GM
a) Comparando la aceleración de la gravedad en la superficie y a una altura h: g0 = y g= =
R2 (R +h)2 r 2
1 GM 1 GM
y como g= g 0 → = → r= √5 R (radio de órbita es el triple que el de la Tierra)
5 r2 5 R2
La intensidad del campo a esa altura actúa de aceleración centrípeta:

√ √
3
v 2 GM 4 π 2 r 2 GM r3 ( √ 5⋅6,37⋅10 6)
ac = g → = 2 → = → T =2 π =2 π
r r T2 r GM 6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024
4
R=1,69⋅10 s=4,7 horas

−11 24
1 M m 1 GM M m GMm 6,67⋅10 ⋅5,97⋅10 ⋅250
b) La energía mecánica: E M= mv2 −G = m −G = =
2 r 2 r r 2r 2 √5⋅6,37⋅106
E M =3,49⋅109 J

12. Ejercicio A1 (Junio 18)

a) La intensidad del campo a esa altura (h) actúa de aceleración centrípeta:

a c =g →
v2
=
GM
R +h (R +h)2
→
4 π 2 (R+h) 2 GM
T
2 =
R+h
→ R+h=
√ 3 GM T 2
4 π2
→

√ √
−11 24 2
3 GM T 2 3 6,67⋅10 ⋅5,97⋅10 ⋅(92⋅60)
h= −R → h= −6,37⋅10 6 → h=380km
4 π2 4 π2
2 π r 2 π⋅6,75⋅106
v= = → v=7,7 km s−1
T 92⋅60

b) La energía necesaria será la diferencia de energía entre las dos órbitas: r1 = r y r2 = 2r

( )
E=E2−E1
Mm v2 M
F g=m⋅a n ⇒G
2
=m ⇒ v 2=G ⇒ E=−
GMm GMm
+ =−
GMm GMm GMm
+ =
r r r 2 r2 2 r1 4r 2r 4r
1 2 Mm 1 GMm GMm GMm
Eórbita = mv −G = − =−
2 r 2 r r 2r

6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24⋅4,5⋅10 5
E=  E=6,65⋅10 12 J
4⋅6,75⋅10 6

13. Ejercicio B1 (Junio 18)

a)

( )
Mm v2
Fg =m⋅a n ⇒G =m
r2 r M 4π 2 r 2 T 2 4 π2
⇒G = 2 ⇒ 3= =constante para los planetas del Sistema Solar
2πr r T r GM
v=
T

T 2M r 3M
√( )
rM 3
√( )
6 3
57,9 · 10 km
= →T M=T T⋅ =365 días⋅ → T M=87,5 días
T 2T r 3T rT 150· 10 6 km

b) La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta, supuesto esférico, de masa M, radio R, densidad

ρ:
Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S. Castilla

4 3
Gρ πR
M 3 4
g =G = = π Gρ R
R2 R 2
3
3g 3⋅3,7 m s−2
El diámetro : D=2⋅R=2⋅ = D=4880 km
4 π⋅G⋅ρ 2 π⋅6,67⋅10 N m 2 kg− 2⋅5430 kg m −3
−11

14. Ejercicio A1 (Julio 18)

a) Explicación → ver ejercicio 4 a)

La velocidad de escape desde la superficie de Urano: v e=

M
√ 2GM
R
y la aceleración de la gravedad en su

superficie: g=G
2
. Por tanto, la velocidad de escape en función de la gravedad: v e =√ 2 g R y el radio de
R
2 3 2
v (19,9⋅10 ) 7
Urano será: R= e = → R=2,5⋅10 m
2g 2⋅7,8
b) Explicación → Ver ejercicio 13 a)
T 2U
TT2
=
r 3U
r 3T √(
→T U =T T⋅
rT)
rU 3
=T T⋅
√( rT )
19,9⋅r T 3
=1 año⋅√ ( 19,9 ) →
3
T U =88,8 años terrestres

15. Ejercicio B1 (Julio 18)

a) Un campo es conservativo cuando el trabajo que realiza la fuerza del campo sobre una partícula a lo largo de
una trayectoria cerrada es cero, además el trabajo realizado entre dos puntos depende solamente de la posición
de esos puntos y es independiente de la trayectoria seguida.
Los cuerpos situados en un campo conservativo llevan asociada una magnitud escalar, la energía potencial, cuya
disminución es el trabajo realizado por la fuerza del campo al mover el cuerpo entre dos puntos.
Cuando sobre una partícula actúan exclusivamente fuerzas conservativas su energía mecánica se conserva.
Por ejemplo, en la superficie terrestre cae un cuerpo de masa m desde una determinada altura h con tres
trayectorias distintas. La altura es despreciable frente al valor del radio terrestre, por lo que el campo
gravitatorio se puede considerar uniforme. Comprobamos que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es el
mismo en las tres trayectorias y sólo depende de la altura inicial y final.
El trabajo realizado por una fuerza constante sobre un cuerpo que se desplaza es: W=F⋅Δ ⃗ ⃗r y en los tres
casos es W=mgh

b) Se llama fuerza gravitatoria a la fuerza de atracción entre dos masas y

es proporcional a dichas masas y disminuye con el cuadrado de la
distancia entre ellas (ley de la gravitación universal de Newton).
⃗ m⋅m '
F =−G 2 ⃗ ur
r
Esta interacción entre masas implicaría una acción a distancia e instantánea. Para evitarlo se utiliza el concepto
de campo gravitatorio como la región que rodea una masa y que es “perturbada” por esta, de forma que si se
sitúa otra masa en él, experimentará una fuerza de atracción.
La presencia de una masa modifica las propiedades del espacio que la rodea.
La intensidad del campo gravitatorio es una magnitud que caracteriza al
campo y su valor depende de la distancia al punto considerado y de la masa
que crea el campo y representa la fuerza sobre una masa de prueba unidad
colocada en dicho punto.
⃗
F m
g=
⃗ =−G 2 ⃗u r El campo se representa por líneas tangentes al
m' r
vector intensidad de campo y con el sentido de este.
Si en un punto del campo hay otro cuerpo de masa m’, este sufrirá una
fuerza: ⃗ F =m '⋅⃗
g

⃗F

16. Ejercicio A1 (Junio 19)

a) Aplicando la ley fundamental de la Dinámica, en la que la aceleración del satélite es una aceleración
centrípeta. Si r es el radio de la órbita del satélite, M la masa de la Tierra, m la masa del
satélite y T es el periodo orbital del satélite:

( )
Mm v2
Fg =m⋅a n ⇒ G =m
r2 r M 4π 2 r 2 4 π2 r 3
⇒G = ⇒ M=
2πr r T2 GT
2
v=
T
Se puede calcular la masa de la Tierra pero no la del satélite. Esta aparece en la fuerza gravitatoria entre las dos
masas y en la ley fundamental de la Dinámica ya que es la masa que sometida a esa aceleración.
b) Aplicando el razonamiento del apartado a) y despejando el periodo orbital:

T=2 π
√ r3
GM
g superficie M M
El radio de la órbita: g órbita = → G 2 =G 2→
r=√ 3 R
3 r 3R

√ √
3 3

Sustituyendo: T=2 π
√ 3 R 3 =2 π √ 3 (6,37⋅106 )3 → T=11500s=3,2 h
GM 6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24

17. Ejercicio B1 (Junio 19)

a) Realiza el satélite un MCU: F=m a C →G

Mm
r2
=m
v2
r
→v=
GM
r
=
√ √
6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24
6,5⋅106
→ (1)

v =7830 m s−1
2 π r 2 π 6,5⋅106
T= = → T=5200 s=1,4 h
v 7830

La energía mecánica del satélite es : E=E cinética + E potencial y teniendo en cuenta la velocidad de (1):
−11 24
1 M m 1 GM M m GMm 6,67⋅10 ⋅5,97⋅10 ⋅1500
E M= mv2 −G = m −G = = → E=4,6⋅10 10 J
2 r 2 r r 2r 2⋅6,5⋅106
b) La velocidad de escape (explicada en ejercicio 4a) desde una distancia r al centro de la Tierra:
1 2
2
mv e −G
Mm
r
=0 ⇒ v e=
2 GM
r √
→ v e=
6,5⋅10 6
√
2⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24
→ v e =11078 m s−1=11,1 km s−1
Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S. Castilla

18. Ejercicio A1 (Julio 19)

Mm v2 M 2
a) El satélite tiene MCU: F=m a C → G 2 =m → G =v (1)
r r r
2 πr vT 2 π GM
Tenemos datos de v y T: v= → r= y sustituyendo en la anterior: =v 2
T 2π vT
v3 T (3,1⋅104 m s− 1 )3 45⋅60 s
La masa del planeta en función de v y T: M= = → 1,9⋅1026 kg
2 π G 2 π⋅6,67⋅10−11 N m 2 kg −2
b) La energía mecánica del satélite es : E=E cinética +E potencial y teniendo en cuenta la velocidad de (I):
1 Mm 1 1 1
EM = mv2 −G = m v 2−m v 2=− m v 2=− 100(3,1⋅104 )2 EM =−4,8⋅1010 J
2 r 2 2 2

19. Ejercicio B1 (Julio 19)

a) Expresando la aceleración de la gravedad de Júpiter en función de la de la Tierra:
M 318 MT 318
g J =G 2J =G 2 2= 2 gT → g J =24,9 m s− 2
RJ 11,2 R T 11,2
b) La velocidad de escape (explicada en ejercicios anteriores):

1 2
2 e
mv −G
Mm
R
=0 ⇒ v e=
√2 GM
R
→ v e=
√ 2 g 0 J R 2J
RJ
→

v e=√ 2 g 0 J R J =√ 2 g 0 J 11,2 R T=√ 2⋅24,9⋅11,2⋅6,37⋅106 → v e =59,6 km s−1

20. Ejercicio A1 (Junio 20)

La única fuerza que actúa es la gravitatoria que es conservativa, luego la energía mecánica con la
que abandona 1 debe ser la que tenga cuando pase por 2. Si m es la masa del objeto:
1 Mm 1 Mm M M
m v 21−G = m v 22−G → v 21−2 G =v 22−2 G →
2 R 2 R+h R R +h

√
v 1= v 22 +2 GM ( R1 − R1+h ) √
→ v 1= 20002 +2⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅ ( 6,37⋅10
1
6
−
10⋅10 )
1
6
→

v 1 =7030 m s−1

21. Ejercicio A2 (Junio 20)

La fuerza gravitatoria aporta al satélite la aceleración centrípeta para estar en órbita:
2
Mm v
F g =m⋅a n ⇒G 2 =m , donde M es la masa de la Tierra, m la del satélite, r la distancia
r r
entre los centros de las masas y el radio de la órbita y v la velocidad orbital:

v=
√ √GM
r
=
6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024
7,2⋅106
→ v =7440 m s
−1

El tiempo que tarda en completar una órbita está relacionado con la velocidad orbital por:
6
2 πr 2 π r 2 π 7,2⋅10
v= → T= = → T =6080 s=1,7 h
T v 7440

22. Ejercicio B1 (Junio 20)

La afirmación es falsa.
La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe adquirir un cuerpo (m) para escapar de la atracción
gravitatoria de un astro de masa M. Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatorio cuando se
encuentra a una distancia infinita del astro (Ep=0) y como se busca la velocidad mínima para ello., la velocidad
cuando escape será nula (Ec=0).
Considerando que sólo actúan fuerzas conservativas  Conservación de la energía mecánica:
1 2
mv −G
2 e
radio.
Mm
R
=0 ⇒ v e=
R √
2GM que depende de la masa del astro que crea el campo gravitatorio y de su

M
La densidad media suponiendo los planetas esféricos: ρ=
4
π R3
3
Teniendo en cuenta ambas fórmulas, para igual masa (M), el planeta con densidad media (ρ) menor tendrá
mayor radio (R) y menor será la velocidad de escape (ve)

23. Ejercicio A1 (Septiembre 20)

Aplicando la ley fundamental de la Dinámica, en la que la aceleración del exoplaneta es una
aceleración centrípeta. Si r es el radio de la órbita del exoplaneta, M la masa de la estrella, m
la masa del exoplaneta y T es el periodo orbital del exoplaneta:

( )
Mm v2
Fg =m⋅a n ⇒ G =m
r2 r M 4π2 r 2 4 π2 r 3 4 π 2 (6,1⋅10 10 )3
⇒G = 2 ⇒ M= = →
2πr r T G T 2 6,67⋅10−11⋅(112⋅24⋅3600)2
v=
T

M =1,43⋅1030 kg
24. Ejercicio A2 (Septiembre 20)
La energía necesaria será la diferencia de energía entre la necesaria para estar en la órbita
(Ecinética + Epotencial) y la que ya tiene por estar en la superficie de la Tierra (E potencial): r1 = RT y r2 =
RT + h

( )
E=Eórbita −Esuperficie
Mm v2 M
F g=m⋅a n ⇒G

1 2
r
2
=m
r
Mm 1 GMm GMm
⇒ v 2=G
r
GMm
⇒ E=−
GMm
2(R T+ h )
+
GMm
R T
=GMm
1
R T
−
1
2(R T + h) ( )
Eórbita = mv −G = − =−
2 r 2 r r 2r

−11
E=6,67⋅10 ⋅5,98⋅10 300⋅
24
( 1
−
1
6,37⋅10 2(7,07⋅106 )
6 )  E=1,03⋅10 10 J

25. Ejercicio B1 (Septiembre 20)

La variación de energía potencial al mover un objeto desde la superficie hasta una altura “h”
es:

ΔEP = EP  alturah  EP  suelo = G

Mm Mm 1 1 
+G ΔEP = GMm  
R+h R  R R+h
Combinando con la intensidad del
campo gravitatorio en la superficie
 R+h  R  M h
ΔE P = GMm  g0 = G  ΔE = m  g 0  R 2
 R R + h   R R(R + h)
2

h
ΔE = m  g Teniendo en cuenta: h <<<< R y que en esa
0
h ΔE = m  g  h
1+ distancia g0 prácticamente es constante
P

R
Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S. Castilla

26. Ejercicio A1 (Junio 21)

Un cuerpo escapa del campo gravitatorio cuando se encuentra a una distancia infinita del astro (Ep=0) y llega
como mínimo con velocidad nula (Ec=0), por lo que la energía mecánica tiene que ser 0.
La energía mecánica en la órbita es la suma de la cinética y potencial.
1 2 Mm
E órbita = m v −G
2 r
Para conocer la velocidad orbital, la fuerza gravitatoria da al objeto una aceleración centrípeta:
Mm v2 2 M 1 Mm Mm Mm
F=m⋅a →G 2 =m → v =G → E órbita= G −G =−G
r r r 2 r r 2r

La energía (E) necesaria será tal que E=E fuera del campo−E órbita
Mm 6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅104 11
E=−Eórbita=G = 6
→ E=1,10⋅10 J
2r 36,37⋅10

27. Ejercicio A2 (Junio 21)

A esa altura h, el peso (Ph) será el 70% del peso en la superficie (P0)

( )
Mm
P0 =G

( ) ( )
2 2
R 2T P0 R T +h R T+ h P0 RT
⇒ = ⇒ = ⇒ h= −R T
P h=G
Mm Ph RT RT 0,70 P 0 √ 0,70
2
( R T+ h )

h=R T
( √ 0,70
1
)
−1 ⇒ h =6,37⋅10
( √ 0,70
1
6
−1
) 6
 h=1,24⋅10 m ≃ 1240 km

28. Ejercicio B1 (Junio 21)

La fuerza gravitatoria es la que los mantiene en órbita (fuerza centrípeta), por lo
que la energía cinética en función del radio de la órbita:
GM m v2 2 GMm 1 2 GMm
=m → mv = → Ec= m v =
R 2
R R 2 2R
GMm
La energía potencial a una distancia R del centro del planeta es Ep=−
R
GMm GMm GMm
La energía mecánica; E=Ec+ Ep= − =− , por lo que si R1 es
2R R 2R
mayor que R2, la energía mecánica en la órbita 1 será mayor. E 1> E 2

29. Ejercicio A1 (Septiembre 21)

Hay que encontrar la relación entre la densidad (ρ) de un planeta de masa M y radio R, y el campo gravitatorio
M
(aceleración de la gravedad, g) en su superficie, g=G 2
R
M 4 3
Teniendo en cuenta que la densidad es ρ= y que el volumen de una esfera es V = π R :
V 3
4
Gρ π R3 −1
GρV 3 4 3g 3⋅4 N kg
g= = = π Gρ R → ρ= =
R
2
R
2
3 4 π G R 4 π 6,67⋅10−11 N m2 kg−2⋅3⋅106 m
ρ =4,77⋅103 kg m−3
30. Ejercicio A2 (Septiembre 21)
La fuerza gravitatoria provoca la aceleración centrípeta al satélite para trazar la órbita circular de radio r:
2
Mm v 2π r M 4π 2 r 2
G =m (I), y su relación con el periodo es v= por lo que: G = →
r
2
r T r T2

√
2
3 GMT
r=
4π 2
Los radios de ambas órbitas:

r 1=
√ 3 6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24 (12⋅3600)2
4π 2
=2,66⋅10 m
7

√
−11 24 2
3 6,67⋅10 ⋅5,98⋅10 (24⋅3600) 7
r 2= 2
=4,23⋅10 m
4π
La energía mecánica en la órbita, teniendo en cuenta (I):
GMm GMm 1 GMm GMm
E=Ec+ Ep= − = mv 2− =−
2r r 2 r 2r
La energía necesaria para el cambio de órbita será la diferencia entre las energías de las dos órbitas:

E= E 2− E1 =−
GMm GMm GMm 1 1
2 r2
+
2 r1
=
2
− =
r 1 r2 (
2⋅10
7 )
6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅100 1
−
1
2,66 4,23 ( )
8
E=2,78⋅10 J
31. Ejercicio B1 (Septiembre 21)
Explicación en ejercicio 12 a)

32. Ejercicio A1 (Junio 22)

La fuerza que actúa (gravitatoria) es conservativa, luego la energía mecánica que tiene a 500 km
de altura (2) será igual a la que tendrá cuando llegue a la superficie (1). Si m es la masa del
objeto:
1
2
m v 21−G
Mm 1
R
= m v 22−G
2
Mm
R +h
M
→ v 21−2 G =v 22−2 G
R
M
R+h
→
√ 2
v 1= v 2 +2 GM ( R1 − R+1 h )
√
→ v 1= 1200 2 +2⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅10 24⋅ ( 6,37⋅10
1
−
6,87⋅10 )
1
6 6
→ v 1 =3250 m s−1

33. Ejercicio A2 (Junio 22)

M 3M
La densidad media de Júpiter es ρ= = (I), siendo M la masa de Júpiter y R su radio.
V 4 π R3
La masa de Júpiter, M, se obtiene a partir de los datos de su satélite Calisto a plicando la ley
fundamental de la Dinámica, en la que la aceleración de Calisto es una aceleración
centrípeta. Si r es el radio de la órbita de Calistio, M la masa de Júpiter, m la masa de Caliusto
y T su periodo orbital:

( )
Mm v2
Fg =m⋅a n ⇒ G =m
r2 r M 4π 2 r 2 4 π2 r 3
⇒G = 2 ⇒ M= y sustituyendo en la densidad (I):
2πr r T G T2
v=
T
Ejercicios EBAU resueltos. Campo Gravitatorio. Física 2º Bach I.E.S. Castilla

M 3M 3⋅4⋅π 2⋅r 3 3⋅π ⋅r 3 3 π ⋅(1,88⋅10 9)3

ρ= = = = = ⇒
V 4 π R3 4 π R 3⋅G⋅T 2 G⋅R 3⋅T 2 6,67⋅10−11⋅(6,99⋅107)3⋅(16,9⋅24⋅3600)2

ρ =1290 kg m−3

34. Ejercicio B1 (Junio 22)

La relación entre el periodo de la Luna y la masa de la Tierra se obtiene aplicando la ley
fundamental de la Dinámica, en la que la aceleración de la Luna es una aceleración
centrípeta. Si r es el radio de la órbita de la Luna, M la masa de la Tierra, m la masa de la Luna
y T su periodo orbital:

( )
Mm v2
Fg =m⋅a n ⇒ G =m

v=
2πr
T
r2 r M 4π 2 r 2
⇒G = 2 ⇒ T=
r T
4 π2 r 3
GM √
Se ve que si aumenta M disminuye T, luego es

falso.
T
Si la masa M se duplica, para ese radio de órbita, el periodo de la órbita disminuiría, siendo T '=
√2
35. Ejercicio A1 (Julio 22)
M
La intensidad gravitatoria debida a Marte en un punto de la órbita de Deimos es g =G siendo M la masa
r2
de Marte y r el radio de la órbita de Deimos (distancia de Marte a un punto de su órbita).
v2
Es también, por tanto, igual a la aceleración centrípeta que actúa sobre Deimos: g = y si la órbita es
r
2π r
circular, la velocidad orbital es v= .
T
4 π 2 r 4 π 2⋅23460⋅10 3
La intensidad gravitatoria se puede calcular: g= 2
= 2
→ g=0,078 N kg −1
T (30,3⋅3600)

36. Ejercicio A2 (Julio 22)

La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra (M) es la que la mantiene en órbita a la estación
espacial (m), por lo que la energía cinética en función del radio de la órbita:
GM m v2 2 GMm 1 2 GMm
F =m a → =m → mv = → Ec= m v =
r 2
r r 2 2r
GMm
La energía potencial a una distancia R del centro del planeta es Ep=−
r
GMm GMm GMm
La energía mecánica en una órbita E=Ec+ Ep= − =−
2r r 2r
Los motores tienen que aportar la diferencia de energía entre las dos órbitas:

Δ E =E 2−E 1=−
GMm GMm GMm 1 1
2 r2
+
2r1
=
2
− =
r1 r2 ( )
6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅4,2⋅10 5
2
1
−
1
(
4,2⋅10 −360 4,2⋅10 5
5 )
Δ E=1,71⋅1011 J

37. Ejercicio B1 (Julio 22)

No hay relación entre el periodo de la Luna y su masa, el periodo de la Luna depende de la masa de la Tierra y el
radio de la órbita. (ejercicio 34)
Cálculo de la variación del periodo de la Luna al duplicar la masa de la Tierra en el ejercicio 34